物理光学11 第十一次课、拍频波和光波的分析

图2 波列
22
波群的分析利用傅立叶积分进行
傅立叶积分的定理
一个非周期函数f(z)(可看成空间周期λ趋于∞)可以用积分：
f ( z ) A(k ) exp(ikz)dk


(7)
来表示。其中：
A(k ) f ( z ) exp(ikz)dz


(8)
称为函数f(z)的傅立叶变换。 如果波群由非周期函数f(z)来表征，我们也可以对它利用(7) 式来进行傅立叶分析，分析的结果是，这类波包含无限多个振 特点： 幅不同的简谐分波，两个所谓‘相邻’的分波的频率相差无穷 1、分波的频率相差无穷小； 小，如果以频谱图解来表示，则将是一条振幅——空间角频率 的连续曲线，我们称之为连续频谱，所以波群可分析成无限多 2、连续频谱。 个振幅随空间频率分布(频谱)有(8)式所示形式的简谐分波，反之， 23 我们说波群能够由这些单色波合成。
~ ——表明，复杂波 A( x, y, z, ) 被分解为一系列空间频率为(fx、 ~ ~ fy、 fz)，振幅密度为 A( f x , f y , f z , ) 的简谐平面波的叠加。 26
对复杂波进行空间分解时有两点必须注意：
首先
A( x, y, z, )exp(i2 t )
视作时间域简谐波 看作常数 时间因子，可暂时不考虑
9 目前，各种类型的激光外差干涉仪广泛应用于精密测量长度和振动。
(三)、莫尔条纹
y
ξ2 =ξ1
x
α
ξ1
图3 (a)
ξ2 ξ1
ξ2-ξ1 |Δξ|=2ξ1sin(α/2) ξ2+ξ1 Δξ =ξ2-ξ1 (6) 图3 (b)
图3(c)
10
11
12
13
14
三)、群速度
群速度是研究复杂波在色散媒质中传播时产生的重要
7
二) 、拍频现象的应用
(一)、激光器率稳定性的检测和控制
待测激光器L2
发射的激光频率 有一点误差。
激光器L1 发射的激光频率 已知并很稳定 接收器R
分束器BS
测定拍频，调整L2的参数， 使其发光稳定。
图1 两束激光的拍频的测量
8
(二)、光学外差干涉法
光学外差干涉法的思想来源于(2)式和(3)式：
24
(一)、时间域分解
设A(x, y, z, t)表示一个复杂波在考察点(x, y, z)处的 振动函数，通过时间域的傅立叶变换，可以求出 ~ 该复杂振动的时间频谱 A( x, y, z, ) 。
即：
~ A( x, y, z, ) A( x, y, z, t ) exp(i 2t )dt
我们仍然可以进行特别地研究和分析。
16
2、载波与调制波的“位相速度”
0 k E 2 E10 cos( z t ) exp[i( kz t 0 )] 2 2 2
载波
(2)
定义：载波零位相点(或位相值为其它数值的点)的传播速度就
是载波的位相速度；
调制波
2 I 2E10[1 cos(kz t 0 )]
g
k
(8)
——称为拍频波的群速度 关于群速度的说明 1、群速度是指某个光强值在空间的传播速度，因此它表示拍频 波能量的传播速度。 如果能测出调制波的波长和 ，便可以得到 g 。 2、当 很小时，(8)式可以写成： g
d dk
(9)
18
二、周期性光波的分析
根据前面的讨论，我们知道，行波、驻波、拍频波、椭 圆偏振波等都是由简单的简谐平面波叠加而成的，它们相 对来说是复杂的，所以我们说简单的简谐平面光波可以叠 加形成复杂的光波。 这使我们想到，一个复杂的光波能够被分解成一系列 的简单的简谐平面光波，只是其中的某些光波的权重大些， 其它光波的权重相对小些或者为零，于是就出现光波分析 的问题。 实际中存在的光波都是复杂的，如何将复杂波分解成 简单平面波的叠加就是光波分析的任务。
5
拍频的形成
原波形
合成波形
6
拍频现象的价值
它把高频信号中的频率信息和位相信息转移到差频信 号之中，使它们由难以测量变得容易测量。
时间拍频和空间拍频
按照上述定义，拍频现象是指产生时间差频的现象。 但是我们在第五次课学习了空间频率这个概念后，拍频 的定义可以从时间域推广到空间域，即拍频现象也可以 是指产生空间差频的现象。 ——空间拍频 例如：当两块尼龙纱互相重叠时，便能看到一些比织物经 纬线结构稀疏得多的明暗花纹。 这种花纹的“空间频率”等于两层纱各自空间频率之差。 通常称这些花纹为“莫尔条纹”或“云纹”。 这种产生云纹的现象便是一种空间拍频现象。
21
三、波群的分析

波群
所谓波群，其振动只是在一定范围内存在，在此范围之外即 变为零。
所以这类波不是无限次地重复它的振动波形，因而不具有周 期性。
实际中的原子所发射的光波即为波群。
发光原子一次辐射发出的光波动可以用如图2所示的波列来近似 描述，原子发光可看作是一段段有限长的波列的相继发射，所以 实际普通光源发出的光波不是理想单色波。
E E1 E2 2 E10 cos(
k k2 k1 2 1


2 1
2
(2)
k z t 0 ) exp[i ( kz t 0 )] 2 2 2
2 1

k
k2 k1 2


2 1
(2)
(3)
若2 1， 无线电波范围
在这种情况下，可以用仪器直接测量出调制波的振动。 实际上仪器所测量的是在某个时间间隔τ内的平均能流密度I。 只要
2 2
接收器的输出信号的时间圆频率就等于两分量光波的圆频率之 差，这样的频率称为拍频。 这种由两个交变物理量产生一个差频物理量的现象称为“拍频 现象”。
n
(3-8)
简谐波
表明：周期函数f(x)可以分解为一系列频率为fn，复振幅为cn的
简谐波。
傅立叶系数cn：
1 cn 2T0
2nx T0 / 2 f ( x) exp(i T0 )dx (3-9)
T0 / 2
空间周期
T0 2 2 k 空间角频率 T0
周期性复杂波的频谱通常是离散频谱。
四、光波的傅立叶分析



1、实际光源发出的光波是复杂的，其时间参量里包含各种时间 频率，其空间分布上很复杂，其等相面具有复杂的形状。 2、研究复杂光波的有效方法是将它分解为一系列简谐平面波的 线性组合，分析各个简谐平面波成分传播规律，最后综合出复 杂光波的传播规律。 3、凡是符合傅立叶变换存在条件的一切复杂波，都可以用傅立 叶变换作为分解的手段。 4、对复杂波分解的方法步骤是： 首先，将空间各考察点处的振动分解为各种时间频的简谐振动 的线性组合，即时间域分解； 然后，将每个简谐波分解为一系列不同空间频率的平面波的线 性组合，即空间域分解。 最后，将复杂波表示为一系列简谐平面波的线性组合。
0 k E 2 E10 cos( z t ) exp[i( kz t 0 )] 2 2 2 2 I 2E10[1 cos(kz t 0 )]
ω2 A ω2 ω1
(2) (3)
R1
B
BS d
R2 图2 光学外差测量示意图
ω1
光学外差技术既能发挥高频波的优势(例如采集被测量的精度)，又有 利于用对低频波的检测技术。
2
3
E 2 E10 cos(
0 k z t ) exp[i( kz t 0 )] 2 2 2
(2)
这个合成波的振幅项不仅仅是空间z的函数； 而且还是时间t的函数，
所以驻波的特性不再存在。
是一个振幅受调制的行波。 借用无线电的术语，
被称为“调制波”；其角频率为 2
第十一次课、拍频波和光波的分析
内容
一、不同频率的两个单色波叠加——拍频波 二、周期性光波的分析 三、波群的分析 四、光波的傅立叶分析
1
一、不同频率的两个平面单色波的叠加
一)、拍频现象 二)、拍频现象的应用 三)、群速度

2
一) 、拍频现象
为简单起见，只考虑一维情况。 假设下述两个振幅相同的沿着z轴方向传播的简谐波： E1=E10exp[i(k1z-ω1t+φ10)] E2=E10exp[i(k2z-ω2t+φ20)] 叠加后合成波波函数为： (1a) (1b)
( f , f , f , ) A x y z A( x, y, z, ) exp[i2 ( f x x f y y f z z)]dxdydz
(11)
( x, y, z, ) A A( f x , f y , f z , ) exp[i 2 ( f x x f y y f z z )]df x df y df z (12)
(2)
(2)式所表示的波是由两个不同时间频率的简谐平面光波叠加而成的，
是一种复杂波。 考虑实际情况，显然它是较为简单的一维复杂波。鉴于拍频的实际 价值和为方便起见，可以称(2)所表示的波为“拍频波”。 因为是个复杂波，所以一般意义上的速度概念不再适用于拍频波。 这只是总的原则。 而，对于拍频波上某些特殊位置的传播速度，例如，电场强度为零 的位置的传播速度，或者某确定光强值位置的传播速度，对于这些，
(9)
于是，按照傅立叶变换，复杂波可以表示为：
A( x, y, z, t )

~ A( x, y, z, ) exp(i 2t )d
(10)
——表明，复杂波A(x, y, z, t)可以分解为一系列频
~ 率为ν，振幅密度为 A( x, y, z, ) 的简谐波的叠加。
25
(二)、空间域的分解
其次
f x2 f y2 f z2
2
(13)
——三个空间频率分量(fx, fy, fz)并不独立，它们和 时间频率之间满足约束关系。 ~ ~ ~ 这样计算 A( x, y, z, ) 的空间频谱 A( f x , f y , f z , ) 时只需进行二维 的傅立叶变换。 如果已知复杂波在(x, y)平面上的振幅分布 A( x, y, ) 时，只需求
(3)
定义：调制波光强为确定数值的点的传播速度就是调制波的
“位相速度”。 ——与定义‘载波的位相速度’ 的道理相同
17
3、求法、群速度和相速度的定义
dz 第五次课曾经讲过求位相速度的公式： dt d 0 载波位相速度： (7)
k
——称为拍频波的位相速度(相速度)
调制波位相速度
A( x, y, z, t )

~ A( x, y, z, ) exp(i 2t )d
(10)
A( x, y, z, )exp(i2 t ) ——看作简谐波之一
但在空间考察，每个简谐波的等相面形状仍然很复杂。 对此可以对每个简谐波作空间域的傅立叶分解，将其分解为一 系列不同空间频率的简谐平面波的线性叠加。 ~ ~ ~ 设简谐波复振幅 A( x, y, z, ) 的空间频谱为 A( f x , f y , f z , )
19

周期性光波
就是在接连着的相等的时间和空间内的振动能够完全重复一次的光 波。
图1一种典型的周期性光波
周期性光波的分析可以应用数学上的傅立叶级数定理进行。 相关内容在第三次课讲过。
20
周期为T0的函数 f(x) 的傅立叶级数可以用复数形式表示为：
2nx f ( x) cn exp(i ) T0 n
复指数项叫做“载波”，其角频率为


2 1
2
4
拍频
E 2 E10 cos(
I EE *
0 k z t ) exp[i( kz t 0 )] 2 2 2
2] 2 1
概念。
为了突出复杂波的时间频率组成特点，前面的讨论都假定 各简谐平面分量光波都沿同一方向传播，这样可以当作一 维波问题处理。
由此得到的结论与方法不难扩展到更加复杂的三维维复杂 波的情况。
1、拍频波的复杂性
2、载波与调制波的“位相速度”定义
3、相速和群速的求法
15
1、拍频波
0 k E 2 E10 cos( z t ) exp[i( kz t 0 )] 2 2 2