9. 对数的运算性质_课堂实录与教学反思_王思俭
《对数函数及其性质》教学反思
《对数函数及其性质》教学反思
在教授《对数函数及其性质》这一课程时，我发现学生对对数函数的概念和性质有一
定程度的困惑。
因此，在今后的教学中，我需要更加重视以下几点：
首先，我需要更清晰地解释对数函数的定义和含义。
对数函数的概念对学生来说可能
相对抽象，我可以通过举例和实际应用等方式来帮助学生理解。
我可以引导学生思考
对数函数与指数函数之间的关系，从而建立起对对数函数的初步认识。
其次，我要注重对对数函数性质的讲解。
对数函数的性质是理解和运用对数函数的关键。
我可以通过数学推导和图像展示等方式，帮助学生理解对数函数的性质，并指导
他们从实际问题中运用这些性质解决问题。
此外，我还要加强对数函数的图像表示和变换的教学。
对数函数的图像和变换可以直
观地展示对数函数的特点和性质。
我可以通过绘制图像和变换函数图像等方式，帮助
学生更好地理解对数函数的图像表示和变换规律。
最后，我可以组织一些小组讨论和实际问题解决的活动，让学生主动参与，深入思考
和应用对数函数。
这样可以提高学生对对数函数的兴趣和理解，加强他们的学习效果。
综上所述，通过加强对对数函数定义和性质的讲解，注重图像表示和变换的教学，以
及组织实际问题解决的活动，我相信学生对《对数函数及其性质》这门课程的理解和
掌握会有所提高。
高中数学教学课例《对数与对数运算》课程思政核心素养教学设计及总结反思
知识并形成技能．
2．通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数 教学目标
的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式
与指数式的互化．
3．通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要
性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．
现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不
够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或 学生学习能
课例研究综 要突出的是不同轮次的教学中学生表现的变化情况。另
述
一方面也叫以对学生实施教学后测，根据学生教学后测
中的表现以及与前测情况的比较，来推断课堂是否有效
地帮助学生掌握了学习内容。
多或少的恐惧感．通过对指数与指数幂的运算的学习， 力分析
学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思
想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．
教学策略选
本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对
择与设计 对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教
学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认
识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．
探究活动时，学生独立完成后，通过思考，然后分
小组进行讨论，最后得出结论．我针对问题补充，通过
教学过程 练习与讨论的方式，让学生自己得出结论，从而能更好
地理解和掌握对数的性质．培养学生类比、分析、归纳
的能力.
根据观察记录说明他们在课堂上的参与程度和具
体表现(参与状态、思维发展、学习体验等方面)，尤其
高中数学教学课例《对数与对数运算》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《对数与对数运算》
称
重点：(1)对数的概念；(2)对数式与指数式的相互
“对数的运算性质”教学设计与反思
“对数的运算性质”教学反思一.本节课教学流程1.首先复习对数的有关概念和指数的运算，并指出指对数之间的关系。
2．引入对数的运算（指导学生完成设计表格，让学生提出猜想）3.以第一个公式做示范性的推导，重点让学生能把对数问题指数化，其余两个公式让学生自己完成，教师加以指导。
4.通过典型例题的讲解，熟悉公式，熟悉公式成立的条件。
5.课堂小结，总结提高。
设计的理由：根据教学大纲和课程标准本节课的教学要求是对数运算的三个性质，为此先从定义和指数的运算性质引入，指出他们之间的关系，顺利引导出对数的运算，让学生自己探究，教师加以指导突出学生的课堂主题地位，设计例题巩固公式，强化公式成立的条件和记忆，最后对本节课进行总结提高升华，形成新的认知结构。
二．本节课的重难点是运算性质和运用和突破方法如何得到对数的运算性质和运用是这节课的难点，为了突破这一难点，我采用了先猜想再证明，从特殊到一般的数学思想。
先让同学们填写书上的表格，给出特殊的例子，让同学们自己先猜想出运算性质，为了验证，再引导同学们去严格的证明。
再给出几组题，让同学们建构新知识，从而达到灵活运用的目的。
三．教法和学法指导互动探究式，调动学生的学习积极性，突出学生的主题地位，让学生觉得课堂不再枯燥，提高学生学习的兴趣。
学习对数的运算要把对数与指数对比起来，找出他们的差异以及产生差异的根源，加深对运算的理解和记忆。
最后通过练习加以巩固和提高。
希望学生以后学习新知识尽量多联系已有的知识，这样能很好的衔接，很自然。
四．教学反思本节课在实际的操作中还是有一些不足之处，在表格的填写及探究过程中花费时间过多，导致例题的讲解有些粗略。
以后在时间控制上应多加注意。
对于理解能力强的同学可以对本节内容进行提高升华，留一些思考题，效果可能会更好一些。
《对数函数及其性质》教学反思
《对数函数及其性质》教学反思《对数函数及其性质》教学反思1计算在生活中随处可见，在小学，计算教学更是贯穿于数学教学的全过程，可见计算教学的重要性。
但是小学生计算的正确率常受到学生的兴趣、态度、意志、习惯等因素的影响。
在做计算题时，学生普遍有轻视的态度，一些计算题并不是不会做，而是由于注意力不够集中、抄错题、运算粗心、不进行验算造成的。
在计算教学中，我比较重视培养学生良好的计算能力，我是从以下几个方面进行的，特提出来与大家分享。
一、培养学生计算的兴趣。
“兴趣是最好的老师”，在计算教学中，首先要激发学生的计算兴趣，让学生乐于学、乐于做，教会学生用口算、笔算和计算工具进行计算，并掌握一定的计算方法，达到算得准、快的目的。
讲究训练形式，激发计算兴趣。
为了提高学生的计算兴趣，寓教于乐，结合每天的教学内容，可以让学生练习一些口算。
在强调计算的同时，讲究训练形式多样化。
如：用游戏、竞赛等方式训练;用卡片、小黑板视算，听算;限时口算，自编计算题等。
多种形式的训练，不仅提高学生的计算兴趣，还培养学生良好的计算习惯。
以中外数学家的典型事例或与课堂教学内容有关的小故事激发兴趣。
教学中，适时地列举中外数学家的典型事例，或者是以学生喜闻乐见的小故事来增添课堂气氛，吸引学生注意力，可以激发学生对数学学习的爱好和兴趣，使学生集中精神进行计算，提高课堂上的学习效果。
二、培养坚强的意志。
培养学生坚强的意志对学生能够长期进行准确、快速的计算，会产生良好的促进作用。
每天坚持练一练。
计算教学中，口算是笔算的基础，可以根据每天的教学内容适时适量地进行一些口算训练，在我们班每天20题的口算训练已成为学生的习惯。
通过长期坚持的训练，既培养了学生坚强的意志，又提高了学生的计算能力。
针对小学生只喜欢做简单的计算题，不喜欢做或做不对稍复杂的计算、简算等题目的弱点，教学中要善于发现小学生的思维障碍，克服影响学生正确计算的心理因素。
可以通过各种方法进行练习，如：“趣题征解”、“巧算比赛”、鼓励学生一题多解等形式培养学生的意志。
对数函数及其性质教学反思
对数函数及其性质教学反思引言本文对数函数及其性质的教学进行了反思和总结。
对数函数是高中数学的重要内容之一，它在实际问题中有广泛的应用。
通过本次教学，我对对数函数的概念和性质有了更深入的了解，并将此知识传授给学生们。
以下是我在教学中获得的一些体会和经验总结。
教学内容设计在教学中，我为学生们设计了以下几个关键内容：1. 对数函数的概念和定义在开始教学之前，我充分介绍了对数函数的概念和定义，包括自然对数函数和以其他底数为底的对数函数。
通过理论解释和实际示例，学生们对对数函数的定义有了清晰的认识。
2. 对数函数的性质我重点强调了对数函数的一些重要性质，包括对数函数的定义域、值域、增减性、奇偶性等。
通过讲解和练题，学生们能够熟练运用这些性质，分析和解决与对数函数相关的问题。
3. 对数函数的应用我引入了对数函数在实际问题中的应用，并通过案例分析来展示对数函数的实际意义。
学生们通过解决实际问题，加深了对对数函数的理解，并体会到对数函数在实际生活中的重要性。
教学方法和策略为了增强学生们的研究兴趣和理解能力，我采取了以下教学方法和策略：1. 直观教学法针对对数函数的概念和性质，我通过图像、图表等直观的方式进行呈现和解释。
这样能够帮助学生们更好地理解和记忆对数函数的相关知识。
2. 互动讨论我鼓励学生们在课堂上积极参与互动讨论，提出问题和分享自己的观点。
通过互动讨论，学生们能够更深入地思考和理解对数函数的概念和性质。
3. 实际应用练我设计了一些实际问题，并引导学生们运用对数函数解决这些问题。
通过实际应用的练，学生们不仅能够巩固所学的知识，而且能够将对数函数与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
教学效果评价通过学生们的表现和反馈，本次对数函数及其性质的教学取得了一定的效果。
学生们在理解对数函数的概念和性质方面有了显著的提高，能够独立分析和解决与对数函数相关的问题。
同时，他们对对数函数的应用能够体现出一定的思考和创新能力。
对数的运算法则教案及反思
对数的运算法则教案及反思一．教学目标：1. 掌握对数的运算性质，能运用对数的运算性质进行化简、求值；2. 明确对数运算性质与幂的运算性质的区别。
二．教学重点：应用对数运算性质进行化简、求值。
三．教学难点：对数运算性质的发现与证明。
四．教学过程：1. 复习旧知：对数的引进，已经指数运算的性质加深学生对对数与指数间的联系的印象2. 新课讲解：对照指数运算的运算性质，你能猜想一下对数运算具有哪些性质吗？ 计算：1log 2，2log 2，4log 2，8log 2⑴从这些计算中，你能得到什么结论？——N M MN z a log log log a +=）（（其中0,0,1,0>>≠>N M a a ） ⑵你能证明你刚才得到的结论吗？分析：可以从指数运算性质中得到启发。
证明:性质一：设p log =M a ，q N a =log由对数的定义得：p a M =，q a N =所以，q p q p a a a MN +==故，N M q p a MN a a q p a a log log log )(log +=+==+即：N M MN a a a log log log +=）（ ⑶你还能得到什么新的结论吗？N M NM a a a log log log -= M n M a n a log log ⋅=(4)你能证明这些结论吗？3．例题讲解：例一．求下列各式的值：)6432(log )1(2⨯ 51l o g 5l o g )2(33+ 3log 2log )3(66+ )44(l o g )4(2+10010lg )5( 100lg 100000lg )6( 2lg 20lg )7(-例二．已知a =2lg ，b =3lg ，试用a,b 表示下列各数：（1）12lg ；（2）1627lg思考题．求值：25lg 50lg 2lg 2lg 2+⋅+）（。
4.小结:本节课我们主要学习了什么内容？1．运算法则的内容2．运算法则的推导与证明3．运算法则的使用反思：本堂课的设计思路，旨在让学生经历从猜想到证明的过程，体会数学发现的过程与乐趣。
对数的运算性质课堂实录与教学反思
对数的运算性质课堂实录与教学反思一、实录今天我们将学习数学中一个重要的概念——对数及其运算性质。
请同学们拿出笔记本，准备记录笔记，以便之后的复习。
首先，我提醒大家，对数是一种用来衡量指数和幂的数学概念。
我们以10为底的对数称为常用对数，用符号log表示。
如果我们在等式中看到logx，这就意味着以10为底的对数。
接下来，我们来讨论一些对数的运算性质。
首先，我们知道，在指数运算中，当两个数相乘时，指数可以相加。
同样地，在对数运算中，当两个数相乘时，对数可以相加。
也就是说，log(ab)等于loga加上logb。
举个例子，假设我们要计算log(2 x 3)，根据对数运算性质，我们可以把这个等式转换成log2加上log3。
因此，log(2 x 3)等于log2加上log3，即log2 + log3。
另外一个对数运算的性质是，当两个数相除时，对数可以相减。
也就是说，log(a/b)等于loga减去logb。
举个例子，假设我们要计算log(4 / 2)，根据对数运算性质，我们可以把这个等式转换成log4减去log2。
因此，log(4 / 2)等于log4减去log2，即log4 - log2。
除了乘法和除法，对数还有一个重要的性质，那就是当一个数的指数为n时，其对数为logn。
举个例子，如果我们要计算log2，根据对数运算性质，我们可以把这个等式转换成log2为x时，2的x次方等于2。
因此，log2等于x，即2的x次方等于2。
通过以上的讲解，我想大家已经基本掌握了对数的运算性质。
现在，让我们做一些练习题来检验一下。
二、教学反思这堂课中，我采用了实录的方式来讲解对数的运算性质。
通过实际的例子和计算过程，帮助学生理解对数运算的基本规则。
我注意到学生们在课堂上积极思考，也主动参与了课堂练习。
然而，我也意识到在一些例题的讲解中，我可能没有给出足够的辅助步骤，导致一些学生没有完全理解运算的过程。
下次我会更加注重详细的步骤分解，帮助学生更好地理解运算性质。
“对数的运算性质”课堂实录与教学反思
对数函数及其性质课后反思
对数函数及其性质课后反思我讲课的内容是对数函数的图象和性质。
在认真研究教学大纲和教材以后，我有了大体的想法，然后与同组老师进行了交流，比如在板书设计，知识点的前后逻辑关系，例题的选择等方面，老师们的建议对我的启发很大。
在不断研究，讨论的过程中，我对这节课的认识更深刻了，上课思路也逐渐清晰了。
当然，对一节好课的追求是永无止境的，上完课后我反复观看了录像，觉得有些地方的确进步了，有些地方还要改进，下面从两个方面谈一下自己的体会。
第一、备课首先要确定教学重难点。
所谓教学重难点，就是学生必须掌握的基本技能，也是一节课的中心任务。
只有确立了重难点，一节课才有了中心，有了主线，有了灵魂。
所有的教学设计都要为如何突出重点，突破难点服务。
这节课的重点是对数函数的图象,以及由图象得到性质，难点是探究底数对对数函数图象的影响。
所以我首先让学生认真画了两组图，并强调了列表，描点的过程。
有了图象的直观认识后，学生就不难总结出对应的性质了。
而通过对两组图底数的比较，以及练习的讲解，学生容易看出底数互为倒数的两个图象的关系，以及底数对图象变化快慢的影响。
通过台阶式的设计，重难点内容逐步得到解决。
在今后的教学中，我要从以下几方面突破重难点：1.认真备课，吃透教材，抓住教材的重难点是突破重难点的前提。
2.以旧知识为生长点，突破重点和难点。
比如对数函数的教学，我采用了类比学习的方法。
让学生回忆指数函数的学习过程，由画图到性质总结，学生很快知道了如何学习一个新的函数，这样学习就不会感到陌生和困难了。
3.依据教材内容的重点和难点选择板书内容，并以板书设计为突破口。
本节课将图象与性质对照起来，比较直观的反映了数与形的关系，学生也容易记忆。
第二、课堂提问要遵循一定的原则。
1．提问语言要准确。
2.提问要站在学生的角度去思考。
3.提问要具有启发性。
启发，即引导诱发。
要求教师的设问能启迪学生思维，给学生指明思考的方向。
课堂提问并不是越多越好，而是问到关键点上，有一定的思考价值，引导，启发学生去思考。
对数函数及其性质教学反思
《对数函数及其性质》反思后教学富县高级中学王晓广前段时间学校组织了这次“同课异构”活动，我接到通知有我后，紧张的撰写教案、制作课件后，我终于完成了前期的准备工作。
端详着自己的教案，品味其中预设的高潮和亮点，走向了课堂。
一定要上出自己的水平，让学生体验一下多媒体教学的魅力。
我这节课讲的是“对数函数及其性质”，有人说“课堂教学是学术研究的实践活动，既像科学家进入科学实验室，有像艺术家登上艺术表演的舞台，教学是一种创造的艺术，一种遗憾的艺术。
”回顾这节课有成功之处，也有遗憾之处。
通过这节课我有以下三点收获；1.运用对媒体画出函数图像，让学生更直观的观察出对数函数的图像。
对突破本节课的重、难点起了很大的帮助。
2.通过选取不同的底数a的对数图像，让学生类比研究指数函数图像及其性质分组探究对数函数的图像和性质。
这个环节让学生合作学习，合作学习让学生感受到学习过程中的互助。
还能让学生自己建构知识体系，没有传授也没有灌输。
分类的思想学生在小学和初中就已经接触了很多，应该不陌生，但是要将其变成自己的学习方法、甚至能灵活运用，却不太容易。
旧知要经常温习，已有的思想方法也要经常回顾。
不同数学内容之间的联系和类比，有助于学生了解与中学数学知识有关的扩展知识及内在的数学思想，促使学生认真思考其中的一些问题，加深对其理解。
3.课件上重点内容的“强调”与“闪烁”。
使用多媒体课件后，课堂教学的容量会大大增加，概念的呈现、过程的演示、例题的讲解将会变得得心应手。
但千万别忘记对于重要的知识点、关键的词语要用特殊的字体、特别的颜色或制作特效加以强化。
不过，“强调”与“闪烁”应该少而精，如果对呈现的内容都辅以特效，那么重点的内容就会在特效中淹没，所以特效的使用不宜太多。
通过这节课我也有以下几点遗憾;1.我明知课件的设计要注意整体性，即整个课件要保留“重要的板书”。
无论课件的进程如何，都应能较好地体现教者的教学思路，同时让学生时刻能够看到重要的教学内容，让学生有“板书”可记。
对数函数及其性质教学反思
《对数函数及其性质》教学反思我这节课讲的是“对数函数及其性质”，“对数函数及其性质”是人教版数学必修一的内容，有人说“课堂教学是学术研究的实践活动，既像科学家进入科学实验室，有像艺术家登上艺术表演的舞台，教学是一种创造的艺术，一种遗憾的艺术。
”回顾这节课有成功之处，也有遗憾之处，成功之处：1使用对媒体画出函数图像，让学生更直观的观察出对数函数的图像。
对突破本节课的重、难点起了很大的协助。
在引入新课时，教科书设计的情境对我们的学生来说，有点陌生和难，根据我校学生的实际情况我重新设计了教学情境，这样引入新课就自然了很多，学生接受起来也容易些。
一堂成功的数学课，往往给人以自然、和谐、舒服的享受。
所以设计恰当的情境引入新课是很重要的。
2通过选择不同的底数a的对数图像，让学生类比研究指数函数图像及其性质分组探究对数函数的图像和性质。
这个环节让学生合作学习，合作学习让学生感受到学习过程中的互助。
还能让学生自己建构知识体系，没有传授也没有灌输。
分类的思想学生在小学和初中就已经接触了很多，应该不陌生但是要将其变成自己的学习方法、甚至能灵活使用，却不太容易。
旧知要经常温习，已有的思想方法也要经常回顾。
不同数学内容之间的联系和类比，有助于学生了解与中学数学知识相关的扩展知识及内在的数学思想，促使学生认真思考其中的一些问题，加深对其理解。
遗憾之处：1展示学生画好的对数函数图像时，应该让学生自己上去展示解释他是怎么画这个图的，用的什么方法。
而我怕教学任务完不成有点着急，把学生画好的图像拿上去直接展示，这样就没有让学生真正的参与进来，对调动学生的积极性也没有起到好的作用。
让学生失去一个展示自己成果的机会。
2在讲完例题紧接着给出的练习题有些难了，也就是设计的练习题难易不当。
这样学生做起来就有点吃力了，甚至有些学生觉得不知道该怎么做了。
最后两道练习题应该留到下节课解决会更好些，这样学生既巩固了当堂课所学的内容也巩固了这节课所学的内容。
对数的运算 教学实录与反思
对数的运算教学实录与教学反思一、课前准备：1.教学目标：知识与技能：（1）掌握对数运算的三个基本公式，并能运用公式进行简单的求值。
（2）能够根据指数与对数的互化关系理解公式，理解公式的证明思路。
体会转化与化归的数学思想。
过程与方法（1）能够在Excel表格中取特殊值探索两个对数的和与差的公式，再由指数与对数的互化关系进行证明。
体会由特殊到一般的推理方法（归纳推理）。
（2）理解三个公式之间的联系，并由对数和公式猜出乘方的对数公式，再由指数与对数的互化关系进行证明，同时对于对数差的公式亦可以由另外两个公式共同推得。
体会事物之间相互制约相互联系的规律。
情感态度价值观探索、证明、应用公式，提高分析问题，解决问题的能力，培养正确的思考习惯，同时感受数学推理过程中的严谨之美。
2.教学重难点设计（1）重点：公式的探索、证明及简单的应用。
（2）难点：公式的证明。
3.教学流程设计复习巩固探索研究思维拓展简单应用小结思考二、课堂教学实录：【师】上节课我们共同学习了对数的定义，了解了指数与对数之间的互化关系，并且可以解决简单的对数式的求值问题。
而复杂的求值就需要进一步认识对数性质，总结更多的对数运算的公式。
类比实数运算，对数之间可以存在怎样的运算关系？【生】有加、减、乘、除、乘方、开方等；【师】很好，两个对数的和等于什么呢？猜猜下面的结论：lg2+lg3=_________ lg10+lg100=__________ lg7-lg2=________ lg100-lg10=________【生1】lg2+lg3=lg5 lg10+lg100=lg110 , lg7-lg2=lg5 lg100-lg10=【生2】 不对，lg10+lg100=3=lg1000 ，lg100-lg10=1所以我觉得lg2+lg3=lg6,lg7-lg2=lg3.5【师】好，让我们一起用计算机验证真伪吧。
教师操作Excel 表格，现场在Excel 表格中编制公式，并让学生讲数字进行运算，一起观察结果规律，一起写出公式1,2【师生】公式1 log log log a a a xy x y =+公式2 log log log a a a y y x x=- 【师】对于总结出的公式，大家放心吗？【生】不放心，要证明。
对数函数及其性质的课堂实录和反思
经验交流-374-对数函数及其性质的课堂实录和反思李华勇（402465 重庆市荣昌县永荣中学校 重庆）随着新课改在全国各地逐渐实行，中国传统式的教育教学方式也将发生转变，这对于那些经历了几十年教育生涯的一线教师来讲是一个挑战。
从2010年至今，重庆进入新课改也已经是第五个年头了，或多或少对我们的教育也有一定的影响。
改革后的课程分成了必修和选修两大部分，新增了不少内容（如算法），知识点也增多了，加大了教师教学的难度。
课改后的很多问题都生活化了，这样就需要老师带领学生去发现数学的规律，数学本质性的东西，从生活中得到启发。
下面我就以必修一第二章基本初等函数中的对数函数及其性质一节，来谈谈应该把课堂还给学生，让学生亲历对数函数的定义形成和性质的得出，把教师从课堂中解放出来。
教学目标：1．利用类比的思想，由指数函数的定义引出对数函数定义；2．通过指数函数的性质引出对数函数的性质，并会解决求函数定义域和比较大小的问题教学重难点：1．得出对数函数定义和画出图像2．掌握对数函数的性质及其应用教学过程：一、复习引入复习一：请同学们画出 xy 2= xy )21(=的图象，并以这两个函数为例，回忆指数函数的性质有那些？复习二：生物机体内碳 的“半衰期”为 5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14 的残余量为P，试推算马王堆古墓的年代（列式）同学们讨论： 复习二中t 与 P 的关系？（对每一个碳14 的含量 P 的取值，通过对应关系Pt log=，生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应，从而 t 是 P 的函数）通过对历史知识的引入，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学的重要性。
在教师引导学生回答的基础上，类比指数函数，得出对数函数的定义：二、概念的形成一般当a>0且 ≠1 时，形如()log 01a y x a a =>≠且叫做对数函数，,函数的定义域是（0，+∞）问题一：对数函数的定义域为什么是（0，+∞）？让学生结合指数和对数的转化关系来回答这个问题。
“对数的运算性质”的教学设计与反思
“对数的运算性质”的教学设计与反思倪科技【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】4页(P21-23,66)【作者】倪科技【作者单位】江苏省徐州市第一中学 221002【正文语种】中文数学公式与定理是对数学知识中蕴含的规律的表述，并以数学符号的形式进行抽象与概括．在高中数学公式与定理的教学中，教师往往会从“实效”的角度出发，很容易使公式“开门见山”，从而忽略了关于公式本源的东西，教学过程中出现了让学生学习时“死记硬背”，使用时“生搬硬套”的现象，导致学生不能够灵活地运用数学公式与定理解决数学问题．2014年10月16-18日，江苏省教研室主办的“江苏省高中数学青年骨干教师研修活动”在常州市田家炳高级中学进行了第三次深度研讨，交流主题为“高中数学公式法则、定理的教学研究”．作为培训班成员之一，我有幸借田家炳中学高一的学生上了一节“对数的运算性质”的公式教学.从之前的教学预设到过程中的学生生成，以及教学之后的回顾反思，使我对高中数学公式法则的教学有了更深的认识和理解．学生来自常州市田家炳高级中学高一年级普通班，基础较好，思维较为活跃，有一定的观察、分析能力以及合作学习的基础．所用教材是《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修1)》(苏教版)第三章3.2.1的第2节课．学生在此之前的一节课中学习了对数的概念，以及对数式与指数式的互化，初步了解了两个对数恒等式．本节课是要学生在学习了“新的‘数’”之后，要完成其运算法则的学习，这也是本节课的教学重点．通过这一节课的教学，要求学生能准确掌握对数的三个运算性质，并能初步运用．而本节课的教学难点是如何引导学生发现对数运算性质的过程，并能证明其正确性，突出过程性教学，而非结果性教学，通过对公式的发现和证明提升学生分析问题、解决问题的能力．俗语说：“良好的开始等于成功的一半”.数学公式的引入是培养学生数学思维及探索能力的重要开端.若教师能够在教学的引入环节就将学生的注意力吸引过来，并使他们对数学公式的学习产生浓厚的兴趣，很大程度上就决定了本节课学生的参与程度与知识掌握情况．为此，本人上课前的教学设计关键环节中均大多设想了多种不同的设计方案，教后感触颇多．T：上节课我们学习了对数的有关概念，请大家回忆一下，对数是怎样定义的？S1：ab=N⟺logaN=b(其中a>0, a≠1, N>0)．·设计1T：很好．我们知道，对数来源于指数，我们进行对数的计算还要借助于转化为指数式来完成．现在请大家计算下面几个对数的值．1)log381=( )；2)lg 0.000 1=( )；；4)log3 36-log3 4=( ),lg 108=( ).S(众)：4,-4,6.(反应很慢，后面语塞)T：好．第(1)、(2)两题大家都可以很快根据对数的定义得以解决，但第(3)题大家的计算就慢了，到第(4)题的时候，我们发现想通过对数的定义解决，好像可以，但显然不能直接说出结果了．此时，我们就想，我们能否寻找对数自己的运算性质呢?如果可以的话，那该多好啊!设计意图如何调动学生的学习积极性，当然是满足学生的内在需求，当学生发现已有掌握的知识不能解决新问题的时候，也就发现了新知识探索的价值所在，这样自然会提高学生的求知欲，开始就吸引了学生的注意力，有没有这样的运算性质？如果有，那将是怎样的？让学生感觉到数学不仅是有趣的，更是有用的．·设计2T：很好．对数来源于指数，我们知道，指数幂的运算性质有三种：aman=am+n①②；(am)n=amn③．通过以上指数幂的运算性质你是否能够得出对数的运算性质呢？设计意图对数本是指数生，性质还需寻对数．对数是什么？对数并不是新的“数”，其本质是指数的另外一种表达形式，并无特殊之处，如同和e一样，只是一个结果．指数有其运算性质，对数当然也应具有，我们也定能类比发现．这种设计显然能让学生更感受到对数的本源是指数，对于对数概念的理解也更加深刻，为后面对数性质的证明需要转化为指数埋下伏笔，一举两得．反思上课时，为了能更快、更直接地刺激学生的感觉，让课题引入来的更有目的性，我采用了设计1的方式进行引入，感觉确实极大地激发了学生的求知欲，但心中知道，表面光鲜之后却忽略了学生对于对数本源的认识，更没能为后面的证明种下良性的种子，也让公式没能显示出自己的内涵所在．引导学生发现对数的运算性质的过程是本节课的教学难点，如何能让学生自然归纳出第一条性质就将成为探究问题的重中之重．·设计1T：请大家看这样一个表格(Excel)，请大家随便报出一组M, N的取值，我们用计算器来计算其结果.S2：2, 3；3, 5等．T：从这个表格中的计算结果，我们能得出什么结论？S3：loga M+loga N=loga(MN)，即loga(MN)=loga M+loga N．S5：loga Mn=nloga M．·设计2T：请大家计算：1)log3 9=( )，log3 27=( )，log3(9×27)=( )；2)log2 8=( )，log2 32=( )，log2(8×32)=( )．请大家观察两组式子的计算结果，你有什么发现？S6：log3 9+log3 27=log3 243，log2 8+log2 32=log2(8×32)，即2+3=5，3+5=8．T：很好．我们还可以再多用几组数据来检验这个等式的正确性．当然，再多的数据也只能是一种归纳，为了能说明它的正确性，我们必须要经过严谨的证明．如何证明呢？设计意图设计1和2都是采用由特殊到一般的处理办法，通过具体实例，借助计算机(或计算器)，半开放式地让学生列出多组数据，根据计算结果探索对数的运算性质，让学生通过计算、观察、联想、验证得出猜想，进而进行严格的推理与证明．·设计3T：请小组讨论研究：你能通过指数幂的运算性质类比出对数的运算性质吗？设计意图用开放的问题让学生充分研究和思考，既然对数源于指数，其运算性质也应可以类比指数的运算性质得到，那么对数的运算性质有哪些？如何表示？反思设计1和2通过特殊到一般，由具体运算入手，让学生计算、归纳、猜想，形成性质，容易切入，可以让课堂按照教师设计“水到渠成”.但从学习角度来说，由特殊到一般，铺垫过细，功利化较为明显，束缚和限制了学生的思维，教师的本意是帮助学生化解难点，却不想难点消失了，学生的思维没有得到充分的发展．设计3确实会形成学生的思维障碍，使学生没有方向感，即使学生能够领悟到这其中可能会存在着相关的对数运算性质问题，但是其具体的体现形式又是怎样的，范围太大，造成学生摸不着头脑的情况，好像课堂进行不下去，实则当学生类比指数的三条运算性质之后，思维会有大的提升．促使学生进一步理解对数的定义，在ab=N⟺loga N=b中，底数的地位没变，而“指数b”变成了“对数b”，“幂”值变成了“真数N”，那是否可以将指数运算中“同底数幂相乘，底数不变指数相加”类比为“同底对数相加，底数不变真数相乘”即可．证明对数的运算性质(1)：loga(MN)=loga M+loga N．·设计1T：如何才能证明公式(1)？S7：我们目前对于对数的计算还是仅限于利用对数的定义，即转化为指数来解决．T：很好，请你讲的详细一些．S7：我们可以设loga M=p,loga N=q，这样就可以化为指数式，得M=ap,N=aq，所以M·N=ap·aq=ap+q．再将此式改写为loga(MN)=p+q=loga M+loga N，得证．·设计2T：我们已经知道了对数恒等式alogaN=N，你能否结合指数性质(1)aman=am+n来推导公式(1)呢？S8：可以．由aman=am+n和alogaN=N，我们可以令m=loga M,n=loga N，就可以得到aloga M·aloga N=MN．再由am+n=aloga M+loga N，则可以得到MN=aloga M+loga N．通过运用对数定义将该式转化为对数式，也就是loga(MN)=loga M+loga N，得证．·设计3T：我们已经知道了对数恒等式loga ab=b，你能否推导公式(1)呢？S9：可以．因为p+q=p+q，由logaab=b，可得loga ap+loga aq=logaap+q．我们令ap=M,aq=N，即可得到loga M+loga N=loga(MN)，即loga(MN)=loga M+loga N．T：仿此，请自行证明对数的运算性质(2)和(3)．设计意图通过教师示范性证明，引导学生将对数问题转化为指数解决的合理性和必要性，更凸显“对数本源于指数”，对于理解对数的定义和类比指数的运算法则提供了更有力的刺激，也为学生后续证明另外两个性质提供了思维空间，然后让学生自行证明，进一步加深印象．反思公式的推导与论证教学是学生学好数学公式与定理的基础，当学生通过归纳、类比、联想得到公式之后，已经对其产生了一定的兴趣，此时学生迫切地想要了解其推导与论证过程(部分不要求推导和论证的定理可以适当引导学生提供想法，学有余力的同学课后自行研究)．所以，此时教师一定要抓住学生的兴趣点，重视对公式与定理的推导与论证，让学生清楚地掌握其具体的来龙去脉．但是设计2和3对学生的能力要求有些高，需在教学时根据学生情况妥善引导．例4 求下列各式的值：(1)log2(23 ×45)；(2)log5 125．即练即评：计算(1)log3 36-log3 4；(2)lg 2+ lg 5；(3)lg 2.5 +lg 4- lg 10；(4)log3(92×35)．例5 已知lg 2≈0.3010, lg 3≈0.4771，求下列各式的值(结果保留4位小数)：(1)lg 12；T：好，现在我们终于可以解决log3 36-log3 4了，你还能不能计算出lg 108？设计意图给出公式的严格证明后，我并没有急着进行公式辨析式的判断，而是立即让学生感受公式使用的便捷性，两个对数可以合并为一个，一个对数又可以拆分成已知的两个对数运算，既让学生初步熟练了公式的使用，又对课堂伊始的两个未能解决的问题前后呼应，让学生感受到探究出对数的运算性质的“好处”．对数的发明大大简化了运算，缩小了“大数据”，让学生体会到这是一次伟大的发现．T：请同学们谈谈这一节课的收获．(略)T：(1)请思考三个公式间的内在联系；(2)同底的对数的运算我们已经解决，那么不同底的对数又该如何进行计算呢？设计意图让学生课后继续做好研究，三个公式间的互推，带着问题2可以预习下一节课的内容，起到承上启下的作用．(1)正确认识“对数的运算性质”现在高中数学教学存在的一个明显问题就是学生不能够准确地理解数学知识，这阻碍了学生对数学知识的深层次探索．而作为一名数学教师只有在其本身真正了解相关数学概念的基础上，结合学生面临的实际问题，才能达到最佳的课堂效果．关于对数的运算性质问题，首先要认识对数式，比如log2 3究竟是什么．此时对于学生来讲，对数式的概念与形式都是陌生的，学生思维不容易从指数式向对数式快速转变．教师通过让学生明确认识对数式，才可以更好地开展下一步的具体教学设计．(2)从本质上理解“对数的运算性质”对“对数的运算性质”的正确认识，是教师进行教学设计的基础，此时教师应当依据教学目标展开设计．具体来讲，学生应该明确认识以下两点，一是对数的运算性质由何而来，二是掌握对数的运算性质的必要性．对数源于指数，故要寻求对数的运算性质需从指数入手，找到运算的本质问题，也就能让学生积极主动地参加到对数运算性质的学习当中，使问题“迎刃而解”．当学生真正理解对数的本质就是指数的另外一种“存在形态”，就可以解决所有的对数的问题了，提高了学生的认识高度，对数学思维的提升又更进一步，达到提升教学效果的目的．(1)适合的才是最好的对数的运算性质这节课，我的设计意图是尝试让学生探究，培养学生观察类比推理的能力，从特殊到一般的类比过程，同时也借此机会锻炼学生的探究学习能力.但是从课堂学生探究的效果来看，并没有达到预期的效果，课后和学生交谈学习之后的感受．大多数学生的反应在课堂引入环节注意力非常集中，积极性被调动得很高，但在公式(3)的证明过程中感受到挫折，没能有效得以解决．问题的出现可能是本人对于借班上课的学情把握不够，或是因为想让学生尝试用对数恒等式去证明的方法，冲淡了学生关于“对数的本源”的使用和理解，今后的公式教学中还是应该更注意这一方面．(2)公式、定理的辨析环节不必着急课前我阅读了部分“对数的运算性质”教学案例，经常有如下三道判断题，我认为有一定的争议．若a>0, a≠1，判断如下等式正确与否：loga(M+N) =logaM+loga N ①；loga(M-N) =loga M -loga N ②；loga(MN)=logaM·loga N ③．这些等式究竟是给学生造成了更大的误区，使学生更容易混淆，还是真的可以加深学生的记忆，达到巩固练习的目的，笔者对此持否定态度．对于刚接触公式的学生来说，这种圈套不一定会加深学生的认识，反而使其更容易混淆．因为此时他们对正确的知识储备还在不断地完善中，不够熟练.另外，题目(1)这样的误导也是没有必要的，而且题目(1)中的等式也不一定是不成立的，比如loga(2+2)=loga2+loga 2．对于这类练习题在对数运算性质教学中的出现，我认为有些欠妥当.这时候为了加深学生对等式成立条件及公式的记忆，可以直接让学生对其正确的原理进行巩固，加强正面训练，等到学生对其掌握得更加熟练的时候，自然会了解这些知识．(3)关注本源，理解内涵，提升思维尽管对数的运算性质已经是一种大家常用的结论，但是从学生的角度来讲，他们仍然需要对其进行“再发现”，并在这个发现的过程中培养他们的探索精神．引导学生关注“对数的本源”，然后去理解“对数的内涵”，进而去了解与认识知识的发生过程，重视结论的来源，才能够让学生在更好地掌握基础知识的条件下，形成拓展性思维，为学生的后续学习提供保障．随着教育改革的不断深入，对高中数学教学方式的转变也提出了新的要求．文章以“对数的运算性质”为例，通过课前的设想、实际的授课、教后的体会反思，对具体的教学设计进行分析，并通过当时多种教学设计的案例指出教学过程中需要注意的问题．希望能够通过本次实践研究加强高中数学教师公式教学的改进，并在深入思考的基础上，选择合适的教学设计，不仅要让学生掌握更多的数学知识与理论，同时还要不断地培养学生的数学思维，培养他们的创造性与探索精神．。
《对数的运算性质》教学反思2020
《对数的运算性质》教学反思暑假的教师继续学习培训，是我们教师自我学习的又一次好的机会，本人本学期刚好教高一，所以对照学习所得，经过知识整合，进行了一次教学，有很多感受，现反思如下：首先是对教学流程反思对于本节课教学流程，我是作如下安排的：（1）首先改变教学的组织形式，人一组，把学生分成若干个小组，营造合作学习的氛围．（2）发放事先印制的表格，明确任务，师明确要求，对活动作出指导．①这一节课，我们来研究对数有哪些运算性质．即研究两个（正）数的对数的和、差、积、商与这两个数的和、差、积、商的对数之间的关系．②请坐在奇数排的同学把身子转过去坐，与偶数排的同学每4人组成一个小组．③每一个小组选出一个组长，等研究结束后，请他代表小组发言．（3）学生的学习活动这是本节课的主要内容．学生通过使用计算器计算，填写表格，观察数据之间的关系，排除干扰因素，得出结论，反思，验证，得到对数运算法则．教师可以在活动的方式上做一些指导，比如为了方便操作，可以两个一对，一个操作计算器，一个填写表格，然后交换，等等．当然也可以由学生自我发现这样组织比较好，可以提高学习效率，而不是由教师提出．（4）汇报、交流、评价小组派代表汇报小组活动的情况，不仅仅汇报数学结论，还包括一些组织形式或者情感因素，如是否有分工合作（比如一个手持计算器计算，另一个执笔填写表格，然后交换），结论产生的过程，有无出现过错误？怎样纠正的，是否还有一些有趣的事情．（5）巩固对数的运算法则．把运算法则的证明安排在下一节课的开头进行．板演课本例题4与例题5．最后由学生评价．例1（教材）用log a x，log a y，log a z表示下列各式：（1）log a；（2）log a．例2（教材）求下列各式的值：（47×25）；（2）lg．（1）log2这样安排的原因是：本节课所完成的教学任务是本小节的重点，在这一节课里要让学生完成对数运算法则的学习．通过这一节课的教学，要求学生准确掌握对数的3个运算法则，克服对对数运算的一些误解，如把乘法对于加法的分配律错误地迁移到对数的运算中，误以为log（M＋N）＝log M＋log N，log（MN）＝log M log N等．其次是对教学重难点的分析与反思本节课的重难点是：重点是对数的性质及对数性质的运用；难点是如何得出对数的运算性质及其理解。
“对数函数及其性质”教学实录与反思
“对数函数及其性质”教学实录与反思21年第3 01期中学数学月刊5‘数函数及其性质"学实录与反思‘ 对教陶维林(苏省南京师大附中2 0 0 )江1 0 3作者简介陶维林，苏溧水人 . 9 2年1月毕业于南京师范学院(南京师范江18今大学)学系，南京师大附中从事高中数学教学至今 . 0 2年被评为江苏省数学特数在20级教师，0 3年被评为教授级中学高级教师 .京师范大学数学系兼职教授；民教20南人育出版社高中数学新课标教材(版)要编写人员、材培训团专家；中小学数学A主教《(中版)杂志编委 .数学教育、息技术与数学教学整合方面有所研究，《学高》在信在数通报》数学教育类核心期刊发表文章3等o余篇，计发表文章2 0余篇 .著《何累0编几画板实用范例教程( 2版)由清华大学出版社出版，教育部师范教育司审定为第》被“ 1世纪师范院校计算机技术规划教材”在长期的教学实践中，渐形成了“发兴2 .逐激趣、重视过程、展思维、动活泼”教学风格 .发生的1基本情况1 1授课对象 .数函数的性质解决诸如求函数的定义域、比较大小等简单问题 .学生来自四星级重点高中普通班，础较好，基有一教学重点：立对数函数的概念，出对数函数建画的图象，步了解对数函数的性质 .初教学难点：用与指数函数的联系来研究对数利函数的性质 .定的推理能力及运算能力 .1 2教材分析 .所用教材为《通高中课程标准实验教科书普数学(修1》人教A版)教学内容为“ . .必)(, 2 2 2对数函数及其性质”这是必修1第2章“本初等函数 .基(”中，研究“数函数及其性质”后所研究的I)继指第二个函数 .习基本初等函数，方面可以加深对学一函数概念的理解，握研究函数的一般方法；一方掌另面，本初等函数是常见的重要的函数模型，研究基是其他函数的基础，生活实践、学研究有着密切的与科2教学过程2 1问题情境，建概念.构数学教学应当从问题开始 .先提出首问题1我们已经学习过指数函数一n ( n0, a≠ 1,知道―lgY( )又o。
对数的运算性质教学反思
对数的运算性质教学反思1.教学方法上：参考巴班斯基的教学过程最优化理论：突出教学内容中主要的、本质的东西；将每堂课具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段。
结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学，体现了认知心理学的基本理论。
学习的主体上：课堂不再成为一言堂，学生也不再是教师注入知识的容器瓶，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），选出代表上黑板板演等做法，真正做到了六让：凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。
进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。
存在的问题：1.导学案编写不太合理，内容过多，不应该添加换底公式相关内容，增加了导学案的难度。
预习不是很充分，虽大部分同学完成的情况不错，但基础差点的同学完成的情况太糟糕，在预习时应多关注和帮助后进生。
3.展示课流程完整，基本上完成了学习目标，由于对数对他们来讲还是一个新的内容，对数的运算性质更是新上加新，导致学生在展示时显得略微胆怯，质疑也不够激烈，究其原因有两个：老师引导不够；运算过程结果唯一导致质疑点少。
以后在学案编写时可多编些开放型题目，老师可适当设置些追问，也可让同学们展示错误等。
另外学生在展示时，教师应多关注学生倾听和做笔记的情况，及时提醒提高课堂效率。
4.个别学生上黑板板书的不是很理想，体现出部分学生的计算能力较差，故今后在教学中，应该加强计算，提高运算能力；另一方面，这节课对技巧的强调不好，有点过，应该对解题的思想加强引导，授之以鱼，不如授之以渔，以后在教学中应加以注意。
总体来说，这堂课的效果不错，多数学生能完成学习任务，每个学生都有不同程度的收获。
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“对数的运算性质”课堂实录与教学反思王思俭 (江苏省苏州中学 215007) 本课教学目标:(1)通过具体的实验发现对数的运算性质,并引导学生利用对数的概念进行证明;(2)知道对数运算性质成立的条件,并能灵活地运用对数的运算性质进行化简求值;(3)让学生体会等价转化思想在解题过程中的重要作用.教学重点是对数的运算性质,难点是对数运算性质的发现.本课主要采用发现法及探究法进行教学.1 课堂实录师:上节课我们学习了对数的概念,现在我们利用计算器进行数学实验,并完成实验报告.要求:(1)4人一组,就近结合,每组推荐组长一名,汇报实验研究结果;(2)填表(第一列各行依次为M ,N ,lg M ,lg N ,lg (MN ),lgMN,lg (M +N ),lg M +lg N ,lg M -lg N ,lg M lg N ,lg Mlg N,lg M 4,lg N 3,采用的数据规定与自选相结合);(3)观察同一列计算结果间的关系,并提出猜想;(4)证明你的结论.师:首先,我先来分析这张表让我们做什么,怎么做.如果给出M ,N 的值,那么就可求出lg M ,lg N ,lg (M +N ),…的值,于是就可以填写表中的某一列.其次,我们再随机取值计算.第一,规定取值:选取两组数:M =8,N =2;M =3,N =9.请同学们计算填表.第二,自选取值:自己选取数据进行计算.师:请同学们自选数据填到表中,然后计算,数据可以是自己的学号、班级的编号、自己的生日,我们在学习指数函数时的一道应用题中的数据,等等.评注 此时各小组已开始行动,有的填写数据,有的按计算器,有的组分工协作,这种方式也是团队协作精神的训练.教师在巡视,不时参与小组共同讨论,指导学生应如何处理数据,如何进行猜想.生1:老师,是否可以自选对数的底进行计算?我认为这样更具有代表性.师:你的想法很好,你可以自己选取底数.生1:但我手中的计算器不能计算底数是2,3,0.4等的对数值.评注 这时教师将课前带来的备用计算器给他,并不厌其烦地告诉他如何操作.这体现了教师充分以学生为主体的教学观念,使课堂教学有了宽松的探究问题的气氛.师:现在请小组长整理你们的研究成果,向班级进行汇报,哪一位先说?即便教师备课时有安排也须舍去.3 让学生开展讨论,必须及时进行点拨评价课堂讨论时,情况是复杂多变的,有的情况也未必都在教师的预料中,因此教师在组织学生开展讨论中,必须密切注视学生的讨论情况,发现问题及时提醒,不失时机地进行点拨和引导,绝不能放任自流.点拨一般采用:一是比较点拨.有些问题实际上平时教学中已经讲过,只是学生没有融会贯通,可先让学生回顾以前学过的相关知识,与现在碰到的问题进行对比,从中发现思路.二是启发点拨.在学生讨论有争议时进行启发性点拨,教师的启发应该尽量清晰、明确,将抽象问题具体化,避免学生仍含糊不清.三是质疑点拨.指导学生于无疑处善生疑,从平常的问题中发现不平常的问题,从各个不同的角度提出问题,培养学生的质疑能力.有经验的教师往往会及时捕捉讨论中呈现的亮点,并加以强化,使之产生积极效应.对于学生探究出的“新成果”,哪怕只是一点,教师都应予以及时肯定和表示赞赏.对尽管回答不正确但敢于阐述自己观点者给予鼓励,这种鼓励性评价对调动学生的学习积极性,促进学生主动参与、自主学习,保护学生的自尊心等各方面具有不可忽视的作用.在组织讨论时,教师不宜作倾向性评价,但在小结时,教师却要明确表示自己的意见,不仅要帮助学生明辨是非,而且要让他们知道错误和原因,同时把讨论时获得的零碎的、有分歧的、有争论的知识进行系统性的归纳、总结.这样能让学生体验到成功的喜悦,感受到学习数学的乐趣,学生就会“乐于探究而不疲”,不断强化对数学学习的主动态度.此外,提高课堂讨论的实效,讨论形式的多样化也有着很重要的作用.因此,要结合教学中的重点、难点及学生的兴趣,进一步充分发挥课堂讨论的积极作用,促进学生积极主动地学习,真正使课堂讨论成为优化课堂教学的一种有效途径.·16· 中学数学月刊 2010年第12期 生2:我们通过数据的比较发现lg(MN)= lg M+lg N,lg MN=lg M-lg N.师:请刚才用2或3为底的同学汇报你的研究成果.生1:log2(MN)=log2M+log2N,log2MN= log2M-log2N.将底数改为3,等式还是成立的.评注 教师开始引导学生进行深层次的推广,力图得到更一般的结论.如何突破这一难点,这就需要教师具有深厚的教学功底.师:如果我这样写公式,何时能写完呢?同学们能否将这些具有共性的等式统一起来呢?评注 此时学生在积极思考,有的同学在小声交流,虽然教室里显得有点沉闷,但学生的内心活动剧烈,大家都想在短时间内发现一般规律.这就是教师发问得恰当且及时.生3:运用“字母代表数”的方法,将上述的等式推广到一般情况:log a(MN)=log a M+log a N①,log a MN=log a M-log a N②,其中a>0且a≠1.评注 此时教室的气氛开始活跃,每一次探究的成功,学生的脸上都充满欢愉的笑容.这就是在“做中学”的快乐.师:大家同意他的观点吗?众生:同意!生4:我们小组也发现了一条性质,根据lg M4= 4lg M,lg N3=3lg N,继而推广到一般情况: log a M n=n log a M(n∈N＊,a>0,a≠1) ③.师:这就是我们今天学习的内容———对数的运算性质(板书).你们能证明这三个等式吗?我们有现成的定理、公式吗?众生:没有.师:请大家先思考“怎么办”,过一会我请三位同学到黑板上板演.评注 留给学生一定的思考时间是十分必要的.教师在巡视,指导学生如何证明,参与他们的讨论,或给他们搭设台阶,突破难点,很快学生提出运用定义法.生5:(板演)设log a(MN)=x,log a M=y, log a N=z,则M=a y,N=a z,所以MN=a y a z= a y+z.又MN=a x,所以a y+z=a x,故y+z=x,即性质①成立.生6:(板演)设log a MN=p,log a M=q,log a N=r,则M=a q,N=a r,所以MN=aqa r=a q-r.又MN=a p,所以a q-r=a p,故q-r=p,从而性质②成立.生7:(板演)设log a M n=x,log a M=y,则M n=a x,M=a y,所以M n=(a y)n=a n y,即a x=a n y,故x=ny,从而性质③成立.师:很好!完全正确.生8:性质③中的n可以是负整数,也可以是有理数、无理数,这个公式中的n的范围是一个实常数,即log a M n=n log a M(a>0,a≠1,n∈R)③.师:这个小组补充得很好,所以在平时的学习过程中,要学会由特殊到一般的探索发现过程.评注 学生体验成功的快乐,脸上都露出了笑容,课堂的气氛也十分活跃、和谐.生9:我们研究出:设log N M=A,则(1)log N M x=xA;(2)log N y M=Ay;(3)log N y M x=xyA.师:很好!其实这三个式子可合并为:log a p M n=np log a M(a>0,a≠1,p,n∈R)④.众生:这个不能代替证明,应该运用定义进行推证.师:哪位同学上黑板来写?生10:令log a p M n=x,log a M=y,则M n=(a y)n=a ny,又M n=(a p)x=a px,即a px=a n y,故px=ny,从而x=npy,性质④成立.生11:当p=0时,np无意义,条件中应限制p∈R且p≠0.师:很好!若p=0,则对数的底为1,不符合要求,所以解题时要细心.下面就运用这些公式计算下列各题:例1 求下列各式的值:(1)log3(34×93); (2)lg2+lg5;(3)log125625;(4)log2(3+5)+log2(3-5).学生解答(略).师:对数的运算法则既可以从左到右使用,也可以从右到左使用,还要会变形使用.变题 求log6(2-3+2+3)的值.生12:设log6(2-3+2+3)=x(此时有的学生发笑,有的在沉思),则2-3+2+3=6x,两边平方,得4+24-3=62x,即62x=6,故x=12.·17·2010年第12期 中学数学月刊 师:漂亮!这就是运算法则的变形使用.例2 计算下列各式:(1)12lg 25+lg 2+lg10+lg (0.01)-1;(2)3log 32-log 3329+log 38-3log 35;(3)(lg 5)2+lg 2·lg 50.学生解答(略).师:若n 个对数的底数相同时,可以利用积与商的对数运算法则化简.其次,运算时可以充分利用像lg 2+lg 5=1这样的运算技巧.师:这节课我们通过具体数据的计算探究了对数运算的三个性质,并利用定义法、等价转化思想进行了证明,体现了由特殊到一般、先猜后证的研究思想,我们要既学猜想,又学证明.课堂作业(略).课外探究:是否存在M ,N ,使得log a (M +N )=log a M +log a N ,log a (M -N )=log a M -log a N ,log a (MN )=(log a M )(log a N ),log a M N =log a M log a N 四个等式分别成立?若存在,请找出一组M ,N 的值;否则,请说明理由.2 教学反思(1)精心“抛锚”,探求新知教学伊始,教师总是千方百计地创设问题情境,引导学生探究数学知识.但多数教师只是将课本中的问题情境直接抛出,学生没有新鲜感,缺少探求新知的欲望.如本节课教者直接用课本上的问题引入,将“指数幂的运算性质”写一遍,然后再与学生一道观察课本中的一张表,探求规律,虽然学生也能发现三个性质,但学生始终没有参与课堂教学,只是应付而已,从而失去最佳探求新知的机会.为此笔者在教学过程中设计了“锚”———“对数的运算性质”实验报告,当解释数据实验的分组、要求、步骤时,学生已经跃跃欲试了,这时探究的氛围已经被调动起来了.因此,我们不能简单地呈现一个或多个已经被老师们抽象加工好的问题情境,而应该根据学生的实际情况组织第二次加工,包括内容的呈现方式、活动场景的设计,为学生的数学活动精心抛下可以依托的、具有较强吸引力的“锚”.这种“锚”可以是一系列需要学生组织提炼的模糊问题、数学的开放性问题情境、一段数学资料(包括数学史料、与之相关的数学概念及定理性质的形成过程等),让学生可以紧紧围绕这些“锚”开展一系列的数学探究活动.(2)既教猜想,又教证明一些教师有一个错误的认识:数学学习就是追求结果知识,运用结果知识会做题就行.其实这种“会做题”也仅仅停留在机械模仿上,学生还是没有抓住问题的实质,也就是没有体会知识的形成过程.事实证明:重视结果知识的学习,无论怎样突出学生的主动参与,最终仍导致学生处于被动应付的境地.本课通过实验发现了对数的运算性质,但若没有引导学生怎样从底为10的情况猜出底为a 的一般情况,那就失去了教学生如何猜想的机会.以a 为底的对数运算性质是这节课的难点,笔者引导学生就底数分别取2,3,0.4,…,学生验证也是成立的,这时教师发问“底数有无限种取法,我们究竟要写多少组这样的类似公式?”这就引起学生的思考与猜想,此时有的学生萌发出“用字母代表数”的念头,教师及时捕捉这一信息进行阐述,得到一般情况.而在让学生进行证明时,教师通过“我们有现成的定理、公式吗?”让学生思考“怎么办”———这就是教学生如何证明.在这个过程中,教者是组织者、协调者,而学生是真正的主体.(3)留有时空,拓展思维普朗克说:“思考可以构成一座桥,让我们通向新知.”思考对于探求新知的重要性是毋庸置疑的,但怎样使学生善于独立思考却是一个老大难问题.其原因是,独立思考问题是学生自我控制的内隐过程,教师通过观察很难评估思考过程的具体情况,无法对其进行正确的诊断,从而就无针对性的矫正措施.尽管如此,我们在教学过程中要努力做到:①对学生提出或质疑的问题、回答老师的问题不论结果如何,教师都应该给予中肯的建议,以肯定、褒扬为主.如本课变题,一位数学成绩中等的女生给出的一种解法(见前文),即从定义法入手,这时教师就应该给予表扬,提振其学好数学的信心.②善待学生思考问题时出现的奇异想法(或荒诞念头)、独特思路、出乎意料的思考问题的方式.如教者求解变题的思路是:原式=12log 6(2-3+2+3)2=log 6(4+24-3)=12log 66=12.因此,课堂上决不能随意否定学生的想法,要保护他们的积极性,让他们的创造性思维在宽松和谐的氛围中不断升华.③课堂上提倡学生敢于大胆质疑、相互辩论,反对不加思考分析而盲目顺从、接受.教师还可以留下具有一定探究性的问题让学生课后思考、辩论.如本节课尾留下的思考题,将探究性学习延伸到课外,和学生的交流话题就愈来愈多,让更多的学生得到更好的发展.·18· 中学数学月刊 2010年第12期。