重庆市万州二中2017-2018学年高一下学期3月月考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年重庆市万州二中高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）
A．，B．，C．，D．，
2．数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）
A．1 B．C．D．
3．在钝角三角形ABC中，a=1，b=2，则最大边c的取值范围是（）
A．（，3）B．（，3）C．（2，3）D．（，3）
4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，向量=（a+c，a﹣b），=（b，
a﹣c），若∥，则∠C（）
A．B．C．D．
5．定义：称为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均
倒数”为，则数列{a n}的通项公式为（）
A．2n﹣1 B．4n﹣3 C．4n﹣1 D．4n﹣5
6．P是△ABC内的一点，，则△ABC的面积与△BCP的面积之比为（）
A．2 B．3 C．D．6
7．设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：f（﹣12）
+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值（）
A．11 B．14 C．12 D．13
8．在数列{a n}中，a1=3，a n
=a n+ln（1+），则a n=（）
+1
A．3+lnn B．3+（n﹣1）lnn C．3+nlnn D．1+n+lnn
9．已知数列{a n}为，，，，…．若b n=，则{b n}的前几项和S n=（）
A． B．
C． D．
10．已知平面向量，满足|2﹣|=，且+与﹣2的夹角为150°，则|t
（+）﹣|，（t∈R）的最小值是（）
A．B．C．D．
=x+x n，则下述和数的11．数列{x n}满足：x1=，x n
+1
整数部分的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．对于一个有限数列p=（p1，p2，…，p n），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
，其中S k=p1+p2+…+p k（1≤k≤n，k∈N）．若一个99项的数列（p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为（）A．991 B．992 C．993 D．999
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若，，与的夹角为30°，则=．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知，a=2，b=3，则△ABC 外接圆的半径为．
15．把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…，循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），…，则第20个括号内各数之和为．16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第
n个三角形数为=n2+n．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数N（n，3）=n2+n
正方形数N（n，4）=n2
五边形数
六边形数N（n，6）=2n2﹣n
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（20，32）=．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．平面内给定两个向量
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
18．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．
（Ⅰ）求a n及S n；
（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=，试判断△ABC的形状．
20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2．
（1）求f（）和f（）+f（）（n∈N*）的值；
（2）数列{a n}满足a n=f（0）+f（）+f（）+，+f（）+f（1），（n∈N*）求证：数列
{a n}是等差数列．
21．已知a，b，c为锐角△ABC的内角A，B，C的对边，满足acosA+bcosB=c，
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求的范围．
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n；
（3）证明：n≥2时，．
2017-2018学年重庆市万州二中高一（下）3月月考数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）
A．，B．，C．，D．，
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】判断向量是否共线，推出结果即可．
【解答】解：=﹣（），选项B的两个向量共线，不正确；
，选项C的两个向量共线，不正确；
，选项D的两个向量共线，不正确；
故选：A．
2．数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）
A．1 B．C．D．
【考点】数列的求和．
【分析】利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：∵，
∴…+==．
∴．
故选B．
3．在钝角三角形ABC中，a=1，b=2，则最大边c的取值范围是（）
A．（，3）B．（，3）C．（2，3）D．（，3）
【考点】余弦定理．
【分析】利用余弦定理表示出cosC，把a与b代入，根据cosC小于0求出c的范围即可．【解答】解：∵在钝角三角形ABC中，a=1，b=2，
∴由余弦定理得：cosC==＜0，
解得：＜c＜3，
则最大边c的范围为（，3）．
故选：B．
4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，向量=（a+c，a﹣b），=（b，
a﹣c），若∥，则∠C（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据向量平行建立三角形边长之间的关系，然后利用余弦定理进行求解即可．
【解答】解：∵向量=（a+c，a﹣b），=（b，a﹣c），若∥，
则（a+c）（a﹣c）﹣b（a﹣b）=0，
即a2﹣c2﹣ab+b2=0，
即a2﹣c2+b2═ab，
∴由余弦定理得cosC=，
∵0＜C＜π，
∴C=．
故选：B．
5．定义：称为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均
倒数”为，则数列{a n}的通项公式为（）
A．2n﹣1 B．4n﹣3 C．4n﹣1 D．4n﹣5
【考点】数列递推式．
【分析】根据“均倒数”的定义，得到=，然后利用a n与S n的关系即可得到结论．
【解答】解：根据“均倒数”的定义可知，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，
则=，即a1+a2+a3+…a n=n（2n﹣1）=2n2﹣n，
=2（n﹣1）2﹣（n﹣1），
则当n≥2时，a1+a2+a3+…a n
﹣1
两式相减得a n=2n2﹣n﹣2（n﹣1）2+（n﹣1）=4n﹣3，
当n=1时，a1=2﹣1=1，满足，a n=4n﹣3，
故数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，
故选：B
6．P是△ABC内的一点，，则△ABC的面积与△BCP的面积之比为（）
A．2 B．3 C．D．6
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】可取BC的中点为D，并连接AD，从而可得出，这样便可画出图形，进而
得出，这样便可根据三角形的面积公式求出，即得出△ABC的面积与△BCP的面积之比．
【解答】解：取BC中点D，连接AD，则；
∴，如图所示：
∴；
∴；
∴△ABC的面积与△BCP的面积之比为3．
故选B．
7．设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：f（﹣12）
+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值（）
A．11 B．14 C．12 D．13
【考点】函数的值．
【分析】由已知条件推导出f（1﹣x）+f（x）=1，设S=f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f （11）+f（12）+f（13），则S=f（13）+f（12）+f（11）+…+f（﹣10）+f（﹣11）+f（﹣12），由此利用倒序相加法能求出f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（11）+f（12）+f（13）=13．【解答】解：使用倒序相加法
∵f（x）=，
∴f（1﹣x）===，
∴f（1﹣x）+f（x）=1，
设S=f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（11）+f（12）+f（13），
则S=f（13）+f（12）+f（11）+…+f（﹣10）+f（﹣11）+f（﹣12），
∴2S=[f（13）+f（﹣12）]+[f（12）+f（﹣11）]+[f（11）+f（﹣10）]
+…+[f（11）+f（﹣10）]+[f（12）+f（﹣11）]+[f（13）+f（﹣12）]=26，
∴S=13，∴f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（11）+f（12）+f（13）=13．
故选：D．
=a n+ln（1+），则a n=（）
8．在数列{a n}中，a1=3，a n
+1
A．3+lnn B．3+（n﹣1）lnn C．3+nlnn D．1+n+lnn
【考点】数列递推式．
【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．
=a n+ln（1+）=a n+ln，
【解答】解：∵a1=3，a n
+1
∴a2=a1+ln2，a3=a2+ln，
a4=a3+ln，
…，
a n=a n
+ln，
﹣1
累加可得：a n=3+ln2+ln+ln+…+ln=3+lnn，
故选：A
9．已知数列{a n}为，，，，…．若b n=，则{b n}的前几项和S n=（）
A． B．
C． D．
【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出a n，利用“裂项求和”即可得出S n．
【解答】解：==．
∴=．
∴S n=
=
=．
故选A．
10．已知平面向量，满足|2﹣|=，且+与﹣2的夹角为150°，则|t
（+
）﹣|，（t ∈R ）的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由已知只要将|t （
+
）﹣
|用
+
与
﹣2
表示，展开利用数量积和模
的运算得到关于|+|的二次函数，求最值．
【解答】解：因为平面向量，满足|2﹣|=，且+与﹣2的夹角为150°，
则|t （
+
）﹣|2=|（t ﹣）（+
）+（
﹣2
）|2
=[（t ﹣）（+）]2+[（﹣2）]2+（t ﹣）（+）•（﹣2）
=（t ﹣）2（+）2+（
﹣2
）2+（t ﹣）（
+
）•（
﹣2
）
=（t ﹣）2（+）2++（t ﹣）|+
|
=[（t ﹣）|+
|+]2+
，
所以|t （+
）﹣|，（t ∈R ）的最小值是；
故选：A ．
11．数列{x n }满足：x 1=，x n +1=x +x n ，则下述和数
的
整数部分的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【考点】数列递推式．
【分析】由x 1=，x n +1=x n 2+x n ，可得
=x n +1＞1，因此数列{x n }单调递增，可得x 4=
×
＞1，于是当n ≥4时，x n ＞1，0＜1﹣＜1．由x n +1=x n 2+x n ，可得
﹣
=
．利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】解：由x 1=，x n +1=x n 2+x n ，可得=x n +1＞1，
∴数列{x n }单调递增，可得x 2=，x 3=，x 4=
×
＞1，
∴当n ≥4时，x n ＞1．
∴0＜1﹣＜1．
=x n2+x n，∴﹣=．
∵x n
+1
∴和数
=++…+=3
﹣=2+1﹣的整数部分的值为2．
故选：C．
12．对于一个有限数列p=（p1，p2，…，p n），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
，其中S k=p1+p2+…+p k（1≤k≤n，k∈N）．若一个99项的数列（p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为（）A．991 B．992 C．993 D．999
【考点】数列的求和．
【分析】首先利用定义求出前99项的和，进一步求出结果．
【解答】解：由“蔡查罗和”定义，
{P1，P2，P99}的“蔡查罗和”为：
∴S1+S2+…+S99=99000，
则100项的数列{9，P1，P2，P99}“蔡查罗和”为：=999．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若，，与的夹角为30°，则=．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用平面向量数量积的定义可得答案．
【解答】解：=2××cos30°=．
故答案为：．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知，a=2，b=3，则△ABC
外接圆的半径为．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子算出c=，再根据正弦定理算出外接圆半
径R满足2R==，由此可得△ABC外接圆的半径大小．
【解答】解：∵△ABC 中，，a=2，b=3，
∴由余弦定理，得
c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=4+9﹣2×2×3×cos =7
因此c=
，
由正弦定理，得△ABC 外接圆的半径R 满足2R===
∴R=，即△ABC 外接圆的半径为
故答案为：
15．把数列{2n +1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…，循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），…，则第20个括号内各数之和为 392 ． 【考点】归纳推理．
【分析】括号中的数字个数，依次为1、2、3、4，每四个循环一次，具有周期性，第20括号是一个周期的最后一个，括号中有四个数，这是第5次循环，最后一个数是2×50+1，得出结论．
【解答】解：由题意知20÷4=5，
∴第20个括号中最后一个数字是2×50+1=101， ∴95+97+99+101=392， 故答案为：392
16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第
n 个三角形数为
=n 2+n ．记第n 个k 边形数为N （n ，k ）（k ≥3），以下列出了部分
k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 N （n ，3）=n 2+n 正方形数 N （n ，4）=n 2
五边形数
六边形数 N （n ，6）=2n 2﹣n
…
可以推测N （n ，k ）的表达式，由此计算 N （20，32）= 5720 ． 【考点】归纳推理．
【分析】观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得N （n ，k ）=n 2+
n ，把n=20，
k=32代入可得答案．
【解答】解：三角形数 N （n ，3）=n 2+n=
n 2+
n ，
正方形数N（n，4）=n2+n，
五边形数=n2+n，
六边形数N（n，6）=2n2﹣n=n2+n，
…
由归纳推理可得：
N（n，k）=n2+n，
故N（20，32）═=5720．
故答案为：5720
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．平面内给定两个向量
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
【考点】向量的模；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．
【分析】（1）利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．
（2）利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：（1）由条件知：，
故．
（2），．
∵，
∴（3﹣k）•0﹣7（1+2k）=0，
解得．
18．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．
（Ⅰ）求a n及S n；
（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3=7，a 5+a 7=26，可得，解出利
用等差数列的前n 项和公式即可得出；
（Ⅱ）b n =
=
=
，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=7，a 5+a 7=26，
∴
，解得a 1=3，d=2．
∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1．
∴数列{a n }的前n 项和S n ==n 2+2n ．
（Ⅱ）b n =
=
=
，
∴数列{b n }的前n 项和T n =
++…+==．
19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2asinA=（2b ﹣c ）sinB +（2c ﹣b ）sinC ．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若sinB +sinC=，试判断△ABC 的形状． 【考点】余弦定理；三角形的形状判断． 【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA ，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA 中，化简后求出cosA 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；
（Ⅱ）由A 为60°，利用三角形的内角和定理得到B +C 的度数，用B 表示出C ，代入已知的
sinB +sinC=中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B 的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B 为60°，可得出三角形ABC 三个角相等，都为60°，则三角形ABC 为等边三角形． 【解答】解：（Ⅰ）由2asinA=（2b ﹣c ）sinB +（2c ﹣b ）sinC ， 利用正弦定理化简得：2a 2=（2b ﹣c ）b +（2c ﹣b ）c ，… 整理得：bc=b 2+c 2﹣a 2，
∴cosA=
=，…
又A 为三角形的内角， 则A=60°；…
（Ⅱ）∵A +B +C=180°，A=60°，
∴B +C=180°﹣60°=120°，即C=120°﹣B ，…
代入sinB +sinC=得：sinB +sin=，…
∴sinB+sin120°cosB﹣cos120°sinB=，…
∴sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1，…
∴0＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴B+30°=90°，即B=60°，…
∴A=B=C=60°，
则△ABC为等边三角形．…．
20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2．
（1）求f（）和f（）+f（）（n∈N*）的值；
（2）数列{a n}满足a n=f（0）+f（）+f（）+，+f（）+f（1），（n∈N*）求证：数列
{a n}是等差数列．
【考点】数列与函数的综合．
【分析】（1）由关系式得到相应的值．
（2）由数列的性质，用倒序相加法，得到通项公式．
【解答】解：（1）f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2．
当x=时，有f（）+f（1﹣）=2，
∴f（）=1，
令x=（n∈N*），
有f（）+f（1﹣）=2，
∴f（）+f（）=2．
（2）证明：f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2．
则令x=时，有f（）+f（）=2．
a n=f（0）+f（）+f（）+K+f（）+f（1）
a n=f（1）+f（）+K+f（）+f（）+f（0）
∴2a n=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+K+[f（）+f（）]+[f（1）+f（0）]
∴2a n=2（n+1），（n∈N*）
∴a n=n+1，（n∈N*）
﹣a n=（n+2）﹣（n+1）=1，（n∈N*）
∴a n
+1
∴{a n}是等差数列．
21．已知a，b，c为锐角△ABC的内角A，B，C的对边，满足acosA+bcosB=c，
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求的范围．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）利用余弦定理表示出cosA与cosB，代入已知等式整理得到a=b，即可得证；（2）设三角形ABC外接圆半径为R，由圆的面积公式求出R的值，所求式子利用正弦定理化简，整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出范围即可．
【解答】（1）证明：由acosA+bcosB=c，利用余弦定理化简得：
a•+b•=c，
整理得：a2（b2+c2﹣a2）+b2（a2+c2﹣b2）=2abc2，即（a﹣b）2[c2﹣（a+b）2]=0，
∵c＜a+b，∴c2≠（a+b）2，
∴a=b，
则△ABC为等腰三角形；
（2）解：设△ABC的外接圆半径为R，由πR2=π，得到R=1，
由（1）得：A=B，
由正弦定理得：
===6sinB+1+8cosB=10sin（B+θ）+1，
记为f（B），其中sinθ=＞，cosθ=，且θ∈（，），
∵△ABC为锐角三角形，
∴，
结合A=B，得到＜B＜，
∴B+θ∈（，π），
∴f（B）在＜B＜上单调递减，
当B=时，f（B）=10sin（+θ）+1=10cosθ+1=7；
当B=时，f（B）=10sin（+θ）+1=10×（sinθ+cosθ）+1=7+1，
∴f（B）∈（7，7+1），即∈（7，7+1）．
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n∈N+）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n；
（3）证明：n≥2时，．
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．
【分析】（1）由已知递推式（n∈N+）变形为，
利用等差数列的通项公式即可得出S n，进而得到a n．
（2）利用（1）即可得出b n，再利用“裂项求和”即可得出T n．
（3））利用放缩法
，再利用“裂项求和”和放缩即可得出．
【解答】解：（1）∵，∴数列是等差数列，且，
∴，故=，
∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴a n=n．
（2），
∴
+…+
=．
（3）∵，
∴
=．
2017-2018学年10月19日。