(湖南专用)高考数学一轮复习 第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理

8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲要求
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
2．了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 符号表示为：A ∈l ，B ∈l ，A ∈α，B ∈α⇒l __α. 作用：可用来证明点、直线在平面内．
(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一 个平面．
符号表示为：A ，B ，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α. 作用：①可用来确定一个平面，为空间图形平面化作准备；②证明点线共面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．
符号表示为：P ∈α∩β⇒α∩β＝l ，且P ∈l .
作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断三点共线、三线共点． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
⎩⎨
⎧
共面直线⎩⎪⎨⎪
⎧ ：同一平面内，有且只有 一个公共点
：同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点
(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
符号表示为：设a ，b ，c 是三条直线，a ∥b ，c ∥b ，则____．
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间中这个性质都适用． 作用：判断空间两条直线平行的依据．
(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________． (4)异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做________，已知异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的__________
叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)，两条异面直线所成的角θ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，计算中，通
常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
______ ________ ______
．两个平面的位置关系
表示法 公共点个数 ______
1．如果a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是( )． A ．l ⊂α B ．l ⊄α C ．l ∩α＝A D ．l ∩α＝B
2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )． A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3
C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面
D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 3．在空间中，下列命题正确的是( )． A ．平行直线的平行投影重合
B ．平行于同一直线的两个平面平行
C ．垂直于同一平面的两个平面平行
D ．垂直于同一平面的两条直线平行 4．下面四个命题：
①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c
相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，
b ⊥
c ，则a ∥c .
其中真命题的序号是__________．
5．(2012郑州模拟)已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，
G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝1
3
DC .
求证：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)三直线FH ，EG ，AC 共点．
一、平面的基本性质
【例1】定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外一点，且P 不在α内，若直线AP ，BP 与α分别交于C ， D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．
方法提炼
证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在这两个平面的交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得出三点共线．
请做演练巩固提升6
二、空间中两条直线的位置关系
【例2】在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .
求证：直线FG ⊂平面ABCD ，且直线FG ∥直线A 1B 1. 方法提炼 1．证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理4.平行线的传递性即若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .
2．判断两直线为异面直线的常用方法．
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．
请做演练巩固提升1
易忽视对异面直线所成的角与三角形内角的关系而致误
【典例】(2012大纲全国高考)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为__________．
解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，
∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角， 在△AEA 1中， cos∠AEA 1＝
a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22＋a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
2－a 22
a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
2
a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a 22＝35. 答案：3
5
答题指导：1.(1)在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时，忽视对三角形内角“即为两异面直线所成角或其补角”的叙述．
(2)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理．
2．求异面直线所成角一般用平移法：
①一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角． ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角．
③三求：解三角形，求出所作的角，注意为锐角或直角．
1．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n .其中真命题有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．(2012浙江高考)设l 是直线，α，β是两个不同的平面，( )． A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不．正确的是( )．
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
4．(2012浙江杭州模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
⑤若a，b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的是__________(只填序号)．
5．(2012四川高考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．
6．如图所示，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四边上，且直线EH与FG相交于点P，求证：B，D，P三点共线．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)两点 ⊂ (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2．(1)相交直线 平行直线 任何 (2)a ∥c (3)相等或互补 (4)异面直线 锐角(或直角)
3．无数个 一个 无 a ⊂α a ∩α＝A a ∥α 4．α∥β α∩β＝l 无数 α⊥β 无数 基础自测 1．A
2．B 解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．
3．D 解析：对于A ，平行直线的平行投影也可能平行，故A 错误； 对于B ，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B 错误； 对于C ，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C 错误．
4．③ 解析：①a ，c 可能相交、平行或异面；②a ，c 可能相交、平行或异面；③正确；④a ，c 可能相交，平行或异面．
5．解：(1)连接EF ，GH .
已知E ，F 分别为AB ，AD 的中点，
∴EF 1
2BD .
又CG ＝13BC ，CH ＝1
3DC ，
∴HG 1
3
BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG .
∴EF ，HG 可确定平面α，即E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知：EFHG 为平面图形，且EF ∥HG ，EF ≠HG . ∴四边形EFHG 为梯形． 设直线FH ∩直线EG ＝O .
∵点O ∈直线FH ，直线FH ⊂面ACD ， ∴点O ∈平面ACD . 同理点O ∈平面ABC .
又∵面ACD ∩面ABC ＝AC ， ∴点O ∈直线AC .
∴直线FH ，EG ，AC 交于点O ，即三直线共点． 考点探究突破
【例1】证明：设定线段AB 所在直线为l ，与平面α交于O 点，即l ∩α＝O . 由题意可知，AP ∩α＝C ，BP ∩α＝D ， ∴C ∈α，D ∈α. 又∵AP ∩BP ＝P ，
∴AP ，BP 可确定一平面β，且C ∈β，D ∈β. ∴CD ＝α∩β.
∵A ∈β，B ∈β，∴l ⊂β.
∴O ∈β.∴O ∈α∩β，即O ∈CD .
∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点． 【例2】证明：已知E 是CD 的中点，
在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ，所以AE ⊂平面ABCD . 又因为AE ∩BC ＝F ，所以F ∈AE . 从而F ∈平面ABCD . 同理G ∈平面ABCD ， 所以FG ⊂平面ABCD .
因为EC 1
2
AB ，
故在Rt△FBA 中，CF ＝BC ， 同理DG ＝AD .
又在正方形ABCD 中，BC AD ， 所以CF DG .
所以四边形CFGD 是平行四边形． 所以FG ∥CD .
又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1， 所以直线FG ∥直线A 1B 1. 演练巩固提升
1．B 解析：若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m 与n 可能平行，也可能相交或异面，故①错；若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 可能平行，也可能相交或异面，故②错；若m ⊥α，且α∥β，则m ⊥β，又n ∥β，所以m ⊥n ，故③为真命题；若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ，故④为真命题．因此真命题有2个．
2．B 解析：A 选项中由l ∥α，l ∥β不能确定α与β的位置关系，C 选项中由α⊥β，l ⊥α可推出l ∥β或l ⊂β，D 选项由α⊥β，l ∥α不能确定l 与β的位置关系．
3．C 解析：A 中，若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面； B 中，若AC 与BD 是异面直线，则A ，B ，C ，D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线； C 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 不一定等于BC ； D 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，可以证明AD ⊥BC .
4．① 解析：由公理4知①正确；②用“墙角”作为反例，知有a ⊥c 这种可能；③a
与c 可能异面或平行；④举反例如图，a ，b 可能相交；⑤可能异面．故只有①正确．
5．90° 解析：如图所示，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、
z 轴建立坐标系D ­xyz ，设正方体的棱长为2，则1MA uuu r
＝(2，－1,2)，DN uuu r ＝(0,2,1)，于
是1MA uuu r ·DN uuu
r ＝0，故异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.
6．证明：∵点P是直线EH与FG的交点，
∴点P既在直线EH上，也在直线FG上．
又直线EH，FG分别在平面ABD和平面BCD内，
∴点P既在平面BCD内，又在平面ABD内．
故点P必在两平面的交线上，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即点P在直线BD上．
∴B，D，P三点共线．。