2015淮北一模安徽省淮北市2015届高三第一次模拟考试数学理Word版及答案

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2015届高三“一模”数学模拟试卷(1)(含答案)

2015届高三“一模”数学模拟试卷（1）（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．2．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ． 3．函数lg 3y x =-的定义域是．4．已知行列式cos sin 21x x =-，(0,)2x π∈，则x = ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3050S =，5030S =，则80S = ． 6．函数log (3)1a y x =+-(0a >且1)a ≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为． 7．设等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若*2()31n n S n n N T n =∈+，则54a b = ． 8．2310(133)x x x +++展开式中系数最大的项是．9．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为．10．已知tan ,tan αβ是关于x 的方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=(0)m ≠的两根，则tan()αβ+的最小值为．11．若不等式(0)x a ≥>的解集为[,]m n ，且2m n a -=，则a 的取值集合为．12．如图，若从点O 所作的两条射线,OM ON 上分别有点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线,OP OQ 和OR 上，分别有点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论为．13．圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，则圆锥的内接圆柱全面积的最大值为．14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题： ① 方程[()]f f x x =也一定没有实数根；② 若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切x R ∈恒成立； ③ 若0a <，则必存在实数0x 使不等式00[()]f f x x >成立； ④ 若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切x R ∈成立；其中是真命题的有．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．15． “arcsin 1x ≥”是“arccos 1x ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++=（）A ．1B ．2C ．3D ．417．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是（）A ．112λ≤≤ B ．112λ-≤≤C ．1122λ≤≤+D ．1122λ-≤≤+18．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为（） A ．(,2)(9,)-∞-+∞ B ．(,2)(7,)-∞-+∞ C ．(,4)(9,)-∞-+∞D ．(,4)(7,)-∞-+∞三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+．（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．设虚数12,z z 满足212z z =．（1）若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z ；（2）若11z mi =+(0,m i >为虚数单位)，1z ≤23z ω=+，求ω的取值范围．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC =，D 为AB 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直．（1）求证：1AB ⊥平面1ACD ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为1，115AC AB =，求三棱锥1A ACD -体积．7分．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使得()()f x k x a ≤-对任意[,]x a b ∈恒成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的 “k 函数”. （1）已知函数()2f x x m =+是[1,2]上的“1函数”，求m 的取值范围；（2）已知函数()3f x x m =+是[1,2]上的“2函数”，求m 的取值范围；（3）已知函数221,[1,0)()1,[0,1),[1,4]x x f x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 函数”，若是，求出对应的k ；若不是，请说明理由．8分．数列{},{}n n a b 满足：11,a a b b ==，且当2k ≥时，,k k a b 满足如下条件：当1102k k a b --+≥时，111,2k k k k k a ba ab ---+==，当1102k k a b --+<时，111,2k k k k k a ba b b ---+==。

安徽省淮北市、亳州市高三数学第一次模拟考试试卷文(扫描版)

安徽省淮北市、亳州市2015届高三数学第一次模拟考试试卷文（扫描版）2015年高三数学文科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11 ． 2 1213 ． ()3,-+∞ 1415． ②④⑤三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、解：222sin B B =∴2cos 2sin B B B =∴2sin B B = tan B =,∴3B π=………………6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a b A B =⇒2sin sin 43bππ=⇒b =………………9分 ∴115sin 22212S ab C π==⨯= ………………12分17、解：（Ⅰ）设摘下的石榴中，甜味石榴的个数为m ，∴记6个石榴分别是,,,,,a b c d e f ∴从中随机选两个石榴有()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ()()()()(),,,,,,,,,b c b d b e b f c d()()()()(),,,,,,,,,c e c f d e d f e f 15个等可能的结果，∵选到都是甜味石榴的概率是∴15个结果中有6个结果是全是甜味石榴，∵只有从4个石榴中任选两个的结果是6个，不妨设,,,a b c d 为甜味石榴，可得结果全是甜味石榴结果()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d∴摘下的石榴中，甜味石榴的个数为4； ………………6分（Ⅱ）不妨设,,,a b c d 为甜味石榴，甲乙二人各选一个石榴不同结果有()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ()()()()(),,,,,,,,,b c b d b e b f c d ()()()()(),,,,,,,,,c e c f d e d f e f()()()()(),,,,,,,,,b a c a d a e a f a ()()()()(),,,,,,,,,c b d b e b f b d c ()()()()(),,,,,,,,,e c f c e d f d f e共30个，这些结果是等可能的，记事件“甲选到甜味石榴且乙选到酸味石榴”为事件A ,∴事件A 包含上面30个结果中的8个，根据古典概型公式得()843015P A == ………………12分 18、（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点．∵E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分∵ ⊄PB 平面EAC ，EO Ø平面EAC ，∴直线PB //平面EAC ． ………………6分（Ⅱ）证明：∵⊥PA 平面PDC ，∴CD PA ⊥． ………………8分∵四边形ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥，∴⊥CD 平面PAD ． ………………10分 ∴平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………12分19、解：（Ⅰ）∵222211n n n n a a a a ++=-∴222211n n n n a a a a ++-=∴221111n n a a +-=∴数列21{}na 是以1为首项，1为公差的等差数列 ………………3分 ∴21nn a=n a ⇒= ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n a =，1n n b a ==∴11n n b b +==+ ………………10分∴11n S n =-+++-1=< ………………13分20、解（Ⅰ）∵()ln ,f x ax x =+()0,x ∈+∞∴1(),f x a x '=+①当0a ≥时，1()0,f x a x'=+>∴()f x 在()0,+∞上单调递增 ②当0a <时，111()0f x a a x x x a'=+>⇒>-⇒<- ∴()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增综上：当0a ≥时，()f x 的增区间是()0,+∞，当0a <时，()f x 的增区间是10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭ ………………6分（Ⅱ）()4321x x g x =-⋅+，[]0,1x ∈，令[]21,2xt =∈ []231,1,2y t t t =-+∈，当1t =或2时，max 1y =- ………………8分由（Ⅰ）知，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增，无最值，不可能满足()()f m g n < 当0a <时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减;∴max 11()()1ln f x f a a ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭∵对任意的(0,)[0,1]m n ∈+∞∈，都存在，()(),f m g n <使得∴max max ()()f x g x <∴11ln 1a ⎛⎫-+-<- ⎪⎝⎭∴1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ ∴11a-<,∴1a <- ………………13分21、解：（I ）∵2222222121649112c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎪⎩椭圆C 的方程为：2211612x y +=； ………………3分（Ⅱ）设切线l 的斜率为k ，∴l ：23y kx k =-+ 由221161223x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：()()222348231648120k x k kx k k +--+--=由()()()222264234341648120k k k k k ∆=--+--=得：24410k k ++= ∴12k =-∴求过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=； ……………7分（Ⅲ）∵椭圆C 的方程为：2211612x y +=，设椭圆左右焦点分别为12,F F ∴12(2,0),(2,0)F F -∵过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=∴过点P 的椭圆法线方程为:210m x y --=，法线的方向向量()1,2m =--∵()()124,3,0,3PF PF =--=-,∴111cos ,5PF mPF m PF m ⋅==22cos ,5PF PF m PF m ==，∴直线12,FP F P 关于直线m 对称； ∴从椭圆一个焦点发出的光线照到点P ，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点. ………………13分。

安徽省示范高中2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)

安徽省示范高中2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)第一卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】（1）设是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数, z +z =2, 2z z -=则z 的虚部是 A.1 .B i ± .1C ± .1D - 【知识点】复数代数形式的乘除运算． L4【答案解析】C 解析：设z a bi =+，则z a bi =-，2z z a +=，所以a=1；222z z a b ⋅=+=，则1b =±，所以1z i =±，虚部为1±，故选C.【思路点拨】利用复数的除法运算化简给出的复数，由共轭复数的概念求解．【题文】(2)双曲线2x -23y =-1的渐近线的倾斜角为.6A π 5.6B π 2.33C ππ或 5.66D ππ或【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】D 解析：双曲线2x -23y =-1的渐近线为3y x =±，所以倾斜角为566ππ或，故选D.【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程，再利用斜率与倾斜角的关系，即可得出结论．【题文】（3）若x y 、满足202200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z y x =-的最大值为A.2B.-2C.1D.-1【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】A 解析：线性可行域如图所示，三个顶点坐标分别为（0,2），（2,0），（-1,0），通过上顶点时Z 值最大。

故选A.【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【题文】 (4)已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒ B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥ C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒ D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5【答案解析】D 解析：A 选项可能有n α⊂，B 选项也可能有n α⊂，C 选项两平面可能相交，故选D.【思路点拨】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．【题文】(5)执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A.2B.3C.4D.5 【知识点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：k=0时，cos sin 1A A <=；k=1时，cos sin A A =；k=2时，cos sin A A <；k=3时，cos sin A A <；k=4时，cos sin A A >；故选C.【思路点拨】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，满足条件进入循环体，不满足条件算法结束．【题文】 (6)“09k <<”是“曲线22=1259x y k --与曲线22=125-k 9x y -的焦距相同”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件。

安徽省示范高中2015届高三第一次联考数学(理)试题(扫描版)

安徽省示范高中2015届高三第一次联考理科数学参考答案当0k = 时，曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的焦距相同.故选A.7.C 【解析】极值点有两个，A 错误。

(),5-∞-单调递增，B 错误；1x =不是极值点，D 错误. 故选C.8.A 【解析】 y bx a =+过点()6,65.5得9.1a =，9.49.1y x =+因直线过均值点所以7,422x y ==，得54m =.故选A. 9.B【解析】()()13sin 2cos 2244g x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫'==-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右移4π得3cos 2cos 2444y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选B. 10.D 【解析】1212221100x x y y op op op op +=⇒=⇒⊥，即存在两点与原点连线互相垂直。

A 存在B 切线方程为y x =±互相垂直，存在；C 切线方程为y x =±互相垂直，存在；D 2221x y -=渐近线方程为y x =，倾斜角小于045所以不存在. 故选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11.2【解析】()001cos13521sin135x t t x y y t ⎧=+⎪⇒+=⎨=+⎪⎩为参数， ()222cos 11x y ρθ=⇒-+=，1d <所以有两个交点. 12.15【解析】第1r +项()26123661rr r r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =时123615r r C x -=. 13.83【解析】当0y >时，y =。

1312004433x ==⎰，83S =. 14.5【解析】()()()22222222333AB CA CB AB AB CA CB CB CA c a b =+⇒=+-⇒=-,222222222222tan sin cos 25tan sin cos 2a c b aA AB a c b ac B B A b c a b c a bbc+-+-====+-+-. 15.②③④【解析】①134,312+=-=都不是数列A 中的项，命题错误 ②A 具有性质P n n a a ∴+显然不是数列A 中的项，则0n n a a ∴-=必然是数列A 中的项120n a a a ≤<<<所以成立。

2015年安徽省示范高中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，z+＝2，z•＝2，则z 的虚部是（）A．1B．±i C．±1D．﹣12．（5分）双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为（）A．B．C．或D．或3．（5分）若x，y满足，则z＝y﹣x的最大值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．56．（5分）“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数y＝f′（x）的图象如图所示，则关于函数y＝f（x）的说法正确的是（）A ．函数y ＝f （x ）有3个极值点B ．函数y ＝f （x ）在区间（﹣∞，﹣4）单调递减C ．函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，+∞）单调递增D ．x ＝1时函数y ＝f （x ）取极大值8．（5分）某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据上表可得回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则a ，m 为（）A ．a ＝9.1，m ＝54B ．a ＝9.1，m ＝53C ．a ＝9.4，m ＝52D ．a ＝9.2，m ＝54 9．（5分）为了得到函数f （x ）＝cos （2x +）的图象，只要把函数g （x ）＝f ′（x ）的图象（） A ．向左平行移动个单位长度 B ．向右平行移动个单位长度 C ．向左平行移动个单位长度 D ．向右平行移动个单位长度10．（5分）已知集合M ＝{（x ，y ）|f （x ，y ）＝0}，若对任意P 1（x 1，y 1）∈M ，均不存在P 2（x 2，y 2）∈M 使得x 1x 2+y 1y 2＝0成立，则称集合M 为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（） A ．M ＝{（x ，y ）|y ﹣lnx ＝0}B ．M ＝{（x ，y ）|y ﹣x 2﹣1＝0}C ．M ＝{（x ，y ）|（x ﹣2）2+y 2﹣2＝0}D ．M ＝{（x ，y ）|x 2﹣2y 2﹣1＝0}二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ，则t与C公共点的个数为．12．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）13．（5分）直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积是．14．（5分）在△ABC中，已知||2＝（+）•，则＝．15．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，…，a n（0≤a1＜a2＜a3＜…＜a n，n≥3，n∈N*）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N*），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是数列A中的项，现下列命题正确的是：．（写出所有正确答案的序号）①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；②a1＝0；③2（a1+a2+a3+…+a n）＝na n；④当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．三、解答：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等奖，资金为2000元，三人中有两人闯关成功为二等奖，资金为1000元，三人中有一人闯关成功为三等奖，资金为400元，其它情况不得奖，现有甲乙丙三人参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为，丙闯关成功的概率为，三人闯关相互独立．（Ⅰ）求得一等奖的概率；（Ⅱ）求得资金的数学期望．17．（12分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝4，D、E 分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使二面角A﹣DE﹣C的余弦值为，求：（Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE的体积；（Ⅱ）二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．（12分）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＝2，求三角形ABC周长l的最大值．19．（12分）数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为S n，数列{b n}是等差数列，b1＝8，前n项和T n满足T n＝nλ•b n+1（λ为常数，且λ≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及λ的值；（Ⅱ）令∁n＝++…+，求证：∁n≤S n．20．（13分）已知椭圆E1：+＝1，E2：+＝2，过E1上第一象限上一点P作E1的切线，交于E2于A，B两点．（Ⅰ）已知x2+y2＝r2上一点P（x0，y0），则过点P（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0＝r2．类比此结论，写出椭圆+＝1在其上一点P（x0，y0）的切线方程，并证明；（Ⅱ）求证：|AP|＝|BP|．21．（14分）已知函数f（x）＝﹣lnx++（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y＝f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x0＝，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x0）＞k．2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，z+＝2，z•＝2，则z 的虚部是（）A．1B．±i C．±1D．﹣1【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，由，得a＝1，由z•＝2，得a2+b2＝2，∴b＝±1．∴z的虚部是±1．故选：C．2．（5分）双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为（）A．B．C．或D．或【解答】解：双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线方程为：y＝，渐近线的斜率为：，所以双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为或．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则z＝y﹣x的最大值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：由约束条件作可行域如图，化目标函数z＝y﹣x为y＝x+z，由图可知，最优解为B（0，2），∴z的最大值为：2﹣0＝2．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【解答】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：执行程序框图，可知k＝0时coxA＜sin A＝1；满足条件；k＝1时cos A＝sin A；满足条件；k＝2时cos A＜sin A；满足条件；k＝3时cos A＜sin A；满足条件；K＝4时cos A＞sin A；不满足条件，退出循环，输出k的值为4．故选：C．6．（5分）“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当0＜k＜9时，曲线﹣＝1的焦距为2，曲线﹣＝1的焦距为相同．当k＝0 时，曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同为．因此“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）函数y＝f′（x）的图象如图所示，则关于函数y＝f（x）的说法正确的是（）A．函数y＝f（x）有3个极值点B．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣4）单调递减C．函数y＝f（x）在区间（﹣2，+∞）单调递增D．x＝1时函数y＝f（x）取极大值【解答】解：函数有两个极值点：x ＝﹣5和x ＝﹣2，但x ＝3不是函数的极值点，所以A 错误；函数在（﹣∞，﹣5）和（﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣5，﹣2）上单调递减，所以B 错误，C 正确；x ＝1不是函数的极值班点，所以D 错误．故选：C ．8．（5分）某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据上表可得回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则a ，m 为（）A ．a ＝9.1，m ＝54B ．a ＝9.1，m ＝53C ．a ＝9.4，m ＝52D ．a ＝9.2，m＝54 【解答】解：∵回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5， ∴a＝9.1， ∴＝9.4x +9.1∵＝（4+2+3+5）＝3.5， ∴＝（49+26+39+m ）＝42， ∴m ＝54．故选：A ．9．（5分）为了得到函数f （x ）＝cos （2x +）的图象，只要把函数g （x ）＝f ′（x ）的图象（） A ．向左平行移动个单位长度 B ．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：∵f（x）＝cos（2x+），∴g（x）＝f′（x）＝﹣sin（2x+）＝cos（2x+），右移得．故选：B．10．（5分）已知集合M＝{（x，y）|f（x，y）＝0}，若对任意P1（x1，y1）∈M，均不存在P2（x2，y2）∈M使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（）A．M＝{（x，y）|y﹣lnx＝0}B．M＝{（x，y）|y﹣x2﹣1＝0}C．M＝{（x，y）|（x﹣2）2+y2﹣2＝0}D．M＝{（x，y）|x2﹣2y2﹣1＝0}【解答】解：由x1x2+y1y2＝0得OP1⊥OP2，即存在两点与原点连线互相垂直；A．取（e，1）∈M，（）∈M，有；B．取（2，2），（﹣2，2）∈M，有2•（﹣2）+2•2＝0；C．取（1，1），（1，﹣1），有1•1+1•（﹣1）＝0；D．x2﹣2y2＝1，渐近线方程为：，容易知道这两条渐近线夹角小于90°，所以不存在两点和原点的连线相互垂直，即该选项正确．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ，则t与C公共点的个数为两个．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）转化为直角坐标方程为：x+y＝2曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ转化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1利用圆心到直线的距离：d＝＜1则：t与C公共点的个数为两个．故答案为：t与C公共点的个数为两个．12．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r＝0，所以r＝4，故常数项是c64＝15故答案为15．13．（5分）直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积是．【解答】解：联立直线x＝1与抛物线y2＝4x构成方程组得解得x＝1，y ＝±2．故直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积S＝（1﹣）dy＝（y﹣）|＝4﹣＝，故答案为：14．（5分）在△ABC中，已知||2＝（+）•，则＝5．【解答】解：在△ABC中，∵||2＝（+）•，则有||2＝（+）•（﹣）＝﹣CA2，∴c2＝a2﹣b2．则＝＝＝＝5，故答案为：5．15．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，…，a n（0≤a1＜a2＜a3＜…＜a n，n≥3，n∈N*）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N*），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是数列A中的项，现下列命题正确的是：②③④．（写出所有正确答案的序号）①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；②a1＝0；③2（a1+a2+a3+…+a n）＝na n；④当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．【解答】解：对于①因为1+3＝4，3﹣1＝2，都不是数列A中的项，故命题①错误；对于②，考查该数列中的最大项a n，显然a n+a n＝2a n不是数列中的项，则必有a n﹣a n＝0属于该数列，故0∈A，且a1＝0，故②正确；对于③若数列A具有该性质P，设a n是最大项，则具有性质，不在A中，则a n﹣a i是数列A中的项，则依题意：a n﹣a n＜a n﹣a n﹣1＜a n﹣a n﹣2＜…＜a n﹣a2＜a n﹣a1，则由给的数列A的性质可知；a n﹣a n＝a1，a n﹣a n﹣1＝a2，a n﹣a n﹣2＝a3，…a n﹣a2＝a n﹣1，a n﹣a1＝a n，将前面n个式子相加得：na n﹣（a1+a2+a3+…a n﹣1+a n）＝a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n，故na n＝2（a1+a2+a3+…a n﹣1+a n），故③正确；对于④，当n＝5时，因为a1＝0，a2﹣a1＝a2，且⇒⇒2a3＝a4+a2⇒2a3＝a4+a2，而a4+a3＞2a3＝a5不是数列A中的项，则a4﹣a3是数列A中的项，所以a1＜a4﹣a3＜a5﹣a3＝a3，所以a4﹣a3＝a2，所以a2﹣a1＝a3﹣a2＝a4﹣a5＝a5﹣a4，故④成立．故答案为：②③④三、解答：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等奖，资金为2000元，三人中有两人闯关成功为二等奖，资金为1000元，三人中有一人闯关成功为三等奖，资金为400元，其它情况不得奖，现有甲乙丙三人参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为，丙闯关成功的概率为，三人闯关相互独立．（Ⅰ）求得一等奖的概率；（Ⅱ）求得资金的数学期望．【解答】解：（1）获得一等奖的概率＝．（4分）2）二等奖的概率p2＝＝．（6分）三等奖的概率P3＝＝，（8分）不得奖的概率P4＝＝，∴X的分布列为：（10分）奖金的数学期望EX＝＝937.5．（12分）17．（12分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝4，D、E 分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使二面角A﹣DE﹣C的余弦值为，求：（Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE的体积；（Ⅱ）二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵D，E是边AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴DE⊥AC，∵DE⊥AD，DE⊥DC，AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ADC，∴平面ADC⊥平面CBED，过点A作AM⊥CD，则AM⊥面CBED，∵∠ADC为二面角A﹣DE﹣C的平面角，∴cos∠ADC＝，（3分），DM＝，＝＝．（6分）∴V A﹣BCDE（Ⅱ）∵DE＝1，DM＝，∴EM＝，∵MC＝，BC＝2，∴BM＝，BE＝2，BM2＝EM2+BE2，∴ME⊥BE，∵AM⊥BE，AM∩ME＝M，∴BE⊥平面AME，∴BE⊥AE．（10分）∴∠AEM为二面角A﹣BE﹣C的平面角，∴cos∠AEM＝＝．（12分）18．（12分）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＝2，求三角形ABC周长l的最大值．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2由正弦定理得：sin2A＝sin（B+C）则：B+C＝2AA＝60°（Ⅱ）由正弦定理：b＝c＝l＝2++＝2+4（）＝2+4sin（C+）当C＝时，l max＝6故答案为：（1）A＝60°（2）当C＝时，l max＝619．（12分）数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为S n，数列{b n}是等差数列，b1＝8，前n项和T n满足T n＝nλ•b n+1（λ为常数，且λ≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及λ的值；（Ⅱ）令∁n＝++…+，求证：∁n≤S n．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，∴（1﹣a2）2＝a1（1+a3），解得，∴，（2分）由已知得，从而，解得，d＝8，解得b n＝8n．（4分）（Ⅱ）c n＝＝（1﹣）＝，＝，（8分）c n≤，即，∴n+1≤2n，（9分）当n＝1时，2n＝n+1，（10分）当n≥2时，2n＝（1+1）n＝＝1+n+…+1＞n+1．∴n+1≤2n成立．∴∁n≤S n．（12分）20．（13分）已知椭圆E1：+＝1，E2：+＝2，过E1上第一象限上一点P作E1的切线，交于E2于A，B两点．（Ⅰ）已知x2+y2＝r2上一点P（x0，y0），则过点P（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0＝r2．类比此结论，写出椭圆+＝1在其上一点P（x0，y0）的切线方程，并证明；（Ⅱ）求证：|AP|＝|BP|．【解答】（Ⅰ）解：切线方程在第一象限内，由+＝1可得y＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）椭圆在点P处的切线斜率k＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）切线方程为y＝﹣（x﹣x0）+y0，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则与+＝2联立可得（）x2﹣x+﹣2a2b2＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以（x1+x2）＝•＝x0，所以P为A，B中点，所以|AP|＝|BP|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）21．（14分）已知函数f（x）＝﹣lnx++（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y＝f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x0＝，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x0）＞k．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣+ax+（1﹣a）＝，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）f（1+x）﹣f（1﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，令g（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，∴g′（x）＝，∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0．∴f（1+x）＜f（1﹣x）．（Ⅲ）k＝＝+a（x2﹣x1）+1﹣a，f′（x0）＝﹣+ax0+1﹣a＞+a（x2﹣x1）+1﹣a，⇔＜⇔ln＞2，令x2＞x1＞0，＝t，（0＜t＜1），∴＝，ln＞2⇔ln＞2t⇔ln（1+t）﹣ln（1﹣t）+2t＜0，由（Ⅱ）可知上式成立．∴f′（x0）＞k成立．。

2015年高考安徽理科数学试题及答案(word解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年安徽，理1，5分】i 为虚数单位，则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】B【解析】由题意()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限，故选B ．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．（2）【2015年安徽，理2，5分】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A ）cos y x = （B ）sin y x = （C ）ln y x = （D ）21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知，B 、C 项均不是偶函数，故排除B 、C ，A 、D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D项不存在零点，故选A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．（3）【2015年安徽，理3，5分】设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．（4）【2015年安徽，理4，5分】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项渐近线方程为2214y x -=，即2y x =±，故选C ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．（5）【2015年安徽，理5，5分】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误；对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故选D ．【点评】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．（6）【2015年安徽，理6，5分】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C 【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为DX ，则8DX =，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差()22212264D X DX -==⨯，所以其标准差为226416⨯=，故选C ．【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键（7）【2015年安徽，理7，5分】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）13+ （B ）23+ （C ）122+ （D ）22 【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，ABD ∆，ACD ∆时直角三角形，ABC ∆，ACD ∆是等边三角形，则12212BCD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，1322sin 6022ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯︒=，所以四面体的表面积3212232BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+⨯=+，故选B ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．（8）【2015年安徽，理8，5分】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =， 2AC a b =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4a b BC -⊥【答案】D【解析】依题意，()22BC AC AB a b a b =-=+-=，故2b =，故A 错误，222a a ==，所以1a =，又()2224222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯︒=，所以1a b ⋅=-，故B ，C 错误；设BC 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，所以()4a b BC +⊥，故选D ．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．（9）【2015年安徽，理9，5分】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】由()()2ax b f x x c +=+及图像可知，x c ≠-，0c ->；当0x =时，()200bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <．故0a <，0b >，0c <，故选C ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及()0f 的符号是解决本题的关键．（10）【2015年安徽，理10，5分】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A【解析】由题意，()()sin f x x ωϕ=A +()0,0,0A ωϕ>>>，22T πππωω===，所以2ω=，则()()sin f x x ωϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()()sin 206f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+时，()f x 取得最大值．要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与6π比较近，-2与56π-比较近，所以当0k =时，6x π=，此时00.526π-=，2 1.476π-=，当1k =-时，56x π=-，此时520.66π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以()()()220f f f <-<，故选A ．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年安徽，理11，5分】731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是（用数字填写答案）．【答案】35【解析】由题意()732141771rrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．（12）【2015年安徽，理12，5分】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是．【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为直角坐标方程为228x y y +=，即()22416x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为直角坐标方程为3y x =，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d ，圆心的半径为r ，则圆到直线距离的最大值()2204424613D d r -=+=+=+=+-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（13）【2015年安徽，理13，5分】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为．【答案】4【解析】由题意，程序框图循环如下：①1a =，；1n =②131112a =+=+，2n =；③1713512a =+=+，3n =；④117171215a =+=+，4n =，此时， 171.4140.0030.00512-≈<，所以输出4n =．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a ，n 的值是解题的关键，属于基础题．（14）【2015年安徽，理14，5分】已知数列{}n a 是递增的等比数列，249a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于．【答案】21n -【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅==⎩，解得11a =，48a =或者18a =，41a =，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，48a =，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和()111221112n n n n a q S q --===---．【点评】本题考查等比数列的性质，数列{}n a 的前n 项和求法，基本知识的考查．（15）【2015年安徽，理15，5分】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 __．①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==．【答案】①③④⑤【解析】令()3f x x ax b =++，求导得()23f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以()3f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则()()()233311f x x x x '=-=+-，易知，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在[]1,1-上单调递减，所以()()1132f x f b b =-=-++=+极大，()()11320f x f b b ==-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2015年安徽，理16，12分】在ABC ∆中，4A π=，6AB =，AC =D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．解：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠223626cos 4π=+-⨯⨯1836(36)=+--90=，所以a =．又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠===，由题设知04B π<<，所以cos B = 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ===-【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．（17）【2015年安徽，理17，12分】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，1123253()10A A P A A ==．（2）χ的可能取值为200，300，400，22251(200)10A P A χ===；31123232353(300)10A C C A P A χ+===； 136(400)1(200)(300)1101010P P P χχχ==-=-==--=．故χ的分布列为13200300400350101010E χ=⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．（18）【2015年安徽，理18，12分】设*n N ∈，n x 是曲线231n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221221n n T x x x -=，证明14n T n≥．解：（1）2221(1)(22)n n y x n x ++''=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +，从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-，令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++．（2）由题设和（1）中的计算结果知22222213211321...()()...()242n n n T x x x n--==，当1n =时，114T =；当2n ≥时，因为2222212221(21)(21)1221()2(2)(2)2n n n n n n x n n n n n -------==>==；所以211211()...2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥．【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．（19）【2015年安徽，理19，13分】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F ．（1）证明：11//EF B C ；（2）求二面角11E A D B --余弦值．解：（1）由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11//B C A D ，又1A D ⊂面1A DE ，1B C ⊄面1A DE ，于是1//B C 面1A DE ，又1B C ⊂面11B CD ，面1A DE面11B CD EF =，所以1//EF B C ．（2）11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥，且1AA AB AD ==，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 为x 轴，y 轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，111(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)A B D ，而E 点为11B D 的中点，所以E 点的坐标为()0.5,0.5,1．设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =，而该面上向量()10.5,0.5,0A E =，()10,1,1A D =-，由11n A E ⊥，11n A D ⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，()1,1,1-为其一组解，所以可取()11,1,1n =-，设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量()110.5,0.5,0A B =，()10,1,1A D =-，由此同理可得2(0,1,1)n =所以结合图形知二面角11E A D B --的余弦值为1212||26||||332n n n n ==⨯．【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．（20）【2015年安徽，理20，13分】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510．（1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解：（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又510OM k =，从而5210b a =，进而得225,2a b c a b b ==-=，、故255c e a ==．（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB 的方程为15x y bb +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T的坐标为117,)244x b +-+，又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k =-，从而有117441,71x b b b +-++=⎨+⎪=解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（21）【2015年安徽，理21，13分】设函数2()f x x ax b =-+．（1）讨论函数(sin )f x 在22ππ(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24az b =-满足1D ≤时的最大值．解：（1）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<，[(sin )](2sin )cos ,22f x x a x x ππ'=--<<，因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<，①2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值； ②2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值；③对于22a -<<，在(,)22ππ-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =，02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π≤<时，函数(sin )f x 单调递增．因此22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-．（2）22x ππ-≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2x π=，等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2x π=-，等号成立．由此可知，0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22ππ-上的最大值为00||||D a a b b =-+-．（3）1D ≤即为||||1a b +≤，此时201,11a b ≤≤-≤≤，从而214a zb =-≤．取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且214a z b =-=，由此可知，24a zb =-满足条件1D ≤的最大值为1．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．。

安徽省淮南市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题(扫描版)

安徽省淮南市2015届高三第一次模拟考试数学(理科)试卷答案（Ⅱ）由 C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=- 知 21cos ,sin )sin(cos sin 2==+=B A C B B A )32,0(,3),,0(πππ∈=∴∈A B B …………………………………9分 21)62sin()(++=∴πA A f 1)62sin(21,2626<+<<+<∴ππππA A )23,1()(∈∴A f …………………………………………..12分17、（Ⅰ）证明：令 0==y x ，得0)0(=f ………………..1分又 0)0()()()(==-=-+f x x f x f x f)(x f ∴为奇函数……………………………………..3分任取 0)()()()()(,12121221<-=-+=-<x x f x f x f x f x f x x ………………….5分即 )()(21x f x f > ∴)(x f 为奇函数且在R 上是减函数……………………6分（Ⅱ）解：由 )1()1()()(-=--<+m f m f y f x f又（Ⅰ）得知：)1()(-<+m f y x f 恒成立从而 y x m +<-1恒成立………………………..9分∵942545)41)((=⋅+≥++=++=+yx x y y x x y y x y x y x ∴91<-m ∴10<m .........................12分18. (Ⅰ) 解：以A 为原点建立空间直角坐标系（如图），)2,3,1(),2,2,2(),2,4,0()2,2,0(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(111P C B A C B A …… 2分设平面1P AB A --的法向量为1n (),,x y z =，则110n AP n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 即32020x y z y ++=⎧⎨=⎩令1z = 故1n ()201=-，， ……4分平面1ABA 的法向量2n =（1,0, 0），且二面角平面角为锐角………………..5分则121212225cos ,55n n n n n n ==-=故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是255． …………7分（Ⅱ）证明：假设平面ABC 与平面11CC AA 垂直………………………………8分因为AB AC ⊥，平面ABC 与平面11C ACA 交线为AC所以A B ⊥平面11C ACA ，AB 1AA ⊥……………………………………10分又⊥B A 1平面ABC ，⊥B A 1AB 故矛盾，从而假设错误，原命题正确即平面ABC 与平面11C ACA 一定不垂直………………………..............12分BACA 1C 1 zxyP注：本题也可运用空间坐标计算平面ABC 与平面11C ACA 法向量不垂直。

安徽省淮北市高三第一次模拟考试理科数学试题word版

淮北市2015届高三第一次模拟考试数学（理）第I 卷 (选择题共50分)一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1.已知,,x y R i Î为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x yi ++的值为（）。

A ．4B ． 4-C ． 44i +D ．2i2.已知n X m log =，则1>mn 是1>X 的（）。

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（） A.2 B.212- C. 1 D. 433 4. 等差数列{}n a 有两项m a 和()k a m k ¹，满足11,m k a a k m==，则该数列前mk 项之和为 ( ) A. 12mk - B 2mk C 12mk + D 12mk + 5.下列命题正确的是（）A.函数)32sin(p +=x y 在区间)6,3(pp -内单调递增 B.函数x x y 44sin cos -=的最小正周期为p 2C.函数)3cos(p +=x y 的图像是关于点)0,6(p成中心对称的图形D.函数)3tan(p +=x y 的图像是关于直线6p=x 成轴对称的图形6.已知实数x ，y 满足200,0x y x y y k +³ìï-£íï££î设y x m +=，若m 的最大值为6，则m 的最小值为（）A ．—3B ．—2C ．—1D ．07. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（） A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8. 若函数)(x f 的导函数是34)(2+-=¢x x x f ，则函数)()(xa f x g = (0<a<1)的单调递减区间是( ) A 、 []0,3log a ，[)+¥,1 B 、(]),0[,3log ,+¥¥-a C 、[]a a ,3 D 、[]1,3log a9. 若对任意[]5,0Îx ，不等式x n xx m 514241+£+£+恒成立，则一定有（） A ． 31,21-³£n m B ．31,21-³-£n m C ．31,21³-£n m D ．31,21->-<n m10.已知ABC D 的外接圆的圆心为O ,满足：CB n CA m CO +=,234=+n m 34=，6=,则=·( )A. 36B. 24C. 243D. 312 二、填空题（每小题5分，共25分）11. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为12. 在52512÷øöçèæ-x x 的二项展开式中，x 的系数为13．已知),0(,,,,+¥Î¹Î+y x n m R n m ，则有yx n m y n x m ++³+222)(，且当y n x m =时等号成立，利用此结论，可求函数xx x f -+=1334)(，)1,0(Îx 的最小值为14. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AD 、CC 1的中点，O 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则三棱锥O-MNB 的体积是。

安徽省淮北市濉溪县2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷

2014-2015学年安徽省淮北市濉溪县高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，填在后面的方框内．）1．函数y=的定义域为（）A． {x|x≥0} B． {x|x≥1} C． {x|0≤x≤1} D． {x|x≥1}∪{0}2．下列选项中是单调函数的为（）A． y=tanx B． y=x﹣ C． y=lg（2x+1） D． y=2|x|3．已知向量都是非零向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A． B． C． 2 D． 95．已知函数y=的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0）和（2，+∞） B．（0，2） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，1）6．函数f（x）=零点的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知条件p：≤﹣1，条件q：x2+x＜a2﹣a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A． [﹣2，﹣] B． [，2] C． [﹣1，2] D．（﹣2，]∪[2，+∞）8．设函数f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R．已知函数y=f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（0，e﹣1） B． [0，e﹣1） C．（﹣∞，e﹣1） D．（﹣∞，0）9．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），．若有穷数列的前n项和为S n，则满足不等式S n＞2015的最小正整数n等于（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 1010．若函数f（x）满足：对定义域内的任意x，都有kf（x+1）﹣f（x+k）＞f（x），则称函数f（x）为“k度函数”．则下列函数中为“2度函数”的是（）A． f（x）=xsinx B． f（x）=lnx C． f（x）=e x D． f（x）=2x+1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．11．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为．12．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为．13．已知奇函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（2）=0．若f（x﹣2）＜0，则x的取值范围是．14．设函数f（x）=e x+x﹣1，g（x）=lnx+x2﹣2，若实数a，b满足f（a）=1，g（b）=1，则g（a），f（b），1的大小关系为．15．函数f（x）=的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．给出下列五个命题：①“囧函数”在在（0，+∞）上单调递增；②“囧函数”的值域为R；③“囧函数”有两个零点；④“囧函数”的图象关于y轴对称；⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+m（k≠0）至少有一个交点．其中正确的结论是：．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知命题p：“对任意x∈（0，1），﹣lnx﹣a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”，若“p且q”为真，求实数a的取值范围．17．已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．19．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b＞时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点．20．为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？21．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求a及函数f（x）的最值；（2）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）≥f（m+n）﹣a（m+n）ln2．2014-2015学年安徽省淮北市濉溪县高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，填在后面的方框内．）1．函数y=的定义域为（）A． {x|x≥0} B． {x|x≥1} C． {x|0≤x≤1} D． {x|x≥1}∪{0}考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：要使函数有意义，只需x（x﹣1）≥0且x≥0，解之即可．解答：解：要使函数有意义，只需x（x﹣1）≥0，且x≥0，解得x=0或x≥1，∴函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}，故选D．点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，求函数定义域即求使得式子有意义即可，属于基础题．2．下列选项中是单调函数的为（）A． y=tanx B． y=x﹣ C． y=lg（2x+1） D． y=2|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：分别对A，B，C，D各个选项进行分析，从而得出结论．解答：解：对于A：y=tanx，在（kπ﹣，kπ+）单调递增，在整个定义域上不具有单调性，对于B：y′=＞0，在（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递增，在整个定义域上不具有单调性，对于C：y=lg（2x+1），定义域为：（﹣，+∞），在定义域上单调递增，对于D：y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，在整个定义域上不具有单调性，故选：C．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了指数函数，对数函数的性质，是一道基础题．3．已知向量都是非零向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的有关概念，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若“”，则，则成立，即必要性成立，若，满足，但不成立，即充分性不成立，故，“”是“”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的有关概念是解决本题的关键．4．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A． B． C． 2 D． 9考点：函数的值．专题：计算题．分析：先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．解答：解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．5．已知函数y=的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0）和（2，+∞） B．（0，2） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，1）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：结合图象当0＜f′（x）＜2时，f′（x）＞0，从而得到函数f（x）在（0，2）递增．解答：解：由图象得：在区间（0，2）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，2）递增，故选：B．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，是一道基础题．6．函数f（x）=零点的取值范围是（）A． B． C． D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接求出x=0，，，，1的函数值，即可判断零点所在的区间．解答：解：因为f（0）=1，f（）=＞0f（）=＞0f（）=＜0，f（1）=﹣．所以，函数f（x）=零点的取值范围是：．故选C．点评：本题考查函数的零点存在定理的应用，注意函数值与0的比较，指数函数以及幂函数的基本性质的应用．7．已知条件p：≤﹣1，条件q：x2+x＜a2﹣a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A． [﹣2，﹣] B． [，2] C． [﹣1，2] D．（﹣2，]∪[2，+∞）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先解出条件p中的不等式：﹣3≤x＜1，条件q中的不等式变成：（x+a）（x+1﹣a）＜0；根据已知条件知道：若￢p，则￢q，它的逆否命题成立：若q，则p．所以条件q中的不等式的解集是条件p中不等式解集的真子集，这时候讨论a，根据真子集的概念即可求出a的取值范围．解答：解：解得﹣3≤x＜1，不等式x2+x＜a2﹣a变成：（x+a）（x+1﹣a）＜0；根据已知条件知，￢p是￢q的充分不必要条件，即若￢p，则￢q；∴该命题的逆否命题为：若q，则p；∴若﹣a＞a﹣1，则：不等式（x+a）（x+1﹣a）＜0的解是a﹣1＜x＜﹣a；∴，解得：a≥﹣1；若﹣a＜a﹣1，则：不等式（x+a）（x+1﹣a）＜0的解是﹣a＜x＜a﹣1；∴，解得：a≤2；∴a的取值范围是[﹣1，2]．故选：C．点评：考查充分不必要条件的定义，原命题和它的逆否命题的关系，原命题与逆否命题的概念，真子集的概念．8．设函数f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R．已知函数y=f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（0，e﹣1） B． [0，e﹣1） C．（﹣∞，e﹣1） D．（﹣∞，0）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；解答：解：∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣lna）﹣lna （﹣lna，+∞）f′（x） + 0 ﹣f（x）递增极大值﹣lna﹣1 递减∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：（i）f（﹣lna）＞0，（ii）存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0，（iii）存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．故选A．点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与零点问题，也考查了函数思想、化归思想和分析问题、解决问题的能力．9．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），．若有穷数列的前n项和为S n，则满足不等式S n＞2015的最小正整数n等于（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：数列与不等式的综合．专题：计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：首先由已知条件结合导数大于0判断出a x为实数集上的增函数，由此得到a＞1，再由求出a的值，然后利用等比数列的前n项和公式求解n的值．解答：解：由，而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以（）′＞0，即函数为实数集上的增函数，则a＞1．又，解得a=2．则数列{}为数列{2n}，此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，由前n项和S n==2n+1﹣2，由S n＞2015，得2n+1﹣2＞2015，由于210=1024，211=2048，解得最小正整数n=10．故选D．点评：本题考查了函数的单调性与导数间的关系，考查了导数的运算法则，训练了利用等比数列的前n项和公式求值，是中档题．10．若函数f（x）满足：对定义域内的任意x，都有kf（x+1）﹣f（x+k）＞f（x），则称函数f（x）为“k度函数”．则下列函数中为“2度函数”的是（）A． f（x）=xsinx B． f（x）=lnx C． f（x）=e x D． f（x）=2x+1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据题设中的四个函数，分别利用“2度函数”的概念进行判断求解．解答：解：在A中，∵2f（x+1）﹣f（x+2）=2（x+1）sin（x+1）﹣（x+2）sin（x+2），∴2f（x+1）﹣f（x+2）＞f（x）不成立，故A错误；在B中，∵2f（x+1）﹣f（x+2）=2ln（x+1）﹣ln（x+2）=ln＞lnx=f（x）∴2f（x+1）﹣f（x+2）＞f（x）成立，故B正确；在C中，∵2f（x+1）﹣f（x+2）=2e x﹣e x+2，∴2f（x+1）﹣f（x+2）＞f（x）不成立，故C错误；在D中，∵2f（x+1）﹣f（x+2）=2[2（x+1）+1）﹣[2（x+2）+1]=2x+1=f（x），∴2f（x+1）﹣f（x+2）＞f（x）不成立，故D错误．故选：B．点评：本题考查“2度函数”的判断，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．11．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1 ．考点：命题的否定．分析：根据命题p：∀x∈R， sinx≤1是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“≤“改为“＞”可得答案．解答：解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故答案为：∃x∈R，sinx＞1．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．12．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得 cosθ和sinθ的值，结合θ的范围，求得θ的值．解答：解：∵点P即P（，﹣）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），r=|OP|=1，∴cosθ==，sinθ==﹣，∴θ=，故答案为：．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．13．已知奇函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（2）=0．若f（x﹣2）＜0，则x的取值范围是（0，2）∪（4，+∞）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（2）=0．∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，且函数在（﹣∞，0）上单调递减，则不等式f（x）＜0的解为﹣2＜x＜0或x＞﹣2，由﹣2＜x﹣2＜0或x﹣2＞2，解得0＜x＜2或x＞4，即不等式的解集为（0，2）∪（4，+∞），故答案为：（0，2）∪（4，+∞）点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系先求出不等式f（x）＜0的解是解决本题的关键．14．设函数f（x）=e x+x﹣1，g（x）=lnx+x2﹣2，若实数a，b满足f（a）=1，g（b）=1，则g（a），f（b），1的大小关系为g（a）＜1＜f（b）．考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=1，g（b）=1判断a，b 的取值范围，即可得到正确答案．解答：解：∵y=e x和y=x﹣1是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣1在R上单调递增，分别作出y=e x，y=1﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣1=0，f（1）=e＞0，又∵f（a）=1，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣2在R+上单调递增，g（2）=ln2+4﹣2=1+1﹣ln2＞1，g（）=ln+2﹣2＞0，又∵g（b）=1，∴＜b＜2，∴g（a）=lna+a2﹣2＜g（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（b）=e b+b﹣1＞f（1）=e+1﹣1=e＞1，∴g（a）＜1＜f（b）．故答案为：g（a）＜1＜f（b）；点评：本题考查了函数的性质，考查了函数图象．熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．本题运用了数形结合的数学思想方法．属于中档题．15．函数f（x）=的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．给出下列五个命题：①“囧函数”在在（0，+∞）上单调递增；②“囧函数”的值域为R；③“囧函数”有两个零点；④“囧函数”的图象关于y轴对称；⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+m（k≠0）至少有一个交点．其中正确的结论是：④⑤．（写出所有正确结论的序号）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数为偶函数，再令a=b=1，得到特殊的函数，利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，利用数形结合的方法进行判断；解答：解：（1）由题意，f（x）=，f（﹣x）=f（x），是偶函数；当a=b=1时，则f（x）=，其函数的图象如图：如图显然f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，故①错误；如图y≠0，值域肯定不为R，故②错误；如图f（x）≠0，没有零点，故③错误；f（x）是偶函数，关于y轴对称，故④正确；如图可知函数f（x）的图象，x=1换为x=a，在四个象限都有图象，此时与直线y=kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．故⑤正确；故答案为：④⑤；点评：本题考查“囧函数”的新定义，关键要读懂题意，只要画出其图象就很容易求解了，解题过程中用到了数形结合的方法，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知命题p：“对任意x∈（0，1），﹣lnx﹣a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”，若“p且q”为真，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由p且q为真可得p为真命题，q为真命题，分别求它们为真时的条件，从而求实数a的取值范围．解答：解：∵“p且q”为真，∴p为真命题，q为真命题．由p真，得：在x∈（0，1）恒成立，设函数，则，令f′（x）≥0，得x≥1，∴函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，∴，从而：，由q真，得：△=4a2+4（6a+8）≥0，即：a2+6a+8≥0，∴a≥﹣2或a≤﹣4，综上：．点评：本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．17．已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．解答：解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，向量数量积运算性质，复合函数值域的求法，整体代入的思想方法，属基础题18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．专题：计算题；证明题．分析：（1）由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x+2）=﹣f（x），得到f（x）是周期为4的周期函数．（2）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到x∈[﹣1，0]时的解析式．当x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，写出解析式，得到x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．解答：（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．点评：本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．19．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b＞时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）先求出函数的定义域，求导数f′（x），在定义域内按①当b≥1时，②当b＜1时，③当0＜b＜1时三种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，根据极值点的定义即可求得；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞） (2)…4令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在上递增，在上递减，∴．当时，，g（x）=2x2+2x+b＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0，即当时，函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增 (6)（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时，函数f（x）无极值点．（2）当时，，∴时，f′（x）＞0，时，f′（x）＞0，∴时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点 (8)（3）当时，解f′（x）=0得两个不同解，．当b＜0时，，，∴x1∉（﹣1，+∞），x2∈（﹣1，+∞），此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点 (10)当时，x1，x2∈（﹣1，+∞），f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，b＜0时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点；时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点． (13)点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在某点取得极值的条件，注意f′（x0）=0是x0为可导数函数的极值点的必要不充分条件．20．为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（I）确定当x∈[200，300]时，该项目获利函数，再利用配方法，即可求得结论；（Ⅱ）确定二氧化碳的每吨的平均处理成本，分段求出函数的最值，即可求得结论．解答：解：（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则S=200x﹣（﹣200x+80000）=﹣∴当x∈[200，300]时，S＜0当x=300时，S取最大值﹣5000；当x=200时，S取最大值﹣20000∴国家每月补偿数额的范围是[5000，20000]；（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨的平均处理成本为①当x∈[120，144）时，，∴x=120时，取得最小值240；②当x∈[144，500）时，≥=200当且仅当，即x=400时，取得最小值200，∵200＜240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．点评：本题考查函数解析式的确定，考查求二次函数的最值，确定利润函数是关键，属于中档题．21．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求a及函数f（x）的最值；（2）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）≥f（m+n）﹣a（m+n）ln2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出导数，由两直线垂直的条件得到切线的斜率，从而得到切线的斜率，求得a，再由函数的单调区间求得极值，也为最值；（2）方法一、构造函数，求出导数，判断单调性，由单调性即可得证；方法二、运用分析法证明，考虑函数h（x）=xlnx，注意到，则h（x）为定义域上的凹函数（下凸函数），即可得证．解答：解：（1）定义域为（0，+∞），f′（x）=alnx+a，由在点P（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，即切线斜率为﹣1，即有f′（1）=﹣1，即得：a=﹣1，∴f（x）=﹣xlnx，f′（x）=﹣lnx﹣1，令f′（x）≥0，即lnx≤﹣1．∴x∈（0，e﹣1]．同理：令f′（x）≤0，可得：x∈[e﹣1，+∞）．∴f（x）的单调递增区间为（0，e﹣1]，单调递减区间为[e﹣1，+∞）．由此可知：，无最小值．（2）（证法一）不妨设m≥n＞0，令n=x，记，则．∵m+x≥x，∴∴，∴g（x）是减函数．∵m≥x＞0，∴g（x）≥g（m）=0．则即证得f（m）+f（n）≥f（m+n）﹣a（m+n）ln2．（证法二）要证f（m）+f（n）≥f（m+n）﹣a（m+n）ln2，即是：amlnm+anlnn≥a（m+n）ln（m+n）﹣a（m+n）ln2．故只需证：．考虑函数h（x）=xlnx，注意到，∴h（x）为定义域上的凹函数（下凸函数）．由不等式，知：．代入即得：．f（m）+f（n）≥f（m+n）﹣a（m+n）ln2得证．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值、最值，考查构造函数运用导数证明不等式和分析法证明不等式的方法，属于中档题．。

2015年安徽省高考一模数学试卷【解析版】

2015年安徽省高考数学一模试卷一、单项填空（共10小题；每小题5分，满分50分）．从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑．1．（5分）已知集合A＝{x|≥2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）2≤0}，则A∪B 等于（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣7]C．（﹣∞，1]∪（3，﹢∞）D．（﹣∞，1]∪[3．﹢∞）2．（5分）命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z 的虚部为（）A．2B．0C．﹣2D．﹣2i4．（5分）已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．115．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n（n＝1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A．S15B．S16C．S17D．S186．（5分）过抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点作y轴的垂线交抛物线C1于A，B两点，若△OAB（O是坐标原点）是面积为的等腰三角形，则a的值为（）A．B．1C．D．27．（5分）定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝1，则∠C的取值范围是（）A．（0，30°]B．[30°，60°]C．[60°90°]D．（90°，180°）9．（5分）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．外心10．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，0]二、填空题（共5小题；每小题5分，满分25分）．11．（5分）已知直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，则直线l1的倾斜角为．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝﹣2x+y的最大值为m，最小值为n，则log m（﹣n）＝．13．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．14．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，且A1D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为．15．（5分）在直角坐标平面内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A′（y，x），给出以下命题：①圆x2+y2＝r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2：②若直线y＝kx+b上海一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，则k＝﹣1；③椭圆每一点，实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线C ；y ＝lnx ﹣x （x ＞0）上每一点实施变换f 后，对应点轨迹足曲线C '，M是曲线C 上任意一点，N 是曲线C '上任意一点，则|MN |的最小值为．以上正确命题的序号是（写出全部正确命题的序号）三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f （x ）＝2（2cos 2ωx ﹣1）sin2ωx +cos （4ωx +），ω∈（0，1），且函数有一个最高点（，1）．（1）求实数ω的值和函数f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[，]上的最大值和最小值．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABEF 是长方形，DA ⊥平面ABEF ，BC ∥AD ，G ，H 分别为DF ，CE 的中点，且AD ＝AF ＝2BC ．（Ⅰ）求证：GH ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求三棱锥E ﹣BCD 与D ﹣BEF 的体积之比．18．（12分）设数列{a n }、{b n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +1＝，a n b n ＝a n +1b n +1．（Ⅰ）求（a n ）的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ＝b n log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和． 19．（12分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）作为一个样本如上表示．（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程＝bx +a ；（2）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：，）20．（13分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣）﹣2lnx （a ∈R ）．（1）当﹣1＜a ＜1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）设函数g （x ）＝﹣，若至少存在一个x 0∈[1，4]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．21．（14分）如图，椭圆上的点M 与椭圆右焦点F 1的连线MF 1与x轴垂直，且OM （O 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F 2是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：∠F 1CF 2≤；（3）过F 1且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若△PF 2Q 的面积是20，求此时椭圆的方程．2015年安徽省高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项填空（共10小题；每小题5分，满分50分）．从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑．1．（5分）已知集合A＝{x|≥2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）2≤0}，则A∪B 等于（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣7]C．（﹣∞，1]∪（3，﹢∞）D．（﹣∞，1]∪[3．﹢∞）【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2≥0，即＝≥0，整理得：（x+7）（x﹣3）≥0，且x﹣3≠0，解得：x≤﹣7或x＞3，即A＝（﹣∞，﹣7]∪（3，+∞），由（x﹣3）2≥0，（x﹣1）（x﹣3）2≤0，得到x﹣1≤0，即x≤1或x＝3，∴B＝（﹣∞，1]∪{3}，则A∪B＝（﹣∞，1]∪[3．﹢∞），故选：D．2．（5分）命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“事件A与事件B互斥”不能推出“事件A与事件B对立”，但是“事件A与事件B对立”，能推出“事件A与事件B互斥”，故命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的必要不充分条件．故选：C．3．（5分）已知θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z 的虚部为（）A．2B．0C．﹣2D．﹣2i【解答】解：θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，∴⇒⇒，（k∈Z），∴cosθ﹣1＝﹣2，故选：C．4．（5分）已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n的值为10．故选：C．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n（n＝1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A．S15B．S16C．S17D．S18【解答】解：由等差数列的性质可得a5+a8+a11＝3a8，再由求和公式可得S15＝＝＝15a8，故当a5+a8+a11为定值时，S15为定值．故选：A．6．（5分）过抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点作y轴的垂线交抛物线C1于A，B两点，若△OAB（O是坐标原点）是面积为的等腰三角形，则a的值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点为（0，），令y＝，则x＝±，即有|AB|＝2×＝，则有△OAB的面积为××＝，解得a＝．故选：A．7．（5分）定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选：D．8．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝1，则∠C的取值范围是（）A．（0，30°]B．[30°，60°]C．[60°90°]D．（90°，180°）【解答】解：由正弦定理可得，∴sin C＝＝∵a＞c∴A＞C∴0°＜C＜90°∵y＝sin x在（0，]上单调递增∴0°＜C≤30°故选：A．9．（5分）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．外心【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴＝+，即＝，两端同时点乘，∵•＝λ（）＝λ（）＝λ（﹣）＝0，∴DP⊥BC，∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心故选：D．10．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，0]【解答】解：①当x≥1时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为lnx≥a（x﹣1），令y＝lnx﹣a（x﹣1），y′＝﹣a，由于x≥1则0＜≤1，当a≤0时，y′＞0，函数y在x≥1递增，即有y≥ln1﹣a（1﹣1）＝0，成立；当a≥1时，y′＜0，函数y在x≥1递减，不等式不成立；当0＜a＜1时，函数y不单调，则不成立；②当0＜x＜1时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为﹣lnx≥a（x﹣1），令y＝﹣lnx﹣a（x﹣1），y′＝﹣﹣a，由于0＜x＜1，则﹣＜﹣1，当a≥﹣1时，y′＜0，函数y在0＜x＜1递减，即有y＞﹣ln1﹣a（1﹣1）＝0，成立；当a＜﹣1时，函数y不单调，则不成立；③当x≤0时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为x2﹣3x+2≥a（x﹣1），即（x﹣2）（x﹣1）≥a（x﹣1），即有a≥x﹣2，由x≤0，则x﹣2≤﹣2，即有a≥﹣2．综上可得，a≤0且a≥﹣1，且a≥﹣2，即为﹣1≤a≤0，故选：D．二、填空题（共5小题；每小题5分，满分25分）．11．（5分）已知直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，则直线l1的倾斜角为．【解答】解：∵直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，∴，解得a＝．∴直线l1的斜率为k＝．则直线l1的倾斜角为arctan．故答案为：．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝﹣2x+y的最大值为m，最小值为n，则log m（﹣n）＝．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z＝﹣2x+y得y＝2x+z，平移直线y＝2x+z，则由图象可知当直线y＝2x+z经过点A（0，8）时，直线y ＝2x+z的截距最大，此时z最大，为z＝8，即m＝8，当直线y＝2x+z经过点B时，直线y＝2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（4，4），此时z＝﹣8+4＝﹣4，即n＝﹣4，则log m（﹣n）＝log84＝故答案为：13．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）＝f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．14．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，且A1D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为8π．【解答】解：如图示：∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴∠A1DA就是A1D与底面ABC所成的角，在直角三角形A1DA中，tan∠A1DA＝＝2，∵底面是边长为2的正三角形，且AD＝1，∴A1A＝2，设三棱锥A1﹣ACD外接球的半径为r，＝×1×2＝1，∵S△A1DACD＝＝，∴三棱锥A1﹣ACD＝×1×＝，V三棱锥O﹣A1CD+V三棱锥O﹣A1AD+V三棱锥O﹣A1AC+V三棱锥O﹣ACD＝×××r+××2×1r+××2×2r+××1×r＝，∴r＝，∴三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为4πr2＝8π．故答案为：8π．15．（5分）在直角坐标平面内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A′（y，x），给出以下命题：①圆x2+y2＝r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2：②若直线y＝kx+b上海一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，则k＝﹣1；③椭圆每一点，实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线C；y＝lnx﹣x（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点轨迹足曲线C'，M是曲线C上任意一点，N是曲线C'上任意一点，则|MN|的最小值为．以上正确命题的序号是①③④（写出全部正确命题的序号）【解答】解：由题意点A（x，y）实施变换f后，对应点为A'（y，x），对应曲线来说，就是求曲线关于直线y＝x的对称曲线．对于①，因为圆x2+y2＝r2（r≠0）的圆心在直线y＝x上，所以圆x2+y2＝r2（r ≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2．所以①正确；对于②，直线y＝kx+b关于直线y＝x的对称曲线方程为，而直线y＝kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，所以，解得，或．所以②不正确；对于③，椭圆上每一点，实施变换f后，对应点的轨迹为，所以轨迹仍是离心率不变的椭圆．所有③正确；对于④，令g（x）＝x﹣（lnx﹣x）＝2x﹣lnx（x＞0）．．当x∈（0，）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．所以g（x）在（0，+∞）上有极小值，也是最小值．最小值为．所以曲线y＝1nx﹣x（x＞0）上的点到直线y＝x的距离的最小值为．由对称性可知，曲线y＝1nx﹣x（x＞0）上的点与其关于直线y＝x的对称曲线上的点的最小值为即为．所以④正确．所以正确命题的序号是①③④．故答案为①③④．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）＝2（2cos2ωx﹣1）sin2ωx+cos（4ωx+），ω∈（0，1），且函数有一个最高点（，1）．（1）求实数ω的值和函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）＝2（2cos2ωx﹣1）sin2ωx+cos（4ωx+）＝2cosωx sin2ωx+cos4ωx﹣sin4ωx＝sin4ωx+cos4ωx﹣sin4ωx＝sin4ωx+cos4ωx＝sin（4ωx+），∴f（x）＝sin（4ωx+），∵函数有一个最高点（，1），∴4ω×+＝+2kπ，k∈Z，∴ω＝+3k，k∈Z，∵ω∈（0，1），∴ω＝，∴f（x）＝sin（x+），∴T＝＝2π，∴f（x）的最小正周期2π；（2）∵x∈[，]，∴x+∈[，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，∴f（x）在[，]上的最大值1和最小值﹣．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABEF是长方形，DA⊥平面ABEF，BC∥AD，G，H分别为DF，CE的中点，且AD＝AF＝2BC．（Ⅰ）求证：GH∥平面ABCD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣BCD与D﹣BEF的体积之比．【解答】（Ⅰ）证明：取AD，BC的中点P，Q，连接GP，PQ，HQ，则GP∥F A，GP＝F A同理HQ∥BE，HQ＝BE，∵ABEF是长方形，∴GP∥HQ，GP＝HQ，∴四边形GPQH是平行四边形，∴GH∥PQ，∵GH⊄平面ABCD，PQ⊂平面ABCD，∴GH∥平面ABCD；（Ⅱ）解：∵DA⊥平面ABEF，∴DA⊥F A，∵F A⊥AB，DA∩AB＝A，∴F A⊥平面ABCD，∴V E ﹣BCD ＝×BC ×AB ×AF ，V D ﹣BEF ＝×EF ×BE ×AD ，∵AD ＝AF ＝2BC ， ∴V E ﹣BCD ：V D ﹣BEF ＝1：2．18．（12分）设数列{a n }、{b n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +1＝，a n b n ＝a n +1b n +1．（Ⅰ）求（a n ）的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ＝b n log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）由a 1＝1，a 2＝3，a 2＝，得b 1＝，∵a n b n ＝a n +1b n +1．∴{a n b n }是常数列． ∴a n b n ＝a 1b 1＝，b n ＝，a n +1＝＝3a n ，∴{a n }是以a 1＝1为首项，以3 为公比的等比数列． ∴a n ＝3n ﹣1，（Ⅱ）c n ＝b n log 3a n ＝（n ﹣1），设数列{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝[]，①S n ＝[+]②①﹣②得，S n ＝[﹣]＝[﹣]，∴S n ＝19．（12分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）作为一个样本如上表示．（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程＝bx +a ；（2）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：，）【解答】解：（1）记样本中10人的“脚掌长”为x i （i ＝1，2，…10），“身高”为y i （i ＝1，2，…10），则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分） ∵＝24.5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）由（1）知，当x ＝26.5时，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）故估计此人的身高为185.5cm ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）将身高为181、188、197、203（cm）的4人分别记为A、B、C、D，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）记“从身高180cm以上4人中随机抽取2人，所抽的2人中至少有1个身高在190cm以上”为事件A，则基本事件有：（AB）、（AC）、（AD）、（BC）、（BD）、（CD），总数6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）A包含的基本事件有：（AC）、（AD）、（BC）、（BD）、（CD），个数5，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（13分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）当﹣1＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，4]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝a（1+．设h（x）＝ax2﹣2x+a①当﹣1＜a≤0时，h（x）＝ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则h（x）＝ax2﹣2x+a（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②若0＜a＜1，△＝4﹣4a2＞0，由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得0＜x＜或x＞；由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得＜x＜；即﹣1＜a≤0时，函数的单调减区间为（0，+∞），0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（，+∞）；单调递减区间为（，）．（2）因为存在一个x0∈[1，4]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于a＞．令F（x）＝，等价于“当x∈[1，4]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得F′（x）＝．因为当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．当x∈[e，4]时，F′（x）＜0，所以F（x）在[e，4]上单调递减．所以F（x）min＝F（1）＝0，因此a＞0．21．（14分）如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤；（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是20，求此时椭圆的方程．【解答】解：（1）易得，∴，∴．（2）证明：由椭圆定义得：第21页（共21页）＝．， ∴，∴．（3）解：设直线PQ 的方程为（x ﹣c ），即y ＝﹣．代入椭圆方程消去x 得：，整理得：，∴．∴，因此a 2＝50，b 2＝25，所以椭圆方程为．。

2015届高三数学一诊模拟考试试卷文

2015届高三数学一诊模拟考试试卷文1．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+-=Z x x x x A ，211的子集个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知R m ∈，复数i im ++1的实部和虚部相等，则m 的值为( )A ．21B ．0C ．1D ．1-3．下列命题的否定为假命题的是( )A ．0222≤+-∈∃x x R x ， B ．任意一个平面四边形的四个顶点共圆C ．样本的中位数一定在样本中D ．线性回归直线一定经过样本中心点()y x ，4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率( )A ．均不相等B ．都相等，且为40320C ．不全相等D ．都相等，且为2015．将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 2πx y 的图象向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是( ) A ．3π-=x B ．6π-=x C ．6π=xD ．3π=x6．执行如图所示的程序框图，若输10=n ，则输出的=S( ) A．115B ．1110C．5536D ．55727．已知圆014222=++-+y x y x C ：，在区间[]64，-上任取整数m ，则直线0=++m y x l ：与圆C 相交所得ABC ∆为钝角三角形(其中B A 、为交点，C 为圆心)的概率为( )A ．52B ．112C ．113D ．1148．已知ABC ∆满足OAB ，4=是ABC ∆所在平面内一点，满足222OC OB OA ==，且R AC OB OA ∈=+λλ，，则BA BO ∙= ( )A ．28B ．8C ．24D ．49．已知实数y x ，满足可行域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+09301033y x y x y x D ：，曲线5=+-+Γa y x ：，恰好平分可行域D 的面积，则a 的值为( )A ．4-B ．24-C ．6-D ．8-10．已知实数d ，6，c ，d 满足12ln 22=--=c dd b a ，则()()22d b c a -+-的最小值为( )A ．12-B ．22-C ．223-D ．221-第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

安徽省皖北协作区高考数学一模试卷理(含解析)

安徽省皖北协作区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．C．D．或4．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x•f （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是（）A．4 B．C．1 D．210．（5分）已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（）A．2+B．2﹣C．+2 D．﹣2二、本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）函数f（x）=的值域为．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是13．（5分）从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为（用数字作答）14．（5分）已知集合A={（x，y）||x|+2|y|≤4}，集合B={（x，y）|（x﹣m）2+y2=}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x﹣）的图象关于x轴对称；④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=；⑤设函数g（x）=f（x）+2x，若g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=﹣2π，则θ=﹣．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c ﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．17．（12分）央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3题，每题答对的概率均为，第二轮三题每题答对的概率均为．（Ⅰ）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；（Ⅱ）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元）求X的概率分布列及数学期望．18．（12分）已知函数f（x）=mlnx+x2﹣（m+1）x+ln2e2（其中e=2.71828…是自然对数的底数）（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19．（13分）已知F1，F2为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，）在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，已知四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，且∠ACC1=∠BAA1=60°，AA1=2（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求四面体A﹣CC1B1的体积；（Ⅲ）求二面角C﹣AB﹣C1的正弦值．21．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n sin2θ=sin2θ•cos2nθ．（Ⅰ）当θ=时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{b n}满足b n=sin，S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n＜3+．安徽省皖北协作区2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由“ab＞0且a+b＜0”⇔“a与b均为负数的”，即可判断出．解答：解：“ab＞0且a+b＜0”⇔“a与b均为负数的”，因此“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”的充要条件．故选：C．点评：本题考查了充要条件的判定、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．2．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z====1﹣2i，在复平面内对应的点（1，﹣2），所在的象限为第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．C．D．或考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列和等比数列可得a2﹣a1=﹣2，b2=﹣4，代入要求的式子计算可得．解答：解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，∴a2﹣a1==﹣2，又∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，∴b22=（﹣2）×（﹣8）=16，解得b2=±4，又b12=﹣2b2，∴b2=﹣4，∴==故选：B点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．4．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求．解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣=1的一条渐近线为y=x，则焦点到渐近线的距离为d==．故选C．点评：本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．解答：解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．6．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x•f （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵奇函数在（0，+∞）上是减函数，∴在（﹣∞，0）上也是减函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，作出函数f（x）的草图：则不等式x•f（x）＜0等价为x＞0时，f（x）＜0，此时x＞2当x＜0时，f（x）＞0，此时x＜﹣2，综上不等式的解为x＞2或x＜﹣2，故不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：A点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；推理和证明．分析：利用排除法，即可得出结论．解答：解：由题意，x≠0，排除A；x＜0，0＜2x＜1，y=＞0，排除B；x增大时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，排除D，故选：C．点评：本题考查函数的图象，考查排除法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用，把极坐标化为直角坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，﹣）可得：x P==1，y P==﹣，∴P．圆ρ=﹣2cosθ化为ρ2=﹣2ρcosθ，∴x2+y2=﹣2x，化为（x+1）2+y2=1，可得圆心C（﹣1，0）．∴|PC|==．故选：D．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是（）A．4 B．C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由线性约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（1，﹣），化z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×1，解得：a=2．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．10．（5分）已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（）A．2+B．2﹣C．+2 D．﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题意可设=（1，0），=（，），=（x，y），可得x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，﹣）为圆心，半径等于2的圆上，由图象即可得到最大值为|OA|．解答：解：是单位向量，且的夹角为，设=（1，0），=（，），=（x，y）则﹣+2=（x，y+），∵|﹣+2|=2，即x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，﹣）为圆心，半径等于2的圆上，∴||的最大值为|OA|=|OC|+r=+2．故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键，属于基础题．二、本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）函数f（x）=的值域为[0，1）．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性的性质，结合根式的性质即可求出函数的值域．解答：解：∵e x＞0，∴﹣e x＜0，则0≤1﹣e x＜1，则0≤＜1，即0≤f（x）＜1，故函数的值域为[0，1），故答案为：[0，1）点评：本题主要考查函数值域的求解，根据指数的单调性的性质是解决本题的关键．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，先确定最大的面，再求其面积．解答：解：由三视图可知，该几何体有两个面是直角三角形，如右图，底面是正三角形，最大的面是第四个面，其边长分别为：2，=2，=2；故其面积为：×2×=；故答案为：．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．13．（5分）从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为968（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C103种结果，…以此类推，根据分类计数原理得到共有的结果数解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C103种结果，当有4个键同时按下，有C104种结果，…以此类推，根据分类计数原理得到共有C103+C104+C105+…+C1010=C100+C101+C102+…+C1010﹣（C100+C101+C102）=210﹣（1+10+45）=968．故答案为：968．点评：本题考查分类计数原理，考查组合数的性质，考查利用排列组合知识解决实际问题，本题是一个易错题，易错点是组合数的运算不正确14．（5分）已知集合A={（x，y）||x|+2|y|≤4}，集合B={（x，y）|（x﹣m）2+y2=}，若B⊆A，则实数m的取值范围是[﹣2，2]．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据题意可得集合A的区域是一个关于坐标轴对称的菱形，集合B的区域是一个圆及圆的内部，画出图象即可．解答：解：由题意，集合A中元素构成菱形，集合B中元素构成一个圆及圆的内部，如图∵B⊆A，∴圆在菱形内部，故只需圆心到菱形边坐在的直线的距离大于或等于半径即可，即：，解得m≥﹣2或m≤﹣6（舍去），由对称性可知m≤2，所以实数m∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．点评：本题考查集合间的关系及点到直线的距离公式，做出草图是解决本题的关键，属中档题．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是①③④⑤（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x﹣）的图象关于x轴对称；④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=；⑤设函数g（x）=f（x）+2x，若g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=﹣2π，则θ=﹣．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先把函数f（x）利用两角和的正弦公式化成标准形式，然后逐个判断，对于③，方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解，在一个周期内有三个实数解，其中两个解一定为区间的两个端点；对于④，代入使表达式恒成立，求出θ的值．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）∴函数f（x）的最大值为2，①正确；当x=﹣时，f（）=2，②不正确；函数f（x）的图象关于x轴对称的解析式为y=﹣2sin（x+）=2sin（x+﹣π）=2sin（x ﹣），③正确；若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1=0，x2=，x3=2π，所以x1+x2+x3=，④正确；g（x）=f（x）+2x=2sin（x+）+2x，g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=2sin（θ﹣1+）+2（θ﹣1）+2sin（θ+）+2θ+2sin（θ+1+）+2（θ+1）=2sin（θ+）（1+2cos1）+6θ=﹣2π所以sin（θ+）=0，6θ=﹣2π，所以．⑤正确．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三角函数式的化简，三角函数的最值、对称性及三角方程，综合性强，解决这类问题的关键是把三角函数式化成标准形式．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c ﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）由b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．利用正弦定理可得：．化简整理即可得出．（II）由=得c=3a．利用余弦定理及cosB=即可得出．解答：解：（I）∵b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．由正弦定理得，．即（cos A﹣3cos C）sin B=（3sin C﹣sin A）cos B，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．又A+B+C=π，∴sin C=3sin A，因此=．（II）由=得c=3a．由余弦定理及cosB=得b2=a2+c2﹣2accos B=a2+9a2﹣6a2×=9a2．∴b=3a．又a+b+c=14．从而a=2，因此b=6．点评：本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3题，每题答对的概率均为，第二轮三题每题答对的概率均为．（Ⅰ）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；（Ⅱ）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元）求X的概率分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，故概率P=，计算即可；（2）赢取大物件即第二轮答对2题，可得概率P′=，化简可得；同理可求P（X=0）和P（X=1600）和P（X=5400）以及P（X=7000），可得X的分布列和期望值．解答：解：（1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，∴所求概率P==；（2）赢取大物件即第二轮答对2题，∴所求概率P′==，同理可求P（X=0）=（+×）×（+×）=，P（X=1600）=×（+×）=，P（X=5400）=（+×）×=P（X=7000）=×=可得X的分布列为：X 0 1600 5400 7000P∴=350+625+4375=5350（元）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，涉及概率的加法公式和乘法公式，属中档题．18．（12分）已知函数f（x）=mlnx+x2﹣（m+1）x+ln2e2（其中e=2.71828…是自然对数的底数）（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出m=﹣1的f（x）的解析式，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，并分解因式，对m讨论，①当m＞1时，②当m=1时，③当0＜m ＜1时，④当m≤0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．解答：解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，即有f（2）=4，，则切线方程为：，即 3x﹣2y+2=0；（Ⅱ）由已知可得，（x＞0）即，①当m＞1时，当x＞m或0＜x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜m时，f′（x）＜0，即函数f（x）的递增区间为（0，1），（ m，+∞），递减区间为（1，m）．②当m=1时，f′（x）≥0恒成立，即函数f（x）的递增区间为（0，+∞）．③当0＜m＜1时，当x＞1或0＜x＜m时，f′（x）＞0，当m＜x＜1时，f′（x）＜0，即函数f（x）的递增区间为（0，m），（1，+∞），递减区间为（m，1）．④当m≤0时，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，即有函数f（x）的递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性，运用分类讨论的思想方法和二次不等式的解法是解题的关键．19．（13分）已知F1，F2为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，）在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用椭圆的定义即可得出a，将P代入椭圆方程可得b2，即可得出；（II）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论．解答：解：（I）∵|PF1|+|PF2|=4，∴2a=4，a=2．∴椭圆E：，将P代入可得b2=3，∴椭圆E的方程为．（II）①当AC的斜率为零或斜率不存在时，=；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0．设A（x1，y1），C（x2，y2），则，，∵直线BD的斜率为，∴|BD|==，∴=，综上：，∴，∴存在常数使得成等差数列．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（13分）如图，已知四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，且∠ACC1=∠BAA1=60°，AA1=2（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求四面体A﹣CC1B1的体积；（Ⅲ）求二面角C﹣AB﹣C1的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）取AA1的中点为O，连接OB，通过已知条件及线面垂直的判定定理即得结论；（2）利用三角形CC1B1和CC1B面积相等，通过体积公式计算即可；（3）以O为坐标原点，分别以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系，利用平方关系，通过计算平面ABC的法向量与平面ABC1的法向量的夹角的余弦值即可．解答：（1）证明：设AA1的中点为O，连接OB，∵四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，且∠ACC1=∠BAA1=60°，∴三角形AA1B和三角形AA1C1都是等边三角形，所以OB⊥OC1，又∵OB∩OC1=O，∴AA1⊥平面OBC1，所以AA1⊥BC1；（2）解：∵三角形CC1B1和CC1B面积相等，∴=，∴四面体A﹣CC1B1的体积为1；（3）解：由（1）知AA1⊥OB，又∵平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，∴OB⊥平面AA1C1C，∴OA1，OC1，OB，三条直线两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系如图，则，，∴=（1，0，），=（﹣1，，0），=（1，，0），设平面ABC，ABC1的法向量的坐标分别为（a，b，c），（a1，b1，c1），由，可得，所以可取，同理可取，∴，所以二面角C﹣AB﹣C1的正弦值为=．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查四面体的体积公式，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n sin2θ=sin2θ•cos2nθ．（Ⅰ）当θ=时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{b n}满足b n=sin，S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n＜3+．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当时，，，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：a n=，可得，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n≥4时，由于，利用“错位相减法”、等比数列的前n项函数公式即可得出．解答：（1）解：当时，，，∴{2n﹣1a n}是以1为首项、1为公差的等差数列，2n﹣1a n=n，从而．（2）证明：，∴当n=1，2，3时，；当n≥4时，∵，，令，两式相减得，．综上所述，对任意．点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项函数公式、三角函数的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015年安徽省高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年安徽省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）函数f（x）＝ln（2x﹣1）+的定义域为（）A．（，1]B．[，1]C．（﹣∞，1）D．（，+∞）2．（5分）满足：z（1+i）+i＝0的复数z＝（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣i 3．（5分）命题：存在x∈R，“（﹣2）n＞0”的否定是（）A．存在x∈R，“（﹣2）n≤0”B．存在x∈R，“（﹣2）n＜0”C．对任何x∈R，“（﹣2）n≤0”D．对任何x∈R，“（﹣2）n＜0”4．（5分）为了“城市品位、方便出行、促进发展”，近年合肥市正在修建地铁1号线，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞城修建地铁的市民占80%，在赞城修建地铁的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在[30，40]岁的有2500人，年龄在[60，70）岁的有2000人，则m，n的值分别为（）A．0.2，12500B．0.2，10000C．0.02，12500D．0.02，10000 5．（5分）函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x＝3处取最大值，则（）A．f（x﹣3）一定是奇函数B．f（x﹣3）一定是偶函数C．f（x+3）一定是奇函数D．f（x+3）一定是偶函数6．（5分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M的极坐标是（2，θ），圆C的参数方程是（t为参数），点M与圆C的位置关系是（）A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．在圆上或圆外7．（5分）△ABC中，若•＞0，则•（）A．大于0B．等于0C．小于0D．符号不定8．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．24C．8D．9．（5分）设函数f（x）＝log2（x2﹣4x+a）（a＞4），若所有点（s，f（t））（s，t∈[1，3]）构成一个正方形区域，则函数f（x）的单调增区间为（）A．[1，2]B．[2，3]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）10．（5分）已知数列{an}是等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，则剩下三项构成等差数列的概率为（）A．B．C．1或D．1或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答案卡的相应位置）11．（5分）（x+）6的展开式中的常数项为．12．（5分）已知函数f（x）＝，则f（x）dx＝．（e为自然对数的底数）13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．14．（5分）设F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1，F2为为直径的圆交双曲线的某条渐近线于MN 两点（M在x轴上方，N在x轴下方），c为双曲线的半焦距，O为坐标原点．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①|OM|＝|ON|＝c；②点N的坐标为（a，b）；③∠MAN＞90°；④若∠MAN＝120°，则双曲线C的离心率为；⑤若∠MAN＝120°，且△AMN的面积为2，则双曲线C的方程为﹣＝1．三、解答题（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

安徽省2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题(扫描版)(附答案) (2)

参考答案（1）B 解析：若A ∩B ≠Φ，则A ∩B ＝[a 2，－a ]，a 2≤－a ，－1≤a ≤0．（2）B 解析：3i (3i)(1-i)==12i 12i.1i 2z z -=-∴=++-，（3）D 解析：a －b ＝(m ，－m)，则12m －m 2＝0，m=0或12．（4）C 解析：a 2a 5a 8＝a 35＝8a 5＝2，2232723725log log log (a a )log a 2.a a +=⋅==（5）A 解析：S=4，i=1;S=-1,i=2;S=32,i=3;S=23,i=4;S=4,i=5;S 的值具有周期性，其周期为4,所以输出结果为-1.（6）A 解析：注意到4－x 2≥0，－2≤x ≤2，当a ＞2时，f (x )＝－4－x 2x 是奇函数；而函数f (x )为奇函数，只需a ≥2，故选A ．（7）D 解析：由题意得：()*112,6k k πϕπ=-∈N 故ϕ的最小正值为11.6π （8）A 解析：令g (x )＝ex －e x ，g ′(x )＝e －e x ，由g ′(x )>0得x<1，由g ′(x )<0得x>1,g(x)在x ＝1处取得最大值0，故y ＝1ex －e x＜0，且在()1，∞-上单调递减，在()∞+，1上单调递增，故选A ．（9）D 解析：该几何体是一个底面是正三角形的三棱柱挖去一个底面边长是其12的小三棱柱而得到，S 底＝2(34×42－34×22)＝63，S 侧＝2×42＋2×4×2＋2×4×1＝56，故选D ．（10）C 解析：圆心到直线的距离d ＝|m |2，设∠AOB ＝2θ，则cos θ＝|m |2，cos ∠AOB ＝cos2θ＝2cos 2θ－1＝m 2－1，所以→OA ·→OB ＝1×1×cos2θ＝m 2－1＝－m 2，则m ＝±22．（11）9 解析：设公比是q ，则20(1＋q ＋q 2)＝95，解得q ＝32，则中层有30人，一般职工45人，设从一般职工中抽取y 人，则306＝45y，y ＝9，应从一般职工中抽取9人．（12）1811 解析：()2442222sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθ+=+-⋅ ()2211111sin 211cos 2.2218θθ=-=--= （13）(2，0) 解析：设P (x 0，x 0＋2)，则(x 0＋2)2＝2px 0，20x ＋(4－2p )x 0＋4＝0，△＝0，解得p ＝4，其焦点坐标为(2，0)．（14）2 解析：作出不等式组所表示的平面区域，令3,z y x =-则目标函数z 取最小值的最优解为()2,1,min 321,z ∴=-=32y x -的最小值为2.（15）①②④⑤ 解析：对于①，由图可得,//,//1111C D B A C B D A ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，①正确；对于②， A 1－ABD 为正四面体，故AA 1⊥BD ，则②正确；对于③,A 1－BDD 1B 1是正四棱锥，所有棱长均相等，A 到平面BDD 1B 1的距离等于A 1到平面BDD 1B 1的距离，等于A 1到BDD 1B 1中心的距离为a 22，故③错误；对于④，三棱锥BD A C 11-为正三棱锥，对棱互相垂直，则A 1在平面BDC 1上的射影为∆BDC 1的垂心，故④正确；对于⑤，A 1－ABD 占整体的16，BDC －B 1D 1C 1占12，A 1－BDD 1B 1占13，故⑤正确．（16）解析：（Ⅰ）由已知2×sin C sin A ＝sin B sin A ＋cos B cos A， 2sin C sin A ＝sin B cos A ＋sin A cos B sin A cos A ＝sin(A ＋B )sin A cos A ＝2sin C 2sin A cos A ，cos A ＝12，A ＝60°．（6分）（Ⅱ）a 2＝10＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝52－3bc ，bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝534．（12分）（17）解析：（Ⅰ）由已知可得x ＋y ＝6，且6×(26-24)＋6×(25-24)＋8×(24-24)＋4×(23-24)＋(22-24)x ＋(21-24)y ＝0,即2x ＋3y ＝14，解得x ＝4，y ＝2．（3分）s 2＝130[6(26－24)2＋6(25－24)2＋8(24－24)2＋4(23－24)2＋4(22－24)2＋2(21－24)2] ＝1534.(6分) （Ⅱ）设强度是22的4根分别是a 、b 、c 、d ，强度是21的2根分别是A 、B ，任取两根所有可能的情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，d )，(c ，A )，(c ，B )，(d ，A )，(d ，B )，(A ，B )共15种情形，至少有一根强度是21的共9种情形，故概率为915＝53．（12分）（18）解析：（Ⅰ）由已知AC 2＝AD 2＋DC 2，AC ＝2．BC ＝AD 2＋(AB －DC )2＝2， AB ＝2，则AB 2＝AC 2＋BC 2，则AC ⊥BC ，又∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC ，D E C BAP∴AC ⊥平面PBC ，平面EAC ⊥平面PBC ．（6分）（Ⅱ）∵PC ＝2，则E 到平面ABC 的距离为22，P A ＝PB=AB=2． S △P AB ＝34×22＝3，S △ABC ＝12×2×2＝1，设点C 到平面ABE 的距离h,由V P －ABC ＝V C －P AB 得13S △ABC ·PC ＝13S △P AB h ,解得h ＝63.（12分）（19）解析：（Ⅰ）由已知得()10,f =∴0,a b += 又()()22ln 1,11,ax x b f x f x+--''==∴2,a b -= ∴1,1a b ==-.（5分）（Ⅱ）令()()2ln ln ln ,ax x b g x f x x x xλλ-+=-=- ∴()()22ln 01,x x x g x x xλ-+'=<≤ 令()2ln ,h x x x x λ=-+则()()1201,h x x x xλ'=-+<≤∵12x xλ+≥≤ ∴()0,h x '≥即()h x 在(]0,1上是增函数，∴()()11,h x h λ≤=-又1λ≤≤∴()0,g x '≤∴()()10,g x g ≥=即当01x <≤时，恒有()ln .f x x λ≥(13分)（20）解析：（Ⅰ）由题意：设{}n a 的公差为,d当1n =时，()123121231546,S a S a a a a a a d ++=++++=+= 当2n =时，()234123123417922,S a S a a a a a a a a d ++=++++++=+= 解得124a d =-⎧⎨=⎩，24n =4 6.n a n ∴=-+-（-1）（5分）（Ⅱ）由题意得：11111111221222212212221,n n n n n n n n n n b a a a a a a a a --------+++-++-=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 111(426)(422)(422)[4214][4210]n n n n n ---=⋅-+⋅-+⋅++⋅⋅⋅+⋅-+⋅-11426421032=442,22n n n n n --⋅-+⋅-=⋅⋅-⋅ 3424,2nn n b ∴+⋅=⋅2321334(14)4442 2.2214n n n n T +-=+++⋅⋅⋅+=⨯=--（4）（13分）（21）解析：（Ⅰ）由已知c a ＝32，则b a ＝12，a ＝2b ．将P (2，1)代入得4a 2＋1b2＝1，解得,8,222==a b ∴椭圆方程为x 28＋y 22＝1．（4分）（Ⅱ）当斜率k ＝0时，S ＝12×42×1＝22，当斜率不存在时，S ＝12×22×2＝22．（6分）当斜率存在且不为0时，设直线l ：y ＝kx ，代入x 2＋4y 2＝8中解得x ＝±221＋4k 2， |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×421＋4k 2，点P (2，1)到直线y ＝kx 的距离为d ＝|2k －1|1＋k 2， S △P AB ＝12|AB |d ＝22×|2k －1|1＋4k 2＝22×1＋4k 2－4k 1＋4k 2＝22×1－4k 1＋4k 2，显然当k ＜0时有最大值，S △P AB ＝22×1＋4 －1k －4k ≤22×1＋424＝4，当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12取等号，故PAB ∆面积的最大值为4．（13分）。

2015年高考理科数学模拟试题

2015年普通高等学校招生考试数学模拟试题（理工类）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。

在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）A 、总体B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）A 、3B 、2C 、3D 、15、若0a b >>，0c d <<，则一定有（）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（）A 、0B 、1C 、2D 、37、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（）侧视图俯视图11222211A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 8、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（） A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

安徽省江淮十校2015届高三第一次联考试题_(数学理)

2015届江淮十校8月联考理科数学试题及答案数学（理科）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，时间120分钟． 2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B =（）A.（1，2）B.[1，2]C.[ 1，2）D.（1，2 ]2. 已知i 是虚数单位，a R ∈，则“1a =”是“2()2a i i +=”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则实数=a （） A. 2 B. 26 C. 25D. 14. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．65. 已知直线()()12:120,:2130l a x ay l ax a y -+-=+++=，若12l l ⊥,则a 的值为 A ．0B ．2-C ．2-或0D ．0或26. 设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<总成立．则实数a 的取值范围是( )A ．0a >B ．12a >C ．14a > D ．012a a ><-或 7. 设357log 6,log 10,log 14abc ===，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ． c b a >>8. 已知直线:0l Ax By C ++=（220A B +≠不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0A x B y CA xB yC ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++<++，则直线l ( ) 第4题图A ．与直线12PP 不相交B ．与线段21P P 的延长线相交C ．与线段12PP 的延长线相交D ．与线段12PP 相交9. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cmD ．84cm 310. 在面积为6的Rt △ABC 中，90C ︒∠=,AB 在AC 上的投影为3，P 为线段AB 上的动点，且满足 ,||||CA CBCP x y CA CB =⋅+⋅uu r uuruur uu r uur 则xy 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.11. 若将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小正值是12.定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f xf x +=，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 13.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若51020,,a a a 三项成等比数列，则此等比数列的公比为 .14. 已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为_____．15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱1DD ，AB 上的点．下列说法正确的是__________.（填上所有正确命题的序号）①1AC ⊥平面1B EF ； ②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③1B EF △在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ④当,E F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当,E F 为中点时，平面1B EF 与棱AD 交于点P，则23AP =．第15题图第9题图三、解答题：本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡的相应位置.16. 如图，点A ,B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB . （Ⅰ）若点A 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点B 的横坐标；（Ⅱ）求BC 的取值范围.17.（本小题12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若B 大学决定在成绩高的第4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率.18.（本小题12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A 、B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2. （Ⅰ）求证：EA EC ⊥（Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF=1，求三棱锥E-ADF 的体积. 19.（本小题12分）已知数列{}n a 满足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥，（Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；（Ⅱ）求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．20. （本小题13分）如图，已知圆22:1O x y +=与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于点C ，M 是圆O 上任意一点（除去圆O 与坐标轴的交点）.直线AM 与BC 交于点P ，CM 交x 轴于点N ，设直线PM 、PN 的斜率分别为m 、n ，（Ⅰ）试求点M 、N 坐标（可用m 、n 表示）（Ⅱ）求证：2m n -为定值.21. （本小题14分）设关于x 的方程210x mx --=有两个实根,()αβαβ<，函数22()1x mf x x -=+. （Ⅰ）求证：不论m 取何值，总有()1f αα=；（Ⅱ）判断()f x 在区间(,)αβ的单调性，并加以证明；（Ⅲ）若,λμ均为正实数，证明：|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++.安徽省江淮十校教育研究会2014年高二联考数学（理科）答案第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. D2.A3. D4. B5. C6. B7. A8. B9. B 10. C.第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11.4π 12. 516 13. 2 14.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15. ②③④⑤三、解答题:本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16. （I ）由三角函数定义知， 34cos ,sin .55αα== ………………………（2分）,3COB πα∠=+cos()cos cos sin sin 333πππααα∴+=-= ………（5分）所以点B . ………………………（6分）（II ）222cos()3BCπα=-+， ………………………（9分)02πα<<Q ，5336πππα∴<+<， 1cos()()32πα∴+∈，2(1,2BC ∴∈+，BC ⎛∴∈ ⎝⎭. …………………（12分）17.（本小题12分）（Ⅰ）由图象可知第五组为:0.02530030⨯⨯=人，第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列,所以第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人,45人,60人,75人,90人.则绘制的频率分布直方图如右图所示.………….6分（Ⅱ）第四组中抽取人数：660490⨯=人，第五组中抽取人数：630290⨯=人，所以两组共6人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情况，情况一：12,B B 在同一小组：123412(,,),(,,)A A A A B B ；124312(,,),(,,)A A A A B B ；134212(,,),(,,)A A A A B B ；234112(,,),(,,)A A A A B B ，共有4种可能结果，情况二：12,B B 不在同一小组：112234(,,),(,,)B A A B A A ；113224(,,),(,,)B A A B A A ；114223(,,),(,,)B A A B A A ；123214(,,),(,,)B A A B A A ；124213(,,),(,,)B A A B A A ；134212(,,),(,,)B A A B A A ，共有6种可能结果，两种情况总共10种可能结果，所以两人被分在一组的概率为42105=. ….12分另解：两人被分在一组的概率为1433632225C P C C A ==.（此法亦可相应给分）18.（本小题12分）(Ⅰ)证明：Q 矩形ABCD ⊥面ABE ， CB ⊂面ABCD 且CB ⊥AB∴CB ⊥面ABE ，从而AE ⊥BC ①………3.分又Q 在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠=o即AE ⊥BE ②由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥， ……………………….…6分 (Ⅱ) Q AB//CD, ∴ AB//面DCE. 又Q 面DCE I 面ABE=EF,∴AB//EF在等腰梯形ABEF 中，EF=1，AF=1，120AFE ∠=o ，………………….…9分∴1sin1202S EF AF =⨯⨯⨯=o11133E ADF D AEF AEFAD V V S --∆==⨯⨯==. …………………12分 19.（本小题12分）解：（Ⅰ）由1123(2)n n n a a a n +-=-≥得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，则1{}n n a a +-是以211a a -=为首项，以12为公比的等比数列 .... ……… .........4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：211()2n n n a a ---=，累加可得214()2n n a -=-.........................8分则123n n a m a m +-<-即为：2114()22134()2n n m m ----<--，显然4m ≥时无解，则易求得123,,11 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩..................................................12分注：若由123n n a m a m +-<-得到()()132n n a m a m +-<-即1n m a ->亦即3142n m -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，从而得出结果*4312,,1112m m m m n n n n N ≥===⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===∈⎩⎩⎩⎩，或可酌情给分.20. （本小题13分）解：（I ）直线AM 的方程为：(1)(0,1)y m x m =+≠±与 22:1O x y +=联立得22212(,)11m mM m m -++………………………………………………………………….3分由22212(0,1),(,),(,0)11m mC M N x m m-++三点共线，得出1(,0)1m N m +-……………......…6分（Ⅱ）.将直线BC 的直线方程1x y +=与(1)(0,1)y m x m =+≠±联立得12(,)11m mP m m-++…………………………………………………………………...8分故有22202(1)1111(1)(1)211PN mm m m m n k m m m m m m---+====-+--+-+-………………………….11分即：21m n -=………………………………………………………………………….13分21. （本小题14分）解: (Ⅰ)∵,αβ是方程210x mx --=的两个根， ∴,1m αβαβ+==-， ∴2222()1()1()m f αααβαβααααβααβα--+-====+-- ， ∴()1f αα=……………………………………………………… （4分）（Ⅱ）∵222222(1)2()()()(1)(1)x mx x x f x x x αβ----'=-=-++，当(,)x αβ∈时，()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上单调递增．（此处用定义证明亦可）…（8分）（Ⅲ）∵()0λαμβμβααλμλμ+--=>++，同理可证：λαμβαβλμ+<<+ ∴由（Ⅱ）可知：()()()f f f λαμβαβλμ+<<+，()()()f f f μαλβαβλμ+<<+， ∴|()()||()()|f f f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++， ……………………………（12分）由（Ⅰ）可知，1()f αα=，1()f ββ=，1αβ=-，∴11|()()|||||||f f βααβαβαβαβ--=-==-， ∴|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++．……………………………………（14分）。