高等数学复习题2014-2015
2015(高等数学二)成人高等学校招生全国统一考试5年真题
2014年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．。
选择题一、选择题：1—10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．．。
1.0lim →x 22sin xx= A.0 B.1 C.2 D.∞ 2.设函数)(x f 在x=1处可导，且)1('f =2，则0lim→x xf x f )1()1(--=A.-2B. -21C.21D.23. d(sin2x)=A.2cos2xdxB.cos2xdxC.-2cos2xdxD.-cos2xdx4.设函数)(x f 在区间[a ，b]连续且不恒为零，则下列各式中不恒为常数．．．．．的是 A.)()(a f b f - B.⎰badx x f )( C. 0lim →x )(x f D. ⎰xadt t f )(5.设)(x f 为连续函数，且⎰xdt t f 0)(=)1ln(3++x x ，则)(x f =A.1132++x x B. 113++x x C.3x 2D. 11+x6.设函数)(x f 在区间[a ，b]连续，且I （u ）=,)()(dx t f dx x f uaua⎰⎰-a<u<b ，则I （u ）A.恒大于零B.恒小于零C.恒等于零 D 可正，可负. 7.设二元函数z=x y，则yz∂∂= A. x yB. x ylny C. x ylnx D.yx y-18.设函数)(x f 在区间[a ，b]连续，则曲线y=)(x f 与直线x=a ，x=b 及x 轴所围成的平面图形的面积为 A.⎰badx x f )( B. -⎰b adx x f )( C. ⎰b adx x f )( D.⎰badx x f )(9.设二元函数z=xcosy ，则yx z∂∂∂2=A.xsinyB.-xsinyC.sinyD.-siny 10.设事件A ，B 相互独立，A,B 发生的概率分别为0.6；0.9，则A ，B 都不发生的概率为 A.0.54 B.0.04 C.0.1 D.0.4非选择题二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分。
历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案
2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。
14-15年第2学期高等数学试题(含答案)
z dV ，其中 是由旋转抛物面 x
y 2 2 z 与平面 z 2 所围成的区域；
6、设 为上半球面 z 4 x2 y2 ( z 0) ，则求曲面积分 7、证明曲线积分
( x
2
y 2 z 2 )ds 。
( 2,1) (1, 0)
(2xy y 4 3)dx ( x 2 4xy3 )dy 与路径无关，并计算积分值.
z 2 所截部分的外侧。
四、证明题（每题 5 分，共 2 题，共 10 分） 1、 已知 f n ( x) 满足 f n ( x) f n ( x) x
n 1 x
e （ n 为正整数） ， f n (1)
e ，求函数项级数 n
2
f
n 1
n
( x) 的和。
2 、 设 曲 线 L 是 正 向 圆 周 ( x a) 2 ( y a) 2 1 ， ( x ) 是 连 续 的 正 函 数 ， 证 明 ：
8、求下列曲面积分： （1）I
( x 1)dydz ydzdx dxdy ，其中 : 平面 x y z 1 在第一卦限部分，
法向量指向原点； （ 2） I
( x y)dydz ( x y)dzdx z
2
dxdy ， : 锥面 z x 2 y 2 被 z 1 ，
z x
( e ,1)
（Ｃ）
(
)
（B） 1
1 e
（Ｄ） e
3、设 D 是 xoy 平面上以 (0,0) ， (1,1) ， (1,1) 为顶点的三角形区域，D 1 为 D 在第一象限 的部分，则 （A） 4 （C）2
广东海洋大学10--15第二学期高数
广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学》课程试题课程号：x2□√考试□√A 卷□√闭卷□考查□B 卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数24 14 28 286100实得分数一 . 填空（3×8=24分）1.设1,2,1a ，0,1,x b ，b a，则x2.设1,0,2a，0,1,0b，则ba3.曲面222y xz在点)2,1,1(处的切平面方程为4.将xoz 平面上的曲线1422zx绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为5.函数)3ln(22y xz的驻点为6.设L 为连接)0,1(到点)1,0(的直线段，则dsx y L)(7.幂级数13n nn x的收敛半径为8.微分方程xey3的通解为y二 .计算题（7×2=14分）1.设)ln(22y xy z，求dz .2.设函数),(y x f z 是由方程333a xyz z所确定的具有连续偏导数的函数，求22,xzxz.姓名：学号：试题共5 页加白纸3 张密封线GDOU-B-11-302三 .计算下列积分（7×4=28分）1.dxdy x yD)(2，其中D 是由0y, 2x y及1x所围成的闭区域。
2.证明曲线积分dy xy xdxy xy )2()2(2)1,1()0.0(2在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。
3.计算dxdyz dzdx y dydzx )3()2()1(,其中是球面9222zyx的外侧。
4.计算dxdy yxD2211，其中D 是由2522yx围成的闭区域。
四 .计算题（7×4=28分）1.判别级数2121)1(nn n是否收敛? 若收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 2.将函数31)(xx f 展开为x 的幂级数。
3. 求微分方程62ydxdy满足初始条件20xy的特解。
4.求微分方程xe yy 的通解。
五.证明)()()(ydx x f x dxx f dy（6分）2014-2015学年第二学期《高等数学》A 卷（参考答案及评分标准课程号：×2一、填空（3×8=24分）1. 2；2. 2,0,1；3.02zyx；4. 4.14222zyx；5.)0,0(；6.2；7.3；8. 21391c x c ex二、计算题（14分）1.222yxxyx z ,222222)ln(yxyy xy z ,(4分)dy yxyy xdxyxxydz]2)[ln(22222222(3分)2.令),,(z y x F 333a x yz z （1分），得y zF F zx 33,12，则yzF F xzzx 3312，（4分）则322222)33(6)33(6y zz y zx z z xz. (2分)三．计算下列积分（7×4=28分）1.原式101)21()21()(4101022分3210分422dx x dxy x ydyx y dxxx2.设xy xy x Q y xy y x P 2),(,2),(22，有y xxQ yP22，所以曲线积分与路径无关。
高等数学试题（含答案）
《高等数学》试题库一、选择题 （一）函数1、下列集合中（ ）是空集。
{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且 2、下列各组函数中是相同的函数有（ ）。
()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是（ ）。
()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（ ）。
()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、下列函数中，（ ）是奇函数。
x xa . x xb s i n.211.+-x x a a c 21010.xx d -- 6、下列函数中，有界的是（ ）。
arctgx y a =. t g x y b =. xy c 1.=x y d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （ ）。
()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是（ ）。
π4.a π2.b π.c 2.πd9、下列函数不是复合函数的有（ ）。
xy a ⎪⎭⎫⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c s i nlg .= xe y d s i n 1.+=10、下列函数是初等函数的有（ ）。
11.2--=x x y a ⎩⎨⎧+=21.xx y b 00≤〉x x x y c c o s 2.--=()()2121lg 1sin .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式（ ）.（A ）a x <<+∞ （B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥ 12、若ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=（ ）.（A ）31t + （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++13、函数log (a y x =+ 是（ ）.（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 14、函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线（ ）. （A ）0y = （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =-15、函数1102x y -=-的反函数是（ ）.（A ）1x lg 22y x =- （B ）log 2x y = （C ）21log y x= （D ）1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos y x x =+是周期函数，它的最小正周期是（ ）.（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π 17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 18、下列函数中，（ ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y = 19、若函数f(e x )=x+1，则f(x)=( )A. e x +1B. x+1C. ln(x+1)D. lnx+1 20、若函数f(x+1)=x 2，则f(x)=( )A.x 2B.(x+1) 2C. (x-1) 2D. x 2-1 21、若函数f(x)=lnx ，g(x)=x+1，则函数f(g(x))的定义域是( ) A.x>0 B.x ≥0 C.x ≥1 D. x>-1 22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(e -1，1)D. (e -1，e) 23、函数f(x)=|x-1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数 24、下列函数中为奇函数的是( )A.y=cos(1-x)B.⎪⎭⎫⎝⎛++=21ln xx y C.e x D.sinx 225、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（ ）是偶函数。
大一下半学期高数题答案与试卷(1)
答案与提示 第十章 微分方程一、选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. B 二、填空题1. 05|2='=+⎧⎨=⎩x y y y 2. 2221+=x y 3. d cot d y x u u u x x ==， 4. 12e e x x y x C x C =+++ 5. p ；p '；0xp p '+= 6. p ；d d p py ；2d 20d pyp p y+= 7. 220'''-+=y y y 三、综合题 1. ⑴ 213ln ||1=++-y x x x ⑵ 21(arctan )2=y x ⑶ 21arctan 2=++y x x C 2. ⑴ 45=+x Cy x⑵ 2(1)e y x y -=+ 3. 22e e x x --4. ⑴ 5712e e x x y C C =+ ⑵ 2e xy x -= ⑶ 212e (cos sin )xy C x C x =+5. 12()e euuf u C C -=+ 6. 22123e e (3)e 2x x x y C C x x ---=++-第六章 空间解析几何与向量代数一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. B 8. D 二、填空题1. (,,)---a b c2. 13. ⑴ 120==D D ⑵ 120==B B 且12,D D 不全为0 ⑶ 12120====C C D D4. 5++=x y z5. 6. {}22(,)2+≤x y x y 7. 22450-=z y 8. 22=+z x y 三、综合题1. | r | = 6，错误！未找到引用源。
2. ⑴121012--+==x y z ⑵ 112132-+-==-x y z3. 7510-+-=x y z4. 30+=x y 或30-=x y5. 354250+-+=x y z6. 2230-=x y第七章 多元函数微分学一、选择题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. D 8. B二、填空题1. {}(,)10x y x y x y +>-+≠且 2. 2 3. 2cos 2cos +y x x y 4. 1112250221---++-===x y z x y z5. 6. 3，1 7. 9813 三、综合题1. 22. cos()2∂=+∂z y xy xy x ，2cos()∂=+∂z x xy x y ，2cos()sin()2∂=-+∂∂z xy xy xy x x y2 3. 1d d ln d ln d yz yz yz u yzxx zx x y yx x z -=++ 4.e ,x zf f y x u v∂∂∂=+∂∂∂ ∂∂=∂∂z fxy u5.22d 1)d z y x x y =-+ 6. cos()1cos()11cos()1cos()z yz xyz z xz xyz x xy xyz y xy xyz ∂-∂-==∂-∂-， 第八章 二重积分一、选择题 1. B 2. B 3. D 4. D 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A二、填空题 1. (,)d d Df x y x y ⎰⎰ 2. 连续 3. >；< 4. 41+xy 5. 4π 6. 1 7. 33πa8.422d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 9.2221d (,)d y yy f x y x +-⎰⎰ 10. d d x y ；d d r r θ三、计算题 1. ⑴ 1111d (,)d x f x y y --⎰⎰ 或1111d (,)d y f x y x --⎰⎰ ⑵11d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 或1d (,)d yy f x y x ⎰⎰⑶ eln 10d (,)d xx f x y y ⎰⎰或1ee d (,)d y yf x y x ⎰⎰⑷122001d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰或1201d (,)d yy f x y x -⎰⎰或242222d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰或40d (,)d y f x y x ⎰2. 64153. 26π-4. 136. e 2-7.763 8. 2(1e )R π-- 9. 9210. 6π内蒙古农业大学2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 点()231,,--在第（ ）卦限2.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 (3)(2)a b →→⋅-= ( ). 3.点)1,1,2(到平面22100x y z ++-=的距离( )4. 1(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域为( )5.(,)f x y =35(,)f =( )6. 设z xy =， 则 =dz ( ).7. 已知22dz x dx y dy =+，则2zx y∂=∂∂( ).8. 若 D={(y x ,)︱0201,x y ≤≤≤≤}, Dd σ=⎰⎰( ).9. 一阶线性微分方程sin 1xy y x x '+=的通解是( ).10. 特征方程2320r r +-=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题（每小题2分，共20分）1．过点(2,3,1)且垂直z 轴的平面方程为( )A 1z = B. 3y = C. 2x = D. 230x y z ++= 2． 03sin limx y xyx →→=（ ） A 4 B. ２ C. ３ D. 1 3. 22limx y x yx y →→=+（）.A. 0B. 不存在C. ２D. 14. 已知32(,)f x y x y =， 则 (1,1)x f =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 35.22{(,)9}D x y x y =+≤则Dd σ⎰⎰=（ ）A. 18πB. 14πC. 16πD. 12π6．已知平面2433x y z ++=与平面29x ky z +-=垂直，则k =（ ）A. 0B. 2C. 1D. 37. 设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=，那么a b →→⨯= ( ).A. b a →→⨯ B. b c →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯8. 就二元函数而言,下列说法正确的是 ( )．A. 可导一定连续B. 连续一定可导C. 可导、连续互为充要条件D. 可导、连续彼此无关 9. 微分方程ydx xdy =通解是（ ）.A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 下列方程是三阶微分方程的是（ ）A. 2y y x '-= B. 32()y y x '''-= C. 23()30y y '+= D. 22y y x '''=+4 三、判断题（每小题2分，共20分）1. 空间任意两个向量（自由向量）一定是共面的 （ ）2. 此式子()a b c →→→⨯⋅表示一个数 （ ） 3. (2,1,3),(1,1,2),a b →→==则 a b →→⨯9= （ ） 4.r i j k →→→→=++是单位向量. （ ）5. 2222lim x y x y x y→→-=-2 . （ ）6. 已知z x y =+，则 dz dx dy =+. （ ）7. 已知2229x y z ++=，则z xx z∂=-∂ （ ） 8.(,)Df x y d σ=⎰⎰(,)Df x y dxdy ⎰⎰. （ ）9.()10,y dy f x y dx ⎰⎰=()1,xdx f x y dy ⎰⎰． （ ）10.微分方程1y ''=的通解是y =12c x c +． （ ） 四、计算题（每小题8分，共40分）1. 求平行于y 轴且过点1P (1,5,1)-及2322(,,)P -的平面方程2.已知22z u v =+，,u xy v x y ==-， 求 dz 3. 求23223(,)f x y x x y y =++-的极值.4. 计算Dxy d σ⎰⎰, 其中D 是由直线0,y x y ==和1x =所围成的闭区域.5. 求微分方程320y y y '''-+=满足初始条件00,1x x yy =='==的特解内蒙古农业大学 2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A 评分参考一、填空题（每小题2分，共20分）1.（六）2. ( 6).3. ( 1 ) 4. ( 1x y +-＞02,x y +≠ )5. ( 4 )6. ( ydx xdy + )7. ( 0 ).8. ( 2 ) .9. (1(cos )x c x-+ ). 10. ( 320y y y '''+-= ).二、选择填空题（每小题2分，共20分）1． A 2． C. 3. B. 4. D. 5. A. 6． C. 7. B. 8. D 9. B. 10. D. 三、判断题（每小题2分，共20分）1. √2. √3. ×4.×5. ×6. √7. √8. √9. × 10. × 四、计算题（每小题8分，共40分）1. 解 平行于y 轴的平面方程为 0Ax Cz D ++= 此平面过1P (1,5,1)-和2322(,,)P -得 0320,A C D A C D ++=-+= 解得 3255,A D C D =-=- 带入 3250x z +-= 2. 解22z z u z vuy v x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂，22z z u z v ux v y u y v y ∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂ 2222()()z zdz dx dy uy v dx ux v dy x y∂∂=+=++-∂∂ 3. 解22236,f f x y y x y ∂∂=+=-∂∂ 令00,f fx y ∂∂==∂∂ 得 12121102,x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 222222066,,f f fy x x y y∂∂∂===-∂∂∂∂ （1）1110x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===--=-＜0, 1110x y =-⎧⎨=⎩ 不是极值点.（2）2212x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===-=＞0,A ＞0，∴(,)f x y 在12(,)-取得极小值125(,)f -=-4. 解112000120x Dx xy d dx xydy xy σ==⎰⎰⎰⎰⎰1301128x dx ==⎰5. 解 2320r r -+=， 解得 1212,r r ==， 通解为 212x x y c e c e =+ 2122x xy c e c e '=+ ， 由 00,1x x yy =='== 得 1212021,c c c c +=+=解得 1211,c c =-=， 特解为 2x xy e e =-+内蒙古农业大学2013—2014学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A一、填空题（每小题2分，共20分）1.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 a b →→⨯= ( ). 2. 过点(3,2,1)且垂直y 轴的平面方程为( )63. 22123limx y x y x y →→+=+( )4. (,)arccos x f x y y=，则12(,)f =( )5. 1(,)f x y x y =-间断点为（ ）6. 已知2(,)f x y xy =， 则 (1,1)y f =（ ）7.设33z x y =+， 则 =dz ( ). 8.交换积分顺序()10,y dy f x y dx ⎰⎰=( )9.微分方程1y ''=的通解是( )．10. 特征方程2330r r -+=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题（每小题2分，共20分）1.设(1,1,2),(2,1,2),a b →→=-=-则 (2)(3)a b →→⋅-= ( ).A 18 B. 19 C. 20 D. 21 2．点312(,,)-到平面2230x y z -+-=的距离( )A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3． 103lim(1)xx y xy →→+=（ ）A 2e B. e C. 1 D. 3e4. 已知dz ydx xdy =+，则2zx y∂=∂∂( ). A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 5.22{(,)9,0}D x y x y x =+≤≥则Dd σ⎰⎰=（ ）A. 12πB. 10πC. 11πD. 9π6．已知平面2433x y z ++=与直线12312x y z k ---==-平行，则k =（ ）A. 0B. 2C. 1D. 37.已知()u f xy =， 则uy∂=∂（ ） A. ()f xy ' B. ()xf xy ' C. ()yf xy ' D. ()xyf xy ' 8.设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=，那么a b →→⨯= ( ).A. b c →→⨯ B. b a →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯9. 微分方程xdx ydy =通解是（ ）.A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 可分离变量的微分方程的是（ ）A. 32()y y x ''-= B. 22y x y '= C. 23()30y y '+= D. 2y y x '-= 三、判断题（每小题2分，共20分）1. 空间任意三个向量（自由向量）一定是共面的. （ ）2. 2433,,πππαβγ===是某一向量的方向角. （ ） 3. 2sin lim 2x y xy y →→=。
2014-2015学年第一学期《高等数学》试卷(A卷)
2014-2015学年第一学期《高等数学》试卷（A 卷）一．填空题（每小题4分，20分）1．设0x →2与kx 是同阶无穷小，则k = 12．由方程()2cos 1x y e xy e +-=-确定()y y x =，则()0y '2-3．设y 1x =处对应的微分dy =24．已知()()()011,13f f f '===，则()1xf x dx ''⎰1-5.曲线(1y x =-的拐点处的横坐标x =15-二．计算下列各题（每小题5分，共20分）6、求极限()()sin 230lim ln 1x xx e e x x x →-++解 原式=()()()sin sin 034342300001sin 1lim lim lim lim x x x x x x x x x x e e x x e e e x x x x x x x--→→→→----==+++ ()3423200000sin sin 1cos sin 11limlim lim lim lim 346126126x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====++++ 7、求极限1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解 由于14344002sin 2sin lim lim 01111x x xx x x x e x e e x x x e e --→+→+-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1144002sin 2sin 20lim lim 111011x x x x x x e x e x x x e e →-→-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，从而左右极限存在且相等，故原式极限存在且1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭=18、用泰勒公式求极限()30sin 1lim x x e x x x x→-+ 解 因为()()23231,sin 2!3!xx x e x o x x x o x =+++=-+，所以 原式=()()()232330112!3!lim x x x x o x x o x x x x→⎡⎤⎡⎤+++-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()33232333001131126lim lim2663x x x x x x o x x x o x x x →→++-+---==-+== 9、设()2,111,1x f x x x ≠⎪=⎨-⎪-=⎩在1x =处连续，求,a b 的值 解 因为()2,111,1x f x x x ≠=⎨-⎪-=⎩在1x =处连续，所以()111x f →==-，从而)()()112lim2lim 10101x x x x →→=-=⋅-=- ，即)1lim220,4,4x a b b a →==+==-进而21114221lim 1x x a x x →→-+--==-14x a→===，即()4,448a b =-=--=三．计算下列各题（每小题5分，共15分）10、设1124y =，求y '解 令t =11111arctan ln arctan ln 1ln 124124t y t t t t t +=+=+⎡+--⎤⎣⎦- 从而()14421111111121411x dy dt y x dt dx t t t '⎡⎤⎧⎫⎡⎤'=⋅=+⋅-⋅⋅+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++-⎣⎦⎩⎭⎣⎦()()()114342211111110421414t t x x t t -⎧⎫--+⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⋅++⎨⎬⎢⎥⎢⎥+-⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭()()()22333434442241111111121121t t x x x x t t t ----+⎡⎤=-⋅+=⋅+⎢⎥+--⎣⎦ ()()()()223333434344444441111111121111t t x x x x x x t t x -----+--=⋅+=⋅+=⋅+--+-=dy dt 和dtdx，再作乘积得出结果，切记别忘作乘积！） 11、设()f x 连续，在0x =的某个邻域内有()()()1sin 31sin 8f x f x x o x +--=+，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程。
高等数学题库 (1)
第一章 第一节(限时45分钟，满分100分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．若A ＝{x |2<2x <16，x ∈Z}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∩B 中元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3解析 解不等式2<2x <16，得1<x <4，又x ∈Z ，所以A ＝{2，3}，解不等式x 2－2x －3<0得－1<x <3，即B ＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{2}，故选B.答案 B2．(2014·黄冈模拟)设集合M ＝{x |x <2 014}，N ＝{x |0<x <1}，则下列关系中正确的是A ．M ∪N ＝RB ．M ∩N ＝{x |0<x <1}C ．N ∈MD ．M ∩N ＝∅解析 M ∩N ＝{x |x <2 013}∩{x |0<x <1}＝{x |0<x <1}．答案 B3．(2014·唐山模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则 A ．A ∩B ＝∅B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ⊆B 解析 解不等式x 2－3x ＋2<0可得A ＝{x |1<x <2}，解不等式log 4x >12可得B ＝{x |x >2}，所以A ∩B ＝∅.答案 A4．(2015·韶关模拟)已知集合U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{2，3}，B ＝{3，4}，则∁U (A ∪B )＝A ．{1，2，4}B ．{2，4}C ．{3}D ．{1}解析 A ∪B ＝{2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{1}，选D.答案 D5．(2014·淄博模拟)已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋1)>0}，则A ∩B ＝A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 解不等式(x －1)(x ＋1)>0得x <－1，或x >1，所以B ＝{x |x <－1，或x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x <2}．答案 B6．(2014·肇庆模拟)已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M ＝{大于－1且小于4的整数}，则∁U M ＝A ．∅B ．{－2，－1，5，6}C ．{0，1，2，3，4}D ．{－2，－1，4，5，6}解析 易知M ＝{0，1，2，3}，所以∁U M ＝{－2，－1，4，5，6}．答案 D7．(2014·日照模拟)已知集合M ＝{x |y ＝ln(1－x )}，集合N ＝{y |y ＝e x ，x ∈R}(e 为自然对数的底数)，则M ∩N ＝A ．{x |x <1}B ．{x |x >1}C ．{x |0<x <1}D ．∅解析 因为M ＝{x |x <1}，N ＝{y |y >0}，故M ∩N ＝{x |0<x <1}．答案 C8．(2015·淮南模拟)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 不等式x x －1<0等价于x (x －1)<0，解之得0<x <1，所以A ＝{x |0<x <1}，所以A B ，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分而不必要条件．答案 A9．(2014·台州模拟)设集合M ＝{x |x 2－x －2<0}，P ＝{x ∈Z||x －1|≤3}，Q ＝{x |x ∈P ，x ∉M }，则Q ＝A ．{－2，1，2，3，4}B ．{－2，－1，2，3，4}C ．{－1，2，3，4}D ．{－1，2，3}解析 解不等式x 2－x －2<0得－1<x <2，所以M ＝{x |－1<x <2}，解不等式|x －1|≤3得－2≤x ≤4，所以P ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以Q ＝{－2，－1，2，3，4}．答案 B10．(2014·商丘模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，N ＝{x |x 2－x <0}，则集合M 、N的关系用韦恩(Venn)图可以表示为解析 不等式x －1x ＋1<0等价于(x ＋1)(x －1)<0，解之得－1<x <1，即M ＝{x |－1<x <1}，解不等式x 2－x <0得0<x <1，所以N ＝{x |0<x <1}，显然有N ⊆M ，则可用B 表示．答案 B二、填空题(每小题6分，共30分)11．(2014·江苏)已知集合A ＝{－2，－1，3，4}，B ＝{－1，2，3}，则A ∩B ＝________． 解析 由题意得A ∩B ＝{－1，3}．答案 {－1，3}12．(2014·重庆)设全集U ＝{n ∈N|1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________．解析 显然U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}⇒(∁U A )∩B ＝{7，9}．答案 {7，9}13．(2014·宁德模拟)已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋2}，若A ⊆B ，则a 的值为________． 解析 ∵A ⊆B ，∴a ＋2＝1，解得a ＝－1.答案 －114．若集合A ＝{x ∈R||x ＋1|＋|x －2|≤5}，非空集合B ＝{x ∈R|2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．解析 当x <－1时，|x ＋1|＋|x －2|＝－2x ＋1≤5，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，|x ＋1|＋|x －2|＝x ＋1＋2－x ＝3≤5，即－1≤x ≤2；当x >2时，|x ＋1|＋|x －2|＝2x －1≤5，解得2<x ≤3，则不等式|x ＋1|＋|x －2|≤5的解为－2≤x ≤3，即A ＝[－2，3]．∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－2，a ＋3≤3，解得－1≤a ≤0.答案 [－1，0]15．设集合S n ＝{1，2，3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析 ∵S 4＝{1，2，3，4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1，3}，其容量分别为1，3，3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案 7三、解答题(共20分)16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋2）>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析 (1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.②由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2，5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。
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高等数学复习题（2014-2105 第一学期）一、填空题 1.函数1ln x y x-=的连续区间为 2. 函数01ln 110x x y xx ≤≤⎧=⎨<<⎩，则其定义域为连续区间为3. 函数22(4)x xy x x -=-，(1)间断点为 ，(2)连续区间为 , (3) ,y 为无穷大；（4） ，y 为无穷小。
4. 函数sin (3xy x x =-），水平渐近线为 ，垂直渐近线为5. 01sin 5lim(sin)x x x x x →+= 01l i m a r c t a n x x→=6. 若0sin limlim(1)x x x ex cx x→→∞=+，则c = 7. 23lim(1)xx x→∞-= 411l i m x x x -→= 8. 1lim (0,1)xx a a a →>≠9.x →=10. 101101limm m mn n x na x a x ab x b x b --→∞+++=+++ 11. sin lim sin x x xx x →∞+=- ()301tan 2arcsin 4lim ln(14)sin 3arctan 2x x e x x x x x→-=+12. 函数ln(1y x x =-+）的单调增加区间为 ，凹区间为13. ln x y x=在2[,]e e 上最小值为 14. 设5()x f x e -=，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆=15. sin(())y x ϕ=，则dy = 16. 已知2()21,f x x =-则10.1x x dy=∆==17. 设参数方程2323x t ty t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，则dy dx = 18. 已知()ln(1)f x x =+，则在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的ξ= 19. 设3(1)sin 2x y x x e -=++，则0'x y ==20. 设(8)ln ,y x x =则(10)y =21. 设105x y x e =+，则(20)y = 22. 已知(2),ln n xyx-=则(1)n y -= 23. 写出()f x 在0x 处有定义，极限，连续，可导，可微之间的关系 有定义存在极限 连续 可导 可微24. 若点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，则a b -= 25. 3cos(1e )x d -= 26. 2()ln xef x x tdt =⎰，则'(=f e ）27.()aaf x dx -=⎰⎰=aa-⎰=28.222sin 1cos xdx x ππ-=+⎰1211s i n 1xdx x -+=+⎰29.55(x -+=⎰30.若021lim(1),ax t x e dt x →∞-∞+=⎰则a =31.设()(),f x dx F x C =+⎰则(ln )f x dx x=⎰(21f x dx -=⎰） ()x x e f e dx =⎰cos (sin )xf x dx =⎰ 2(2)xf xdx -=⎰32.已知xe -是()f x 的一个原函数，则(ln )f x dx x=⎰33. 微分方程'''20y y y --=的通解为34.微分方程3''sin 2x y e x =+的通解为35. 微分方程233'1x yy x =+的通解为36.设ln(1)10()001x x f x K x x ⎧+-<<⎪==⎨<<，则K = 时，函数()f x 无间断点。
二、选择题1. 设函数()f x 在[0,1]上可导，'()0,f x >并且(0)0,(1)0f f <>，则()f x 在(0,1)内（ ）A 至少有两个零点B 有且仅有一个零点C 没有零点D 零点个数不能确定2.当0x →时，下列无穷小量中与x 等价的是（ ） A 1cos x -Bsin2x D 21xe - 3.下列结论正确的是（ ）A()()df x dx f x dx =⎰ B '()()f x dx f x =⎰ C 1()()x d f x dx f x dx =⎰ D 21()0d f x dx dx=⎰ 4.函数()f x 在点0x x =处连续是函数()f x 在该点可导的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 无关条件 5.若函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则必有 ( ) A 0'()0f x =且0''()0f x > B 0'()0f x =且0''()0f x < C 0'()0f x = D 0'()0f x =或0'()f x 不存在 6. 0'()0f x =是函数()y f x =在点0x x =处取得极值的 ( ) A 必要条件 B 充要条件 Ｃ 充分条件 Ｄ 无关条件７若ln xx 是()f x 的一个原函数，则'()xf x dx =⎰（ ） A ln x C x + B 12ln x C x -+ C 1C x + D 1C x-+ ８．下列函数中在[0,3]上不满足拉格朗日定理条件的是（ ）A 221x x ++ B cos(1)x + C 221x x - D ln(1)x +９ 下列广义积分收敛的是（ ） Alnexdx x+∞⎰B e+∞⎰C1ln edx x x+∞⎰D 21ln edx x x+∞⎰１０ 如果()f x 是可微函数，当0x ∆→，在点0x 处y dy ∆-是x ∆的（ ） A 高阶无穷小 B 等价无穷小 C 低阶无穷小 D 不可比较１１.(),x f x e -=则'(ln )f x dx x =⎰（ ）A 1C x -+ B1C x+ C ln x C -+ D ln x C + １２.设()xf x dx eC =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）A 212x e C -+ B 21x xe C -+ C 2112x e C --+ D 2112x e C -+ １３ 设13201()()1f x x f x dx x=++⎰，则10()f x dx =⎰（ ） A6π B 4π C 3π D 2π１４ 设4()2xx f t dt =⎰，则40dt =⎰（ ） A 16 B 8 C 4 D 2１５.0x →时，下列无穷小量中与x 等价的是（ ）A 3tan x B1 C csc cot x x - D 21sin x x x+１６．方程''4'5xy y y xe ---=的特解形式为（ ） A xae- B ()x ax b e -+ C ()xax b xe -+D 2()xax b x e-+１７ 设0x <<+∞，则122001111xxdt dt t t +=++⎰⎰（ ） A arctan x B 2arctan x C2πD 0 １８ 当0x →时，sin 20()sin xf x t dt =⎰与34()g x x x =+比较是（ ）无穷小A 高阶B 低阶C 同阶但非等价D 等价无穷小 三．计算题 １0ln(sin 3)lim ln(sin 5)x x x +→２.2012lim sin xx x e x x x→----３2()xx y x e =+， 'y４.已知21(),21x y f x -=+且2'()f u u =，求0x dydx=５设y =0lim 'x y +→６ 设方程2cos 0yxte dt t dt +=⎰⎰确定y 是x 的函数，求dydx７求曲线1y y xe =+上过点(0,1)处切线的方程８设()y y x =是由参数方程222()[()]tx f u duy f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰所确定，求dy dx９1cos 2lim xx x→⎰１０ 20lim()x xx x e →+１１531[(23)cos(21)]21x x x e dx x π-++-+-++⎰１２278⎰１３12dx x１４2ln e x dx x+∞⎰１５43⎰１６设10()110x x f x xe x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩，求2(1)f x dx -⎰１７.已知曲线l 通过点(,1)2π且l 上任一点处切线的斜率为1(sin )x y x-，求l 的方程。
１８.已知()f x 的一个原函数为sin ,xx求'()xf x dx ⎰四．解答题１.试求,,a b c 的值，使32y x ax bx c =+++有一拐点(1,1)-，且在0x =处有极大值1２.列表讨论函数3226187y x x x =---单调区间与极值，凹凸区间与拐点。
五．应用题１.求由,,1xxy e y e x -===围成的平面图形的面积，及该平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积。
２.求由抛物线22y x =与其在点1,12⎛⎫⎪⎝⎭处的法线所围成的图形面积六 证明题１ 设()f x 在[0,1]上连续求证（１）22(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰(２) 0(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰ 并由此计算2sin 1cos x xdx x π+⎰２.若2350a b -<，试证方程532340x ax bx c +++=有唯一实根。