电动力学六七(电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量)
电动力学_电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
约瑟夫·拉格朗日
电磁场中带电粒子拉格朗日形式
在理论力学中，拉格朗日的基本形式
为：
d dt
T
•
q
T
q
Q
1, 2,..., s
T
•
其中
•
广义力。q
为广义动量， q
为广义速度，Qa为
对保守力系来讲：
d
T
dt
•
q
T
dp
电磁场中的带电粒子的运动方程为：dt
q
E v B
（1）
其中粒子的机械动量p是： p m0v
1
v2 c2
（2）
现在我们能否找到一个拉格朗日量L使运动方程 （1）化为拉格朗日的形式
首先把（1）的右边用势 φ和A表示出来:
A E v B t v ( A) (3)
变常量，由此得
La
1
v2 c2
当 v c 时，上式应趋于非相对论，由此得 a mc2
因而自由粒子的拉格朗日函数为
L mc2
1
v2 c2
参考文献
电动力学 第三版 郭硕鸿 著 理论力学 第三版 周衍泊 编 电动力学 第二版 学习辅导书 方奕忠 编
电磁场中带电粒子的拉格朗日量
主讲：赵朝祥
电磁场中带电粒子的拉格朗日量
1，电磁场中带电粒子的运动方程 2，拉格朗日形式
电磁场中带电粒子的运动方程
电磁场对带电粒子作用力的洛伦兹公式：
F q(E v B)
U F 用磁场张量 和四维速
构成一个四维矢量：
电动力学
内容
电磁试验麦克斯韦方程组是在库仑定律(适用于静电)、毕奥-萨伐尔定律和法拉第电磁感应定律等实验定律 的基础上建立起来的。通过提取上述实验定律中带普遍性的因素，并根据电荷守恒定律引入位移电流，就可以导 出麦克斯韦方程组。在物理上，麦克斯韦方程组其实就是电磁场的运动方程，它在电动力学中占有重要的地位。 另一个基本的规律就是电荷守恒定律，它的内容是：一个封闭系统的总电荷不随时间改变。近代的实验表明，不 仅在一般的物理过程、化学反应过程和原子核反应过程中电荷是守恒的，就是在基本粒子转化的过程中，电荷也 是守恒的。
磁学、电学、物理学、力学、热学、光学、声学、电磁学、核物理学、固体物理学。
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电动力学是研究电磁现象的经典的动力学理论，它主要研究电磁场的基本属性、运动规律以及电磁场和带电 物质的相互作用。同所有的认识过程一样，人类对电磁运动形态的认识，也是由特殊到一般、由现象到本质逐步 深入的。人们对电磁现象的认识范围，是从静电、静磁和似稳电流等特殊方面逐步扩大，直到一般的运动变化的 过程。
电动力学
电磁学释义
01
03 内容 05 相关学科
目录
02 发展 04 电磁关系
电动力学（electrodynamics）电磁现象的经典的动力学理论。通常也称为经典电动力学，电动力学是它的 简称。它研究电磁场的基本属性、运动规律以及电磁场和带电物质的相互作用。迄今人类对自然界认识பைடு நூலகம்最完备、 最深入且应用也最为广泛的是电磁相互作用，因而研究电磁相互作用的基本理论-电动力学有其特殊的重要性，它 渗透到物理学的各个分支。它比电磁学研讨的问题立足点更高，应用到的数学基础更艰深，理论性更强，论述也 更深入和普遍。
麦克斯韦方程组给出了电磁场运动变化的规律，包括电荷电流对电磁场的作用。对于电磁场对电荷电流的作 用，则是由洛伦兹力公式给出的。将麦克斯韦方程组、洛伦兹力公式和带电体的力学运动方程联立起来，就可以 完全确定电磁场和带电体的运动变化。因此，麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式构成了描述电磁场运动和电磁作用 普遍规律的完整体系。
电动力学教学大纲(科学教育专业)
《电动力学》教学大纲课程名称：电动力学课程编号：073132003总学时：54学时适应对象：科学教育（本科）专业一、教学目的与任务教学目的：电动力学是物理学本科专业开设的一门理论课程，是物理学理论的一个重要组成部分。
通过对本课程的学习，（1）使学生掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；（2）获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的能力，为解决实际问题打下基础；（3）通过对电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。
教学任务：本课程主要阐述宏观电磁场理论。
第一章主要分析各个实验规律，从其中总结出电磁场的普遍规律，建立麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式。
第二、三章讨论恒定电磁场问题，着重讲解恒定场的基本性质和求解电场和磁场问题的基本方法。
第四章讨论电磁波的传播，包括无界空间中电磁波的性质、界面上的反射、折射和有界空间中电磁波问题。
第五章讨论电磁波的辐射，介绍一般情况下势的概念和辐射电磁场的计算方法。
第六章狭义相对论，首先引入相对论时空观，由协变性要求把电动力学基本方程表示为四维形式，并得出电磁场量在不同参考系间的变换。
二、教学基本要求通过本课程的教学，使学生了解电磁场的基本性质、运动规律以及与物质的相互作用。
掌握求解恒定电磁场的基本方法；掌握电磁波在无界和有界空间的传播规律；掌握一般情况下势的概念和求解电偶极辐射，理解相对论的时空理论；掌握电磁场量的四维形式和电动力学规律的四维形式，加深对电动力学规律的认识。
三、教学内容及要求绪论矢量场分析初步第一章电磁现象的普遍规律第一节引言及数学准备第二节电荷和电场第三节电流和磁场第四节麦克斯韦方程第五节介质的电磁性质第六节电磁场的边值关系第七节电磁场能量和能流教学重点：电磁场的普遍规律，麦克斯韦方程组，电磁场的边值关系。
教学难点：位移电流概念，能量守恒定律的普遍式。
本章教学要求：通过本章学习，要使学生了解各实验定律及其意义，掌握电磁场散度、旋度的计算方法及意义，理解麦克斯韦方程的重要意义和地位，以及积分和微分形式的麦克斯韦方程适用的范围。
电动力学 知识点总结
第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过渡。
二、知识体系：三、内容提要：1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）（3）电磁感应定律①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。
②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律,①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。
2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程其中：1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。
2当，过渡到真空情况：3当时，回到静场情况：4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。
介质中：3、介质中的电磁性质方程若为非铁磁介质1、电磁场较弱时：均呈线性关系。
向同性均匀介质：，，2、导体中的欧姆定律在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。
4．洛伦兹力公式考虑电荷连续分布，单位体积受的力：洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。
说明：①②5.电磁场的边值关系其它物理量的边值关系：恒定电流:6、电磁场的能量和能流能量密度：能流密度：三．重点与难点1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。
2．麦克斯韦方程、电荷守恒定律、边值关系、极化强度与极化电荷的关系、磁化强度与磁化电流的关系、应用它们进行计算和证明。
最新电动力学重点知识总结
最新电动力学重点知识总结电动力学是物理学的一个重要分支，研究带电粒子在电场和磁场中的运动规律及其相互作用。
以下是最新的电动力学重点知识总结：1.库仑定律：库仑定律描述了两个点电荷之间的电荷间相互作用力的大小和方向。
它以电荷的量及其相对距离为参数，公式为F=k*q1*q2/r^2，其中F是作用力，q1和q2分别是两个电荷的电量，r是两个电荷之间的距离，k是库仑常数。
2.电场强度：电场强度描述了空间中各点受电场力的大小和方向。
电场强度与点电荷的大小和距离成反比，可以用公式E=k*q/r^2表示，其中E是电场强度，q是点电荷的电量，r是点电荷与观察点之间的距离。
3. 电通量：电通量是电场线通过单位面积的数量。
如果一个闭合曲面上的电通量为零，那么在该曲面上没有净电荷。
电通量可以用公式Φ=E*A*cosθ表示，其中Φ是电通量，E是电场强度，A是曲面的面积，θ是电场线与曲面法线之间的夹角。
4.高斯定律：高斯定律是描述电场的一个基本定律，它表明电场的总通量与包围该电场的闭合曲面上的净电荷成正比。
数学表达式为Φ=Q/ε₀，其中Φ是闭合曲面上的电通量，Q是闭合曲面内的净电荷，ε₀是真空的介电常数。
5.电势能：电荷在电场中具有电势能。
电势能是一个量值，并且仅依赖于电荷和它在电场中的位置。
电势能可以用公式U=q*V表示，其中U是电势能，q是电荷的电量，V是电势。
6. 电势差：电势差是单位正电荷从一个点到另一个点的电势能的差值，也可以看作是电场力对单位正电荷所做的功。
电势差可以用公式ΔV=∫E·dl来计算，其中ΔV是电势差，∫E·dl是电场强度在路径上的线积分。
7.电容器：电容器是一种可以存储电荷的装置。
它由两个导体板和介质组成，其中导体板上的电荷存储在电场中。
电容器的电容可以用公式C=Q/V表示，其中C是电容，Q是电荷的量，V是电势差。
8.电流：电流是单位时间内通过导体横截面的电荷量。
电流可以用公式I=ΔQ/Δt表示，其中I是电流，ΔQ是通过导体横截面的电荷量，Δt是时间。
电动力学习题解答带电粒子与电磁场相互作用
6
《电动力学》习题解答 7------带电粒子与电磁场相互作用
4、一静质量为
m0
、电荷量为
q
的相对论粒子，在磁感应强度为
v B
的磁场中作回
旋运动，由于发出辐射，它逐渐失去能量，设开始时，它的能量为 E0 ，试求它
的能量 E 、轨道半径 R 以及回旋角频率ω 与时间 t 的关系。
解：粒子的能量为
E = mc 2 =
P
=
1 4πε 0
4π e2 3R
v c
3
E mc
2
4
律并不适用于氢原子，其遵循的规律应该是量子力学的规律。
4
《电动力学》习题解答 7------带电粒子与电磁场相互作用
3、一个 µ − 子（其质量约为电子质量的 210 倍，mµ ≈ 210me ）被一质子俘获，从 而在环绕质子的圆轨道上运动。它的初始半径 R 等于电子环绕质子运动的玻尔半 径。试用经典理论中非相对论的带电粒子在加速运动时的辐射功率表达式，估计
m0c 2
1
−
v c
2 2
其运动方程为
（1）
ma = m v 2 = qvB R
（2）
它发出的辐射的功率为
P
=
q2 6πε 0c3
(av)2 − vv × av 2
c
1
−
v c
2 2
3
因为粒子作回旋运动，即 vv ⊥ av ，故
vv × av c
2
=
v2 c2
4πε 0
2 mµ2 c 3 4e 4
R 3 − rB3
（4） （5） （6）
（7）
电动力学章节总结
电动力学章节总结电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷、电场、电流、电势等电现象及其相互作用规律。
在电动力学这一章节中，我们主要学习了库仑定律、电场、电势、电场能、电势能、电容、电流、电阻、导体等知识。
下面是对这些知识的总结：库仑定律是电动力学的基础，它描述了两个电荷之间的作用力与电荷的大小和距离的关系。
库仑定律是一个距离的平方反比关系，即两个电荷之间的作用力与它们之间的距离的平方成反比。
这个定律可以用数学公式表示为：F=k*(q1*q2)/r^2，其中F是两个电荷之间的作用力，q1和q2是两个电荷的大小，r是它们之间的距离，k是一个常数。
电场是电荷在周围空间中产生的一种物理量，它描述了电荷对周围空间的影响。
电场可以用一个矢量表示，其方向与电荷正电荷的排斥方向相同，与电荷负电荷的吸引方向相同。
电场强度可以用电场力单位电荷的大小来描述，表示为E=F/q，其中E是电场强度，F是电场力，q是单位电荷。
在电场中，电荷受到的力是由电场力决定的，这个力为电荷的大小与电场强度的乘积。
电场力的大小可以通过电场力的公式计算：F=q*E，其中F是电场力，q是电荷的大小，E是电场强度。
电势是描述电场中其中一点电势能大小的物理量，它表示单位正电荷在该点处所具有的能量。
电势可以用电势差来表示，电势差是表示两个位置之间电势差异的物理量。
电势差的大小可以通过电势差的公式计算：ΔV=W/q，其中ΔV是电势差，W是从一个位置移到另一个位置所作的功，q是电荷的大小。
电场能是电场中储存的能量，它表示电场所具有的能量密度。
电场能的大小可以通过电场能的公式计算：U=(1/2)*ε0*E^2，其中U是电场能，ε0是真空介电常数，E是电场强度。
电势能是指电荷在电场中由于位置产生的能量，它表示电荷所具有的能量密度。
电势能的大小可以通过电势能的公式计算：PE=q*ΔV，其中PE是电势能，q是电荷的大小，ΔV是电势差。
电容是指导体存储电荷的能力，它是电容器的重要参数。
电动力学课件
04 电磁波的传播
电磁波的产生与性质
电磁波的产生
电磁波是由变化的电场和磁场交替产生并相互激发而传播的。当电荷在空间中运 动或磁场发生变化时，就会在空间中产生电磁波。
电磁波的性质
电磁波在空间中传播，具有波粒二象性。它们具有振幅、频率、相位等波动性质 ，同时也具有能量、动量等粒子性质。
电磁波的反射与折射
电磁波的反射
当电磁波遇到不同介质的分界面时，一部分能量会反射回原介质，剩余能量则继续传播。反射的程度取决于两种 介质的性质以及电磁波的入射角度。
电磁波的折射
当电磁波从一种介质进入另一种介质时，其传播方向会发生改变，这种现象称为折射。折射的程度取决于两种介 质的性质以及电磁波的入射角度。
矢量势的定义与计算
矢量势的基本定义
矢量势是用来描述磁场的一种物理量，它与磁矢势共同描述 磁场。
矢量势的计算方法
通过定义磁矢势和电荷分布，利用安培定律和麦克斯韦方程 组计算矢量势。
磁场的边界条件
边界条件的概念
磁场的边界条件是指在磁场与其它媒质（如真空、导体或介质）交界处磁场的 行为。
边界条件的分类
电场是电荷周围空间中存在的 特殊物质，由电荷产生并受到 电荷的影响。
电场具有传递性和无色性，即 电场可以传递电荷之间的相互 作用力，且电场本身不具有颜 色。
电场具有叠加性和穿透性，多 个电荷产生的电场可以叠加， 且电场可以穿透某些物质。
电势的定义与计算
电势是描述电场中某一点电荷所 具有的势能大小的物理量，通常
衍射实验结果表明，当电磁波通过一个小缝时，会在远处产生一个明亮的衍射图案，这个 图案是由不同方向的波组成的，它们相互叠加产生干涉现象，形成明暗相间的条纹。
《电动力学第三版》chapter6_7电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
HH(qi,Pi)
用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式
qi H Pi ,Pi H qi 电磁场中的带电粒子运动情形
正则动量 即
Pi vLi
m0vi 1v2
c2
qAi
PpqA
正则动量 机械动量
附加动量
带电粒子的哈顿量为
HPvL
m0c2
q
1cv22
但H应该用正则动量而不是用速度表出
Η (P q Α )2 c 2 m 0 2 c 4 q
把电Ε 磁 场v 用 Β 标 量 势和矢 量 Α 势 表v 示 , (则 Α )
t
在拉氏形式中, 坐标
x和速度
v
x是独立变量,
▽算符不作用在 v的函数上, 因此
v ( Α ) ( v Α ) v Α
d p q [( v Α ) Α v Α ]
d t
t
由 矢A 于 有 势粒 增 d ,x 在 子 A 量 .因 时 dt内 运 此 间 有 动 dx ,由 位此 移引
dΑΑvΑ dt t
d p q [( v Α ) Α v Α ]
d t
t
d(p qΑ )q (v Α )
dt
注意到动量和矢势可以分别写为
pi vi [m0c2
1v2 c2
],
Ai
vi
v
Α
运动方程可以写为拉氏形式 d L L 0
dt vi xi
其中拉格朗日量L为
L m 0 c21 c v2 2 q ( v Α )
当粒子在电磁场内运动时, 除了Uµ之外, L还依 赖于四维势Aµ或电磁场张量F. 由粒子的四维速度 Uµ与电磁场的四维势Aµ可构成一个不变量UµAµ , 因 而L可以含有一项bUµAµ, b为一待定常数.
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数本文将介绍如何求得带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数先给出结论：L=T−U=12mv2−qφ+qA⋅v其中φ为电磁场的标势，A为电磁场的矢势，T为带电粒子动能，U为带电粒子在电磁场中的广义势能U=qφ−qA⋅v基本思路：根据Maxwell方程组，将Lorentz力写成广义力Q a的形式，得到相应的广义势U，再带入拉格朗日表达式得到L1.非保守力广义力Q a表达式为Q a=ddtðUðq̇α−ðUðqα其中U为广义势，qα为广义坐标。
拉格朗日函数为L=T−U其中T为粒子动能，U为粒子广义势能。
带电荷量为q的粒子在电场E和磁场B中运动所受的Lorentz力为F=q(E+v×B)地磁场本身满足Maxwell方程组{∇×E+ðBðt=0∇⋅E=ρε0∇×B−μ0ε0ðEðt=μ0j∇⋅B=02.根据磁场散度方程∇⋅B=0和矢量恒等式，矢量场旋度的散度恒为0∇⋅∇×A=0由电磁场矢势A定义磁场强度B=∇×A 3.由法拉第电磁感应方程∇×B+∂Eðt=0得∇×(E+ðAðt)=0根据矢量恒等式∇×∇φ≡0定义一个标量函数φ−∇φ=E+ðA ðt做恒等变换则有E的表达式E=−∇φ−ðA ðt4.将E和B的表达式代入Lorentz力表达式得F=q[−∇φ−ðAðt+v×(∇×A)]A对时间的全导数dA dt =ðAðt+(v⋅∇)A做恒等变换有ðA ðt =dAdt−(v⋅∇)A将v×(∇×A)做恒等变换得v×(∇×A)=(∇A)⋅v−(v⋅∇)A 将上面两式带入Lorentz力表达式得F=q[−∇φ−dAdt+(v⋅∇)A+(∇A)⋅v−(v⋅∇)A]=q[−∇φ−dAdt+(∇A)⋅v]=q[−∇φ−dAdt+∇(A⋅v)]其中A,φ都不是v的函数，因此dA dt =ddt[ððv(A⋅v)]=ddtððv(−φ+A⋅v)将dAdt带入Lorentz力表达式得F=q[−∇(φ−A⋅v)−ddtððv(φ−A⋅v) ]5.与广义力满足方程比较Q a=ddtðUðq̇α−ðUðqα得广义势U的表达式为U=q(φ−A⋅v)则有带电粒子的拉格朗日函数L=T−U=12mv2−qφ+qA⋅v。
电动力学内容简介
电动力学内容简介The Summery of Contents in Electrodynamics电动力学：研究电磁场的基本属性、运动规律、与带电物质的相互作用。
1． 场：物理量在空间或一部分空间的分布。
通过对电磁场的研究加深对场的理解。
场是一种物质，有其特殊的运动规律和物质属性，但是又是一种特殊的物质它可以与其他物质共同占有一个空间（存在形式的特点）。
有关电磁场的概念是有法拉第提出的，麦克斯韦进一步完善。
一个很核心的问题：“物质能不能在它们不存在的地方发生相互作用” “实验证实超距作用的不正确”所以说场的引入可以说正是解释了这一问题。
电磁场作为电磁现象的共性所引入的2． 如何研究电磁场所对应的物理量()(),,,,,,,E x y z t B x y z t ：从理论上和实验上证明了是必需的也是最基本的。
3． 电磁学和电动力学的区别：（学过了数学物理方法）就像中学中的电与磁的现象与电磁学的区别在于学了微积分一样。
电磁学：麦克斯韦方程组：只有积分的形式只是作为最后的结果并没有给出应用。
求解静电场的问题：库伦定理+积分、高斯定理、已知电势求电场电动力学：麦克斯韦方程组：不仅有积分形式而且还有位分形式，先结果再应用。
求解静电场的问题：分离变量法、镜像法、格林函数法4． 本书的主要结构：⎧⎧→⎨⎪⎪⎩→⎨⎧⎪→⎨⎪⎩⎩第二章静电场静第三章静磁场第一章电磁现象的普遍规律第四章电磁场的的传播动第五章电磁场的发射第六章相对论第一章 电磁现象的普遍规律Universal Law of Electromagnetic Phenomenon本章将从基本的电磁实验定律出发建立真空中的Maxwell’s equations 。
并从微观角度论证了存在介质时的Maxwell’s equations 的形式及其电磁性质的本构关系。
继而给出Maxwell’s equat ions 在边界上的形式，及其电磁场的能量和能流，最后讨论Maxwell’s equations 的自洽性和完备性。
电动力学课程教学大纲
电动力学课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：电动力学所属专业：理学专业课程性质：基础课学分：4（二）课程简介、目标与任务；电动力学是宏观电磁现象的经典理论，是研究电磁场的基本属性、运动规律以及它与带电物质之间相互作用的一门重要基础理论课。
电动力学是物理学科的一门重要基础理论课，是物理学的“四大力学”之一。
基本目标：1. 掌握处理电磁问题的一般理论和方法2. 学会狭义相对论的理论和方法学习目的与要求：1. 通过学习电磁运动的基本规律，加深对电磁场基本性质的理解；2. 通过学习狭义相对论理论了解相对论的时空观及有关的基本理论；3. 获得在本门课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力；4. 为学习后续课程和独力解决实际问题打下必要的基础。
为了达到以上目的和要求，在教材内容和课程设置中应注意以下问题：1. 由于本课程是理论物理课程的一部份，因而在要注意与研究生课程的衔接，尽量使这二者有机结合。
介绍麦克斯韦方程组的相对论形式时，本课程主要介绍物理量和方程如何从三维过渡到四维空间的表述形式。
结合科研工作，我们将从更深知识层次的广义相对论、微分几何角度来阐述狭义相对论时空观和Maxwell方程组的四维张量表述。
2. 详细阐述如何把学过的数理方程知识用于解决实际物理问题，即求解一定边界条件下静电势和磁矢势所满足的偏微分方程，达到提高学生分析和解决问题的能力。
3. 在电动力学课程中，讨论了如何从经典物理过度到相对论物理，因此，在介绍这些内容时要从相对论时空观上加以阐述，以使学生真正掌握狭义相对论的物理精髓，达到培养学生抽象思维的目的。
4. 适当介绍一些与课程相关的科研前沿知识，如A-B效应，超导体的磁通量子化，超颖材料（隐身材料），高维时空中的电磁理论（库伦定律），电磁与引力的统一（Kaluza-Klein理论），额外维与膜世界理论等以开阔学生的眼界。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程：高等数学矢量分析、数学物理方法、电磁学关系：其中高等数学矢量分析和数学物理方法是电动力学的数学基础，电磁学是电动力学的物理基础，电动力学在电磁学的基础上系统阐述电磁场的基本理论，并进一步在狭义相对论框架下讲述电磁场的四维协变规律。
电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
（5）
dx• 由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量
因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：
d
dt
t
精v选课•件
（66）
所以（5）可写为： dpq q v•
dt
动量p和矢势A可以写为
pi
vi
m 0c 2
i
vi
v
•
v2 1 c 2
所以拉格朗日量L为： Lm0c2 1vc2 2 qv•
vc 只能是一个洛伦兹不变量，当
时，则自有粒子的拉格朗日
函数为：L m0c2
1
v2 c2
③ 当粒子在电磁场中运动时，除了U
之外，还依赖于四维势 ，则它们可以
U ④
⑤
构量成L为一（个8不）变量
，因此，当v<<c时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗
精选课件
8
3，哈密顿形式
p L
▪ 对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量 i 定义为 P i •
矢量
K K,
i c
K•c
所以，在相对论协变的力学方程包括：kdp，可改写为： 1v c2 2•kd dp t, 1c v2 2•k•vd dw t
精选课件
2
定 义 ： F1v c2 2K 相 对 论 力 学 方 程 为 F F vd dp tdW dt
在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为： FqEvB
当v<<c时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形 下相应的量。
拉格朗日量（8）式当v<<c时变为：
L1 2m0v2qv•
哈密顿量（16）式变为：
（19）
1 Pq2q
电动力学六七(电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量)
L m0c2
1
2
c2
14
当粒子在电磁场内运 动时，除了Uµ之外，L 还依赖于四维势Aµ或 电磁场张量F。由粒 子的四维速度Uµ与电 磁场的四维势Aµ可构 成一个不变量UµAµ ， 因而L可以含有一项 bUµAµ，b为一待定常 数。
在静电场中，当粒 子运动速度<<c时， 这项应等于粒子在 静电场中的负位能-
e，由此定出b=e。
根据协变性要求，
确定带电粒子在电
磁场中运动的拉格 朗日量为
L m0c2
1
2
c2
q(
υ )
15
2 哈密顿形式
对于用拉氏量L描述的 动力学系统，广义动量 Pi定义为
Pi
L qi
Pi也称为与广义坐标qi 共轭的正则动量。系统 的哈密顿量为
H Piqi L
i
H是广义坐标qi和广义 动量Pi的函数
21
变量，▽算符不作用在的函数上，因此
υ( ) (υ ) υ
8
dp q[ ( υ ) υ ]
dt
t
由于粒子运动，在时间dt有位移dx，由此 引起矢势A有增量dx∙▽A 。因此，作用于 粒子上的矢势总变化率为
d υ dt t
9
d υ dp q[ ( υ ) υ ]
§6.7 电磁场中带 电粒子的拉格朗日 量和哈密顿量
1
把力学方程表为分析力学形式更具有 普遍的意义，因为这样可以在一般广义坐 标下研究力学系统的运动，因而对力学系 统的性质可以作出普遍的推论。把带电粒 子在电磁场中的运动方程用分析力学的拉 格朗日形式和哈密顿形式表示出来。
2
另一方面，在微观领域内带电粒子的运动 问题占有重要地位，例如电子在原子核的 场内运动就属于这类问题。在微观领域内 需要用量子力学来解决粒子运动问题，而 量子力学是用哈密顿量或拉格朗日量来描 述粒子系统的力学性质的。
力学系统的哈密顿量与拉格朗日量的关系
力学系统的哈密顿量与拉格朗日量的关系力学是研究物体运动的学科，它是自然科学中的重要分支之一。
在力学中，我们常常会遇到两个重要的概念：哈密顿量和拉格朗日量。
这两个概念在力学系统的描述中起着至关重要的作用，它们之间存在着一定的关系。
首先，让我们来了解一下哈密顿量和拉格朗日量的定义。
在力学中，哈密顿量是描述系统能量的函数，通常用H表示。
而拉格朗日量则是描述系统运动的函数，通常用L表示。
哈密顿量和拉格朗日量都是由系统的广义坐标和广义速度所决定的。
在经典力学中，我们可以通过拉格朗日量来描述力学系统的运动方程。
拉格朗日量可以通过系统的动能和势能来构造，即L = T - V，其中T是系统的动能，V是系统的势能。
通过变分原理，我们可以得到系统的运动方程，即拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以通过求解系统的广义坐标和广义速度的变分来得到。
与此相对应的，我们可以通过哈密顿量来描述力学系统的运动。
哈密顿量可以通过拉格朗日量和广义动量来构造，即H = Σpiqi - L，其中pi是广义动量，qi是广义坐标。
通过求解哈密顿方程，我们可以得到系统的运动方程。
哈密顿方程可以通过对广义坐标和广义动量的变分来得到。
哈密顿量和拉格朗日量之间的关系可以通过勒让德变换来建立。
勒让德变换是一种将拉格朗日量转化为哈密顿量的方法。
它可以通过对拉格朗日量进行勒让德变换，即对广义速度进行变换，来得到哈密顿量。
勒让德变换的过程中，我们需要求解广义动量和广义速度之间的关系。
在经典力学中，哈密顿量和拉格朗日量之间的关系是等价的。
也就是说，通过哈密顿量可以得到与通过拉格朗日量得到的运动方程完全相同。
这种等价关系在经典力学中被称为勒让德定理。
然而，在量子力学中，哈密顿量和拉格朗日量之间的关系并不是等价的。
量子力学是描述微观粒子运动的理论，它与经典力学有着本质的不同。
在量子力学中，哈密顿量和拉格朗日量描述的是系统的能量和运动规律，它们之间存在着一定的关系，但并不是完全等价的。
电动力学和电磁场
电动力学和电磁场
摘要：
1.电动力学和电磁场的基本概念
2.电动力学的基本原理
3.电磁场的基本性质
4.电动力学和电磁场在实际应用中的重要性
正文：
电动力学和电磁场是物理学中的重要领域，涉及到电荷、电场、磁场以及它们之间的相互作用。
电动力学主要研究电磁现象的基本规律，而电磁场则是由电荷产生的场。
首先，让我们了解一下电动力学和电磁场的基本概念。
电动力学是研究电荷在电磁场中的运动规律以及电磁场之间的相互作用的物理学分支。
而电磁场则是由电荷产生的电场和磁场，它们在空间中相互作用并产生电磁现象。
电动力学的基本原理包括电荷守恒定律、库仑定律、法拉第电磁感应定律等。
这些原理描述了电荷在电磁场中的运动和电磁场的产生、变化和消失。
通过这些原理，我们可以深入了解电磁现象的本质，从而更好地理解和应用电磁场。
电磁场的基本性质包括电场和磁场的相互作用、电磁波的传播等。
电磁场是一种横波，可以在真空中传播，其传播速度等于光速。
电磁波在信息传输、无线通信等领域有着广泛的应用。
电动力学和电磁场在实际应用中的重要性不言而喻。
电磁场在现代科技中
有着广泛的应用，如电力传输、无线通信、电磁制动等。
此外，电动力学和电磁场在现代物理学中也有着重要的地位，如量子电动力学、相对论电动力学等。
总的来说，电动力学和电磁场是物理学中的重要领域，涉及到电磁现象的基本规律和应用。
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数
得广义势U的表达式为
U = q(������ − ������ ⋅ ������) 则有带电粒子的拉格朗日函数
L
=
T
−
U
=
1 2
����������;
������������
⋅
������
������ ������ ⋅ ������ = ������0
������������
������ × ������ − ������0������0 ������������ = ������0������
{
������ ⋅ ������ = 0
2. 根据磁场散度方程
������ ⋅ ������ = 0
������������ ������������ ������������ = ������������ − (������ ⋅ ������)������ 将������ × (������ × ������)做恒等变换得
������ × (������ × ������) = (������������) ⋅ ������ − (������ ⋅ ������)������
和矢量恒等式，矢量场旋度的散度恒为0
由电磁场矢势������定义磁场强度
������ ⋅ ������ × A = 0
������ = ������ × ������
3. 由法拉第电磁感应方程
∂������ ������ × ������ + ������������ = 0 得
根据矢量恒等式
������������ ������ × (������ + ������������ ) = 0
将上面两式带入Lorentz力表达式得
电磁场 拉格朗日量
电磁场的拉格朗日量可以用来推导电磁场的运动方程，即麦克斯韦方程组。通过变分原理 ，可以获得电磁场的运动方程，包括麦克斯韦方程和洛伦兹力的表达式。
需要注意的是，上述给出的电磁场的拉格朗日量是在相对论情况下的描述，即考虑了时空 的弯曲和洛伦兹变换。对于非相对论情况下的电磁场，可以使用非相对论性的拉格朗日量进 行描述。
电磁场 拉格朗日量
总之，电磁场的拉格朗日量是描述电磁场运动的重要工具，可以通过变分原理推导出电磁 场的运动方程。
电磁场 拉格朗日量
在物理学中，拉格朗日量是描述系统动力学的一个重要概念，它是拉格朗日力学的核心。 对于电磁场，我们可以使用拉格朗日量来描述其运动。
在电磁场中，电磁场的拉格朗日量可以通过电磁场的场强和场势来表示。场强包括电场强 度和磁场强度，场势包括电势和磁矢势。
电磁场的拉格朗日量可以写为：
L = -\frac{1}{4\mu_0}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - j^{\mu}A_{\mu}
电动力学和电磁场
电动力学和电磁场（原创实用版）目录1.电动力学和电磁场的基本概念2.电动力学的发展历程3.电磁场的基本性质4.电动力学和电磁场在现代科技中的应用正文一、电动力学和电磁场的基本概念电动力学是物理学的一个分支，主要研究电荷在电磁场中的运动规律。
电磁场是由电荷产生的，包括电场和磁场。
电场是指空间中电荷周围存在的力场，而磁场则是指电流在空间中产生的磁力线。
二、电动力学的发展历程电动力学的发展可以追溯到 19 世纪初，当时科学家们开始研究电荷在电场和磁场中的运动。
这一领域的研究取得了重要进展，包括法拉第电磁感应定律、安培环路定律和麦克斯韦方程组等。
这些定律和方程为电动力学的发展奠定了基础。
三、电磁场的基本性质电磁场具有以下基本性质：1.电磁场的存在：电荷周围存在电场，电流周围存在磁场。
变化的电场可以产生磁场，变化的磁场也可以产生电场。
2.电磁场的传播：电磁场以波的形式在空间中传播，这种波称为电磁波。
电磁波在真空中的传播速度等于光速，是宇宙中最快的速度。
3.电磁场的能量：电磁场具有能量，可以通过电场和磁场的变化来传递和存储能量。
四、电动力学和电磁场在现代科技中的应用电动力学和电磁场在现代科技中有广泛的应用，包括：1.电力传输：利用电磁场传输电能，可以实现远距离输电。
2.电磁波通信：利用电磁波传输信息，可以实现无线通信，如手机、无线电和电视等。
3.电磁感应：利用电磁感应原理，可以实现许多设备的自动化控制，如自动门、感应炉灶等。
4.电磁兼容：在电子设备设计中，需要考虑电磁兼容性，以保证设备在不同电磁环境下能正常工作。
5.电磁防护：对于某些对电磁场敏感的设备，如电子计算机、通信设备等，需要采取电磁防护措施，以防止电磁干扰。
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d L L 0 i qi dt q
i 为广义速度，拉格朗日量L是广 q 其中qi为广义坐标， 义坐标和广义速度的函数
i ) L L(qi , q
5
例如在保守力场中运动的质点就是这种系统，其中
L=T V
2
1 c 2 q( υ )
2
11
现在我们考察 L 的变换性质。把上式乘 以=(1-2/c2)-1/2得
四维速 度矢量
L m0c qAU
2
洛伦兹不变量
洛伦兹 是作用量
固有时
S Ldt Ld
洛伦兹不变量 洛伦兹不变量
带电粒子的哈密顿量为
H Pv L
m0 c 1
2
2
c2
q
18
但H应该用正则动量p而不是用速 度表出
Η ( P q ) c m c q
2 2 2 4 0
右边第一项是粒子的运动能量W（包括 静止能量），因而 H 对应于 Pµ+qAµ的 第四分量。引入四维正则动量
述粒子系统的力学性质的。
3
在量子力学中，哈密顿量占有十分重要的 地位。因此，我们这里从经典电动力学范 围引入带电粒子在电磁场中运动的拉格朗 日量和哈密顿量，不仅是为了提供解决经 典运动的方法，同样重要的是通过对应原 理可以把它们过渡到量子力学的量，从而 为解决微观粒子运动问题通过必要的基础。
4
1. 拉格朗日形式
p
m0 υ
1
2
c2
7
现在我们探讨能否找到一个拉格朗日量L使运动方 程化为拉氏方程的形式？
( ) t
在拉氏形式中，坐标 x 和速度 x 是独立 变量，▽算符不作用在的函数上，因此
υ ( ) ( υ ) υ
P p qA
19
则哈密顿量与Pµ的第四分量 相联系
i P ( P , H ) c
不难验证哈密顿方程相当于原 运动方程
20
3．非相对论情形
当<<c时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变 为非相对论情形下相应的量 拉氏量当<<c时变 为(除去一个不重要 的附加常量)
1 L m0 υ2 q( υ ) 2
L m0c
2
1 c 2 q( υ )
2
15
2 哈密顿形式
对于用拉氏量 L 描述的 动力学系统，广义动量 Pi定义为 Pi也称为与广义坐标qi 共轭的正则动量。系统 的哈密顿量为
L Pi q i
i L H Pi q
i
H是广义坐标qi和广义 动量Pi的函数
L a 1 c2
2
L m0c
2
1 c2
2
14
当粒子在电磁场内运 动时，除了Uµ之外， L还依赖于四维势Aµ 或电磁场张量F。由 粒子的四维速度Uµ与 电磁场的四维势Aµ可 构成一个不变量 UµAµ ，因而L可以 含有一项bUµAµ，b 为一待定常数。
在静电场中，当粒 子运动速度<<c时， 这项应等于粒子在 静电场中的负位能e，由此定出b=e。 根据协变性要求， 确定带电粒子在电 磁场中运动的拉格 朗日量为
H H (qi , Pi )
16
用哈密顿量可 以把运动方程 表为正则形式
H i q , Pi H Pi q i
回到电磁场中的带电粒子运动情形
m 0 i L Pi qAi 2 i 1 c2
17
正则动量P
即
P=p+qA
式中p是粒子的机械动量。在电磁场中粒 子的正则动量不等于它的机械动量，而 是附加上一项qA。
8
dp q[ ( υ ) υ ] dt t
由于粒子运动，在时间dt有位移dx，由此 引起矢势A有增量dx∙▽A 。因此，作用于 粒子上的矢势总变化率为
d υ dt t
9
d υ dt t
dp q[ ( υ ) υ ] dt t
作用量的洛伦兹不变性在现代物理学中有 重要意义，这种不变性常常是找出一个物 理系统的拉格朗日函数的重要依据。
13
下面我们说明从S的不变性就可以基本上确定带 电粒子拉格朗日函数的形式。
自由粒子情形。粒子的状态由速 度确定。和粒子速度有关的协变 量是四维速度 Uµ，而由 Uµ只能 构成一个不变量 UµUµ=-c2 。因 此， L 只能是一个洛伦兹不变 常量a，由此得 当<<c时，上式应趋于非 相对论的动能（除了可能 有附加常数之外），由此 得 a = － m 0c 2 ， 因 而 自 由 粒子的拉格朗日函数为
T是粒子的动能，V是势能。对某些非保守系统， i ) L(qi，使该系统 ,q 只要我们能够找出一个函数 的运动方程化为拉格朗日形式，就可以用分析 力学的一般理论来研究该系统的运动。
6
电磁场中带电粒子的运动方程
dp q( E υ B ) dt
此式在相对论情形仍然成立，其中粒子 的动量p是
§6.7 电磁场中带 电粒子的拉格朗日 量和哈密顿量
1
把力学方程表为分析力学形式更具有 普遍的意义，因为这样可以在一般广义坐 标下研究力学系统的运动，因而对力学系 统的性质可以作出普遍的推论。把带电粒 子在电磁场中的运动方程用分析力学的拉 格朗日形式和哈密顿形式表示出来。
2
另一方面，在微观领域内带电粒子的运动 问题占有重要地位，例如电子在原子核的 场内运动就属于这类问题。在微观领域内 需要用量子力学来解决粒子运动问题，而 量子力学是用哈密顿量或拉格朗日量来描
d (p q ) q( υ ) dt
注意到动量p和矢势A可以分别写为
2 2 pi [ m0c 1 c 2 ], i
Ai υ i
10
运动方程可以写为拉氏形式
d L L 0 dt i xi
其中拉格朗日量L为
L m0c