怀远县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

怀远县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A ．10 13
B ．12.5 12
C ．12.5 13
D ．10 15
2． 将n 2个正整数1、2、3、…、n 2（n ≥2）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a ＞b
）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ）
A
． B
． C ．2 D ．3
3． 已知椭圆C
：
+y 2=1，点M 1，M 2…，M 5为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为k （k ≠0）
的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为（ ） A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．﹣
4． 给出下列命题：
①在区间（0，+∞）上，函数y=x ﹣1，
y=，y=（x ﹣1）2，y=x 3
中有三个是增函数；
②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；
③若函数f （x ）是奇函数，则f （x ﹣1）的图象关于点A （1，0）对称；
④若函数f （x ）=3x ﹣2x ﹣3，则方程f （x ）=0有2个实数根．
其中假命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）
A ．112
B ．114
C ．116
D ．120
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
6． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞）
C ．（﹣9，+∞）
D ．（﹣∞，﹣9）
7． 下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示
B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程1x y
a b
+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示
8． 已知△ABC 中，a=1，
b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
9． 不等式x （x ﹣1）＜2的解集是（ ）
A ．{x|﹣2＜x ＜1}
B ．{x|﹣1＜x ＜2}
C ．{x|x ＞1或x ＜﹣2}
D ．{x|x ＞2或x ＜﹣1} 10．已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a ，a ∈M}，则集合M ∩N=（ ） A ．{0} B ．{0，﹣2} C ．{﹣2，0，2} D ．{0，2}
11．偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1 12．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）
A ．-2或-1
B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1
二、填空题
13．已知（x 2
﹣
）n
）的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是 ．
14．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
15．已知直线l ：ax ﹣by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过点（1，﹣1），则ab 的最大值是 ．
16．已知,x y 满足41
y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则222
23y xy x x -+的取值范围为____________. 17．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则2
22sin
sin sin αβγ++= ．
O A B C的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的
18．如图，正方形''''
周长为．
1111]
三、解答题
19．已知函数f（x）=cos（ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为
；
（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．
20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
CP=.
如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，3
（1）若PE交圆O于点F，16
EF=，求CE的长；
5
⊥于D，求CD的长.
（2）若连接OP并延长交圆O于,A B两点，CD OP
21．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．
22．已知命题p：x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，命题q：若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
23．（本小题满分12分）
∆的内角,,
ABC
a b c，(sin,5sin5sin)
A B C所对的边分别为,,
=+，
m B A C
=--垂直.
(5sin6sin,sin sin)
n B C C A
（1）求sin A的值；
∆的面积S的最大值.
（2）若a=ABC
24．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
怀远县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标
第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可
∴中位数是13
故选：C．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
2．【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，
当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；
当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；
当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，
故这些可能的“特征值”的最大值为．
故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
3．【答案】B
【解析】解：如图所示，
由椭圆的性质可得==﹣=﹣．
由椭圆的对称性可得，，
∴=﹣，
同理可得===﹣．
∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积==﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质可得=﹣及椭圆的对称性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
4．【答案】A
【解析】解：①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，是减函数．函数y=为增函数．函数y=（x﹣1）2在（0，
1）上减，在（1，+∞）上增．函数y=x3是增函数．
∴有两个是增函数，命题①是假命题；
②若log m3＜log n3＜0，则，即lgn＜lgm＜0，则0＜n＜m＜1，命题②为真命题；
③若函数f（x）是奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，
∴f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称，命题③是真命题；
④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0即为3x﹣2x﹣3=0，
也就是3x=2x+3，两函数y=3x与y=2x+3有两个交点，即方程f（x）=0有2个实数根命题④为真命题．
∴假命题的个数是1个．
故选：A．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的性质，训练了函数零点的判定方法，是中档题．
5．【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
该班级数学成绩的平均分是
=80×0.005×20+100×0.015×20
+120×0.02×20+140×0.01×20
=114．
故选：B．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
6．【答案】B
【解析】解：原函数是由t=x2与y=（）t﹣9复合而成，
∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；
又y=（）t﹣9其定义域上为减函数，
∴f（x）=（）x2﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数，
∴函数ff（x）=（）x2﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．
7．【答案】B
【解析】
考点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 8．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
9．【答案】B
【解析】解：∵x（x﹣1）＜2，
∴x2﹣x﹣2＜0，
即（x﹣2）（x+1）＜0，
∴﹣1＜x＜2，
即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B
10．【答案】A
【解析】解：N={x|x=2a ，a ∈M}={﹣2，0，2}， 则M ∩N={0}， 故选：A
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合N 是解决本题的关键．
11．【答案】D 【解析】解：∵f （x+2）为奇函数， ∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2），
∵f （x ）是偶函数，
∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2）=f （x ﹣2）， 即﹣f （x+4）=f （x ），
则f （x+4）=﹣f （x ），f （x+8）=﹣f （x+4）=f （x ），
即函数f （x ）是周期为8的周期函数， 则f （89）=f （88+1）=f （1）=1， f （90）=f （88+2）=f （2）， 由﹣f （x+4）=f （x ）， 得当x=﹣2时，﹣f （2）=f （﹣2）=f （2），
则f （2）=0， 故f （89）+f （90）=0+1=1，
故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
12．【答案】D 【解析】
试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以
422
2
4==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.
考点：等比数列的性质.
二、填空题
13．【答案】 45 ．
【解析】解：第三项的系数为C n 2
，第五项的系数为C n 4
，
由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C 10i
（x 2
）
10﹣i
（﹣）i =（﹣1）i C 10
i
=，
令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C 108
=45，
故答案为：45．
14．【答案】②④
【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，
圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，
两圆的圆心距d==，
两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2
=2k+，
任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
15．【答案】．
【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），
∴a+b﹣1=0，即a+b=1，
∴ab≤=
当且仅当a=b=时取等号，
故ab的最大值是
故答案为：
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
2,6
16．【答案】[]
【解析】
考点：简单的线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数
的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1
表示点
(),x y 与原点()0,0的距离；（2
(),x y 与点(),a b 间的距离；（3）
y
x
可表示点(),x y 与()0,0点连线的斜率；（4）y b
x a --表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率.
17．【答案】 【解析】
试题分析：以1AC 为斜边构成直角三角形：1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆，由长方体的对角线定理可得：
222
2
2
2
1111
222111sin sin sin BC DC AC AC AC AC αβγ++=++22212
12()
2AB AD AA AC ++==.
考点：直线与直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键． 18．【答案】8cm 【解析】
考点：平面图形的直观图．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）=cos （ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为
=
，
∴ω=2，f （x ）=cos （2x+）．
令2x+
=k π，求得x=
﹣
，可得对称轴方程为 x=
﹣
，k ∈Z ．
令2k π﹣π≤2x+≤2k π，求得 k π﹣
≤x ≤k π﹣
，
可得函数的增区间为，k ∈Z ．
（2）当2x+=2k π，即x=k π﹣，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为1．
当2x+
=2k π+π，即x=k π+
，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值为﹣1．
∴f （x ）取最大值时相应的x 集合为{x|x=k π﹣，k ∈Z}；
f （x ）取最小值时相应的x 集合为{x|x=k π+，k ∈Z}．
20．【答案】（1）4CE =；（2）CD =. 【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；（2）由切割线定理可得2
(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：
（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，0
90CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,
设CE x =，EP ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，
所以2
x =
4x =.
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质. 21．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝－2x＋a＋a 2
x
＝－2（x＋a
2
）（x－a）
x.
①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－a
2
，
由f′（x）＞0得0＜x＜－a
2.
此时f（x）在（0，－a
2
）上单调递增，
在（－a
2
，＋∞）上单调递减；
②当a＞0时，由f′（x）＜0得x＞a，
由f′（x）＞0得0＜x＜a，
此时f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减．（2）假设存在满足条件的实数a，
∵x∈[1，e]时，f（x）∈[e－1，e2]，
∴f（1）＝－1＋a≥e－1，即a≥e，①
由（1）知f（x）在（0，a）上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（e）＝－e2＋a e＋e2≤e2，即a≤e，②
由①②可得a＝e，
故存在a＝e，满足条件．
22．【答案】
【解析】解：若P是真命题．则△=4﹣4a≤0∴a≥1；…（3分）若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，
∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，…（6分）
依题意得，当p真q假时，得a∈ϕ；…（8分）
当p假q真时，得a≤﹣2．…（10分）
综上所述：a的取值范围为a≤﹣2．…（12分）
【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题．
23．【答案】（1）4
5
；（2）4． 【解析】
试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sin ,sin ,sin A B C 的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得cos A ，由同角关系得sin A ；（2）由于已知边及角A ，因此在（1）中等式2
2
2
65bc b c a +-=
中由基本不等式可求得10bc ≤，从而由公式 1
sin 2
S bc A =可得面积的最大值．
试题解析：（1）∵(sin ,5sin 5sin )m B A C =+，(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--垂直， ∴2
2
2
5sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∙=-+-=，
考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．111] 24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为f （x ）是奇函数，所以f （0）=0，
即⇒b=1，
∴
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
设x 1＜x 2则f （x 1）﹣f （x 2）=
﹣
=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．。