概率论与数理统计第1章例题
概率论与数理统计(第四版)第一章练习
第一章练习1、当下列条件满足时，事件A 与B 互为对立。
（ ） （A ）、Φ=AB （B ）、Ω=⋃B A （C ）、Φ=AB 且Ω=⋃B A （D ）、A 与B 互不相容2、每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在成功3次重复试验中至少成功一次概率为（ ）。
（A ） 2)1(p - （B ）21p - （C ）)1(3p - （D ）3)1(1p --3、设P(AB)=0，则（ ）A 、A 和B 互不相容 B 、A 和B 相互独立C 、P(A)=0 或P(B)=0D 、P(A-B)=P(A )4、设当事件A ，B 同时发生时，事件C 必定发生，则（ ）成立。
A 、)()(AB P C P = B 、)()(C P AB P ≤ C 、)()(AB P C P ≤ D 、)()(B A P C P +=5、当下列条件满足时，事件A 与B 互为对立。
（ ） A 、Φ=AB B 、Ω=⋃B A C 、Φ=AB 且Ω=⋃B A D 、A 与B 互不相容6、设任意事件A ，B ，若B A ⊂，则下列各等式不成立的是（ ）（A ）A+B=B （B ）Φ=-B A （C ） B B A =+ （D ）Φ=B A1、当61)(,31)(,21)(===AB P B P A P 时，事件A 与B 的关系（ ） （A ）、相互独立 （B ）、相等 （C ）、相互对立 （D ）、互不相容()()()()一定不独立，，则如一定独立，，则如有可能独立，，则如一定独立，，则如，和、对于任意两事件B A AB C B A AB C B A AB B B A AB A B A 1∅=∅=∅≠∅≠ 二、填空题（每题3分，共15分）1、已知,31)(=A P 21)(,41)(=⋃=B A P AB P ，则=)(B P 2、已知,8.0)(=A P 4.0)(=B p , ,25.0)(=A B P ，则=)(B A P3、若1,2,3,4,5号运动员随机排成一排，则1号运动员站在正中间的概率为1、某班有12名学生是在1985年出生的，至少有两人是同一天出生的概率是____________。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计第一章
第一章测试题一、选择题1•设A, B, C为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为（A）A B C （B）A B一AC （C）ABC （D）2. 对于任意二事件A和B,与A B二B不等价的是(A)A B (B)B A (C) AB 二(D)AB = ■-A P(A) :: P(A B)C. P(A) P(AB)4 .设0 ：： P A ：：1 , 0 ：. P B -1 ,A事件A与B互不相容C.事件A与B相互对立5 .对于任意两事件A与B ,A P A -P BC. PA -P ABB. P(A)乞P(A B)D. P(A)ZP(AB)P(A B) + P(AB)=1，贝U()B.事件A与B相互独立D.事件A与B互不独立B. P A -P B P ABD. P A PA - P AB6. 若A、B互斥，且P A 0,P B 0，则下列式子成立的是( )A P(AB)=P(A) B. P(BA)>0C. P(AB) = P(A)P(B)D. P(BA)=O7. 设A、B、C 为三个事件，已知P(B A)=0.6,P(C AB )=0.4，则P(BC〔A) =()A 0.3 B. 0.24 C. 0.5 D. 0.218 .设A , B是两个随机事件，且0<P(A)v1 , P(B)>0, P(B| A) = P(B| A)，则必有3•设A、B是任意两个事件, A B，P B 0，则下列不等式中成立的是（(A) P(A| B) =P(A| B) (B) P(A|B) = P(A|B)()(A) P(A| B) =P(A| B) (B) P(A|B) = P(A|B)(C) P(AB) =P(A)P(B) (D ) P(AB) = P(A)P(B)9•设A,B,C是三个相互独立的随机事件，且0<P(C)v1。
则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()(A)LB 与 C ( B)AC 与 C ( C)M TB与 C ( D)AB 与C10•设A, B, C三个事件两两独立，则A, B, C相互独立的充要条件是()(A) A与BC独立 (B) AB与A+C独立 (C) AB与AC独立 (D) A+B与A+C独立11 •将一枚均匀的硬币独立地掷三次，记事件A= “正、反面都出现”，B= “正面最多出现一次”，C= “反面最多出现一次”，则下面结论中不正确的是( ) (A) A与B独立 (B) B与C独立(C) A与C独立 (D) B C与A独立12.进行一系列独立重复试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为()(A)4p(1-p)3(B) C；p2(1-p)3(C) (1-p)3( D) 4p2(1-p)3二、选择题1•设A, B, C 为三个事件，且P(AoB) =0.9,P(AUBOC) =0.97,则P(AB_C) = _________ .2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率为 _______ .3. 随机地向半圆0 ：：： y ：：：•.. 2ax - x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于二的概率4为______ .4. 设随机事件A, B及其和事件A-B的概率分别是0.4, 0.3, 0.6,若B表示B的对立事件，则积事件AB的概率P(AB) = _______ .5. 某市有50住户订日报，有65：住户订晚报，有85住户至少订这两种报纸(C) P(AB) =P(A)P(B) (D ) P(AB) = P(A)P(B)中的一种，则同时订这两种报纸的住户的百分比是 ________ .6. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率__________ .7. 电路由元件A与两个并联元件B, C串联而成,若A, B, C损坏与否相互独立,且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1,则电路断路的概率是__________ .8. 甲乙两人投篮,命中率分别为0.7, 0.6,每人投三次，则甲比乙进球多的概率1 i 19. 三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为 -,1,-，则此密码被译5 3 4出的概率_____ .10. 设A, B是任意两个随机事件，则P｛( A - B)(A - B)(A - B)(A - B)｝ = _____________ 11已知A、B 两事件满足条件P(AB )=P(AB ),且P(A) = p，则P(B) = ____________1 312.已知P(A)二P(B)二P(C)二，P(AB)二P(BC) =0,P(AC)二，贝U A,B,C 都不发4 16生的概率为___________三、计算题1. 一袋中装有10个球，其中3个黑球7个白球，每次从中任取一球，然后放回，求下列事件的概率：(1) 若取3次，A=｛3个球都是黑球｝;⑵若取10次，B=｛10次中恰好取到3次黑球｝，C=｛10次中能取到黑球｝;(3)若未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球为止，D=｛恰好取3次｝，E=｛至少取3次｝.2. 有两箱同种类的零件，第一箱内装50只，其中10只一等品，第二箱内装30只，其中18只一等品.今从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中取零件2次, 每次任取一只，作不放回抽样.求(1) 第一次取到的零件是一等品的概率；(2) 已知第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.3. 设10件产品中有3件次品,7件正品,现每次从中任取一件,取后不放回.试求下列事件的概率.(1) 第三次取到次品；(2) 第三次才取到次品；(3) 已知前两次没有取到次品，第三次取到次品；4. 从过去的资料得知，在出口罐头导致索赔事件中，有50%是质量问题，30%是数量短缺问题，20%是包装问题。
概率论与数理统计第一章习题及答案
概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生，B 与C 不发生， （2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3）C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7）C B A ,,中不多于两个发生， （8）C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4）A ，B ，C 都发生，表示为ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生，相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为ABC C B A 或++（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，最小值是多少？解 由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。
《概率论与数理统计》典型例题
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
(完整版)概率论与数理统计课程第一章练习题及解答
概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。
（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。
（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。
（×）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。
（×）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。
（√）7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。
（×）8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件A 、B 独立。
（√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。
（√）10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。
（√）二、单选题1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ）A 、()()P A PB + B 、()()P A P B +C 、1()()P A P B -D 、1()()P A P B -2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ）A 、A 与AB +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立C 、A 与B A -一定独立D 、A 与AB 一定独立3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）A 、1()()()P C P A PB ≤+- B 、1()()()PC P A P B ≥+-C 、()()P C P AB =D 、()()P C P A B =U4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ）A 、(1)0{}T t ≥B 、(2)0{}T t ≥C 、(3)0{}T t ≥D 、(4)0{}T t ≥分析 事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ；事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，即(3)0{}E T t =≥，选C 。
考研数学概率论和数理统计第一章测试题(卷)(含答案解析)
考研数学概率论与数理统计第一章测试题（含答案）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.对于任意二事件A 和B ，与B BA不等价．．．的是（）(A)B A (B)A B(C)BA (D)BA 2.设事件A 与事件B 互不相容，则（）(A)0)(B A P (B))()()(B P A P AB P (C))(1)(B P A P (D)1)(B AP 3.对于任意二事件A 和B ，则以下选项必然成立的是（）(A)若AB ，则B A,一定独立 (B)若AB ，则B A,有可能独立(C)若AB ，则B A,一定独立 (D)若AB，则B A,一定不独立4.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）(A)A 与B 互不相容(B)A 与B 相容(C))()()(B P A P AB P (D))()(A P B AP 5.设B A,为任意两个事件，且B A ，0)(B P ，则下列选项必然成立的是（）(A))|()(B A P A P (B))|()(B A P A P (C))|()(B A P A P (D))|()(B A P A P 6.设B A,为两个随机事件，且0)(B P ，1)|(B A P ，则必有（）(A))()(A P B A P (B))()(B P B A P (C))()(A P B A P (D))()(B P B AP 7.已知1)(0B P ，且)|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P ，则下列选项成立的是（）(A))|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P (B))()()(2121B A P B A P B A BA P (C))|()|()(2121B A P B A P A A P (D))|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P 8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A {掷第一次出现正面}，2A {掷第二次出现正面}，3A {正、反面各出现一次}，4A {正面出现两次}，则事件（）(A)321,,A A A 相互独立 (B)432,,A A A 相互独立(C)321,,A A A 两两独立 (D)432,,A A A 两两独立9.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p （10p ），则此人第4射击恰好第2次命中目标的概率为（）(A)2)1(3p p (B)2)1(6p p (C)22)1(3p p (D)22)1(6p p 10.设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)()(0C P AC P ，则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是（）(A)B A与C (B)AC 与C (C)B A与C (D)AB 与C二、填空题（每小题2分，共14分）1.“C B A ,,三个事件中至少有两个发生”，这一事件可以表示为___2.若事件B A ，满足1BP A P ，则A 与B 一定____________3.在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于21的概率为4.在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P AB P A =；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。
概率论与数理统计第1章习题详解
概率论与数理统计第1章习题详解一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C BA ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计 第一章随机事件及其概率 练习题
第一章 随机事件及其概率（概率论与数理统计）练习题1．写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合：(1) 10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品；(2) 一个口袋中有2个白球,3个黑球,4个红球，从中任取一球：①得白球；②得红球．2．化简事件算式：)()()()(B A B A B A AB ⋅ ．3．就下列情况分别说明事件A ，B ，C 之间的关系：(1) A C B A =++；(2) A ABC =.4．试判断事件“A ，B 至少发生一个”与“A ，B 最多发生一个”是否是对立事件．5．下列各式说明A 与B 之间具有何种包含关系?(1) AB =A ， (2)A B A = ．6．掷一枚骰子的试验，观察其出现的点数，事件A =“偶数点”，B =“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D =“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系．7．将下列事件用A ，B ，C 的运算表示出来：(1) A 发生；(2) 只有A 发生；(3) 三个事件中恰好有一个发生；8．设某工人连续生产了4个零件，用i A 表示他生产的第i 个零件是正品(i =1，2，3，4)．试用事件的运算表示下列各事件：(1) 没有一个是次品；(2) 至少有一个是次品；(3) 只有一个是次品；(4) 至少有三个不是次品；(5) 恰好有三个是次品；(6) 至多有一个是次品．9．事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务(i =1，2，3),B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务．说明事件C B B -与的含义，并且用i A (i =1，2，3)表示出来．10．设A ，B 为事件，问下列各事件表示什么意思? (1)B A ； (2)B A ； (3)B A ⋅．11．如图，事件A ，B ，C 都相容，即φ≠ABC ，把事件A +B ，A +B +C ，AC +B ，C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来．12．两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明．13．将1套4册的文集按任意顺序放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成1，2，3，4的顺序的概率是多少?14． 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率．15．10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率．16．抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率．17．有一元币、五角币、一角币、五分币、二分币、一分币各一枚，试求由它们所组成的所有可能的不同币值中，其币值不足一元的概率．18．一楼房共14层，假设电梯在一楼起动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的．试求下列事件的概率：1A ={10人在同一层下}； 2A ={10人在不同楼层下}；3A ={10人都在第14层下}； 4A ={10人中恰有4人在第8层下}．19．将S N I E E C C , , , , , ,等7个字母随意排成一行，求恰好排成SCIENCE 的概率．20．一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1) 四张花色各异； (2) 四张中只有两种花色．21．袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A =“全红”，B =“全白”，C =“全黑”，D =“无红”，E =“无白”，F =“无黑”，G =“颜色全相同”，H =“颜色全不相同”，I =“颜色不全相同”．22．一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4人的生日在同一个月份的概率．23．一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算)．24．从4双不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：(1) 4只恰成2双；(2) 4只中恰有一双；(3) 4只中没有成双的．25．掷三颗骰子，得3个点数能排成公差为1的等差数列的概率为多少?26．将4个男生与4个女生任意地分成两组，每组4人，求每组各有2个男生的概率．27．设O 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C ，求AC 、CB 、AO 三条线段能构成一个三角形的概率．28．在A B C ∆中任取一点P ，证明：ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于nn 1-的概率为21n． 29．设c AB P b B P a A P ===)( ,)( ,)(，用a ，b ，c 表示下列事件的概率： (1) )(B A P ， (2) )(B A P ， (3) )(B A P ， (4) )(B A P ⋅．30．设)( ,6.0)( ,3.0)( ,4.0)(B A P B A P B P A P 求=== ．31．设7.0)( ,4.0)(=+=B A P A P ，(1) 若A 与B 互斥，求()B P ；(2) 若A 与B 独立，求()B P ．32．已知61)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求A ，B ，C 全不发生的概率．33．事件A 与B 互不相容，计算)(B A P +．34．设事件A B ⊃，求证：)()(A P B P ≥．35．设事件B A ,的概率都大于0，比较概率)(A P ，)()(),(B P A P B A P ++， )(AB P 的大小(用不等号把它们连结起来)．36．已知a B A P a b ab b B P a A P 7.0)( ),3.0 ,0( ,)( ,)(=->≠==，求： )(A B P +， )(A B P -， )(A B P +．37．设21,A A 为两个随机事件，证明： (1))()()(1)(212121A A P A P A P A A P ⋅+--=； (2))()(121A P A P --)()()()(212121A P A P A A P A A P +≤≤≤ ．38．一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率．39．在1000名技术员中调查性别、婚姻状况及学历，得如下数据：(1) 813个男性；(2) 875个已婚；(3) 752个大专毕业生；(4) 632个男大专毕业生；(5) 572个已婚男性；(6) 654个已婚大专毕业生；(7) 420个已婚男大专毕业生．试说明这些数据中有错误．40．在某城市中发行3种报纸A ，B ，C ．经调查，在居民中按户订阅A 报的占%45，订阅B 报的占%35，订阅C 报的占%30，同时订阅A 报和B 报的占%10，同时订阅A 报和C 报的占%8，同时订阅B 报和C 报的占%5，同时订阅这3种报纸的占%3，试求下列事件的概率：(1) 只订B 报的；(2) 只订A 报和B 报两种的；(3) 只订1种报纸的；(4) 恰好订2种报纸的；(5) 至少订阅2种报纸的；(6) 至少订1种报纸的；(7) 不订报纸的；(8) 至多订阅1种报纸的．41．某单位有%92的职工订阅报纸，%93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工，求下列事件的概率：(1) 该职工至少订阅一种报纸或杂志；(2) 该职工不订阅杂志，但订阅报纸．42．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为%12，乙市全年雨天的比例为%9，甲乙两市至少有一市为雨天的比例为16.8%．试求下列事件的概率：(1) 甲、乙两市同为雨天；(2) 在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；(3) 在乙市无雨的条件下甲市亦无雨．43．分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若28.0)(,4.0)()(===AB P B P A P ，求：)|(B A P ， )|(A B P ， )(B A P +．44．设A 与B 独立， )(A P =0.4， )(B A P +=0.7，求概率)(B P ．45．设甲、乙两人各投篮1次，其中甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.7，并假定二者相互独立，求：(1) 2人都投中的概率；(2) 甲中乙不中的概率；(3) 甲投不中乙投中的概率；(4) 至少有一个投中的概率．46．甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1) 只有一人投中；(2) 最多有一人投中；(3) 最少有一人投中．47．甲乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?48．加工一产品需要4道工序，其中第1、第2、第3、第4道工序出废品的概率分别为0.1，0.2，0.2，0.3，各道工序相互独立，若某一道工序出废品即认为该产品为废品，求产品的废品率．49．加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率．50．求下列系统(如图所示)的可靠度．假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立．51．某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数)．52．设事件n A A A ,,,21 相互独立，且i i p A P =)( ),,2,1(n i =，11=∑=ni i p ，试求：(1) 这些事件至少有一件不发生的概率；(2) 这些事件均不发生的概率；(3) 这些事件恰好发生一件的概率．53．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6．求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少? 又若有一架敌机入侵领空，欲以%99以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮?54．甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的概率为0.6，求该密码能被译出的概率．55．上题中如改为n 个人组成的小组，在同一时间内分别破译某密码．并假定每人能译出的概率均为0.7，若要以%9999.99的把握能够译出，问至少需要几个人?56．对于三事件A 、B 、C ，若)|()|()|((C B P C A P C B A P = 成立，则称A 与B 关于条件C 独立．若已知A 与B 关于条件C 、C 均独立，且==)|(,5.0)(C A P C P 0.9，=)|(C B P 0.9，2.0)|(=C A P ，1.0)|(=C B P ．试求)(,)(,)(B A P B P A P ，并证明A 与B 不独立．57．一个人的血型为O ,A ,B ,AB 型的概率分别为0.46，0.40，0.11，0.03，现在任意挑选5人，求下列事件的概率：(1) 2个人的血型为O 型，其他3人的血型分别为其他3种血型；(2) 3个人的血型为O 型，2个人为A 型；(3) 没有一个人的血型为AB 型．58．设1)(0<<B P ，证明：A 与B 独立的充要条件是=)|(B A P )|(B A P ．59．设A ，B ，C 相互独立．证明：A 与C B 独立，A 与B -C 也独立．60．某厂有甲、乙、丙三条流水线生产同一种产品，每条流水线的产量分别占该厂生产产品总量的%25，%35，%40，各条流水线的废品率分别是%5，%4，%2，求在总产品中任取一个产品是废品的概率．61．假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的%45，%35，%20．如果各车间的次品率依次为%4，%2，%5．现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．62．某种同样规格的产品共10箱，其中甲厂生产的共7箱，乙厂生产的共3箱，甲厂产品的次品率为101，乙厂产品的次品率为152，现从这10箱产品中任取1件产品，问：(1) 取出的这件产品是次品的概率；(2) 若取出的是次品，分别求出次品是甲、乙两厂生产的概率．63．设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则不买．求：(1) 顾客买下此箱玻璃杯的概率α；(2) 在顾客买下的此箱玻璃杯中，确实没有次品的概率β．64．一道选择题有4个答案，其中仅1个正确．假设一个学生知道正确答案及不知道而乱猜的概率都是1/2(乱猜就是任选一个答案)．如果已知学生答对了，问他确实知道正确答案的概率是多少?65．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定的时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1．当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少?66．A 地为甲种疾病多发区，该地区共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9:7:4，据统计资料，甲种疾病在该地三个行政小区内的发病率依次为4‟，2‟，5‟，求A 地的甲种疾病的发病率．67．盒子里有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒子，第二次比赛时再从盒子中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率；若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率．68．已知100件产品中有10件绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时发生故障的可能性均为0.1．现从这100件产品中随机抽取一件，若使用了n 次均未发生故障，问n 为多大时，才能有%70的把握认为所抽取的产品为正品．69．在4次独立重复试验中事件A 至少出现1次的概率为0.59，试问在1次试验中A 出现的概率是多少?70．按某种要求检查规则，随机抽取4个梨，如果4个梨全是熟的，则所有梨都将在餐厅做饭后食用．一批梨仅有%80是熟的，问能做餐用的概率是多少?答案1．(1) 记9件合格品分别为：正1，正2，…，正9，不合格品为次，则 {=Ω(正1，正2)，(正1，正3)，…，(正1，正9)，(正1，次)， (正2，正3)，…，(正2，正9)，(正2，次)，…………………………，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}，{=A (正1，次)，(正2，次)，(正3，次)，……，(正9，次)}(2) 记2个白球分别为21,ωω，3个黑球分别为321,,b b b ，4个红球分别为4321,,,r r r r ．则 {=Ω,,21ωω321,,b b b ，4321,,,r r r r }，① {=A 21,ωω}； ② {=B 4321,,,r r r r }2．Ω3．A +B +C =A 表明B +C A ⊂．但B ，C 可以互斥、相容或包含； ABC =A 表明A BC ⊂．但B ,C 的交必须是非不可能事件4．不是对立事件5．(1) 因为“AB =A ”与“AB A A AB ⊂⊂且”是等价的， 由A ⊂A B 可以推出A ⊂A 且A ⊂B ，因此有A ⊂B(2) 因为“A B A = ”与“B A A A B A ⊂⊂且”是等价的， 由A B A = 可以推出A ⊂A 且B ⊂A ，因此有B ⊂A 6．A 与B 为对立事件，B 与D 互不相容，A ⊃D ，C ⊃D ．7．(1) A ； (2) C B A ； (3) C B A C B A C B A .8．(1) 4321A A A A ； (2) 4321A A A A ；(3) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ；(4) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ；(5) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ；(6) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 9．323121A A A A A A B ++=表示至少有两个车间没完成任务； B -C =321A A A 表示三个车间均完成生产任务10．(1) AB B A = 表示A 、B 不都发生；(2) AB B B A B A -=-Ω=)(表示B 发生而AB 不发生；(3) B A 表示A 、B 都不发生11．AB B A B A A B A B A A B A ++=-+=+=+)(；C B A B A A C B A ++=++；A C +B =C B A B +； BC A C B A C B A AB C ++⋅=-12．对立一定互不相容(φ=A A )；互不相容不一定对立(Ω=+=B A AB 未必,φ)例如，E ：掷骰子．事件{=A 出现点数为1，2}，事件{=B 出现点数为3，4}，{=C 出现点数为3，4，5，6}，则A 与B 互不相容，A 与C 对立．13．121 14．2815 15．158 16．43 17．0.492118．1111043.9)(-⨯=A P ； 721024.1)(-⨯=A P ；1231025.7)(-⨯=A P ； 341055.4)(-⨯=A P19．七个字母的全排列总共有7!=5040种不同排法，将七个字母编号S N I E E C C1 2 3 4 5 6 7在全部的5040种可能排列中，恰好排成SCIENCE 的有如下四种情形(7154623)，(7153624)，(7254613)，(7253614)， 于是≈=50404p 0.000794 20．(1) 105.0452113113113113==C C C C C p ；(2) 30.04523131132421321324=+=C C C P C C C p 21．27131)()()(3====C P B P A P ， 27832)()()(33====F P E P D P ， 91271271271)(=++=G P ， 9227123)(=⋅⋅=H P ， 98)(1)(=-=G P I P 22．0.007323．24.03653641100100=- 24．从4双即8只鞋中任取4只，故基本事件数为48C ，(1) “4只恰成2双”相当于“从4双里选2双”，故有利事件数为C 24，其概率为4824C C =353． (2)为使4只中恰有1双，可设想为先从4双中取出1双，再从余下的3双中取出2双，然后从这2双中各取1只．因此，有利事件数为222314⋅⋅⋅C C ，其概率为352422482314=⋅⋅⋅C C C ． (3)“4只中没有成双的”相当于“从4双中各取1只”．因此，有利事件数为162222=⋅⋅⋅，其概率为3581648=C 25．每颗骰子有6个点，因此基本事件总共有216666=⋅⋅个，只要掷出的三个点由1，2，3或2，3，4或3，4，5或4，5，6组成，不论它们出现的次序怎么样，都是有利事件．因此欲求之概率为91216!34=⨯． 26．3518 27．不妨设AB =1， AC =x ，则CB =1-x ， AO =21， AC ，CB ， AO 能构成一个三角形必须且只需同时满足 x x x x >-+->+121,121， 即4341<<x ． 将AB 等分成四小段，第二及第三小段组成有利事件，因此欲求之概率为2142= 28．(如图)截取CD nD C 1='，当且仅当点P 落入△B A C ''之内时，△ABP 与△A B C 的面积之比大于nn 1-，故所求概率为 22222211nCD CD n CD D C ABC C B A p =='=∆''∆=的面积的面积．29．(1) 1-c ； (2) b -c ； (3) 1-a +c ； (4) 1-a -b +c30．0.331．0.3；0.532．127 33．134．略35．)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤+≤≤36．b +0.7a ； b -0.3a ； 1-0.3a37．(1) )(1)()(212121A A P A A P A A P -===1-[)()()(2121A A P A P A P ⋅-+]=1-)()()(2121A A P A P A P ⋅+-(2) 由(1)和0)(21≥⋅A A P 得第一个不等式，而)()(2121A A P A A P ≤ )()(21A P A P +≤38．0.37539．设从1000名技术员中任意地抽取一人．以A 记事件：“抽取男性”，B 记事件：“抽取已婚者”，C 记事件：“抽取大专毕业生”．按所给数据应有,752.0)(,875.0)(,813.0)(===C P B P A P420.0)(,632.0)(,654.0)(,572.0)(====ABC P AC P BC P AB P 于是)(C B A P ++)()()(C P B P A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---=0.813+0.875+0.752-0.572-0.654-0.632+0.420=1.002>1．得出矛盾，因此所给数据有错误40．(1) 0.23； (2) 0.07； (3) 0.73； (4) 0.14； (5) 0.17； (6) 0.90；(7) 0.10； (8) 0.8341．(1) 0.988； (2)0.05842．(1)0.042； (2) 0.35； (3)0.914343．0.7； 0.7； 0.5244．5.045．(1) 0.56； (2) 0.24； (3) 0.14； (4) 0.9446．(1) 0.188； (2) 0.212； (3) 0.97647．甲先投中的概率大48．0.649．0.448．50．(1) 这个系统由三个相同的子系统并联而成，每个子系统又由三个元件串联而成．因此每个子系统的可靠度为321p p p ，整个系统的可靠度为3321)1(1p p p --．(2) 这个系统由三个子系统串联而成，第一、第三个子系统只由一个元件组成，第二个子系统由三个相同的元件并联而成．因此，三个子系统的可靠度分别为1321,)1(1,p p p --，整个系统的可靠度为])1(1[3221p p --．(3) 这个系统由两个子系统并联而成，第一个子系统由两个二级子系统串联而成，而第一个二级子系统又由两个元件并联而成．因此，第一个子系统的可靠度为])1(1[212p p --，整个系统的可靠度为1-[))1(1(1212p p ---])1(3p -]=1-)1(3p -[)2(1121p p p --]=)2()2(13213121p p p p p p p p --+-=33121)1)(2(p p p p p +--51．0.42； 0.58×0.42； 0.581-m ×0.4252．(1) )(1}{2121n n A A A P A A A P -==-=)()()(121n A P A P A P 1-n p p p 21(2) )()()(}{2121n n A P A P A P A A A P =⋅=∏=-ni i p 1)1( (3) }{121321321n n n n A A A A A A A A A A A A P -⋅⋃⋅=+---+---)1()1()1()1()1)(1(321321n n p p p p p p p pn n p p p p )1()1)(1(121----+=∑∏=≠=-n i nj i i j i p p 11])1([．53．用k A 表示“第k 门高射炮发射一枚炮弹击中飞机”， ,2,1=k ，B 表示“击中飞机”．则 ,2,1,6.0)(==k A P k ， (1) 84.04.01)()(1)(1)(2212121=-=-=⋅-=A P A P A A P A A P ， (2) 99.04.01)(1)(1)(1121>-=-=-=∏==n nk k n k k n A P A P A A A P ， 即6,026.54.0lg 01.0lg ,01.099.014.0=≈>=-<n n n 取， 故至少需要6门高射炮，同时发射一枚炮弹，可保证%99的概率击中飞机54．0.97655．1256．55.0)2.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C A P C P C A P C P A P ，50.0)1.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C B P C P C B P C P B P ， )|()()|()()(C AB P C P C AB P C P B A P +=)|()|()()|()|()(C B P C A P C P C B P C A P C P +=，由A ，B 条件独立得415.0)1.02.09.0(21)(2=⨯+=B A P ， 由于)()(5.055.0415.0)(B P A P B A P =⨯≠= ，所以A ，B 不独立57．(1) 从5个人任选2人为O 型，共有25C 种可能，在其余的3人中任选一人为A 型，共有3种可能，在余下的2人中任选1人为B 型，共有2种可能，另1人为A B 型，因此所要求的概率为0168.013.011.040.046.023225≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=C p ；(2) 1557.040.046.02335≈⋅⋅=C p ；(3) 8587.0)03.01(5≈-=p58．必要性 因为A 与B 独立，则)|()()|(B A P A P B A P ==． 充分性 因为)()()()(B P B A P B P AB P =， [][])()()()(1)(B P AB P A P B P AB P -=-，)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 独立．59．)()())((C B A P AB P C B A P += =)()()()()(C P B P A P B P A P + =)]()()[(C B P B P A P +=)()(C B P A P即A 与C B 独立，同理可证A 与B -C 也独立．)()())((ABC P AB P C B A P -=-=)()()()(BC P A P B P A P -=)()(BC B P A P -)()(C B P A P -=．60．0.034561．0.51462．(1) 0.11； (2) 0.6364； 0.363663．记A ：顾客买下所察看的一箱玻璃杯，i B ：箱中有i 件次品(2,1,0=i )，由题设知，8.0)(0=B P ，=)(1B P 1.0)(2=B P ，所以1)|(0=B A P ，54)|(4204191==C C B A P ，1912)|(4204182==C C B A P ， (1)由全概率公式知∑==++===2094.0)191254(8.0)/()()(i i i B A P B P A P α， (2)由贝叶斯公式知85.094.08.0)()/()()/(000====A P B A P B P A B P β 64．以A 记事件：“学生知道正确答案”，则A 表示事件：“学生在乱猜”以B 记事件：“学生答对了”．易见B A ⊂．因此有1)|(,21)()(===A B P A P AB P ， 此外，按题意有41)|(=A B P ，由全概率公式得 85412121)|()()|()()(=⋅+=+=A B P A P A B P A P B P ， 故所求的条件概率为54)()()|(==B P AB P B A P 65．以1A 表示“任取一台机床是车床”；2A 表示“任取一台机床是钻床”；3A 表示“任取一台机床是磨床”；4A 表示“任取一台机床是刨床”；B 表示“任取一台机床，它需要修理”．由题设知15912399)(1=+++=A P ，153)(2=A P ，152)(3=A P ，151)(4=A P ， k k A B P 711321)|(1=+++=，k A B P 72)|(2=，k A B P 73)|(3=， k A B P 71)|(4=，其中k 为比例常数．由Bayes 公式得 ∑==41111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P =2297115173152721537115971159=⨯+⨯+⨯+⨯⨯k k k k k 66．3.5‟67．设{=i A 第一次取出的3个球中有i 个新球})3,2,1,0(=i ，{=B 第二次取出的球全是新球}，则∑==30)|()()(i i i A B P A P B P =146.0)(3023*******=∑=--i i i i C C C C ， )()|()()|(333B P A B P A P B A P ==24.0146.0)(2312360339=C C C C68．设{=A 取出正品}，{=B 使用n 次均无故障}，已知10010)(=A P ，按题目要求应有70.0)|(≥B A P ，而)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +==n )9.0(9.011.011.0⨯+⨯⨯， 所以应是11)9.0(043.0,7.0)9.0(1.01.0++≥≥+n n ，由此得29≥n ． 69．设在1次试验中A 出现的概率为p ，则在4次独立试验中A 不出现的概率为4)1(p -，从而A 至少出现一次的概率为A P (至少出现一次)=1-4)1(p -=0.59即4)1(p -=0.41，所以p =0.270．设A =“随机抽取一个梨是熟的”．则取出4个梨相当于做了4次贝努里试验，且)(A P =548.0=，设B =“4个梨都是熟的”，则 4096.0625256)8.0()(444===C B P ， 即此批梨能作餐用的概率为4096.0。
概率论与数理统计第一章习题及答案【范本模板】
概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生,B 与C 不发生，（2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3)C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7)C B A ,,中不多于两个发生， （8)C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － （AB+AC )或A － （B ∪C ) （2)A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3)A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4)A ，B ,C 都发生，表示为ABC(5）A ，B ，C 都不发生,表示为C B A 或S － (A+B+C ）或C B A ⋃⋃（6)A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生,相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为ABC C B A 或++(8）A,B ，C 中至少有二个发生.相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生.故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ,问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值,最小值是多少？解 由P （A ） = 0.6，P （B ） = 0。
7即知AB ≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理， P （A ∪B ）=P (A )+P (B )=0。
6+0。
7=1.3〉1与P （A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P （AB ）=P （A ）+P （B )－P (A ∪B )(*）(1)从0≤P （AB )≤P （A ）知,当AB =A ,即A ∩B 时P (AB ）取到最大值，最大值为 P （AB )=P （A ）=0。
概率论与数理统计——第一章练习题
第一章 随机事件与概率（一）随机事件知识点1、称试验E 的样本空间的子集为随机事件，用A 、B 、C …表示。
事件A 的元素是样本点，它在一次试验中，可能出现，也可能不出现。
A 中的某个样本点出现了，事件A 发生，否则，A 不发生。
因此，在一次试验中，可能发生也可能不发生的事情，就是随机事件。
样本空间S 有两个特殊的子集；S 自身和空集φ。
S 含所有的样本点，每次试验，必然发生；φ不含样本点，每次试验一定不发生。
在一定条件下，每次试验一定发生的事情，称为必然事件。
每次试验一定不发生的事情，称为不可能事件。
必然事件S ，不可能事件φ是事先就能明确是否会发生，属于确定性现象，但在概率统计中，为了研究问题的需要，仍将其作为特殊的随机事件处理，使得事件间有着完整的关系，S A ⊂⊂φ。
此外，在样本空间的子集中，只含一个样本点的事件，称为基本事件。
样本点的个数超过一个的事件，称为复合事件。
2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合，因此，事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。
其运算规律也同集合间的运算规律。
(1)事件的包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称A 包含于B (或B 包含A )，记B A ⊂(或A B ⊃)。
若B A ⊂且A B ⊃，则称事件A 与事件B 相等，记B A =。
(2)事件的和事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，记作B A ，称为A 与B 的和事件，有{}B e A e e B A ∈∈=或 。
同样地有限个事件n A A A ,,,21 至少有一个发生的事件，记作 ni i A 1=，称为有限个事件的和事件。
可列多个事件 ,,,,21i A A A 至少有一个发生的事件，记作 ∞=1i i A ，称为可列多个事件的和事件。
(3)事件的积事件A 与事件B 同时发生的事件，记作B A (或AB )，称为A 与B 的积事件，{}B e A e e AB ∈∈=且 类似地，有限个多个事件n A A A ,,,21 同时发生的事件，记作 ni i A 1=。
概率论与数理统计例题
第一章第一节例1：甲、乙、丙三个射手击中目标的事件分别记作A 、B 、C ，试替用A 、B 、C 表示以下事件。
1) 甲击中目标，乙、丙未击中；2) 三个人中恰有一个人击中目标；3) 三个人中至少有一个击中目标；4) 三个人中恰有两个人击中目标；5) 三个人中至多一个人击中目标；6) 三个人都击中了目标；7) 三个人都未击中目标。
解：1) C B A2) C B A C B A C B A3) C B A C B A C B A C AB C B A BC A ABC ，或A B C 4) C AB C B A BC A5) C B A C B A C B A C B A ，或C B C A B A6) ABC7) C B A 或C B A例2：一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标（i ＝1，2，3），试用文字叙述叙述下列事件：1A 2A ，2A ，3A －2A ，C B A 。
解：1A 2A ：前两次射击中至少有一次击中目标；2A ：第二次射击未中目标；3A －2A ：第三次击中目标但第二次未击中目标；C B A ＝A B C ：三次射击中至少有一次击中目标。
第二节例1：同时掷两枚硬币，求出现一正一反的概率。
解：试验样本空间 ＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝，因此有四个基本事件且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型问题。
设A 表示事件“出现一正一反”，则事件A 包含两个基本事件（正，反）、（反，正），所以)(A P =42=21 例2：一批产品中有7件正品和3件次品，现从中任取两次，每次任取一件产品，考虑下面两种抽样方式：（a ）第一次取出一件产品，观察是否合格后放回，混合后再取第二件。
这种抽样方式称为有放回抽样。
（b ）第一次取出一件产品不放回，第二次从剩下的产品中再取一件。
这种抽样方式称为无放回抽样。
分别就以上两种情况求：1) 取到的两件都是次品的概率；2) 取到的两件是一件正品一件次品的概率。
概率论与数理统计教材第1章习题
47
1.20 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的 3本放在一起的概率。
解 基本事件的总数：
N P10 设A =“指定的3本放在一起”，
则A所包含的基本事件的数：
M P3 P8
∴ P( A) M P3 P8 8!3! 1 0.067 N P10 10! 15
48
1.21. 1～100个共100个数中任取一个数，求这个数能被2或3 或5整除的概率。
（1） （2） （3） （4）
A表示B
表示
表A示B
表示
AB
AA
; ; ; ;
解答
返回
1.3设A, B, C 表示三个事件, 试将下列事件用A, B, C 表示.
（1）A, B, C 都发生. （2）A, B, C 都不发生. （3）A, B, C 不都发生. （4）A, B, C 中至少有一个发生. （5）A, B, C 中至少有二个发生. （6）A, B, C 中恰好有一个发生. （7）A, B, C 中最多有一个发生. （8）A 发生而 B, C 都不发生. （9）A 不发生但 B, C 中至少有一个发生.
解: 设A= “被2整除”
B=“பைடு நூலகம்3整除”
C=“被5整除”
PA 50 PB 33 PC 20
100
100
100
PAB 16 PAC 10 PBC 6
100
100
100
PABC 3
100
所以所求事件的概率为
PA BC
PA PB PC PAB PBC PAC PABC
0.74
解答
返回
1.19 某工厂生产的100个产品中，有5个次品， 从这批产品中任取一半来检查，设A表示发现次品 不多于1个，求A的概率。
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1．写出下列随机试验的样本空间．(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω；(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω；(3)},2,1{ =Ω；(4)}|),{(22y x y x +=Ω．2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ，}5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ；(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ，}10,9,8,7,6,1{=B A ，}5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ；(4)}5{=BC ，}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ，}4,3,2{=BC A ，}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ，{1,8,9,10}=C B A ．3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121|{≤<=x x A ，}2341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ，}223,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ∅；(3)A AB =，}21,210|{≤<≤≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生；(2)A ，B ，C 中至少有一个发生；(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生；(4)A ，B ，C 中不多于一个发生．6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．证：A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A ．7．把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件．解：)()[(C A B A A A C B A C B A =-=)(B A A A A C A B A A ==CB A BC A B A A )(=C B A B A A =．8．设0)(>A P ，0)(>B P ，将下列5个数)(A P ，)()(B P A P -，)(B A P -，)()(B P A P +，)(B A P 按有小到大的顺序排列，用符号“≤”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．解：因为0)(>A P ，0)(>B P ，)()(B P AB P ≤，故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ，所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- ．(1)若A B ⊂，则有)()()(B A P B P A P -=-，)()(B A P A P =；(2)若=AB ∅，则有)()(A P B A P =-，)()()(B P A P B A P += ．9．已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．解：(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率．(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．解：从10件产品中任取3件，共有310C 种取法，(1)记=A {从10件产品中任取3件，只有1件次品}，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C 中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C 种取法．则事件A 共包含2614C C 个样本点，21)(3102614==C C C A P ．(2)记=B {从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，=C {从10件产品中任取3件，没有次品}，则C A B =，且A 与C 互不相容．没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C 种取法，则61)(31036==C C C P ，32)()()()(=+==C P A P C A P B P ．(3)易知=C {从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则65)(1(=-=C P C P ．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．解：从10个球中任选3球，共有310C 种选法，(1)记=A {从10个球中任选3球，最小标号为5}，事件A 发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C 种选法，则121)(31025==C C A P ．(2)记=B {从10个球中任选3球，最大标号为5}，事件B 发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C 种选法，则201)(31024==C C B P ．12．设在口袋中有a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．解：设=A {最后是白球留在口袋中}，事件A 即把b a +个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为ba a A P +=)(．13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；(2)6个人中有4人的生日在10月份；(3)6个人中有4人的生日在同一月份．解：设=i B {生日在i 月份}，则=i B {生日不在i 月份}，12,,2,1 =i ，易知121)(=i B P ，1211)(=i B P ，12,,2,1 =i ．(1)设=A {6个人中至少有1人的生日在10月份}，则=A {6个人中没有一个人的生日在10月份}，66101211(1)]([1)(1)(-=-=-=B P A P A P ；(2)设=C {6个人中有4人的生日在10月份}，则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(⋅===C B P B P C C P ；(3)设=D {6个人中有4人的生日在同一月份}，则52112121115)()(⋅==C P C D P ．14．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R 的概率．解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x ，已知，当R x 23<，弦长大于半径R ，从而所求的概率为232232=⋅=R R P ．15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h ，乙船的停泊时间是2h ，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．解：设=A {两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则=A {一艘船到达泊位时必须等待}，分别用x 和y 表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(≤-≤≤-≤=x y y x y x A ，从而1207.0242221232124)()()(2222≈⋅-⋅-=Ω=μμA A P ；8993.0)(1)(≈-=A P A P ．16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，=C {目标被击中}，则B A C =，由题设知A 与B 相互独立，且6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 8.0)()()()(=-+=B P A P B P A P ，从而43)()()()()|(===C P A P C P AC P C A P ．17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：=A {甲河流泛滥}，=B {乙河流泛滥}，=C {该地区被淹没}，则B A C =，由题设知1.0)(=A P ，2.0)(=B P ，3.0)|(=A B P ，从而)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 27.0)|()()()(=-+=A B P A P B P A P ，15.0)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P ．18．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设=A {有一件产品是不合格品}，=B {另一件产品也是不合格品}，=i D {取出的两件产品中有i 件不合格品}，2,1,0=i ，显然，21D D A =，=21D D ∅，2D B AB ==．=Ω{从n 件产品种任取两件}，共有2nC 种取法；若1D 发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m 件不合格品中取得，共有1m C 种取法；另一件为合格品，只能从m n -件合格品中取得，共有1m n C -种取法，则事件1D 中共有11m n m C C -个样本点，)1()(2)(2111--==-n n m n m C C C D P n m n m ，类似地，)1()1()(222--==n n m m C C D P n m ，所以)1()1()(2)()()()(2121--+-=+==n n m m m n m D P D P D D P A P ，)1()1()()(2--==n n m m D P AB P ，于是所求概率为121)()()|(---==m n m A P AB P A B P ．19．10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率．解：设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ，则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P ．20．设事件A 与B 互不相容，且1)(0<<B P ，证明：)(1)(|(B P A P B A P -=．证：∵事件A 与B 互不相容，则0)(=AB P ，)(1)()(1)()()(1)()()()|(B P A P B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P -=--=--==．21．设事件A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，45.0)(=B P ，求下列各式的值：(1))|(A B P ；(2))(B A P ；(3)(B A P ；(4)|(B A P ．解：∵事件A 与相互独立，∴事件A 与B 也相互独立，(1)45.0)()|(==B P A B P ；(2))()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=615.0=；(3)385.0)](1)][(1[)(()(=--==B P A P B P A P B A P ；(4)7.0()|(==A P B A P ．22．某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率．解：设=A {该种动物能活到10岁}，=B {该种动物能活到15岁}，显然A B ⊂，由题设可知92.0)(=A P ，67.0)(=B P ，所以9267)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P ．23．某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%．一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率．解：设=A {电灯泡是次品}，=1B {电灯泡由甲厂生产}，=2B {电灯泡由乙厂生产}，则=A {电灯泡是合格品}．由题设可知6.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，04.0)|(1=B A P ，05.0)|(2=B A P ，044.0)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P ，所以956.0)(1)(=-=A P A P ．24．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A {选出的人是色盲患者}，=B {选出的人是男性}，=B {选出的人是女性}，由题设可知21()(==B P B P ，05.0)|(=B A P ，0025.0)|(=B A P ，则2120)|()()|()()|()()|(=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P ．25．甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1．现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率．解：设1A ，2A ，3A 分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，=i B {敌机被击中i 次}，3,2,1=i ，=C {敌机坠毁}，则3213213211A A A A A A A A A B =，3213213212A A A A A A A A A B =，3213A A A B =，由题设可知4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ，2.0)|(1=B C P ，6.0)|(2=B C P ，1)|(3=B C P ，则)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.0=，类似地，51.0)(2=B P ，14.0)(3=B P ，由全概率公式得458.0)|()()(31==∑=i i i B C P B P C P ．26．三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：分别设事件A ，B ，C 为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为C B A ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=53=．27．甲袋中装有n 只白球、m 只红球，乙袋中装有N 只白球、M 只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设=A {从甲袋中取出白球}，=B {从乙袋中取出白球}，则由题设可知m n n A P +=)(，m n m A P +=(，11)|(+++=M N N A B P ，1|(++=M N N A B P ，由全概率公式，得)|(()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(()1(+++++=N M n m mN N n ．28．从区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的和小于1.2的概率．解：设x 和y 分别为所取的两个数，显然10≤≤x ，10≤≤y ，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记}2.1|),{(<+=y x y x A ，由几何概型，有68.0118.08.02111)(=⨯⨯⨯-⨯=A P ．29．一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r (10<<r )，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性．解：设=i A {第i 个元件能正常工作}，4,3,2,1=i ，=B {系统能正常工作}，则4314214321)(A A A A A A A A A A B ==，由题知r A P i =)(，i A 相互独立，4,3,2,1=i ，所以)()(431421A A A A A A P B P =)()()(4321431421A A A A P A A A P A A A P -+=)(()()()()()()()()(4321431421A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P -+=3)2(r r -=．30．某篮球运动员投篮命中的概率为0.8，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率．解：设=A {该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次}，=i B {该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数}，5,,1,0 =i ，则由题可知5432B B B B A =，10B B A =，i B 互不相容，5,,1,0 =i ，所以)()(1)(1)(10B P B P A P A P --=-=9933.02.08.02.08.0141155005=⋅⋅-⋅⋅-=C C ．31．设概率统计课的重修率为5%，若某个班至少一人重修的概率不小于0.95，1324问这个班至少有多少名同学？解：设该班有n 名同学，=A {该班每名同学概率统计课重修}，=i B {该班n 名同学中有i 名同学概率统计课重修}，=C {该班n 名同学中至少有1名同学概率统计课重修}，则 ni i n B B B B C 121===，0B C =，由题可知05.0)(=A P ，n n n C B P C P C P 95.0195.005.01)(1)(1)(000-=⋅⋅-=-=-=，由题意，应有95.095.01=-n ，解得59=n ．32．某种灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.6，求3个灯泡在使用1000h 以后最多有1个损坏的概率．解：设=A {该种灯泡使用时数在h 1000以上}，=i B {3个灯泡在使用h 1000以后有i 个损坏}，3,2,1,0=i ，=C {3个灯泡在使用h 1000以后最多有1个损坏}，则10B B C =，由题知6.0)(=A P ，i B 互不相容，3,2,1,0=i ，所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310=⋅⋅+⋅⋅=+=C C B P B P C P ．33．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：(1)二人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率．解：设=A {甲篮球运动员投篮命中}，=B {乙篮球运动员投篮命中}，=i A {甲篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=i B {乙篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=C {甲、乙进球数相等}，=D {甲比乙进球数多}，由题可知A 与B 相互独立，i A 相互独立，i B 相互独立，i A 与i B 相互独立，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，i i i i C A P -⋅⋅=333.07.0)(，i i i i C B P -⋅⋅=334.06.0)(，3,2,1,0=i ，(1) 30==i i i B A C ∑∑======303030)()()()()(i i i i i i i i i B P A P B A P B A P C P 3208.0=；(2)3310201)(B A B B A B A D =，从而有))(()(3310201B A B B A B A P D P =)(]([)(3310201B A P B B A P B A P ++= )()()()(33120201B A P B A P B A P B A P +++=)()()()()()()()(33120201B P A P B P A P B P A P B P A P +++=4362.0=．34．若三事件A ，B ，C 相互独立，证明：B A 及B A -都与C 相互独立．证：(1))())((BC AC P C B A P =)()()(ACBC P BC P AC P -+=)()()(ABC P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()]()()([C P AB P B P A P -+=)()(C P B A P =所以B A 与C 相互独立．(2))())((BC AC P C B A P -=-)()(ABC P AC P -=)()()()()(C P B P A P C P A P -=)()]()()([C P B P A P A P -=)()]()([C P AB P A P -=)()(C P B A P -=，所以B A -与C 相互独立．35．设袋中有1个黑球和1-n 个白球，每次从袋中随机摸出一球，并放入一个白球，连续进行，问第k 次摸到白球的概率是多少？解：设=A {第k 次摸到白球}，=A {第k 次摸到黑球}，A 发生表示前1-k 次摸球摸到的都是白球，第k 次摸到的是黑球．前1-k 次摸球，每次摸到白球的概率均为n n 1-，第k 次摸到黑球的概率为n 1，每次摸球相互独立，可知nn n A P k 1)1()(1⋅-=-，则n n n A P A P k 11(1)(1)(1⋅--=-=-．。
概率论与数理统计第1章例题
1.某人投篮两次，设事件A=“第一次投中”，B=“第二次投中”， 试问事件B A 表示 ________ 两次都未投中2.的运算用是三个事件设C B A C B A ,,,,,关系表示事件A ,B ,C 中至少有一个发生CABC A . C B A B . C B A C . C AB D .3.A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 表示三件事不都发生为DA. C B AB. C B A ⋃⋃C. ABCD. ABC4.A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 表示事件：A 不发生，且B 、C 中至少有一事件发生DA ． ABCB ．C B A C ． ABCD ． ()A B C ⋃5.A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 表达事件：三件事至少有一个发生___________ A B C ⋃⋃6. 打靶3发，事件A i 表示“第i 发击中”(i=1,2,3),那么事件A=A 1∪A 2∪A 3表示BA.三发全命中B.三发中至少有一发命中C. 三发都没有命中D.三发不都命中7.设A ，B ，C 为三个事件，则ABC 表示 DA. A ，B ，C 三个事件恰好有一个发生B. A ，B ，C 三个事件至少有一个发生C. A ，B ，C 三个事件都不发生D. A ，B ，C 三个事件仅仅事件B 发生 8．的运算用是三个随机事件设C B A C B A ,,,,,关系发生仅表示事件A _________.C B A ,9.同时掷两个均匀骰子,则出现点数之和为3的概率________________.181, 10.抛两个均匀的骰子，出现点数之和为5的概率为DA. 1/2B.2/3C. 1/6D.1/911.同时抛掷3枚硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为DA ． 0.5B ． 0.125C ． 0.25D ． 0.37512.从0，1，2，…,9这十个数字中任意选出3个不同的数字。
试求事件A=“三个数字中不含0和5”的概率 .解 、从十个数字中任意选出3个不同的数字,不计顺序,故属组合问题,因此,基本事件的总数为310C n =事件A 包含的基本事件数为38C m =所以 ()15731038==A P C C 13.袋中有5个红球,3个白球,2个黑球,若从袋中一次任取3个球,求取得红球、白球、黑球各一个的概率.解:事件A 表示一次任取3个球,取得红球、白球、黑球各一个310121315)(C C C C A P =25.0= 14.设有50张考签,分别予以编号1,2,...,50.一次任抽其中两张进行考试,求抽到的两张都是前10号(包括第10号)考签的概率.解: 事件A 表示抽到的两张都是前10号考签250210)(C C A P =037.0=15.袋中10个球，其中有4个白球，6个红球。
概率论与数理统计第一章习题参考答案
1第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482）455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解：用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球，只白球，11只红球，只红球，11只黑球”， 用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”， 用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” （1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===CC C P6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解：用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” （1）3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P（2）31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解： 用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解：、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解：用、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解：用、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ， 则9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ， 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解：用、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”， C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ； 01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解：用、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解：用、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”， C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解：用、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”， C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得由已知得5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P （1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解：用、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立）相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解：设、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解：令、解：令A ：“产品真含杂质”，A ：“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ，6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15（1）{}2501.08.02.03123315=´==C X P（2）{}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P（3）{}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P（4）{}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大，P 很小，所以利用)8(p 近似地～X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k（2）{}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P（3）64764181321412141321412=-===þýüîí죣òxdx x X P（4）271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ，则，则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或 有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解：、解： （1）{}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P（2）Y~b(10，275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10（3）{}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12（1）由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解：{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ，¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时，（X ，Y ）联合分布律为）联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ，}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D ：xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD ：xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、（1）61)2(122=-=òdx x x s ， îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f（2）îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、（1）Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501（2）D ：+¥<£+¥<£y x x 0或：yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、（1）Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq（2）{}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD ：1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|，当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时，1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时，当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、（1）X Y =，当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时，当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为（2）)21(+=X Y ，当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时，1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时，当时，当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y（3）2X Y =，当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时，当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîí죣-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîí죣-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立，且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知，22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时，当时，当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时，当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X ， íì<<=其他,010,1)(y y f Y ，ïïîïïí죣-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解（1）()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïí죣=ïîïí죣==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY（2）()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z（3）()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、（1）ïîïíì<<=其他率密度为）上服从均匀分布，概，在（,00,1)(10l x lx f X X（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、（1）U 的可能取值是0，1，2，31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0，1，2，3，4，5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，为取到的电视机中包含的次品数， 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则，则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ，故6)(==l X E（2）由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛，则)(X E 不存在。
《概率论与数理统计》习题及答案 第一章
《概率论与数理统计》习题及答案第 一 章1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
《概率论与数理统计》第一章-习题及答案
《概率论与数理统计》第一章习题及答案习题1.11. 将一枚匀整的硬币抛两次，事务C,分别表示“第一次出现A,B正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事务C,中的样本点。
A,B解：{=Ω(正，正)，〔正，反〕，〔反，正〕，〔反，反〕} {=A(正，正)，〔正，反〕}；{=B〔正，正〕，〔反，反〕} {=C(正，正)，〔正，反〕，〔反，正〕}2. 在掷两颗骰子的试验中，事务D,,分别表示“点数之和为A,BC偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事务D-+,-,,中AB-,ABCABCBCA的样本点。
解：{})6,6(,=Ω；),2,6(),1,6(,),2,1(),1,1(),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB；={})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,+BA；=),5,1(),3,1(),1,1(A；C=Φ{})2,2(),1,1(BC；={})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(BA-DC-=-3. 以C,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用A,B,表示以下事务：A,BC〔1〕只订阅日报；〔2〕只订日报和晚报；〔3〕只订一种报； 〔4〕正好订两种报； 〔5〕至少订阅一种报； 〔6〕不订阅任何报； 〔7〕至多订阅一种报； 〔8〕三种报纸都订阅； 〔9〕三种报纸不全订阅。
解：〔1〕C B A ； 〔2〕C AB ；〔3〕C B A C B A C B A ++； 〔4〕BC A C B A C AB ++;〔5〕C B A ++； 〔6〕C B A ；〔7〕C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ 〔8〕ABC ； 〔9〕C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事务321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
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32．设有来自三个地区的各10名、15名、和25名考生的报名表，其中女 生的报名表分别为3份、7份和5份，现随机地从一个地区的报名表中抽 出一份，求这份是女生的表的概率. 解:设表示“抽出的是女生表”；表示“抽到i个地区”(i=1,2,3)
全概率公式:
33.设事件A与B相互独立，P(A)=0.2，P(B)=0.3，则P()=D
10.抛两个均匀的骰子，出现点数之和为5的概率为D
A. 1/2 B.2/3
C. 1/6 D.1/9
11.同时抛掷3枚硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为D A． 0.5 B． 0.125 C． 0.25 D．
0.375 12.从0，1，2，…,9这十个数字中任意选出3个不同的数字。
试求事件A=“三个数字中不含0和5”的概率 . 解 、从十个数字中任意选出3个不同的数字,不计顺序,故属组合问题,
A. A与B互相独立
B. P()=0
C. P(AB)=1 D. P(AB)=0
22.设A与B是互为对立事件，则P(A∪B)=B
A.0 B. 1
C.2 D.3
23.若事件A与B互不相容，且P(A)=0.5, P(B)=0.4,则P(AUB)=
0.9
24. 已知P(AB)=1/12, P(B)=1/4, 则P(A|B)=___________ 1/3 25.袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有2人依次随机
A. 0.5 B. 0.1 C. 0.06 D. 0.44
34.设事件A与B相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.6，
则P()=C
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.76 D. 0.24
35.A、B为相互独立的事件，＝0.2，0.3， 则
0.56
36. 在两位数10～39中任取一个数，这个数能被2或3整除的概率为A
1.某人投篮两次，设事件A=“第一次投中”，B=“第二次投中”，
试问事件表示 ________
两次都未投中
2.关系表示事件A,B,C中至少有一个发生C
3.A，B，C为三个事件，用A，B，C表示三件事不都发生为D
A. B. C. D.
4.A，B，C为三个事件，用A，B，C表示事件：A不发生，且B、C中至少
C
A． B． C． D．
39.对某一目标依次进行三次独立射击，第一、第二、第三次射击命中
率分别
为0.4，0.5，和0.7，则仅仅在第三次才命中的概率是A
A.0.21 B. 0.14
C. 0.06
D.
0.09
40.、则2次射击中恰有1次命中的概率B
41.设A、B相互独立,且则下列选项正确的是B
解设:第次取得次品（i=1,2）,则
30.现有产品10只，其中次品为2只，每次从中任取一只，
取出后不再放回，求第二次才取得次品的概率？
解 ：设:第次取得次品（i=1,2）, 则
31. 试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择， 其中只有1个答案是正确的。任一考生，如果会解
这道题，则一定能写出正确答案；如果他不会解这道题，则不 妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率是0.8，求：考生选 出正确答案的概率. 解、设表示“考生选出正确答案”；表示“考生会解这道题”； 则全概率公式:
地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是A A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.2
26.B
27.A
28.设A、B互不相容,且则下列选项正确的是A
A.
B.
C.
D.
29.现有产品21只，其中次品为3只，每次从中任取一只，
取出后不再放回，求第二次才取得正品的概率？
=1-7/24=17/24
18.设A，B是两个随机事件，则一定有D
A．
B.
C.
D.
19.设随机事件A与B互不相容，则下列结论中一定成立的是B
A. P(AB)=P(A)P(B) B. P(AB)=0 C. P(AB)=1 D. P()=0
20.假设，，若与互不相容，则____ 0.3
21.设随机事件A与B互不相容，则D
15.袋中10个球，其中有4个白球，6个红球。从中任取3个， 求这三个球中至少有1个白球的概率.
解 =1-1/6=5/6
16. 若有产品共10件，其中有2件是废品，从中 任取3 件，求取出的三件产品中至少有一件废 品的概率.
解 17. 从一批7件正品，3件次品组成的产品中， 任取3件，求其中至少有一件次品的概率.
A. 2/3 B. 1/3
C.1/2
D.1/4
37. P(A)=0.8, P(B)=0.7, ，说明 C
A. A与B互不相容;
B. P(A+B)= P(A)+ P(B)
C．A与B互相独立; D．P(AB)=0
38.设事件与相互独立，，，则______ 0.5
6.关系_______成立时，则事件A、B为对立事件（记U为必然事件）
有一事件发生D
A．
B．
C．
D．
5.A，B，C为三个事件，试用A，B，C表达事件：三件事至少有一个发生
___________
6.
打靶3发，事件Ai表示“第i发击中”(i=1,2,3),那么事件
A=A1∪A2∪A3表示B
A.三发全命中 B.三发中至少有一发命中 C. 三发都没有命中 D.三发
不都命中
因此,基本事件的总数为 事件A包含的基本事件数为 所以 13.袋中有5个红球,3个白球,2个黑球,若从袋中一次任取3个球,求取 得红球、白球、黑球各一个的概率.
解:事件A表示一次任取3个球,取得红球、白球、黑球各一个
14.设有50张考签,分别予以编号1,2,...,50.一次任抽其中两张进行考 试,求抽到的两张都是前10号(包括第10号)考签的概率. 解: 事件A表示抽到的两张都是前10号考签
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44.设在一次试验中，事件发生的概率为.现进行次独立试验，则一次都
不发生的概率为___________
45.一批产品次品率为20％，重复抽样检查，取5件样品，列出这5件样
品中恰有3件次品的概率的式子
（不需计算）
A.
B.
C.
D.
42. 设A、B为相互独立的事件,
求
解
, 43．飞机有三个不同的部位被射击，第一部分被击中一弹，第二部分被 击中两弹，第三部分被击中三弹，飞机才被击落，而击中三部分的概率 分别为0.1,0.2,0.7,若已击中两弹，求飞机被击落的概率. 解, ,
注意：试卷内容请一律写在密封线框内，否则无效。
7.设A，B，C为三个事件，则表示 D A. A，B，C三个事件恰好有一个发生
个发生
B. A，B，C三个事件至少有一
C. A，B，C三个事件都不发生 件B发生
8．关系_________.,
D. A，B，C三个事件仅仅事
9.同时掷两个均匀骰子,则出现点数之和为3的概率
________________. ,