数学物理方程第四章 留数定理 优质课件

解
1
1
f (z) z n 1 (z 1)( z n1 z n2 1)
一个单极点
lim (z
z 1
1)
f
(z)

lim
z 1
z n1

1 z n2
1

1 n
(2) 求 f (z) 1 的极点，以及在极点上的留数。
sin z
解 z n , sin z 0, f (z) .
m-1 次求导后a1 项为幂零项
d m1 dz m1
(z

z0 )m
f
(z)

(m 1)!a1 Cmm1a0 (z z0 ) Cmm11a1(z z0 )2 Cmm21a2 (z z0 )3
2019/12/3
1 lim
(m 1)! zz0
d m1 dz m1
1 2
(z
1
12 )
2
1 1 2

z
1
z 2
dz 2z
1

2i
2
1
1 2

i
.
1 2
2019/12/3
阜师院数科院
4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积
分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利
用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，
的极点，以及在极点上的留数。
解
f (z)
z z3(z2
2i 4)

z3
(z
z 2i 2i)( z

2i)

1 z3(z 2i)
A. 单极点 z 2i
a1

lim (z 2i) f
z2i
(z)

lim
z2i
1 z3

1 (2i)3

1 8i

i 8
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要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的
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B. 3阶极点 z 0
a1

1 lim
2! z0
d2 dz 2
[z3
f
(z)]
1
d2
lim 2! z0
dz 2
1 z 2i
1
2
1
i

lim 2! z0
( z 2i)3

(2i)3
8
(4) 计算沿单位圆 z 1 的如下回路积分。
dz
z 1 z 2 2z
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当区域中有 n 个孤立奇点时
n
n
f (z)dz l i 1
li
f (z)dz 2i Re s( f (bi )).
i 1
#
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l2 b2
l3
l
b3
l1 b1
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2. 留数的计算
A. 单极点的情况：
f
(z)

a1 z z0




z 1 1 2 在单位圆内

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f (z)
1

1
z2 2z (z 1 1 2 )( z 1 1 2 )


a1

z
lim
1 1
2
(
z

1


1 2 ) f (z) lim
1


z 1
0 1
解 寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母
在单位圆内的零点。
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z 2 2z 0,
z 1 1 2
其中
1 1 2 1 1 2 1 1



z 1 1 2 在单位圆外。
又 1 1 2 1 1 2 1 (1 )(1 ) 1 (1 ) 1
a0
a1(z z0 ) a2 ( z z0 )2

(z z0) f (z) a1 a0(z z0) a1(z z0)2 a2(z z0)3
lim (z
z z0
z0 )f(z)a1.a1 作为幂零项
B. m 阶极点的情况
f
(
z) (z
极点为 n 无穷多个单极点
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lim (z n ) f (z) lim z n lim (z n )' lim 1 (1)n
zn
zn sin z zn (sin z)' zn cos z
(3)
求
f (z) z 2i z5 4z3
(z

z0 )m
f
(z)

a1
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lim (z
zz0

z0
)
f
(z)

a1.
1 (m 1)!
lim
z z0
d m1 dz m1
(z

z0 )m
f
(z)

a1
首先－必须确定极点的阶！ 分析＋经验
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3. 例
(1)
f (z)
1
zn
, 1
z0 1 处的留数。分母的因式分解
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am z0
)m

(z
am1 z0 )m1

a1 阜师z院数科z0院
a0
a1(z

z0) a2(z

z0 )2

(z z0)m f (z) am (z z0)am1 (z z0)m1a1 a0(z z0)m a1(z z0)m1
第四章留数定理
4.1 留数定理
回忆柯西定理：如果 f(z) 是复闭通
区域上的解析函数，则
z0
n
f (z)dz
f (z)dz 0.
l
i 1 li
这样的积分不为零，必定包含奇点。因此， 研究奇点是求积分的第一要务。
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又： 1. 定理
1
2i
l
z
dz

0, 1.
l不包围 l包围
1 (z )n dz 0.
2i l
n 1
设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤 立奇点 b1, b2 ,, bn ，外解析，在闭区域 B
上除点 b1, b2 ,, bn 外连续，则
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n
l f (z)dz 2i Re sf (bj ). 阜师院数科j 院1
证明 如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其 收敛环可写

f (z)
ak (z z0 )k
k
一个孤立奇点

l
f (z)dz ak
k
l1 (z z0 )k dz 2ia1
l2 b2
l3
l
b3
l1 b1
当区域中有 n 个孤立奇点时
柯西定理
闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的#积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。