人大微积分课件10-4对面积的曲面积分
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高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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67
实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
46
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49
50
51
10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
曲面积分完整版PPT
第114页/共221页
第126页/共221页
1. 若 曲 面: z z( x, y), 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
第181页/共221页
第155页/共221页
（一）曲线积分与曲面积分
在oxy面 上 的 投 影 区 域 为D , 则 的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.
五、物理意义---环流量与旋度
分割 把分成n小块Si （Si 也 表示第i 小块曲面的面积）.
取近似 (i ,i , i ) Si
求和 取极限
Mi (i ,i , i ) Si
n
M (i ,i , i ) Si .
i 1
n
M
lim
0
i 1
(
i
,i
,
i
)
Si .
第3页/共221页
定义1 设 S 为可求面积的曲面, f ( x, y, z)
f
(k ,k , k ) Sk
而
o
x
Sk
(k ,k , k )
(k ,k ) y
( k )xy
Sk
( k )x y
1
zx
2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
dxd
y
1
z
x
2
(
k
,
k
)
z
y
2
(
k
,
k
)
(
k
)
x
y
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f (x, y, z) dS
n
lim 0
f (k ,k , z(k ,k ))
对面积的曲面积分
z x, y在Dxy上偏导数连续， z
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
对面积的曲面积分
M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面 个小曲面 块的直径的最大值。 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 、 定义8.3.1 设曲面 是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上 设曲面Σ是光滑的 函数f 是光滑的， 定义 在 上 有界。 任意分成n小块 同时也代表第i小 有界 。 把 Σ任意分成 小块 ⊿ Si （ 同时也代表第 小 任意分成 小块⊿ 块的面积） 设 上任意取定的一点， 块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点， 是 作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和 ， ， ， ， ，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)， 一代” 代入被积函数f 一代 代入被积函数 ， 得f [x,y,z(x,y)]； ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换 换成相应的曲面面积元素的表达式 如Σ：z=z(x,y)，则 ： ，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr
10.4第一类曲面积分
dz
o x
y
例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
x 2 a2 x 2 + a 2 dx = x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2
z = y 下方那部分柱面 Σ 的侧面积 S . 解: S = ∫∫ dS ∫
Σ
取dS = z ds
z
o x
= ∫ z ds = ∫ y ds
+ ∫ d z∫
0
1
1z
0 1z
1 dx (1+ x)2 1 dy 2 (1+ y)
+ ∫ d z∫
0
1
0
3 3 = + ( 3 1) ln 2 2
3. 计算 ∫∫ ( x + y + z )ds , 其中 Σ 为平面
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分 所截得的部分.
2 2
2
π
π
例6. 计算
其中 ∑ 是球面 x2 + y2
+ z = 2(x + y + z).
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用重心公式
= 4∫∫ xd S = 4 x ∫∫ d S
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S
大一高数课件第十章 10-4-1
x yz dS
= ∫∫ x yz d S
∑4 : z = 1 − x − y,
= 3∫
1 x dx 0
0 ≤ y ≤ 1
∫
1− x y(1 − x − y) dy 0
= 3
120
例3.
设 ∑ : x2 + y2 + z2 = a2
二、计算下列对面积的曲面积分: 计算下列对面积的曲面积分: 1 、 ∫∫ ( 2 xy − 2 x 2 − x + z )ds , 其中 ∑ 为平面
∑
2x + 2 y + z = 6在
第一卦限中的部分； 第一卦限中的部分； 2、 ∫∫ ( xy + yz + zx )ds ,其中 ∑ 为锥面 z =
Σ2
例2. 计算
其中∑ 其中∑ 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面. 坐标面所围成的四面体的表面
z
1
解: 设
分别表示∑ ∑1, ∑2, ∑3, ∑4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 上的部分 则
o
1 x 1 y
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结束
原式 =
∫∫Σ
Σ4
1
+∫∫
Σ2
+∫∫
Σ3
+∫∫
Σ4
(1) 若Σ可分为分片光滑的曲面 Σ 1及 Σ 2 , 则
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
Σ
1 2
( 2)
∫∫ dS = 曲面 ∑ 的面积
∑
3.物理意义： 3.物理意义： 物理意义
《对面积的曲面积分》PPT课件
定义 设Σ为光滑的有向曲面 , 函数在Σ上有 界,把Σ分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy 面上的投影为 ( Si ) xy ,( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
其中 f ( x , y, z )叫被积函数， 叫积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS . f ( x, y, z )dS
1 2
3、对面积的曲面积分的计算法
z f ( x, y)
y
( s ) xy
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z( x , y )]dxdy
若取下侧, cos 0,
D xy
( Si ) xy ( ) xy ,
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy
流向曲面一侧的流量
v
流量
A
0 n
A v cos 0 Av n v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
将dS换 为 1 z . x z y dxdy
2 2
xyz dS 计算 , 其中 为平面 x 0, y 0, x y z 1 所围成
对面积的曲面积分
2
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
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对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
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对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
对面积曲面积分的计算法
所以
0
1
2
3
在 4 上 z 1 x y， dS 1 zx2 zy2 d 3d， 又 4 在xoy面上的投影区域D为 x 0, y 0, x y 1 围成的三角形
所以
xyzdS
xyzdS xy(1 x y) 3d
4
D
1
1 x
30 xdx0 y(1 x y)dy
dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2
y2
1 arctan R
Z R
|0H
dy
arctan H R 1 dy
R 0 R2 y2
而
R 1 dy lim R1
0 R2 y2
R1 R 0
lim arcsin R1
R1 R
R2
1 dy R2 y2
所以
dS x2 y2 z2
a
d
Hale Waihona Puke a2 x2 y2所以
1
z
dS
1
D a2 x2 y2
a
d
a2 x2 y2
a d
a rdrd
D a2 x2 y2
D a2 r2
（极坐标）
＝a
2
d
0
0
a2 h2
a2
r r2 dr
2 a[
1 ln(a2 2
r 2 )]0 a2 h2
2 a ln a
h
❖例2 计算 xyzdS ，其中 是三个坐标面和
3
1
x[(1 x)
0
y2 2
y3 3
]10
x
dx
3 1 x (1 x)3 dx
0
曲线与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分一、教材分析本章是多元函数积分学的最后一章，是定积分的延伸与推广，与重积分一起构成多元函数积分学，是积分学的重要组成部分。
曲线积分、曲面积分是在定积分基础上，将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面的积分，在物理上有着重要应用。
通过本章的学习，将使学生对积分学有一个较为整体的认识。
首先是概念的统一性，曲线积分、曲面积分概念的形成与定积分、重积分概念的形成是统一的，都是从一个实际的问题引入，然后就是分割、近似、求和、取极限的方法，这也正是微积分的重要思想。
其次是计算方法，曲线积分、曲面积分的计算中贯穿的一个重要思想就是通过代入曲线、曲面方程，将曲线积分、曲面积分的计算转化为定积分、重积分的计算。
再次是定积分、重积分、曲线积分、曲面积分间通过格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等，构成一个比较复杂的结构，反映出互相间的联系。
本章是学生学习的一个难点，曲线积分、曲面积分的类型比较复杂，同时计算比较繁。
因此，要注意帮助学生分清类型、理清解题思路、寻求较为简洁的解题方法。
二、教学重点与难点重点：曲线积分的计算，格林公式、平面上曲线积分与路径无关的条件难点：曲面积分的计算、两类曲线积分、两类曲面积分的区别与联系，定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分之间的联系。
三、教学内容及课时划分§10—1对弧长的曲线积分 2课时§10—2对坐标的曲线积分 2课时§10—3格林公式及其应用 2课时§10—4对面积的曲面积分 2课时§10—5对坐标的曲面积分 2课时§10—6高斯公式通量与散度 2课时§10—7斯托克斯公式环流量与旋度 2课时习题课 2课时总计 16课时四、本章知识结构图第一节 对弧长的曲线积分教学目的：1．了解对弧长曲线积分的概念和性质2．理解和掌握对弧长曲线积分的计算方法和应用 教学重点：1．重点：弧长曲线积分的计算 2．难点：弧长曲线积分的计算 教学课时：2 教学过程：一、对弧长曲线积分的概念与性质 1．曲线形构件质量设一构件占xoy 面内一段曲线弧L ，端点为B A ,，线密度),(y x ρ连续 求构件质量M 。
[理学]第四节-对面积的曲面积分PPT课件
![[理学]第四节-对面积的曲面积分PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/8a943750b7360b4c2e3f64b4.png)
a 2 d 0
0
a2h2
a2
1
2
d
a212lna(2
2)
a2h2 0
2alnah.
.
11
例2. 计 (x 算 2 y 2 z 2 ),其 S :x 中 2 y 2 z 2 a 2 .
S
解I: SS1S2
.
z
S1: z a2x2y2,
a
S2: za2x2y2.
S1
D xy o
ay
将曲 S1,面 S2向xo面 y 投影，a 得S 2
S
f(x ,y,z)d S g (x ,y,z)d S ;
S
S
(3) 积分曲.面 如 ( : S 可 S1 加 S2)性
f(x ,y ,z )d S f(x ,y ,z )d S g (x ,y ,z )d S .
S
S 1
S 2
(4) 1dSS的面.积
S
.
5
二、对面积的曲面积分的计算法 定理: 设有光滑曲面 S:zz(x,y),
f ( x ,y ,z ) d S f ( z ,x ,y ) d S f ( y ,z ,x ) d S
S
S
S
轮换不变性
若曲面有轮换对称性, 则曲面上的第一类曲面 积分有轮换不变性.
.
29
例9. 设曲 xy面 z1(x0 ,y0 ,z0 )
求 (xy)d S 与 x d S .
S
S
解: 曲面 xyz1有轮换对 , 称性
其S 中 是界 z0 于 及 zH间的圆 x2柱 y2面 R2.
解：SS1S2,
z
S1: x R2y2,
H
S2: x R2y2.
一,对面积的曲面积分的概念与性质
f(x ,y ,z )d S f[x ,y ,z (x ,y )1 ] zx 2 (x ,y ) zy 2 (x ,y )dx ． d
S
D x y
讨论： 如果积分曲面S由方程yy(z, x)给出或由xx(y, z)给出，那么
f(x, y, z)在S上对面积的曲线面积分如何计算?
例 1 计 算 曲 面 积 分 1 d ， 其 S 中 S 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 被 平 面 S z zh(0<h<a)截出的顶部．
Mf(x,y,z)dS S
另一方面，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的 投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有连续偏导数，则光滑曲 面S的质量M也可用元素法来求： S上任意点(x, y, z)处的面积元素为dS 1zx2(x,y)zy2(x,y)dxd，y
Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2． 又
z
1 z x 2 z y 2 a 2 a x 2 y 2 ． h
于是 1 d S adxdy
S z D x a 2 y x 2 y 2
Dxy
a
2 a 2 h 2 rdr
d x ady
x 2 y 2
Dxy
1 1x
30xd 0 xy(1xy)dy
S1
S2
S4Oຫໍສະໝຸດ 11 Dxy y 3 0 1 x ( 1 6 x ) 3 d 1 3 ． x 2 x 0S 3
质量元素为 d M f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)zy 2(x,y)d x，d y
于是质量 M f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)zy 2(x,y)dx．dy
第7章4对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分
z (x，y，z(x,y)) dS
f x, y, z dS
f x, y, z x, y
1
z
2
x
zy2
dxdy
；
(1)
Dxy
定理的证明从略.
O x Dx(yx ,y)
▲▲▲
图 7-59
y
dxdy
10
2､对面积曲面积分的计算方法
第七章 多元函数积分学
公式（1）表明，
在计算对面积的曲面积分 f x, y, zdS 时，只要把变量 z 换成 z( x, y) ，积分
第七章 多元函数积分学
26
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章 多元函数积分学
27
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章 多元函数积分学
28
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章 多元函数积分学
29
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章 多元函数积分学
30
二、对坐标的曲面积分（第二类的曲面积分）
O
y
x
x=x ( y ,z )
37
▲▲▲ ▲▲▲
1、曲面的侧
第七章 多元函数积分学
38
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章 多元函数积分学
▲▲▲
v n
A
39
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章 多元函数积分学
▲▲▲
A
40
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章 多元函数积分学
41
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章 多元函数积分学
31
1、曲面的侧
第七章 多元函数积分学
32
高等数学课件--D114对面积曲面积分
2 2 1 z ( , ) z ( ,k ) ( ) x kk y k k x y
( 光滑)
k 1
2 2 1 z ( , ) z ( ,k ) ( ) x kk y k k x y
f ( x , y , 1 z ( x , y ) z ( x , y ) d x d y z(x, y) ) x y D
x y
2019/3/12 同济版高等数学课件
说明: 1) 如果曲面方程为 x x ( y , z ), ( y , z ) D y z
或 y y ( x , z ), ( x , z ) D x z
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的
z
0
d S ( z
第四节 对面积的曲面积分
第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
2019/3/12
同济版高等数学课件
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一、对面积的曲面积分的概念与性质 ( x ,y ,z ), 求质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度
量 M. 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
二重积分. (见本节后面的例4, 例5)
2019/3/12
同济版高等数学课件
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dS 2 2 2 , 其中 是球面 x 例1. 计算曲面积分 y z z 2 h ( 0 h a ) 截出的顶部. a 被平面 z z 2 2 2 解: : z a x y , ( x , y ) D x y 2 2 2 2 h D : x y a h x y O a y Dxy a 2 2 1zx zy a2 x2 y2 x ad x d y 2π dS a2h2 r dr 2 2 2 a d 0 D z 0 x ya x y a2 r2
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2 2 2 D xy
2 3a .
4
2 2
D xy
2.若曲面
： ( x , z )
则 f ( x , y , z ) dS
D xz
f [ x , y ( x , z ), z ] 1 y x y dxdz ; z
2 2
3. 若曲面 Σ ： x ( y , z ) x
则 f ( x , y , z ) dS
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS .
1 2
三、计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z( x , y )
则
f ( x , y , z ) dS
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy ;
| xyz | dS 4 xyz dS
1
2 2 2 2
4 xy ( x y ) 1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
D xy
{( x , y ) | x 2 y 2 1 , x 0 , y 0 } 其 中 D xy
利用极坐标
第四节 对面积的曲面积分
一、概念的引入
二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法
一、概念的引入
实例
若曲面 是光滑的, 它的面密度为连
续 函 数 ( x , y, z), 求 它 的 质 量 .
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
n i1
并 作 和 f ( i , i , i ) S i , 如 果 当 各 小 块 曲 面 的直径的最大值 0 时, 这和式的极限存在, 则 称 此 极 限 为 函 数 f ( x , y , z ) 在 曲 面 上 对 面 积 的曲面积分或第一类曲面积分.
记为
2 2
显然
xdS xdxdy 0 ,
1 D1
2
xdS
D1
x 1 1dxdy 0 ,
讨 论 3 时 , 将 投 影 域 选 在 xoz 上 .
（注意： y 1 x 分为左、右两片）
2
（左右两片投影相同）
3
xdS
31
2
xdS
f ( x , y , z ) dS .
即
f ( x , y , z ) dS lim
0
n
f ( i , i , i ) S i
叫积分曲面 .
i1
其中 f ( x , y , z )叫被积函数，
2.对面积的曲面积分的性质
若 可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
z
关于 z 轴对称，
被 积 函 数 | xyz | 关 于
xoz 、 yoz 坐 标 面 对 称
x
y
有
4
1
成 立 ，( 1 为 第 一 卦 限 部 分 曲 面 )
dS
1 z x
2
z y dxdy
2 2
2
原式
1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
2
2 0
2 ( 5 x ) dxdy
D xy
d ( 5 r cos )rdr
0
5
125
2 .
例 2
计 算 | xyz | dS ,
其中 为 抛物面 z x y （ 0 z 1） .
2 2
解 依对称性知：
抛物面 z x y
2 2
1： x y z a , 即 z a x y
dS 1 z x z y dxdy
y
2 2
2 2
2
3 dxdy
2 2
( x
2
z ) dS 8 ( x y z ) dS
1
8 [ x y ( a x y ) ] 3 dxdy
32
2
xdS
2
D xz
x 1 y x y dxdz z
xoz
2 x 1
D xz
x
2 2
1 x
dxLeabharlann dxdz 21 1
x 1 x
2
x2
dz
0
,
xdS 0 0 .
2 2 2 例4 计 算 ( x y z ) dS , 其 中 为 内 接 于 球 面
x
2
y
2
z
2
a 的 八 面 体 | x | | y | | z | a 表 面 .
2 2 2
2
解
被积函数 f ( x, y, z) x y z ,
关于坐标面、原点均对称 ,
积分曲面 也具有对称性 ,
故 原 积 分
8
1
,
(其 中 1 表 示 第 一 卦 限 部 分 曲 面 )
x r cos t ,
2 2
y r sin t ,
4 dt
2 0
2
1
r cos t sin t r
1 4 r rdr
2
0
2 sin 2 tdt
0
1
r
5
1 4 r dr
2
0
令 u 1 4r
2
1
4
5
u(
u1 4
1
) du
2
125
51 420
1.定义 设 曲 面 是 光 滑 的 , 函 数 f ( x , y , z ) 在
上 有 界 , 把 分 成n 小 块 S i （ S i 同 时 也 表 示 第 i 小 块 曲 面 的 面 积 ） , 设 点 ( i , i , i ) 为 S i 上 任 意 取 定 的 点 , 作 乘 积 f ( i , i , i ) S i ,
投影域 ：
D xy {( x , y ) | x y 25 }
2 2
dS
1 z x
2
z y dxdy
2
2
故
1 0 ( 1 ) dxdy
y z ) ds
2dxdy ,
( x
D xy
2 ( x y 5 y ) dxdy
.
例3
计算
xdS , 其 中 是 圆 柱 面 x y 1 ,
2 2
平面 z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3
其中1： z 0 ,
2： z x 2 ,
投 影 域 D1 ： x y 1
2 2
3： x y 1.
D yz
f [ x ( y , z ), y , z ] 1 x y x dydz . z
2 2
例1
计 算 ( x y z ) ds , 其 中 为 平 面
y z 5被柱面 x
2
y
2
25 所 截 得 的 部 分 .
解 积分曲面
：z 5 y ,
2 3a .
4
2 2
D xy
2.若曲面
： ( x , z )
则 f ( x , y , z ) dS
D xz
f [ x , y ( x , z ), z ] 1 y x y dxdz ; z
2 2
3. 若曲面 Σ ： x ( y , z ) x
则 f ( x , y , z ) dS
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS .
1 2
三、计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z( x , y )
则
f ( x , y , z ) dS
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy ;
| xyz | dS 4 xyz dS
1
2 2 2 2
4 xy ( x y ) 1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
D xy
{( x , y ) | x 2 y 2 1 , x 0 , y 0 } 其 中 D xy
利用极坐标
第四节 对面积的曲面积分
一、概念的引入
二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法
一、概念的引入
实例
若曲面 是光滑的, 它的面密度为连
续 函 数 ( x , y, z), 求 它 的 质 量 .
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
n i1
并 作 和 f ( i , i , i ) S i , 如 果 当 各 小 块 曲 面 的直径的最大值 0 时, 这和式的极限存在, 则 称 此 极 限 为 函 数 f ( x , y , z ) 在 曲 面 上 对 面 积 的曲面积分或第一类曲面积分.
记为
2 2
显然
xdS xdxdy 0 ,
1 D1
2
xdS
D1
x 1 1dxdy 0 ,
讨 论 3 时 , 将 投 影 域 选 在 xoz 上 .
（注意： y 1 x 分为左、右两片）
2
（左右两片投影相同）
3
xdS
31
2
xdS
f ( x , y , z ) dS .
即
f ( x , y , z ) dS lim
0
n
f ( i , i , i ) S i
叫积分曲面 .
i1
其中 f ( x , y , z )叫被积函数，
2.对面积的曲面积分的性质
若 可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
z
关于 z 轴对称，
被 积 函 数 | xyz | 关 于
xoz 、 yoz 坐 标 面 对 称
x
y
有
4
1
成 立 ，( 1 为 第 一 卦 限 部 分 曲 面 )
dS
1 z x
2
z y dxdy
2 2
2
原式
1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
2
2 0
2 ( 5 x ) dxdy
D xy
d ( 5 r cos )rdr
0
5
125
2 .
例 2
计 算 | xyz | dS ,
其中 为 抛物面 z x y （ 0 z 1） .
2 2
解 依对称性知：
抛物面 z x y
2 2
1： x y z a , 即 z a x y
dS 1 z x z y dxdy
y
2 2
2 2
2
3 dxdy
2 2
( x
2
z ) dS 8 ( x y z ) dS
1
8 [ x y ( a x y ) ] 3 dxdy
32
2
xdS
2
D xz
x 1 y x y dxdz z
xoz
2 x 1
D xz
x
2 2
1 x
dxLeabharlann dxdz 21 1
x 1 x
2
x2
dz
0
,
xdS 0 0 .
2 2 2 例4 计 算 ( x y z ) dS , 其 中 为 内 接 于 球 面
x
2
y
2
z
2
a 的 八 面 体 | x | | y | | z | a 表 面 .
2 2 2
2
解
被积函数 f ( x, y, z) x y z ,
关于坐标面、原点均对称 ,
积分曲面 也具有对称性 ,
故 原 积 分
8
1
,
(其 中 1 表 示 第 一 卦 限 部 分 曲 面 )
x r cos t ,
2 2
y r sin t ,
4 dt
2 0
2
1
r cos t sin t r
1 4 r rdr
2
0
2 sin 2 tdt
0
1
r
5
1 4 r dr
2
0
令 u 1 4r
2
1
4
5
u(
u1 4
1
) du
2
125
51 420
1.定义 设 曲 面 是 光 滑 的 , 函 数 f ( x , y , z ) 在
上 有 界 , 把 分 成n 小 块 S i （ S i 同 时 也 表 示 第 i 小 块 曲 面 的 面 积 ） , 设 点 ( i , i , i ) 为 S i 上 任 意 取 定 的 点 , 作 乘 积 f ( i , i , i ) S i ,
投影域 ：
D xy {( x , y ) | x y 25 }
2 2
dS
1 z x
2
z y dxdy
2
2
故
1 0 ( 1 ) dxdy
y z ) ds
2dxdy ,
( x
D xy
2 ( x y 5 y ) dxdy
.
例3
计算
xdS , 其 中 是 圆 柱 面 x y 1 ,
2 2
平面 z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3
其中1： z 0 ,
2： z x 2 ,
投 影 域 D1 ： x y 1
2 2
3： x y 1.
D yz
f [ x ( y , z ), y , z ] 1 x y x dydz . z
2 2
例1
计 算 ( x y z ) ds , 其 中 为 平 面
y z 5被柱面 x
2
y
2
25 所 截 得 的 部 分 .
解 积分曲面
：z 5 y ,