广东省江门市2014届高三普通高中调研测试数学(理)试题(含答案)

图1
江门市2014年普通高中高三调研测试
数 学（理科）试 题
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合{}21|<<-=x x A ，{}31|<<=x x B ，则=B A A ．) 3 , 1(- B ．) 2 , 1 ( C ．] 3 , 1[- D ．] 2 , 1 [ ⒉若复数 i m m m m )3()65(22-++- 是纯虚数（ i 是虚数单位），则实数=m A ．2=m B ．3=m C ．0=m D ．2=m 或3=m ⒊已知平面向量)3 , (-=λa ，)2 , 4(-=b ，若b a ⊥，则实数=λ A ．2
3-
B ．23
C ．6-
D ．6
⒋已知点)2 , 1(A ，)1 , 2(B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是
A ．03=-+y x
B ．01=+-y x
C ．0=-y x
D ．0=+y x ⒌设a 、R b ∈，若0|| <+b a ，则下列不等式中正确的是
A ．0>-b a
B ．033>+b a
C ．022<-b a
D ．0 <+b a
⒍如图1，E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -中1AD 、C B 1上的动点（不含端点），则四边形FDE B 1的俯视图可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
⒎已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-,
0 , 12,
0 ,21)(x x x f x x
，则该函数是
A ．偶函数，且单调递增
B ．偶函数，且单调递减
C ．奇函数，且单调递增
D ．奇函数，且单调递减
⒏平面直角坐标系中，抛物线x y 2
1
2=
与函数x y ln =图象的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）
⒐3log 2 2l o g 3（填“>”或“<” ）
． ⒑在ABC ∆中，3=c ，045=A ，075=B ，则=a ．
⒒若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0 , 10(，则双曲线方程是 ．
⒓若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥43430
y x y x x ，则y x z -=的最大值是 ．
⒔若α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号） ① 若α//a ，α//b ，则b a // ② 若α//c ，α⊥b ，则b c ⊥ ③ 若α⊥c ，β//c ，则βα⊥
④ 若α⊂b ，α⊂c 且b a ⊥，c a ⊥，则α⊥a (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕直线x y =和抛物线2x y =所围成封闭图形的面积=S ． ⒖在数列{}n a 中，11=a ，n
n
n a a a +=
+11（*∈N n ），试归纳出这个数列的通项=n a ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）
已知1)2
cos 2sin 3(2cos
2)(-+=x
x x x f ，R x ∈．
A
B
C
M
N
1
A 1
B 1
C 2
图⑴ 求)(x f 的最小正周期；
⑵ 设α、)2 , 0(πβ∈，2)(=αf ，58
)(=βf ，求)(βα+f 的值．
⒘（本小题满分13分）
如图2，直三棱柱111C B A ABC -中，CB CA ⊥，1==CB CA ，棱21=AA ，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点．
⑴ 求证：⊥N C 1平面BCN ；
⑵ 求直线C B 1与平面MN C 1所成角θ的正弦值．
⒙（本小题满分13分）
为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，然后第三次倒出10升后用水补满．
⑴ 求第一次稀释后桶中药液的含量；
⑵ 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，求V 的取值范围；
⑶ 在第⑵问的条件下，第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的50%，为什么？
⒚（本小题满分14分）
如图3，椭圆Γ的中心在坐标原点O ，过右焦点)0 , 1(F 且垂直于椭圆对称轴的弦MN 的长为3．
⑴ 求椭圆Γ的方程；
⑵ 直线 l 经过点O 交椭圆Γ于P 、Q 两点，NQ NP =，求直线 l 的方程．
⒛（本小题满分14分）
已知正项等比数列{}n a （*∈N n ），首项31=a ，前n 项和为n S ，且33a S +、55a S +、
44a S +成等差数列．
⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 求数列{}n nS 的前n 项和n T ．
21（本小题满分14分）
已知函数)()(b ax e x f x +=，曲线)(x f y =经过点)2 , 0(P ，且在点P 处的切线为l ：
24+=x y ．
⑴ 求常数a ，b 的值；
⑵ 求证：曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点；
⑶ 是否存在常数k ，使得]1 , 2[--∈x ，)24()(+≥x k x f 恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，简要说明理由．
评分参考
一、选择题 BAAC DBCD
二、填空题
⒐＞ ⒑2 ⒒19
22
=-y x ⒓0 ⒔②③（对1个3分，错1个2-分） ⒕61 ⒖n 1
三、解答题
⒗解：⑴x x x f cos sin 3)(+=……2分，)6
sin(2π
+=x ……4分，
)(x f 的最小正周期π2=T ……5分
⑵因为2)6sin(2=+πα，1)6sin(=+πα，3
266π
παπ<+<……6分，
所以26ππα=+，3π
α=……7分，
58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，3
266π
πβπ<+<……8分，
因为2
3
54<，所以266ππβπ<+<，53)6cos(=+πβ……9分，
所以ββπ
πβαβαcos 2)2
sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……10分，
6
sin )6sin(26cos )6cos(2]6)6cos[(2π
πβππβππβ+++=-+=……11分，
5
4
33+=
……12分。

（或者在第7分之后：ββπ
πβαβαcos 2)2
sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……8分，
6
s i n )6s i n (26c o s )6c o s (2]6)6c o s [(2π
πβππβππβ+++=-+=……9分，
因为58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，所以53
)6cos(±=+πβ……10分，
所以53
34)(±=+βαf ……11分，
因为)2 , 0(πβ∈，0cos 2)(>=+ββαf ，所以5
3
34)(+=+βαf …12分）
⒘证明与求解：⑴1111====C A NA AN CA ，⊥1AA 底面，4
11π
=∠=∠NC A ANC
……1分，2
1π
=∠CNC ，NC N C ⊥1……2分，因为CB CA ⊥，1CC BC ⊥，
C CC AC =1 ，所以⊥BC 平面11C C A A ……3分，N C BC 1⊥……4分，因为C NC BC = ，所以⊥N C 1平面BCN ……5分
⑵（方法一）以C 为原点，CA 、CB 、CC 1在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……6分，
则)0 , 0 , 0(C 、)2 , 0 , 0(1C 、)2 , 1 , 0(1B ……7分，
)2 , 2
1
, 21(M 、)1 , 0 , 1(N ……8分， )0 , 2
1
, 21(1=C 、)1 , 0 , 1(1-=N C 、)2 , 1 , 0(1=CB ……9分，
设平面MN C 1的一个法向为) , , ( c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
11N C n M C n ……10分，
即⎩⎨⎧=-=+0
0c a b a ，取)1 , 1 , 1( -=n ……11分， 所以|
|| || , cos |sin 111CB n CB n =><=θ12分，15
15
=
……13分。

（方法二）
2
2
11=
=AB AN N A M A ，21π=∠=∠M NA BAN ，M NA BAN 1~∆∆……6分，所以MN A BNA 1∠=∠，2
π
=∠MNB ，MN BN ⊥……7分，由⑴知N C BN 1⊥，
N MN N C = 1，所以⊥BN 平面MN C 1……8分。

延长B B 1到2B ，延长C C 1到2C ，使222==CC BB ，连接2BC 、2NC ……9分，在
2NBC ∆中，3=BN ，52=BC ，102=NC ……10分，
2
2
22
2222cos BC BN NC BC BN NBC ⨯-+=
∠……11分，1515
-= BN 是平面MN C 1的法向量，由所作知C B BC 12//，从而2
2π
θ-∠=NBC ，所以
15
15
cos sin 2=
∠-=NBC θ……13分。

其他方法，例如将直三棱柱补成长方体，可参照给分。

⒙解：⑴第一次稀释后桶中药液为10-V （升）……2分
⑵第2次倒出后桶中剩余农药810
)10(⨯---V
V V 升……3分，依题意 %60810
)10(⨯≤⨯---V V
V V ……5分，即0200452≤+-V V ……6分，
解得405≤≤V ……7分，又10≥V ，所以4010≤≤V ……8分。

⑵不能达到%50……9分，再次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不
超过V
V 10
%60-⨯……10分，因为4010≤≤V ，
所以%45)40
10
1(%60)101(%6010%60=-⨯≤-⨯=-⨯V V V ……12分， 答：（略）……13分。

⒚解：⑴设椭圆Γ的方程为122
22=+b
y a x （0>>b a ）……1分
依题意，12
2=-=b a c ……2分，3)(22222=-=a
c a a b ……4分 解得2=a ，3=b ……6分，椭圆Γ的方程为13
42
2=+y x ……7分 ⑵（方法一）连接ON ，由椭圆的对称性OQ OP =……8分，因为NQ NP =，所以
PQ ON ⊥……9分，依题意，)23 , 1(-N ……10分，所以2
3
-=ON k ……11分，
3
2
1=-=ON l k k ……13分，所以直线 l 的方程为x y 32=……14分。

（方法二）设直线 l 的方程为kx y =……8分，解⎪⎩
⎪⎨⎧==+
kx y y x 13
42
2……9分，得)3412 , 3412(22++k k k P ，)3412 , 3412(2
2+-+-k k k Q ……10分，依题意，)2
3
, 1(-N ……11分，由NQ NP =得
2222)341223()34121(+--++-k k k =2
2
22)3
41223()34121(++-+++k k k ……12分，解得32=k ……13分，所求直线 l 的方程为x y 3
2
=……14分。

⒛解：⑴依题意，设13-=n n q a ……1分，33a S +、55a S +、44a S +成等差数列，所以
)()()(2443355a S a S a S +++=+……2分，即
)2()2()2(2432132154321a a a a a a a a a a a a ++++++=++++，
化简得354a a =……4分，从而142=q ，解得2
1
±=q ……5分，
因为{}n a （*∈N n ）是单调数列，所以21=q ，n n a 2
6
=……6分
⑵由⑴知)2
1
1(6n n S -=……7分，
)2
(6)233(6)222(6)211(632n n n
n T -++-+-+-= ……8分，
)2
232221(6)1(332n n n
n n T ++++-+= ……9分，
设n n n R 223222132++++= ，则122
232212-++++=n n n
R ……11分，
两式相减得n n n n n n R 2
2
22212121211132+-=-+++++=- ……13分，
所以1
2)
2(312)1(36)1(3-++-+=-+=n n n n n n R n n T ……14分。

21解：⑴)()(/b a ax e x f x ++=……1分，
依题意，⎩⎨⎧==4)0(2)0(/f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=+⨯4
)0(2
)0(00b a a e b a e ……3分，
解得2==b a ……5分。

⑵记)12(2)1(2)24()()(+-+=+-+=x x e x b ax e x g x x ， 则4)2(2)(/-+=x e x g x ……6分，
当0=x 时，0)(/=x g ；当0>x 时，0)(/>x g ；当0<x 时，0)(/<x g ……8分，所以0)0()(=≥g x g ，等号当且仅当0=x 时成立，即24)(+≥x x f ，等号当且仅当0=x 时成立，曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点……9分。

⑶]1 , 2[--∈x 时，024<+x ，所以)24()(+≥x k x f 恒成立当且仅当
1
2)1(24)(++=+≥x x e x x f k x ……10分，
记12)1()(++=x x e x h x ，]1 , 2[--∈x ，2
2/
)
12()32()(++=x x x e x h x ……11分， 由0)(/=x h 得0=x （舍去），2
3
-=x ……12分
当232-<≤-x 时，0)(/>x h ；当12
3
-≤<-x 时，0)(/<x h ……13分，
所以12)1()(++=x x e x h x 在区间]1 , 2[--上的最大值为2
3
41)23(-=-e h ，常数k 的取值范围
为) , 4
1(2
3
∞+-e ……14分．。