《数与形》精品教案

《数与形》精品教案
教学目标
1. 自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，会应用发现的规律解决数学问题。

2. 在解决数学问题的过程中，体会数形结合、归纳推理等基本的数学思想。

3. 提升数学学习兴趣，增强数形结合解决问题的意识。

教学内容
教学重点：探究图形中隐藏着的数的规律。

教学难点：体会数形结合、归纳推理等基本的数学思想。

教学过程
一、谈话导入
同学们，提到“数学”，你首先想到的是什么？
生1：我想到数学的学习离不开数，我们学过很多数，包括整数、小数和分数。

生2：我们还学过很多图形，比如正方形、长方形、平行四边形等。

师：按照大家想到的内容分类，一类称为“数”，另一类称为“形”，“数”和“形”是数学学习中两个重要的研究对象。

“数”与“形”之间有什么关系呢？通过今天这节课的学习，看看你有没有新的认识。

二、自主探究
（一）提出问题
请同学们仔细观察这组图形，你能发现怎样的规律？
1.横着观察。

生1：我发现第一幅图有1个小正方形，第二幅图有4个小正方形，第三幅图有9个小正方形。

生2：我发现的小正方形的个数也是1,4,9。

但我是这样记录的，1×1=1，2×2=4，3×3=9。

师：谁能看懂这组算式表示的意思？
生：横着一行一行地看，第一幅图可以看成每行一个，有1行，一共有1×1=1个小正方形；第二幅图，可以看成每行有2个，有2行，一共有2×2=4个小正方形；第三幅图一共有3×3=9个小正方形。

生2：如果每个小正方形的边长是1厘米，第一幅图的面积就是1×1=1（平方厘米），还可以是1的平方；第二幅图的面积就是2×2=4平方厘米，也可以表示为2的平方。

第三幅图的面积就是3×3=9平方厘米，也就是3的平方。

师：同一个算式，两位同学观察的角度不同，对算式的理解也就不同。

2. 斜着观察。

有一位同学是这样列式：1 1＋2＋1 1＋2＋3＋2＋1，老师给点提示：
生1：我是斜着观察的。

我发现的规律是：第一幅图就是1，第二幅图就是1+2+1，第三幅图是1+2+3+2+1。

生2：这组算式都是连续几个自然数从1开始加，像小山一样，然后逐渐减少，再加回到1。

把这些算式和刚才的平方数的结果结合起来看，我还发现，这个算式中最大的加数是几，结果就是几的平方。

3. 一层一层观察。

有同学还有不同的列式，他写出来的1，3，5在哪里？
生1：第一幅图只有1层，就有1个正方形；第二幅图在第一幅图的基础上，多了一层，这一层是3个，所以就是1+3（个）；第三幅图在第二幅图基础上又增加了一层，这一层有5个，所以是1+3+5（个）。

生2：我还发现：图中有几层加数的个数就是几，就是几的平方。

（二）小结
从不同角度观察这组图，都能用数或者算式来表达不同的规律，发现了“形”里面藏着“数”。

我们发现的规律还有什么应用价值呢？
三、灵活应用
（一）借助刚才找到的规律，你能直接写出结果吗？如果有困难，可以借助画图来帮忙。

（1）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（）²
（2）1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝（）
1. 解决第（1）个问题。

生：根据前面的经验，这个算式中一共有7个加数，就是7层，所以是边长为7的正方形，和就是7的平方。

师：加数的个数和正方形的层数之间真的有这样的规律吗？
用1+3+5+7+9+11和1+3+5+7+9+11+13+15验证规律确实成立。

生：我提示大家，这个算式还可以看成是从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方。

师：同学们由数的规律联想到图形，又根据图形特征发现了算式中新的规律，找到了数与形之间的密切联系。

2. 解决第（2）个问题。

生：第二个题目其实也是可以运用规律的，我发现1+3+5+7可以利用规律直接算出结果，4的平方等于16；后面5+3+1运用加法交换律转化为1+3+5，利用规律计算3的平方等于9；再将它们相加，就是25。

小结：同学们特别善于观察和思考，让数和形拉起手，帮助我们解决了这些问题。

（二）请同学们认真观察这一组图，第5幅图最外层有多少个小正方形？。