No安培定律磁力磁介质

《大学物理AI 》作业 No.10 安培定律 磁力 磁介质
一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）
1．如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从
a 端流入而从
d 端流出，则磁感应强度B
沿图中闭合路径L
的积分⎰⋅L
l B
d 等于
[ D ]
(A)I 0μ
(B)I 031
μ
(C) I 04
1
μ
(D)I 03
2
μ
解：电流I 从b 点分流，I ＝I 1+I 2。

设铁环总电阻为R ，由电阻公式有
R R R R s l R 3
1,32,21===ρ
又因c b U U =，即
213132RI RI =，得I I 3
2
2= 所以： I l B L
032
d μ=⋅⎰
故选D
2．无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各
处B
的大小与场点到圆柱中心轴线距离r 的关系定性地如图所示。

正确的图是：[ B ]
解：由安培环路定理有：
a r <时， 0
=B b
r a <<时，)()
(d 22
2
20
a r a
b I
l B L
--=⋅⎰ππμ
r a r a b I
B 2
22
20)
(2-⋅-=πμ
)1()(2d d 22
220r
a a
b I r B +⋅-=πμ由此知：随着r 的增加，B ~r 曲线的斜率将减小
b r >时， r
r I B 120∝=πμ
故选B
3．如图，一无限长直载流导线与正三角形载流线圈在同一平面内，若长直导线固定不动，则载流三角形线圈将：[ A ] (A) 向着长直导线平移 (B) 离开长直导线平移 (C) 转动
(D) 不动
解：建立如图所示的坐标轴，无限长的直电流在x >0处产生的 磁感应强度为：
x
I B πμ20１
=
方向⊗
由安培定律公式，可得三角形线圈的三个边受力大小分别为：
l a I
I AB a I I F AB πμπμ22210210==
)231ln(330cos d 2d 21030cos 2102a l
I I x x I I l BI F F l a a
C
A
BC AC +=︒⋅===⎰
⎰︒
+π
μπμ 式中l 为三角形边长，各力方向如图所示，可见三角形不可能移动，合力为：
)]
231ln(332[260cos 20
60sin 60sin 210a l a l I I F F F F F F
AC AB x BC AC y
⋅+--=︒+-==︒-︒=∑∑πμ
令
)0(>=λλa
l
，有 0)2
3
111(2]23123
3321[2d )(d 210210<+--=+⨯--=∑λ
πμλπμλI I I I F x 又
0|0
==∑λx F
，所以载流线圈所受合力始终向着长直电流，故载流线圈只能向着长直电流
平动。

故选A
4．真空中电流元11d l I
与电流元22d l I 之间的相互作用是这样进行的：[ D ] (A) 11d l I
与22d l I 直接进行作用，且服从牛顿第三定律。

(B) 由11d l I
产生的磁场与22d l I 产生的磁场之间相互作用，且服从牛顿第三定律。

I
(C) 由11d l I
产生的磁场与22d l I 产生的磁场之间相互作用，但不服从牛顿第三定律。

(D) 由11d l I 产生的磁场与22d l I 进行作用，或由22d l I 产生的磁场与11d l I
进行作用，且不服
从牛顿第三定律。

解：两个电流之间的相互作用是通过磁场进行的，不服从牛顿第三定律。

由安培定律，一个电流元所受的力决定于另一个电流元在该电流元处产生的磁场及电流元本
身，即21112d d B l I F ⨯= 或12221d d B l I F
⨯=。

故选D
5．如图所示，一固定的载流大平板，在其附近，有一载流小线框能自由转动或平动。

线框平面与大平板垂直，大平板的电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框的运动情况从大平板向外看是：[ C ] (A)靠近大平板AB (B)顺时针转动 (C)逆时针转动
(D)离开大平板向外运动。

解：因载流大平板产生的磁场平行于平板，方向如图所示。

则线圈在磁场 中所受的磁力矩为：
故知：磁力矩方向垂直并指向载流大平板，所以从平板向外看，线圈逆时针转动。

故选C
6．关于稳恒磁场的磁场强度H
的下列几种说法哪个是正确的？[ C ]
(A) H
仅与传导电流有关。

(B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H
必为零。

(C) 若闭合曲线上各点的H
均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。

(D) 以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的H
通量均相等。

解：磁场强度H
不仅与传导电流有关，还与磁化电流有关，根据安培环路定理，
∑⎰
=⋅内
0d I l H L
若L 上各点0=H ，则∑⎰==⋅.0,
0d 0
I
l H L
根据磁场的性质，以闭合曲线L 边缘的任意取面的B 的通量相等，H
通量不一定相等。

二、填空题：
1．两根长直导线通有电流I ，在图示三种环路中，l B
d ⋅⎰分别等于：
B
P M m
⨯=
A
I 0μ （对于环路a ）。

０ （对于环路b ）。

I 02μ （对于环路c ）。

解：根据安培环路定理，∑⎰=⋅内
I l B L
0d μ
对于a ：
I l B L
0d μ=⋅⎰
对于b ： 0)(d 0=-=⋅⎰I I l B L
μ
对于c ： I I I l B L
002)(d μμ=+=⋅⎰
2．如图所示的空间区域内，分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，在纸面内有一正方形边框abcd （磁场以边框为界），而a 、b 、c 三个角顶处开有很小的缺口，今有一束具有不同速度的电子由a 缺口沿ad 方向射入磁场区域，若b 、c 两缺口处分别有电子射出，自此两处电子的速率之比=c b v v 21。

解： 因电子在匀强磁场中作圆周运动的半径为
v eB mv
R ∝=
而从b 处射出的电子半径为：ab R b 2
1
=，从c 处射出的电子半径ab R c =，
所以 ，自此两处电子的速率之比
2
1==c b c b R R v v 3．如图，一个均匀磁场B
只存在于垂直图面的P 平面右侧，B
的方向垂直于图面向里。

一质量为ｍ，电荷为q 的粒子以
速度v 射入磁场，v 在图面内与界面P 成某一角度。

那么粒子在从磁场中射出前是做半径为 |
|
qB m v
的圆周运动。

如果q ＞０时，粒子在磁场中的路径与边界围成的平面区域的面积为Ｓ，那么q ＜０时，其路
径与边界围成的平面区域的面积为 S qB m v -2
)(
π 。

解：由带电粒子在磁场中的运动规律知：粒子在磁场中运动的半径为||
qB
mv
R =，从入射点A ，q >0和q <0的粒子运动的轨迹不同，二轨迹在A 点相切，v
为公共切线。

由对称性可知：
S qB
mv S -='2
)(
π
4．如图所示，在真空中有一半径为a 的3／4圆弧形的导线，其中
通以稳恒电流I ，导线置于均匀外磁场B 中，且B
与导线所在平面
垂直，则该载流导线⋂
bc 所受的磁力大小为 aBI 2 。

解：在均匀磁场中，载流圆弧⋂
bc 所受的磁力与通以同样电流的弦线bc 所受的磁力大小相等，其大小由安培定律可得：aBI a BI F 22=
=
5．图示为三种不同的磁介质的B ～H 关系曲线，其中虚线表示的是H B 0μ=的关系。

试说明a 、b 、c 各代表哪一类磁介质的B ～H 关系曲线：
a 代表 铁磁质 的B ～H 关系曲线。

b 代表 顺磁质 的B ～H 关系曲线。

c 代表 抗磁质 的B ～H 关系曲线。

解：因H B r μμμμ==
,0，对于铁磁质，r μ不是常数，其B ～H 关系为曲线a 。

顺磁质1>r μ，其B ～H 关系为斜率大于1的直线b 。

抗磁质1<r μ，其B ～H 关系为斜率小于1的直线c 。

6．长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流I 通过，其间充满磁导率为μ的均匀磁介质。

则介质中离中心轴距离为r 的某点处的磁场强度大小
=H r I
π2 ，磁感应强度的大小=B r I
πμ2 。

解：以轴线为圆心，r 为半径作一圆形回路，
b
B
P
由有磁介质时安培环路定律
∑⎰
=⋅内
0d I l H L
可得：
I r H l H L
=⋅=⋅⎰
π2d
于是r 处磁场强度大小为：
r
I H π2=
又
H B μ=，故r 处磁感应强度大小为：r
I
H B πμμ2=
=。

三、计算题：
1．如图所示，一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转，试求圆筒内部的磁感应强度。

解：带电圆筒旋转相当于圆筒表面有面电流，单位长度上电流为；
δωπ
ω
δπR R i =⋅
=22
与长直通电螺线管内磁场分布类似。

圆筒内为均匀磁场，B 的方向与ω
一致（若δ
<0，则相
反）。

圆筒外0=B。

作如图所示的安培环路L ，由安培环路定理：
i ab ab B l B L
⋅=⋅=⋅⎰0d μ
得圆筒内磁感应强度大小为：
ωδμμR i B 00== 写成矢量式：ωδμ
R B 0=
2．如图，一半径为R 的带电塑料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为σ+，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为σ-，当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足什么关系？
解：带电圆盘转动时，可看作无数圆电流的磁场在O 点的叠加。

取半径为ξ，宽为ξd 的圆环，其上电流
ξσωξπ
ω
ξπξσd 2d 2d =⋅
=i
它在中心O 产生的磁感应强度为：ξσωμξμd 2
1
2d d 00==
i B 正电荷部分产生的磁场为：r B r
⎰==+00021d 21σωμξσωμ 负电荷部分产生的磁场为：)(2
1
d 2100r R B R r -==⎰-σωμξσωμ 而题设-+=B B ，故得
R=2 r
3．一线圈由半径为m 2.0的41圆弧和相互垂直的二直线组成，通以
电流A 2，把它放在磁感应强度为T 5.0的均匀磁场中（磁感应强度
B
的方向如图所示）。

求：
（１）线圈平面与磁场垂直时，圆弧⋂
AB 所受的磁力。

（２）线圈平面与磁场成︒60角时，线圈所受的磁力矩。

解：（１）在均匀磁场中，弦线AB 所受的磁力与弧线⋂
AB 通一同样的电流所受的磁力相等。

由安培定律得： )N (283.05.022.022=⨯⨯⨯==
=⋂RIB F F AB AB
方向与⋂
AB 弧线垂直，与OB 夹角为︒45，如图所示。

（２）线圈的磁矩：
n n n IS P m
221022.04
12-⨯=⨯⨯==ππ
n
与B 夹角为︒=︒-︒30)6090(，所受磁力大小为
)
m N (1057.12
15.010
230sin 22
⋅⨯=⨯⨯⨯=︒
=-- πB P M m
M 的方向将驱使线圈法线n
转向与B 平行
B
A。