求极值的若干方法
函数极值求解题技巧
函数极值求解题技巧在数学中，求解函数的极值是一个经常遇到的问题。
极值是指在一定区间内，函数取得最大值或最小值的点。
解决函数极值问题的方法有很多，下面介绍一些常用的技巧。
1.求导法求导法是求解函数极值的基本方法之一。
主要步骤如下：（1）对给定的函数，将其关于变量求导，得到导数函数。
（2）将导数函数置为0，求解方程。
（3）解得方程的解即为函数的极值点。
（4）通过二阶导数来判断极值的类型：若二阶导数大于0，则该点是极小值点；若二阶导数小于0，则该点是极大值点；若二阶导数等于0，则需要进一步分析。
2.边界值法边界值法适用于区间上包含有限个点的情况。
主要步骤如下：（1）在区间的边界处计算函数值。
（2）比较边界处的函数值，找出最大值或最小值。
（3）这些最大值或最小值都可能是函数的极值。
3.对称性法对称性法适用于具有一定的对称性质的函数。
主要步骤如下：（1）根据函数的对称性特点，找出函数取极值的位置。
（2）通过计算函数在取极值位置的导数，判断极值的类型。
4.二分法二分法适用于函数在一个区间上单调递增或单调递减的情况。
主要步骤如下：（1）找出一个区间，使得函数在该区间上单调递增或单调递减。
（2）取区间的中点，计算中点的函数值。
（3）根据函数值的大小关系，确定下一次迭代的区间。
（4）重复以上步骤，直到找到函数的极值。
5.最大值和最小值的性质对于连续函数，最大值和最小值都会在闭区间内取得。
所以可以先计算出闭区间的边界值，再计算函数在闭区间内的驻点，最终比较这些值找出极值。
6.二次函数的极值对于二次函数，其形式为y=ax^2+bx+c。
当a>0时，函数开口向上，最小值在顶点处取得；当a<0时，函数开口向下，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为-b/2a，代入函数求得最大值或最小值。
除了以上提到的方法，求解函数极值还可以利用拉格朗日乘数法、柯西不等式等高级方法。
不同的函数具有不同的特点，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧
一、求函数极值的最基本方法
1、用微积分中的导数（Derivatives）法。
即要求函数极值问题，可
以将其转化为求解极值点，也就是求求函数的导函数为0时，函数的值最
大最小的解，即求函数的极值点。
2、用泰勒展开（Taylor Series）法。
这是一种利用因式分解法求函
数极值。
如果一个函数f(x)可以被表示为f(x)，则它就可以按一定形式
分解成：f(x)=a₁+a₂x+a₃x2+a₄x3....，在这种分解的基础上，再算出
f'(x)=a₂+2a₃x+3a₄x2....，将f'(x)的值设置为0，即可求出此时函数f(x)的极值点。
3、用函数增减（Functional Increasing and Decreasing）法：研
究函数的单调增减性，通过对函数的单调增减性来判断函数的极大值和极
小值。
根据单调性原理，函数在单调递增的区间或单调递减的区间内，极值
只有一个，该函数极值即为极大值或极小值。
当函数在同一区间内的一些
点发生折点时，这个折点对应的函数值，即为函数在整个区间的极值，此
时的折点为函数的极值点。
二、极值点的确定方法
1、求解函数的单调性。
单调性主要是指函数在其中一区间上的曲线
轨迹是单调递增或者是单调递减的。
当函数在区间内的特定点发生折点时，这个折点就是函数的极值点。
2、求解导函数的。
求极值的若干方法
求极值的若干方法求解函数的极值是数学分析中重要的问题之一、找出函数的极值可以帮助我们确定函数的最大值或最小值，并且有助于解决各种实际问题。
本文将介绍常见的求解极值的若干方法。
一、导数法（一阶导数法、二阶导数法）导数是函数在其中一点的变化率，求导数的过程可以帮助我们确定函数的增减性，从而找出函数的极值点。
常见的导数法包括一阶导数法和二阶导数法。
1.一阶导数法：首先求函数的一阶导函数，然后将导函数等于零，解出方程得到函数的临界点，再将临界点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
2.二阶导数法：首先求函数的二阶导函数，然后将二阶导函数等于零，解出方程得到函数的拐点，再将拐点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
二阶导数法可以帮助我们判断函数的临界点是极值点还是拐点。
二、边界法（最大最小值定理）边界法是基于最大最小值定理求解函数极值的方法。
最大最小值定理指出，在闭区间内的连续函数中，最大值和最小值一定存在。
因此，我们可以通过求解函数在闭区间端点和临界点处的函数值，找出函数的最大值或最小值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是用于求解带约束条件的极值问题的方法。
在求解极值问题时，如果还存在一些约束条件，可以引入拉格朗日乘数，通过构建拉格朗日函数，将约束条件加入目标函数中，然后求解拉格朗日函数的极值点。
最终，通过求解得到的极值点，再进行函数值的比较，找出最大值或最小值。
四、二分法二分法是一种在有序列表中查找特定元素的方法，也可以用于求解函数的极值。
二分法的基本思想是通过将区间一分为二，然后比较中间点与两侧点的大小关系，逐步缩小范围，最终找出函数的极值点。
二分法的效率较高，适用于一些连续单调函数。
五、牛顿法牛顿法是一种用于求解多项式函数的根的方法，也可以用于求解函数的极值。
牛顿法的基本思想是通过构建一个逼近曲线，以曲线与函数的交点为新的逼近值。
然后不断迭代逼近，最终找到函数的极值点。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧求极值（即最大值或最小值）是数学中的一个重要问题，对于实际问题的解决非常有帮助。
在解决求极值问题时，有几种方法和技巧可以帮助我们找到最优解。
一、导数法导数法是求取函数极值的一种重要方法。
它的基本思想是通过求取函数的导数来研究函数的增减性，从而得到函数的最值。
1.确定函数的定义域：首先需要确定函数的自变量范围，即函数是定义在哪个区间上的。
2.求导数：对于给定的函数，求取其导函数。
3.找到导数为零的点：求解导函数等于零的方程，在这些点处函数的导数为零，也就是函数的极值点。
4.检查极值：计算极值点的函数值，比较得出最大值或最小值。
例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，我们可以通过求导数的方法来求取极值。
首先求导函数f'(x)=2x-4，然后将导函数等于零，得到方程2x-4=0，解出x=2接下来，将x=2代入原函数中，得到f(2)=(2)^2-4(2)+3=-1所以，函数f(x)的极小值为-1，当且仅当x=2时。
二、二次型矩阵法对于二次型矩阵，我们可以通过计算其特征值和特征向量来求取极值。
1.构造二次型矩阵：将函数转化为一个二次型矩阵，即通过展开函数，并将其写成矩阵的形式。
2.求取特征值和特征向量：计算二次型矩阵的特征值和特征向量。
3.判断极值：根据特征值的正负情况来判断函数的极值。
如果特征值都大于零，那么函数有一个极小值。
如果特征值都小于零，那么函数有一个极大值。
如果特征值既有正数又有负数，那么函数没有极值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解约束问题的极值方法，可用于求解带有约束条件的极值问题。
1.确定函数和约束条件：首先需要将函数和约束条件写出来。
2.构造拉格朗日函数：将约束条件乘以一个拉格朗日乘子，并与原函数相加，形成一个新的函数。
3.求取梯度：对构造的拉格朗日函数求取梯度，得到等于零的方程组。
4.解方程组：求解方程组，得到自变量的值。
5.检查极值：将求得的自变量代入原函数中，求取函数的极值。
高考复习专题四—求极值的六种方法
高考复习专题四—求极值的六种方法求极值是高考数学中常考的一个重要知识点。
掌握求极值的方法能够帮助我们解决一些实际问题，也能够在高考中拿到高分。
下面我们来分析一下求极值的六种方法。
一、函数图象法通过观察函数的图象，我们可以找到函数的极大值和极小值。
要找到函数的极值，首先我们需要画出函数的图象。
然后观察图象，找到曲线上最高点和最低点，这些点就是函数的极大值和极小值。
二、导数法借助导数的性质，我们可以求出函数的极值点。
求极值点的过程分为两步：一是求出函数的导数；二是令导数等于零，解方程求出极值点。
极大值和极小值点都是函数导数等于零的点，但是需要注意导数为零的点不一定都是极值点，还需通过二阶导数判断。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求极值的常用方法，它可以用来求解具有约束条件的极值问题。
当我们需要在一定条件下最大化或最小化一个函数时，可以利用拉格朗日乘数法。
在解题过程中，我们需要设置一个拉格朗日函数，通过求偏导数找到极值点。
需要注意的是，拉格朗日乘数法的求解过程较为繁琐，需要较强的数学功底。
四、几何法有些极值问题通过几何方法可以得到比较简单的解法。
例如，其中一函数的值随着其中一个变量的增大而增大，那么这个函数的最大值一定在这个变量的取值范围的边界上取到。
同理，这个函数的最小值也在这个变量的取值范围的边界上取到。
五、代数方法有时候，我们可以通过巧妙地构造一个代数式来求解极值问题。
可以使用变量代换、平方等技巧，将原问题转化为一个更容易求解的问题。
例如，利用平方差公式可以将一个含有平方项的多项式转化为一个差的平方的形式，从而更容易求得极值点。
六、综合运用方法有些问题的求极值过程比较复杂，需要综合运用上述多种方法来求解。
在解题过程中，我们可以根据题目的要求和条件，灵活地选择合适的方法来求解。
以上是求极值的六种方法的解析。
在高考复习中，我们需要理解这些方法的原理和应用场景，并通过大量的练习来提高解题的能力。
函数极值的求解方法
函数极值的求解方法函数极值是许多数学问题中的关键，它们可以帮助我们确定函数的最大值或最小值。
在现实生活的许多场景中，寻找函数的极值可以帮助我们做出更好的决策。
然而，函数极值的求解方法并不是那么容易的事情。
在本文中，我们将探讨一些常见的函数极值求解方法。
一. 常数法常数法是最简单的寻找函数极值的方法。
这个方法认为，如果一个函数在某一个点处取得了最大值或最小值，那么这个点的一阶导数应该等于零。
因此，我们只需要求出函数的一阶导数，然后令它等于零，就可以求出函数的极值点。
常数法的优点在于其简单和直观，而且可以用于多种函数形式。
然而，这个方法也有缺点，因为函数可能在极值点处不连续，或者在这些点处存在重复的极值。
此外，它也无法处理高次导数。
二. 二分法二分法是另一个寻找函数极值的方法。
这个方法认为，如果一个函数在某个区间内单调递增，那么它在这个区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值。
因此，我们可以通过二分法来不断缩小区间，直到确定函数的极值。
二分法的优点在于其简单和直观，而且可以用于多种函数形式。
此外，它也可以处理高次导数和函数不连续的情况。
然而，这个方法需要反复迭代，所以运算速度可能不够快。
三. 牛顿法牛顿法是一种迭代算法，用于逼近函数的极值点。
这个方法认为，如果一个函数在某个点上有极值，那么它在这个点的一阶导数应该等于零。
我们可以通过不断迭代来逼近函数的极值点。
牛顿法的优点在于其快速收敛和可以处理高次导数的能力。
然而，这个方法有一些缺点。
首先，它需要一个初始点。
如果初始点不好选择，那么该算法可能会失败。
其次，当函数有多个极值点时，牛顿法可能只能找到其中一个。
最后，这个方法可能会遭遇数值上的问题，如数值不稳定、迭代过程崩溃等。
综上所述，常数法、二分法和牛顿法都是常见的函数极值求解方法。
每种方法都有优缺点，需要根据具体情况选择最适合的方法。
对于某些特定的函数形式，可能还需要使用更复杂的方法，如拉格朗日乘数法、约束条件下极值法等。
函数条件极值的若干求法
在数学中，函数条件极值是指在满足特定条件的情况下函数取得的最大值或最小值。
下面是求解函数条件极值的一些常用方法:
1.利用函数的导数求解: 如果函数的导数为零，并且这个点处于单峰或单谷的位置，
那么这个点就是函数的条件极值。
2.利用函数的二阶导数求解: 如果函数的二阶导数的符号在满足特定条件的情况下发
生变化，那么这个点就是函数的条件极值。
3.利用函数的单调性求解: 如果函数在满足特定条件的情况下单调递增或单调递减，
那么函数在这段区间内的端点就是函数的条件极值。
4.利用函数的图像求解: 在满足特定条件的情况下，函数的图像可能存在拐点或者分
界线，这些点就是函数的条件极值。
5.利用数值方法求解: 可以通过暴力枚举或者递归搜索的方法来求解函数的条件极值。
常见的函数条件极值包括函数的极大值、极小值、局部极大值、局部极小值等。
求解函数条件极值时，需要特别注意的是，函数的条件极值不一定是函数的全局极值，也就是说，函数的条件极值可能只是函数在某一特定区间内的极值，而不是整个函数的极值。
此外，在求解函数条件极值时，还需要特别注意条件的具体内容，因为条件的不同会导致函数的条件极值也不同。
例如，如果条件是函数在某一特定区间内单调递增，那么函数在这个区间内的端点就是函数的条件极值；如果条件是函数的导数为零，那么函数的拐点就是函数的条件极值。
为了求解函数条件极值，需要结合函数的性质和条件的具体内容，并运用相应的数学方法来求解。
求极值的方法
求极值的方法在数学中，求极值是一个非常重要的问题，它涉及到函数的最大值和最小值，对于优化问题和实际应用都具有重要意义。
本文将介绍一些常见的求极值的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一数学概念。
一、导数法。
求极值的常见方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。
具体来说，我们首先求出函数的导数，然后令导数等于零，解出方程得到极值点的横坐标，再代入原函数求得纵坐标，就可以得到函数的极值点。
二、二阶导数法。
除了利用一阶导数来求极值外，我们还可以利用二阶导数。
对于函数的极值点，其一阶导数为零，而且二阶导数的符号可以告诉我们这个极值点是极大值还是极小值。
当二阶导数大于零时，函数在该点取得极小值；当二阶导数小于零时，函数在该点取得极大值。
三、拉格朗日乘数法。
对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法。
这种方法适用于多元函数的极值求解，通过引入拉格朗日乘数，将带有约束条件的极值问题转化为无约束条件的极值问题，然后利用导数或者其他方法求解。
四、牛顿法。
牛顿法是一种迭代求解的方法，可以用来求函数的零点，同时也可以用来求函数的极值点。
通过不断迭代，我们可以逼近函数的极值点，从而得到极值的近似解。
五、凸优化方法。
对于凸函数的极值问题，我们可以使用凸优化方法来求解。
凸优化是一类特殊的优化问题，其解具有良好的性质和稳定性，因此在实际问题中有着广泛的应用。
六、遗传算法。
除了传统的数学方法外，我们还可以利用遗传算法来求解极值问题。
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，通过不断迭代和选择，可以得到函数的极值点。
综上所述，求极值的方法有很多种，不同的方法适用于不同的问题，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
希望本文对读者有所帮助，能够更好地理解和掌握求极值的方法。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧求极值是数学中的重要问题，涉及到函数的最大值和最小值。
在解决求极值的问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们更好地处理。
一、导数法求极值最常用的方法之一就是导数法。
导数是函数变化率的一种测量方式，通过求函数的导数，可以找到函数的临界点，即函数取得极值的点。
1.寻找导数为零的点极值点在导函数为零的点上，因此可以通过求导数，令导数等于零并解方程，得到函数的极值点。
求导数时，需要注意函数定义域和导数存在的条件。
2.寻找导数不存在的点导数不存在的点也可能是函数的极值点，可以通过求导数，找到函数导数不存在的点。
3.寻找导数符号变化的点如果函数在其中一区间内导数的符号发生变化，那么这个区间内一定存在极值点。
可以通过列出导数符号变化的条件，找到极值点所在的区间。
二、函数图像法函数图像是函数性质的直观表达。
通过观察函数的图像特征，可以找到函数的极值点。
1.求函数的零点函数零点是函数与横轴交点的横坐标，也是函数的极值点。
可以通过求解函数的零点，得到函数的极值点。
2.寻找函数上下凹区域函数在上凹区域和下凹区域会有极值点存在。
可以通过函数的二阶导数（二阶导数大于零的区域为上凹区域，小于零的区域为下凹区域）找到函数的凹凸性，从而确定极值点所在的区域。
3.观察振荡特征如果函数在其中一区间内振荡变化，那么该区间内一定存在极值点。
可以通过观察函数的振荡特征，找到函数的极值点。
三、辅助工具法除了导数法和函数图像法外，还可以借助辅助工具来求极值。
1.使用微积分软件微积分软件可以帮助我们对函数进行求导和求积等计算，大大简化了求极值的过程。
可以通过微积分软件的计算功能，得出函数的极值点。
2.英文和图表分析有时，通过阅读相关文献或分析数据图表，我们可以发现规律，从而找到函数的极值点。
这种方法可以在应用领域中得到广泛应用。
总结起来，求取极值的方法与技巧主要包括导数法、函数图像法和辅助工具法。
其中，导数法是求解极值最常用的方法，通过求函数的导数，找到其临界点即为极值点；函数图像法通过观察函数图像特征、求函数的零点和凹凸区域来找到极值点；辅助工具法则借助于微积分软件、英文和图表分析等辅助工具来求解极值。
求极值的方法有多少种类型
求极值的方法有多少种类型
求极值的方法有以下几种类型：
1. 导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，然后判断该点是极大值还是极小值。
2. 二阶导数法：通过求函数的二阶导数，判断二阶导数的符号来确定极值点的类型。
3. 等式法：将函数的表达式转化为一个等式，然后通过解等式的方法找到极值点。
4. 梯度下降法：通过迭代的方式，不断地调整自变量的取值，使得函数的值逐渐趋近于极小值。
5. 约束条件法：在一定的约束条件下，找到函数的最大值或最小值。
6. 极值判别法：通过判别式来判断函数的极值点的类型。
7. 极值定理：根据极值定理，如果函数在一个区间内连续且可导，并且在该区间的端点处的函数值不等于无穷大，则在该区间内一定存在极值点。
8. 拉格朗日乘数法：在一定的约束条件下，通过引入拉格朗日乘子，将求极值的问题转化为求解方程组的问题。
9. 条件极值法：在满足一定的条件下，求解函数的最值。
10. 数值优化法：通过计算机的数值计算方法，找到函数的最值近似解。
求极值的若干方法
求极值的若干方法极值问题是数学中常见的一类问题，指的是在一定范围内寻找函数取得最大值或最小值的点。
求解极值问题的方法多种多样，下面将介绍几种常用的方法。
一、导数法导数法是求解极值问题最常用的方法之一、它的基本思想是通过函数的导数来判断函数在其中一点的增减情况，进而推断函数的极值点。
求解步骤如下：1.求函数的导数。
2.解方程f'(x)=0，求出导数的根。
3.构造函数f(x)在导数根的左右区间上的函数表格，确定函数在这些区间上的增减情况。
4.根据增减情况和导数的性质，判断函数的极值点。
二、二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），它的最值可以通过二次函数的几何性质来求解。
1.若a>0，则f(x)的图像开口朝上，此时最小值为f(-b/2a)；2.若a<0，则f(x)的图像开口朝下，此时最大值为f(-b/2a)。
三、一元函数的最值对于一元函数f(x)，如果它在有限的区间[a,b]上连续，那么它在这个区间上必然有最大值和最小值。
我们可以通过以下方法来求解：1.求出函数的导数f'(x)。
2.求出f'(x)=0的解，这些点可能是函数的极值点。
3.将求得的解代入函数中，根据f''(x)的正负性判断这些点的类型（极大值点或极小值点）。
4.将区间的端点与求得的极值点比较，找出最大值和最小值。
四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解约束条件下的极值问题。
具体步骤如下：1. 建立带有约束条件的目标函数。
假设有一个目标函数f(x1,x2, ..., xn)，并且有一个或多个约束条件g(x1, x2, ..., xn)=0。
2. 设置拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ)=f(x1, x2, ...,xn)+λg(x1, x2, ..., xn)。
3. 分别对x1, x2, ..., xn和λ求偏导数，并令偏导数为0。
4.解方程组，并判断解是否满足约束条件。
求极值的方法
求极值的方法
求极值的方法有很多种，以下给出几种常见的方法：
1. 寻找零点：对于一元函数，可以通过求导并令导数为零，然后解方程找到函数的零点，即可找到函数的极值点。
通过判断零点的二阶导数的符号，可以确定该点是极大值点还是极小值点。
2. 利用函数性质：对于一些简单的函数，根据函数的性质可以直接得到其极值点。
例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx +
c$，当$a>0$时，函数的极小值点在顶点处，当$a<0$时，函数的极大值点在顶点处。
3. 利用辅助函数：对于一些复杂的函数，可以构造辅助函数来求极值。
例如，对于分式函数$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，可以
构造辅助函数$F(x) = g(x) - \lambda h(x)$，其中$\lambda$为待
定常数。
然后，求辅助函数的导数，并令导数为零，解方程得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。
4. 使用拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的极值问题，可以使用拉格朗日乘子法。
首先，将约束条件写成一个方程组，将目标函数与方程组进行组合，构造拉格朗日函数。
然后，对拉格朗日函数求偏导，并令偏导数为零，解方程组得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。
不同的函数和问题类型，适用的求极值方法也可能有所不同，需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，在求解过程中需要
注意辅助函数和方程的合理性，以及解的存在性和唯一性等问题。
高等数学求极值的方法
高等数学求极值的方法
高等数学中，求极值的方法有以下几种：
1. 导数法：对于一元函数，求解其导数，然后按照导数的性质判断临界点的类型（最大值、最小值还是拐点），再根据函数在临界点和区间端点的取值情况确定极值。
2. 条件极值法：对于含有一个或多个约束条件的极值问题，可以通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件求解导数为零的点，然后根据约束条件和拉格朗日函数在这些点上的取值情况确定极值。
3. 二阶导数法：对于二次函数，可以利用二阶导数的符号判断极值点的类型（凹点还是凸点），然后根据函数在极值点和区间端点的取值情况确定极值。
4. 参数法：对于含有参数的函数，可以通过求导数并整理化简后，推导出关于参数的方程，进而求解参数值对应的极值点。
5. 函数图像法：通过观察函数的图像，寻找函数的极大值和极小值。
求函数极值的若干方法
求函数极值的若干方法函数极值是数学分析中非常基础和重要的概念之一，研究函数的极值有助于我们了解函数的性质和行为。
在实际应用中，函数的极值问题也具有广泛的应用，比如优化问题、最优化问题等。
下面我将介绍一些常用的方法来求解函数的极值。
1.导数法：导数法是求解函数极值的最常用方法之一、对于定义在开区间上的函数，极值点一定是函数的驻点，也就是导数为零或不存在的点。
因此，我们可以通过求函数的导数来找到极值点。
具体的步骤如下：a.求取函数的导数。
b.令导数等于零，并解方程得到可能的极值点。
c.比较函数在极值点和区间端点处的函数值，找到函数的最大值和最小值。
2.高阶导数法：导数法能够找到函数的驻点，但并不能保证驻点就是极值点。
通过计算函数的高阶导数，我们可以进一步判断驻点的类型，从而确定是否为极值点。
具体步骤如下：a.求取函数的导数。
b.计算导数的导数，即求高阶导数。
c.令高阶导数等于零，并解方程得到可能的极值点。
d.比较函数在极值点和区间端点处的函数值，找到函数的最大值和最小值。
3.二次型理论：对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过二次型理论来求解极值点。
a.分别求取函数在区间端点和驻点处的函数值。
b.比较函数值，找到函数的最大值和最小值。
4.单峰函数的分段法：对于单峰函数，即在一些区间上具有唯一的极值点的函数，我们可以通过分段法来求解极值点。
具体步骤如下：a.将函数的定义域分为若干个小区间。
b.求取每个小区间内的驻点，并比较函数值。
c.找到最大值和最小值，即为函数的极值点。
5.约束条件法：对于有约束条件的函数极值问题，我们可以使用拉格朗日乘子法来求解。
具体步骤如下：a.构建拉格朗日函数。
b.求取拉格朗日函数的极值点。
c.比较极值点对应的函数值，找到函数的最大值和最小值。
除了以上方法，还有一些特殊函数的求解方法，如三角函数、指数函数、对数函数等。
对于这些特殊函数，我们可以通过函数的性质和特点来求解极值点。
总结起来，求解函数极值的方法多种多样，不同的函数和问题需要选择不同的方法来求解。
求极值的方法
求极值的方法一、导数法。
求极值的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的驻点和拐点，进而确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导数；2. 解出导数为0的方程，得到函数的驻点；3. 利用二阶导数的符号来判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
二、边界法。
对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过边界法来求取函数的极值。
具体步骤如下：1. 求出函数在闭区间端点处的函数值；2. 求出函数在闭区间内部的驻点；3. 比较上述所有点的函数值，最大值即为函数的最大值，最小值即为函数的最小值。
三、拉格朗日乘数法。
对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。
具体步骤如下：1. 根据约束条件建立拉格朗日函数；2. 求出拉格朗日函数的偏导数，并令其等于0；3. 解方程组，得到极值点。
四、牛顿法。
对于无法通过导数法求解的函数，我们可以使用牛顿法来求取函数的极值。
具体步骤如下：1. 选取一个初始点，计算函数在该点的函数值和导数值；2. 根据函数值和导数值，利用牛顿迭代公式来更新下一个点；3. 重复上述步骤，直到满足精度要求为止。
五、全局优化方法。
对于复杂的多维函数，我们可以利用全局优化方法来求取函数的全局极值。
常见的全局优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。
总结。
求极值是数学中的一个重要问题，我们可以利用导数法、边界法、拉格朗日乘数法、牛顿法以及全局优化方法来求解。
不同的方法适用于不同的函数和问题，我们需要根据具体情况来选择合适的方法。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
高中物理-求极值的六种方法
高中物理-求极值的六种方法求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。
下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。
一、导数法：导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。
极值点处的导数为零或不存在。
1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。
2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。
3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。
二、辅助线法：辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。
1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。
2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。
3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。
三、割线法：割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。
3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。
四、牛顿法：牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。
五、拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。
1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。
2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn)-c)，其中λ是拉格朗日乘数。
求极值的若干方法
求极值的若干方法一、导数法导数法是求函数极值最常用的方法之一、通过计算函数的导数并将其置为0，可以找到函数的驻点。
驻点即为函数可能的极值点。
对驻点进行二阶导数测试，如果二阶导数为正则为极小值点，如果二阶导数为负则为极大值点。
二、边界点法对于定义在一定范围内的函数，其极值点可能出现在这个范围的边界上。
因此，通过计算函数在边界点处的值，并与内部驻点的值进行比较，可以得到函数的极值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法适用于带有约束条件的优化问题。
对于求解函数在约束条件下的极值问题，通过引入拉格朗日乘数，将约束条件加入到目标函数中，然后对引入的约束条件和目标函数进行求导，可以得到关于约束条件和目标函数的一组方程，通过求解这组方程可以得到极值点。
四、牛顿法牛顿法是一种迭代法，通过不断地进行线性逼近来逐步逼近极值点。
该方法通过迭代逼近函数的根，利用函数的一阶导数和二阶导数进行求解。
通过不断迭代，可以逐步逼近极值点。
五、切线法切线法是一种简单但有效的求解极值的方法。
切线法基于函数在极值点处的切线垂直于函数曲线的性质。
首先选择一个初始点，然后沿着函数曲线进行迭代，在每一步迭代中，找到当前点处的切线，然后将切线与坐标轴相交的点作为下一步的迭代点，直至找到极值点。
六、割线法割线法是一种介于切线法和牛顿法之间的方法。
该方法适用于函数的导数不能很容易地求解的情况。
割线法通过选择两个初始点，然后计算这两个点处的斜率，使用割线的性质来逼近极值点。
通过不断迭代计算新的割线与x轴相交的点，可以逐步逼近极值点。
七、二分法二分法适用于具有单调性的函数的极值求解。
该方法通过选择一个区间，然后将其一分为二，比较中点和两个区间端点处函数的值，缩小区间范围，直至找到极值点。
八、遗传算法遗传算法是一种模拟进化过程的优化算法，常用于求解复杂问题中的极值。
该方法模拟生物进化的过程，通过随机生成一组初始解，然后通过交叉、变异等操作对解进行改进和演化，最终得到一个相对较优的解。
求函数极值的若干方法
求函数极值的若干方法函数极值是数学中一个重要的概念，用于描述函数在一些点上取得的最大值或最小值。
求函数极值的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法，包括微积分法和图像法。
一、微积分法1.导数法：函数在极值点上的导数为0，因此可以通过求导数的方法来寻找函数的极值点。
具体步骤如下：a.首先求出函数的导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.求出这些可能极值点对应的函数值，找出最大值或者最小值。
2.二阶导数法：函数在极值点上的二阶导数有特殊的性质。
具体步骤如下：a.首先求出函数的导数和二阶导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.计算这些可能极值点对应的二阶导数的值。
如果f''(x)>0，则函数在该点上有极小值；如果f''(x)<0，则函数在该点上有极大值。
3.极值判别法：对于一些特殊的函数，可以利用极值判别法来判断函数的极值。
常见的极值判别法有如下几种：a.变号法：判断函数在极值点左右两侧的变化趋势，如果左侧是增量，右侧是减量，则函数在该点上有极大值；如果左侧是减量，右侧是增量，则函数在该点上有极小值。
b.拐点法：寻找函数的拐点，拐点是函数的导数的极值点。
如果函数在拐点上的二阶导数大于0，则函数在该点上有极小值；如果函数在拐点上的二阶导数小于0，则函数在该点上有极大值。
c.边界法：求解函数在区间的边界点上的函数值，将这些函数值与函数的内部极值点的函数值比较，找出最大值或最小值。
二、图像法1.函数图像法：通过观察函数的图像来估计函数的极值点。
函数的极值点对应函数图像上的最高点或最低点。
2.导数图像法：通过观察函数的导数图像来判断函数的极值点。
导数的图像上的极值点对应原函数的极值点。
需要注意的是，以上的方法仅仅是一些基本的求函数极值的方法，对于特殊的函数，可能需要应用更复杂的方法来求解。
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求极值的若干方法1 序言一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义定义1)136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点0()P U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点．2 求解一元函数无条件极值的常用方法2.1 导数法 定理１)142](2[P设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)oU x δ内可导．(i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值．(ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值．由此我们可以推出当0(;)ox U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值．定理２)142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠．(i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值．对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１．例1 求函数2()(1)f x x x =-的极值．解 显然f 在01x =±，处不可导，23()(31)sgn()f x x x x '=-- 其中01x ≠±（，）令()0f x '=，得33±=x ，且f 在01x =±，处导数不存在．当(,1)x ∈-∞-时()0f x '<，()f x 单调减小；当(1,3x ∈--时()0f x '≥，()f x 单调增加；当[,0)3x ∈-时()0f x '≤，()f x 单调减小；当3x ∈时()0f x '≥，()f x 单调增加；当x ∈时()0f x '≤，()f x 单调减小；当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调增加， 所以由定理１可以得到()f x 在33±=x 处取得极大值932，在01x =±，处取得极小值0． 若用定理２则有3()6sgn()f x x x x ''=- 其中01x ≠±（，），当x =()0f x ''=-<；当x =，()0f x ''=-<，由此只能判断出f 在33±=x 处取得极大值，而无法判断在不可导点01x =±，处是否取得极值． 定理２表明若函数()f x 在稳定点0x 处的二阶导数()0f x ''≠，则稳定点0x 一定是函数()f x 的极值点，但如果遇到()0f x ''=时应用定理２无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别．定理３)143](2[P 设f 在0x 某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()0()0(1,2,1)k f x k n ==-，()0()0n f x ≠，则(i)当n 为偶数时，f 在0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取极大值，()0()0n f x >时取极小值． (ii)当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值．例2 求函数43()(1)f x x x =+的极值．解 由于32()(1)(74)f x x x x '=++，因此40,1,7x =--是函数()f x 的三个稳定点． f 的二阶导数为22()6(1)(782)f x x x x x ''=+++，由此得，(0)(1)0f f ''''=-=及4()07f ''-<．所以()f x 在47x =-处取得极大值．求f 的三阶导数32()6(3560304)f x x x x x '''=+++，有(0)0f '''=，(1)0f '''->．由于3n =为奇数，由定理３知函数f 在1x =-处不取极值， 再求f 的四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =+++，有(4)(0)0f >．因为4n =为偶数，故f 在0x =处取得极小值．综上所述，(0)0f =为极小值， 434436912()()()777823543f -==为极大值．2.2 对某些复杂函数求极值的特殊方法对某些比较复杂（比如含根号）的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们可以利用()f x 与()nf x 有相同的极值点（极值的类型可能不同）这一特点，把复杂的函数转化为一般函数再求解．推论1[3](36)P 设0x 为()f x 的极大（小）值点，则有：１）如果()0f x ≥，则()f x 与()nf x 有相同的极值点和极值． ２）如果()0f x ≤，则()f x 与21()n f x +仍有相同的极值点，但()f x 与2()n f x 的极值的类型恰恰相反，即0x 为2()nfx 的极小（大）值点．例 3 求函数(8)y x =-解 因为 5104(8)(1)y x x =-+，所以59410393()10(8)(1)4(8)(1)2(8)(1)(711)y x x x x x x x '=-++-+=-+-．令0)(5='y ,得11-=x ，82=x ，7113=x ， 故当11(,1)(,8)7x ∈-∞-⋃ 时，5()0y '<，5y 单调减，当11(1,)(8,)7x ∈-⋃+∞时，5()0y '>，5y单调增，所以5y 在1x =-，8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值1044518()()77．根据推论1得y 在1x =-和8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值4254518()()77．若直接用对函数求导的方法可得4125542(8)(1)(8)(1)5y x x x x -'=-++-+21542(8)(1)(8)5(1)x x x x -++-=+ 显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错．由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断点．我们假设()f x 在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内有定义，0x 是()f x 的第一类间断点，根据极值的定义可得到()f x 在0x 处求极值的两个推论[4](11)P ．推论２ 如果000()lim ()x x f x f x →->且000()lim ()x x f x f x →+> 则()f x 在点0x 处取得极大值)(0x f ．推论３ 如果当00(,)x x x δ∈-时，()f x 单调增加，当00(,)x x x δ∈+时，()f x 单调减少，且000()lim ()x x f x f x →-≥、000()lim x x f x →+≥则在点0x 处取得极大值0()f x ．类似地可以推出极小值．例4 求函数3,()3,x x f x x ⎧=⎨+⎩ .0,0≤>x x 的极值．解 当0x >时，33()()3(1)xxf x x x Inx ''==+， 令()0f x '=得稳定点1x e=， 当10x e<<时，()0f x '<；当1x e >时，()0f x '>，故()f x 在1x e=处取极小值311()()e f e e =．又当0x <时()10f x '=>，()f x 单调增加； 当10x e<<时3()3(1)0xf x x Inx '=+<，()f x 单调减少，且0lim ()3(0)x f x f -→==，00213lim3lim11300lim ()lim 1(0)x x Inx x xInx xx x x f x e e ee f ++→→++-→→=====<．所以()f x 在0x =有极大值(0)3f =．3 求解二元函数无条件极值常用的方法3.1 利用判别式求极值定理４)138137](1[P P - 设二元函数f 在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点，则有如下判别式：（i ）当0()0xx f P >，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极小值； (ii)当0()0xx f P <，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极大值；(iii)当20()()0xx yy xy f f f P -<时，f 在点0P 不能取得极值； （iv ）当20()()0xx yy xy f f f P -=时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值．这是对二元函数求极值比较实用的方法，但在用这个方法时需要注意一些问题．1）20()()0xx yy xy f f f P -=时，可能有极值也可能没有极值，需要另作讨论．例如函数46(,)f x y x y =+与46(,)g x y x y =-，容易验证这两个函数都以点(0,0)为稳定点，且在点(0,0)处都满足2()(0,0)0xx yy xy f f f -=，但(,)f x y 在点(0,0)处取极小值，而(,)g x y 在点(0,0)处不取极值．2）如果函数在个别点的偏导数不存在，这些点显然不是稳定点，但也可能是极值点，因此我们在讨论函数的极值问题时，对这些点也应当考虑．例如函数z =(0,0)的偏导数不存在，但是该函数在点(0,0)点却具有极小值．一般在高等数学教材中，对像这样的二元函数并没有明确给出在偏导数不存在处求极值的方法，他们只是根据初等数学中函数图像的性质推断出在该点能否取极值．对此我参考对特殊一元函数求极值的方法推导出了对特殊二元函数求极值的一般解法．3.2 二元函数在偏导数不存在处求极值的特殊方法 命题1 设00(,)x y 为(,)f x y 的极大（小）值点，则有：1）21(,)n f x y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 也为21(,)n f x y +的极大（小）值点；2）当(,)0f x y ≥时，2(,)nfx y 与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极大（小）值点；当(,)0f x y <时，2(,)nf x y 与(,)f x y 仍有相同的极值点，但它们的极值类型恰恰相反，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极小（大）值点．下证结论1）, 2），1）证 由极值的定义知，若00(,)x y 是(,)f x y 的极大（小）值点，则对于00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），故有212100(,)(,)n n f x y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥）．反之，若212100(,)(,)n n fx y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥），则有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），即21(,)n fx y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型． ２）当(,)0f x y ≥时，结论很明显，证略．下证当(,)0f x y <时，证 不妨设00(,)x y 是(,)f x y 的极大值点，则对00(,)x y 的某邻域内有00(,)(,)f x y f x y ≤， 所以有212100(,)(,)n n f x y f x y --≤，由于(,)0f x y <，故21210000(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f x y --≥，即2200(,)(,)n nf x y f x y ≥．所以00(,)x y 是(,)f x y 的极小值点．例5 求函数1122222222()(1)x y z x y a b=+-- (0)a b <<的极值．分析：直接对z 求偏导，则有22222211[1()]x x x y z --+=，22222112[1()]y y y x z -+-=，显然计算相当麻烦，且(0,0)点为函数z 的不可导点，但也可能是函数的极值点，故直接求导不可取，这时可利用命题１来求解．解 令2222222()(1)x y f z x y a b==+-- (0)a b <<，需先对函数f 求偏导，令22222222222112[1()]0,1122[1()]0.x y x f x y a a by f y x a b b ⎧=--+=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩解得稳定点(0,0)，(0,，(， 又2222121122()xx x A f y a a b ==--+，22114()xy B f xy a b==-+，22222111222()xy y C f x a b b==-+-，因为在点(0,0)有20AC B ->，且有0A >，故点(0,0)为函数f 的极小值点；在点(0,有20AC B ->，且有0A <，故点(0,为函数f 的极大值点；而在点(有20AC B -<，故函数f在点(不取极值． 又因为0z ≥，从而由命题１可得函数z 在点(0,0)取得极小值0，在点(0,取得极大值2b．4 求解隐函数无条件极值的常用方法4.1 利用显函数极值问题的相应结论 定理５[5](26)P 设函数12(,,,,)n f x x x y 具有一阶、二阶连续偏导数，且12(,,,,)0y n f x x x y ≠，则由方程12(,,,,)0n f x x x y =所确定的n 元函数12(,,,)n y y x x x =在点000012(,,,)n P x x x 取得极值的必要条件是：000012(,,,)0i x n f x x x y =(1,2,,)i n =其中00012(,,,)0n f x x x y =．若记00012000012(,,,)(,,,)i j x x n ij y nf x x x y h f x x x y =-(,1,2,,)i j n =，0()()ij n n H P h ⨯=．那么，当0()H P 为正定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极小值；当0()H P 为负定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极大值；当0()H P 为不定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处不取得极值．例6 求由方程2222222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(,)z z x y =的极值． 解 令222(,)222244f x y x y z xy x y z =+++---+，解方程组2224220,2220,2222440.x y f x y f y x f x y z xy x y z ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=+++---+=⎩解得稳定点为1(0,1,1)P ，2(0,1,3)P ，进而可得4xx f =，2xy f =，2yy f =，1()2z f P =-，2()2z f P =，所以121()11H P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，221()11H P --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，显然1()H P 为正定矩阵，2()H P 为负定矩阵．由定理５可知函数(,)z z x y =在点1(0,1)P 处取得极小值1，在点2(0,1)P 处取得极大值3． 4.2 利用拉格朗日乘数法[6](167)P这种方法是把原方程中的隐函数设为目标函数，把原方程设为约束条件，将隐函数极值问题转化为求条件极值的问题．例7 求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定的隐函数(,)z z x y =的极值． 解 取目标函数(,,)f x y z z =，约束条件为原方程，作辅助函数222(,,,)(2288)L x y z z x y z xz z λλ=++++-+，令222480,40,1820,22880.x yz L x z L y L x z L x y z xz z λλλλλλλ=+=⎧⎪==⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-+=⎩ 解得1115λ=-，2115λ=，稳定点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -， 又4xx L λ=，0xy L =，4yy L λ=，由于22160xx yy xy f f f λ-=>(0)λ≠，故所求之点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -均为极值点，且当0λ<时为极大值点，当0λ>时为极小值点．由此得所求函数(,)z z x y =的极大值为87-，极小值为1．同样例1也可以用这种方法求解．5 求解条件极值的常用方法5.1 代入法化为无条件极值问题这种方法一般是从条件方程（以二元条件极值为例）(,)0x y ϕ=中解出显函数()y y x =代入(,())z x y x =中化为无条件极值问题，从而使问题简化．例8 求函数22(,)f x y x y =+在条件10x y +-=下的极值．解 由10x y +-=，得1y x =-， ⑴ 将⑴代入(,)f x y ，得222(1)221f x x x x =+-=-+，由二次函数的顶点式可知当12x =时，f 取得极小值12．显然用这种方法比拉格朗日乘数法更简洁，但在求解过程中要注意几个问题：1）这种方法适合用于比较简单的、含自变量较少函数，一般不超过三个；2）对有些约束条件较复杂、不易从约束条件中解出显函数的函数，这时不适合用代入法求解； 3）在求解过程中如果不注意代入的条件则可能导致不完整甚至错误的答案[7](42)P ．例如求解原点到曲面22()1x y z -+=的最短距离．用代入法求解时，如果将221()z x y =--代入222u x y z =++得2221()12u x y x y xy =++--=+，由20,20.x y u y u x ==⎧⎪⎨==⎪⎩得可能的极值点为1(0,0,1)P 与2(0,0,1)P -，此时1P ，2P 到原点的距离均为1，而曲面22()1x y z -+=存在到原点的距离比1小的点，比如11(,,0)22P -就是这样的点，因此用代入法求解时，这样的最短距离不存在．而用拉格朗日乘数法求解时，则可得到二个可能的极值点分别是311(,,0)22P -与411(,,0)22P -，且从几何图形不难看出3P ，4P正是两个最值点，最短距离为2．原因是求222u x y z =++在约束条件22()1x y z -+=的最值时，x 与y 的取值范围必须满足1x y -≤，而将221()z x y =--代入222u x y z =++后得12u xy =+，x 与y 的取值范围都已是),(+∞-∞．5.2 利用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法可求解含更多自变量的条件极值且无需解出显函数，其方法简捷．但其不足之处是所求的点只是可能的极值点，在解题过程中通常是根据问题的实际情况来推测．若想要确定该点是否是极值点及在该点的极值类型则需要根据拉格朗日函数L 的二阶微分符号来判断．定理６[8](257258)P P - 设0P 是拉格朗日函数L 的稳定点，则1） 若20()0d L P >，则函数f 在0P 取条件极小； 2） 若20()0d L P <，则函数f 在0P 取条件极大．例9 求函数222212341234(,,,)f x x x x x x x x =+++在条件411(0,1,2,3,4)k kk k a xa k ==>=∑下的极值．解 设拉格朗日函数为42222123412341(,,,)(1)k kk L x x x x x x x x a xλ==++++-∑，对L 求偏导并令它们都等于0，则有1233411223444120,20,20,20,10.x x x x k k k L x a L x a L x a L x a a x λλλλ=⎧⎪=+=⎪⎪=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪⎪⎪-=⎪⎩∑解得421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑，4212kk aλ==-∑，又当4212kk aλ==-∑时，222142()0d L d x d x =++>，所以当421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑时，f 取得极小值，极小值为4211kk a=∑．5.3 运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值问题，方程组11212112(,,,)(,,,),(,,,)0,(1,2,,1).n n i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i n λϕϕ-=⎧=⎪⎨⎪==-⎩∑的解就是所求极值问题的可能极值点[9](35)P ．例10[9](35)P 试求n 个正数，其和为定值l 的条件下，什么时候乘积最大，并证明2121()n n x x x x n ≤+++．证 本题的实质是求1212(,,,)n n y f x x x x x x ==在条件12n x x x l +++=下的最大值问题．根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点121212()(),.n n n grad x x x grad x x x l x x x l λ=+++-⎧⎨+++=⎩进一步求解得{}{}231312112,,,1,1,,1,.n n n n x x x x x x x x x x x x l λ-=⎧⎪⎨+++=⎪⎩容易得到12n lx x x n ====，根据题意，则,,,l lln n n（）是唯一的极大值点,也是最大值点．所以 12(,,,)nn l f x x x n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2121()n n x x x x n≤+++．5.4 利用球面坐标求条件极值利用空间坐标点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)γϕθ之间的关系，应用这一变换可求解含平方和（或可化为含平方和）运算的条件极值问题[10](96)P ．例11[10](96)P 求函数222u x y z =++在条件22()1x y z --=下的极值．解 利用球面坐标法，由目标函数222u x yz =++，可设cos ,sin ,x y z ϕθϕθϕ===，代入约束条件可得21sin (2sin 2)12uϕθ=--≤ (当13,24ϕπθπ==时取等号)，于是12u ≥，故所求极小值为12u =． 利用球面坐标求解条件极值问题其解法优于代入法、乘数法，且解法简洁，省去了对极值充分性的考虑，比一般的方法省事许多，同时所获得极大（小）值就是最大（小）值．6 极值与最值的联系与区别及最值应用在日常生活、工程技术与生产实践中，我们常会遇到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能使产品最多而用料最省，成本最低而利润最大等，这些问题通常都归结为数学中的最值问题．下面我们给出最值的定义[12](80)P ．定义2 设函数f 在区域D 上连续，如果存在D 中的点0P ，1P 使得0()f P M =，1()f P m =，且对于任意的点P D ∈都有()m f P M ≤≤，则称M 为f 在D 上的最大值，m 为f 在D 上的最小值，0P 称为最大值点，1P 称为最小值点．最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点．最值和极值在某种程度上有相似点，也有不同点，了解了极值与最值的关系有助于求解函数的最值．极值与最值的区别和联系：1）极值是函数在某点的局部性质，而最值是函数在区域的整体性质； 2）在给定的区域上极值可能有多个，而最大（小）值最多各有一个； 3）在区间内部最值一定是函数在某个区域的极值，极值未必是最值； 4）极值点不能是边界点，最值点可以为边界点；5）如果函数的最值在某个区域内取得，该点一定是极值点；6）在整个区域上极小值可能大于极大值，而最小值一定不大于最大值．所以要求函数在区域上的最大（小）值，只要比较函数在所有稳定点、不可导点和区域的边界点上的函数值，就能从中找出函数在该区域上的最大值与最小值． 通常在求闭区域上的多元函数的最值时，都按下列步骤进行． 第一步：在区域内部求出函数的所有稳定点和偏导数不存在的点； 第二步：计算在这些点处的函数值及函数在区域边界上的函数值； 第三步：比较上述所求值的大小，最大（小）者为最大（小）值．在实际问题中，根据对问题的分析知函数的最值存在，而函数在区域内部只有一个稳定点，则函数在该点的值就是所求的最大（小）值．例12)176](7[P 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求价格分别是11182P Q =-，2212P Q =-（单位：万元／吨），1Q ，2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（单位：吨），则该企业生产这种产品的总成本是25C Q =+，其中12Q Q Q =+．（１）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润．（２）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小．解 （１）根据题意，总利润函数为1122(25)L PQ P Q Q =+-+221212216105Q Q Q Q =--++-， 令12124160,2100.Q Q L Q L Q =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩解得14Q =，25Q =，则有110P =(万元/t)，27P =(万元/t) ．因稳定点(4,5)唯一，且该实际问题一定存在最大值，故最大值必在稳定点处达到，最大利润为22245164105552L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． （２）若实行价格无差别策略，则12P P =，于是有1226Q Q -=， 构造拉格朗日函数22121212216105(26)F Q Q Q Q Q Q λ=--++-+--，令12121241620,2100,260.Q Q F Q F Q F Q Q λλλ=-++=⎧⎪=-+-=⎨⎪=--=⎩解得15Q =，24Q =，2λ=，则得128P P ==， 最大利润为22254165104549L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． 由上述结果知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润．参考文献：[1] 华东师范大学数学系编．数学分析下册[M]．高等教育出版社，2002[2] 华东师范大学数学系编．数学分析上册[M]．高等教育出版社，2002 [3] 孟赵玲，许燕．函数极值的两个简单求法[J]．北京印刷学院学报，2005，09 [4] 王金金，任春丽．函数在间断点处的极值问题[J]．高等数学研究，2006，03 [5] 单国莉．矩阵的正定性和隐函数的极值[J]．高等数学研究，2004，12 [6] 李心灿，宋瑞霞，旭辉．高等数学专题十二讲[M]．化学工业出版社，2001 [7] 莫国良．关于用代人法求条件极值的一点注记[J]．高等数学研究，2004，06 [8] 邓东皋，尹小玲．数学分析简明教程[M]．高等教育出版社，1999[9] 肖翔，伯生．用梯度法求条件极值[J]．上海工程技术大学教育研究，2006，01 [10] 李德新．球面坐标解一类条件极值问题[J]．高等数学研究，2005，09[11] 吉艳霞．函数极值问题的方法探讨[J]．运城学院学报，2006，08[12]Stanley J.Farlow and Gray M.Haggaryd．Caculus and its Applications[M]．New York: McGraw-Hill Publishing Company，1990。