p-q变换及d-q变换的理解及推导

一、 p-q 变换与d-q 变换的理解与推导
1. 120变换和空间向量
120坐标系是一个静止的复数坐标系。

120分量首先由莱昂（Lyon ）提出，所以亦成为莱昂分量。

下面以电流为例说明120变换。

a i 、b i 、c i 为三相电流瞬时值，120坐标系与abc 坐标系之间的关系为[1]：
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=0
22
10212
021i i a ai i i ai i a i i i i i c b a 式中a 和2
a 分别为定子绕组平面内的120°和240°空间算子，︒
=120j e
a ，
︒=2402j e a ，上式的逆变换为：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧++==++=++=*)(31)(31)(310122
21c b a c b a c b a i i i i i ai i a i i i a ai i i 可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的c b a i i i 、、是瞬时值而不是矢量，21i i 、是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。

由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。

另外，由于a 和2
a 是空间算子，
所以1i 和2i 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。

另外，从上式可知，2i 等于1i 的共轭值，所以2i 不是独立变量。

用矩阵表示时，可写成
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0211120i i i C i i i c b a ，⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡c b a i i i C i i i 120021 （1-1）
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-11111
2
2
1
120
a a
a
a C ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=111113
12
2120a a a a C 此变换矩阵为等幅变换①。

①
如何理解式（1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？？？
所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF ：Magnetic Motive Force ）和变换后的电流形成的磁动势MMF 幅度一样。

由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。

而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc 到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。

虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。

因此，相对于等幅值变换，还有等功率变换。

所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。

对实线性空间，由于正交变换②保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。

令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b a i i i i ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b a u u u u ，变换矩阵为C 。

原三相系统中功率为：i u i u p T ==),(
变换后的功率为：i C C u Ci C u Ci Cu Ci Cu p T T T T T )()(),(====
当E C C T =，即1-=C C T ，可使变换前后功率不变，满足此条件的C 即为正交矩阵。

在120分量中，由于负序分量2i 不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量1i 。

为此定义定子电流的空间矢量ori i ，它等于1i 的2倍③，即
ori i =)1(3
2
2c b a i a ai i ++
（1-2）
式中的1、a 和2
a 分别表示a 相、
b 相和
c 相轴线位置处的单位空间矢量。

若零序电流为0，ori i 在a 、b 、c 相轴线上的投影即为c b a i i i 、、，如图1-1所示。

从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量ori i 既表达了三相电流在时域内的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。

② 正交变换：变换矩阵C 为正交矩阵，满足1-=C C T
③
考虑这里为什么空间矢量是正序分量的2倍？是不是考虑到空间矢量是正序和负序分量之和。

b 相
相
图1-1 电流的空间向量
电压矢量同理可得。

2. Park 变换与Clarke 变换
（1）Clarke 变换
αβ0坐标系是一个两相坐标系，其中α轴与a 相绕组轴线重合，β轴超前α轴90°电角，0序则是一个孤立的系统。

以电流为例，说明abc 与αβ0坐标系之间的坐标变换。

把图中α和β轴线上的电流
αi 和βi 分别投影到a 、b 、c 三相轴线上，再加上孤立的零序电流0i ，可得a i 、b i 和c i ：
c
0相
图1-2 αβ0变换
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+--=++
-=+=00023212321i i i i i i i i i i i c b a βα
βαα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010i i i C i i i c b a βααβ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a i i i C i i i 00αββα
其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-123211232110110αβC ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---=21212
123230212
11
320αβC 不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把0αβC 进行单位正交化，变为正交矩阵，使得T
C C 01
αβαβ=-，得到等功率变换矩阵为
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡---=
21212
123230212
11320αβC （2）Park 变换
dq0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。

若转子为凸极，则d 轴与凸极的中心轴线重合，q 轴超前d 轴90°电角，如图1-3所示。

dq0变换是从静止的abc 坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。

b 相
c 相
图1-3 dq0变换
以定子电流为例。

设定子三相绕组中电流为a i 、b i 、c i ，转子d 轴与定子a 相绕组轴线之间夹角为θ（电角），dq0变换后定子电流的dq0分量分别为d i 、q i 、0i 。

把旋转的d 、q 轴上的d i 、q i 分别投影到定子a 、b 、c 三相轴线上，再加上零序电流0i ，可得到a i 、b i 和c i ：
⎪
⎩⎪
⎨⎧++-+=+---=+-=0
00)3/2sin()3/2cos()3/2sin()3/2cos(sin cos i i i i i i i i i i i i q d c q d b q d a πθπθπθπθθθ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010i i i C i i i q d dq c b a ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a dq q d i i i C i i i 00
其中
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----=-1)3/2sin()3/2cos(1)3/2sin()3/2cos(1sin cos 10πθπθπθπθθθdq C ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡+----+-=212121)3/2sin()3/2sin(sin )3/2cos()3/2cos(cos 320
πθπθθπθπθθ
dq C 式中0θωθ+=t ，ω为转子的角速度，0θ为0时刻时，d 轴与a 轴夹角，转子旋转时，0dq C 是一个时变阵。

若0=θ，即转子不转，且d 轴与a 轴重合时，dq0坐标系退化为αβ0坐标系。

实际上，由图1-3可知，若0=θ，就意味着。

与图1-2一致。

显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交矩阵
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+----+-=212121)3/2sin()3/2sin(sin )3/2cos()
3/2cos(cos 320
πθπθθπθπθθdq C
则T
dq dq C C 01
=-，此时变换将成为等功率变换。

Clarke 变换也是αβ变换，它变换后的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着abc 三相值的变化而变化的。

它的主要用途是瞬时无功功率控制。

Park 变换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSC （voltage source
converter ）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dq 量可以
保持恒定。

VSC 控制就是控制变换过的dq 量从而对系统的电压电流等参数进行控制的
[3]。

3. 瞬时无功理论
设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为a e 、b e 、c e 和a i 、b i 、c i 。

为分析问
[2]。

图1-4 βα-系中电压、电流矢量
由下面的变换可以得到α、β两相瞬时电压αe 、βe 和α、β两相瞬时电流αi 、
βi 。

⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a e e e C e e αββα
（1-3）
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a i i i C i i αββα （1-4）
式中⎥
⎦⎤⎢⎣⎡---=232123210132αβ
C 。

此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2123212123212101320
αβC ， ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=-212321212321210
1321
0αβC 不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
-=+=)(61)(6121β
αβαji i i ji i i ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(61)(6121βαβαje e e je e e （1-5）
以电流为例推导过程如下：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-002201012012002120
001
101
161212321212
321210132111113
1i i i i i i a a a a
i i i C C i i i C i i i c b a βαβαβααβ
空间矢量与αβ分量的关系为
ori i )(3
2
21βαji i i +=
= ori
e )(3
2
21βαje e e +=
= （1-6） 在图1-4所示的βα-平面上，矢量αe 、βe 和αi 、βi 。

分别可以合成为（旋转）
电压矢量e 和电流矢量i
用于瞬时功率计算中的Clarke 变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用
为等功率变换。

电压电流矢量的原始定义中采用的120变换为等幅值变换，Clarke 等幅值变换矩阵系数为
32，等功率变换矩阵系数为3
2。

电压电流矢量应用到等功率变换体系中应相应改变系数，因此此处的等功率变换中应用的电压电流矢量应为原始定义的电压电流矢量的
2
3
倍：
βαe e e e ori +==
2
3
e e ϕ∠=
βαi i e i ori +==
2
3
i i ϕ∠=
（1-7） 式中e 、i 为矢量e 、i 的模（黑体e 、i 为矢量，非黑体e 、i 为矢量的幅值），
e ϕ、i ϕ分别为矢量e 、i 的相角。

【定义1】三相电路瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 分别为矢量i 在矢量e 及其法线上的投影。

即
⎪⎩⎪⎨
⎧==ϕϕ
sin cos i i i i q
p （1-8）
式中，i e ϕϕϕ-=。

βα-平面中的p i 和q i 如图1-4所示。

【定义2】三相电路瞬时有功功率p 为电压矢量e 的模e 和三相电路瞬时有功电流p i 的乘积，三相电路瞬时无功功率q 为电压矢量e 的模e 和三相电路瞬时无功电流q i 的乘积，即
⎪⎩
⎪⎨
⎧==q p
ei q ei p （1-9）
把式（1-8）及
ϕϕϕ-=代入式（1-9）中，并写成矩阵形式得出
[][][][]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+---+---=
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=c b a c b a c
b a
c b a c b a c b
a c
b a T
c b
a c
b a T
c b a i i i e e e e e e e e e i i i e e e i i i e e e i i i e e e i i e e p 2121212121213
2
121212112121211
3
22321232101232123210132
232123210132232123210132βαβα
由于0=++c b a e e e ，所以上式可以写为
[]c
c b b a a c b a c b
a i e i e i e i i i e e e p ++=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=
2323233
2
[][][][]
()()()[]c b a b a c a c b c b a b a c
a c b
c b a c b
a c
b a T
c b
a c
b a T
c b a T
T
i e e i e e i e e i i i e e e e e e i i i e e e i i i e e e i i i e e e i i e e i i e e i i e e q -+-+-=
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+--
=
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3
1
2323232323233
20232323023232303223212321010110232123210132232123210
132011023212321013201100110βαβαβαβαβααβ
由上述推导得到：
()()()[]⎪⎩
⎪
⎨
⎧-+-+-=++=c b a b a c a c b c c b b a a i e e i e e i e e q i e i e i e p 31 （1-11）
就三相电路而言，其功率的瞬时值实际上应该理解为：把瞬时值分别置于各轴成
120°的abc 坐标系中，按有功无功理论进行数乘，有功是电流在电压方向上的分量与电压数乘，无功是电流在电压法向上的分量与电压数乘。

显然，从式（1-11）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。

4. 派克变换与瞬时功率之间的关系
当电网电压三相对称且波形无畸变时，设电网电压角频率为ω，且A 相电压初相角为)2,0(0πϕ∈，E 为电网电压基波即电网电压的有效值，则电压瞬时值为
⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)32sin()32sin()sin(2000πϕωπϕωϕωt t t E e e e c b a
（1-12）
（1）第一种推导方式
则将式（1-12）代入式（1-3）将得到：
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣⎡++--+++--+-+=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡)cos()sin(3)32sin(23)32sin(23)2sin(21)2sin(21)sin(32)32sin()32sin()sin(22321232101320000000000ϕωϕωπϕωπϕωπϕωπϕωϕωπϕωπϕωϕωβαt t E t t t t t E t t t E e e
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡)cos()sin(300ϕωϕωβαt t E e e
（1-13）
将式（1-13）代入式（1-10）计算出瞬时有功和无功为
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡βαϕωϕωϕωϕωi i t t t t E q p )sin()cos()cos()sin(30000
（1-14） 对于式（1-14）中系数的理解为：原系统电压幅值为E 2，由于是等功率变换，
由等幅值与等功率变换矩阵系数可知，αβ系统中的电压向量e 的幅值，即e ，为
E 2*23=E 3。

因此由式（1-9）可知
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡q p q p i i E i i e q p 3
与式（1-14）对比可得
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡βαβααβϕωϕωϕωϕωi i t t t t i i C i i pq q p )sin()cos()cos()sin(0000_ （1-15）
其中αβ_pq C 为从αβ坐标系到pq 坐标系的转移矩阵。

下面推导αβ坐标到dq 坐标的变换矩阵αβ_dq C 。

dq 坐标逆时针以角频率ω同步旋转，d 轴与a 轴的夹角为0θωθ+=t ,0θ为t=0时刻d 轴与a 轴的夹角，）（πθ,200∈，q 轴位于在旋转方向上比d 轴超前90°的位置上。

从abc 坐标到dq 坐标的转移公式为[3]：
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a dq q d i i i C i i
（1-16）
其中abc 坐标到dq 坐标的转移矩阵：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-++-+--++-+=
)2sin()2cos()32sin()2cos()sin()cos(32000000πθωπθωπθωπθωθωθωt t t t t t C dq
拓展为可逆转移矩阵为
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡++-++-+--++-+=21)32sin()32cos(21)2sin()32cos(21)sin()cos(320
000000
πθωπθωπθωπθωθωθωt t t t t t C dq
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡++--+-+-++-++=
-212121)32sin()2sin()sin(32cos(2cos()cos(32000000
1
0πθωπθωθωπθωπθωθωt t t t t t C dq 由Clarke 等功率逆变换得出下式：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---=
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-βαβαβααβi i i i i i C i i i c b a 2321232101
320212321212321210132
010
代入式（1-16）：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥
⎦⎤⎢⎣⎡++-++-+--++-+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡βαπθωπθωπθωπθωθωθωi i t t t t t t i i q d 2321232101
32)2sin()32cos()32sin()32cos()sin()cos(32000000
得出：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡βαβααβθωθωθωθωi i t t t t i i C i i dq q d )cos()sin()sin()cos(0000_
（1-17）
显然，由式（1-15）和式（1-17）对比可知：αβ_pq C 与αβ_dq C 并不相同，d 、q 与p 、q 变量，并不能直接等价。

由式（1-15）可得
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-+=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-q p q p pq i i t t t t i i C i i )sin()cos()cos()sin(00001_ϕωϕωϕωϕωαββα
代入（1-17）得
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-q p q p q p pq dq q d i i i i t t t t t t t t i i C C i i )sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()cos()sin()sin()cos(00000000000000001__θϕθϕθϕθϕϕωϕωϕωϕωθωθωθωθωαβαβ （1-18） 注意：式（1-18）中等式两端的变量意义，等式左边的d i 、q i 为派克变换后得到的d-q 轴瞬时电流；而等式右边的p i 、q i 为瞬时有功电流、瞬时无功电流。

另外，这里再次重申式（1-18）中变量的意义如下：0ϕ为t=0时刻A 相电压的初相角，0θ为t=0时刻d 轴与a 轴的夹角。

因此列出以下几种特殊情况：
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒
+=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒-=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒=q p q d q p q d q p q d i i i i i i i i i i i i 10012
32100123201100
000000000πθϕπθϕπθϕπθϕθϕ，，
（1-19）
由此可见，派克变换后得到的d-q 瞬时电流d i 、q i 与瞬时有功电流、瞬时无功电流
p i 、q i 的相对关系，取决于当前时刻电网电压相角以及d 轴与a 轴之间相位的关系。

显然，若在逆变器控制中利用d-q 变换后得到的瞬时电流d i 、q i 来分别控制有功和无功，则意味着0ϕ与0θ之间相差90º。

因此，在逆变器控制中，通过锁相环PLL 获得0时刻a 相电压相角0ϕ，从而决定Park 变换矩阵中的0θ值，以确保d 轴与a 电网电压矢量方向相同，从而达到有功无功独立控制的目的。

在Simulink 仿真平台自带的Park 变换模块中，默认0时刻a 相电压相角0ϕ为0，由PLL 模块获得t ωsin 、t ωcos ，形成0dq C ，进行Park 变换，如图1-5所示：
图1-5逆变器控制中Park 变换部分的simulink 模型
图中Vabc_filter 为逆变器经滤波器并网处的三相电压，Vabc_filter_pu 为其标幺值。

（2）第二种推导方式
对式（1-12）所表示的三相电压进行派克变换，可得
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++-+--++-+=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++-++=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)32sin()32sin()sin()2sin()32cos()32sin()2cos()sin()cos(32)32sin()32sin()sin(2000000000000πϕωπϕωϕωπθωπθωπθωπθωθωθωπϕωπϕωϕωt t t t t t t t t E t t t EC e e e C e e dq c b a dq q d 将0θωθ+=t ，0ϕωϕ+=t ，代入上式计算得
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡++-----+++--+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡32sin()32sin()32sin()32sin(sin sin )32sin()32cos()32sin()32cos(sin cos 32πϕπθπϕπθϕθπϕπθπϕπθϕθE e e q d 化简可得：
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡---=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡)cos()sin(3)cos cos sin (sin cos sin sin cos 3)cos cos sin (sin 23)cos sin sin (cos 2332θϕθϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθE E E e e q d
（1-20）
同Clark 变换同理，等功率变换到两相dq 坐标中，电压幅值变为E 3。

为方便计算，选d 轴方向为电网电压合成矢量的方向，则上式计算结果应为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡03E e e e C e e c b a dq q d
（1-21）
要得出此结果需使
20)cos(1
)sin(00πθϕθϕθϕ=-⇒⎩
⎨
⎧=-=- （1-22）
满足上述条件可将瞬时功率计算公式化简为：
⎪⎩⎪⎨
⎧-=+-==+=q d d q q d d
d q q d d i
e i e i e q i e i e i e p
（1- 23） 因此，在这种情况下，可以认为d i 相当于有功电流，q i 相当于无功电流。

为了清晰起见，在dq 轴坐标平面上，绘制电压电流相对关系如图1-6所示。

q
e i i q i q e
i
θ
图1-6 dq 系中电压电流矢量
为以示区别，此图中有功、无功分量的下标用P 、Q 表示，dq 分量用d 、q 表示。

则电压矢量与d 轴的夹角为θϕ-e ，电流矢量与d 轴的夹角为θϕ-i 。

其中
i e ϕϕϕ-=。

对于式（1-23）的推导，与式（1-10）的推导过程一样，即由式（1-8）、式（1-9），可得：
[][][][]⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧+-=-----=---==+=--+--=---==d q q d i e i e i e q q
q d d i e i e i e p i
e i e ei ei ei q i e i e ei ei ei p )sin()cos()cos()sin()()(sin )sin()sin()cos()cos()()(cos θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ 传统理论中的有功功率、无功功率等都是在平均值基础或向量的意义上定义的，它们只适用于电压、电流均为正弦波时的情况。

而瞬时无功功率理论中的概念，都是在瞬时值的基础上定义的，它不仅适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的情况。

从以上各定义可以看出，瞬时无功功率理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成传统理论的推广和延伸。

5. 无功的物理意义
在正弦电路中由于储能元件电感和电容的存在，在电路中出现了一种在纯电阻电路中所没有的现象，这就是能量的往返交换，因而除了平均功率（有功功率）外，还引出无功功率这一概念。

设电路的电压和电流分别为：
t U u ωsin 2=，)sin(2ϕω-=t I i
⎰==T
UI uidt T P 0
cos 1ϕ
无功的定义需借助于瞬时功率：
t
Q t P t UI t UI t
t UI ui p ωωωϕωϕωϕω2sin )2cos 1(2sin sin )2cos 1(cos sin )sin(2+-=+-=+== 上式中第一个分量)2cos 1(t P ω-是以P 为平均值而做简谐振荡的分量，其值恒为非负，它是一个只有大小变化而不改变传输方向的瞬时功率分量，它代表电路等效电阻所吸收的瞬时功率，是反映电路实际消耗的有功分量，其平均值P 即为有功功率。

上式中第二个分量Qsin2ωt 是一个以2ω为角频率作正弦的交变的瞬时功率分量，在其变化的波形中，正负半周与横轴之间构成的面积分别代表等量的吸收能量和释放能量，表明有一部分能量在电源和电路之间交换，其平均值为零。

这个瞬时功率分量代表电路的等效电抗吸收的瞬时功率，反映了电源和电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量。

该无功分量的最大值ϕsin UI Q =即为通常意义上的无功功率，它实质上是电源与电路之间能量往返交换的最大速率。

1、在线性负荷电路中，无功的流动表现为电源（或已经储能的元件）与储能元件之间能量的交换（储存和释放）的过程。

而在非线性电路中，表现为电源与非线性元件之间能量的来回流动。

2、三相三线电路中，无论其对称或不对称，无论其含有谐波或不含谐波，各相无功分量的瞬时值之和在任一时刻都为0。

这是一个普遍结论。

因此，在线性或非线性三相电路中，可以认为无功能量是在三相之间流动的（如同三相电流的流动）。

6.参考文献
[1]汤蕴璆，张奕黄，范瑜．交流电机动态分析．北京：机械工业出版社，2005
[2]王兆安，杨君，刘进军．谐波抑制和无功功率补偿．北京：机械工业出版社，
1991
[3]李光琦．电力系统暂态分析（第三版）．北京：中国电力出版社，2006。