15高一数学(2.1.2系统抽样)
2.1.2系统抽样(周)
5、从年级600名学生中抽取60名进行问卷调 查，是否有其他抽样方法？ 第一步:将这600名学生编号为1,2,3,…,600; 按号码顺序以一定的间隔进行抽取 600 60 部分，每一部 第二步，将总体平均分成 10, 这个间隔可以定为10 由于 60 分含 10 个个体. 第三步，在第1部分中用简单随机抽样抽取 一个号码（如8号）. 第四步，从该号码起，每隔10 个号码取一 个号码，就得到一个容量为60的样本. 所取号码为 8, 18, 28, …,598.
较小
较大
系统抽样的操作步骤
用系统抽样从含有N个个体的总体中抽 取一个容量为n的样本，其操作步骤如何？ 第一步:将总体的N个个体编号； 第二步:确定分段间隔k，对编号进行分段. 当
N n
是整数时，取
k
N n
第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始 个体编号l； 第四步，按照一定的规则抽取样本. 通常是 l, l+k, l+2k, …, l+(n-1)k
学习目标
1.了解系统抽样法．
2.掌握系统抽样方法的步骤，并会用 系统抽样方法解决一些实际问题． 3.理解系统抽样与简单随机抽样之间 的异同．
一、复习回顾
1、一般地，用抽签法从容量为N的总体中抽取一个容量 为n的样本的步骤为：
①给总体的所有个体编号；
②将1~N这N个号码写在形状、大小相同的号签上； ③将号签放在一个不透明的容器中搅拌均匀； ④从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽 取n次； ⑤从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出。
（2）确定分段间隔k，当N/n（n是样本容 量）是整数时，取k= N/n；
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编 号m(m≤k)
人教版高中数学 2.1.2系统抽样课件 精品
四、[变练演编，深化提高] 1. 某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，…，295， 为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本， 用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．
解：抽样过程是： （1）按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59， 我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号 为1—5的5名学生，第2组是编号为6—10的5名学生， 依次下去，59组是编号为291—295的5名学生； （2）采用简单随机抽样的方法，从第一组5名 学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(l≤5)； （3）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生 编号为l+5k(k=0,1,2,…，58)，得到59个个体 作为样本，如当k=3时的样本 编号为3，8，13，…，288，293．
三、[运用规律，解决问题] 例1 . 下列抽样不是系统抽样的是（ ） A.从标有1—15号的15个小球中任选3个作为样本， 按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10 (超过15则从1再数起)号入样 B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前， 检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问， 直到调查到事先规定的调查人数为止 D.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等） 座位号为14的观众留下来座谈
其步骤是： 1°采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号; 2°将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,l≤k); 3°在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l（l∈N,l≤k）; 4°按照一定的规则抽取样本.通常是将起始编号l加上间隔k得 到第2个个体编号(l+k)，再加上k得到第3个个体编号(l+2k)， 这样继续下去，直到获取整个样本．
2.1.2系统抽样(整理)
例题.为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩， 打算从中抽取容量为50的样本。应采用什么抽取方法恰当？ 简述抽样过程？ 解析：（1）将每个人编号，由1至1000 （2）由于50：1000=1：20，按编号顺序将号码等 分为50段，每段20个，1至20为第1段 （3）然后在第1段随机抽取一个号码，比如它是在 第18号，那么可以从第18号起，每隔20个取一个号 码 （4）按编号，将18，38，58，…，978，998共50 个号选出。 这50个号对应的50个人成绩就组成了一个样本。
④按所得的号码抽取样本.
3、什么样的总体适宜用简单随机抽样？
由于简单随机抽样适用于个体不太多的总体，
那么当总体个数较多时，适宜采用什么抽取方法？ 新的抽样方法——系统抽样
学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见,打 算从高二年级1000多名学生中抽取50名学生进行调查. 除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽样 样本的方法? 我们按照这样的方法来抽样:首先将这1000名学生从1开 始进行编号,然后按号码顺序以一定的间隔进行抽取.由于
1000 50 20,
这个间隔可以定为20,即从号码为1~20的第一个
间隔中随机地抽取一个号码,假如抽到的是6号,然后从第 6号开始,每隔20个号码抽取
这样,我们就得到一个容量为50的样本.这种抽样方法我 们叫做系统抽样.
当总体中的个体数较多时,将总体分成均衡的几个部分， 然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得 到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样. 在上面的抽样中,由于在第1部分(个体编号1~20)中的起始 号码是随机确定的,每个号码被抽到的概率都等于
系统抽样与简单随机抽样的联系在于:
将总体均分后的每一部分进行抽样时,采用的是简单随机 抽样. 当总体中的个体数正好能被样本容量整除，可以用它们 的比值作为进行系统抽样的间隔．如果不能整除，那应 该怎么办，使在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概 率相等？
高中数学人教新课标B版必修3--《2.1.2 系统抽样》教学设计(表格式)
课题：2.1.2系统抽样
一、教学目标：
1.知识与技能：理解系统抽样的概念，会用系统抽样方法从总体中抽取样本.
2.过程与方法：通过探索、研究、归纳、总结形成科学的知识结构，并掌握知识之间的相互
联系.
3.情感态度与价值观：培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识，培养学生学数学
用数学的意识.
二、教学重点难点：
重点：系统抽样方法的应用.
难点：系统抽样方法的合理性、公平性.
三、教学方法：
在教法上：我采用引导发现，自主探究，合作交流的教学方法。
本节课以问题为载体，通过问题链，使学生主动参与，并让学生成为探究问题的主体.
在学法上：让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力.
四、教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，提高课堂效率.。
高中数学第2章统计2.1抽样方法2.1.2系统抽样教案苏教版必修3
2.1.2 系统抽样整体设计教材分析当总体中个体比拟多，抽签法与随机数表法用于选取样本就比拟烦琐，而且也不能保证样本代表性，所以本节课将要学习又一种新抽样方法——系统抽样.在教学时教师不仅要让学生了解系统抽样概念，而且还要让学生掌握如何进展系统抽样，以及在进展系统抽样时所要注意一些事项，如怎样进展分段，应该分成多少段，分段时如总体个数不能被样本容量整除怎么办等等.在教学中要教会学生会比拟各种方法适用范围与各自优缺点，并会根据实际情况选择恰当抽样方法，且在讲解系统抽样时必须紧扣“每个个体被抽取概率是相等〞理论依据.黑格尔说：“教师是学生心目中‘权威人物’，是儿童心目中最神圣偶像.〞因此，我们教师在教学中要建立民主师生关系，要有意突破常规，让学生敢于在课堂上表现自己，教师也要善于表扬他们.教学时，教师要让学生充分发挥自己潜能，培养他们会对现有知识独立钻研创新精神，并培养他们会用现有知识合理辐射数学思维，得出一些具有个人特色正确结论.三维目标了解系统抽样概念及抽样步骤，会用系统抽样从总体中抽取样本，能运用所学知识判断、分析与选择抽取样本方法.能从现实生活或其他学科提出有价值数学问题，并能加以解决，培养学生运用统计思想表达思考与解决现实世界中问题能力，让学生感受数学美学价值在于鲜活实际应用，立志于学习与研究数学，最大限度地用数学知识效劳于社会，同时自身也能获得最正确生存环境.重点难点教学重点：系统抽样应用.教学难点：对系统抽样中“系统〞思想理解；对样本随机性理解.课时安排1课时教学过程导入新课当总体中个体数比拟多时，采用抽签法或随机数表法那么比拟烦琐，那么该如何抽样？如：某校高一年级共有20个班，每班有50名学生.为了了解高一学生视力状况，从这1 000人中抽取一个容量为100样本进展检查，应该怎样抽取？学生思考，交流讨论，然后代表发言，教师修改总结.推进新课新知探究1.将总体平均分成几个局部，然后按照一定规那么，从每个局部中抽取一个个体作为样本，这样抽样方法称为系统抽样〔systematic sampling〕.2.假设要沉着量为N总体中抽取容量为n样本，系统抽样步骤为:〔1〕采用随机方式将总体中N 个个体编号；〔2〕将编号按间隔k 分段，当n N 是整数时，取k=n N ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下总体中个体个数N′能被n 整除，这时取k=nN ，并将剩下总体重新编号； 系统抽样与简单随机抽样联系：将总体均分后每一局部进展抽样时，采用是简单随机抽样.系统抽样优点是简便易行，当对总体构造有一定了解时，充分利用已有信息对总体中个体进展排队再抽样，可提高抽样效率；当总体中个体存在一种自然编号时，便于施行系统抽样法.系统抽样缺点是在不了解样本总体情况下，所抽出样本具有一定偏差.〔3〕在第一段中用简单随机抽样确定起始个体编号l ；〔4〕按照一定规那么抽取样本，通常将编号为l,l+k,l+2k,…,l+(n－1)k 个体抽出.应用例如〔多媒体出示题目，学生思考〕例1 一条流水线生产某种产品，每天都可生产128件这种产品，我们要对一周内生产这种产品作抽样检验，方法是抽取这一周内每天下午2点到2点半之间下线8件产品作检验.这里采用了哪种抽取样本方法分析：此抽样选用了“等时〞抽样，与“等间距〞类似而作出判断.解：系统抽样.点评：解决此题要弄清楚目前所学两种抽样概念与特点.例2 某校为了了解全校住校生对学校食堂意见，打算从全校1 000名住校生中抽取50名进展调查，用系统抽样法进展抽取，并写出过程.分析：根据系统抽样步骤可解此题.解：首先将这1 000名学生从1开场进展编号，然后按号码顺1000=20，再从号码1～20第一段中序均分成50段，每段个体数为50用简单随机抽样抽取一个号码，假设抽到是9号，然后从9 开场，每隔20个号码抽取一个，这样就得到容量为50样本编号：9、29、49、…、989,这样，我们就得到一个容量为50样本，这种抽样方法就是系统抽样.N是整数.点评：此题“分段〞比拟方便，因为分段间隔k=n例3 某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中所用时间，决定抽取10％工人进展调查，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？分析：总体中每一个个体，都必须等可能地入样.为了实现“等距〞入样，且又等概率，应先剔除，再“分段〞，后定起始数.解：抽样过程如下：〔1〕先将在岗工人624人，用随机方式编号〔如按出生年月日编号〕：000，001，002， (623)〔2〕由题知应抽取62人作为样本，因为624不能被62整除，所以应从总体中剔除4个，将余下620人按编号顺序补齐000，001，002，…，619，并分成62个段，每段10人.〔3〕在第一段000，001，002，…，009这十个编号中，随机定一个起始号l 〔如006〕.〔4〕最后编号为006，016，026，…，59610名工人就为所要抽取样本.点评：1.系统抽样步骤可概括为：〔1〕编号〔采用随机方式将总体中个体编号，为简便起见，有时可直接利用个体所带号码，如考生准考证号、街道上各户门牌号，等等〕.n N 〔N 为总体中个体数，n 为样本容量〕是整数时， k=n N ；当n N 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下个体数N′能被n 整除，这时k=nN 〕. 〔3〕确定起始个体编号l 〔在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l 〕.〔4〕按照事先确定规那么．．．．．．．抽取样本〔通常是将l 加上间隔k ，得第二个编号l+k ，再将〔l+k 〕加上k ，得第三个编号l+2k ，这样继续下去，直至获取整个样本〕.“事先确定规那么〞说明不一定按“通常〞方法〔即将l 加上间隔k ，得第二个编号l+k ，再将〔l+k 〕加上k ，得第三个编号l+2k ，这样继续下去，直至获取整个样本〕来抽取样本.2.学生解答，归纳步骤后由学生修改整理，教师巡视点拨，对整理较好同学进展及时表扬或鼓励，激发学生自信.思考：在用系统抽样方法抽样过程中，会用怎样“规那么〞来取除起始号以外其他编号呢？看例4.例4 一个总体中有100个个体，随机编号为0、1、2、 (99)依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、3、…、10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10样本，规定如果在第1组随机抽取号码为m，那么在第k(k≥2)组中抽取号码个位数字与m+k个位数字一样.假设m=6,那么第7组中抽取号码为__________________.分析：此题与课本中总结“通常〞方法〔即每隔10抽出一个号码〕有所不同，挖掘点在于条件“第一个号码m之后，在第k组中抽取号码个位数字与m+k个位数字一样〞.解：因为，第1组号码0～9；第2组号码10～19；第3组号码20～29；依次下去第7组中抽取号码十位数字是6.此题要求“在抽取了第一个号码m之后，在第k组中抽取号码个位数字与m+k 个位数字一样〞限制了各组抽出号码个位数.利用m及k值，求出m+k个位数字，即此题中由m=6，k=7得m+k=13，显然，m+k=13个位数字是3，故从第7组中抽取号码是63.所有被抽出号码依次为：6，18，29，30，41，52，63，74，85，96.它们“不等距〞.点评：此题是福建2004年高考卷第15〔文〕题，如果按照系统抽样经历做法“等间距〞做此题话，那么不达.一位教育专家曾指出：学习如果过分地依赖学习者经历或感情世界，即通过纯粹经历积累，而不是通过认知活动对经历进展加工，那么学习将会出现危机，因此必须重视人思维教育.所以，我们在教学时要留足够时间给学生探究，充分暴露学生思维，让学生自己打破思维中过多“经历〞束缚，展示学生创造性学习思维活动过程.知能训练课本本节练习.解答：1.系统抽样中总体与样本比必须是整数，而1 252被50整除余2，因此必须随机剔除2人.应选A.2.具体步骤为：第一步，将1 003名学生，用随机方式编号〔如按出生年月日编号〕：0000,0001,0002,…,1 002.第二步，由题知：应抽取20名学生作为样本，因为1 003不能被20整除，所以应从总体中随机剔除3名学生，将余下1 000名学生按编号顺序补齐为0000,0001,0002,…,0999，并分成20个段，每段50名学生.第三步，在第一段0000,0001,0002,…,0049这50个编号中，随机定一个起始号l〔如0006〕.第四步，编号为0006,0056,0106,…,095620名学生就是所要抽取样本.3.可选择在某个年级进展，如选择高一年级.先将所有学生随机地进展编号；然后将他们分成m段，每段n人〔如总人数不能被均分，可随机地剔除几个人再分〕；再从第一段随机抽取一个号码〔如l〕；那么编号为l,l+n,l+2n,…，l+(m－1)n学生就是需要.最后测量这些学生两臂平展长度及身高，再分别计算两组数据平均数.课堂小结〔先让一位同学总结，其他同学补充，教师完善，并用多媒体展示出来〕(1)系统抽样适用于总体中个数较多情况，因为这时采用简单随机抽样显得不方便.(2)系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中个体均分后每一段进展抽样时，采用是简单随机抽样.(3)与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样.作业为了了解某地参加英语口语水平测试5 027名学生成绩，从中抽取了200名学生成绩进展统计分析，请写出运用系统抽样抽取样本步骤.解：具体步骤为：第一步，将参加计算机水平测试5 027名学生用随机方式编号〔如按准考证编号〕0000，0001， (5026)第二步，由题知：应抽取200人作为样本，因为5 027不能被200整除，所以应从总体中剔除27个，将余下5 000人按编号顺序补齐0000，0001，…，4999,分成200个段，每段25人.第三步，在第一段0000，0001，…，0024这25个编号中，随机定一个起始号l〔如0022〕.第四步，编号为0022，0047，…，4997工人就为所要抽取样本.设计感想由于这局部内容比拟简单，所以整节课以学生为主，尤其是根底在中下游学生，要激发他们学习积极性，从而活泼课堂气氛，使每个学生都全身心投入，动脑、举例.。
2.1.2系统抽样(共15张PPT)
全优80页限时规范训练
21:14 12
2.1.2 系统抽样
21:14
1
【探究】 某学校为了了解高一年级学生对教师教 学的意见，打算从高一年级 500名学生中抽取 50名 进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，您 能否设计其他抽取样本的方法？
我们按照下面的步骤进行抽样: 第一步:将这500名学生用随机的方式进行编号;
第二步:对编号按顺序进行分段.由于k=500/50=10,这个间 隔定为10;每10个一段，分成50段。
21:14
3
系统抽样有以下特征：
1、当总体容量N较大时，且样本容量也较大时采用系统 抽样． 2、每个个体被抽到的可能性相等，都为n/N； 3、系统抽样为不放回抽样； 4、将总体分成均衡的几部分指的是将总体分段，分段的 间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样. 5、一定的规则通常指的是：在第 1段内采用简单随机抽 样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔 的整倍数即为抽样编号．
(3)系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广 . 21:14后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随 机抽样； (2)与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率、不放回抽样 抽样；
(3)当总体中个数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽 样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容 量整除.
解：(1) 对这118名教师进行随机编号
(2) 计 算 间 隔 k=118/16=7.375 ， 不 是 整 数．从总体中随机剔除 3 ， 46 ， 59 ， 57 ， 112 ， 93 六名教师，然后再对剩余的112教师进行编号，分 段。
(3) 在1~7之间随机取一个数字，如选5，将5 加上间隔 7 得到第二个个体编号 12 ，再加 7得到第 三个个体编号 19 ，依次进行下去，直到获取整个 样本．
2.1.2 系统抽样-2.1.3 分层抽样
情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四
个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人，若
在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、
25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ B）
A。101B。808C1212D。2012第2个个体编号： l k 第3个个体编号： l 2k
例1、判断下列结论是否正确
1、系统抽样中，在起始部分抽样时采用简单随机
抽样。
（√）
2、系统抽样中，每个个体被抽到的可能性与所分
组数有关。
（ ×）
3、系统抽样中，所分组数和样本容量是一致的。
（ √）
例2、为了抽查某城市小轿车年检情况，在该城市采取抽车
从中抽取一个容量为30的样本，考虑系统抽样，则分段间隔
k为（A）
A。40
B。30
C。20
D。10
例5、从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10
名学生作代表，学生的编号为00到99，若第一组中抽到的号
码是03，则第三组中抽到的号码是（B）
A。22
B。23
C。32
D。33
二、分层抽样
设某地区有高中生2400人，初中生10900 人，小学生11000人，为了了解本地区中小学 生的近视情况，从本地区抽取1%的学生进行 调查，应当怎样抽取样本？
分层抽样
二、分层抽样
1、定义：一般地，在抽样时，将总体分成互 不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层 独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的 个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一 种分层抽样。
二、分层抽样
2、具体步骤： （1）将总体按一定标准进行分层。 （2）计算各层的个体数与总体的个体数的比。 （3）按各层在总体中所占比例确定各层应抽取的个体数。 （4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）。 （5）将各层中所抽取的个体合在一起就是样本。
高一数学2-1-2系统抽样2课件新人教A版必修
个.
8.某工厂有1003名工人,从中抽取10人参加体检,试用系统抽
样进行具体实施.
分析:由于总体容量不能被样本容量整除,需先剔除3名工人,
使得总体容量能被样本容量整除,取 k 1000 100, 然后
再利用系统抽样的方法进行.
10
知,中奖号码分别为0068,0168,0268,…,9968,显然这是将
10000个中奖号码平均分成100组,从第一组抽取了0068号,其
余号码在此基础上加上100的倍数得到的.可见这是用的系统
抽样方法. 答案:B
10.一个总体中100个个体编号为0,1,2,3,…,99,并依次将其分 为10个小组,组号为0,1,…,9,要用系统抽样方法抽取一个容量 为10的样本,规定如果第0组(号码0~9)随机抽取的号码为l,那 么依次错位地抽取后面各组的号码,即第k组中抽取的号码的 个位数为(l+k)或(l+k-10)(如果l+k≥10),若l=6,则抽取的10个 号码依次是__________________________. 解析:依题意知,第0组抽取的号码为6,则第1组抽取的号码应 为17,第2组抽取的号码应为28……,依此类推可得:6,17,28,39, 40,51,62,73,84,95.
5.总体容量为203,若采用系统抽样法抽样,当抽样间距为多少
时,不需要剔除个体.(
A.4
)
B.5
C.6
答案:D
D.7
6.某厂将在64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2010
年职工劳技大赛,将这64名员工编号为1~64,若已知8号､24号
､56号在样本中,那么样本中另一名员工的编号为________. 40
2.1.2系统抽样
说明
(1)分段间隔的确定:
N
当 当是nN整不数是时整,数取时k=,可以N先n; 从总体中随机地剔除几个 个体,使得总n 体中剩余的个体数能被样本容量整除.通常 取k= N
n
(2)从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个 问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简 单化，体现了数学转化思想。
例2 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号 的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分 选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导 弹的编号可能是（B）
A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43 C、1， 2， 3， 4， 5 D、2， 4， 6， 16，32
隔的整倍数即为抽样编号。
二、从容量为N的总体中抽取容量为n的样本, 用系统抽样的一般步骤为:
（1）将总体中的N个个体编号.有时可直接利用个 体自身所 带的号码,如学号、准考证号、门牌号等； （2）将编号按间隔k分段(k∈N）. （3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L（L∈N,L≤k）。 （4）按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号L 加上间隔k得到第2个个体编号L+K,再加上K得到第 3个个体编号L+2K，这样继续下去,直到获取整个样 本.
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时,采用系统抽样。
（2）将总体平均分成几部分指的是将总体分段,分段的
间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样，
这时间隔一般为k＝
Nn( [x]表示不超过x的最大整数).
（3）一定的规则通常指的是基础上加上分段间
C.都相等 D.无法确定
练习
在1000个有机会中奖的号码（编号为000～ 999）中， 在公证部门的监督下，按随机抽取的方法确定最后两位 数为88的号码为中奖号码，这是运用那种抽样方法确定 中奖号码的？依次写出这10个中奖号码。
第二章 2.1.2-2.1.3 系统抽样、分层抽样
2．1.2 系统抽样2．1.3 分层抽样学习目标 1.理解并掌握系统抽样、分层抽样；2.会用系统抽样、分层抽样从总体中抽取样本；3.理解三种抽样的区别与联系．知识点一 系统抽样思考1 当总体中的个体数较多时，为什么不宜用简单随机抽样？答案 因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强．思考2 用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第1段的个体编号怎样抽取？以后各段的个体编号怎样抽取？答案 用简单随机抽样抽取第1段的个体编号．在抽取第1段的号码之前，自定义规则确定以后各段的个体编号，通常是将第1段抽取的号码依次累加间隔k .梳理 系统抽样(1)定义：要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．(2)步骤：①先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；②确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；当N n不是整数时，先从总体中随机剔除几个个体，再重新编号， 然后分段；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．知识点二分层抽样思考1当所研究的总体由差异明显的几部分组成时，还可用系统抽样吗？答案不可以．思考2分层抽样的总体具有什么特性？答案分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样．思考3系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样，这种说法对吗？答案不对，因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取是按事先确定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样．梳理分层抽样(1)定义一般地，当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的．(2)分层抽样的实施步骤第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)．第二步，计算抽样比．抽样比＝样本容量总体中的个体数.第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比．第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本．第五步，综合每层抽样，组成样本．知识点三三种抽样方法的比较类型一系统抽样及应用例1为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．解适宜选用系统抽样，抽样过程如下：(1)随机地将这1 000名学生编号为1,2,3， (1000)(2)将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体．(3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l.(4)以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l，l＋20，l ＋40，…，l＋980.引申探究在本例中，如果总体是1 002，其余条件不变，又该怎么抽样？解(1)将每个学生编一个号，由1至1002.(2)利用随机数法剔除2个号．(3)将剩余的1 000名学生重新编号1至1000.(4)按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体．(5)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l .(6)以l 为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l ，l ＋20，l ＋40，…，l ＋980.反思与感悟 当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体．由于剔除方法采用简单随机抽样，所以即使是被剔除的个体，在整个抽样过程中被抽到的机会和其他个体是一样的．跟踪训练1 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施． 解 (1)将每个工人编一个号，由0001至1003.(2)利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除．(3)将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000.(4)分段，取间隔k ＝1 00010＝100，将总体均分为10组，每组100个工人． (5)从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l .(6)按编号将l,100＋l,200＋l ，…，900＋l ，共10个号选出．这10个号所对应的工人组成样本．类型二 分层抽样及应用命题角度1 分层抽样适用情形判定例2 某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？解 (1)从总体来看，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样．(2)从三类学生的数量来看，人数较多，所以在各层抽样时可以采用系统抽样．(3)采用系统抽样分好组之后，确定第一组人选时，可以采用简单随机抽样．反思与感悟 分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．跟踪训练2 某单位有员工500人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查员工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？解 因为员工按年龄分为三个层，各层的身体状况有明显的差异，所以为了使样本具有代表性，需要采用分层抽样．抽样比为1∶5，即每5人中抽取一人．35岁以下：125×15＝25(人)，35岁～49岁：280×15＝56(人)，50岁以上：95×15＝19(人)． 命题角度2 分层抽样具体实施步骤例3 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．解 抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160＝18. 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)； 从教师中抽取112×18＝14(人)； 从后勤人员中抽取32×18＝4(人)． 第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人． 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．反思与感悟 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．跟踪训练3 某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取200人进行抽查，试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解 (1)设登山组人数为x ，则游泳组人数为3x ，再设游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc 4x＝10%， 解得b ＝50%，c ＝10%，故a ＝1－50%－10%＝40%.所以游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60，抽取的中年人人数为200×34×50%＝75，抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.1．检测员每10分钟从匀速传递的新产品生产流水线上抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是( )A ．系统抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．其他抽样方法答案 A解析 根据系统抽样的定义和性质进行判断即可．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012答案 B解析 根据分层抽样，得N ×1212＋21＋25＋43＝96，解得N ＝808，故选B.3．为了调查某省各城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________． 答案 4解析 乙组城市数占总城市数的比例为126＋12＋18＝13，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12×13＝4. 4．某班级有50名学生，现要采用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并均匀分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生． 答案 37解析 因为12＝5×2＋2，所以第n 组中抽得号码为5(n －1)＋2的学生．所以第八组中抽得号码为5×7＋2＝37的学生.5．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样法和分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．解 系统抽样法：将200个产品编号为1～200，然后将编号分成20个部分，在第1部分中用简单随机抽样法抽取1个编号．如抽到5号，那么得到编号为5,15,25，…，195的个体，即可得到所需样本．分层抽样法：因为100＋60＋40＝200，所以20200＝110， 所以100×110＝10,60×110＝6,40×110＝4. 因此在一级品、二级品和三级品中分别抽取10个、6个和4个，即可得到所需样本．1．系统抽样有以下特点：(1)适用于总体容量较大的情况；(2)剔除多余个体及第一段抽样都要用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；(3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N ；(4)是不放回抽样．在抽样时，只要第一段抽取的个体确定了，后面各段中要抽取的个体依照事先确定好的规律就自动地被抽出，因此简单易行．2．总体容量小，简单随机抽样；总体容量大，系统抽样；总体差异明显，分层抽样．在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法．40分钟课时作业一、选择题1．为了抽查某城市小轿车年检情况，在该城市采取抽车牌末位数字为6的小轿车进行检查，这种抽样方法是( )A ．随机数法B ．抽签法C ．系统抽样法D ．其他抽样方法答案 C解析 由于每个车牌的末位数字为0,1,2，…，9十个数字之一，某辆车车牌末位数字为6是随机的，这相当于将所有汽车分成若干组，每组10个(车牌的末位数字依次为0,1,2，…，9)，取每一组中的第6个，故为系统抽样．2．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意得系统抽样的抽样间隔为244＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＝48，所以x ＝3，故选B.3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种及20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为20×110＝2，抽取的果蔬类的种数为20×210＝4，二者之和为6，故选C. 4．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 3答案 D解析 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.5．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10答案 A解析 若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x 2＋300，所以有x ＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为800100＝8. 6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14答案 B解析 由于84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12. 二、填空题7．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，低级职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，则抽取的高级职称的人数为________．答案 3解析由题意得抽样比为30150＝15，所以抽取的高级职称的人数为15×15＝3.8．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________. 答案80解析16÷22＋3＋5＝80.9．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．答案3720解析将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则40200＝x100，解得x＝20.10．某班共有学生52人，现根据学生的学号用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6号、32号、45号的同学在样本中，那么样本中剩下的一个同学的学号是________号．答案19解析∵45－32＝13，∴抽样间隔为13，故抽取学生的学号依次为6、19、32、45，故填19.三、解答题11．一个公司有职工160人，其中业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，并写出过程．解 样本容量与职工总人数的比为20∶160＝1∶8，所以业务人员、管理人员和后勤服务人员各应抽取的人数分别为1208、168和248，即分别为15、2和3，每一层抽取时采用简单随机抽样或系统抽样，再将各层抽取的个体合在一起，就得到要抽取的样本．12．某停车场停有6辆卡车、12辆小轿车和18辆电动车，现要从这些车辆中抽取一个容量为n 的样本进行某项指标调查．若采用系统抽样的方法或分层抽样的方法抽取，则不用剔除个体；若样本容量增加1，则在采用系统抽样的方法时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解 由题意知总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的抽样比是n 36，分层抽样过程中，抽取的卡车数为n 36·6＝n 6，轿车数为n 36·12＝n 3，电动车数为n 36·18＝n 2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，且0＜n ＜36，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，剔除一个个体后的总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，所以35n ＋1必须是整数， 所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.13．为了对某课题进行研究，分别从A 、B 、C 三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A 有m 名教授，高校B 有72名教授，高校C 有n 名教授(其中0＜m ≤72≤n )．(1)若A 、B 两所高校中共抽取3名教授，B 、C 两所高校中共抽取5名教授，求m 、n ；(2)若高校B 中抽取的教授数是高校A 和C 中抽取的教授数的23，求三所高校的教授的总人数． 解 (1)∵0＜m ≤72≤n ，A 、B 两所高校中共抽取3名教授，∴B 高校中抽取2人，∴A 高校中抽取1人，C 高校中抽取3人，∴1m ＝272＝3n，解得m ＝36，n ＝108. (2)∵高校B 中抽取的教授数是高校A 和C 中抽取的教授数的23，∴23(m ＋n )＝72，解得m ＋n ＝108，∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.。
2.1.2系统抽样
得样本.
目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
7.(2010·湖州高一检测)某制罐厂每小时生产易拉罐10 000
个，每天生产时间为12小时，为了保证产品的合格率，每隔一 段时间要抽取一个易拉罐送检，工厂规定每天共抽取1 200个
典 型 例 题 精
进行检测，请你设计一个抽样方案.若工厂规定每天共抽取980
典 型 例 题 精
析
（A）不全相等 （C）都相等
知
能 巩 固 提 升
【解析】选C.系统抽样不论是否剔除个体，每个个体入样的 机会都是相等的.
目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
3.（2010·湖北高考）将参加夏令营的600名学生编号为： 001，002，„„，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三 个营区，从001到300住第一营区，从301到495住第二营区， 从496～600住第三营区，这三个营区被抽中的人数依次为 ( )
知
能 巩 固 提 升
目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
5.用系统抽样方法从160名学生中抽取容量为20的样本，将 160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～ 8,9～16,„,153～160）,若第16组抽出的号码为126，则第1 组用抽签法确定的号码为 ______.
典 型 例 题 精
析
（A）均是系统抽样
（B）①为简单随机抽样，②为系统抽样 （C）①为系统抽样，②为简单随机抽样 （D）①为系统抽样，②为非系统抽样 【解析】选D.由题设可知①是系统抽样（不放回抽样）.②为放 回抽样.
知
能 巩 固 提 升
2.1.2 系统抽样(导学案)
2．1．2系统抽样（导学案）班级_______ 姓名________编写人：高一数学备课组学习目标：1．理解和掌握系统抽样法.2．会用系统抽样方法从总体中抽取样本，并学会用系统抽样方法解决一些实际问题.3．通过对系统抽样和简单随机抽样间异同的考查，学会对比学习.知识清单：1．在抽样中，________________时，可将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，_______________________,得到所需要的样本，这样的抽样方法叫做系统抽样.2．系统抽样的特征：（1）将总体分成几部分，各部分必须是均衡的，间隔_____，所以系统抽样又称_________2)规则是抽样前制定的.（3）第一部分的抽样，采用______________。
（4）每个个体被抽到的_________________教材分析：1．解答p59练习：第2题，归纳系统抽样的步骤.（强调规范解题过程）2．课本p58问题：将系统抽样与简单随机抽样比较，你认为系统抽样法能提高样本的代表性吗？3．解答p59练习：第1题，系统抽样法有哪些优点和缺点？例题分析：例1：四人在打扑克牌时，随机确定一张为起始牌，开始按次序起牌，对任一家来说都是从总体52张牌中抽取样本容量为13的一个样本，问这样的抽样方法是什么抽样？例2：下列抽样中不是系统抽样的是（）A.从标有1～15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小到大排序，随机确定起点 i，以后为i+5,i+10（超过15则i再数起）号入样B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验C.为搞市场调查，规定在商场门口随机抽一人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号位14的观众留下来座谈例3：为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本，写出抽样过程.知能训练：1.下列抽样中最适宜用系统抽样的是（）A.某市的4个区共有2000名学生，用4个区的学生人数之比为3:2:8:2，从中抽取200人入样B.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C. 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D. 从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样2. 从2008名学生中选取50名组成一个志愿团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，余下的2000人再按系统抽样的方法进行选取，则没人入选的机会（）A.不全相等B.均不相等C.都相等D.无法确定3.一种有奖明信片，有1000000个有机会中奖的号码，邮政部按照随机抽取的方式确定后两位是24的作为中奖号码，这是运用了______________的抽样方法.4.一个总体有100个个体，随机编号00,01,01,---99,依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1，2，3，---10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一小组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6 ，则在第7组中抽取的号码是_________.高考链接：1．要从以编号（1至60）的60枚最新研制的新型导弹中随机抽取6枚进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，确定选取的6枚导弹的编号可能是（）A.5，10，15，20，25，30B.3，13，23，33，43，53C.1，2，3，4，5，6 D2，4，8，16，32，482．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样和系统抽样，若用简单随机抽样时，将学生按一、二、三年级依次编号为1，2，…270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2,…,270；并将整个编号分为10段，如果抽得号码为以下四种情况：①7，34，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270关于上述样本下列结论正确的是（）A. ②③都不为系统抽样B. ①④都不为系统抽样C. ①④都可能为系统抽样D. ①③都可能为系统抽样。
2.1.2 系统抽样
张喜林制2.1.2 系统抽样教材知识检索考点知识清单1．当总体元素个数很大时，样本容量就不宜太小，采用简单随机抽样就显得费事．这时，可将总体分成____，然后．按照预先制定的规则，从每一部分 ，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．2．如果总体容量不能被样本容量整除，____，然后再按系统抽样方法进行抽样．3．由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作____．要点核心解读1．系统抽样的概念(1)定义：当总体元素个数很大时，样本容量就不宜太小，采用简单随机抽样，就显得费事．这时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．(2)注意：在系统抽样中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样（机械抽样）．2．系统抽样的步骤(1)编号．采用随机的方式将总体中的个体编号（设N 个，编号的方式可酌情决定，例如100个个体可以编号为l ～100，也可以编号为(1，1)，(1，2)，…，(10，10)等）．为简便起见，有时可直接利用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等等．(2)分段．为将整个编号进行分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k ．当N n N (为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，n N n N k 当⋅=;不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体个数N ，能被n 整除，这时nN k =（注意剔除部分个体时，要保证剔除时的随机性和客观性）． (3)确定起始个体编号．在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号|s ．(4)按照事先确定的规则抽取样本，通常是将S 加上间隔k ，得到第2个编号,k s +再将)(k S +加上后，得到第3个编号,2k S +这样继续下去，获得容量为n 的样本．其样本编号依次是：.)1(,,2,,k n S k S k S S -+++3．系统抽样的公平性和特点(1)系统抽样的公平性．在系统抽样中，总体中的个体数如果正好能被样本容量整除，则可用它们的比值作为进行系统抽样的间隔，如果不能被整除，则可用简单随机抽样的方法从总体中剔除若干个个体（其个数为总体中的个体数除以样本容量所得的余数），然后再编号，分段，确定第一段的起始点，继之确定整个样本．上述过程中，总体的每个个体被剔除的机会均等，也就是每个个体不被剔除的机会均等，可知在整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等．(2)系统抽样的特点．①适用于总体容量较大的情况；②剔除多余个体及第一段抽样都采用简单随机抽样方法，因而与简单随机抽样有密切联系； ③是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是⋅Nn 4．系统抽样与简单随机抽样的比较从对总体的代表性看，系统抽样方法的第一段是简单随机抽取，而后为等距离抽取，不如简单随机抽样中所有个体都有相互独立的被选机会那样有更强的代表性，但从抽取个体在总体中分布的均匀程度来看，系统抽样的个体比简单随机抽样在总体中的分布更均匀，从不同角度看两种方法各有优越性．典例分类剖析考点1系统抽样的概念[例1] 某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某月发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后抽65号，115号，165号，…，将发票上的销售额组成—个调查样本这种抽取样本的方法是( )．A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．其他方式的抽样[试解]____．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张．从第一组中抽出了15号，以后各组抽15 +50rz(n 为自然数)号，符合系统抽样的特点．故选C ．[答案]C[点拨] 考查系统抽样的特点及操作方法．1．(1)下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( )．A ．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B ．-个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C ．从参加模拟考试的l 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D ．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取10人了解某些情况(2)用传送带将某工厂生产的产品送入包装车间之前，检验人员从传送带上每隔10分钟抽r 件产品进行检查，问这是一种什么抽样方法，为什么？考点2 系统抽样方案的设计[例2] 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样方法写出抽取过程．[答案] 由于总体容量恰被样本容量整除，所以分段间隔,10015015000==k 按系统抽样方法的四个步骤抽取样本：(1)对全体学生的数学成绩进行编号为1，2，3， (15000)(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1：100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体；(3)在第一部分，即l 号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如56；(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156，256，356，…，14956，这样就得到容量为150的一个样本．[点拨] 考查系统抽样的执行方法，由此得出总体能被样本容量整除时系统抽样操作的一般步骤．2．从103=N 的总体中采用系统抽样的方法抽取一个容量为10=n 的样本，写出抽样过程，考点3 系统抽样与简单随机抽样的区别与综合应用[例3] (1)从某厂生产的20辆轿车中随机抽取8辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．(2)某工厂平均每天生产某种零件大约10000件，要求产品检验员每天抽取50个零件，检查其质量状况，假设一天的生产时间中，生产机器零件的件数是均匀的，请你设计一个抽样方案．[解析] (1)本题总体容量较小，样本容量也较小，可用抽签法进行抽样．(2)因为总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法抽样．[答案](1) Sl 将20辆轿车用随机方式编号，编号为01，02， (20)S2 将这20个号码分别写在大小，形状都相同的小纸条上，揉成小球，制成号签；S3 将得到的号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀；S4 从袋子中逐个抽取8个号签，并记录上面的编号，则与编号相对应的8辆轿车就是要抽取的样本．(2)Sl 按生产时间将一天分为50个时间段，也就是说，每个时间段大约生产2005010000=（件）产品，这时，抽样距就是200；S2 将一天中生产的机器零件按生产时间进行顺序编号．比如，第一个生产出的零件就是0号，第二个生产出的零件就是1号等等；S3 从第一个时间段中按照简单随机抽样的方法，抽取一个产品，比如k 号零件；S4 按顺序抽取编号为下面数字的零件：,400,200++k k ,9800,,600++k k 这样总共就抽取了50个零件组成样本．[点拨] (1)本题用抽签法或随机数表法都很方便．(2)如果本题的总数是10001，则需要在分段之前先随机剔除1个个体．3．某大学有教师1001人，中层以上领导干部20人，现抽取教师40人，中层以上领导4人组成代表队参加活动，怎样抽样？优化分层测训学业水平测试1．系统抽样概括起来，可以分( )．A ．1步 B.2步 C.3步 D.4步2．下列抽样中不是系统抽样的是( )．A ．从标有l ～15的15个球中，任选3个作样本，按从小到大 的顺序排序’，随机选起点io ，以后抽取10,500++i i （超过15则从1再数起）号入样B ．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C ．做某一市场调查时，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的人数为止D ．电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为18的观众留下来座谈3．系统抽样适用于 的总体．4．在100000个有机会中奖的号码（编号为lN100000）中，邮政部门按照随机抽取的方式规定后两位数是23的号码为中奖号码，这是运用了 的抽样方法．5．-个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手，现从中抽取13人参加某项运动．若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽取十名幸运小观众．现采用系统抽样的方法抽取，其组容量为( )．10.A 100.B 1000.C 10000.D2．系统抽样又称为等距抽样，从N 个总体中抽取n 个个体为样本，先确定抽样间隔，即抽样间距[](].[nN k =代表整数部分）．从第一段k ,,2,1 个号码中随机抽取一个号码,0i 则k n i k i i )1(,,,000-++ 号码均入样构成样本，所以每个个 体的入样可能性是( )．A ．相等的B ．不相等的C ．与0i 相关D ．与编号无关3．从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为( )．99.A 5.99.B 100.C 5.100.D4．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )．A ．某市的4个区共有2000名学生，且这4个区的学生人数之比为3:2:8:2，从中抽取200人人样B ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个人样C ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个人样D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个人样5．有50件产品，编号为0，1，2，…，49，现从中抽取5件进行检验，用系统抽样法所抽样本的编号可以是( )．25,20,15,10,5.A 37,29,21,13,5.B 20,1,23,22,8.C 40,30,20,10,0.D6．（2010年广东模拟题）总体容量为524，若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为( )时，不需要剔除个体．3.A4.B5.C6.D7．总体数为M 个，其中带有标记的为N 个，要从中抽取K 个人样，用随机抽样的方法进行抽取，则抽取的样本中带有标记的个数应为( )．M NK A . N KM B . KMN C . N D . 8．（2010年湖北高考题）将参加夏令营的600名学生编号为001，002，…，600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的第一个号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )．8,16,26.A 8,17,25.B 9,16,25.C 9,17,24.D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置）9．要从含有5000个个体的总体中抽取50个样本，按系统抽样法，应将总体分成 个部分．10.用传送带将某工厂生产的产品送入包装车间之前，质检员每隔5分钟从传送带的某一位置取一件产品进行检测，则这种抽样方法为____．11．编号为1～15的小球共15个，为求总体号码的平均值，试验者从中抽3个小球，以它们的平均数估计总体的平均数，以编号2为起点，用系统抽样法抽3个小球，则这3个球的编号平均数是____．12．-个总体中共有100个个体，随机编号为O ，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与k m +的个位数字相同，若,6=m 则在第7组中抽取的号码是三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明’、证明过程和演算步骤）13.某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样的方法进行具体实施．14.在1000个有机会中奖的号码（编号为000一999）中，在会证部门的监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？请你依次写出这10个中奖号码．15.某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其质量状况，请你设计一个调查方案．16. -个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，…，9．要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x ，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取的号码的后两位数为k x 33+的后两位数．(1)当24=x 时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x 的取值范围，。
2.1.2系统抽样和分层抽样
容易搅匀，可采用抽签法（也可采用随机数表法）；
探究：某学校为了了解高一年级学生对教师教学 的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进 行调查。 方法：
①将这500名学生从1开始编号； 500 ②按号码顺序以一定的间隔进行抽取，由于 50 10 这个间隔定为10，即将编号按顺序每10个为一段， 分成10段； ③在第一段号码1～10中用简单随机抽样法抽出一个 作为起始号码，如6； ④然后从“6”开始，每隔10个号码抽取一个，得到 6，16，26，36，…，496，这样我们就得到一个 容量为50的样本。
第四步：将编号为004，009，014, 019, 024，029, 034， 039 ,044，049, 054，059, 064，069, 074，079, 084，089, 094, 099的个体抽出，组成样本。
例：从某厂生产的802辆轿车中随机抽取80辆测试 某项功能，请合理选择抽样方法，：按某种特征将总体分成若干部 分（层）； （2）按抽样比确定每层抽取个体的个数； （3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取 样品； （4）综合每层抽样，组成样品。
分层抽样又称类型抽样，应用分层抽 样应遵循以下要求：
①分层时将相似的个体归入一类，即为一层， 分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循 不重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与 总体结构一致性。 ②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵 循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数 量与每层个体数量的比与这层个体数量与总 体容量的比相等。 ③当总体个体差异明显时，采用分层抽样。
探究
• 假设某地区有高中生2400人,初中生 10900人,小学生11000人.此地区教育 部门为了了解本地区中小学生的近视 情况及其形成原因,要从本地区的中 小学生中抽取1℅的学生进行调查.你 认为应当怎样抽取样本?
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第一步，将这600件产品编号为1 第一步，将这600件产品编号为1，2， 600件产品编号为 3，…，600. 第二步，将总体平均分成60部分， 第二步，将总体平均分成60部分，每 60部分 一部分含10个个体. 10个个体 一部分含10个个体. 第三步，在第1部分中用简单随机抽样 第三步，在第1 抽取一个号码（ 抽取一个号码（如8号）. 第四步，从该号码起，每隔10个号码取 第四步，从该号码起，每隔10个号码取 10 一个号码，就得到一个容量为60的样本. 60的样本 一个号码，就得到一个容量为60的样本. 18，28， 598） （如8，18，28，…，598）
理论迁移
某中学有高一学生322 322名 例1 某中学有高一学生322名，为 了了解学生的身体状况， 了了解学生的身体状况，要抽取一个容 量为40的样本，用系统抽样法如何抽样？ 40的样本 量为40的样本，用系统抽样法如何抽样？
第一步，随机剔除2名学生，把余下的 第一步，随机剔除2名学生， 320名学生编号为1，2，3，…320. 320名学生编号为1 名学生编号为 第二步，把总体分成40个部分， 40个部分 第二步，把总体分成40个部分，每个 部分有8个个体. 部分有8个个体. 第三步，在第1 第三步，在第1部分用抽签法确定起始 编号. 编号. 第四步，从该号码起，每间隔8 第四步，从该号码起，每间隔8个号码 抽取1个号码，就可得到一个容量为40 抽取1个号码，就可得到一个容量为40 的样本. 的样本.
思考8 系统抽样适合在哪种情况下使用？ 思考8：系统抽样适合在哪种情况下使用？ 与简单随机抽样比较， 与简单随机抽样比较，哪种抽样方法更 使样本具有代表性？ 使样本具有代表性？ 总体中个体数比较多； 总体中个体数比较多；系统抽样更使 样本具有代表性. 样本具有代表性. 思考9 我校共有360名老师， 思考9：我校共有360名老师，为了支持 360名老师 海南的教育事业，现要从中随机抽取40 海南的教育事业，现要从中随机抽取40 名老师到湖南师大海口中学任教， 名老师到湖南师大海口中学任教，用系 统抽样选取奔赴海南的教师团合适吗？ 统抽样选取奔赴海南的教师团合适吗？
2.1.2 系统抽样
问题提出
1 5730 p= 2
t
简单随机抽样有哪两种常用方法？ 1.简单随机抽样有哪两种常用方法？ 其操作步骤分别如何？ 其操作步骤分别如何？ 抽签法： 抽签法： 第一步，将总体中的所有个体编号，并 第一步，将总体中的所有个体编号， 把号码写在形状、大小相同的号签上. 把号码写在形状、大小相同的号签上 第二步，将号签放在一个容器中， 第二步，将号签放在一个容器中，并搅 拌均匀. 拌均匀 第三步，每次从中抽取一个号签， 第三步，每次从中抽取一个号签，连续 抽取n 就得到一个容量为n的样本. 抽取n次，就得到一个容量为n的样本.
用简单随机抽样和系统抽样， 例3 用简单随机抽样和系统抽样， 设计一个调查长沙市城区一年内空气质 量状况的方案， 量状况的方案，并比较哪一种方案更便 于实施. 于实施.
小结作业
1.系统抽样也是等概率抽样， 1.系统抽样也是等概率抽样，即每个 系统抽样也是等概率抽样 个体被抽到的概率是相等的， 个体被抽到的概率是相等的，从而保 证了抽样的公平性. 证了抽样的公平性. 2.系统抽样适合于总体的个体数较多的 2.行， 情形，操作上分四个步骤进行，除了剔 除余数个体和确定起始号需要随机抽样 外，其余样本号码由事先定下的规则自 动生成，从而使得系统抽样操作简单、 动生成，从而使得系统抽样操作简单、 方便. 方便.
思考3 思考3：联想到师大附中每学期选派学 生评教评学时的做法， 生评教评学时的做法，你还有什么方法 对上述问题进行抽样？ 对上述问题进行抽样？你的抽样方法有 何优点？体现了代表性和公平性吗？ 何优点？体现了代表性和公平性吗？ 思考4：如果从600件产品中抽取60件进 思考4 如果从600件产品中抽取60件进 600件产品中抽取60 行质量检查， 行质量检查，按照上述思路抽样应如何 操作？ 操作？
思考3 用系统抽样从含有N 思考3：用系统抽样从含有N个个体的总 体中抽取一个容量为n的样本， 体中抽取一个容量为n的样本，要平均 分成多少段，每段各有多少个号码？ 分成多少段，每段各有多少个号码？ 思考4 如果N不能被n整除怎么办？ 思考4：如果N不能被n整除怎么办？ 从总体中随机剔除N除以n 从总体中随机剔除N除以n的余数个个体 后再分段. 后再分段.
例2一个总体中有100个个体，随机编 一个总体中有100个个体， 100个个体 号为0 99， 号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均 分成10 10组 组号依次为1 10， 分成10组，组号依次为1，2，3，…，10， 现用系统抽样抽取一个容量为10的样本， 10的样本 现用系统抽样抽取一个容量为10的样本， 并规定： 并规定：如果在第一组随机抽取的号码 那么在第k k=2， 10） 为m，那么在第k（k=2，3，…，10）组 中抽取的号码的个位数字与m+k m+k的个位数 中抽取的号码的个位数字与m+k的个位数 字相同. m=6，求该样本的全部号码. 字相同.若m=6，求该样本的全部号码. 18，29，30，41， 6，18，29，30，41， 52，63，74，85， 52，63，74，85，96.
思考7 一般地，用系统抽样从含有N 思考7：一般地，用系统抽样从含有N个 个体的总体中抽取一个容量为n的样本， 个体的总体中抽取一个容量为n的样本， 其操作步骤如何？ 其操作步骤如何？ 第一步，将总体的N个个体编号. 第一步，将总体的N个个体编号. 第二步，确定分段间隔k，对编号进 第二步，确定分段间隔k 行分段. 行分段. 第三步，在第1 第三步，在第1段用简单随机抽样确定 起始个体编号l. 起始个体编号 . 第四步，按照一定的规则抽取样本 第四步，按照一定的规则抽取样本.
思考5 上述抽样方法称为系统抽样， 思考5：上述抽样方法称为系统抽样， 系统抽样 一般地，怎样理解系统抽样的含义？ 一般地，怎样理解系统抽样的含义？ 将总体分成均衡的n个部分， 将总体分成均衡的n个部分，再按照预先 定出的规则，从每一部分中抽取1个个体， 定出的规则，从每一部分中抽取1个个体， 即得到容量为n的样本. 即得到容量为n的样本.
随机数表法： 随机数表法： 第一步，将总体中的所有个体编号. 第一步，将总体中的所有个体编号. 第二步， 第二步，在随机数表中任选一个数作为 起始数. 起始数. 第三步，从选定的数开始依次向右（向 第三步，从选定的数开始依次向右（ 左、向上、向下）读，将编号范围内的 向上、向下） 数取出，编号范围外的数去掉，直到取 数取出，编号范围外的数去掉， 满n个号码为止，就得到一个容量为n的 个号码为止，就得到一个容量为n 样本. 样本.
思考10：在数字化时代， 思考10：在数字化时代，各种各样的统 10 计数字和图表充斥着媒体， 计数字和图表充斥着媒体，由于数字给 人的印象直观、具体， 人的印象直观、具体，所以让数据说话 是许多广告的常用手法. 是许多广告的常用手法.下列广告中的 数据可靠吗？ 数据可靠吗？
“……瘦体减肥灵真的灵， “……瘦体减肥灵真的灵，其减肥的有 瘦体减肥灵真的灵 效率为75%.” 效率为75%.” “现代研究证明，99%以上的人皮肤感 现代研究证明，99%以上的人皮肤感 染有螨虫…….” 染有螨虫…….” “……美丽润肤膏，含有多种中药成分， “……美丽润肤膏，含有多种中药成分， 美丽润肤膏 可以彻底清除脸部皱纹，只需10 10天 可以彻底清除脸部皱纹，只需10天，就 能让你的肌肤得到改善.” 能让你的肌肤得到改善.”
2.当总体中的个体数很多时， 2.当总体中的个体数很多时，用简 当总体中的个体数很多时 单随机抽样抽取样本，操作上并不方便、 单随机抽样抽取样本，操作上并不方便、 快捷. 因此，在保证抽样的公平性， 快捷. 因此，在保证抽样的公平性，不 降低样本的代表性的前提下， 降低样本的代表性的前提下，我们还需 要进一步学习其它的抽样方法， 要进一步学习其它的抽样方法，以弥补 简单随机抽样的不足. 简单随机抽样的不足.
知识探究（ ）：简单随机抽样的基本思想 知识探究（一）：简单随机抽样的基本思想
思考1：某中学高一年级有12个班，每 思考1 某中学高一年级有12个班， 12个班 班50人，为了了解高一年级学生对老师 50人 教学的意见，教务处打算从年级600名 教学的意见，教务处打算从年级600名 600 学生中抽取60名进行问卷调查，那么年 学生中抽取60名进行问卷调查， 60名进行问卷调查 级每个同学被抽到的概率是多少？ 级每个同学被抽到的概率是多少？ 思考2 思考2：你能用简单随机抽样对上述问题 进行抽样吗？具体如何操作？ 进行抽样吗？具体如何操作？
思考5 将含有N 思考5：将含有N个个体的总体平均分成 每段的号码个数称为分段间隔， n段，每段的号码个数称为分段间隔， 那么分段间隔k的值如何确定？ 那么分段间隔k的值如何确定？
总体中的个体数N除以样本容量n所得 总体中的个体数N除以样本容量n 的商. 的商.
思考6 用系统抽样抽取样本时， 思考6：用系统抽样抽取样本时，每段 各取一个号码，其中第1 各取一个号码，其中第1段的个体编号 怎样抽取？ 怎样抽取？以后各段的个体编号怎样 抽取？ 抽取？ 用简单随机抽样抽取第1 用简单随机抽样抽取第1段的个体编 在抽取第1段的号码之前， 号.在抽取第1段的号码之前，自定义规 则确定以后各段的个体编号， 则确定以后各段的个体编号，通常是将 段抽取的号码依次累加间隔k. 第1段抽取的号码依次累加间隔k.
知识探究（ ）：系统抽样的操作步骤 知识探究（二）：系统抽样的操作步骤 思考1 思考1：用系统抽样从总体中抽取样本 首先要做的工作是什么？ 时，首先要做的工作是什么？ 将总体中的所有个体编号. 将总体中的所有个体编号. 思考2：如果用系统抽样从605件产品中 思考2 如果用系统抽样从605件产品中 605 抽取60件进行质量检查，由于605 60件进行质量检查 605件产品 抽取60件进行质量检查，由于605件产品 不能均衡分成60部分，对此应如何处理？ 60部分 不能均衡分成60部分，对此应如何处理？ 先从总体中随机剔除5个个体， 先从总体中随机剔除5个个体，再均衡 分成60部分. 60部分 分成60部分.