(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题
1．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．在二次函数2y ax bx c =++中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表 则m 的值为（ ）． x -2 -1 0 1 2 3 4 y
7
2
-1
-2
m
2
7
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2 3．对称轴为y 轴的二次函数是（ ）
A ．y=(x+1)2
B ．y=2(x-1)2
C ．y=2x 2+1
D ．y=-(x-1)2
4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；②320b c +<；③()m am b b a ++≤；④22()a c b +<；其中正确结论的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．二次函数2y x bx c =++的图象经过坐标原点O 和点()7,0A ，直线AB 交y 轴于点
()0,7B -，动点(),C x y 在直线AB 上，且17x <<，过点C 作x 轴的垂线交抛物线于点
D ，则CD 的最值情况是（ ） A ．有最小值9
B ．有最大值9
C ．有最小值8
D ．有最大值8
6．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ） A ．2y x
=
B ．22y x =+
C ． 1y x =-+
D ．22 y x =--
8．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ） A ．35元
B ．36元
C ．37元
D ．36或37元
9．已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，正确的个数是（ ）
①对称轴是直线1x =；②当0x <时，函数值y 随x 的增大而增大；③方程
20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =；④当1x <-或3x >时，20ax bx c ++<．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线1
2
x =
．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③1
2
a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．对于抛物线22()1y x =-+，下列说法错误的是（ ） A ．抛物线的开口向上 B ．抛物线与x 轴有两个交点 C ．抛物线的对称轴是2x =
D ．抛物线的顶点坐标是(2,1)
12．如图1，在等腰直角BAC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为AB 的中点，点
M 为BC 边上一动点，作45PMN ∠=︒，射线MN 交AC 边于点N ．设BM x =，CN y =，y 与x 的函数图象如图2，其顶点为(),m n ，则m n +的值为（ ）
A ．4
B ．
33
C ．222+
D ．25+
二、填空题
13．如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，则c 的值等于_________． 14．如图，在平面直角坐标中，对抛物线222y x x =-+在x 轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A 是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A 点的坐标是_________．
15．如图，已知在边长为6的正方形FCDE 中，A 为EF 的中点，点B 在边FC 上，且
2BF =，连接AB ，P 是AB 上的一动点，过点P 作PM DE ⊥，PN DC ⊥，垂足分别为M ，N ，则矩形PNDM 面积的最大值是______．
16．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，
3y 的大小关系为________．
17．如图，正方形ABCD 中，AD =4,AE =3DE ,点P 在AB 上运动（不与A 、B 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CB 于点Q ，则BQ 的最大值是______．
18．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
2ax bx c ++0(0)a =≠的根为___________．
19．已知关于x 的函数22
22y x x a a =---的图象与x 轴只有两个公共点，则a 的取值范围是_____．
20．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，高度为
5m ，水柱落地处离池中心距离为6m ，则水管的长度OA 是________m ．
三、解答题
21．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中A （﹣2，0），B （4，0）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）根据图象，直接写出y ＞0时，x 的取值范围；
（3）若要使抛物线与x 轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？
22．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式，并求出对称轴及顶点坐标；
（2）若与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．在该抛物线上找一点D，使得△ABC 与△ABD全等，求出D点的坐标．
23．某旅馆有客房120间，经市场调查发现，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出租的房间数不少于90间．（1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金定为多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？
24．天气寒冷，某百货商场准备销售一种围巾，围巾的进货价格为每条50元，并且每条的售价不低于进货价，经过市场调查，每月的销售量y（条）与每条的售价x（元）之间满足人体所示的函数关系．
（1）求每月销售y（条）与售价x（元）的函数关系式；
（2）物价部门规定，该围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，设这种围巾每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
25．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）；
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标；
（3）求∠ACB的正切值．
26．某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解． 【详解】 解：
2(0)y ax bx a =+≠，0c
，
∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误；
A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴b
x 02a
=-
>， 所以，0b <，
一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交， 所以，0b <，符合，故本选项正确；
D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
根据二次函数的性质，结合题意，将0x =、1y =-代入到2
y ax bx c =++，得c 的值；
将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到2
1y ax bx =+-，通过求解二元一次方程，即
可得到a 、b 的值，从而得到二次函数解析式，经计算即可得到答案． 【详解】
根据题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得1c =- ∴21y ax bx =+-
将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到2
1y ax bx =+-，得12
12a b a b --=⎧⎨
+-=-⎩
∴1a =，2b =- ∴
221y x x =--
当2x =时，222211m =-⨯-=- 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
3．C
解析：C 【分析】
由已知可知对称轴为x ＝0，从而确定函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，由选项入手即可． 【详解】
解：二次函数的对称轴为y 轴， 则函数对称轴为x ＝0，
即函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0， 故选：C ． 【点睛】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．D
解析：D 【分析】
利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 【详解】
解：∵抛物线开口向下，所以a<0，与y 轴交于正半轴，所以c ＞0， ∴ac<0，∵b²≥0，
∴20ac b -<，∴①正确； ∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c ＜0， ∴2a+2b+2c ＜0，
∵-2b
a -
=-1， ∴b=2a ，
∴3b+2c ＜0，∴②正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=-1， ∴y=a-b+c 的值最大，
即把x=m 代入得：y=am 2+bm+c≤a -b+c ， ∴am 2+bm+b≤a ，
即m （am+b ）+b≤a ，∴③正确； ∵a+b+c ＜0，a-b+c ＞0， ∴（a+c+b ）（a+c-b ）＜0， 则（a+c ）2-b 2＜0， 即（a+c ）2＜b 2，故④正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．
5．B
解析：B 【分析】
根据待定系数法求得抛物线的解析式和AB 的解析式，设(,7)C x x -，则2(,7)D x x x -，根据图象的位置即可得出2(4)9CD x =--+，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】 解：
二次函数2
y x bx c =++的图象经过坐标原点O 和点(7,0)A ，
∴04970c b c =⎧⎨++=⎩，解得70b c =-⎧⎨=⎩
，
∴二次函数为27y x x =-，
(7,0)A ，(0,7)B -， ∴直线AB 为：7y x =-，
令277x x x -=-， 解得：11x =，27x =，
∴点E 的横坐标为1，则点C 始终在点D 上方， 设(,7)C x x -，则2(,7)D x x x -，
2227(7)87(4)9CD x x x x x x ∴=---=-+-=--+， 17x ∴<<范围内，有最大值9，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，表示出CD的关系式是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
把P点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可．
【详解】
解：甲：当n＝﹣1时，m（﹣m+2）＝﹣1，
整理得：m2﹣2m﹣1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
即此时点P的个数为2，故甲的说法正确；
乙：当n＝0时，m（﹣m+2）＝0，
解得：m＝0或2，
即此时点P的个数为2，故乙的说法错误；
丙：当n＝1时，m（﹣m+2）＝1，
整理得：m2﹣2m+1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
方程有两个相等的实数根，
即此时点P的个数为1，故丙的说法正确；
丁：当n＝2时，m（﹣m+2）＝2，
整理得：m2﹣2m+2＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
方程没有实数根，
即此时点P的个数为0，故丁的说法正确；
所以正确的个数是3个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
解析：B
【分析】
根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【详解】
解：A 、2y x
=
，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意； B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；
C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；
D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．
【详解】
解：依题意得：
y=（30-20+x ）（240-10x ）
y=-10x 2+140x+2400．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
∴求y 与x 的函数关系式为：y=-10x 2+140x+2400，x 的取值范围为0≤x≤10；
∴y=-10（x-7）2+2890．
∴a=-10＜0．
∴当x=7时，y 最大=2890．
∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．
∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元． 故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
解析：D
【分析】
利用拋物线的顶点的横坐标为1可对①进行判断；根据二次函数的性质对②进行判断；利用对称性得到拋物线与x 轴的另一个交点坐标为（3、0），则可对③进行判断；观察函数图象，当抛物线在x 轴下方时，得出其x 的取值范围,则可对④进行判断.
【详解】
根据函数图像可知，抛物线的对称轴为直线1x =，故①的说法正确；
当1x <时，函数y 随x 的增大而增大，故②的说法正确；
点（1-、0）关于1x =的对称点为（3、0），则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3、0），所以方程20ax bx c ++=的解为121,3x x =-=，故③说法正确； 由函数图像可知，当1x <-或3x >时，抛物线在x 的下方，即20ax bx c ++<，所以④的说法正确
综上所述①②③④的说法都正确
故选：D ．
【点睛】
本题考查了拋物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标.也考查了二次函数的性质． 10．C
解析：C
【分析】
由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．
【详解】
解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12
x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为
12212
⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，
∴抛物线的开口方向向下，即0a <，
根据“左同右异”可得0b >，
∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确； 根据根与系数的关系可得122c x x a
==-，
∴21c a =->， 解得12
a <-
，故③正确； ∴正确的个数有2个；
故选C ．
【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 11．B
解析：B
【分析】
根据抛物线的性质逐条判断即可．
【详解】
解：抛物线2
2()1y x =-+是二次函数的顶点式，
由此可知，抛物线开口向上，对称轴是2x =，顶点坐标是(2,1)，故A 、C 、D 正确，不符合题意；
∵抛物线顶点在第一象限，开口向上，
∴抛物线与x 轴没有交点，故B 错误，符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟知抛物线顶点式的意义，根据顶点位置和开口确定与x 轴是否有交点． 12．C
解析：C
【分析】
首先由函数图象可直接得出4BC =，然后当M 运动至BC 中点时，y 的值最大，此时即为AC 的长，从而在等腰直角三角形中分别计算即可．
【详解】
根据函数图象知，当4x =时，0y =，即：4BC =，
当M 运动至BC 中点时，y 的值最大，此时y 的值即为AC 的长，
∵△ABC 为等腰直角三角形，M 为BC 的中点，
∴△AMC 为等腰直角三角形，且122AM MC BC ==
=， ∴
AC ==，
即：函数图象中，2，m n ==， ∴
2m n +=+
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用之动态几何问题，理解二次函数的基本性质以及等腰直角三角形的性质是解题关键．
二、填空题
13．7或15【分析】根据题意可知抛物线顶点纵坐标是±4化成顶点式求解即可
【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4∴抛物线顶点纵坐标是±4抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：
解析：7或15．
【分析】
根据题意可知，抛物线顶点纵坐标是±4，化成顶点式求解即可．
【详解】
解：∵抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，
∴抛物线顶点纵坐标是±4，
抛物线y=x 2-6x+c-2化成顶点式为：y=(x-3)2+c-11，
c-11=4，c=15，
c-11=-4，c=7，
故答案为：7或15．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是理解到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，注意：分类讨论．
14．【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环用2020除以3然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限然后解答即可【详解】解：∵∴抛物线的顶点坐标为点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限第 解析：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】
观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环，用2020除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．
【详解】
解：∵2221
122=2()2()22
y x x x x x =-+--=--+
∴抛物线2
22
y x x
=-+的顶点坐标为
11
, 22⎛⎫
⎪
⎝⎭
点A第一次关于x轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，
∵20203=6731
÷
∴经过第2020次变换后所得的A点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为
11
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
故答案为：
11
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
15．24【分析】以FE为x轴以FC为y轴先建立平面直角坐标系求出AB的解析式为设P（a）用含a的式子表示出PMPN根据矩形面积公式列式根据二次函数的性质即可求解【详解】解：以FE为x轴以FC为y轴建立平
解析：24
【分析】
以FE为x轴，以FC为y轴，先建立平面直角坐标系，求出A B的解析式为
2
2
3
AB
y x
=--，设P（a，
2
2
3
a
--），用含a的式子表示出PM，PN，根据矩形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：以FE为x轴，以FC为y轴，建立平面直角坐标系，
∵边长为6的正方形FCDE中，A为EF的中点，2
BF=，
∴A（-3，0），B（0，-2），C（0，-6），E（-6，0），
设A B的解析式为AB
y kx b
=+，则
03
2
k b
b
=-+
⎧
⎨
=-
⎩
，解得
2
3
2
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴223
AB y x =--（30x -≤≤）， 设P （a ，223a --）（30a -≤≤），则PM=6+a ，PN=()2226433
a a ----=-， ∴()2PNDM 22=642433S a a a ⎛
⎫+-
=-+ ⎪⎝⎭矩形， ∴当a =0时，矩形PNDM 面积的最大值是24．
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用问题，用待定系数法求一次函数的解析式，矩形的面积，正方形的性质等知识点，能灵活运用知识点是解此题的关键．
16．【分析】由于y1y2y3是抛物线上三个点的纵坐标所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴再由对称性得A 点关于对称轴的对称点A 的坐标再根据抛物线开口向下在对称轴右边y 随x 的增大而减小便
解析：231y y y >>
【分析】
由于y 1，y 2，y 3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A 点关于对称轴的对称点A'的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y 随x 的增大而减小，便可得出y 1，y 2，y 3的大小关系．
【详解】
解：∵抛物线y=-（x+1）2+k ，
∴对称轴为x=-1，
∵A （-2，y 1），
∴A 点关于x=-1的对称点A'（0，y 1），
∵a=-1＜0，
∴在x=-1的右边y 随x 的增大而减小，
∵A'（0，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3），0＜1＜2，
∴y 1＞y 2＞y 3，
故答案为：231y y y >>．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，难度不大，关键是熟记二次函数的性质：a ＞0时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴右边，y 随x 的增大而增大；a ＜0时，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴右边，y 随x 的增大而减小．
17．【分析】先由正方形的性质及PQ ⊥EP 得出∠AEP=∠BPQ ∠A=∠B=90°从而可判定△APE ∽△BQP 根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据
AD=4AE=3DE 得出AE 和DE 的长然后设BQ=yA
解析：43
【分析】
先由正方形的性质及PQ ⊥EP ，得出∠AEP=∠BPQ ，∠A=∠B=90°，从而可判定
△APE ∽△BQP ，根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4，AE=3DE ，得出AE 和DE 的长，然后设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ，将相关数据代入比例等式，变形得出y 关于x 的二次函数，配方，即可得出答案.
【详解】
解：在正方形ABCD 中，∠A=∠B=90°，
且PQ ⊥EP
∴∠AEP+∠APE=90°， ∠QPB+∠APE=90°
∴∠AEP=∠BPQ
又∠A=∠B=90°
∴△APE ∽△BQP ∴AE AP BP BQ
=， 又AD=4，AE=3DE ，
∴AE=
334
AD =，DE=4-3=1， 设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ， ∴34x x y
=- 化简得：21433y x x =-
+， 整理得：()214233
y x =--+， ∴当x=2时，y 有最大值为
43，即BQ 的最大值是43， 故答案为：
43
． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.
18．x1=-1x2=3【分析】关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标【详解】解：根据图象知抛物线y=ax2+bx+c （
解析：x 1=-1，x 2=3
【分析】
关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x
轴的交点的横坐标．
【详解】
解：根据图象知，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点是(-1，0)，对称轴是x=1． 设该抛物线与x 轴的另一个交点是(x ，0)，则
12
x -=1， 解得，x=3，
即该抛物线与x 轴的另一个交点是(3，0)，
所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根为x 1=-1，x 2=3．
故答案是：x 1=-1，x 2=3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题时，注意抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）间的转换． 19．或或【分析】由可得：或然后分两种情况进行求解即可；【详解】由可得：或当即时符合题意；当与异号即或时符合题意故答案为：或或【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题主要考查函数图象上点的坐标特征要求 解析：2a <-或0a >或1a =-
【分析】 由22
220x x a a ---=可得：x a =-或2a +，然后分两种情况进行求解即可；
【详解】 由22220x x a a ---=可得：x a =-或2a +，
当2a a -=+，即1a =-时，符合题意；
当a -与2a +异号，即2a <-或0a >时，符合题意，
故答案为：2a <-或0a >或1a =-．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法． 20．【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 将（25）与（60）代入解析式求得a 的值再令x=0求得y 的值即可得出答案【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 由题意可知抛物线的顶点为（25 解析：154
【分析】
设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a 的值，再令x=0，求得y 的值，即可得出答案．
【详解】
解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x 轴的一个交点为（6，0），
∴0=a （6-2）2+5，解得：516a
， ∴抛物线解析式为：25(2)516y x =-
-+ 当x=0时，2515(02)5164
y ==--+ ∴水管的长度OA 是
154m ． 故答案为：
154
． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
三、解答题
21．（1）y ＝﹣x 2+2x +8；（2）当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）把抛物线y ＝﹣x 2+2x +8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．
【分析】
（1）把A 点和B 点坐标分别代入y=-x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可；
（2）根据函数图象直接得到答案；
（3）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题；
【详解】
解：（1）把A(﹣2，0)，B(4，0)代入y ＝﹣x 2+bx+c ，得
4201640
b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ ， 解得28
b c =⎧⎨=⎩ ， 抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+8；
（2）∵A(﹣2，0)，B(4，0)
∴由图象知，当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；
（3）∵y ＝﹣x 2+2x+8＝﹣（x ﹣1）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为(1，9)，
∴把抛物线y ＝﹣x 2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，待定系数法确定函数关系式等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用；
22．（1）y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为：x＝1，顶点（1，－4）；（2）D（2，﹣3）
【分析】
（1）把（1，﹣4）和（﹣2，5）代入，解方程即可；根据解析式可求对称轴和顶点坐标；（2）根据对称性确定D点位置，求出坐标．
【详解】
解：（1）由题意，得
14 425
b c
b c
++=-
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得，
2
3 b
c
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
所以，该抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为：
2
1
21
x
-
=-=
⨯
，
把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3得，y=-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
（2）根据轴对称的性质，点C关于x＝1的对称点D即为所求，此时，AC＝BD，BC＝AD，
在△ABC和△BAD中，
∵
AB BA AC BD BC AD
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，
则C（0，﹣3），根据C点、D点关于x＝1对称，则D点坐标为（2，-3）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，根据二次函数的对称性解决问题．
23．（1）32165
y x =-+，160210x ≤≤；（2）每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元
【分析】
（1）首先假设出一次函数解析式，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数，再利用配方法求出二次函数的最值即可．
【详解】
解：(1)设客房每天的出租数量y （间)与每间房的日租金x （元)之间的函数关系式(0)y kx b k =+≠．
把(160,120)，(170,114)代入得160120170114
k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得35216
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴ 3
2165
y x =-+， 由题意得：321690532161205
x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ ∴160210x ≤≤
∴自变量x 的取值范围是160210x ≤≤
（2）由题意得：
()2332161801944055W y x x x x ⎛⎫=⋅=-+⋅=--+ ⎪⎝⎭
∵305
-＜，160210x ≤≤ ∴当180x =时，19440w =最大．
答：每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，得出客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数是解题关键． 24．（1）y 101200x =-+（x≥50）；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．
【分析】
（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50），利用待定系数法将（60,600），（80,400）代入即得解得解析式；
（2）根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最大利润即可，注意考虑自变量的范围，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%．
【详解】
解：（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50）．
由函数图像可知（60,600），（80,400）在函数图像上，代入即得：
6006040080k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得：101200k b =-⎧⎨=⎩
． 所以，每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式：y 101200x =-+（x≥50）． （2）由题意得：()()=10120050w x x -+-
化简得：2=10170060000w x x -+-
由函数解析式可知对称轴是x=85时，x≤85时，w 随x 的增加而增大．
因为，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，那么 x≤50×（1+30%），即x≤65. 所以，当x=65时，w 取到最大值：2=106517006560000=8250w -⨯+⨯-． 所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（1）y=-x 2-2x+3；（2）点P 的坐标为（2，-5）或（-4，-5）；（3）∠ACB 的正切值为2．
【分析】
（1）设抛物线解析式()()31y a x x =+-，由抛物线与y 轴交于点C （0，3），-3=3,a a =-1即可；
（2）设P 点的纵坐标为h ，由S △PAB ＝10，可得5h =，当h=5时，点P 为抛物线一点，2+220x x +=，=4-80∆<无解，当h=-5时， 2+280x x -=，=4+32=360∆>，解方程可求点P 的坐标为（2，-5）或（-4，-5）；
（3）过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △BOC 中OB=1，OC=3，由勾股定理BC=10，AC=32，利用面积S △ABC =11AB OC=AC BD 22
⋅⋅即1143=32BD 22⨯⨯⨯，可求BD=22，由勾股定理22DC=BC BD =2-由正切定义tan ∠ACB=BD =
CD 计算即可． 【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴相交于点A （﹣3，0）、点B （1，0），
设抛物线解析式为()()31y a x x =+-，
∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），
∴-3=3,a a =-1，
∴y=-x 2-2x+3；
（2）设P 点的纵坐标为h ，
∵AB=1+3=4, S △PAB ＝10，
∵ABP 1S =AB 2102
h h ∆⋅==， ∴5h =，
当h=5时，点P 为抛物线一点，
∴2235x x --+=，
∴2+220x x +=，=4-80∆<无解，
当h=-5时，
∴2235x x --+=-，
∵2+280x x -=，=4+32=360∆>，
∴()()240x x -+=，
∴122,4x x ==-，
∴点P 的坐标为（2，-5）或（-4，-5）；
（3）过B 作BD ⊥AC 于D ，
在Rt △BOC 中OB=1，OC=3，
∴
在Rt △AOC 中，AO=3，
∴
∵S △ABC =11AB OC=AC BD 22
⋅⋅
即1143=22⨯⨯⨯，
∴
在Rt △BDC
中，由勾股定理
∴由正切定义tan ∠
ACB=BD =
CD ， ∴∠ACB 的正切值为2．
【点睛】
本题考查抛物线的解析式，三角形面积求法，三角函数等知识，掌握抛物线的解析式，三角形面积求法，三角函数等知识是解题关键．
26．（1）2180y x =-+；（2）60元或80元；（3）70元，最大利润800元
【分析】
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】
解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b （k≠0），将表中数据（55，70）、（70，40）代入得： 55707040k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：2180k b -⎧⎨⎩
＝＝． ∴y 与x 之间的函数表达式为y=-2x+180．
（2）由题意得：（x-50）（-2x+180）=600，
整理得：x 2-140x+4800=0，
解得x 1=60，x 2=80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w 元，则：
w=（x-50）（-2x+180）
=-2（x-70）2+800，
∵-2＜0，
∴当x=70时，w 最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．。