知识讲解_基本不等式_提高

基本不等式
编稿：张林娟 审稿：孙永钊
【学习目标】
1. 理解基本不等式的内容及其证明.
2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.
【要点梳理】
要点一：基本不等式
1.对公式222a b ab +≥
及2
a b +. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.
2.由公式222a b ab +≥
和
2a b + （1）
2b a a b +≥（,a b 同号）； （2）2b a a b
+≤-（,a b 异号）； （3
）20,0)112a b a b a b
+≤>>+或22
2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>. 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222
a b ab +≤
，2a b +2()2a b ab +≤.
a +
b 2
的证明 方法一：几何面积法
如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形
.
设直角三角形的两条直角边长为a 、b
.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.
得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）
特别的，如果0a >，0b >
a 、
b ，可得：
如果0a >，0b >
，则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2
a b +，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法
∵2222()0a b ab a b +-=-≥，
当a b ≠时，2()0a b ->；
当a b =时，2()0a b -=. 所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.
要点诠释：
特别的，如果0a >，0b >a 、b ，可得：
如果0a >，0b >，则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果0a >，0b >2
a b +，（当且仅当a b =时取等号“=”）.
a +
b 2的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .
易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.
这个圆的半径为
2a b +，它大于或等于CD ，即2a b +其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.
要点诠释：
1. 在数学中，我们称2
a b +为,a b ,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 如果把2
a b +看作是正数,a b ,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a +
b 2≤
求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
要点诠释：
1．两个不等式：222a b ab +≥与2
a b +≥a ，b 都是实数，后者要
求a ，b 都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)-+-≥⨯-⨯-是成立的，而
(3)(2)2-+-≥.
2．两个不等式：222a b ab +≥与
2a b +都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
当a=b 取等号，其含义是2a b a b +=⇒
=
仅当a=b 取等号，其含义是
2a b a b +=.
综合上述两条，a=b 是2
a b +=. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【典型例题】
类型一：对公式222a b ab +≥及2
a b + 例1. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 .
（1）a b
++
（2）11()()a b a b
++的最小值为4；
（3）14
a a ++的最小值为2-. 【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）∵0a >，0b >，∴a b
++≥≥a b ==.
（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a b
a b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.
（3）∵0a >，∴11444244a a a a +
=++-≥=-++， （当且仅当144
a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124a a +
>-+. 【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：“一正”，“二定”，“三等”，缺一不可.
举一反三：
【变式1】下列结论正确的是( )
A ．当0x >且x ≠1时，1lg 2lg x x +
≥
B ．当x >02
≥ C ．当x ≥2时，1x x
+的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x -
无最大值 【答案】 B
【变式2】设x ，y ∈R ，则“2x ＋2y ≤1”是“||||x y +≤( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵2|x ||y |≤|x |2＋|y |2＝x 2＋y 2≤1，
∴(|x |＋|y |)2＝x 2＋2|x ||y |＋y 2≤2.
∴||||x y +≤
取x ＝0，y x 2＋y 2≤1，故是充分不必要条件．
类型二：利用基本不等式证明不等式
例2. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥.
【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑.
【解析】∵a 、b 、c 都是正数
∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）
0b c +≥ （当且仅当b c =时，取等号）
0c a +≥ （当且仅当c a =时，取等号）
∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号）
即()()()8a b b c c a abc +++≥.
【总结升华】
1. 在运用2
a b +≥a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.
3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
举一反三：
【变式】已知x 、y 都是正数，求证：223333()()()8x y x y x y x y +++≥.
【答案】∵x 、y 都是正数，∴0x >，0y >，20x >，20y >，30x >，30y >
0x y +≥（当且仅当x y =时，取等号）
220x y +≥> （当且仅当x y =时，取等号）
330x y +≥（当且仅当x y =时，取等号）
∴223333()()()8x y x y x y x y +++≥
（当且仅当x y =时，取等号）
即223333()()()8x y x y x y x y +++≥.
例3. 已知3a >，求证:
473
a a +≥-. 【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.
【解析】44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当433
a a =--即5a =，等号成立）. 【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.
举一反三：
【变式1】已知x 、y 都是正数，求证：
2y x x y +≥. 【答案】∵x 、y 都是正数 ，∴0x y >，0y x
>，
∴2x y y x +≥（当且仅当y x x y =即x y =时，等号成立） 故
2y x x y +≥. 【高清课堂：基本不等式392186 例题3】
【变式2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：
bc ca ab a b c a b c
++≥++. 【答案】证明： ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，
∴2bc ac c a b +≥，
2ac ab a b c +≥，
2bc ab b a c +≥. ∴bc ca ab a b c a b c
++≥++. 类型三：利用基本不等式求最值
例4. 求函数9()45
f x x x =+
-(5x >)的最小值. 【思路点拨】本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数. 【解析】∵5x >，∴50x ->
∴9()4(5)2020325f x x x =-++≥=- （当且仅当94(5)5x x -=
-即352x -=时，取等号） 故当132x =时，函数9()45
f x x x =+-(5x >)的最小值为32. 【总结升华】 1. 形如()B f x Ax x =+
（0x >，0A >，0B >）的函数的最值可以用基本不等式求最值； 2. 利用基本不等式求最值时，应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件.
举一反三：
【变式1】已知0x ≠，当x 取什么值时，函数2281()f x x x =+
的值最小？最小值是多少？
【答案】∵0x ≠，∴20x >，∴2281()18f x x x =+≥
（当且仅当2281x x
=即3x =±时，取等号） 故当3x =±时，22
81x x +的值最小为18. 【变式2】已知0x <，求16()204f x x x =++
的最大值. 【答案】∵0x <，∴0x ->，
∴4()224x x -+≥⨯=-（当且仅当4x x
-=-，即2x =-时，等号成立） ∴4()204[()]20444f x x x =--+≤-⨯=-（当且仅当4x x
-=-，即2x =-时，等号成立） 故当2x =-时，()f x 的最大值为4. 例5. 已知x ＞0，y ＞0，且
191x y +=，求x y +的最小值. 【思路点拨】要求x y +的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.
【解析】
方法一：∵191x y +=，∴199()10y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭
∵x ＞0，y ＞0，∴
96y x x y +≥ （当且仅当
9y x x y =，即y=3x 时，取等号） 又191x y
+=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16. 方法二：由
191x y +=，得9y x y =- ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9
99991(9)109999
y y x y y y y y y y y y -++=+=+=++=-++---- ∵y ＞9，∴y －9＞0，
∴9969y y -+≥- （当且仅当999y y -=
-，即y=12时，取等号，此时x=4） ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16.
【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求. 举一反三：
【高清课堂：基本不等式392186 例题1】
【变式1】已知x ＞0，y ＞0，且21x y ＋＝，则11x y
+的最小值为________.
【答案】 3+【变式2】已知002a b a b >>+=，，，则y ＝
14a b +的最小值是（ ） A ．72 B ．4 C ．92
D ．5 【答案】 ∵0a >，0b >，
∴141141419()()(5)(52222
b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 答案选C
例6. 已知0a b >，.
（1）若4ab =，求a b +的最小值；
（2）若4a b +=，求ab 的最大值.
【解析】（1）
方法一：∵,0a b >且4ab =，
∴4a b +≥=，即4a b +≥（当且仅当2a b ==时取等号）
∴2a b ==，a b +的最小值为4.
方法二：∵,0a b >且4ab =，
∴44a b a a +=+≥，即4a b +≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，a b +的最小值为4.
（2）
方法一：∵,0a b >，∴4a b =+≥4ab ≥（当且仅当2a b ==时取等号）
∴2a b ==，ab 的最大值为4.
方法二：∵,0a b >，∴2()42
a b ab +≤=，（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，ab 的最大值为4.
方法三：∵,0a b >，4a b +=，
∴22(4)4(2)44ab a a a a a =-=-+=--+≤（当且仅当2a b ==时取等号）
∴2a b ==，ab 的最大值为4.
【总结升华】
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若,a b R +
∈，且a b M +=，M 为定值，则2
4M ab ≤，
等号当且仅当2
M a b ==时成立. 2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若,a b R +∈，且a b P =，P 为定值，
则a b +≥，
等号当且仅当a b ==.
举一反三：
【变式1】已知0x >，0y >，9xy =，求x y +的最小值.
【答案】∵0x >，0y >，9xy =，
∴由6x y +≥=（等号当且仅当3x y ==时成立）
故当3x y ==时，xy 的最小值为6.
【变式2】已知0x >，0y >，8x y +=，求xy 的最大值.
【答案】
解法一：∵0x >，0y >，8x y +=， ∴28(8)()162
x x xy x x +-=-≤= （当且仅当8x x =-即4x =时，等号成立）
故当4x =时，xy 的最大值为16.
解法二：∵0x >，0y >
，8x y =+≥
8422
x y +==，可得16xy ≤，（当且仅当4x y ==时，等号成立） 故当4x =时，xy 的最大值为16.
类型四：利用基本不等式解应用题
例7. 某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为28m . 问x 、y 分别为多少(精确到
0.001m) 时用料最省? 【解析】由题意可得1822
x x y x ⋅+⋅=，
∴2
884(04
x x y x x x -==-<<.
于是，框架用料长度为222l x y x =++
316(2x x =+≥
当316(2x x +=
，即8x ==-
.
此时， 2.343
x≈， 2.828
y=.
故当x约为2.343 m，y约为2.828 m时用料最省.
【总结升华】
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
举一反三：
【变式】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【解析】
(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于23
x y
+≥=，
∴18，得
27
2
xy≤，
即
27
2
S≤，当且仅当2x＝3y时等号成立．
由
2318
23
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
4.5
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
故每间虎笼长为4.5 m、宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2324
x y
+≥==，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
当且仅当2x＝3y时等号成立．
由
23
24
x y
xy
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
6
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
.
故每间虎笼长为6 m、宽为4 m时，可使钢筋网总长最小．。