人教版九年级数学上册 一元二次方程单元达标训练题(Word版 含答案)

人教版九年级数学上册 一元二次方程单元达标训练题（Word 版 含
答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.
由题得：()()18344282a b a b +=⎧
⎨
+++=⎩
解之得：10
8
a b =⎧⎨
=⎩
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =
经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
2．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%．某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a %出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加
了a%，且储备猪肉的销量占总销量的3
4
，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了
1
%
10
a，求a的值．
【答案】（1）去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）a的值为20．
【解析】
【分析】
（1）设去年年底猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；（2）设3月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设去年年底猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2．5×（1+60%）x≥200，
解得：x≥50．
答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；
（2）设3月20日的总销量为1；
根据题意得：60（1﹣a%）×3
4
(1+a%）+60×
1
4
(1+a%）=60（1+
1
10
a%），
令a%=y，原方程化为：60（1﹣y）×3
4
(1+y）+60×
1
4
(1+y）=60（1+
1
10
y），
整理得：5y2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20；
答：a的值为20．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．
3．阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公
式
(1)
2
n n
S na d
-
=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个
数的值，）
例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)
2
-
×2＝120．
用上面的知识解决下列问题．
（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116
（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树
后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由公式
(1)
2
n n
S na d
-
=+⨯来计算等差数列的和，即可得到答案；
（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）由题意，得
6
d=，20
n=，2
a=，
∵
(1)
2
n n
S na d
-
=+⨯，
∴
20(201)
2206
2
S
-
=⨯+⨯401140=1180
=+；
（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得
1200x+
(1)
2
x x-
×400＝25200，
整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，
∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．
∴2009+9-1=2017；
答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．
4．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】
（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
5．阅读以下材料，并解决相应问题：
材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程
42210x x -+=，就可以令2
1x =，则原方程就被换元成2210t t -+=，解得 t = 1，即
21x =，从而得到原方程的解是 x = ±1
材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：
……………………………………
（1）利用换元法解方程：()
()
2
22312313+-++-=x x x x
（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，n c 表示第(n )1-行第 3 个数，请用换元法因式分解：()41-⋅+n n n b a c 【答案】（1）3172x -+= 或317
2
x -= 或x=-1或x=-2；（2）()41-⋅+n n n b a c =（n 2-5n+5）2 【解析】 【分析】
（1）设t=x 2+3x-1，则原方程可化为：t 2+2t=3，求得t 的值再代回可求得方程的解；
（2）根据杨辉三角形的特点得出a n ，b n ，c n ，然后代入4（b n -a n ）•c n +1再因式分解即可． 【详解】
（1）解：令t=x 2+3x-1 则原方程为：t 2+2t=3 解得：t=1 或者 t=-3 当t=1时，x 2+3x-1=1
解得：x =
或x =当t=-3时，x 2+3x-1=-3 解得：x=-1或x=-2
∴方程的解为：32x -+=
或32
x -= 或x=-1或x=-2 （2）解：根据杨辉三角形的特点得出： a n =n-1
(1)(2)2n n n b --= (2)(3)
2
n n n c --=
∴4（b n -a n ）•c n +1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n 2-5n+4）（n 2-5n+6）+1 =（n 2-5n+4）2+2（n 2-5n+4）+1=（n 2-5n+5）2 【点睛】
本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．
6．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高． 问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积 问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若
EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请
说明理由．
【答案】（1）4；（2）20
3
；（3）存在，最小值为16216- 【解析】 【分析】
（1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；
（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =
1
AE BH 2
即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1
AE BH 2
得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】
（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，
∵S △ABC =
1
BC AM=82 ∴82
AM==44
⨯ 即BC 边上的高为4；
（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
∵AD BC ∥，90D ∠=︒ ∴∠BCD=∠D=90°=∠F ∴四边形BCDF 为矩形， 又∵BC=CD=4
∴四边形BCDF 为正方形， ∴DF=BF=BC=4， 又∵AD ∥BC ∴∠FAB=∠CBA 又∵∠EAB=∠CBA ∴∠FAB=∠EAB ∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE ∴BH=BF=4，
在Rt △BCE 和Rt △BHE 中， ∵BE=BE ，BH=BC=4 ∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ） ∴EH=CE=2
同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ） ∴AF=AH
设AD=a ，则AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a 由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()2
2226+=-a a
解得8
=3
a
∴AE=6-a=103
S △ABE =
111020AE BH=4=2233⨯⨯ （3）存在，
如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，
设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()2
2
244+-=-+a m a m 整理得8=
4
+m
a m ∴AE=AH+HE=2816
444
+-+=++m m m m m
设△ABE 的面积为y ，
则y=()222161116AE BH=42244
++=
++m m m m ∴()()
2
4216+=+y m m
整理得：2
23240++-=m ym y ∵方程必有实数根
∴()2
=423240∆-⨯⨯-≥y y
整理得2
322560+-≥y y
∴(
)()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣
⎦⎣⎦
y y （注：利用求根公式进行因式分解）
又∵面积y ≥0 ∴216≥y
即△ABE 的面积最小值为16216． 【点睛】
本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．
7．已知关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根．
()1求k 的取值范围；
()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．
【答案】（1）13
4
k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】
()1根据方程有实数根得出()()
22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．
()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方
程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()
1关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根，
0∴≥，即()()22
[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，
解得134
k ≤
． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，
()
22
2222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 22
1223x x +=，
224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，
13
4
k ≤
， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】
本题考查了一元二次方程2
ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，
方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
8．已知关于x 的二次函数22
(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.
（1）求k 的取值范围；
（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是3
2
-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-3
4
；（2）k=﹣1 【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；
（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点，∴当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根．
∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．
解得k＜-3
4
；
（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0．则x1+x2=2k-1，x1•x2=k2+1，
∵===
3
2 -，
解得：k=-1或k=
1
3
-（舍去），
∴k=﹣1 9．计算题
（1）先化简，再求值：
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
）
=
22
2
11 11 x x
x x
-+
÷
--
=
()() 2
2
11 1
x x
x
x x
+-
⋅
-
=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
10．如图1，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm /s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）.解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）当BF PC
⊥s时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为
137
-
cm2．
【解析】
（1）证△APQ∽△ABC，推出AP
AB
=
AQ
AC
，代入得出
102
10
t
-
=
2
8
t
，求出方程的解即可；
（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-
5 6t2+6t=
1
2
×
1
2
×8×6，求出此方程无解，即可得出答案.
（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、OD、和PD的长度；然后
在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8-18
5
t）2-（6-
6
5
t）2=（2t）2，求得时间t的
值；最后根据菱形的面积等于△AQP的面积的2倍，进行计算即可.解：（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴AP
AB
=
AQ
AC
，
即102
10
t
-
=
2
8
t
，
解得：t=20 9
,
∴当t=20
9
时，PQ∥BC.
（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6
PD 6-5
t =． 216625
S PD AQ t t =⨯=-， 假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，
则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =
12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12． 而S △AQP 2665t t =-
， ∴266125
t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．
（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ．
如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC，
∴D ，即COD ∆，
解得：OC ，h ，
∴QD=AD﹣AQ=t ．
在Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD 2=PQ 2，
即h ，
化简得：13t 2﹣90t+125=0，
解得：t 1=5，t 2=t ，
∵t=5s 时，AQ=10cm ＞AC ，不符合题意，舍去，∴t=
52． 由（2）可知，S △AQP =54
∴S 菱形AQPQ′=2S △AQP =2×258=32
+cm 2．
所以存在时刻t ，使四边形cm 2． “点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.。