江都区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

江都区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1．
已知向量=（2，1
），
=10，
|
+
|=
，则
||=（ ）
A
． B
． C ．5 D ．25
2． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ） A ．M=P B ．P ⊊M C ．M ⊊P D ．M ∪P=R 3． 有以下四个命题： ①
若
=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0． ③若x=y
，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①② B ．①③
C ．②③
D ．③④
4． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ）
A ．S 18＝72
B ．S 19＝76
C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
5． 椭圆=1的离心率为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
M=，
将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）
A
． B
． C
．
D
．
7． 函数f （x ）
=
，则f （﹣1）的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ） A ．（0，10）
B
．（
，10）
C
．（
，+∞）
D ．（0
，
）∪（10，+∞）
9． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0
，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的
解析式为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A．B． C．D．
10．已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（）
A．∅B．{x|x＞0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
可．
11．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
12．=（）
A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i
二、填空题
13．的展开式中的系数为（用数字作答)．
14．设,x y满足条件
,
1,
x y a
x y
+≥
⎧
⎨
-≤-
⎩
，若z ax y
=-有最小值，则a的取值范围为．
15．已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ+6sinθ，则曲线C上到直线l的距离为4的点个数有个．
16．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．
17．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:）．
18．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为．
三、解答题
19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．
（Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60o
ABC ∠=，侧面PDC 为等边三角形，
且与底面ABCD 垂直，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：PA ⊥DM ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值．
21．已知等差数列{a n }中，a 1=1，且a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．
22．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，．
求证：PC ⊥BC ；
（Ⅱ）求三棱锥C ﹣DEG 的体积；
（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ．若存在，求AM 的长；否则，说明理由．
23．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>C 的左顶点T 为圆心作圆T ：
222(2)x y r ++=（0r >），设圆T 与椭圆C 交于点M 、N ．[_]
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R S 、（O 为坐标
原点），求证：OR OS
为定值．
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
24．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设x n是函数f n（x）=nx3+2x﹣n的零点．
（i）证明：n≥2时存在唯一x n
且；
（i i）若b n=（1﹣x n）（1﹣x n+1），记S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜1．
江都区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵|+|=
，||=
∴（+）2
=
2
+
2
+2
=50，
得||=5 故选C ．
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．
2． 【答案】B
【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x ＞1}； ∴P ⊊M ． 故选B ．
3． 【答案】A
【解析】解：①若=，则
，则x=y ，即①对；
②若lgx 有意义，则x ＞0，即②对；
③若x=y ＞0，则
=
，若x=y ＜0，则不成立，即③错；
④若x ＞y ＞0，则 x 2＞y 2，即④错． 故真命题的序号为①② 故选：A ．
4． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 5． 【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2
，
则c=
=2
；
则椭圆的离心率为e==
，
故选D．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．6．【答案】
A
【解析】
进行简单的合情推理．
【专题】规律型；探究型．
【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的a i，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．
【解答】因为=（a1×103+a2×102+a3×10+a4），
括号内表示的10进制数，其最大值为9999；
从大到小排列，第2013个数为
9999﹣2013+1=7987
所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7
则第2013个数是
故选A．
【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可．
7．【答案】A
【解析】解：由题意可得f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1
故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．
8．【答案】D
【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），
因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，
由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．
9．【答案】A
【解析】解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，
解得ω=2，
再把点（，1）代入函数的解析式可得sin（2×+φ）=1，
结合，可得φ=，
故有，
故选：A．
10．【答案】D
【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，
N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，
故选D．
【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，
11．【答案】C
【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，
即0＜a＜1，b＜0，c＞1，
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．12．【答案】B
【解析】解：===i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质
【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．
所以系数为：
故答案为：
14．【答案】[1,)
【解析】解析：不等式,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩表示的平面区域如图所示，由z ax y =-得y ax z =-，当01a ≤<时，
平移直线1l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≥时，平移直线2l 可知，在点A 处z 取得最小值；当10a -<<时，平移直线3l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≤-时，平移直线4l 可知，在点A 处
取得最大值，综上所述，1a ≥．
15．【答案】 2
【解析】解：由
，消去t 得：2x ﹣y+5=0，
由ρ=8cos θ+6sin θ，得ρ2=8ρcos θ+6ρsin θ，即x 2+y 2
=8x+6y ，
化为标准式得（x ﹣4）2+（y ﹣3）2
=25，即C 是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．
又圆心到直线l 的距离是
，
故曲线C 上到直线l 的距离为4的点有2个， 故答案为：2．
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
16．【答案】 [4，16] ．
【解析】解：直线l ：（t 为参数），
化为普通方程是=
，
即y=tan α•x+1； 圆C 的参数方程
（θ为参数），
化为普通方程是（x ﹣2）2+（y ﹣1）2
=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4，16]．
故答案为：[4，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
17．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
18．【答案】20．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a．
∴△PQF2的周长=20．，
故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，
交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A 1A=A 1C=AC=2，又AB=BC ，AB ⊥BC ，∴，
所以得：
则有：．
设平面AA 1B 的一个法向量为n=（x ，y ，z ），则有，
令y=1，得
所以
．
．
因为直线A 1C 与平面A 1AB 所成角θ和向量n 与所成锐角互余，所以
．
（Ⅲ）设，
即，得
所以
，得，
令OE ∥平面A 1AB ，得，
即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得
，
即存在这样的点E ，E 为BC 1的中点．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
20．【答案】
【解析】由底面ABCD 为菱形且60o
ABC ∠=，∴ABC ∆，ADC ∆是等边三角形， 取DC 中点O ，有,OA DC OP DC ⊥⊥，
∴POA ∠为二面角P CD A --的平面角， ∴90o
POA ∠=．
分别以,,OA OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，
则(0,1,0),
(0,1,0)A P D B C -． …… 3分
（Ⅰ）由M 为PB 中点，(
,1,22M ∴3
(2DM =(3,0,3),PA =-0),0,DC PA DM PA DC =∴== ∴ PA ⊥DM …… 6分
（Ⅱ）由(0,2,0)DC =，0PA DC ⋅=，∴PA ⊥DC ， ∴ 平面DCM 的法向量可取(3,0,PA = …… (0,1,PC =， 设直线PC 与平面DCM 所成角为θ则sin |cos ,||
|||||6PC PA PC PA PC PA θ⋅=<>===．即直线PC 与平面DCM ．…… 12分 21．【答案】
【解析】解：（1）由a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列， ∴
=（a 2+2）（a 4﹣2），
（1+2d ）2
=（3+d ）（﹣1+3d ），
d 2﹣4d+4=0，解得：d=2， ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1， 数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1； （2）b n =
=
=（
﹣），
S n = [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣
）]，
=（1﹣），
=
，
数列{b n }的前n 项和S n ，S n =
．
22．【答案】
【解析】解：（I ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， 又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PDICE=D ， ∴BC ⊥平面PCD ，又∵PC ⊂面PBC ，∴PC ⊥BC ． （II ）解：∵BC ⊥平面PCD ， ∴GC 是三棱锥G ﹣DEC 的高． ∵E 是PC 的中点，∴
．
∴．
（III ）连接AC ，取AC 中点O ，连接EO 、GO ，延长GO 交AD 于点M ，则PA ∥平面MEG ． 下面证明之：
∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，∴EO ∥平面PA ， 又∵EO ⊂平面MEG ，PA ⊄平面MEG ，∴PA ∥平面MEG ， 在正方形ABCD 中，∵O 是AC 中点，∴△OCG ≌△OAM ，
∴
，∴所求AM 的长为．
【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】（1）依题意，得2a =，c e a =
=
， 1,322=-==∴c a b c ；
故椭圆C 的方程为2
214
x y += ． （3分）
（3）设),(00y x P 由题意知：01x x ≠，01y y ≠±.
直线MP 的方程为),(01
01
00x x x x y y y y ---=
-
令0=y 得101001y y y x y x x R --=,同理：1
01
001y y y x y x x S ++=，
∴2
1
2
02
1
202021y y y x y x x x S R --=
⋅. （10分）
又点P M ,在椭圆上，故
)1(4),1(42
1212
020y x y x -=-=，
∴4)(4)1(4)1(42
1
2
02
1202
1
2
02
1
202021=--=
----=
y y y y y y y y y y x x S R ，
4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅==，
即OR OS ⋅为定值４.
（13分）
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f'（x ）=3ax 2
+2，
若a ≥0，则f'（x ）＞0，函数f （x ）在R 上单调递增； 若a ＜0，令f'（x ）＞0，
∴
或
， 函数f （x
）的单调递增区间为
和
；
（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）得，f n （x ）=nx 3
+2x ﹣n 在R 上单调递增，
又f n （1）=n+2﹣n=2＞0， f n
（）
=
=
=
=
﹣
当n ≥2时，g （n ）=n 2
﹣n ﹣1＞0
，
，
n ≥2时存在唯一x n
且 （i i ）当n ≥2
时，，
∴
（零点的区间判定）
∴，（数列裂项求和）
∴
，
又f1（x ）=x3+2x ﹣1
，
，（函数法定界）
，又
，
∴
，
∴，（不等式放缩技巧）
命题得证．
【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．。