探讨单调有界准则求极限的方法

教育研究
架以及驾驶员交通信息系统等。

“机电一体化”的汽车总体构建中，电子装置的比例越来越大。

汽车由以机械装置为主向机电结合的科技型产品转变。

汽车技术的发展不仅要求汽车维修人员具备相应的维修技能，还要求具有一定的创新意识。

在汽车技术日新月异的新时代，书本上的汽车专业知识已经远远不能满足当前汽车行业发展的要求，而网络最大的特点就是信息量丰富。

通过网络我们可以掌握当前汽车行业的新技术、新知识。

此外，不同的车型其内部的构造及所采用的技术也不尽相同，而我们的书本和专业教师也不可能对所有的车型所涉及的技术都进行介绍。

因此，通过互联网我们可以掌握不同车型构造及其技术，使学生在第一时间接触到世界上先进的汽车技术。

创新不是闭门思考凭空创造，而是要在掌握了大量当前汽车维修行业的新技术、新知识和新技能的基础上才能有所创新。

例如，现在中高档轿车普遍采用所谓的ESP 电子稳定系统、CAN-BUS 总线系统等，此外还有缸内直喷、稀薄燃烧等先进技术，在一般的教材上都没有这些内容。

我们指导学生通过互联网查找并下载这些内容的相关知识和技术，从而改善学生的知识结构，培养其创新意识。

四、提高学生的自学能力，为今后的职业发展打下基础
汽车维修行业是一个“慢热”行业，学生的维修技术必须要在维修实践中才能得到提高。

因此，刚毕业走上工作岗位的学生，必须要不断地提高自身专业知识和技术。

在工作中，汽车维修专业人员除了学习汽车维修手册和各种维修专业书籍外，最重要的一个平台就是网络。

通过网络我们可以接触到汽车发展的最新技术，了解汽车维修行业的主要，学习有关汽车维修的新技术和新方法。

最主要的通过网络这个交互平台可以解决汽车维修过程所遇到的各种疑难杂症。

这就需要广大从业人员充分运用互联网，而这一切都需要教师在学校专业教学中加以引导，加以训练。

以上分析了网络作为一个平台如何引入汽车维修专业教学之中。

但是网络教学在汽车维修专业教学中只能起辅导作用。

实践性环节应该在汽车维修教学中起主导作用，只有通过实践才能培养学生的动手能力，提高学生的专业技能。

当然我们不能因为重视实践性环节的教学，就忽视网络在汽车维修教学中的积极作用。

单调有界准则：单调有界数列必有极限。

单调有界准则还可以分为两种类型：一、单调递增的数列有上界必有极限，二、单调递减的数列有下界必有极限。

证明单调的方法：
1、作差：10n n x x +−≥⇒{}n x 单调增；10
n n x x +−≤⇒
{}n x 单调
减。

2、作商：若对n ∀，0n x >，则1
1n n
x x +≥⇒{}n x 单调增；
1
1n n
x x +≤⇒{}n x 单调减。

3、构造函数法：若1()n n x f x +=，设()y f x =，如果()0f x ′>，则
{}n x 单调，当21x x >时，则{}n x 单调增；当21x x <时，则{}n x 单调减。

证明有界的方法：
1、基本不等式若0,0a b ≥≥
，则2
a b
+，推广：若对n ∀，0n x ≥
，则12n x x x n +++ 。

2、数学归纳法。

例1　设103x <<
，11,2,)n x n += ，证明：数列{}n x 的极限存在，并求此极限。

证明：由题意知，,0n n x ∀≥
，故133
22
n n n x x x ++−=， 所以
{}
n x 有上界，因
为1n n n
x x x +−
作者简介：廖为鲲（1980-），男，江苏盐城人，硕士研究生，副教授，
主要从事高等数学教学研究。

0，则{}n x 单调递增，且有上界，故lim n
n x →∞
存
在，
设lim n n x A →∞=
，则1lim n n n x +→∞=
A ，解得3
2
A =
或0A =（舍），所以3lim 2
n n x →∞
=。

例2　设10x >，131234n n n x x x +
=+ ，1,2,3n = ，求lim n n x →∞。

解显然，10x >，设0k x >，则1312304k k k x x x +
=+>
，所以对n ∀，
0n x >，
因
为1331212344n n n n n n n x x x x x x x + =+=+++ ，
则{}n x 有下界，
又因为
1n n
x x +=412314n x
+≤ ，所以{}n x 单调递减，且有下界，故lim n n x →∞
存在，
设lim n n x A →∞=，则1312lim lim 34n n n n n x x x +→∞→∞ =+ 31234A A A =+ ，解
得A
A =（舍）
，所以lim n n x →∞。

参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].第5版.北京：高等教育出版社，2000.
探讨单调有界准则求极限的方法
■廖为鲲　（泰州职业技术学院　江苏泰州　225300）
【摘　要】　本文归纳了证明单调和有界的方法，且通过例题说明如何用单调有界准则证明和计算函数极限。

【关键词】　单调；有界；极限
Method for solving the limit of monotone bounded criterion Liao weikun
(Basic sciences dept., Taizhou polytechnic college, Taizhou Jiangsu 225300)
【Abstract】This paper has summarized in this paper prove monotone and bounded method and through examples to illustrate how to use the monotone bounded norms proof and computing function limit.
【Key Words】monotone, bounded, limit 【中图分类号】　G642.3 【文献标识码】　A 【文章编号】　2095-3089（2016）25-0034-01。