2023届安徽省宣城市宣州区水阳中学九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴有两个不同的交点A B 、，其横坐标分别为12,,x x 若120,x x <<且12,x x >则（ ）
A ．0,0b c >>
B ．0,0b c ><
C ．0,0b c <>
D ．0,0b c <<
2．△ABC 中，∠C=Rt ∠，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点E 、D ，则AE 的长为( )
A ．95
B ．125
C ．185
D ．365
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A ．所有的菱形都相似
B ．所有的正方形都相似
C ．所有的等边三角形都相似
D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x ﹣1的是（ ）
A ．x 2﹣1
B ．x 2+2x+1
C ．x 2﹣2x+1
D ．x （x ﹣2）﹣（x ﹣2） 5．将抛物线22y x =-通过一次平移可得到抛物线2(3)2y x =--．对这一平移过程描述正确的是（ ）
A ．沿x 轴向右平移3个单位长度
B ．沿x 轴向左平移3个单位长度
C ．沿y 轴向上平移3个单位长度
D ．沿y 轴向下平移3个单位长度
6．如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，1S ，2S ．若S=3，则12S S +的值为（ ）
A ．24
B ．12
C ．6
D ．3
7．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，连接AD ，若∠BAC ＝26°，则∠ADE 的度数为（ ）
A ．13°
B ．19°
C ．26°
D ．29°
8．一元二次方程23262x x =-的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个实数根
D ．无实数根 9．函数1k y x
=和2y kx k =-在同一坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
10．如图是二次函数2
y ax bx c =++的部分图象，则240ax bx c +++=的解的情况为（ ）
A ．有唯一解
B ．有两个解
C ．无解
D ．无法确定
11．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若2tan 5
BAC ∠=
，则此斜坡的水平距离AC 为（ ）
A ．75m
B ．50m
C ．30m
D ．12m
12．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学著作，标志着中国古代数学形成了完整的体系.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出了圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道1PQ =尺（1尺=10寸），则该圆材的直径长为（ ）
A ．26寸
B ．25寸
C ．13寸
D ．1012
寸 二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，⊙O 的半径为2，AB 是⊙O 的切线，A ．为切点．若半径OC ∥AB ，则阴影部分的面积为________．
14．在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是_____．
15．如图，四边形ABCD 是正方形，若对角线BD ＝4，则BC ＝_____．
16．如图，在▱ABCD 中，AB ＝6，BC ＝63，∠D ＝30°，点E 是AB 边的中点，点F 是BC 边上一动点，将△BEF 移沿直线EF 折叠，得到△GEF ，当FG ∥AC 时，BF 的长为_____．
17．如图，OAB ∆中，90∠=︒ABO ，点A 位于第一象限，点O 为坐标原点，点B 在x 轴正半轴上，若双曲线k y x
=()0x >与OAB ∆的边AO 、AB 分别交于点C 、D ，点C 为AO 的中点，连接OD 、CD .若3OBD S ∆=，则OCD S ∆
为_______________.
18．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每天能售出400双．经市场调查发现：每降价10元，则每天可多售出50双．设每双降价x元，每天总获利y元．
（1）如果降价40元，每天总获利多少元呢？
（2）每双售价为多少元时，每天的总获利最大？最大获利是多少？
20．（8分）如图，反比例函数
k
y
x
=的图象与一次函数1
y x
=+的图象相交于点()
2,3
A和点B.
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）连接OA，OB，求AOB
∆的面积.
（3）结合图象，请直接写出使反比例函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围.
21．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．
22．（10分）计算：（1）()2
013tan 6032π-⎛⎫+︒-- ⎪⎝⎭； （2）解方程：2320x x -+=.
23．（10分）如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知ABC ∆的面积是6．
（1）求a 的值；
（2）在ABC ∆内是否存在一点M ，使得点M 到点A 、点B 和点C 的距离相等，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，P 是抛物线上一点，Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标．
24．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +4k ﹣3＝0，
（1）求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt △ABC 的斜边a 31b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求k 的值．
25．（12分）计算：2212cos 60sin 45--︒-︒+()0
2019tan 30-︒ 26．如图，矩形ABCD 中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为E ，F ．
（1）当PE ⊥AB ，PF ⊥BC 时，如图1，则PE PF
的值为 ； （2）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求PE PF
的值； （3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP ：PC=1：2时，如图3，
PE PF 的值是否变化？证明你的结论．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】首先根据二次函数开口向下与x 轴有两个不同的交点A B 、，得出0c ＞，然后再由对称轴即可判定0b ＜.
【详解】由已知，得二次函数开口向下，与x 轴有两个不同的交点A B 、，
∴0c ＞
∵120,x x <<且12,x x >
∴其对称轴()
0221b b a -
⨯-=-＜ ∴0b ＜
故答案为C .
【点睛】
此题主要考查二次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=22
34
=1．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC=1
2
AC•BC=
1
2
AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=1，
∴CM=12
5
，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（12
5
）2，
解得：AM=9
5
，
∴AE=2AM=18
5
．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3、A
【分析】根据相似多边形的定义，即可得到答案.
【详解】解：A、所有的菱形都相似，错误；
B、所有的正方形都相似，正确；
C、所有的等边三角形都相似，正确；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，正确；
故选：A.
【点睛】
本题考查了相似多边形的定义，熟练掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例是解题的关键.
【分析】原式各项分解后，即可做出判断．
【详解】A 、原式=（x+1）（x-1），含因式x-1，不合题意；
B 、原式=（x+1）2，不含因式x-1，符合题意；
C 、原式=（x-1）2，含因式x-1，不合题意；
D 、原式=（x-2）（x-1），含因式x-1，不合题意，
故选：B ．
【点睛】
此题考查因式分解-运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5、A
【分析】分别确定出两个抛物线的顶点坐标，再根据左减右加，确定平移方向即可得解．
【详解】解：抛物线2
2y x =-的顶点坐标为（0，−2），
抛物线2(3)2y x =--的顶点坐标为（3，-2），
所以，向右平移3个单位，可以由抛物线22y x =-平移得到抛物线2(3)2y x =--． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移规律左减右加，上加下减解答是解题的关键．
6、B
【详解】过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，
∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，
∴△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，
∴S △PDC =S △CQP ，S △ABP =S △QPB ，
∵EF 为△PCB 的中位线，
∴EF ∥BC ，EF=12
BC ， ∴△PEF ∽△PBC ，且相似比为1：2，
∴S △PEF ：S △PBC =1：4，S △PEF =3，
∴S △PBC =S △CQP +S △QPB =S △PDC +S △ABP =12S S +=1．
故选B ．
7、B
【分析】根据旋转的性质可得AC ＝CD ，∠CDE ＝∠BAC ，再判断出△ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CDA ＝45°，根据∠ADE ＝∠CDA ﹣∠CDE ，即可求解.
【详解】∵Rt △ABC 绕其直角顶点C 按顺时针方向旋转90°后得到Rt △DEC ，
∴AC ＝CD ，∠CDE ＝∠BAC ＝26°，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴∠CDA ＝45°，
∴∠ADE ＝∠CDA ﹣∠CDE ＝45°﹣26°＝19°．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键, 8、B
【分析】把一元二次方程转换成一般式：20ax bx c ++=（0a ≠），再根据求根公式：2=4∆-b ac ，将相应的数字代入计算即可． 【详解】解：由题得：232620x x -+=
(2=64320∆--⨯⨯=
∴一元二次方程有两个相等的实数根
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的一般式和求根公式，掌握一般式和求根公式是解题的关键．
9、D
【解析】试题分析：当k ＜0时，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限；当k ＞0时，反比例函数过
一、三象限，一次函数过一、三、四象限．故选D ．
考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象．
10、C
【分析】根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3，把方程转化为2-4ax bx c ++=，利用数形结合求解即可.
【详解】根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3,
把240ax bx c +++=转化为2-4ax bx c ++=
抛物线开口向下有最小值为-3
∴（-3）>(-4)即方程2-4ax bx c ++=与抛物线2y ax bx c =++没有交点.
即方程240ax bx c +++=无解.
故选C.
【点睛】
本题考查了数形结合的思想，由题意知道抛物线的最小值为-3是解题的关键.
11、A
【分析】根据BC 的长度和tan BAC ∠的值计算出AC 的长度即可解答. 【详解】解：因为2tan 5BC BAC AC ＝∠=
，又BC ＝30，所以，3025
AC ＝，解得：AC ＝75m ，所以，故选A. 【点睛】
本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.
12、A
【分析】取圆心O ，连接OP ，过O 作OH ⊥PQ 于H ，根据垂径定理求出PH 的长，再根据勾股定理求出OP 的值，即可求出直径．
【详解】解：取圆心O ，连接OP ，过O 作OH ⊥PQ 于H ，
由题意可知MH=1寸，PQ=10寸，
∴PH=5寸，
在Rt △OPH 中，OP 2=OH 2+PH 2，设半径为x ，
则x 2=（x-1）2+52，
解得：x=13，
故圆的直径为26寸，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、3π
【分析】由切线及平行的性质可知90AOC ︒∠=，利用扇形所对的圆心角度数可得阴影部分面积所占的白分比，再用圆的面积乘以百分比即可. 【详解】解：AB 是⊙O 的切线，A.为切点
OA AB ∴⊥即90OAB ︒∠= //OC AB
90AOC OAB ︒∴∠=∠=
∴阴影部分的面积2
3609032433604πππ︒︒︒-=⨯⨯=⨯= 故答案为：3π.
【点睛】
本题考查了切线的性质及扇形的面积，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径这一性质是解题的关键.
14、15
【解析】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P （在日常生活中进行垃圾分类）=
2001000=15. 故答案为15
.
15、
【分析】由正方形的性质得出△BCD 是等腰直角三角形，得出BD BC ＝4，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD ＝BC ，∠C ＝90°，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴BD ＝BC ＝4，
∴BC ＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明△BCD 是等腰直角三角形是解题的关键．
16、3或3
【分析】由平行四边形的性质得出∠B ＝∠D ＝30°，CD ＝AB ＝6，AD ＝BC ＝CH ⊥AD 于H ，则CH ＝
12CD
＝3，DH ＝12
AD ，得出AH ＝DH ，由线段垂直平分线的性质得出CA ＝CD ＝AB ＝6，由等腰三角形的性质得出∠ACB ＝∠B ＝30°，由平行线的性质得出∠BFG ＝∠ACB ＝30°，分两种情况：
①作EM ⊥BF 于M ，在BF 上截取EN ＝BE ＝3，则∠ENB ＝∠B ＝30°，由直角三角形的性质得出EM ＝12BE ＝32，
BM ＝NM EM ＝2
，得出BN ＝2BM ＝FN ＝EN ＝3，即可得出结果； ②作EM ⊥BC 于M ，在BC 上截取EN ＝BE ＝3，连接EN ，则∠ENB ＝∠B ＝30°，得出EN ∥AC ，EM ＝12BE ＝32，
BM ＝NM EM ＝2
，BN ＝2BM ＝，证出FG ∥EN ，则∠G ＝∠GEN ，证出∠GEN ＝∠ENB ＝∠B ＝∠G ＝30°，推出∠BEN ＝120°，得出∠BEG ＝120°﹣∠GEN ＝90°，由折叠的性质得∠BEF ＝∠GEF ＝
12∠BEG ＝45°，证出∠NEF ＝∠NFE ，则FN ＝EN ＝3，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠B ＝∠D ＝30°，CD ＝AB ＝6，AD ＝BC ＝，
作CH ⊥AD 于H ，
则CH ＝12CD ＝3，DH CH ＝12
AD ， ∴AH ＝DH ，
∴CA ＝CD ＝AB ＝6，
∴∠ACB ＝∠B ＝30°，
∵FG ∥AC ，
∴∠BFG ＝∠ACB ＝30°，
∵点E 是AB 边的中点，
∴BE ＝3，
分两种情况：
①作EM ⊥BF 于M ，在BF 上截取EN ＝BE ＝3，连接EN ，如图1所示：
则∠ENB ＝∠B ＝30°，
∴EM＝1
2
BE＝
3
2
，BM＝NM＝3EM＝
33
2
，
∴BN＝2BM＝33，
由折叠的性质得：∠BFE＝∠GFE＝15°，
∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE，
∴FN＝EN＝3，
∴BF＝BN+FN＝33+3；
②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图2所示：则∠ENB＝∠B＝30°，
∴EN∥AC，EM＝1
2
BE＝
3
2
，BM＝NM＝3EM＝
33
2
，
∴BN＝2BM＝33，
∵FG∥AC，
∴FG∥EN，
∴∠G＝∠GEN，
由折叠的性质得：∠B＝∠G＝30°，
∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，
∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，
由折叠的性质得：∠BEF＝∠GEF＝1
2
∠BEG＝45°，
∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，
∴BF＝BN﹣FN＝33﹣3；
故答案为：333
+或333
-．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解答本题的关键．
17、9 2
【分析】根据反比例函数关系式与面积的关系得S△COE＝S△BOD＝3，由C是OA的中点得S△ACD＝S△COD，由CE∥AB，
可知△COE∽△AOB，由面积比是相似比的平方得
1
4
COE
AOB
S
S
=，求出△ABC的面积，从而求出△AOD的面积，得出
结论．
【详解】过C作CE⊥OB于E，
∵点C、D在双曲线
k
y
x
=（x＞0）上，
∴S△COE＝S△BOD，∵S△OBD＝3，
∴S△COE＝3，
∵CE∥AB，
∴△COE∽△AOB，
∴
2
2
COE
AOB
S OC
S OA
=，
∵C是OA的中点，∴OA＝2OC，
∴
1
4
COE
AOB
S
S
=，
∴S△AOB＝4×3＝12，
∴S△AOD＝S△AOB−S△BOD＝12−3＝9，∵C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△COD，
∴S△COD＝9
2
，
故答案为9
2
．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数
k
y
x
=的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别
作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，所成的三角形的面积是定值1
2
|k|，且保持不变．
18、1．
【解析】根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知AB AM
OC OA AM
=
+
，即
1.6AM
820AM
=
+
，解得AM=1．
∴小明的影长为1米．
三、解答题（共78分）
19、（1）如果降价40元，每天总获利96000元；（2）每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．【分析】（1）根据题意即可列式求解；
（2）根据题意，得y=(400+5x)(300－x－100)，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】（1）根据题意知：每降价1元，则每天可多售出5双，
∴(400+5×40)×(300－40－100)
=600×160
=96000(元)
答：如果降价40元，每天总获利96000元．
（2）根据题意，得
y=(400+5x)(300－x－100)
=－5x2+600x+80000
=－5(x —60)2+98000
∵a =－5，开口向下，y 有最大值，∴当x =60时，即当售价为300—60=240元时，
y 有最大值 =98000元
答：每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意写出函数关系式．
20、（1）6y x =，点B 的坐标为()3,2--；（2）52
AOB S ∆=；（3）30x -<<或2x >. 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，令y 值相等求点B 坐标；
（2）数形结合求面积；
（3）数形结合，利用图像解不等式
【详解】解：（1）把()2,3A 代入k y x =
得32k =，∴6k =. ∴反比例函数的解析式为6y x
=. 联立6,1.y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩
解得112,3,x y =⎧⎨=⎩22
3,2.x y =-⎧⎨=-⎩ ∴点B 的坐标为()3,2--. （2）设直线AB 与y 轴交于点C .
可知C 点的坐标为()0,1，∴1OC =.
∴1151213222
AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=. （3）当30x -<<或2x >时，反比例函数值小于一次函数值.
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，数形结合思想是解题的关键
21、（1）证明见解析；（2）53
．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）连接OD，
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠F，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠OED＝∠F，
∴AE＝AF；
（2）∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC，
∴BO OD AB AC
=，
∵AE＝5，AC＝4，
即
2.5 2.5
54 BE
BE
+
=
+
，
∴BE＝5
3
．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22、（1）6；（2）x1=1,x2=2
【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及零次幂的相关知识求解即可；
（2）用分解因式的方法求解即可．
【详解】解：（1）原式=41=4+3-1=6
（2）将原方程因式分解可得：(x-1)(x-2)=0，
即x-1=0或x-2=0
解得，x=1或x=2，
所以方程的解为：11x =,22x =．
【点睛】
本题考查的知识点是实数的运算以及解一元二次方程，掌握负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数值以及解一元二次方程的方法等知识点是解此题的关键．
23、（1）-3；（2）存在点()1,1M -，使得点M 到点A 、点B 和点C 的距离相等；（3）Q 坐标为()4,1--
【分析】（1）令0y =，求出x 的值即可求出A 、B 的坐标，令x=0，求出y 的值即可求出点C 的坐标，从而求出AB 和OC ，然后根据三角形的面积公式列出方程即可求出a 的值；
（2）由题意，点M 即为ABC ∆外接圆圆心，即点M 为ABC ∆三边中垂线的交点，利用A 、
C 两点的坐标即可求出A 、C 的中点
D 坐标，然后根据等腰三角形的性质即可得出线段AC 的垂直平分线过原点，从而求出线段AC 的垂直平分线解析式，然后求出AB 中垂线的解析式，即可求出点M 的坐标；
（3）作PM x ⊥轴交x 轴于M ，易证PQB PAB S S ∆∆=，从而求出//AQ PB ，利用待定系数法和一次函数的性质分别求出直线AC 、BP 的解析式，和二次函数的解析式联立，即可求出点P 的坐标，然后利用SAS 证出PBQ BPA ∆≅∆，从而得出4PQ AB ==，设(,3)Q m m +，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出m ，从而求出点Q 的坐标．
【详解】解：（1）2(1)y x a x a =-++-
令0y =，即2(1)0x a x a -++-=
解得1x a =，21x =
由图象知：0a <
(,0)A a ∴，(1,0)B
∴AB=1a -
令x=0，解得y=a -
∴点C 的坐标为()0,a -
∴OC=a - 126ABC A OC S B ∆=•= 1(1)()62
a a ∴--= 解得：3a =-，4a =（舍去）
（2）存在，
由题意，点M 即为ABC ∆外接圆圆心，即点M 为ABC ∆三边中垂线的交点 (3,0)A -，(0,3)C ，
OA OC ∴=，A 、C 的中点D 坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
∴线段AC 的垂直平分线过原点，
设线段AC 的垂直平分线解析式为：y kx =，
将点D 的坐标代入，得
3322
k =- 解得：1k =-
∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y x =-
由()30A -,
，()10B ,， ∴线段AB 的垂直平分线为1x =-
将1x =-代入y x =-，
解得：1y =
∴存在点()1,1M -，使得点M 到点A 、点B 和点C 的距离相等
（3）作PM x ⊥轴交x 轴于M ，则114222
BAP S AB PM d d ∆=⋅=⨯=
∴PQB PAB S S ∆∆=
A ∴、Q 到P
B 的距离相等， //AQ PB ∴
设直线:AC y ax c =+，
将()30A -,
，()0,3C 代入，得 303
a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得13a c =⎧⎨=⎩
即直线:3AC y x =+，
∴设直线PB 解析式为：y x b =+
直线经过点()10
B , 所以：直线PB 的解析式为1y x =-
联立2231
y x x y x ⎧=--+⎨=-⎩，
解得：45x y =-⎧⎨=-⎩
∴点P 坐标为()4,5--
又PAQ AQB ∠=∠，
BPA PBQ ∴∠=∠，
设AP 与QB 交于点G
∴GA=GQ ，GP=GB
AP QB ∴=，
在PBQ ∆与BPA ∆中
AP QB BPA PBQ PB BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
PBQ BPA ∴∆≅∆(SAS)，
4PQ AB ∴==
设(,3)Q m m +
由4PQ =得：
222(4)(35)4m m ++++=
解得：4m =-，8m =-（当8m =-时，PAQ AQB ∠≠∠，故应舍去）
Q ∴坐标为()4,1--．
【点睛】
此题考查的是二次函数的综合大题，掌握求抛物线与坐标轴的交点坐标、利用待定系数法求一次函数的解析式、三角形外心的性质、利用SAS 判定两个三角形全等和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．
24、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明；
（2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-1．又在直角△ABC 中，根据勾股定理，得（b +c ）2﹣2bc
2，由此可以求得k 的值．
【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×（4k ﹣1）＝4k 2﹣12k +11＝（2k ﹣1）2+4，
∴无论k 取什么实数值，总有＝（2k ﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵两条直角边的长b 和c 恰好是方程x 2﹣（2k +1）x +4k ﹣1＝0的两个根，得
∴b +c ＝2k +1，bc ＝4k ﹣1，
又∵在直角△ABC 中，根据勾股定理，得
b 2+
c 2＝a 2，
∴（b +c ）2﹣2bc
2，即（2k +1）2﹣2（4k ﹣1）＝11，
整理后，得k 2﹣k ﹣6＝0，解这个方程，得k ＝﹣2或k ＝1，
当k ＝﹣2时，b +c ＝﹣4+1＝﹣1＜0，不符合题意，舍去，当k ＝1时，b +c ＝2×
1+1＝7，符合题意，故k ＝1． 【点睛】
此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键
25、1
【分析】先计算特殊的三角函数值和去绝对值，再从左至右计算即可.
【详解】解：原式=
2
21212122⎛⎫⎛⎫-⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112221
=--=
【点睛】
本题考查的是实数与特殊角的三角函数值的混合运算，能够熟知特殊角的三角函数值是解题的关键.
26、（1）3；（2）PE 3PF
=；（3）变化.证明见解析. 【分析】（1）证明△APE ≌△PCF ，得PE=CF ；在Rt △PCF 中，解直角三角形求得PE PF
的值即可； （2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME ∽△PNF ，并利用（1）的结论，求得
PE PF 的值； （3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM ∽△PCN ，求得PM 3PN 2
=；然后证明△PME ∽△PNF ，从而由PE PM PF PN =求得PE PF 的值.与（1）（2）问相比较，PE PF
的值发生了变化. 【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴AB ⊥BC ，PA=PC.
∵PE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴PE ∥BC.∴∠APE=∠PCF.
∵PF ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴PF ∥AB.∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE 与△PCF 中，∠PAE=∠CPF ，PA=PC ，∠APE=∠PCF ，
∴△APE ≌△PCF （ASA ）.∴PE=CF.
在Rt △PCF 中，0PF PF 3tan 30CF PE 3
===，∴PE 3PF =； （2）如答图1，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，则PM ⊥PN.
∵PM ⊥PN ，PE ⊥PF ，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴PM
3 PN
=.
由（1）知，PM3 PN2
=，
∴PE
3 PF
=.
（3）变化.证明如下：
如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB.
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.
∴△APM∽△PCN.
∴
1
2
PM AP
CN PC
==，得CN=2PM.
在Rt△PCN中，PN PN3
tan30
CN2PM
︒
===，
∴
3 PM
PN
=.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴
3
2 PE PM
PF PN
==.
∴PE
PF
的值发生变化.。