Lecture 24 - Application of Power Series

x
令 x 1,
1 得 e 11 2!
1 , n!
余和:
1 1 rn ( n 1)! ( n 2)!


1 1 (1 ( n 1)! n2
)
)
1 1 1 (1 2 ( n 1)! n 1 ( n 1)
1 n n!
欲使 rn 105 ,
u , v
n1 n n1


n
绝对收敛
( u
n1

n
i vn ) 收敛 .
定义: 复变量 z x i y 的指数函数为
1 2 e 1 z z 2!
z
1 n z n!
( z )
易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 x = 0 时,
1 1 2 e 1 i y (i y) (i y) 3 2! 3!
复习
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式
e 1 x
x
1 2 x 2!
1 n x n!
,
x ( , )
( 1) n n1 x n1
r e i
y
z xi y
r

O
y

x x
由 e i cos i sin 可得
(cos i sin ) n cos n i sin n
(德莫弗公式)
利用幂级数的乘法, 不难验证
e z1 z2 e z1 e z2
特别有
e xi y e x ei y e x (cos y i sin y)
( 1)n x n ,
x ( 1, 1)
第五节 函数幂级数展开式的应用
一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 三、欧拉公式
一、近似计算
A a1 a2 A a1 a2 an an , ,
误差：rn an1 an2 .
两类问题: 1. 给定项数, 求近似值并估计精度;
只要
1 105 , n n!
即 n n! 105 ,
1 1 e 11 2! 3!
而 8 8! 322560 105 ,
1 8!
2.71828
x3 例2. 利用 sin x x , 求 sin 9 的近似值 , 并估计 3!
误差.
π π (弧度) 9 解: 先把角度化为弧度 9 20 180 π π 1 π 3 1 π 5 1 π 7 sin ( ) ( ) ( ) 20 20 3! 20 5! 20 7! 20

n 0
比较系数得:
a0 0,
6 a4 2 a3 1
( n 1)( n 2)an ( n 2)an1 0 ( n 2, n 4)
显然 a1 , a2 可任意取值, 因是求特解, 故取 a1 a2 0,
从而得 a3 0,
1 a4 6
( n 1)( n 2)an ( n 2)an1 0 ( n 2, n 4)
2 4 例6. 求方程 x y ( x 2)( x y y ) x 的一个特解.
n y a x 解: 设特解为 n , 代入原方程整理得

2a0 a0 x ( n 1)( n 2)an ( n 2)an1 x n x 4
n 2
x6 x 2 x4 cos x 1 6! 2! 4!
(1 x )
m
x ( , )
1 mx
m( m 1) 2 x 2! m( m 1) ( m n 1) n x n!
x ( 1, 1)
当 m 1 时
1 1 x x2 x3 1 x
1
若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间
上连续, 且有幂级数展开式 :
sin x x 2 x4 x6 1 x 3! 5! 7!
2n x ( 1)n (2n 1)!
sin x 1 1 0 x d x 1 3 3! 5 5!
x n0

1 n x , n!
x
此题的上述特解即为
1 2 y x(e 1 x x ) 2
三、欧拉(Euler)公式
对复数项级数 若
(u
n1

n
i vn ) v,
③
u
n1

n
u,
v
n1
n
则称 ③ 收敛 , 且其和为 u i v .
若

n1

| un i vn |
计算定积分
例：函数 e
x2
sin x 1 , , , x ln x
原函数不能用初等函数表示，难以计算其定积分
解法
被积函数
定积分的近似值
展开成幂级数
逐项积分
1 1 2 x2 4 e d x 例3. 计算积分 I 的近似值 , 精确到 10 . 1 π 2
解:
e
x
2
( x 2 ) ( x 2 )2 ( x 2 )3 1 1! 2! 3!
y f ( x , y )
1. 一阶微分方程的情形
y
x x0
y0
其中 f ( x, y) 是 x x0 及 y y0 的多项式
解题思路：设所求解为
y y0 a1 ( x x0 )
an ( x x0 )n
①
代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 a1 , a2 , , an ,
x ( a1 x a2 x 2 a3 x 3
2 2 2 x a1 x 2a1a2 x 3 (a2 2a1a3 ) x 4
比较同次幂系数, 得
1 a1 0, a3 0, a4 0, a5 , 20 1 2 1 5 故所求解的幂级数前几项为 y x x 2 20
iy
1 (i y) n n!
1 2 1 4 1 y y 2! 4!
( 1) n 2 n y (2n)!

1 3 1 5 i y y y 3! 5!
cos y i sin y
( 1) n1 2 n1 y (2n 1)!
2n x ( 1) n n! n 0

x
2n n x 2 1 2 n 2 ( 1) ( 1) I dx n! π 0 n 0 π n 0 n !

1 2
0
x 2n d x
2 ( 1) n 1 π n0 n! (2n 1) 22 n1
a3 0,
当n > 4 时,
1 an an1 n1

1 a4 6
1 ( n 1)!
1 ( n 1)( n 2)

4
a4
因此
1 1 n n y an x x x x n 0 n 4 ( n 1)! n 3 n!
n
注意到: e
e i x cos x i sin x e i x cos x i sin x
ei x e i x cos x 2 ei x e i x sin x 2
（欧拉公式）
揭示了三角函数和 复变量指数函数之 间的一种关系.
则
利用欧拉公式可得复数的指数形式
z x i y r cos i sin
1 ( 1) n 1 π n0 n! (2n 1) 22 n
Hale Waihona Puke n 2 1 ( 1) 1 1 1 2 x I e d x 1 π n0 n! (2n+1) 22 n π 2
1 1 4 欲使截断误差 | rn | 10 2n π n!(2n 1) 2
1 2 1 3 1 4 ln(1 x ) x x x x 4 3 2
x ( 1, 1]
3 5 7 x x x sin x x 3! 5! 7!
x 2 n1 ( 1) (2n 1)! x ( , )
n 2n x ( 1) n (2n)!
|e x i y | | e x (cos y i sin y) | e x
( x, y R)
z x i y r cos i sin

r e i
内容小结
1. 近似计算，求不可积类函数的定积分， 欧拉公式的证明；(求数项级数的和) 2．微分方程的幂级数的解法．
由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.
2 y x y 求方程 满足 y 例5.
x 0
0 的特解.
解: 根据初始条件, 设所求特解为
y a1 x a2 x 2 an x n
代入原方程, 得
a1 2a2 x 3a3 x 2 4a4 x 3 5a5 x 4 )2
2. 给出精度,确定项数.
关健: 通过估计余项 , 确定精度或项数.
常用方法: 1. 若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2. 若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 计算 e 的近似值，使其误差不超过 105.
解
1 2 1 n e 1 x x x , 2! n!