高中数学课时检测18圆的一般方程含解析新人教B版选择性必修第一册

课时跟踪检测（十八） 圆的一般方程
[A 级 基础巩固]
1．将圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y ＋3＝0
解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1，2).A 、B 、C 、D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.
2．如果方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )
A ．D ＝E
B ．D ＝F
C ．E ＝F
D ．D ＝
E ＝F
解析：选A 由D 2
＋E 2
－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2，－E 2 在直线y
＝x 上，故D ＝E .
3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为( ) A ．x 2
＋y 2
－2x －3y ＝0 B ．x 2＋y 2
＋2x －3y ＝0 C ．x 2
＋y 2
－2x ＋3y ＝0
D ．x 2
＋y 2
＋2x ＋3y ＝0
解析：选A 设圆的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F ＞0)， 由题意知圆过(0，0)，(2，0)和(0，3)点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，32＋3E ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧F ＝0，D ＝－2，E ＝－3，
∴所求圆的方程为x 2
＋y 2
－2x －3y ＝0.
4．(多选)已知方程x 2＋y 2
＋3ax ＋ay ＋52 a 2＋a －1＝0，若方程表示圆，则a 的值可能为
( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．3
解析：选AB 因为方程x 2＋y 2＋3ax ＋ay ＋52
a 2＋a －1＝0表示圆，所以(3a )2＋a 2
－
4⎝ ⎛⎭
⎪⎫52a 2＋a －1 >0， 解得a <1，所以满足条件的只有－2与0.故选A 、B. 5．(多选)已知曲线C ：Ax 2
＋By 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0( ) A ．若A ＝B ＝1，则C 是圆
B ．若A ＝B ≠0，D 2
＋E 2
－4AF >0，则C 是圆 C ．若A ＝B ＝0，D 2
＋E 2
>0，则C 是直线 D ．若A ≠0，B ＝0，则C 是直线
解析：选BC 已知曲线C ：Ax 2
＋By 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 对于A ，当A ＝B ＝1时，C ：x 2
＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 只有D 2
＋E 2
－4F >0时，C 才表示圆，故A 错误．
对于B ，当A ＝B ≠0时，C ：Ax 2
＋Ay 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，且D 2
＋E 2
－4AF >0，则C 是圆，故B 正确．
对于C ，当A ＝B ＝0时，C ：Dx ＋Ey ＋F ＝0，且D 2
＋E 2
>0，则C 是直线，故C 正确． 对于D ，当A ≠0，B ＝0时，C ：Ax 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，显然不是直线，故D 错误．故选B 、C.
6．已知圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0，1)，则点B 的坐标为________．
解析：由x 2
＋y 2
－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝5，所以圆心C (1，－1).设B (x 0，
y 0)，又A (0，1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3， 所以点B 的坐标为(2，
－3).
答案：(2，－3)
7．圆C ：x 2
＋y 2
－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________． 解析：圆C ：x 2＋y 2
－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－22，－－42 ，即(1，2)，故圆心
到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋4
2
＝15
5 ＝3. 答案：3
8．已知圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1，2)，代入直线方程，得
b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.
答案：(－∞，1)
9．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2
＋m －1)x 2
＋(m 2
－m ＋2)y 2
＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆．
解：要使方程(2m 2
＋m －1)x 2
＋(m 2
－m ＋2)y 2
＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m 2
＋m －1＝m 2
－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，
所以m ＝－3或m ＝1.
①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2
＝－32
，不合题意，舍去；
②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2
＝114 ，表示以原点为圆心，以1414 为
半径的圆．
综上，m ＝－3时满足题意．
10．已知圆C 过点M (1，1)，N (5，1)，且圆心在直线y ＝x －2上，求圆C 的方程．
解：设圆C 的方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E
2 ，
由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧－E 2＝－D
2－2，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，
25＋1＋5D ＋E ＋F ＝0， 解得⎩⎪
⎨⎪
⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝6，
所以所求圆的方程为x 2
＋y 2
－6x －2y ＋6＝0.
[B 级 综合运用]
11．若圆C ：x 2
＋y 2
－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2
－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( )
A ．2或1
B ．－2或－1
C ．2
D ．1
解析：选C ∵x 2
＋y 2
－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2
－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]
2
＋[2(m －1)]2
－4(2m 2
－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2
－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.
12．已知圆x 2＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b
的最小值是( )
A ．23
B ．203
C ．4
D ．163
解析：选D 由圆x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝9， ∵圆x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1，3)，即－a －3b ＋3＝0， ∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)， ∴1a ＋3b ＝13 (a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝ 13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9 ≥13 ⎝
⎛
⎭
⎪⎫10＋2
3a
b ·3b a ＝16
3 ，
当且仅当3b a ＝3a
b
，即a ＝b 时取等号，故选D.
13．若圆x 2＋y 2
－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m ＝________，圆的面积为________．
解析：设A (0，y 1)，B (0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2
＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，
由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪
⎧Δ＝4－4m >0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，
又由∠ACB ＝90°，C (2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1， 即
y 1＋1－2
·y 2＋1
－2
＝－1，
即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4， 即m －2＋1＝－4，
∴m ＝－3，符合m <1的条件．
r ＝1
2
16＋4－4×（－3） ＝22 ，
∴圆的面积为πr 2
＝π×(22 )2
＝8π. 答案：－3 8π
14．已知圆C ：x 2
＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2 ，求圆的一般方程．
解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2
，－E 2 ，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2 －E
2 －1＝0，即D ＋E
＝－2.
①
又∵半径长r ＝D 2＋E 2－12
2
＝2 ，
∴D 2
＋E 2
＝20.
②
由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4 或⎩
⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.
又∵圆心在第二象限，∴－D
2 ＜0，即D ＞0.
则⎩⎪⎨
⎪⎧D ＝2，E ＝－4.
故圆的一般方程为x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0.
[C 级 拓展探究]
15．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A ，B 距离之比为λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．
(1)已知两定点A (－2，0)，B (4，0)，若动点P 满足|PA ||PB | ＝12 ，求点P 的轨迹方程；
(2)已知A (－6，0)，P 是圆C ：(x ＋4)2
＋y 2
＝16上任意一点，在平面上是否存在点B ，使得|PA ||PB | ＝12
恒成立？若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由；
(3)已知P 是圆D ：x 2＋y 2
＝4上任意一点，在平面内求出两个定点A ，B ，使得|PA ||PB | ＝12
恒成立．只需写出两个定点A ，B 的坐标，无需证明．
解：(1)设点P (x ，y )，由|PA ||PB | ＝1
2 得|PB |2＝4|PA |2，
即(x －4)2
＋y 2
＝4[(x ＋2)2
＋y 2
]，化简得(x ＋4)2
＋y 2
＝16. 即点P 的轨迹方程为(x ＋4)2
＋y 2
＝16.
(2)假设存在点B (a ，b )满足对圆C ：(x ＋4)2＋y 2
＝16上任意一点P ，都有|PA ||PB | ＝12 ，
即|PB |2
＝4|PA |2
.
设P (x 0，y 0)，则(x 0－a )2
＋(y 0－b )2
＝4[(x 0＋6)2
＋y 2
0 ]， 化简得3x 2
0 ＋3y 2
0 ＋(48＋2a )x 0＋2by 0＋144－a 2
－b 2
＝0. ① 又∵点P 在圆C 上，∴x 2
0 ＋y 2
0 ＝－8x 0.
②
将②代入①得(24＋2a )x 0＋2by 0＋144－a 2－b 2
＝0. 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧24＋2a ＝0，2b ＝0，144－a 2－b 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝0.
∴B (－12，0).
故对于A (－6，0)，圆C ：(x ＋4)2＋y 2
＝16上任意一点P ，在平面上存在点B ，使得|PA ||PB |
＝1
2
恒成立． (3)设A (m ，n )，B (s ，t )，P (x 1，y 1).
由|PB |2
＝4|PA |2
得(x 1－s )2
＋(y 1－t )2
＝4(x 1－m )2
＋4(y 1－n )2
. 化简得3x 2
1 ＋3y 2
1 ＋(2s －8m )x 1＋(2t －8n )y 1＋4m 2
＋4n 2
－s 2
－t 2
＝0， ③ 又∵P 在圆D ：x 2
＋y 2
＝4上，∴x 2
1 ＋y 2
1 ＝4，
④
将④代入③得(2s －8m )x 1＋(2t －8n )y 1＋4m 2
＋4n 2
－s 2
－t 2
＋12＝0. 根据题意有⎩⎪⎨⎪
⎧2s －8m ＝0，2t －8n ＝0，4m 2＋4n 2－s 2－t 2＋12＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧s ＝4m ，t ＝4n ，m 2＋n 2＝1.
答案不唯一，只需满足上面的方程组即可，例如A (1，0)，B (4，0)或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32 ，B (2，
23 )等．。