2013年广东梅州中考数学试题及答案(解析版)
广东梅州市2013年中考数学试卷
广东省梅州市2013年中考数学试卷一、选择题．每题3分，共5小题，共15分．只有一个正确答案．1．（3分）（2013•梅州）四个数﹣1，0，，中为无理数的是（）A．﹣1 B．0 C．D．2．（3分）（2013•梅州）从上面看如图所示的几何体，得到的图形是（）A．B．C．D．3．（3分）（2013•梅州）数据2，4，3，4，5，3，4的众数是（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 24．（3分）（2013•梅州）不等式组的解集是（）A．x≥2 B．x＞﹣2 C．x≤2 D．﹣2＜x≤25．（3分）（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6二、填空题．每题3分，共8题，共24分．6．（3分）（2013•梅州）﹣3的相反数是3．7．（3分）（2013•梅州）若∠α=42°，则∠α的余角的度数是48°．8．（3分）（2013•梅州）分解因式：m2﹣2m=m（m﹣2）．9．（3分）（2013•梅州）化简：3a2b÷ab=3a．10．（3分）（2013•梅州）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为8×106吨．11．（3分）（2013•梅州）如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是105度．12．（3分）（2013•梅州）分式方程的解x=1．13．（3分）（2013•梅州）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是（）2013．三、解答题．共10小题，共81分．14．（7分）（2013•梅州）计算：．15．（7分）（2013•梅州）解方程组．16．（7分）（2013•梅州）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）（1）若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为（2，﹣2）；（2）将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为（3，2）；（3）由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．17．（7分）（2013•梅州）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计．图①和图②是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）九年级（1）班共有60名学生；（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是18°；（3）若全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有300名．18．（8分）（2013•梅州）已知，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（a，2）．（1）求a的值及反比例函数的表达式；（2）判断点B（，）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．19．（8分）（2013•梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．考点：扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质分析：（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FAB ﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．解答：解；（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴图中阴影部分的面积为：S扇形FAB ﹣S△DAE﹣S扇形EAB=﹣×2×2﹣=﹣2．点评：此题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．20．（8分）（2013•梅州）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如表：单价（元/棵）成活率植树费（元/棵）A 20 90% 5B 30 95% 5设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下列问题：（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？考点：一次函数的应用分析：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000﹣x）棵，根据总费用=（购买A种树苗的费用+种植A种树苗的费用）+（购买B种树苗的费用+种植B种树苗的费用），即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）根据这批树苗种植后成活了925棵，列出关于x的方程，解方程求出此时x的值，再代入（1）中的函数关系式中即可计算出总费用；（3）根据绿化村道的总费用不超过31000元，列出关于x的一元一次不等式，求出x 的取值范围，即可求解．解答：解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000﹣x）棵，由题意，得y=（20+5）x+（30+5）（1000﹣x）=﹣10x+35000；（2）由题意，可得0.90x+0.95（1000﹣x）=925，解得x=500．当x=500时，y=﹣10×500+35000=30000，即绿化村道的总费用需要30000元；（3）由（1）知购买A种树苗x棵，B种树苗（1000﹣x）棵时，总费用y=﹣10x+35000，由题意，得﹣10x+35000≤31000，解得x≥400，所以1000﹣x≤600，故最多可购买B种树苗600棵．点评：此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式、列出方程与不等式，明确不等关系的语句“不超过”的含义．21．（8分）（2013•梅州）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB与点E，且CF=AE，（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的性质分析：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；（2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即∠ABC=45°，进而求出∠A=45度．解答：（1）证明：∵EF垂直平分BC，∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，又∵∠ACB=90°，∴EF∥AC，∴BE：AB=DB：BC，∵D为BC中点，∴DB：BC=1：2，∴BE：AB=1：2，∴E为AB中点，即BE=AE，∵CF=AE，∴CF=BE，∴CF=FB=BE=CE，∴四边形BECF是菱形．（2）解：∵四边形BECF是正方形，∴∠CBA=45°，∵∠ACB=90°，∴∠A=45°．点评：此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等知识，根据已知得出∠CBA=45°是解题关键．22．（10分）（2013•梅州）如图，已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．考点：二次函数综合题分析：（1）在二次函数的解析式y=2x2﹣2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0时，求出y=﹣2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；（2）先将y=6代入y=2x2﹣2，求出x=±2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4．分两种情况讨论：①当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；②当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可．解答：解：（1）∵y=2x2﹣2，∴当y=0时，2x2﹣2=0，x=±1，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2，又当x=0时，y=﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2，∴S△ABC=AB•OC=×2×2=2；（2）将y=6代入y=2x2﹣2，得2x2﹣2=6，x=±2，∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4．∵平行四边形的面积为8，∴MN边上的高为：8÷4=2，∴P点纵坐标为6±2．①当P点纵坐标为6+2=8时，2x2﹣2=8，x=±，∴点P的坐标为（，8），点N的坐标为（﹣，8）；②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x2﹣2=4，x=±，∴点P的坐标为（，4），点N的坐标为（﹣，4）；（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴OB=1，OC=2．∵∠QDB=∠BOC=90°，∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则=，即=，解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2，②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则=，即=，解得DQ=．综上所述，线段QD的长为2m﹣2或．点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，三角形、平行四边形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，但难度不大，注意要分情况讨论求解．23．（11分）（2013•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．考点：几何变换综合题分析：（1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；（3）如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM=CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值．解答：解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，∴CF=BC•sin30°=3×=，∴CP=CF•tan∠CFP=×=1．过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，∴PG=CG﹣CP=﹣1=．在Rt△APG中，由勾股定理得：AP===．（2）由（1）可知，FC=．如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP 1=AP2=．过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=．在Rt△AGP1中，cos∠P 1AG===，∴∠P1AG=30°，∴∠P1AB=45°﹣30°=15°；同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．∴∠PAB的度数为15°或75°．探究二：△AMN的周长存在有最小值．如答图3所示，连接AD．∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC．∵在△AMD与△CND中，∴△AMD≌△CND（ASA）．∴AM=CN．设AM=x，则CN=x，AN=AC﹣CN=BC﹣CN=﹣x．在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN====．△AMN的周长为：AM+AN+MN=+，当x=时，有最小值，最小值为+=．∴△AMN周长的最小值为．点评：本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．。
2013年广东省梅州中考数学试卷及答案(word解析版)
梅州市2013年初中毕业生学业考试数学试卷一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的1 （2013广东梅州，1，3分）四个数－1，0，12，2中为无理数的是 A －1B 0C12D2【答案】D2 （2013广东梅州，2，3分）从上面看如左图所示的几何体，得到的图形是A B C D【答案】B3 （2013广东梅州，3，3分）数据2，4，3，4，5，3，4的众数是A 5B 4C 3D 2 【答案】B4 （2013广东梅州，4，3分）不等式组2020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集是A 2x ≥B 2x >-C 2x ≤D 22x -<≤ 【答案】A5 （2013广东梅州，5，3分）一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是A 3B 4C 5D 6 【答案】A二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 6 （2013广东梅州，6，3分）－3的相反数是 【答案】37（2013广东梅州，7，3分）若42α∠=︒，则α∠的余角的度数是【答案】48°8（2013广东梅州，8，3分）分解因式：22m m -= 【答案】(2)m m -9（2013广东梅州，9，3分）化简：23a b ab ÷=【答案】3a10 （2013广东梅州，10，3分）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为 吨 【答案】6810⨯11 （2013广东梅州，11，3分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以点A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则∠BAC 的度数是【答案】105°12 （2013广东梅州，12，3分）分式方程211xx =+的解是x = 【答案】113 （2013广东梅州，13，3分）如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是【答案】()20132三、解答下列各题：本大题共10小题，共81分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤14 （2013广东梅州，14，7分）本题满分7分 计算：()1120138|32|2cos 452-⎛⎫⨯---+︒ ⎪⎝⎭解：原式=12223222⨯--+=15 （2013广东梅州，15，7分）本题满分7分 解方程组251x y x y +=⎧⎨-=⎩【解】251x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得36x =，即2x =，将2x =代入②，得1y =所以原方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩16 （2013广东梅州，16，7分）本题满分7分 如图，在平面直角坐标系中，A （－2，2），B （－3，－2）（1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为 ； （2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为 ；（3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内．（不包括边界．．．．．）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率【解】（1）∵点C 与点A 关于原点O 对称，且A （－2，2），∴点C 的坐标为（2，－2） （2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）（3）四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个，如图其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是5115317本题满分7分（2013广东梅州，17，7分）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计，图①和图②是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）九年级（1）班共有 名学生；（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是 ；（3）若全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有 名【解】（1）九年级（1）班中“很好”所占的比例为30%，“很好”的人数为18，所以九年级（1）班共有18÷30%=60（人）（2）九年级（1）中“较好”的人数为30，所以“较好”所占的比例为30÷60=50%，所以“较差”的所占比例为1-30%-15%-50%=5%所以对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是360°×5%=18（人）（3）全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有（5%+15%）×1500=300（人）18本题满分8分（2013广东梅州，18，8分）已知，一次函数1y x =+的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象都经过点A （a ，2）（1）求a 的值及反比例函数的表达式； （2）判断点B （22，22）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由 【解】（1）∵一次函数y=x+1的图象经过点A （a ，2），∴2=a +1，解得a =1又反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点A （a ，2），∴12k =，∴k =2 ∴a 的值为1，反比例函数的表达式为x y 2=（2）∵22222=⨯，∴点B （22，22）是在该反比例函数的图象上19本题满分8分 （2013广东梅州，19，8分）如图，在矩形ABCD 中，AB =2DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交DC 于点E ，交AD 的延长线于点F ，设DA =2 （1）求线段EC 的长；（2）求图中阴影部分的面积【解】（1）∵在矩形ABCD 中，AB =2DA ，∴AE =2AD ，且∠ADE =90°又DA =2，∴AE =AB =4，∴DE =3221622=-=-AD AE ，∴EC =DC -DE =324-（2）ADE AEF S S S ∆=-阴影扇形=2604182232336023ππ︒⨯⨯-⨯⨯=-︒20本题满分8分 （2013广东梅州，20，8分）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A ，B 两种树木，需要购买这两种树苗1000棵A ，B 两种树苗的相关信息如项目 品种单价（元/棵）成活率 植树费（元/棵）A 20 90% 5 B3095%5设购买A 种树苗x 棵，绿化村道的总费用为y 元解答下列问题： （1）写出y （元）与x （棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？ （3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B 种树苗多少棵？ 【解】解：（1）设购买A 种树苗x 棵，则购买B 种树苗（1000－x ）棵，绿化村道的总费用为y =(20+5)x +(30+5)（1000－x ）=25x +35000－35x =35000－5x （2）90%x +95%（1000－x ）=925解得x =500（棵），则购买B 种树苗500棵 (20+5) ×500×90%+(30+5) ×500×95%=27875（元）（3）(20+5)x +(30+5)（1000－x ）≥31000，解得x ≤400则1000－x ≥1000－400=600所以最多可购买B 种树苗600棵21本题满分8分（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，21，8分）如图，在四边形ABFC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线EF 交于点D ，交AB 于点E ，且CF =AE（1）求证：四边形BECF 是菱形；（2）若四边形BECF 为正方形，求∠A 的度数 【解】（1）∵BC 的垂直平分线EF 交于点D ，∴BF =FC ，BE =EC 又∵∠ACB =90°，∴EF //AC ∴BE ：AB=DB ：BC ，∵D 为BC 中点，∴DB ：BC=1：2，∴BE ：AB=1：2，∴E 为AB 中点，即BE=AE ，∵CF=AE ，∴CF=BE ，∴CF=FB=BE=CE ，∴四边形BECF 是菱形（2）如图，∵四边形BECF 为正方形，∴∠BEC =90°又AE =CE ，∴∠A =45°22本题满分10分（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，22，8分）如图，已知抛物线222y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C（1）写出以A ，B ，C 为顶点的三角形面积；（2）过点E （0，6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），以MN 为一边，抛物线上的任一点P 为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P 的坐标；（3）过点D （m ，0）（其中m >1）且与x 轴垂直的直线2l 上有一点Q （点Q 在第一象限．．．．），使得以Q ，D ，B 为顶点的三角形和以B ，C ，O 为顶点的三角形相似，求线段QD 的长（用含m 的代数式表示）【解】（1）∵抛物线222y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ∴2220x -=，C (0，-2)∴1x =±∴A （-1，0），B （1，0）∴AB =2∴12222ABC S ∆=⨯⨯=（2）∵过点E （0，6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点，∴2226x -=，解得2x =±，∴MN =4又平行四边形的面积为8时，∴点P 到MN 的距离为2，即P 点的纵坐标为4，∴2224x -=，解得3x =±，∴点P 的坐标为（3-，4）或（3，4） （3）设Q （m ，b ），则可分两种情况： ①当OB OCBD DQ=时，121m b =-，解得22b m =-（1m >） ②当OB OCDQ BD=时，121b m =-，解得1122b m =-（1m >）23本题满分11分（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，23，8分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在．．．．．．．．．．图中已标出．．．．．），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC 和ED 重合），在BC 边上有一动点P （1）当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连接AP ，求线段AP 的长； （2）当点P 在运动的过程中出现P A =FC 时，求∠P AB 的度数探究二：如图④，将△DEF 的顶点D 放在△ABC 的BC 边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF ，使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于M 、N 两点，连接MN ，在旋转△DEF 的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在求出它的最小值；若不存在，请说明理由【解】（1）过点A作AG⊥BC，垂足为G当点P运动到∠CFB的角平分线上时，∠PFC=∠BFP=30°，∴PC=12PF又∵∠CBF=30°，∴BP=PF∵BC=3，∴BP=2在Rt△BAC中，∵∠ABC=45°，∴AG=BG=12BC=32∴GP=12∴在Rt△AGP中，AP=229110 442AG GP+=+=（2）如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G在Rt△APG中，AP=CF=3，AG=32，则PG=2293 342AP AG-=-=，所以∠P AG=30°，所以∠P AB=15°当点P位于点P′处时，∠BAP=75°探究二：过点D分别作DH⊥AB于点H，DI⊥AC于点I在Rt △ABC 中，∵点D 是BC 中点，AB =AC ，∴HD =DI ∴四边形HDIA 是正方形∵∠HDI =∠MDN ，∴∠HDM =∠IDN在△HDM 与△IDN 中，HDM IDN HD DIDHM DIN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△HDM ≌△IDN （ASA ） ∴DM =DN ，HM =IN设MA =x ，则HM =324x -， ∴AN =332244x +-=322x - ∴MN =22AN AM +=22332242x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22939232822x x x x -++-+=29452228x x -+=222999452[222]4888x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2992(2)816x -+ 当928x =时，MN 有最小值为93164= 所以最小周长为AM +AN +MN 有最小值=2AH +34=AB +34=322+34。
梅州市2013年初中毕业生学业考试数学试卷
⎩⎨⎧=-=+152y x y x 梅州市2013年初中毕业生学业考试数学试卷参考答案与评分意见一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.1.D2.C3.B4.A5.A二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．6.37.488.)2(-m m9.a 3 10.6810⨯ 11.105 12.1 13.2013（其它合理答案均给分）三、解答下列各题：本题共10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．14．本题满分7分.解：原式1222=⨯-⨯ ………………………5分2=- ………………………6分2=-. ………………………7分15．本题满分7分．① ②解：①+②得:63=x ，∴2=x , ………………………4分把2=x 代入②得:1=y , ………………………6分∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12y x . ……………………7分16.本题满分7分．(1) )2,2(-；(2) )2,3(.（第（1）,（2）小题各得2分.）(3)解：∵在四边形ABCD 内（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点共有15个，……1分其中横、纵坐标之和为零的点有3个， …………2分31155P ==∴． ……………………3分 17．本题满分7分．(1)60 (2)18°(3)300.(第(1),(2)小题各得2分，第（3）小题得3分.)18．本题满分8分．解：(1) 一次函数1y x =+的图象经过点()A a ，2，∴12a +=，1a =， ………………………2分又 反比例函数k y x=的图象经过点(1)A ，2， ∴ 2k =， …………………………4分 ∴反比例函数的表达式为2y x=. ………………………5分 (2)点B 在2y x =的图象上 理由是： ………………6分 将22=x 代入2y x =得： 22=y ……………7分∴点)2B ，在2y x=的图象上． …………………8分 19．本题满分8分．解：（1）由题意可知：2=DA ,42==DA AB , ……………………1分在ADE Rt ∆中，32242222=-=-=DA AE DE , ……………………3分 ∴324-=-=DE DC EC . …………4分(2)在ADE Rt ∆中，2142cos ===∠AE DA DAE , …………5分 ∴ 60=∠DAE ， ……………………6分 ∴3238322213604602-=⨯⨯-⨯=-=∆ππADEAEF S S S 扇形阴影. ………………8分 20．本题满分8分．解：(1)(205)(305)(1000)1035000y x x x =+++-=-+. ………………………2分(2)由题意得：0.900.95(1000)925x x +-=, ………………………3分解得：500x =, ……………4分当500x =时，105003500030000y =-⨯+=,∴绿化村道的总费用需要30000元． ………5分(3)由题意得：103500031000x -+≤,解得：400x ≥, …………6分∴1000600x -≤, ………………………7分∴最多可购买B 种树苗600棵． ………………………8分21．本题满分8分．(1)证明： ∵BC EF ⊥,CD BD =,∴ 90=∠BDE , 又∵ 90=∠BCA ， …………………1分 ∴BCA BDE ∠=∠,∴CA DE //, A BED ∠=∠, …………………2分∴BED Rt ∆∽BAC Rt ∆ …………………3分 ∴由21=BA BE 得：1=EABE , ∴AE BE =. …………………4分又∵AE FC =, EC BE =,FB FC =，∴FB EC BE FC ===,∴四边形BECF 是菱形. …………………5分(2) 解:∵四边形BECF 是正方形, ∴ 45902121=⨯=∠=∠FBE CBE , …………………6分∴BDE Rt ∆中, 45=∠DEB , …………………7分又∵AC FE //,∴ 45=∠=∠BED A . …………………8分(本题有多种解法，请参照此评分标准给分.)22．本题满分10分．（1）2 ， …………………1分（2）解：由题意得：6222=-x ， 解得：2±=x ，∴点M 的坐标为)6,2(-，点N 的坐标为)6,2(，∴4=MN , …………………2分当平行四边形的面积为8时，有以下两种情况：①当点P 在直线MN 的下方时，4(6)8S y =-=， 解得：4y =,2224x -=， 解得x = …………………3分∴12(p P . …………………4分② 当点P 在直线MN 的上方时，4(6)8S y =-=， 解得：8y =,2228x -=， 解得x =, …………………5分∴34(P P . …………………6分综上,共有四个点：12(p P ，34(P P 符合条件.（3）解：若两个三角形相似则有以下两种可能： ①当△QDB ∽△COB 时， 有BOBD CO QD =, …………………7分 又∵1BD m =-， 2=CO ， 1=BO ,∴121QD m -=, ∴22QD m =- . …………………8分②当△QDB ∽△BOC 时, 有COBD BO QD = , …………………9分 又∵1BD m =-，2=CO ， 1=BO ,∴112QD m -=, ∴12m QD -=. ………………10分 综上,线段QD 的长为22QD m =-或12m QD -=. 23．本题满分11分．探究一：（1）解：过点A 作BC AG ⊥于点G ，则G 是BC 的中点,在BCF Rt ∆中， 30=∠FBC ，3=BC , ∴333330tan =⨯=⨯= BC FC , 又∵ 30602121=⨯=∠=∠CFB CFP , ∴在PCF Rt ∆中，133330tan =⨯=⨯= FC PC , …………１分 又∵ABC ∆是等腰直角三角形，223==AC AB , ∴2321===BC GC AG , ∴21123=-=-=PC GC GP , …………２分∴在AGP Rt ∆中，210)21()23(2222=+=+=GP AG AP ． …………３分 （2）解：当点P 在运动的过程中出现FC PA =时，有两种可能（如图所示）：…………4分①当点P 运动到如图点1P 的位置时，FC A P=1，在G AP Rt 1∆中,23=AG ,31=AP ， ∴23cos 11==∠AP AG AG P ， ∴ 301=∠AG P ,又∵ 45=∠BAG ，∴ 1530451=-=∠AB P ． ……………5分②当点P 运动到如图点2P 的位置时，FC A P =2，同理可得： 302=∠AG P ,∴ 7530452=+=∠AB P ． …………………6分探究二： AMN ∆的周长存在有最小值, 最小值是23223+,理由如下: 解法一：连接AD ,∵ABC ∆是等腰直角三角形，CD BD =，∴CD AD =, 45=∠=∠C MAD , 又∵ 90=∠+∠ADN MDA ,90=∠+∠ADN NDC ,∴NDC MDA ∠=∠,∴MDA ∆≌NDC ∆,∴NC MA =, DN DM =, ……………………8分 AMN ∆的周长=MN AN MA ++=MN AN NC ++=MN AC +=MN +223, ………9分 设x AM =，则x AN -=223， 在AMN Rt ∆中， 2222)223(x x AN AM MN -+=+=, ∴49)423(22+-=x MN , …………………10分 ∴当423=x 时，MN 有最小值23，从而AMN ∆的周长也有最小值23223+. ……11分 解法二：连接AD ,∵ABC ∆是等腰直角三角形，CD BD =，∴CD AD =, 45=∠=∠C MAD ,又∵ 90=∠+∠ADN MDA , 90=∠+∠ADN NDC ,∴NDC MDA ∠=∠,∴MDA ∆≌NDC ∆,∴NC MA =,DN DM =， ………8分∴AMN ∆的周长=MN AN MA ++=MN AN NC ++=MN AC +=MN +223， ……9分 若MN 存在有最小值时，AMN ∆的周长也有最小值，当DEF ∆绕着点D 旋转至DE AB ⊥(或DF AC ⊥)时存在有MN 的最小值，………10分在BDM Rt ∆中,23=BD , 423222345sin =⨯=⨯= BD DM ， 又∵DEF ∆在旋转的过程中，DMN ∆始终是等腰直角三角形， ∴232=⨯=DM MN ， ∴AMN ∆的周长=23223+， ∴AMN ∆的周长存在有最小值，最小值是23223+． ………11分 解法三：连接AD ,∵ABC ∆是等腰直角三角形，CD BD =，∴CD AD =, 45=∠=∠C MAD ,又∵ 90=∠+∠ADN MDA , 90=∠+∠ADN NDC ,∴NDC MDA ∠=∠,∴MDA ∆≌NDC ∆,∴NC MA =,DN DM =， ………8分∴AMN ∆的周长=MN AN MA ++=MN AN NC ++=MN AC +=MN +223，……9分 若MN 存在有最小值，则等腰直角三角形DMN 中，DM 要存在有最小值， 当DEF ∆绕着点D 旋转至DE AB ⊥（或DF AC ⊥）时存在有()DN DM 或的最小值， 90=∠=∠FDE BMD ，∴DN BM //，同理： 45=∠=∠NMD BDM ,∴MN BD //，∴四边形BMND 是平行四边形， …………10分 ∴23==BD MN ， ∴AMN ∆的周长=23223+， ∴AMN ∆的周长存在有最小值，最小值是23223+ ． …………11分 (本题有多种解法，请参照此评分标准给分.)。
2013年广东省中考数学试卷及答案
2013年广东省中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2013•广东）2的相反数是（ ） A ． B ．C ． ﹣2D ． 22．（3分）（2013•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2013•广东）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（ ） A ． 0.126×1012元 B ． 1.26×1012元 C ． 1.26×1011元 D ． 12.6×1011元 4．（3分）（2013•广东）已知实数a 、b ，若a ＞b ，则下列结论正确的是（ ） A ． a ﹣5＜b ﹣5 B ． 2+a ＜2+b C ． D ． 3a ＞3b5．（3分）（2013•广东）数学1、2、5、3、5、3、3的中位数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 5 6．（3分）（2013•广东）如图，AC ∥DF ，AB ∥EF ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，若∠2=50°，则∠1的大小是（ ）A ． 30°B ． 40°C ． 50°D ． 60° 7．（3分）（2013•广东）下列等式正确的是（ ）A ． （﹣1）﹣3=1B ． （﹣4）0=1C ． （﹣2）2×（﹣2）3=﹣26D ． （﹣5）4÷（﹣5）2=﹣528．（3分）（2013•广东）不等式5x ﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．10．（3分）（2013•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.11．（4分）（2013•平凉）分解因式：x2﹣9=_________．12．（4分）（2013•广东）若实数a、b满足|a+2|，则=_________．13．（4分）（2013•广东）一个六边形的内角和是_________．14．（4分）（2013•广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_________．15．（4分）（2013•广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE 绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是_________．16．（4分）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_________（结果保留π）．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）17．（5分）（2013•广东）解方程组．word格式-可编辑-感谢下载支持18．（5分）（2013•广东）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．19．（5分）（2013•广东）如图，已知▱ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）（2013•广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图和所示的不完整统计图表．（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．样本人数分布表类别人数百分比排球 3 6%乒乓球14 28%羽毛球15篮球20%足球8 16%合计100%21．（8分）（2013•广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？22．（8分）（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1_________S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．24．（9分）（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．25．（9分）（2013•广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF 中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．2013年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2013•广东）2的相反数是（）A．B．C．﹣2 D．2考点：相反数．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：2的相反数是﹣2，故选：C．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）（2013•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．解答：解：A、五棱柱的俯视图是五边形，故此选项错误；B 、三棱锥的俯视图是，故此选项错误；C、球的俯视图是圆，故此选项错误；D、正方体俯视图是正方形，故此选项正确；故选：D．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．（3分）（2013•广东）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（）A．0.126×1012元B．1.26×1012元C．1.26×1011元D．12.6×1011元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1260 000 000 000有13位，所以可以确定n=13﹣1=12．解答：解：1260 000 000 000=1.26×1012．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）（2013•广东）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）A．a﹣5＜b﹣5 B．2+a＜2+b C．D．3a＞3b考点：不等式的性质．分析：以及等式的基本性质即可作出判断．解答：解：A、a＞b，则a﹣5＞b﹣5，选项错误；B、a＞b，则2+a＞2+b，选项错误；C、a＞b，则＞，选项错误；D、正确．故选D．点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．（3分）（2013•广东）数学1、2、5、3、5、3、3的中位数是（）A．1B．2C．3D．5考点：中位数．分析：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解答：解：将数据从大到小排列为：1，2，3，3，3，5，5，则中位数是3．故选C．点评：本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义及计算方法是关键．6．（3分）（2013•广东）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°考点：平行线的性质．分析：由AC∥DF，AB∥EF，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1=∠A=∠2=50°．解答：解：∵AB∥EF，∴∠A=∠2=50°，∵AC∥DF，∴∠1=∠A=50°．故选C．点评： 此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等订立的应用，注意掌握数形结合思想的应用．7．（3分）（2013•广东）下列等式正确的是（ ）A ． （﹣1）﹣3=1 B ． （﹣4）0=1 C ． （﹣2）2×（﹣2）3=﹣26D ． （﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52考点： 负整数指数幂；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂．分析： 根据负整数指数幂：a ﹣p =（a ≠0，p 为正整数），零指数幂：a 0=1（a ≠0），同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减分别进行计算，可得答案．解答： 解：A 、（﹣1）﹣3=﹣1，故此选项错误；B 、（﹣4）0=1，故此选项正确；C 、（﹣2）2×（﹣2）3=﹣25，故此选项错误；D 、（﹣5）4÷（﹣5）2=52，故此选项错误； 故选：B ．点评： 此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法，关键是熟练掌握各运算的计算法则，不要混淆．8．（3分）（2013•广东）不等式5x ﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式． 专题： 存在型．分析： 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 解答： 解：移项得，5x ﹣2x ＞5+1，合并同类项得，3x ＞6， 系数化为1得，x ＞2， 在数轴上表示为：故选A ．点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．9．（3分）（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．考点： 轴对称图形．分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．解答：解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．（3分）（2013•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．解答：解：∵k1＜0＜k2，b=﹣1＜0∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．故选A．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.11．（4分）（2013•平凉）分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．考点：因式分解-运用公式法．分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．12．（4分）（2013•广东）若实数a、b满足|a+2|，则=1．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．分析：根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．解答：解：根据题意得：，解得：，则原式==1．故答案是：1．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．13．（4分）（2013•广东）一个六边形的内角和是720°．考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形内角和公式进行计算即可．解答：解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°．故答案为：720°．点评：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）．180°（n≥3）且n为整数）．14．（4分）（2013•广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先由勾股定理求得斜边AC=5；然后由锐角三角函数的定义知sinA=，然后将相关线段的长度代入计算即可．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5（勾股定理）．∴sinA==．故答案是：．点评：本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．（4分）（2013•广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE 绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是平行四边形．考点：图形的剪拼．分析：四边形ACE′E的形状是平行四边形；首先根据三角形中位线的性质可得DE∥AC，DE=AC，再根据旋转可得DE=DE′，然后可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．解答：解：四边形ACE′E的形状是平行四边形；∵DE是△ABC的中线，∴DE∥AC，DE=AC，∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，∴DE=DE′，∴EE′=2DE=AC，∴四边形ACE′E的形状是平行四边形，故答案为：平行四边形．点评：此题主要考查了图形的剪拼，以及平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．16．（4分）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．考点：扇形面积的计算．分析：阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．解答：解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．点评：本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）17．（5分）（2013•广东）解方程组．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：将方程组中的第一个方程代入第二个方程消去x求出y的值，进而求出x的值，即可得到方程组的解．解答：解：，将①代入②得：2（y+1）+y=8，去括号得：2y+2+y=8，解得：y=2，将y=2代入①得：x=2+1=3，则方程组的解为．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（5分）（2013•广东）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．考点：分式的化简求值．专题：开放型．分析：选②与③构造出分式，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、b的值代入进行计算即可．解答：解：选②与③构造出分式，，原式==，当a=6，b=3时，原式==．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（5分）（2013•广东）如图，已知▱ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质．分析：（1）根据题目要求画出图形即可；（2）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，进而得到AD=CE，∠DAF=∠CEF，进而可利用AAS证明△AFD≌△EFC．解答：（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠CEF，∵在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，关键是正确画出图形，掌握平行四边形的性质．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）（2013•广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图和所示的不完整统计图表．（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．样本人数分布表类别人数百分比排球 3 6%乒乓球14 28%羽毛球15篮球20%足球8 16%合计100%考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表．专题：计算题．分析：（1）由排球的人数除以所占的百分比求出总人数，乘以篮球所占的百分比即可求出篮球的人数，补全条形统计图，如图所示，求出羽毛球所占的百分比，补全人数分布图，如图所示；（2）用人数乘以羽毛球所占的百分比即可求出人数．解答：解：（1）3÷6%=50人，则篮球的人数为50×20%=10人，则补全条形统计图如下：羽毛球占总数的百分比为：15÷50=30%，补全人数分布表为：类别人数百分比排球 3 6%乒乓球14 28%羽毛球15 30%篮球10 20%足球8 16%合计50 100%（2）920×30%=276人．则七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数为276人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．21．（8分）（2013•广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．解答：解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．点评：本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数．22．（8分）（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1=S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．考点：相似三角形的判定；矩形的性质．分析：（1）根据S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=S矩形BDEF，∴S2+S3=S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．证明△BCD∽△DEC；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案．解答：解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，解得：m=±1，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；（2）∵m=2，∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），当x=0时，y=3，∴C点坐标为：（0，3）；（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴=，∴=，解得：PO=，∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．24．（9分）（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．解答：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），∴∠BCA=∠BAD．（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴=，即=，解得：DE=．（3）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，∵，∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．25．（9分）（2013•广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF 中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=15度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．考点：相似形综合题．分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示．解答：解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）如题图3所示，当EF经过点C时，FC====；（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△BDG﹣S△BFM=BD•DG﹣BF•MN=（x+4）2﹣x•x=x2+4x+8；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△ABC﹣S△BFM=AB•AC﹣BF•MN=×62﹣x•x=x2+18；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：由BF=x，则AF=AB﹣BF=6﹣x，设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．y=S△AFM=AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．综上所述，y与x的函数解析式为：y=．点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．。
2013年广东省中考数学试题及答案
2013年广东省中考数 学说明：1. 全卷共4页，考试用时100 分钟．满分为 120 分．2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己准考证号、姓名、试室号、座位号，用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 2的相反数是A.21-B. 21C.－2D.2 2.下列几何体中,俯视图为四边形的是3.据报道,2013年第一季度,广东省实现地区生产总值约1 260 000 000 000元,用科学记数法表示为A. 0.126×1012元 B. 1.26×1012元 C. 1.26×1011元 D. 12.6×1011元 4.已知实数a 、b ，若a >b ，则下列结论正确的是 A.55-<-b a B.b a +<+22 C.33ba < D.b a 33>5.数据1、2、5、3、5、3、3的中位数是 A.1 B.2 C.3 D.56.如题6图,AC ∥DF,AB ∥EF,点D 、E 分别在AB 、AC 上，若∠2=50°，则∠1的大小是A.30°B.40°C.50°D.60°7.下列等式正确的是 A.1)1(3=-- B. 1)4(0=- C. 6322)2()2(-=-⨯- D. 2245)5()5(-=-÷-8.不等式5215+>-x x 的解集在数轴上表示正确的是9.下列图形中,不是．．轴对称图形的是10.已知210k k <<,则是函数11-=x k y 和xk y 2=的图象大致是二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11.分解因式：92-x =________________.12.若实数a 、b 满足042=-++b a ，则=ba 2________.13.一个六边形的内角和是__________.14.在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=________.15.如题15图，将一张直角三角板纸片ABC 沿中位线DE 剪开后,在平面上将△BDE 绕着CB 的中点D 逆时针旋转180°,点E 到了点E ′位置, 则四边形ACE ′E 的形状是________________.16.如题16图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是__________(结果保留π).三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分） 17.解方程组⎩⎨⎧=++=821y x y x18.从三个代数式：①222b ab a +-，②b a 33-，③22b a -中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当3,6==b a 时该分式的值.①②19.如题19图，已知□ABCD.(1)作图:延长BC,并在BC的延长线上截取线段CE,使得CE=BC(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,不连结AE,交CD于点F,求证:△AFD≌△EFC.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）20.某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如【表1】和题20图所示的不完整统计图表.(1)请你补全下列样本人数分布表（【表1】）和条形统计图（题20图）；（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数.21.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？22.如题22图，矩形ABCD 中,以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1, Rt △BFC 的面积为S 2, Rt △DCE 的面积为S 3 , 则S1______ S 2+ S 3(用“>”、“=”、“<”填空)；（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23. 已知二次函数1222-+-=m mx x y .（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式; (2)如题23图,当2=m 时,该抛物线与y 轴交于点C,顶点为D, 求C 、D 两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点P,使得PC+PD 最短?若P 点 存在,求出P 点的坐标;若P 点不存在,请说明理由.24.如题24图,⊙O 是Rt △ABC 的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE 的长;(3)求证:BE 是⊙O 的切线.25.有一副直角三角板,在三角板ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF 中,∠FDE=90°,DF=4,DE=34.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B 与点F 重合,直角边BA 与FD 在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动,当点F 运动到点A 时停止运动.(1)如题25图(2),当三角板DEF 运动到点D 与点A 重合时,设EF 与BC 交于点M, 则∠EMC=______度；(2)如题25图（3），在三角板DEF 运动过程中,当EF 经过点C 时,求FC 的长; (3)在三角板DEF 运动过程中,设BF=x ,两块三角板重叠部分面积为y ,求y 与x 的函数解析式,并求出对应的x取值范围.2013年广东省中考数学参考答案1、答案：C解析：2的相反数为－2，选C，本题较简单。
2013年广东省中考数学试卷有答案
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前广东省2013年初中毕业生学业考试数 学本试卷满分120分,考试时间100分钟.一、选择题(本大题10题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1.2的相反数是( ) A .12- B .12C .2-D .2 2.下列几何体中,俯视图为四边形的是( )A .B .C .D .3.据报道,2013年第一季度,广东省实现地区生产总值约1 260 000 000 000元,用科学记数法表示为 ( )A .120.12610⨯元B .121.2610⨯元C .111.2610⨯元D .1112.610⨯元 4.已知实数a 、b ,若a b ＞,则下列结论正确的是 ( )A .55a b --＜B .22a b ++＜C .33a b＜ D .33a b ＞5.数据1、2、5、3、5、3、3的中位数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .56.如题6图,AC DF ∥,AB EF ∥,点D 、E 分别在AB 、AC 上,若250∠=︒,则1∠的大小是 ( ) A .30︒ B .40︒ C .50︒ D .60︒7.下列等式正确的是 ( ) A .3(1)1-= B .0(4)1-= C .236(2)(2)2-⨯-=-D .422(5)(5)5-÷-=-8.不等式5125x x -+＞的解集在数轴上表示正确的是( )ABCD9.下列图形中,不是．．轴对称图形的是( )A .B .C .D . 10.已知120k k ＜＜,则是函数11y k x =-和2k y x=的图象大致是( )A .B .C .D .二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上. 11.分解因式：29x -= .12.若实数a 、b满足|2|0a +,则2a b= .13.一个六边形的内角和是 .14.在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒,3AB =,4BC =,则sin A = .15.如题15图,将一张直角三角板纸片ABC 沿中位线DE 剪开后,在平面上将BDE △绕着CB 的中点D 逆时针旋转180︒,点E 到了点E '位置,则四边形ACE E '的形状是 .16.如题16图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π). 三、解答题(一)(本大题3小题,每小题5分,共15分)毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）17.解方程组1,28.x y x y =+⎧⎨+=⎩①②18.从三个代数式：①222a ab b -+,②33a b -,③22a b -中任意选择两个代数式构造成分式,然后进行化简,并求当6a =,3b =时该分式的值.19.如题19图,已知□ABCD . (1)作图：延长BC ,并在BC 的延长线上截取线段CE ,使得CE BC =(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法)；(2)在(1)的条件下,连结AE ,交CD 于点F ,求证：AFD EFC △≌△.四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分)20.某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况(每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目),进行了随机抽样调查,并将调查结果统计后绘制成了如【表1】和题20图所示的不完整统计图表.(1)请你补全下列样本人数分布表(【表1】)和条形统计图(题20图)；(2)若七年级学生总人数为920人,请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数.21.雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款？22.如题22图,矩形ABCD 中,以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ,使得另一边EF 过原矩形的顶点C .(1)设Rt CBD △的面积为1S ,Rt BFC △的面积为2S ,Rt DCE △的面积为3S ,则1S23S S +(用“＞”、“=”、“＜”填空)； (2)写出题22图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)23.已知二次函数2221y x mx m =-+-.(1)当二次函数的图象经过坐标原点()0,0O 时,求二次函数的解析式；(2)如题23图,当2m =时,该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D ,求C 、D 两点的坐标；(3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点P ,使得PC PD +最短？若P 点存在,求出P 点的坐标；若P 点不存在,请说明理由.24.如题24图,O 是Rt ABC △的外接圆,90ABC ∠=,弦BD BA =,12AB =,5BC =,BE DC ⊥交DC 的延长线于点E . (1)求证：BCA BAD ∠=∠； (2)求DE 的长；(3)求证：BE 是O 的切线.25.有一副直角三角板,在三角板ABC 中,90BAC ∠=,6AB AC ==,在三角板DEF 中,90FDE ∠=︒,4DF =,DE =将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B 与点F 重合,直角边BA 与FD 在同一条直线上.现固定三角板ABC ,将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动,当点F 运动到点A 时停止运动.(1)如题25图(2),当三角板DEF 运动到点D 与点A 重合时,设EF 与BC 交于点M ,则EMC ∠= 度；(2)如题25图(3),在三角板DEF 运动过程中,当EF 经过点C 时,求FC 的长； (3)在三角板DEF 运动过程中,设BF x =,两块三角板重叠部分面积为y ,求y 与x的函数解析式,并求出对应的x 取值范围.数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）广东省2013年初中毕业生学业考试数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】2的相反数是2-，故选：C ． 【提示】根据相反数的概念解答即可． 【考点】相反数 2.【答案】D【解析】A ．五棱柱的俯视图是五边形，故此选项错误； B ．三棱锥的俯视图是，故此选项错误；C ．球的俯视图是圆，故此选项错误；D ．正方体俯视图是正方形，故此选项正确； 故选：D ．【提示】俯视图是从物体上面看，所得到的图形． 【考点】简单几何体的三视图 3.【答案】B【解析】121260000000000 1.2610=⨯. 故选B【提示】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）8.【答案】A【解析】移项得，5251x x ->+，合并同类项得，36x >，系数化为1得，2x >，在数轴上表示为：【解析】（1）如图所示：数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】（1）36%50÷=人，则篮球的人数为5020%10⨯=人，则补全条形统计图如下：数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）∴BE是Oe的切线．（Ⅰ）当02x≤≤时，如答图1所示：2623x<≤-数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）6236x -<≤。
2013年广东省中考数学试卷与答案
2013 年广东省中考数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1．（ 3 分）（ 2013?广东） 2 的相反数是（）A ．B ．C ．﹣2D ． 22．（ 3 分）（ 2013?广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（）A ．B ．C ．D ．3．（3 分）（ 2013?广东）据报道， 2013 年第一季度， 广东省实现地区生产总值约 1260 000 000000 元，用科学记数法表示为（ ）A ． 0.126×1012 元B ． 1.26×1012元C ． 1.26×1011元 D ． 12.6×1011元4．（ 3 分）（ 2013?广东）已知实数 a 、 b ，若 a ＞ b ，则下列结论正确的是（）A ． a ﹣5＜ b ﹣ 5B ． 2+a ＜2+bC ．D ． 3a ＞ 3b5．（ 3 分）（ 2013?广东）数学 1、 2、 5、3、 5、 3、 3 的中位数是（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．56．（ 3 分）（2013?广东）如图， AC ∥ DF ，AB ∥ EF ，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上，若∠ 2=50°，则∠ 1 的大小是（ ）A ．30°B ． 40°C ． 50°D ． 60°7．（ 3 分）（ 2013?广东）下列等式正确的是（ ）A ．（﹣ 1）﹣ 3C ．（﹣24=1B ． （ ﹣4） =12） ×（﹣ 2） D ．（﹣ 5） ÷（﹣ 5）3622=﹣ 2 =﹣ 58．（ 3 分）（ 2013?广东）不等式 5x ﹣ 1＞2x+5 的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．A．B．C．D．10．（ 3 分）（ 2013?广东）已知k1＜ 0＜ k2，则函数 y=k 1x﹣1 和 y=的图象大致是（）A ．B．C．D．二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上 .2﹣ 9= _________ ．11．（4 分）（ 2013?平凉）分解因式：x12．（ 4 分）（ 2013?广东）若实数a、 b 满足 |a+2|，则=_________．13．（ 4 分）（ 2013?广东）一个六边形的内角和是_________．14．（ 4 分）（ 2013?广东）在 Rt△ ABC 中，∠ABC=90 °，AB=3 ，BC=4 ，则 sinA= _________．15．（ 4 分）（ 2013?广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC 沿中位线DE 剪开后，在平面上将△ BDE 绕着 CB 的中点 D 逆时针旋转180°，点 E 到了点 E′位置，则四边形ACE ′ E的形状是_________．16．（ 4 分）（ 2013?广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_________（结果保留π）．2三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）17．（ 5 分）（ 2013?广东）解方程组．18．（5 分）（ 2013?广东）从三个代数式：①2222中任意选两个a ﹣ 2ab+b，② 3a﹣ 3b，③ a ﹣ b代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6， b=3 时该分式的值．19．（ 5 分）（ 2013?广东）如图，已知?ABCD ．（1）作图：延长 BC ，并在 BC 的延长线上截取线段 CE，使得 CE=BC （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（ 1）的条件下，连结 AE ，交 CD 于点 F，求证：△ AFD ≌△ EFC．四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题8 分，共 24 分）20．（ 8 分）（ 2013?广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图和所示的不完整统计图表．（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；（2）若七年级学生总人数为 920 人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．样本人数分布表类别人数百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球15篮球20%足球816%合计100%21．（ 8 分）（ 2013?广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000 元，第三天收到捐款12 100 元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（ 1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？22．（8 分）（ 2013?广东）如图，矩形 ABCD 中，以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF ，使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C．（1）设 Rt△CBD 的面积为 S1，Rt△ BFC 的面积为 S2，Rt△ DCE 的面积为 S3，则 S1_________ S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．四、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题9 分，共 27 分）23．（ 9 分）（ 2013?广东）已知二次函数y=x 2﹣ 2mx+m 2﹣ 1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（ 0， 0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当 m=2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D ，求 C、D 两点的坐标；（3）在（ 2）的条件下， x 轴上是否存在一点 P，使得 PC+PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由．24．（ 9 分）（ 2013?广东）如图，⊙ O 是 Rt△ ABC 的外接圆，∠ ABC=90 °，弦 BD=BA ，AB=12 ， BC=5 ， BE ⊥ DC 交 DC 的延长线于点 E．（1）求证：∠ BCA= ∠ BAD ；（2）求 DE 的长；（3）求证： BE 是⊙ O 的切线．25．（ 9 分）（ 2013?广东）有一副直角三角板，在三角板ABC 中，∠ BAC=90 °，AB=AC=6 ，在三角板 DEF 中，∠ FDE=90 °， DF=4 ， DE=．将这副直角三角板按如图 1 所示位置摆放，点 B 与点 F 重合，直角边BA 与 FD 在同一条直线上．现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线 BA 方向平行移动，当点 F 运动到点 A 时停止运动．（1）如图 2，当三角板DEF 运动到点 D 到点 A 重合时，设 EF 与 BC 交于点 M ，则∠ EMC=_________度；（2）如图 3，当三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点 C 时，求 FC 的长；（3）在三角板DEF 运动过程中，设BF=x ，两块三角板重叠部分的面积为y，求 y 与 x 的函数解析式，并求出对应的x 取值范围．2013 年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1．（ 3 分）（ 2013?广东） 2 的相反数是（）A ．B ．C ．﹣2D ． 2考点 ：相反数．分析：根据相反数的概念解答即可． 解答：解： 2 的相反数是﹣ 2，故选： C ．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．2．（ 3 分）（ 2013?广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（）A ．B ．C ．D ．考点 ：简单几何体的三视图．分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．解答：解： A 、五棱柱的俯视图是五边形，故此选项错误；B 、三棱锥的俯视图是，故此选项错误；C 、球的俯视图是圆，故此选项错误；D 、正方体俯视图是正方形，故此选项正确；故选： D ．点评：本题考查了几何体的三种视图， 掌握定义是关键． 注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．（3 分）（ 2013?广东）据报道， 2013 年第一季度， 广东省实现地区生产总值约 1260 000 000 000 元，用科学记数法表示为（ ）A ． 0.126×1012 元B ． 1.26×1012元 C ． 1.26×1011元D ． 12.6×1011元考点 ：科学记数法 —表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中 1≤|a|＜ 10， n 为整数．确定 n 的值是易解答：解： 1260 000 000 000=1.26 ×1012．故选 B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键．4．（ 3 分）（ 2013?广东）已知实数 a、 b，若 a＞ b，则下列结论正确的是（）A ． a﹣5＜ b﹣ 5B． 2+a＜2+b C．D． 3a＞ 3b考点：不等式的性质．分析：以及等式的基本性质即可作出判断．解答：解： A 、 a＞ b，则 a﹣ 5＞b﹣ 5，选项错误；B 、 a＞b，则 2+a＞ 2+b ，选项错误；C、 a＞b，则＞，选项错误；D、正确．故选 D．点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（ 1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．（ 3 分）（ 2013?广东）数学1、 2、 5、3、 5、 3、 3 的中位数是（）A ．1B． 2C．3D．5考点：中位数．分析：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解答：解：将数据从大到小排列为：1， 2， 3， 3， 3，5， 5，则中位数是3．故选 C．点评：本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义及计算方法是关键．6．（ 3 分）（2013?广东）如图， AC ∥ DF ，AB ∥ EF，点 D、E 分别在 AB 、AC 上，若∠ 2=50°，则∠ 1 的大小是（）A ． 30°B． 40°C． 50°D． 60°考点 ：平行线的性质．分析：由 AC ∥ DF ， AB ∥EF ，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠ 1= ∠A= ∠2=50 °．解答：解：∵ AB ∥EF ，∴∠ A= ∠ 2=50°，∵ AC ∥DF ， ∴∠ 1=∠A=50 °．故选 C ．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等订立的应用，注意掌握数形结合思想的应用．7．（ 3 分）（ 2013?广东）下列等式正确的是（ ）A ．（﹣ 1）﹣ 324=1B ． （ ﹣4） =1C ．（﹣2） ×（﹣2） D ．（﹣ 5） ÷（﹣ 5）3622=﹣ 2=﹣ 5考点 ：负整数指数幂；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂． 分析： ﹣ p 0根据负整数指数幂： a = （ a ≠0， p 为正整数），零指数幂： a =1 （ a ≠0），同底数幂 的乘法法则： 同底数幂相乘， 底数不变， 指数相加． 同底数幂的除法法则： 底数不变，指数相减分别进行计算，可得答案．﹣ 3解答：解： A 、（﹣ 1） =﹣ 1，故此选项错误；B 、（﹣ 4） =1 ，故此选项正确；2 3 5，故此选项错误；C 、（﹣ 2） ×（﹣ 2） =﹣ 2 4 2 2D 、（﹣ 5） ÷（﹣ 5） =5 ，故此选项错误； 故选： B ．点评：此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法，关键是熟练掌握各运算的计算法则，不要混淆．8．（ 3 分）（ 2013?广东）不等式 5x ﹣ 1＞2x+5 的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点 ：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式． 专题 ：存在型．分析：先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 解答：解：移项得， 5x ﹣2x ＞ 5+1，合并同类项得， 3x ＞ 6， 系数化为 1 得， x ＞2，在数轴上表示为：故选 A ．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集， 把每个不等式的解集在数轴上表示出来 （＞，≥向右画；＜， ≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．9．（ 3 分）（ 2013?广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C． D ．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．解答：解： A 、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选 C．点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．（ 3 分）（ 2013?广东）已知k1＜ 0＜ k2，则函数 y=k 1x﹣1 和 y=的图象大致是（）A ．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．解答：解：∵ k1＜ 0＜ k2， b=﹣ 1＜ 0∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．故选 A．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上 .2﹣ 9= （ x+3）（ x﹣ 3）．11．（4 分）（ 2013?平凉）分解因式：x考点：因式分解 -运用公式法．分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．2912．（ 4 分）（ 2013?广东）若实数a、 b 满足 |a+2|，则= 1．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．分析：根据非负数的性质列出方程求出a、 b 的值，代入所求代数式计算即可．解答：解：根据题意得：，解得：，则原式 ==1 ．故答案是： 1．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为 0．13．（ 4 分）（ 2013?广东）一个六边形的内角和是720° ．考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形内角和公式进行计算即可．解答：解：由内角和公式可得：（6﹣ 2）×180°=720°．故答案为： 720°．点评：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）．180°（n≥3）且 n 为整数）．14．（ 4 分）（ 2013?广东）在 Rt△ ABC 中，∠ ABC=90 °， AB=3 ， BC=4 ，则 sinA=．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先由勾股定理求得斜边 AC=5；然后由锐角三角函数的定义知sinA=，然后将相关线段的长度代入计算即可．解答：解：∵在 Rt△ ABC 中，∠ ABC=90 °， AB=3 ， BC=4 ，∴ AC==5（勾股定理）．∴sinA= = ．故答案是：．点评：本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．（ 4 分）（ 2013?广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC 沿中位线DE 剪开后，在平面上将△ BDE 绕着 CB 的中点 D 逆时针旋转 180°，点 E 到了点 E′位置，则四边形 ACE ′ E 的形状是平行四边形．考点：图形的剪拼．分析：四边形 ACE ′ E 的形状是平行四边形；首先根据三角形中位线的性质可得DE∥ AC ，DE= AC ，再根据旋转可得DE=DE ′，然后可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．解答：解：四边形ACE ′E 的形状是平行四边形；∵ DE 是△ABC 的中线，∴ DE∥ AC ，DE=AC ，∵将△ BDE 绕着 CB 的中点 D 逆时针旋转180°，点 E 到了点 E′位置，∴DE=DE ′，∴EE′ =2DE=AC ，∴四边形ACE ′ E 的形状是平行四边形，故答案为：平行四边形．点评：此题主要考查了图形的剪拼，以及平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．16．（ 4 分）（ 2013?广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．考点：扇形面积的计算．分析：阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为 1 是扇形．解答：解：根据图示知，∠1+∠ 2=180°﹣ 90°﹣ 45°=45 °，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90 °﹣∠ 1﹣∠ 2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．点评：本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）17．（ 5 分）（ 2013?广东）解方程组．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：将方程组中的第一个方程代入第二个方程消去x 求出 y 的值，进而求出x 的值，即可得到方程组的解．解答：，解：将①代入②得：2（y+1 ） +y=8 ，去括号得： 2y+2+y=8 ，解得： y=2，将y=2 代入①得： x=2+1=3 ，则方程组的解为．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（5 分）（ 2013?广东）从三个代数式：①代数式构造分式，然后进行化简，并求出当考点：分式的化简求值．专题：开放型．2222中任意选两个a ﹣ 2ab+b，② 3a﹣ 3b，③ a ﹣ ba=6， b=3 时该分式的值．分析：选②与③构造出分式，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、 b 的值代入进行计算即可．解答：解：选②与③构造出分式，，原式==，当 a=6， b=3 时，原式 ==．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（ 5 分）（ 2013?广东）如图，已知?ABCD ．（1）作图：延长 BC ，并在 BC 的延长线上截取线段 CE，使得 CE=BC （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（ 1）的条件下，连结 AE ，交 CD 于点 F，求证：△ AFD ≌△ EFC．考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质．分析：（ 1）根据题目要求画出图形即可；（ 2）首先根据平行四边形的性质可得AD ∥ BC，AD=BC ，进而得到AD=CE ，∠DAF= ∠ CEF，进而可利用 AAS 证明△AFD ≌△ EFC．解答：（ 1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥ BC ，AD=BC ，∵ BC=CE ，∴AD=CE ，∵AD ∥BC，∴∠ DAF= ∠ CEF，∵在△ADF 和△ECF 中，，∴△ ADF ≌△ ECF（ AAS ）．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，关键是正确画出图形，掌握平行四边形的性质．四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题8 分，共 24 分）20．（ 8 分）（ 2013?广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图和所示的不完整统计图表．（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；（2）若七年级学生总人数为 920 人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．样本人数分布表类别人数百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球15篮球20%足球816%合计100%考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表．专题：计算题．分析：（1）由排球的人数除以所占的百分比求出总人数，乘以篮球所占的百分比即可求出篮球的人数，补全条形统计图，如图所示，求出羽毛球所占的百分比，补全人数分布图，如图所示；（ 2）用人数乘以羽毛球所占的百分比即可求出人数．解答：解：（ 1）3÷6%=50 人，则篮球的人数为50×20%=10 人，则补全条形统计图如下：羽毛球占总数的百分比为：15÷50=30% ，补全人数分布表为：类别人数百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球1530%篮球1020%足球816%合计50100%（2） 920×30%=276 人．则七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数为276 人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．21．（ 8 分）（ 2013?广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000 元，第三天收到捐款12 100 元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（ 1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．2分析：（ 1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（ 1+ 每次降价的百分率） =第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．解答：解：（ 1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，210000×（1+x ） =12100 ，解得 x1=0.1， x2=﹣ 2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（ 2） 12100×（ 1+10%） =13310 元．答：第四天该单位能收到13310 元捐款．点评：本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次2降价的百分率）=第三天收到捐款钱数．22．（8 分）（ 2013?广东）如图，矩形 ABCD 中，以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF ，使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C．（1）设 Rt△ CBD 的面积为 S1，Rt△BFC 的面积为 S2，Rt△ DCE 的面积为 S3，则 S1 = S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．考点：相似三角形的判定；矩形的性质．分析：（ 1）根据 S1= S 矩形BDEF，S2+S3=S 矩形BDEF，即可得出答案．（ 2）根据矩形的性质，结合图形可得：△ BCD ∽△ CFB ∽△ DEC，选择一对进行证明即可．解答：（ 1）解：∵ S1=BD ×ED，S 矩形BDEF=BD ×ED，∴S1= S 矩形BDEF，∴ S2+S3=S 矩形BDEF，∴S1=S2+S3．（2）答：△ BCD ∽△ CFB ∽△ DEC ．证明△ BCD ∽△ DEC；证明：∵∠ EDC+ ∠ BDC=90 °，∠ CBD+ ∠BDC=90 °，∴∠ EDC= ∠ CBD ，又∵∠ BCD= ∠ DEC=90 °，∴△ BCD ∽△ DEC ．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．四、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题9 分，共 27 分）23．（ 9 分）（ 2013?广东）已知二次函数y=x 2﹣ 2mx+m 2﹣ 1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（ 0， 0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当 m=2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D ，求 C、D 两点的坐标；（3）在（ 2）的条件下， x 轴上是否存在一点 P，使得 PC+PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（ 1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（ 0， 0），直接代入求出m 的值即可；（2）根据 m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与 y 轴交点即可；（ 3）根据当 P、 C、 D 共线时 PC+PD 最短，利用平行线分线段成比例定理得出 PO 的长即可得出答案．解答：解：（ 1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0， 0），∴代入二次函数 y=x 2﹣ 2mx+m2﹣ 1，得出： m2﹣ 1=0，解得： m=±1，∴二次函数的解析式为： y=x 2﹣ 2x 或 y=x2+2x；（ 2）∵ m=2，∴二次函数y=x 2﹣ 2mx+m2﹣ 1 得： y=x2﹣ 4x+3= （ x﹣ 2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D（ 2，﹣ 1），当 x=0 时， y=3 ，∴ C 点坐标为：（ 0， 3）；（ 3）当 P、 C、 D 共线时 PC+PD 最短，过点 D 作 DE⊥ y 轴于点 E，∵ PO∥DE，∴=，∴= ，解得： PO= ，∴PC+PD 最短时， P 点的坐标为： P（， 0）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．24．（ 9 分）（ 2013?广东）如图，⊙ O 是 Rt△ ABC 的外接圆，∠ ABC=90 °，弦 BD=BA ，AB=12 ， BC=5 ， BE ⊥ DC 交 DC 的延长线于点 E．（1）求证：∠ BCA= ∠ BAD ；（2）求 DE 的长；（3）求证： BE 是⊙ O 的切线．考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．分析：（ 1）根据 BD=BA得出∠ BDA=∠ BAD，再由∠ BCA=∠BDA即可得出结论；（ 2）判断△ BED ∽△ CBA ，利用对应边成比例的性质可求出DE 的长度．（3）连接 OB ， OD，证明△ ABO ≌△ DBO ，推出 OB∥ DE，继而判断 OB ⊥ DE，可得出结论．解答：（ 1）证明：∵ BD=BA ，∴∠ BDA= ∠ BAD ，∵∠ BCA= ∠ BDA （圆周角定理），∴∠ BCA= ∠ BAD ．（2）解：∵∠ BDE= ∠ CAB （圆周角定理），∠ BED= ∠CBA=90 °，∴△ BED ∽△ CBA ，∴=，即=，解得： DE=．（ 3）证明：连结OB ， OD ，在△ABO 和△DBO 中，∵，∴△ ABO ≌△ DBO ，∴∠ DBO= ∠ ABO ，∵∠ ABO= ∠ OAB= ∠ BDC ，∴∠ DBO= ∠ BDC ，∴OB∥ ED ，∵ BE⊥ED，∴EB⊥ BO ，∴OB⊥ BE ，∴BE 是⊙ O 的切线．点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．25．（ 9 分）（ 2013?广东）有一副直角三角板，在三角板ABC 中，∠ BAC=90 °，AB=AC=6 ，在三角板 DEF 中，∠ FDE=90 °， DF=4 ， DE=．将这副直角三角板按如图 1 所示位置摆放，点 B 与点 F 重合，直角边BA 与 FD 在同一条直线上．现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线 BA 方向平行移动，当点 F 运动到点 A 时停止运动．（1）如图 2，当三角板DEF 运动到点 D 到点 A 重合时，设 EF 与 BC 交于点 M ，则∠ EMC=15度；（2）如图 3，当三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点 C 时，求 FC 的长；（3）在三角板DEF 运动过程中，设BF=x ，两块三角板重叠部分的面积为y，求 y 与 x 的函数解析式，并求出对应的x 取值范围．考点：相似形综合题．分析：（ 1）如题图 2 所示，由三角形的外角性质可得；（ 2）如题图 3 所示，在Rt△ ACF 中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I）当 0≤x≤2 时，如答图 1 所示；（ II ）当 2＜ x≤6﹣时，如答图 2 所示；（III ）当 6﹣＜ x≤6 时，如答图 3 所示．解答：解：（ 1）如题图 2 所示，∵在三角板DEF 中，∠ FDE=90 °， DF=4 ， DE=，∴tan∠ DFE= = ，∴∠ DFE=60 °，∴∠ EMC= ∠ FMB= ∠DFE ﹣∠ ABC=60 °﹣ 45°=15 °；（ 2）如题图 3 所示，当EF 经过点 C 时，FC====；（3）在三角板 DEF 运动过程中，（I）当 0≤x≤2 时，如答图 1 所示：设DE交BC于点G．过点 M 作 MN⊥AB于点 N，则△ MNB 为等腰直角三角形， MN=BN ．又∵ NF==MN ， BN=NF+BF ，∴ NF+BF=MN ，即MN+x=MN ，解得： MN=x．y=S △BDG﹣ S△BFM=BD ?DG ﹣ BF?MN= （ x+4 ）2﹣ x?x=2；x +4x+8（ II ）当 2＜ x≤6﹣时，如答图 2 所示：过点 M 作 MN ⊥ AB 于点 N ，则 △ MNB 为等腰直角三角形，MN=BN ．又∵ NF== MN ， BN=NF+BF ，∴ NF+BF=MN ，即MN+x=MN ，解得： MN=x ．y=S △ABC ﹣S △BFM= AB ?AC ﹣ BF?MN= ×62﹣ x?x=2；x +18（ III ）当 6﹣ ＜ x ≤6 时，如答图 3 所示：由 BF=x ，则 AF=AB ﹣BF=6 ﹣ x ，设 AC 与 EF 交于点 M ，则 AM=AF ?tan60°= （6﹣ x ）．y=S △AFM = AF?AM=（6﹣ x ） ? （ 6﹣ x ） = x 2﹣x+ ．综上所述， y 与 x 的函数解析式为：y= ．点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．。
梅州市2013年中考数学试题参考答案
⎩⎨⎧=-=+152y x y x 梅州市2013年初中毕业生学业考试数学试卷参考答案与评分意见一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.1.D2.C3.B4.A5.A二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．6.37.488.)2(-m m9.a 3 10.6810⨯ 11.105 12.1 13.2013（其它合理答案均给分）三、解答下列各题：本题共10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．14．本题满分7分.解：原式1222=⨯-⨯ ………………………5分2=- ………………………6分2=-. ………………………7分15．本题满分7分．① ②解：①+②得:63=x ，∴2=x , ………………………4分把2=x 代入②得:1=y , ………………………6分∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12y x . ……………………7分16.本题满分7分．(1) )2,2(-；(2) )2,3(.（第（1）,（2）小题各得2分.）(3)解：∵在四边形ABCD 内（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点共有15个，……1分其中横、纵坐标之和为零的点有3个， …………2分31155P ==∴． ……………………3分 17．本题满分7分．(1)60 (2)18°(3)300.(第(1),(2)小题各得2分，第（3）小题得3分.)18．本题满分8分．解：(1)一次函数1y x =+的图象经过点()A a ，2，∴12a +=，1a =， ………………………2分又 反比例函数k y x=的图象经过点(1)A ，2， ∴ 2k =， …………………………4分∴反比例函数的表达式为2y x =. ………………………5分 (2)点B 在2y x=的图象上 理由是： ………………6分 将22=x 代入2y x =得： 22=y ……………7分 ∴点2B ，在2y x =的图象上． …………………8分 19．本题满分8分．解：（1）由题意可知：2=DA ,42==DA AB , ……………………1分在ADE Rt ∆中，32242222=-=-=DA AE DE , ……………………3分 ∴324-=-=DE DC EC . …………4分(2)在ADE Rt ∆中，2142cos ===∠AE DA DAE , …………5分 ∴ 60=∠DAE ， ……………………6分 ∴3238322213604602-=⨯⨯-⨯=-=∆ππADEAEF S S S 扇形阴影. ………………8分 20．本题满分8分．解：(1)(205)(305)(1000)1035000y x x x =+++-=-+. ………………………2分(2)由题意得：0.900.95(1000)925x x +-=, ………………………3分解得：500x =, ……………4分当500x =时，105003500030000y =-⨯+=,∴绿化村道的总费用需要30000元． ………5分(3)由题意得：103500031000x -+≤,解得：400x ≥, …………6分∴1000600x -≤, ………………………7分∴最多可购买B 种树苗600棵． ………………………8分21．本题满分8分．(1)证明： ∵BC EF ⊥,CD BD =,∴ 90=∠BDE , 又∵ 90=∠BCA ， …………………1分∴BCA BDE ∠=∠,∴CA DE //, A BED ∠=∠, …………………2分∴BED Rt ∆∽BAC Rt ∆ …………………3分 ∴由21=BA BE 得：1=EABE , ∴AE BE =. …………………4分又∵AE FC =, EC BE =,FB FC =，∴FB EC BE FC ===,∴四边形BECF 是菱形. …………………5分(2) 解:∵四边形BECF 是正方形, ∴ 45902121=⨯=∠=∠FBE CBE , …………………6分∴BDE Rt ∆中, 45=∠DEB , …………………7分又∵AC FE //,∴ 45=∠=∠BED A . …………………8分(本题有多种解法，请参照此评分标准给分.)22．本题满分10分．（1）2 ， …………………1分（2）解：由题意得：6222=-x ， 解得：2±=x ，∴点M 的坐标为)6,2(-，点N 的坐标为)6,2(，∴4=MN , …………………2分当平行四边形的面积为8时，有以下两种情况：①当点P 在直线MN 的下方时，4(6)8S y =-=， 解得：4y =,2224x -=， 解得x = …………………3分∴12(p P . …………………4分② 当点P 在直线MN 的上方时，4(6)8S y =-=， 解得：8y =,2228x -=， 解得x = …………………5分∴34(P P . …………………6分综上,共有四个点：12(p P ，34(P P 符合条件.（3）解：若两个三角形相似则有以下两种可能： ①当△QDB ∽△COB 时， 有BOBD CO QD =, …………………7分 又∵1BD m =-， 2=CO ， 1=BO ,∴121QD m -=, ∴22QD m =- . …………………8分②当△QDB ∽△BOC 时, 有COBD BO QD = , …………………9分 又∵1BD m =-，2=CO ， 1=BO ,∴112QD m -=,∴12m QD -=. ………………10分 综上,线段QD 的长为22QD m =-或12m QD -=. 23．本题满分11分．探究一：（1）解：过点A 作BC AG ⊥于点G ，则G 是BC 的中点,在BCF Rt ∆中， 30=∠FBC ，3=BC , ∴333330tan =⨯=⨯= BC FC , 又∵ 30602121=⨯=∠=∠CFB CFP , ∴在PCF Rt ∆中，133330tan =⨯=⨯= FC PC , …………１分 又∵ABC ∆是等腰直角三角形，223==AC AB , ∴2321===BC GC AG , ∴21123=-=-=PC GC GP , …………２分 ∴在AGP Rt ∆中，210)21()23(2222=+=+=GP AG AP ． …………３分 （2）解：当点P 在运动的过程中出现FC PA =时，有两种可能（如图所示）：…………4分①当点P 运动到如图点1P 的位置时，FC A P=1，在G AP Rt 1∆中,23=AG ,31=AP ， ∴23cos 11==∠AP AG AG P ， ∴ 301=∠AG P ,又∵45=∠BAG ，∴ 1530451=-=∠AB P ．……………5分 ②当点P 运动到如图点2P 的位置时，FC A P =2，同理可得： 302=∠AG P ,∴ 7530452=+=∠AB P ． …………………6分探究二： AMN ∆的周长存在有最小值, 最小值是23223+,理由如下: 解法一：连接AD ,∵ABC ∆是等腰直角三角形，CD BD =， ∴CD AD =, 45=∠=∠C MAD ,又∵ 90=∠+∠ADN MDA ,90=∠+∠ADN NDC ,∴NDC MDA ∠=∠,∴MDA ∆≌NDC ∆,∴NC MA =, DN DM =, ……………………8分 AMN ∆的周长=MN AN MA ++=MN AN NC ++=MN AC +=MN +223, ………9分 设x AM =，则x AN -=223， 在AMN Rt ∆中， 2222)223(x x AN AM MN -+=+=, ∴49)423(22+-=x MN , …………………10分 ∴当423=x 时，MN 有最小值23，从而AMN ∆的周长也有最小值23223+. ……11分 解法二：连接AD ,∵ABC ∆是等腰直角三角形，CD BD =，∴CD AD =, 45=∠=∠C MAD ,又∵ 90=∠+∠ADN MDA , 90=∠+∠ADN NDC ,∴NDC MDA ∠=∠,∴MDA ∆≌NDC ∆,∴NC MA =,DN DM =， ………8分∴AMN ∆的周长=MN AN MA ++=MN AN NC ++=MN AC +=MN +223， ……9分 若MN 存在有最小值时，AMN ∆的周长也有最小值，当DEF ∆绕着点D 旋转至DE AB ⊥(或DF AC ⊥)时存在有MN 的最小值，………10分在BDM Rt ∆中,23=BD , 423222345sin =⨯=⨯= BD DM ， 又∵DEF ∆在旋转的过程中，DMN ∆始终是等腰直角三角形，∴232=⨯=DM MN ， ∴AMN ∆的周长=23223+， ∴AMN ∆的周长存在有最小值，最小值是23223+． ………11分 解法三：连接AD ,∵ABC ∆是等腰直角三角形，CD BD =，∴CD AD =, 45=∠=∠C MAD ,又∵ 90=∠+∠ADN MDA , 90=∠+∠ADN NDC ,∴NDC MDA ∠=∠,∴MDA ∆≌NDC ∆,∴NC MA =,DN DM =， ………8分∴AMN ∆的周长=MN AN MA ++=MN AN NC ++=MN AC +=MN +223，……9分 若MN 存在有最小值，则等腰直角三角形DMN 中，DM 要存在有最小值， 当DEF ∆绕着点D 旋转至DE AB ⊥（或DF AC ⊥）时存在有()DN DM 或的最小值， 90=∠=∠FDE BMD ，∴DN BM //，同理： 45=∠=∠NMD BDM ,∴MN BD //，∴四边形BMND 是平行四边形， …………10分 ∴23==BD MN ， ∴AMN ∆的周长=23223+， ∴AMN ∆的周长存在有最小值，最小值是23223+ ． …………11分 (本题有多种解法，请参照此评分标准给分.)。
2013年广东省中考数学试卷及答案
2013年广东省中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2013•广东）2的相反数是（）A．B．C．﹣2 D．22．（3分）（2013•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2013•广东）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（）A．0.126×1012元B．1.26×1012元C．1.26×1011元D．12.6×1011元4．（3分）（2013•广东）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）A．a﹣5＜b﹣5 B．2+a＜2+b C．D．3a＞3b5．（3分）（2013•广东）数学1、2、5、3、5、3、3的中位数是（）A．1B．2C．3D．56．（3分）（2013•广东）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（3分）（2013•广东）下列等式正确的是（）A．（﹣1）﹣3=1 B．（﹣4）0=1 C．（﹣2）2×（﹣2）3=﹣26D．（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣528．（3分）（2013•广东）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．（3分）（2013•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.11．（4分）（2013•平凉）分解因式：x2﹣9=_________．12．（4分）（2013•广东）若实数a、b满足|a+2|，则=_________．13．（4分）（2013•广东）一个六边形的内角和是_________．14．（4分）（2013•广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_________．15．（4分）（2013•广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是_________．16．（4分）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_________（结果保留π）．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）17．（5分）（2013•广东）解方程组．18．（5分）（2013•广东）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．19．（5分）（2013•广东）如图，已知▱ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）（2013•广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图和所示的不完整统计图表．（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．样本人数分布表类别人数百分比排球 3 6%乒乓球14 28%羽毛球15篮球20%足球8 16%合计100%21．（8分）（2013•广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？22．（8分）（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1_________ S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．24．（9分）（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．25．（9分）（2013•广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= _________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．2013年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2013•广东）2的相反数是（）A．B．C．﹣2 D．2考点：相反数．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：2的相反数是﹣2，故选：C．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）（2013•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．解答：解：A、五棱柱的俯视图是五边形，故此选项错误；B 、三棱锥的俯视图是，故此选项错误；C、球的俯视图是圆，故此选项错误；D、正方体俯视图是正方形，故此选项正确；故选：D．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．（3分）（2013•广东）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（）A．0.126×1012元B．1.26×1012元C．1.26×1011元D．12.6×1011元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1260 000 000 000有13位，所以可以确定n=13﹣1=12．解答：解：1260 000 000 000=1.26×1012．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）（2013•广东）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）A．a﹣5＜b﹣5 B．2+a＜2+b C．D．3a＞3b考点：不等式的性质．分析：以及等式的基本性质即可作出判断．解答：解：A、a＞b，则a﹣5＞b﹣5，选项错误；B、a＞b，则2+a＞2+b，选项错误；C、a＞b，则＞，选项错误；D、正确．故选D．点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．（3分）（2013•广东）数学1、2、5、3、5、3、3的中位数是（）A．1B．2C．3D．5考点：中位数．分析：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解答：解：将数据从大到小排列为：1，2，3，3，3，5，5，则中位数是3．故选C．点评：本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义及计算方法是关键．6．（3分）（2013•广东）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°考点：平行线的性质．分析：由AC∥DF，AB∥EF，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1=∠A=∠2=50°．解答：解：∵AB∥EF，∴∠A=∠2=50°，∵AC∥DF，∴∠1=∠A=50°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等订立的应用，注意掌握数形结合思想的应用．7．（3分）（2013•广东）下列等式正确的是（）A．（﹣1）﹣3=1 B．（﹣4）0=1 C．（﹣2）2×（﹣2）3=﹣26D．（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52考点：负整数指数幂；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂．分析：根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数），零指数幂：a0=1（a≠0），同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减分别进行计算，可得答案．解答：解：A、（﹣1）﹣3=﹣1，故此选项错误；B、（﹣4）0=1，故此选项正确；C、（﹣2）2×（﹣2）3=﹣25，故此选项错误；D、（﹣5）4÷（﹣5）2=52，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法，关键是熟练掌握各运算的计算法则，不要混淆．8．（3分）（2013•广东）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．专题：存在型．分析：先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：移项得，5x﹣2x＞5+1，合并同类项得，3x＞6，系数化为1得，x＞2，在数轴上表示为：故选A．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．9．（3分）（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．解答：解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．（3分）（2013•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．解答：解：∵k1＜0＜k2，b=﹣1＜0∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．故选A．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.11．（4分）（2013•平凉）分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．考点：因式分解-运用公式法．分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．12．（4分）（2013•广东）若实数a、b满足|a+2|，则=1．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．分析：根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．解答：解：根据题意得：，解得：，则原式==1．故答案是：1．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．13．（4分）（2013•广东）一个六边形的内角和是720°．考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形内角和公式进行计算即可．解答：解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°．故答案为：720°．点评：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）．180°（n≥3）且n为整数）．14．（4分）（2013•广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先由勾股定理求得斜边AC=5；然后由锐角三角函数的定义知sinA=，然后将相关线段的长度代入计算即可．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5（勾股定理）．∴sinA==．故答案是：．点评：本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．（4分）（2013•广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是平行四边形．考点：图形的剪拼．分析：四边形ACE′E的形状是平行四边形；首先根据三角形中位线的性质可得DE∥AC，DE=AC，再根据旋转可得DE=DE′，然后可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．解答：解：四边形ACE′E的形状是平行四边形；∵DE是△ABC的中线，∴DE∥AC，DE=AC，∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，∴DE=DE′，∴EE′=2DE=AC，∴四边形ACE′E的形状是平行四边形，故答案为：平行四边形．点评：此题主要考查了图形的剪拼，以及平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．16．（4分）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．考点：扇形面积的计算．分析：阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．解答：解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．点评：本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）17．（5分）（2013•广东）解方程组．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：将方程组中的第一个方程代入第二个方程消去x求出y的值，进而求出x的值，即可得到方程组的解．解答：解：，将①代入②得：2（y+1）+y=8，去括号得：2y+2+y=8，解得：y=2，将y=2代入①得：x=2+1=3，则方程组的解为．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（5分）（2013•广东）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．考点：分式的化简求值．专题：开放型．分析：选②与③构造出分式，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、b的值代入进行计算即可．解答：解：选②与③构造出分式，，原式==，当a=6，b=3时，原式==．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（5分）（2013•广东）如图，已知▱ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质．分析：（1）根据题目要求画出图形即可；（2）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，进而得到AD=CE，∠DAF=∠CEF，进而可利用AAS证明△AFD≌△EFC．解答：（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠CEF，∵在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，关键是正确画出图形，掌握平行四边形的性质．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）（2013•广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图和所示的不完整统计图表．（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．样本人数分布表类别人数百分比排球 3 6%乒乓球14 28%羽毛球15篮球20%足球8 16%合计100%考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表．专题：计算题．分析：（1）由排球的人数除以所占的百分比求出总人数，乘以篮球所占的百分比即可求出篮球的人数，补全条形统计图，如图所示，求出羽毛球所占的百分比，补全人数分布图，如图所示；（2）用人数乘以羽毛球所占的百分比即可求出人数．解答：解：（1）3÷6%=50人，则篮球的人数为50×20%=10人，则补全条形统计图如下：羽毛球占总数的百分比为：15÷50=30%，补全人数分布表为：类别人数百分比排球 3 6%乒乓球14 28%羽毛球15 30%篮球10 20%足球8 16%合计50 100%（2）920×30%=276人．则七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数为276人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．21．（8分）（2013•广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．解答：解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．点评：本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数．22．（8分）（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1=S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．考点：相似三角形的判定；矩形的性质．分析：（1）根据S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=S矩形BDEF，∴S2+S3=S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．证明△BCD∽△DEC；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO 的长即可得出答案．解答：解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，解得：m=±1，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；（2）∵m=2，∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），当x=0时，y=3，∴C点坐标为：（0，3）；（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴=，∴=，解得：PO=，∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．24．（9分）（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．解答：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），∴∠BCA=∠BAD．（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴=，即=，解得：DE=．（3）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，∵，∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．25．（9分）（2013•广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= 15度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．考点：相似形综合题．分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示．解答：解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）如题图3所示，当EF经过点C时，FC====；（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△BDG﹣S△BFM=BD•DG﹣BF•MN=（x+4）2﹣x•x=x2+4x+8；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN ，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△ABC﹣S△BFM=AB•AC ﹣BF•MN=×62﹣x •x=x2+18；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：由BF=x，则AF=AB﹣BF=6﹣x，设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．y=S△AFM =AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．综上所述，y与x的函数解析式为：y=．点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．21。
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梅州市2013年初中毕业生学业考试数学试卷一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． 1． （2013广东梅州，1，3分）四个数－1，0，12，2中为无理数的是 A ．－1B ．0C ．12D ．2【答案】D ．2． （2013广东梅州，2，3分）从上面看如左图所示的几何体，得到的图形是A ．B ．C ．D ．【答案】B ．3． （2013广东梅州，3，3分）数据2，4，3，4，5，3，4的众数是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B ．4． （2013广东梅州，4，3分）不等式组2020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集是A ．2x ≥B ．2x >-C ．2x ≤D ．22x -<≤【答案】A ．5． （2013广东梅州，5，3分）一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A ．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 6． （2013广东梅州，6，3分）－3的相反数是 ． 【答案】3． 7．（2013广东梅州，7，3分）若42α∠=︒，则α∠的余角的度数是 ． 【答案】48°．8．（2013广东梅州，8，3分）分解因式：22m m -= ． 【答案】(2)m m -．9．（2013广东梅州，9，3分）化简：23a b ab ÷= ． 【答案】3a ．10． （2013广东梅州，10，3分）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为 吨． 【答案】6810⨯．11． （2013广东梅州，11，3分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则∠BAC 的度数是 ．【答案】105°．12． （2013广东梅州，12，3分）分式方程211xx =+的解是x = ． 【答案】1．13． （2013广东梅州，13，3分）如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是 ．【答案】2013．三、解答下列各题：本大题共10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 14． （2013广东梅州，14，7分）本题满分7分．计算：()112013|2cos 452-⎛⎫--+︒ ⎪⎝⎭．解：原式=122⨯-=．15． （2013广东梅州，15，7分）本题满分7分．解方程组251x y x y +=⎧⎨-=⎩．【解】251x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得36x =，即2x =，将2x =代入②，得1y =．所以原方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩．16． （2013广东梅州，16，7分）本题满分7分． 如图，在平面直角坐标系中，A （－2，2），B （－3，－2）（1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为 ； （2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为 ；（3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．【解】（1）∵点C 与点A 关于原点O 对称，且A （－2，2），∴点C 的坐标为（2，－2）． （2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）．（3）四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个，如图其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是51153=．17．本题满分7分（2013广东梅州，17，7分）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计，图①和图②是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）九年级（1）班共有 名学生；（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是 ； （3）若全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有 名．【解】（1）九年级（1）班中“很好”所占的比例为30%，“很好”的人数为18，所以九年级（1）班共有18÷30%=60（人）．（2）九年级（1）中“较好”的人数为30，所以“较好”所占的比例为30÷60=50%，所以“较差”的所占比例为1-30%-15%-50%=5%．所以对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是360°×5%=18（人）． （3）全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有（5%+15%）×1500=300（人）．18．本题满分8分．（2013广东梅州，18，8分）已知，一次函数1y x =+的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象都经过点A （a ，2）．（1）求a 的值及反比例函数的表达式；（2）判断点B （2）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由． 【解】（1）∵一次函数y=x+1的图象经过点A （a ，2），∴2=a +1，解得a =1．又反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点A （a ，2），∴12k =，∴k =2． ∴a 的值为1，反比例函数的表达式为xy 2=．（2）∵22222=⨯，∴点B （）是在该反比例函数的图象上．19．本题满分8分．（2013广东梅州，19，8分）如图，在矩形ABCD 中，AB =2DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交DC 于点E ，交AD 的延长线于点F ，设DA =2． （1）求线段EC 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【解】（1）∵在矩形ABCD 中，AB =2DA ，∴AE =2AD ，且∠ADE =90°.又DA =2，∴AE =AB =4，∴DE =3221622=-=-AD AE ，∴EC =DC -DE =324-.（2）ADE AEF S S S ∆=-阴影扇形=260418236023ππ︒⨯⨯-⨯⨯=-︒.20．本题满分8分．（2013广东梅州，20，8分）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种（1）写出y （元）与x （棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？ （3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B 种树苗多少棵？ 【解】解：（1）设购买A 种树苗x 棵，则购买B 种树苗（1000－x ）棵，绿化村道的总费用为y =(20+5)x +(30+5)（1000－x ）=25x +35000－35x =35000－5x ． （2）90%x +95%（1000－x ）=925．解得x =500（棵），则购买B 种树苗500棵． (20+5) ×500×90%+(30+5) ×500×95%=27875（元）．（3）(20+5)x +(30+5)（1000－x ）≥31000，解得x ≤400．则1000－x ≥1000－400=600．所以最多可购买B 种树苗600棵．21．本题满分8分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，21，8分）如图，在四边形ABFC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线EF 交于点D ，交AB 于点E ，且CF =AE ．（1）求证：四边形BECF 是菱形；（2）若四边形BECF 为正方形，求∠A 的度数． 【解】（1）∵BC 的垂直平分线EF 交于点D ，∴BF =FC ，BE =EC .又∵∠ACB =90°，∴EF //AC . ∴BE ：AB=DB ：BC ，∵D 为BC 中点，∴DB ：BC=1：2，∴BE ：AB=1：2，∴E 为AB 中点，即BE=AE ，∵CF=AE ，∴CF=BE ，∴CF=FB=BE=CE ，∴四边形BECF 是菱形．（2）如图，∵四边形BECF 为正方形，∴∠BEC =90°.又AE =CE ，∴∠A =45°.22．本题满分10分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，22，8分）如图，已知抛物线222y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）写出以A ，B ，C 为顶点的三角形面积；（2）过点E （0，6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），以MN 为一边，抛物线上的任一点P 为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P 的坐标； （3）过点D （m ，0）（其中m >1）且与x 轴垂直的直线2l 上有一点Q （点Q 在第一象限），使得以Q ，D ，B 为顶点的三角形和以B ，C ，O 为顶点的三角形相似，求线段QD 的长（用含m 的代数式表示）．【解】（1）∵抛物线222y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．∴2220x -=，C (0，-2)∴1x =±.∴A （-1，0），B （1，0）.∴AB =2.∴12222ABC S ∆=⨯⨯=. （2）∵过点E （0，6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点，∴2226x -=，解得2x =±，∴MN =4.又平行四边形的面积为8时，∴点P 到MN 的距离为2，即P 点的纵坐标为4，∴2224x -=，解得x =P 的坐标为（44）. （3）设Q （m ，b ），则可分两种情况： ①当OB OCBD DQ=时，121m b =-，解得22b m =-（1m >）.②当OB OCDQ BD=时，121b m=-，解得1122b m=-（1m>）.23．本题满分11分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，23，8分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN，在旋转△DEF的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在．求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解】（1）过点A作AG⊥BC，垂足为G.当点P运动到∠CFB的角平分线上时，∠PFC=∠BFP=30°，∴PC=12 PF.又∵∠CBF=30°，∴BP=PF.∵BC=3，∴BP=2.在Rt△BAC中，∵∠ABC=45°，∴AG=BG=12BC=32.∴GP=12.∴在Rt△AGP中，AP=229110 44AG GP+=+=.（2）如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G.在Rt△APG中，AP=CF=3，AG=32，则PG==，所以∠PAG =30°，所以∠PAB =15°.当点P 位于点P ′处时，∠BAP =75°.探究二：过点D 分别作DH ⊥AB 于点H ，DI ⊥AC 于点I.在Rt △ABC 中，∵点D 是BC 中点，AB =AC ，∴HD =DI .∴四边形HDIA 是正方形.∵∠HDI =∠MDN ，∴∠HDM =∠IDN . 在△HDM 与△IDN 中，HDM IDN HD DIDHM DIN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△HDM ≌△IDN （ASA ）. ∴DM =DN ，HM =IN .设MA =x ，则HMx ， ∴ANxx ∴MN当x=MN3 4 =.所以最小周长为AM+AN+MN有最小值=2AH+34=AB+3434.。