2022-2023学年江苏省盐城市滨海县高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省盐城市滨海县高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．准线方程为2x =-的抛物线的标准方程为（ ） A ．24x y = B ．28x y = C ．24y x = D ．28y x =
【答案】D
【分析】根据抛物线22y px =的准线方程为2
p
x =-
可求解. 【详解】因为抛物线的准线方程为2x =-，所以4p =，所以抛物线的标准方程为28.y x = 故选：D
2．401是等差数列5，9，13⋯，的第项．（ ） A ．98 B ．99 C ．100 D ．101
【答案】C
【分析】根据等差数列定义和通项公式即可. 【详解】等差数列5，9，13，…中， 首项15a =，公差954d =-=， 5(1)441n a n n ∴=+-⨯=+， 41401n a n =+=，
100.n ∴=
故401是等差数列5，9，13…的第100项． 故选：C.
3．两条平行直线3x +4y -10=0与ax +8y +11=0之间的距离为（ ） A ．
31
5
B ．
3110
C ．
235
D ．
2310
【答案】B
【分析】先求出a ，利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】因为两直线3x +4y -10=0与ax +8y +11=0平行， 所以
8113410a =≠-，解得：a =6，所以ax +8y +11=0为6 x +8y +11=0，即113402
x y ++=， 由两平行线间的距离公式可得：
两条平行直线3x +4y -10=0与6x +8y +11=0
之间的距离为：3110
d =
=
. 故选：B.
4．已知点(,)P a b 在圆222:()0O x y r r +=>内，则直线2:0++=l ax by r 与圆O 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
【答案】A
【分析】
r ，再利用点到直线的距离即可判断. 【详解】因为点P 在圆O 内，
<r ，又圆心O 到l
的距离2d =
所以d
r ，所以直线l 与圆O 的位置关系为相离．
故选：A ．
5．已知{}n a 是等差数列，且8923a a =+，则7a =（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7
【答案】B
【分析】结合等差数列通项公式即可解决.
【详解】设等差数列的公差为d ，由8923a a =+得，112(7)83a d a d +=++， 则1763.a d a +== 故选：B.
6．直线320x y -=是双曲线22219
x y a -=的一条渐近线，1F ，2F 分别是双曲线左、右焦点，P 是双曲
线上一点，且14PF =，则2PF =（ ） A ．2 B ．6 C ．8 D ．10
【答案】C
【分析】根据渐近线可求出a ，再由双曲线定义可求解. 【详解】因为直线320x y -=是双曲线22
219
x y a -=的一条渐近线， 所以
33
2
b a a ==， 2a ∴=，
又12||||24PF PF a -==或21||||24PF PF a -==，
28PF ∴=或20PF =（舍去），
故选：C
7．过圆C : 22(1)1x y -+=外一点P 作圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，若P A ⊥PB ，则点P 到直线:50l x y +-=的距离的最小值为（ ）
A ．1
B
C ．
D ．【答案】B
【分析】求出点P 的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值. 【详解】∵过圆C : 22(1)1x y -+=外一点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，
切点分别为A ，B ，由P A ⊥PB 可知，四边形CAPB 为边长为1的正方形，所以||CP =
所以P 点的轨迹E 是以C (1,0)为半径的圆，
圆心(1,0)C 到直线:50l x y +-=的距离
d =
==
所以点P 到直线:50l x y +-=的最短距离为d r -= 故选：B
8．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，若存在过原点的直线与C 的交点A ，B 满足
AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）
A ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．⎛ ⎝⎦
D ．⎫
⎪⎪⎣⎭
【答案】D
【分析】根据题意可得出以原点为圆心，OF 为半径的圆与椭圆有交点，从而可得到c b ≥，然后结合222a b c =+及椭圆的离心率01e <<即可求出答案.
【详解】因为存在过原点的直线与C 的交点A ，B 满足AF BF ⊥， 故以原点为圆心，OF 为半径的圆与椭圆有交点，所以c b ≥，即22c b ≥， 又因为222a b c =+，所以222c a c ≥-，即222c a ≥，
所以22
21
2c e a =≥，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭
. 故选：D.
二、多选题
9．设点A （-2，3），B （3，2），则下列a 的值满足直线ax+y+2=0与线段AB 有交点的是（ ） A ．-2 B ．-1
C ．3
D ．4
【答案】ACD
【分析】先分析直线方程可得直线恒过点C （0，-2），斜率为-a ，转化为过点C （0，-2）的直线与线段AB 有交点，数形结合即得解
【详解】如图，直线ax+y+2=02y ax ⇔=--，恒过点C （0，-2），斜率为-a.
kAC 3(2)20--=--=-52，kBC 2(2)30
--=-=43.
由于当-a ≥43或-a ≤-52，即a ≤-4
3或a ≥52
时，直线与线段AB 有交点，故A ，C ，D 符合，B 不符合.
故选：ACD
10．已知双曲线22
:1x y E m n -=，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线E 有相同焦点的是（ ）
A ．22
12x y m n m
+=+
B ．22
12y x m n m +=+
C ．2212x y m n m +=-+
D ．22
12y x m n m
+=-+
【答案】AD
【分析】讨论0m n >>、0m n <<写出对应双曲线的焦点坐标，再结合各选项椭圆方程写出其焦点坐标，即可判断.
【详解】由题设，当0m n >>时双曲线的焦点坐标为(,0)m n +，当0m n <<时双曲线的焦点坐标为(0,)m n ±--，
A ：显然0m n <<不合要求，此时0m n >>，则椭圆焦点为(,0)m n ±+，符合要求；
B ：显然0m n <<不合要求，此时0m n >>，则椭圆焦点为(0,)m n +，不合要求；
C ：显然0m n >>不合要求，此时0m n <<，则椭圆焦点为(,0)m n --，不合要求；
D ：显然0m n >>不合要求，此时0m n <<，则椭圆焦点为(0,)m n --，符合要求； 故选：AD.
11．已知圆()()22
:1C x a y b -+-=，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b =，则圆C 不可能过点()0,2 B ．若圆C 与两坐标轴均相切，则a b =
C ．若点()3,4在圆C 上，则圆心C 到原点的距离的最小值为4
D ．若圆C 上有两点到原点的距离为1，则224a b +< 【答案】ACD
【分析】对A ，将点()0,2代入圆的方程，进而通过判别式法判断答案； 对B ，根据题意得到a ,b 间的关系，进而判断答案；
对C ，由题意得到，()()2
2
341a b -+-=，将其视为圆的方程，进而根据圆的性质判断答案； 对D ，根据题意得到圆221x y +=与圆C 总有两个交点，进而根据圆与圆的位置关系求得答案. 【详解】对A ，若a b =，将点()0,2代入方程得：
()2
22212430,162480a a a a +-=⇒-+=∆=-=-<，方程无解.A 正确；
对B ，若圆C 与两坐标轴均相切，则||||1a b ==，则可以有a b =-.B 错误；
对C ，由题意，()()2
2
341a b -+-=，
则(),C a b 14=.C 正确；
对D ，由题意，圆221x y +=与圆C 总有两个交点，圆心距d
22111104a b -+⇒<+<.D 正确.
故选：ACD.
12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点(1,0)M ，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论不正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段
B ．点P 的轨迹与直线n a ：=1x -是没有交会的轨迹n a 即两个轨迹没有交点n a
C ．26y x =+不是“最远距离直线”
D ．1
12
y x =
+是“最远距离直线” 【答案】BCD
【分析】根据抛物线方程，运用联立方程消去y 的代数运算即可解决.
【详解】由题意可得，点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，即等价于“点P 到点M 的距离等于到直线l '：=1x -的距离”，故P 点轨迹是以(1,0)M 为焦点，直线l '：=1x -为准线的抛物线，其方程是24y x =，故A 错误;
点P 的轨迹方程是抛物线24y x =，它与直线l '没有交点，即两者是没有交会的轨迹，故B 正确; 要满足“最远距离直线”，则必须满足与抛物线24y x =有交点，把26y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得2590x x ++=，因为25419110∆=-⨯⨯=-<，无解， 所以26y x =+不是“最远距离直线”，故C 正确； 把1
12
y x =
+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得21240x x -+=，因为2(12)4141280∆=--⨯⨯=>，有解，所以1
12
y x =+是“最远距离直线”，故D 正确． 故选：BCD.
三、填空题
13．直线10x +-=的倾斜角为_______________.
【答案】150
【分析】由直线10x -=的斜率为k =，得到00tan [0,180)αα=∈，即可求解.
【详解】由题意，可知直线10x -=的斜率为k =，
设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)αα=∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150.
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
14．已知等差数列{}n A 的首项为2，公差为8，在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，数列{}n a 的通项公式n a =__________. 【答案】2n ，()n N +∈
【分析】等差数列{}n a 满足为11a A =，52a A =，故可以求得{}n a 的首项与公差，从而可以写出{}n a 的通项公式.
【详解】设数列{}n a 的公差为.d '由题意可知，11a A =，52a A =， 于是51218.a a A A -=-=
因为514a a d -='，所以48d '=，所以 2.d '= 所以2(1)22().n a n n n N +=+-⨯=∈ 故答案为：2n ，()n N +∈
15．已知圆22:4O x y +=，圆22:60y y P x +-+=相交于A ，B 两点，则AOB ∠=______． 【答案】120°
【分析】两圆方程相减得出直线AB 的方程，进而得出A ，B 两点坐标，根据余弦定理得出AOB ∠.
【详解】两圆方程相减得直线AB 20y +-=，由22
2
4y x y ⎧=+⎪⎨
+=⎪⎩
得出120,x x =
(0,2),1)A B -，2,2OA OB ===，AB =，44121
cos 2222
AOB +-∠==-⨯⨯，则
120AOB ︒∠=.
故答案为：120°
16．已知双曲线()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与双曲线E 的两条渐近线的
交点M ､N 位于y 轴左侧，满足113MF F N =，ON a =，O 为坐标原点，则双曲线E 的渐近线方程为______.
【答案】y = 【分析】先根据余弦定理求出1F N b ，推出190F NO ，在利用正切函数的二倍角公式列等量关
系求解.
【详解】
由上图可知，1tan b FON a
，于是结合22
11sin cos 1F ON F ON 可求出 1
cos a FON c
，在1OF N 中，由余弦定理 22222
212a F N a c ac
c a b c
，于是1F N
b ，于是
注意到2
2
211F N ON OF ，则190F NO ，又113MF F N =，则
1
3MF b ，下记1
FON θ∠=，显然(0,)2π
θ∈，于是tan b a θ=，4tan 2b
a
，由三角公式可得，2
2tan
tan 2
4tan 1tan ，又tan 0θ>，于是2
11tan 2，解得2tan θ2b a =线方程为2
y =. 故答案为：22
y x =.
四、解答题
17．已知圆C 过点A （6，0），B （1，5）. （1）求线段AB 的垂直平分线所在的直线方程； （2）若圆C 的圆心在直线2x -7y +8=0上，求圆C 的方程. 【答案】（1）10y x -+=；（2）()()2
2
3213x y -+-=.
【分析】（1）由斜率的两点式求AB 的斜率，并写出AB 中点坐标，再根据两线垂直求中垂线斜率，应用点斜式写出直线方程即可.
（2）由（1）所得直线方程，联立题设直线求圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，进而写出圆的方程即可.
【详解】（1）∵线段AB 的斜率105
161
k -==--， ∴AB 的垂直平分线的斜率21
1
1k k =-
=， ∵AB 中点6105,22++⎛⎫
⎪⎝⎭，即为点75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴AB 的垂直平分线的方程为57
22y x -=-，整理得10y x -+=.
（2）∵圆心C 一定在AB 的垂直平分线上，又在直线2780x y -+=上，
联立直线278010x y x y -+=⎧⎨-++=⎩
，解出3
2x y =⎧⎨=⎩，即圆心()3,2C ，
AC =
==
∴圆C 的方程为()()2
2
3213x y -+-=.
18．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，公差分别为1d ，2d ，数列{}n c 满足2n n n c a b =+． （1）数列{}n c 是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若{}n a ，{}n b 的公差都等于2，111a b ==，求数列{}n c 的通项公式． 【答案】（1）数列{}n c 是等差数列，证明见解析；（2）63n c n =-. 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论； （2）由等差数列的通项公式运算即可得解. 【详解】（1）数列{}n c 是等差数列，
证明：因为数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，公差分别为1d ，2d ， 所以()()11121,1n n a a n d b b n d =+-=+-， 又因为()()()11122212n n n c a b a b n d d =+=++-+，
故()()()()()11112111222212n n c c a b n d d a b n d d +-=+++-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦122d d =+， 而1112c a b =+，所以数列{}n c 是以112a b +为首项，122d d +为公差的等差数列. （2）由（1）知：数列{}n c 是以112a b +为首项，122d d +为公差的等差数列， 而11123c a b =+=，1226d d +=， 所以()36163n c n n =+-=-.
19．已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为(1)求圆A 的方程；
(2)若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()2
2
124x y ++-= (2)1x =或3450x y ++=
【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；
（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.
【详解】（1）不妨设圆的半径为R ，根据垂径定理，可得：2
221R =+
解得：2R =
则圆的方程为：()()2
2
124x y ++-= （2）当直线l 的斜率不存在时，则有：1x = 故此时直线l 与圆相切，满足题意
当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--
则有：2d =
解得：3
4
k =- ，此时直线l 的方程为：3450x y ++=
综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=
20．（1）已知曲线C 6，判断曲线C 是什么曲线，并求其标
准方程；
（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45的直线l 交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 的长．
【答案】（1）答案见解析（2）8AB =.
【分析】（1）设()15,0F -、()25,0F 、(),E x y ，分析可知点E 的轨迹是以()15,0F -、()25,0F 为焦点，
实轴长为6的双曲线右支，设曲线C 的方程为()22
2210,0,0x y a b x b
a -=>>>，求出a 、
b 的值，即可得出曲线C 的标准方程；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得AB 的值.
【详解】解：（1）设()15,0F -、()25,0F 、(),E x y ，
6=，则12126EF EF F F -=<，
点E 的轨迹是以()15,0F -、()25,0F 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支．
设曲线C 的方程为()22
2210,0,0x y a b x b
a -=>>>，
则26a =，5c =，则4b =，
∴曲线C 的标准方程为()2210916
x y x -=>； （2）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ， 直线l 的斜率为tan 451=，则直线l 的方程为1y x =-，
设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立214y x y x
=-⎧⎨=⎩可得2610x x -+=，3640∆=->， 由韦达定理可得126x x +=，因此，1228AB x x =++=.
21．已知双曲线()2
22:10x C y a a
-=>经过点（1） (1)求双曲线C 的离心率；
(2)若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(2)证明见解析,定点为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】(1)根据双曲线经过点（1）即可求解;(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可求解.
【详解】（1）因为双曲线()2
22:10x C y a a
-=>经过点（1），
所以2
811a -=，解得=2a 或2a =-(舍)，
所以c =
所以双曲线的离心率c e a =. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，
由（1）知，双曲线2
2:14
x C y -=， 联立2
2=14=+x y y kx m -⎧⎪⎨⎪⎩
，消y 整理得222(41)8440k x kmx m -+++=， 因为直线l 与双曲线C 有两个交点，
所以2222644(41)(44)0k m k m ∆=--+>，
即22410m k +-<， 由韦达定理得2121222844,4141
km m x x x x k k ++=-=--， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++
2222222222
22224484441414141
k m k k m k m m k m k k k k +--=-+=----， 由题可知双曲线C 的左顶点(2,0)D -,
因为以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，
所以DA DB ⊥,即0DA DB ⋅=，
所以1122121212(2,)(2,)2()40x y x y x x x x y y +⋅+=++++=， 即2222222244164164041414141
m km k m k k k k k +---++=----， 整理得22320160m k km +-=， 即2
316200m m k k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得103m k =，或2m k =， 即103
m k =，2m k =， 当2m k =时，直线方程为2y kx k =+，当2x =-时=0y ，
即此时直线l 过定点为左顶点(2,0)D -，不满足题意; 当103m k =时，直线方程为103y kx k =+，当103
x =-时=0y ， 即此时直线l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
，满足题意;
所以直线l 过定点，该定点的坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 22．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>
，点A 在椭圆C 上，且12AF F △
的周长为4.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若B 为椭圆C 的上顶点，过()0,8D 的直线l 与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线BP 与x 轴交于点M ，直线BQ 与x 轴交于点N ，判断OM ON ⋅是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)2
2
184x y += (2)40||||3
OM ON ⋅=
【分析】（1
）利用椭圆的定义可得224a c +=
，而离心率c e a ==，解方程组，即可得解； （2）设直线PQ 的方程为(8)x t y =-，将其与椭圆的方程联立，由P ，Q ，B 三点的坐标写出直线PB ，QB 的方程，进而知点M ，N 的坐标，再结合韦达定理，进行化简，即可得解．
【详解】（1）解：因为12AF F △
的周长为4
，所以224a c +=
，即2a c +=，
又离心率2
c e a ==
，所以a =2c =， 所以2224b a c =-=，
故椭圆C 的方程为2
2
184x y +=．
（2）解：由题意知，直线PQ 的斜率一定不可能为0，设其方程为(8)x t y =-，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，
联立22(8)18
4x t y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(2)166480t y t y t +-+-=， 所以2
12221221626482t y y t t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，222
2221212121222264816120(8)(8)[8()64](864)222t t t x x t y y t y y y y t t t t -=--=-++=-⋅+=+++， 因为点B 为(0,2)，
所以直线PB 的方程为1122y y x x -=
+，所以点112(2x M y -，0)， 直线QB 的方程为22
22y y x x -=+，所以点222(2x N y -，0)， 所以2
221212222121212221204444120402||||16648(2)(2)42()3634222
t x x x x t t OM ON t t y y y y y y t t t ⋅⋅+⋅=====----++-⋅+++，即||||OM ON ⋅
40 3．
为定值。