屈婉玲版离散数学课后习题答案【3】
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧ 解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
)6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨、解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨⌝∧。
解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r rs p ⌝∨⌝∨→[结论：s 证明：① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入⑤ r ③④析取三段论⑥r s → 前提引入}⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u →证明：用附加前提证明法。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案
所以公式类型为永真式
(3) P
q
r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
00
0
00
1
01
0
01
1
1
00
1
01
1
10
1
11
p∨q 0 0 1 1 1 1 1 1
p∧r
（p∨q）→(p∧r)
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r) (p→(q∧r)) (4)(p∧ q)∨( p∧q) (p∨q) ∧ (p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r)
17．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无 理数。另外 6 能被 2 整除，6 才能被 4 整除。”
答：p: 是无理数 1 q: 3 是无理数 0
r: 2 是无理数 1
s: 6 能被 2 整除 1
t: 6 能被 4 整除 0
命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为 1，所以这一段的论述为真。
( p→q)→( q p) (p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q) ( p q) (p q) (p q)
m0 m2 m3 ∑(0,2,3) 主合取范式：
精品
.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为： (p (q r))→(p q r) (p (q r))→(p q r) ( p ( q r)) (p q r) ( p (p q r)) (( q r)) (p q r))
离散数学答案-屈婉玲版-第二版-高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⌝p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧ 解：原式()p q q r⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧ 13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s 证明：① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u →证明：用附加前提证明法。
离散数学第三版-屈婉玲-课后习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语p q解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是（9）只有天下大雨，他才乘班车上班q p解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是（11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是(p q)r15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：(p q r)((p q)r)（4）解：p=1，q=1，r=0，(p q r)(110)1，((p q)r)((11)0)(00)1 (p q r)((p q)r)111 19、用真值表判断下列公式的类型：(p p)q（2）解：列出公式的真值表，如下所示：p p qq(p p)(p p)q0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）(p q)q解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：p0(p q) 1q0q0成真赋值有：01，10，11。
所以公式的习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）(p q)(q r)解：原式(p q)q r(p p)q rq r，此即公式的主析取范式，m m(p q r)(p q r)37所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）(p q)(p r)解：原式，此即公式的主合取范式，M(p p r)(p q r)(p q r)4所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）(p q)r解：原式p q(r r)((p p)(q q)r)(p q r)(p q)r(p q)r(p q)r(p q)r(pq r(p q r)(p q)r(p q)r(p q)r(pq r，此即主析取范式。
离散数学课后习题答案屈婉玲
离散数学课后习题答案屈婉玲【篇一：屈婉玲版离散数学课后习题答案【4】】txt>4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）非零整数集合错误！未找到引用源。
普通的除法运算。
不封闭（3）全体n?n实矩阵集合错误！未找到引用源。
（r）和矩阵加法及乘法运算，其中n错误！未找到引用源。
2。
封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 错误！未找到引用源。
2。
不封闭（5）正实数集合错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
运算，其中错误！未找到引用源。
运算定义为：错误！未找到引用源。
不封闭因为 1?1?1?1?1?1??1?r?（6）n错误！未找到引用源。
关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1（7）a = {a1,a2,?,an} 错误！未找到引用源。
n错误！未找到引用源。
运算定义如下：错误！未找到引用源。
封闭不满足交换律，满足结合律，（8）s = 错误！未找到引用源。
关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）s = {0,1},s是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）s = 错误！未找到引用源。
,s关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。
见上题7．设 * 为z?错误！未找到引用源。
上的二元运算?x,y?z?，x * y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.(1)求4 * 6，7 * 3。
4,3(2)* 在z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及z?中所有可逆元素的逆元。
屈婉玲版离散数学课后习题答案【3】
第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
(xxF(2)在两个个体域中都解释为)xG∃，在（a）(b)中均为真命题。
(x4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1) 没有不能表示成分数的有理数.(2) 在北京卖菜的人不全是外地人.解:(1)F(x): x能表示成分数H(x): x是有理数命题符号化为: ))Fx∧⌝∃x⌝()((xH(2)F(x): x是北京卖菜的人H(x): x是外地人命题符号化为: ))F⌝∀xx→(x(H)(5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:(1) 火车都比轮船快.(3) 不存在比所有火车都快的汽车.解:(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快命题符号化为: ))FyxG∀y∀∧x→,())(H)x((y((2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →∀∧⌝∃9.给定解释I 如下:(a) 个体域D 为实数集合R.(b) D 中特定元素=0.(c) 特定函数(x,y)=xy,x,y D ∈.(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x<y,x,y D ∈.说明下列公式在I 下的含义,并指出各公式的真值:(1) )),(),((y x F y x G y x ⌝→∀∀(2) )),()),,(((y x G a y x f F y x →∀∀答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x<y, 那么x ≠y. 真值1.(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x<y. 真值0.10. 给定解释I 如下：（a ） 个体域D=N(N 为自然数集合).（b ） D 中特定元素=2.（c ） D 上函数=x+y,(x,y)=xy.（d ） D 上谓词(x,y):x=y.说明下列各式在I 下的含义，并讨论其真值.(1) xF(g(x,a),x)(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.11. 判断下列各式的类型:(1)(3) yF(x,y).解:(1)因为 1)()(⇔∨⌝∨⌝⇔→→p q p p q p 为永真式；所以 为永真式；(3)取解释I 个体域为全体实数F(x,y)：x+y=5所以,前件为任意实数x 存在实数y 使x+y=5，前件真；后件为存在实数x 对任意实数y 都有x+y=5，后件假，]此时为假命题再取解释I 个体域为自然数N ，F(x,y)：:x+y=5所以,前件为任意自然数x 存在自然数y 使x+y=5，前件假。
离散数学第二版 屈婉玲 1-5章(答案)
《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（4）5.答：⌝P ，Q→P6.答：P(x)∨∃yR(y)7.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。
解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))（集合论部分）1、答：(4)2.答：323.答：（3）4. 答：（4）5.答：（2），（4）6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)证明：(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）=A⋂（B-C）b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)证明：(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)（二元关系部分）1、答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}2.答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3.答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}4.答：R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001000000001 R 1-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000015、解：（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、传递的；（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011101110;它是反自反的、对称的；（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110;它既不是自反的、也不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。
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第四章部分课后习题参考答案
3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:
(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).
(2) 存在x,使得x+5=9.
其中(a)个体域为自然数集合.
(b)个体域为实数集合.
解：
F(x): 2=(x+)(x).
G(x): x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为)
∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
(x
xF
(2)在两个个体域中都解释为)
xG
∃，在（a）(b)中均为真命题。
(x
4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1) 没有不能表示成分数的有理数.
(2) 在北京卖菜的人不全是外地人.
解:
(1)F(x): x能表示成分数
H(x): x是有理数
命题符号化为: ))
F
x∧
⌝∃
x
⌝
(
)
(
(x
H
(2)F(x): x是北京卖菜的人
H(x): x是外地人
命题符号化为: ))
F
⌝∀
x
x→
(x
(
H
)
(
5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:
(1) 火车都比轮船快.
(3) 不存在比所有火车都快的汽车.
解:
(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快
命题符号化为: ))
F
y
x
G
∀
y
∀
∧
x→
,
(
))
(
H
)
x
((y
(
(2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快
命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →∀∧⌝∃
9.给定解释I 如下:
(a) 个体域D 为实数集合R.
(b) D 中特定元素=0.
(c) 特定函数(x,y)=xy,x,y D ∈.
(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x<y,x,y D ∈.
说明下列公式在I 下的含义,并指出各公式的真值:
(1) )),(),((y x F y x G y x ⌝→∀∀
(2) )),()),,(((y x G a y x f F y x →∀∀
答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x<y, 那么x ≠y. 真值1.
(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x<y. 真值0.
10. 给定解释I 如下：
（a ） 个体域D=N(N 为自然数集合).
（b ） D 中特定元素=2.
（c ） D 上函数=x+y,(x,y)=xy.
（d ） D 上谓词(x,y):x=y.
说明下列各式在I 下的含义，并讨论其真值.
(1) xF(g(x,a),x)
(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)
答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.
(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.
11. 判断下列各式的类型:
(1)
(3) yF(x,y).
解:(1)因为 1)()(⇔∨⌝∨⌝⇔→→p q p p q p 为永真式；
所以 为永真式；
(3)取解释I 个体域为全体实数
F(x,y)：x+y=5
所以,前件为任意实数x 存在实数y 使x+y=5，前件真；
后件为存在实数x 对任意实数y 都有x+y=5，后件假，]
此时为假命题
再取解释I 个体域为自然数N ，
F(x,y)：:x+y=5
所以,前件为任意自然数x 存在自然数y 使x+y=5，前件假。
此时为假命题。
此公式为非永真式的可满足式。
13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x)G(x)H(x))
解:(1)个体域:本班同学
F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释
F(x)：x 是泰安人,G(x)：x 是济南人.（2）成假解释
(2)个体域:泰山学院的学生
F(x)：x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x)：x 会吃饭,G(x)：x 会睡觉,H(x)：x 会呼吸. 成真解释.
第五章部分课后习题参考答案
5.给定解释Ｉ如下:
(a)个体域D={3,4}; (b))(x f 为3)4(,4)3(==f f (c)1)3,4()4,3(,0)4,4()3,3(),(====F F F F y x F 为.
试求下列公式在Ｉ下的真值.
(1)),(y x yF x ∃∀
(3))))(),((),((y f x f F y x F y x →∀∀
解:(1) ))4,()3,((),(x F x F x y x yF x ∨∀⇔∃∀
⇔ ))4,4()3,4(())4,3()3,3((F F F F ∨∧∨
⇔1)01()10(⇔∨∧∨
(2) )))(),((),((y f x f F y x F y x →∀∀
))))4(),(()4,(()))3(),(()3,(((f x f F x F f x f F x F x →∧→∀⇔
)))3),(()4,(())4),(()3,(((x f F x F x f F x F x →∧→∀⇔
)))3),3(()4,3(())4),3(()3,3(((f F F f F F →∧→⇔
)))3),4(()4,4(())4),4(()3,4(((f F F f F F →∧→∧
)))3,4()4,3(())4,4(0((F F F →∧→⇔)))3,3(0())4,3(1((F F →∧→∧ )11()00(→∧→⇔)00()11(→∧→∧1⇔
12.求下列各式的前束范式。
(1)),()(y x yG x xF ∀→∀
(5))),()((),(2121211x x G x x H x x F x ⌝∃→→∃ (本题课本上有错误) 解:(1) ),()(y x yG x xF ∀→∀),()(y t yG x xF ∀→∀⇔)),()((y t G x F y x →∀∃⇔
(5) )),()((),(2121211x x G x x H x x F x ⌝∃→→∃
)),()((),(2323211x x G x x H x x F x ⌝∀→→∃⇔
)),()((),(2332411x x G x H x x x F x ⌝→∀→∃⇔
))),()((),((2334121x x G x H x x F x x ⌝→→∀∀⇔
15.在自然数推理系统F 中,构造下面推理的证明:
(1) 前提: ))())()((()(y R y G y F y x xF →∨∀→∃,)(x xF ∃
结论: ∃xR(x)
(2) 前提: ∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x)
结论:x(F(x)∧R(x))
证明(1)
①)(x xF ∃ 前提引入
②F(c) ①EI
③))())()((()(y R y G y F y x xF →∨∀→∃ 前提引入 ④))())()(((y R y G y F y →∨∀ ①③假言推理
⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI
⑥F(c)∨G(c) ②附加
⑦R(c) ⑤⑥假言推理
⑧∃xR(x) ⑦EG
(2)
①∃xF(x) 前提引入
②F(c) ①EI
③∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入
④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI
⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理
⑥R(c) ⑤化简
⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入
⑧∃x(F(x)∧R(x))。