等价、相似、合同的关系
矩阵合同的定义
矩阵合同的定义篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkk1~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。
3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同引言在线性代数中，矩阵是一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵时，我们经常会遇到矩阵相似和矩阵合同这两个概念。
本文将介绍矩阵相似和矩阵合同的定义、性质和应用。
矩阵相似矩阵相似是一种关系，用来描述两个矩阵之间的某种变换关系。
两个矩阵相似，意味着它们可以通过一个相似变换相互转化。
具体来说，对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
相似关系具有以下性质：1.相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.相似矩阵具有相同的特征值。
3.相似矩阵具有相同的秩、行列式、迹等性质。
矩阵相似在实际应用中具有重要意义。
例如，在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行对角化处理，而矩阵相似关系可以帮助我们找到相似矩阵来简化计算。
矩阵合同矩阵合同是另一种矩阵之间的关系。
与矩阵相似不同，矩阵合同是通过正交变换来定义的。
对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个正交矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。
合同关系具有以下性质：1.合同关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.合同矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数。
矩阵合同在实际应用中也具有重要意义。
例如，在数值计算中，我们经常需要将矩阵进行对称化处理，而矩阵合同关系可以帮助我们找到合同矩阵来简化计算。
相似与合同的关系矩阵相似和矩阵合同之间存在着一定的联系。
具体来说，如果两个矩阵相似，则它们一定是合同的。
这是因为如果矩阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们可以取正交矩阵Q等于P-1，则有QTAQ = B，即A和B是合同的。
然而，矩阵合同并不一定意味着矩阵相似。
换句话说，合同关系是相似关系的一个子集。
这是因为矩阵相似要求相似变换是可逆的，而矩阵合同要求正交变换是可逆的。
正交矩阵是一类特殊的矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，因此正交变换一定是可逆的。
矩阵的合同与相似及其等价条件
矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义1.1如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B P AQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B .1.2矩阵相似的定义[2]定义1.4设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P，使得B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .1.2.1n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似.性质1.2对称性，即如果A ～B ，则B ～A .性质1.3传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C .性质1.4P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--.（21,k k 是任意常数）性质1.5))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.性质1.6若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与m B 相似.（m 为正整数）证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P m m m11--==，故可以得到m A 与相m B 相似.性质1.7如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1-B ～1-A .证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P 11111-----==，故可以得到1-B ～1-A .性质1.8如果矩阵A ～B ，那么B A =.证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.性质1.9相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()P A P AP P B 11111-----==，从而1-B 和1-A 也相似.若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆.性质1.10相似矩阵有相同的特征值.证明设AP P B 1-=，APP EP P B E 11---=-λλ()P A E P -=-λ1AE -=λ故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值.性质1.11相似矩阵有相同的迹.证明可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，()()APP t B t r r 1-=()P A P t r 1-=()A t r =例1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3002A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？解从已知可知63002==A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r 对于A 的特征多项式3002--=-λλλA E )3)(2(--=λλ故A 的特征值为2和3.对于矩阵B ,62003==B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r 矩阵B 的特征多项式)3)(2(2003--=--=λλλλB .故矩阵B 的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P 使得B AP P =-1，从定义矩阵B 与矩阵A 相似.从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].例2设实数域上的3级实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=124242421A ，对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如果相似求出可逆矩阵P .解由矩阵A 的特征多项式为11020242421124242421-+---=---λλλλλλλ100242421---=λλλ)4()5(2+-=λλ故矩阵A 的特征值为5和—4.容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，故矩阵B 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=325310315152552325154551P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式.1.3矩阵合同的定义[2]定义1.5设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T =，则称A 与B 合同，记作B A ≅.n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴反身性:即任一n 级矩阵与自身合同.⑵对称性:即如A 与B 合同，则B 与A 合同.⑶传递性:A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同.⑷合同的两矩阵有相同的二次型标准型.⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2.合同矩阵与相似矩阵的关系2.1矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.⑵相似、合同矩阵均有相同的秩.若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵.2.2矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值.但若A ≅B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值.例1设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32455032454513145252T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001B ,不难验证：B AT T T =，有B A ≅.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.例2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3221A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12441B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001C .经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T =，B A ≠，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式.我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是111()E B E P AP P E P P APλλλ----=-=-=1()P E A Pλ--=E Aλ-故特征值相同.然而对于矩阵A 合同与矩阵B，但是它们的特征值不一定相同:例3设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10211C 不难验证B AC C T =,即B A ≅，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和43显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念.2.3矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论2.1相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A ≅.反过来，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相似.结论2.2合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T =1，若记11,P Q P P T==,则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价.反过来对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相似的关系[7]结论2.3如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似.证明设M 、N 的特征值均为1λ、2λ、 n λ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n MP P λλ 11同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n NQ Q λλ 11从上面两式有：NQQ MP P 11--=将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：MPQ QP N 1`-=()()11`1---=PQ M PQ 由于EQQ E PP T T ==,故T PQ 可逆，又由于：（1111)()()T TPQ PQ PQ Q P ----=T T QP PQ =E=所以1-PQ 是正交矩阵故M ～N NM ≅,结论2.4若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同．证明不妨A 是正交矩阵,则A 可逆取,A P =,有()()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似，又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同.结论2.5若A ～B ,且B A ≅，C ～D 且D C ≅，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B0，⎪⎪⎭⎫⎝⎛≅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D BC A 0000证明从已知，C ～B ,C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得BAP P =-111DCP P =-212令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210P P P 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1211100P P P且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---21211110000CP P AP P P C A P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B00故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B0又因为D C B A ≅≅，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ，使得1122,T T T AT B T CT D==令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2100T T T 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TT T T T 2100然而112200000000T TT T A A T T T T C C T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11220000TT T T T T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11220000T TB T AT D T CT ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00≅⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 03相似矩阵的应用3.1相似矩阵的简单应用[8]在矩阵m A 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()P B P BP P A m mm 11--==，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
相似,合同,正交
相似，合同与等价1 等价的意思就是秩相等 PA=B 说明行向量组秩相等 AP=B 是列。
当A为方阵时候 PAQ=B秩相等2正交就是说里面的行（列）全部正交3相似说明AB 等秩，行列式一样，特征值一样但是特征向量不同，相似能推出合同实数对称矩阵一定能有N个正定的特征向量（其他矩阵只能推出线性无关）一定有对角矩阵与其对应。
A行列式=0 说明有秩为04A合同B （等秩）就是说正负惯性指数一样，其他的都可能不同就是说A秩是正数个数和B一样负的个数也一样， 0 非负非正。
也可以数二次型的平方的系数正负的数量是一样的，用这2种方法解题目。
求秩，求二次型系数5正定（等秩）说明实对称矩阵的特征值全部大于0 ，主子式也大于0 ，相互间的行列式符号一样，对角线上的数全为正6对于实对称矩阵，相似一定合同，但是合同不一定相似。
考察合同关键看正负惯性指数。
所以只要判断出两个秩相等的实对称矩阵的特征值符号就行了。
7矩阵的三种关系：1等价：s*n矩阵A,B等价<=>存在可逆的s阶P和n阶Q使得B=PAQ.2合同：A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得PAP=B。
3相似：A,B，均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得P-1AP=B。
(若P正交，则为正交相似矩阵)4三种关系的联系：a，相似矩阵一定是等价矩阵，反之不然。
b，A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,且PQ=E,则A与B相似。
c，正交矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵比为相似矩阵;相似阵，合同阵必为等价阵，反之不然；相似阵为正交相似，合同阵为正交合同，此时相思和合同一致。
d，相似与合同矩阵之等价TH:1、A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A与B既相似又合同。
（实对称矩阵可以正交对角化）2、n阶矩阵A与B中只有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同。
3、A与B相似且合同，C与D相似且合同,则（A O/OC）与(BO/OD)既相似又合同。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
等价、相似、合同的关系
矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険.1）定义及相互之间的关系设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称£与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示*2）性质（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即A - At At A a A （反身性）；若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；若』卷R,若A", K〜C则貝〜C；若, B^C则/ = C（传递性）•（2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S・若rank 4 = F *则（£A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形O O⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4与必的特征值相同不能筆知』〜J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.（3）用正交相似变换可将/化简成Q J AQ=Q-l AQ^对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.。
矩阵的等价,合同,相似的联系与区别
目录摘要 (I)引言 (1)1矩阵间的三种关系 (1)1.1 矩阵的等价关系 (1)1.2 矩阵的合同关系 (1)1.3. 矩阵的相似关系 (2)2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)结束语 (6)参考文献 (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.性质1（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅定理1 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m nI PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =性质2（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212r f y y y =++ 1.3. 矩阵的相似关系定义3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1性质3(1)反身性 T A E AE = ;(2)对称性 由T B C AC =即得()11T A C BC --=;（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T A C C A C C总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) 11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）； (5）1111212()()()P A A P P A P P A P ---=；(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111P AP B -=，此时若记11P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．定理 6 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即111P AP B -=,则矩阵,A B 也相似．定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11TP AP B =，若记1TP P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，则有1T B P AP P AP -==，即A 与B 合同.同理，若存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A 与B 合同，则有1~T B P AP P AP A B -==⇒由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21因为A 与n 阶实对称矩阵，则一定存在一个n 阶正交矩阵 Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211从而有BP P AQ Q 11--= 将上式两边左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B 由于T Q Q E =,T P P E =,1P P E -=有()()()()1111111T T T T QP QP P Q QP P EP PP E -------====,所以，1-P Q 是正交矩阵，由定理8知A 与B 相似．定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U A =,有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===，则AB 与BA 相似，又知A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同．定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00 既相似又合同． 证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，故存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P CP D --==,令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似． 又因为A 与B 合同，C 与D 合同,故存在可逆矩阵12,Q Q , 122,T T Q AQ B Q CQ D ==令1200Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭而1200T T T Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T T B Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同． 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：[1]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社,1983.[2]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.[3]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988 .[4]李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2006.[5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高等教育出版社.，2001.[6]阎家灏.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社.，1994.。
矩阵之间的三个关系总结
矩阵之间的三个关系总结
来源：文都教育
相信在学习《线性代数》的过程中，同学们和我一样都对矩阵之间的三个关系印象深刻，但又因为这三个关系之间类似的表现形式让人欢喜让人忧，等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵每每出现都要经历一番头脑风暴。
为了在考试中不再因此带来困扰，本文将这三种关系列出，理清每种关系的特征，使同学们再也不用担心碰到三种关系时不知所措。
以上总结了等价矩阵、相似矩阵和合同矩阵的定义和一些性质，在具体的题目中往往会将其结合起来进行考查，因此掌握他们的本质特征至关重要。
通过比较记忆再结合一些有针对性的习题，相信与这部分内容有关的题目可以迎刃而解。
矩阵合同与相似
矩阵合同与相似矩阵合同与相似是线性代数领域中重要且相关的概念。
矩阵合同是指两个矩阵A和B满足一定的条件，而矩阵相似是指两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹。
下面将详细介绍这两个概念及其相关性。
首先，我们来定义矩阵合同。
给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是合同的。
换句话说，两个矩阵合同的条件是它们可以通过一次相似变换后得到。
根据矩阵合同的定义，我们可以得出以下结论：1. 矩阵合同是一个等价关系。
即，对于任意的矩阵A、B和C，有以下三个性质：- 自反性：A合同于自身，即A≈A；- 对称性：如果A合同于B，则B合同于A；- 传递性：如果A合同于B，且B合同于C，则A合同于C。
2. 矩阵合同保持矩阵的特征值不变。
如果A合同于B，那么A和B具有相同的特征值。
接下来，我们来介绍矩阵相似。
给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是相似的。
与矩阵合同相似，矩阵相似也是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
矩阵合同和相似的联系在于它们都描述了矩阵之间的一种等价关系。
矩阵相似是一种较强的等价关系，因为它要求矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P。
而矩阵合同是相似的一种特殊情况，它只要求存在一个非奇异矩阵P即可。
因此，矩阵相似是矩阵合同的一种更加严格的要求。
矩阵相似在线性代数中有着广泛的应用。
例如，矩阵相似关系可以帮助我们简化矩阵的计算。
通过寻找一组相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵转化为一个更加简单的形式，从而便于计算和分析。
此外，矩阵相似还可以帮助我们理解矩阵的几何意义。
对于一个可对角化的矩阵A，如果存在一个相似变换P，使得A=PDP⁻¹，其中D是对角矩阵，那么矩阵A的几何意义就可以通过对角矩阵D来表示。
换句话说，相似变换可以将原始矩阵的几何性质转化为对角矩阵的几何性质，从而更容易理解。
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为AB≅。
2、性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.（二）矩阵的合同： 1、定义：两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P TAP B=成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =（三）矩阵的相似 1、定义：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。
3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
矩阵等价、相似、合同的判断
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数学学习与研究 2019. 15
高教视野
10
GAOJIAO SHIYE
具备从客观事物 提 炼 数 学 问 题 的 能 力，然 后 结 合 自 身 所 学 的数学知识，对提炼出的问题进行论证和推理，最后对得到 的结果进行验证． 在这一过程中，学生必须架构出一个完善 的理论逻辑体系，在此基础上开展丰富多彩的数学活动． 要 达到这一目的，教 师 必 须 引 导 学 生 做 好 知 识 概 括 和 体 系 架 构工作，例如，在课堂上开展智力游戏，例如，24 点、九连环、 高斯的猜想等，然后在游戏中总结归纳数学知识［2］．
xT Bx = x=Qz zT QT BQz = zT Λz． 可知二次型 xTAx 与 xTBx 具有相同正负惯性指数．
Ep
设
Λ
=
－ Eq
，即正惯性指数为 p，负惯
On － p － q
性指数为 q． 二次型 xT Ax 与 xT Bx 具有相同正负惯性指数，一定存
在可逆的线性变换 x = Py 与 y = Qz，使得 xT Ax = yT Λy，xT Bx = zT Λz，
实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值，存在正交矩阵使
得 A 与 B 一定相似于相同的对角阵，由相似关系的传递性
知，A 与 B 相似．
证毕． ② 实对称矩阵 A 与 B 合同二次型 xTAx 与 xTBx 具
有相同正负惯性指数．
证明 A 与 B 合同，即存在可逆矩阵 P，使得 PT AP = B． 由于
（ 2） 可以借助一些必要条件来判定矩阵不相似：
若 A 与 B 相似A 与 B 有相同的特征值；
A 与 B 有相同的迹；
|A| = |B|．
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.（二）矩阵的合同： 1、定义：两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =（三）矩阵的相似 1、定义：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
矩阵的合同与相似及其等价条件汇总
矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院（数学与统计学院 09 09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助. .1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义 1.1 1.1 如果矩阵如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2 1.2 如果如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的是等价的. .根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3 1.3 设矩阵设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2]定义 1.4 1.4 设矩阵设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1 1.1 反身性，即任一反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似与自身相似. .性质1.2 1.2 对称性，即如果对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 1.3 传递性，如果传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C . 性质1.4P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. . （（21,k k 是任意常数）性质1.5 ))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.性质1.6 若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与mB 相似相似. . . （（m 为正整数）为正整数）证明证明 存在一个可逆矩阵存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么，那么()P A P B APPmmm11--==，故可以得到mA 与相mB 相似相似. .性质1.7 1.7 如果矩阵如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1-B ～1-A . 证明证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B APP11111-----==，故可以得到1-B ～1-A .性质1.8 1.8 如果矩阵如果矩阵A ～B ，那么B A =.证明证明 存在一个可逆矩阵存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.性质1.9 1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆..并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似逆矩阵也相似. .证明证明 设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()P A P APPB 11111-----==，从而1-B 和1-A也相似也相似. .若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆也不可逆. .性质1.10 相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的特征值. .证明证明 设AP P B 1-=，AP P EP P B E 11---=-l l()P A E P -=-l 1AE -=l故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值有相同的特征值. .性质1.11 相似矩阵有相同的迹相似矩阵有相同的迹. .证明证明 可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，()()AP Pt B t rr 1-=()PAPt r1-=()A t r =例 1 ÷÷øöççèæ=3002A ，÷÷øöççèæ=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩的特征多项式，特征值秩,,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？是否相似，它们之间有什么关系？解 从已知可知从已知可知63002==A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r对于A 的特征多项式32--=-l l l A E )3)(2(--=l l故A 的特征值为2和3.对于矩阵B ,62003==B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r矩阵B 的特征多项式)3)(2(23--=--=l l l l B .故矩阵B 的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵存在一个可逆矩阵÷÷øöççèæ=0110P 使得B AP P =-1，从定义矩阵B 与矩阵A 相似相似.. 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].例2 设实数域上的3级实对称矩阵÷÷÷øöçççèæ------=124242421A ，对角矩阵÷÷÷øöçççèæ-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如果相似求出可逆矩阵P .解 由矩阵由矩阵A 的特征多项式为11020242421124242421-+---=---l l l l l l l100242421---=l l l )4()5(2+-=l l 故矩阵A 的特征值为5和—和—4. 4.容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，的相同，故矩阵B 的特征值为5和-4.-4.那么存在一个可逆矩阵那么存在一个可逆矩阵P ,÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ--=325310315152552325154551P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式相似，它们有相同的特征值和特征多项式. . 1.3 矩阵合同的定义[2]定义1.5 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T=，则称A 与B 合同，记作B A @. n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴ 反身性反身性: : : 即任一即任一n 级矩阵与自身合同级矩阵与自身合同. . ⑵ 对称性对称性: : : 即如即如A 与B 合同，则B 与A 合同合同. .⑶ 传递性传递性: : A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同合同. . ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型合同的两矩阵有相同的二次型标准型. . ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. .⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等. .2. 合同矩阵与相似矩阵的关系2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴ 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性反身性、对称性、传递性. .⑵ 相似相似相似 、合同矩阵均有相同的秩、合同矩阵均有相同的秩. .若矩阵若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Ra n k A Ra n k=，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Ra n k A Ra n k =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同. .⑶ 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵相似与合同的矩阵要求是同型的方阵相似与合同的矩阵要求是同型的方阵. . 若矩阵若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵方阵..就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. . 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值征值..但若A @B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值征值..例1 1 设设÷÷÷øöçççèæ----=542452222A ,÷÷÷÷÷÷÷øöçççççççèæ---=32455032454513145252T ,÷÷÷øöçççèæ=1000010001B , 不难验证：不难验证：B AT T T=，有B A @.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况行列式不等的情况. .例2 ÷÷øöççèæ=3221A ，÷÷øöççèæ--=12441B ，÷÷øöççèæ-=2001C .经过验证可以知道经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T=，B A ¹，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等，但是行列式可以不等. .我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. .我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是，于是111()E B E P AP P E P P AP l l l ----=-=-=1()P E A P l --=E A l -故特征值相同故特征值相同. .然而对于矩阵然而对于矩阵A 合同与矩阵B ，但是它们的特征值不一定相同，但是它们的特征值不一定相同::例3 设÷÷÷÷øöççççèæ=121211A ，÷÷øöççèæ=43001B ，÷÷øöççèæ-=10211C 不难验证不难验证B AC C T=,即B A @，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和43 显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. .2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论2.1 2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵. .证明 设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A @.反过来，对于矩阵÷÷øöççèæ=010001A ，÷÷øöççèæ=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相似.结论2.2 2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵. .证明证明 设设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T=1， 若记11,P Q P P T== , ,则有则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价等价. .反过来对于矩阵÷÷øöççèæ=1001A ,÷÷øöççèæ=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相似的关系[7]结论 2.3 2.3 如果如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似同又相似. .证明证明 设设M 、N 的特征值均为1l 、2l 、 n l ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：÷÷÷øöçççèæ=-n MP P l l 11同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：，使得：÷÷÷øöçççèæ=-n NQ Q l l 11从上面两式有：从上面两式有：NQ Q MP P 11--=将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：，得：MPQ QP N 1`-= ()()11`1---=PQ M PQ由于由于 E QQ E PP TT==, 故 TPQ 可逆，又由于：可逆，又由于：（1111)()()TTPQ PQ PQ Q P ----=TTQP PQ =E =所以1-PQ 是正交矩阵是正交矩阵故M ～N N M @,结论2.4 2.4 若若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同．相似且合同． 证明证明 不妨不妨A 是正交矩阵是正交矩阵,,则A 可逆取可逆取,,A P =, 有()()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似，相似， 又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同既相似又合同. .结论2.5 2.5 若若A ～B ,且B A @，C ～D 且D C @，则，则÷÷øöççèæC A 00～÷÷øöççèæD B 00，÷÷øöççèæ@÷÷øöççèæD B C A 0000证明证明 从已知，从已知，C ～B , C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得使得B APP=-111 DCP P =-212令 ÷÷øöççèæ=2100P P P 则 ÷÷øöççèæ=---1211100P P P且 ÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ---21211110000CP P APP P C A P÷÷øöççèæ=D B00 故 ÷÷øöççèæC A 00～÷÷øöççèæD B 00 又因为D C B A @@，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ， 使得使得 1122,TT T AT B T CT D ==令÷÷øöççèæ=2100T T T 则 ÷÷øöççèæ=T TTT T T 2100 然而然而 112200000000T TT T A A T T T T C C T æöæöæöæö=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø 11220000TT T T T T æöæö=ç÷ç÷èøèø 11220000T T B T AT D T CT æöæö==ç÷ç÷èøèø 故 ÷÷øöççèæC A 00@÷÷øöççèæD B 003 相似矩阵的应用3.1 相似矩阵的简单应用[8]在矩阵mA 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵为可逆矩阵,,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()P B P BP P A mmm11--==，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。
等价，相似，合同性质（转）
等价，相似，合同性质（转）矩阵等价定义如果矩阵A经过有限次初等⾏变换变成矩阵B，就成矩阵A与B⾏等价。
如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，就成矩阵A与B列等价。
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。
性质反⾝性：A~A对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B,B~C,则A~C推论：有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满⾜B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。
r(A)=r(B），且A与B为同型矩阵。
矩阵相似定义设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵，对A进⾏运算P^(-1)AP称对A进⾏的相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。
性质1.若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从⽽A与B的特征值相同。
2.n阶矩阵A与对⾓矩阵相似（A可以对⾓化）的充分必要条件是A有n个线性⽆关的特征向量。
推论若n阶矩阵A与对⾓矩阵相似，则λ1,λ2,λ3....λn即是A的n个特征值。
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对⾓矩阵相似。
A与某对⾓矩阵相似，B也与该对⾓矩阵相似，则A与B相似。
|A|=|B|，r(A)=r(B),A与B迹相等。
矩阵合同⼀般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在⼆次型中。
⼆次型⽤的矩阵是实对称矩阵。
两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。
由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。
定义b两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C使得C^(T）AC=B，则称A与B合同，并称由A到B的变换为合同变换，称C为合同变换的矩阵。
⼀个⼆次型是半正定⼆次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。
对于半正定⼆次型，其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到⼀个对⾓线元素只由0和1构成的对⾓矩阵。
正定⼆次型对应矩阵⼀定是可逆矩阵，且⾏列式⼤于0。
线性代数关于等价、相似、合同的对比精品资料
定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。
等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；对称性若A与B等价，则B与A等价传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。
2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B原理：AX＝B时（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。
解：由方程XA＝B XAA-1＝B A-1解为x= B A-1要注意的是，矩阵方程XA＝B的解为x= B A-1，而不可以写成x= A-1B。
因为X满足XA＝B X T满足A T X T＝B T从而有X T=（A T）-1 B T=（BA-1）T所以，可以先用上述方法求解A T X T＝B T，再把所得结果X T转置即得所需的X＝BA-1。
定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。
向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有定义5.2.1 设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=p-1AP。
则称A 和B是相似的，记为A～B。
当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。
同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（1）反身性 A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。
事实上，有矩阵等式（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。
事实上，有（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。
事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ）定理5.2.1 相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。
等价相似和合同的关系以及条件
等价相似和合同的关系以及条件合同书关键信息项：合同编号：____________________________签署日期：____________________________甲方（合同一方）：名称：____________________________法定代表人/负责人：____________________________乙方（合同另一方）：姓名：____________________________身份证号：____________________________合同标的：项目/服务名称：____________________________描述：____________________________合同金额：总金额：____________________________支付方式：____________________________履行期限：起始日期：____________________________终止日期：____________________________合同履行地点：____________________________等价相似条款：描述：____________________________争议解决方式：争议解决机构：____________________________适用法律：____________________________其他约定事项：____________________________1. 合同目的本合同旨在明确甲方与乙方在[合同标的]的合作关系，确保双方在履行合同过程中的权益得到保护，并规定等价相似的条件和处理方式。
2. 合同标的2.1 甲方同意提供[合同标的]，乙方同意接受并支付相应的费用。
2.2 合同标的的具体内容包括[详细描述合同标的]，双方应确保标的物或服务的质量符合合同约定。
3. 合同金额及支付3.1 本合同的总金额为人民币[具体金额]元。