导数及其应用题5

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导数应用精选50题(含有答案)

)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图象中， y f (x) 的图象大致是（）
30.(本大题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f（x）=（x2+a+b）e3-x(x∈R)的一个极值点． (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b)，并求 f（x）的单调区间；(2)a>0，g(x)=( a+ 25 ) ex．若
4 存在 x1、x2∈[0，4]使得| f（x1）- g(x2)|<1 成立，求 a 的取值范围．
（3）若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1，x2（xl <x2），且 x2 －xl >1n2，求实数 a 的取值范围．
28.（本题满分 14 分）
5
已知函数 f x a ln x 1 a x 1 x2, a R
2
（1）当 0 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）已知 f x 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的范围.
（1）求 a, b 的值；（2）求函数 f (x) 的极小值.
26.（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 f (x) 1 x2 2ex , g(x) 3e2 ln x b （其中 e 为常数， e 2.71828 ）,若这两个函数

导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．56。

设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于（ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点（ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。

求导数的实际应用题

求导数的实际应用题导数作为微积分的重要概念，具有广泛的实际应用价值。

在物理学、经济学、生物学等领域中，求导数可以帮助我们解决一系列实际问题。

本文将以几个实际应用题为例，阐述导数的应用。

1. 速度和加速度假设有一个小车在直线道路上行驶。

我们知道，速度可以看作是位移对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt，其中v(t)表示时刻t的速度，s(t)表示距离。

如果我们已知小车的位移函数s(t)，则可以通过求导数的方法得到其速度函数v(t)。

同样地，加速度可以看作速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。

如果我们已知小车的速度函数v(t)，可以通过求导数得到其加速度函数a(t)。

这些速度和加速度的函数关系可以帮助我们对行驶中的小车进行分析，如判断是否超速或者行驶过程中是否需要采取制动等措施。

2. 弹簧振动在物理学中，弹簧振动是一个常见的问题。

假设一个弹簧的位置可以用函数x(t)表示，其中x(t)表示时刻t的位置。

根据胡克定律，弹簧受力与其伸长程度成正比。

设弹簧的劲度系数为k，则弹簧的受力可以表示为F = -kx(t)。

根据牛顿第二定律，物体受力与加速度成正比。

设物体的质量为m，则物体的加速度可以表示为a = F/m = -kx(t)/m。

我们可以通过求导数的方法，得到物体的速度v(t) = dx(t)/dt，并进一步求得物体的加速度。

通过对弹簧振动过程的分析，可以了解弹簧在不同时刻的位置、速度以及加速度，从而揭示了弹簧振动的规律。

3. 生物学中的增长问题在生物学中，许多生物群体的增长问题都可以通过求导数来解决。

以细菌繁殖为例，假设初始时刻有N个细菌，细菌的繁殖速率与其当前数量成正比。

设细菌繁殖速率为r，则细菌的繁殖速度可以表示为dN/dt = rN。

将微分方程化简后可得到N(t) = N0 * e^(rt)，其中N(t)表示时刻t的细菌数量，N0表示初始时刻的细菌数量。

通过求导数，我们可以得到细菌数量随时间变化的规律，以及在不同时刻细菌数量的增长速度。

导数及其应用(小题)

)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－3＝0
【解析】 ∵f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图像上．
1－lnx
1－ln1
∴f′(x)＝ x2 ，∴f′(1)＝ 12 ＝1，∴切线方程是 y－(－2)＝1·(x－1)，即 x－y－3＝0.
故选 D.
(2)已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则曲线 f(x)过点 A(2，－2)的切线方程为________．
【解析】设切点坐标为(x0，x03－4x20＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为 y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)．又切线过点(x0，x03－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)．整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得 x0＝2 或 x0＝1. ∴经过 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程为 x－y－4＝0，或 y＋2＝0.
(2)函数 f(x)＝excosx 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
π A.4
B．0
3π C. 4
D．1
【解析】 f′(x)＝excosx－exsinx，所以 f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，所以倾斜角 α＝4π.故选 A.
【典例 2】 (求切线方程)
(1)函数 f(x)＝lnx－x 2x的图像在点(1，－2)处的切线方程为(
(3)求曲线 f(x，y)＝0 在(x0，y0)处的切线方程得： ①对 f(x，y)＝0 两边同时对 x 求导(y2 按 x 的复合函数对待)； ②解出 y′＝g(x，y)； ③将(x0，y0)代入上式得斜率； ④点斜式写出方程．

(必考题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测卷(答案解析)(5)

一、选择题1．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<2．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（）．A ．－1B ．0C ．2D ．43．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f '+的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．24．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()xf x e >的解集为（）A ．()01，B ．()1+∞，C ．()1-∞，D ．()0-∞，5．函数()22xx f x e-=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-7．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（） A ．7B ．4C ．0D ．﹣48．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，fx 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,9．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e10．已知函数()ln f x x x =，则()f x （） A ．在()0,∞+上递增 B ．在()0,∞+上递减 C ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 D ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减 11．已知函数()xe f x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．已知函数f x =x+cosx （），则f'=6π⎛⎫ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．32C ．12-D ．2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知曲线()32351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，则点P 的横坐标为______________.14．()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()f x '是导函数，且满足()2()0xf x f x '->，若()f x 是偶函数，()11f =，则不等式()2f x x >的解集为__________.15．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________.16．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1ln 2x =处的切线的倾斜角为________. 17．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为______________.18．设函数f （x ）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x ），若f （lnx ）=x 2﹣1nx ，则f′（1）=_____19．已知函数322()3f x x ax bx a =+++,若函数()()sin 2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线平行于x 轴，则实数b 的值是________． 20．若0()2f x '=，则000()()lim2x f x x f x x∆→+∆-∆＝________.三、解答题21．已知函数()2()2xx f x xe a x a R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.22．已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0. （1）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（2）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-. 23．已知函数()ln f x a x ax =+，2()2g x x x =+，其中a R ∈. （1）求函数()()()h x f x g x =+的极值；（2）若()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()()2212,0B x g x xx <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.24．已知函数()()ln f x ax b x =+.（1）当1,0a b ==时，求函数()y f x =的极值；（2）当1,1a b ==时，求不等式()22f x x ≥-的解集；（3）当1,1a b ==时，若当()1,x ∈+∞，恒有()()1f x x λ>-成立，求实数λ的取值范围.25．已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a R ∈.（1）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明. 26．已知函数()()ln f x x x ax =+，()()g x f x '=.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，求实数a 的值；（2）当13a =-时，求()g x 在[]1,2上的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.2．B解析：B 【分析】将点()3,1的坐标代入切线方程得出k 的值，得出()3f k '=以及()31f =，再对函数()y g x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，即可得出()3g '的值．【详解】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-，由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）切点是切线与函数图象的公共点．3．C解析：C 【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果. 【详解】切线方程为：29y x =-+，当4,1x y ==，()4-2'=f 则()41=f ，()(4)4-1'+=f f 故选：C 【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.4．D解析：D 【分析】构造函数()()x f x g x e=，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.【详解】令()()x f x g x e=，因为()()f x f x '<，则()()()0xf x f xg x e'-'=<，所以()g x 在R 上递减，又()01f =，则()01g =，不等式()xf x e >等价于()()10xf xg e>= ，所以0x <. 故选：D 【点睛】本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22xx f x e -=， ()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得31x =+，所以()f x 在()0,31+递增，在()31,++∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.6．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线，当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.7．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 8．B解析：B 【分析】构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.9．C解析：C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．10．D解析：D 【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性. 【详解】函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x ）=1+lnx 令f′（x ）=1+lnx=0，可得x=1e, ∴0＜x ＜1e 时，f′（x ）＜0，x ＞1e时，f′（x ）＞0 ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减, 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增故选D ．【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.11．D解析：D 【分析】由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2xg x e ax =-，可知函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2xe h x x=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()xe f x ax x =-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立，即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，所以，函数()2xg x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，则()20xg x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2xea x∴≤，令()2xe h x x=，其中0x >，则()min a h x ≤.()()212x e x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减；当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12e h x h ==，2e a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】求导，将6x π=代入即可求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭'.. 【详解】已知函数f x =x+cosx,'x =1-sinx,f ∴（）（）则 11sin .662f ππ⎛⎫=-'= ⎪⎝⎭故选A. 【点睛】本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.二、填空题13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要解析：0或1-或53【分析】设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标．【详解】设P 的坐标为()32,351m m m m +-+，2()9101f x x x +'=-，过点P 的切线方程为()()3223519101()m m m m x y m m +-+=+---，代入点()1,0的坐标有()()()32235191011mm m mm m --+-+=+--，整理为323250m m m --=，解得0m =或1m =-或53m =，故答案为：0或1-或53. 【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．14．【分析】构造函数分析出函数为偶函数且在上为增函数将所求不等式变形为可得出可得出由此可解得原不等式的解集【详解】构造函数该函数的定义域为由于函数为偶函数则所以函数为偶函数当时则所以函数在上为增函数可得解析：()(),11,-∞-+∞【分析】构造函数()()2f x g x x=，分析出函数()g x 为偶函数且在()0,∞+上为增函数，将所求不等式变形为()()1g x g >，可得出()()1g x g >，可得出1x >，由此可解得原不等式的解集. 【详解】构造函数()()2f x g x x=，该函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，由于函数()f x 为偶函数，则()()()()()22f x f xg x xx g x --==-=，所以，函数()g x 为偶函数.()()()()()24322x f x xf x x f x f x g x x x''⋅-⋅-'==，当0x >时，()2()0xf x f x '->，则()0g x '>，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，()11f =，可得()()21111f g ==，由()2f x x >可得()21f x x>，即()()1g x g >，所以，()()1g x g >，1x ∴>，解得1x <-或1x >. 因此，不等式()2f x x >的解集为()(),11,-∞-+∞.故答案为：()(),11,-∞-+∞.【点睛】方法点睛：该题主要考查利用导数求解函数不等式，在解题的过程中，思路如下：（1）构造函数，利用导数，结合已知条件，判断函数的单调性与奇偶性；（2）根据题中所给的函数零点，判断函数值符号，可得出不等式，求解即可.15．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减，所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π．【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.16．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元解析：45︒【分析】设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【详解】设2()log t f x x =-，则()3f t =.因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数. 又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，2()log 2f x x =+，1()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，切线斜率为1，所以倾斜角为45︒. ∴答案为:45︒. 【点睛】本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.17．1【分析】由知为奇函数求导分析为增函数故利用可以算得的关系再利用基本不等式的方法求的最小值即可【详解】故为奇函数又所以为增函数又故所以当且仅当时取得最小值1故答案为1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性解析：1 【分析】由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求11a b+的最小值即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-, 故49,49a b a b =-+=,所以()11111144599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1519⎛≥+= ⎝,当且仅当4b aa b =时取得最小值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.18．【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式再求导代值计算即可【详解】设lnx=t 则x=et ∵f （lnx ）=x2-1nx ∴f （t ）=e2t-t ∴f （x ）=e2x-x ∴f′（x ）=2e2x-1∴f′（解析：221e -【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式，再求导，代值计算即可．【详解】设lnx=t ，则x=e t ， ∵f （lnx ）=x 2-1nx ， ∴f （t ）=e 2t -t ， ∴f （x ）=e 2x -x ， ∴f′（x ）=2e 2x -1， ∴f′（1）=2e 2-1，故答案为2e 2-1．【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．19．【分析】求g （x ）的导数可得x=0处切线的斜率由两直线平行的条件：斜率相等得方程解方程可得b 的值【详解】函数g （x ）=f （x ）+sin2x=x3+2ax2+bx+a2+sin2x 则g′（x ）=3x2 解析：2-【分析】求g （x ）的导数，可得x=0处，切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，得方程，解方程可得b 的值. 【详解】函数g （x ）=f （x ）+sin2x=x 3+2ax 2+bx+a 2+sin2x 则g′（x ）=3x 2+4ax+b+2cos2x ，可得g （x ）在x=0处的切线的斜率为b+2，由题意可得b+2=0，可得b=-2. 【点睛】本题考查了通过导数求切线的斜率，考查了两直线平行的条件：斜率相等；解答本题的关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程.20．1【详解】根据函数在处导数的定义知即答案为1解析：1 【详解】根据函数()f x 在0x 处导数的定义知，()()()()()000000011limlim 1.222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→'+∆-+∆-===∆∆即答案为1.三、解答题21．（1）极大值112e-，极小值0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求导，令()0f x '=可得极值点和极值；（2）()()(1)xf x x e a '=+-，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．【详解】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()(1)(1)1x x x f x e xe x e x '=+-+=+-，令()0f x '=，得1x =-或0x =.∴1x =-时，()f x 有极大值()12f e-=-， 0x =时，()f x 有极小值()00f =；（2）()()(1)(1)xxxf x a e e xe x x a '=+-+=+-，当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-，即函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，由()0f x '<得1x <-，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减；当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =.①当ln 1a =-，即1a e -=时，无论1x >-或1x <-，均有()0f x '>，又()10f '-=，即在R 上()0f x '≥，从而函数()f x 在R 上单调递增； ②当ln 1a <-，即10a e 时，由()()(1)01xe f x x a x '=+->⇒>-或ln x a <时，函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上单调递增；由()()(1)0ln 1xf x x a a e x '=+-<⇒<<-时，函数()f x 在()ln ,1a -上单调递减；③当ln 1a >-，即1a e ->时，由()()(1)0ln xf x x e a x a '=+->⇒>或1x <-时，函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上单调递增；由()()(1)01ln xf x x a x a e '=+-<⇒-<<时，函数()f x 在()1,ln a -上单调递减.综上，当0a ≤时， ()f x 单调递增区间是()1,-+∞上，单调递减区间是(),1-∞-上；当10ae 时，()f x 单调递增区间是(),ln a -∞,()1,-+∞，单调递减区间是()ln ,1a -；当1a e -=时，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；当1a e ->时，()f x 单调递增区间是(),1-∞-,()ln ,a +∞，单调递减区间是()1,ln a -. 【点睛】关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)在研究函数单调性的过程中，要准确判断导数的符号，当()f x '含参时，要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 22．（1）0；（2）证明见解析. 【分析】（1）由导数求出函数()f x 的单调性，即可得出函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（2）求导得出(21)(1)()ax x f x x--'=，讨论a 的值，确定函数()f x 的单调性，得出函数()f x 有最小值时a 的取值范围，再令12t a=，由（1）得出()ln 1,(1)h t t t t =-+>的单调性，进而证明该不等式. 【详解】解：（1）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=- 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f =. （2）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+ 22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=.①当0a =时，由（1）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意； ②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->.此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ③当102a <<时，此时112a<. 函数()f x 在区间1(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a+∞上单调递增所以min 111()()ln 224f x f a a a==- 即11()ln 24g a a a=-. 要证1()14g a a<-，只需证当102a <<时，1()104g a a -+<成立. 即证111ln 10,0222a a a ⎛⎫-+<<< ⎪⎝⎭ 设12t a=，()ln 1,(1)h t t t t =-+> 由（1）知()(1)0h t h <= 即1()104g a a -+<成立. 所以1()14g a a<-. 【点睛】在证明不等式的恒成立问题时，可以将不等式问题转化为求函数的最值问题，进而证明不等式.23．（1）答案见解析；（2）1. 【分析】（1）求导2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，然后分0a ≥，0a <讨论求解. （2）求导()22g x x '=+，根据()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()22,B x g x 处的切线互相垂直，得到()()1222221x x ++=-，即 ()121141x x =--+，然后由()21221141x x x x -=+++，利用基本不等式求解.【详解】（1）函数2()ln (2)h x a x x a x =+++的定义或为(0,)+∞，2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，若0a ≥，()0h x '>恒成立，此时()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；若0a <时，()0h x '=，解得2a x =-，当02ax <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ax >-时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴当2a x =-时，()h x 有极小值2ln 224a a ah a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）()22g x x '=+，则()()1222221x x ++=-，其中，120x x <<，1222022x x ∴+<<+，且()121141x x =--+，210x -<<，()212211141x x x x ∴-=++≥=+，当且仅当21(1,0)2x =-∈-时取等号， ∴当212x =-，132x =-时，21x x -取最小值1.【点睛】结论点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 24．（1）()f x 有极小值1e-，无极大值；（2）[1,)+∞；（3）2λ≤. 【分析】（1）先代入参数对函数求导，令()0f x '=，列表判断单调性，即得极值情况；（2）先代入参数，将不等式移项整理，构造函数求导，研究其单调性，再利用单调性解不等式()(1)F x F ≥，即得结果；（3）先代入参数，将恒成立式移项整理，构造函数求导，讨论其单调性，再利用单调性判断其最值满足题意，即得结果；【详解】（1）当1,0,()ln ,()1ln a b f x x x f x x '====+，定义域()0,∞+令()1ln 0f x x '=+=，得1=x e列表如下：∴当1=x e 时，()f x 有极小值ln f e ee e ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，无极大值；（2）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅令()()(22)(1)ln (22)F x f x x x x x =--=+⋅--1()ln 1F x x x'=+-令221111()ln 1,()x u x x u x x x x x'-=+-=-= 列表如下：当时，有极小值，即0()F x ∴在(0,)+∞单调递增，(1)0F =，故不等式()22f x x ≥-即()0(1)F x F ≥=，故解集为[1,)+∞；（3）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立，即(1,)x ∈+∞，恒有()(1)0f x x λ-->成立. 令()()(1)(1)ln (1)G x f x x x x x λλ=--=+--1()ln 1G x x xλ'=++-令1()ln 1v x x x λ=++-，21()x v x x'-= (1,),()0,()x v x v x '∈+∞∴>∴在(1,)+∞单调递增，()(1)2v x v λ∴>=-①若20λ-≥，即2λ≤，()0v x >，即()0G x '>，即()G x 在(1,)+∞单调递增.(1,)x ∈+∞()(1)0G x G ∴>=成立.即2λ≤时，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立. ②若20λ-<，即2λ>，取1x e λ=>()11ln 110v e e e eλλλλλ=++-=+> ()v x 在(1,)+∞单调递增，()01,x e λ∴∃∈，使得()00v x =，∵当()01,,()0x x v x ∈<，即()0'<G x ，()G x ∴在()01,x 上单调递减()0(1)0G x G ∴<=，∴当(1,)x ∈+∞时，()0G x >不恒成立，即()(1)f x x λ>-不恒成立. 综上：2λ≤. 【点睛】利用导数研究函数()f x 极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③根据单调性判断函数极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法. 25．（1）{|,x x ∈R 且1}x ；函数()f x 有极小值(0)1f =;（2）函数()g x 存在两个零点. 【分析】若0a =，求函数()f x 的定义域和极值，把0a =代入得函数e()1xf x x =+，故可求得函数()f x 的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，即求函数2e ()11xg x x x =-++的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数．【详解】（1）函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x R ∈，且1}x.22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-==++'.令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()'f x 的变化情况如下：故的单调减区间为，；单调增区间为)．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. （2）结论：函数()g x 存在两个零点. 证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++，因为 22131()024x x x ++=++>，所以函数()g x 的定义域为R .求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-'+-==++++，令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()'g x 的变化情况如下：故函数的单调减区间为；单调增区间为，)．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. 因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠.因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e (2)107g =->，所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =，故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. 26．（1）52a =-；（2）()max 3ln 2=g x .【分析】（1）求出函数的导数，求得()1f '的值，由题意可得124a +=-，从而可求出a 的值；（2）先求出()2ln 13g x x x =-+，然后对函数求导，通过列表判断函数的极值，得到函数只有极大值，从而可得其最大值【详解】解：（1）由()()ln f x x x ax =+，得()ln 21f x x ax '=++，所以()112f a '=+，因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，所以()14f '=-得124a +=-，解得52a =-. （2）()2ln 13g x x x =-+，()123g x x '=-， ∵12x ≤≤，∴1112x≤≤∴()max ln 22g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.【点睛】此题考查了导数的几何意义的应用，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题。

导数应用练习题

导数应用练习题在微积分中，导数是一个极为重要的概念。

它不仅是研究函数变化率的工具，也是应用到各个领域中的数学工具之一。

本文将介绍一些导数的应用练习题，通过解答这些题目，加深对导数概念的理解，并将其应用到实际问题中。

一、速度与加速度1.一辆汽车沿直线匀速行驶，其速度为v(t)=50t，其中t表示时间，单位为秒。

求该汽车在0到5秒内的平均速度和瞬时速度。

解：汽车的速度函数为v(t)=50t，求0到5秒内的平均速度，可以使用速度函数在0到5秒内的平均值，即：v(0到5秒平均) = (v(0)+v(5))/2 = (50*0+50*5)/2 = 125 m/s求0到5秒内的瞬时速度，可以直接使用速度函数：v(0到5秒瞬时) = v(5) = 50*5 = 250 m/s2.一辆汽车沿直线运动，其速度随时间变化的函数为v(t)=3t²-2t+1，其中t表示时间，单位为秒。

求该汽车在0到2秒内的平均速度和瞬时速度。

解：汽车的速度函数为v(t)=3t²-2t+1，求0到2秒内的平均速度，可以使用速度函数在0到2秒内的平均值，即：v(0到2秒平均) = (v(0)+v(2))/2 = (3*0²-2*0+1+3*2²-2*2+1)/2 = (1+9-4+1)/2 = 7 m/s求0到2秒内的瞬时速度，可以直接使用速度函数：v(0到2秒瞬时) = v(2) = 3*2²-2*2+1 = 9 m/s二、相关率问题1.一个圆的半径在增长，当半径的增长率为2 cm/s时，求当半径为5 cm时，圆的周长的增长率。

解：设圆的半径为r，圆的周长为C，根据圆的周长公式C=2πr，对该等式两边同时对时间求导，得到：dC/dt = 2π(dr/dt)题目已给出半径的增长率dr/dt=2 cm/s，半径r=5 cm，代入上述公式，得到：dC/dt = 2π(2) = 4π cm/s所以，当半径为5 cm时，圆的周长的增长率为4π cm/s。

第五章：一元函数的导数及其应用重点题型复习(解析版)

第五章：一元函数的导数及其应用重点题型复习题型一导数定义的理解与运用【例1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若()24f '=，则()()222limx f x f x→+-=（）A．4B．2C．8D．8-【答案】C 【解析】()()()()()020222222lim2lim 2282x x f x f f x f f x x→→+-+-'===．故选：C ．【变式1-1】已知函数()f x 在0x x =处的导数为()0f x '，则000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A．()02f x 'B．()02f x '-C．()012f x -'D．()12f x '【答案】A【解析】由导数的定义和极限的运算法则，可得：000000000(2)()(2)()()()limlim lim x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+∆-=+∆∆∆()()()0002f x f x f x '''=+=.故选：A.【变式1-2】已知函数()f x 可导，且满足()()3Δ3Δlim2Δx f x f x x→--+=，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A．1-B．2-C．1D．2【答案】A【解析】因为()()()()003333lim 2lim 2(3)22x x f x f x f x f x f x x→→-∆-+∆-∆-+∆'=-=-=∆-∆△△，所以(3)1f '=-，故选:A.【变式1-3】若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim 12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A．1B．1-C．2D．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A．【变式1-4】设函数()y f x =在R 上可导，则()()00lim x f f x x∆→-∆=∆（）A．()0f 'B．()0f '-C．()f x 'D．以上都不对【答案】B【解析】由导数的定义可知()()()()()000lim lim0x x f f x f x f f xx∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆.故选：B.题型二导数的几何意义与应用【例2】函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为函数()()e sin cos xf x x x =+，则()()e sin cos cos sin 2e cos x xf x x x x x x =++-='，所以()02f '=，也即函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率2k =，故选：B .【变式2-1】已知函数()32f x x =+.（1）曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（2）曲线()y f x =过点()0,4B 的切线方程.【答案】（1）30x y -=；（2）340x y -+=【解析】（1）因为2()3f x x '=，所以(1)3f '=，又(1)3f =，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()331y x -=-，即30x y -=；（2）设切点为()300,2x x +，则()()3200002,3f x x f x x =='+，所以切线方程为()()3200023y x x x x -+=-，因为切线过点()0,4B ，所以()()320004230x x x -+=-，即322x =-，解得01x =-，故所求切线方程为340x y -+=．【变式2-2】已知()3f x x x =-，如果过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的取值范围是______.【答案】()2,6-【解析】()231f x x '=-，则过()(),t f t 的切线为()()()y f t f t x t '-=-，即()23312y t x t =--.由过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线得32262m t t =-+-有3个不等实根.令()32262g t t t m =-++，()2612g t t t '=-，由()0g t '=得0=t 或2t =.当0t <或2t >，()0g t '>，()g t 单调递增；当02t <<，()0g t '<，()g t 单调递减；故当0=t 时，函数()g t 取得极大值为2m +；当2t =时，函数()g t 取得极小值为6m -.要使()0g t =有3个不等实根，则26m -<<，即所求m 的取值范围是()2,6-.【变式2-3】（多选）设b 为实数，直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，则曲线()f x 的方程可以为（）A．()1f x x=-B．()214ln 2f x x x=+C．()3f x x=D．()exf x =【答案】ACD【解析】因为直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，所以()3f x '=有解，对于A，由()1f x x=-，得()21f x x '=，由()3f x '=，得213x =，解得33x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()1f x x =-的切线，所以A 正确，对于B，由()214ln 2f x x x =+，得()4(0)f x x x x '=+>，由()3f x '=，得43x x +=，化简得2340x x -+=，因为2(3)440∆=--⨯<，所以方程无解，所以直线3y x b =+不能作为曲线()214ln 2f x x x =+的切线，所以B 错误，对于C，由()3f x x =，得2()3f x x '=，由()3f x '=，得233x =，解得1x =±，所以直线3y x b =+能作为曲线()3f x x =的切线，所以C 正确，对于D，由()e xf x =，得()e xf x '=，由()3f x '=，得e 3x =，解得ln 3x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()e xf x =的切线，所以D 正确，选：ACD【变式2-4】（多选）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（）A．1.2B．4C．5.6D．2e【答案】ABD【解析】由21y x =-，则2y x '=，由ln 1y a x =-，则ay x'=设切线与曲线21y x =-相切于点()11,A x y ，则斜率为12x ，所以切线方程为()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--①设切线与曲线ln 1y a x =-相切于点()22,B x y ，则斜率为：2ax ，则切线方程为()()222ln 1ay a x x x x --=-，即22ln 1a y x a x a x=+--，②根据题意方程①，②表示同一条直线，则122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩所以()2224ln 1a x x =--，令()2244ln g x x x x =-（0x >），则()()412ln g x x x '=-，所以()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2g x ge ==，由题意(]0,2e a ∈.题型三导数的基本运算【例3】求下列函数的导数．（1）ln(21)y x =+；（2）sin cos xy x=；（3）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）221y x '=+；（2）21cos y x'=；（3）231211y x x =++'【解析】（1）因为ln(21)y x =+，所以221y x '=+；（2）因为sin cos x y x =，所以()2222cos sin 1cos cos x x y x x +'==；（3）因为1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++，所以231211y x x =++'.【变式3-1】已知()tan f x x =，则=3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'（）A．43B．43-C．4D．4-【答案】C【解析】因为()tan f x x =，所以2222sin cos sin 1()(tan )()cos cos cos x x x f x x x x x+''===='，所以21(43cos 3f ππ'==．故选：C．【变式3-2】已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A．2021B．2021-C．2022D．2022-【答案】B【解析】因为()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，所以()()202222022f x x f x''=+-，所以()()202220222022220222022f f ''=+-，解得()20222021f '=-，故选：B【变式3-3】已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A．(4)2f =B．()20g '=C．(1)(3)f f -=-D．(1)(3)4f f +=【答案】C【解析】对A：∵()g x 为偶函数，则()=()g x g x -，两边求导可得()()g x g x ''=--∴()g x '为奇函数，则()00g '=令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B：令=2x ，则可得()()(2)+2=2(2)2=2f g f g ''⎧⎪⎨-⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f xg x '+++=()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f xg x f x g x ''-+-=---=()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-∴()f x 以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立.题型四用导数求函数的单调性【例4】函数()e xf x x =的单调递增区间是（）A．(),1-∞-B．(),0∞-C．()0,∞+D．()1,-+∞【答案】D【解析】()()e e e 1x x xf x x x '+=+=，由()0f x '>，得1x >-，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,-+∞．故选：D.【变式4-1】函数()2ln f x x x =的单调递增区间为（）A．(B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C．)+∞D．⎛⎝⎭【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()212ln 2ln 2ln 1f x x x x x x x x x x'=+⋅=+=+，令()0f x '>，得2ln 10x +>，解得x >故函数()2ln f x x x =的单调递增区间为e ⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭．故选：B．【变式4-2】下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上是单调函数的是（）A．()sin x x x f -=B．()3exf x x =C．()2f x x=D．()cos f x x x=-【答案】A【解析】A：()sin()sin ()x x x f x x x f --=-+=--=-且定义域为R，为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，故()f x 单调递增，满足要求；B：()33()e ()exx x x f x f x -=-≠--=-，不满足；C：()22())(f x x x f x ==-=-且定义域为R，为偶函数，不满足；D：()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=--≠-，不满足.故选：A【变式4-3】已知函数()()()2212ln R f x ax a x x a =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.【答案】（1）22ey x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析【解析】（1）由0a =，则()22ln f x x x =-，()e 2e 2f =-，()22f x x '=-，()2e 2ef '=-，切线方程：()()22e 22e e y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，则22e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由()()2212ln f x ax a x x =+--，求导得()()()()1222221x ax f x ax a xx-+'=+--=，①当0a =时，()22x f x x-'=，()0f x '<，解得()0,1x ∈，()0f x '>，解得()1,x ∈+∞，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；②当0a >时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-（舍去）当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；③当1a <-时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当1a =-时，()()221x f x x--'=，则()f x ：单减区间：()0,∞+；⑤当10a -<<时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上，当0a ≥时，单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞当1a <-时，单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当1a =-时，单减区间：()0,∞+当10a -<<时，单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.题型五由函数的单调性求参数【例5】若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A．[)3,+∞B．(],3-∞C．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D．(2,e 1⎤-∞+⎦【答案】B【解析】依题意()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x≤+在区间()1,e 上恒成立.令()()121e g x x x x =+<<，则()22212120x g x x x -'=-=>，所以()g x 在()1,e 上单调递增，则()3g x >，所以3a ≤.故选:B.【变式5-1】设函数()23ln h x x x x =-+，若函数()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】3,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()()()211123x x h x x xx --'=+-=，()0x >，令()0h x '>，解得102x <<或1x >，令()0h x '<，解得112x <<.故()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上严格增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上严格减，在()1,+∞上严格增.又()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则只需1112m <-≤，解得(3,22m ⎤∈⎥⎦.故实数m 的取值范围为3,22⎛⎤⎥⎝⎦.【变式5-2】已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【答案】(3,--【解析】由()3212132a g x x x x =-++，得()22g x x ax '=-+，当()g x 在()2,1--内为减函数时，则()220g x x ax '=-+≤在()2,1--内恒成立，所以2a x x≤+在()2,1--内恒成立，当()g x 在()2,1--内为增函数时，则()220g x x ax '=-+≥在()2,1--内恒成立，所以2a x x≥+在()2,1--内恒成立，令2y x x=+，因为2y x x=+在(2,-内单调递增，在()1-内单调递减，所以2y x x =+在()2,1--内的值域为(3,--，所以3a ≤-或a ≥-，所以函数()g x 在()2,1--内单调时，a 的取值范围是(]),3⎡-∞-⋃-+∞⎣，故()g x 在()2,1--上不单调时，实数a 的取值范围是(3,--．【变式5-3】已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（）A．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意得29239(3)(23)()23,(0)x x x x f x x x x x x +-+-'=-+==>，令()0f x '=，解得32x =或3x =-（舍），当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 为减函数，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 为增函数，所以()f x 在32x =处取得极小值，所以3112m m -<<+，解得1522m <<，又()1,1m m -+为定义域的一个子区间，所以10m -≥，解得m 1≥，所以实数m 的取值范围是51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A题型六用导数求函数的极值【例6】函数2ln ()xf x x =的极大值为___________.【答案】12e【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()432ln 12ln x x x xf x x x -='-=，令()0f x '=解得x所以，()f x 在区间(()(),0,f x f x '>递增；在区间)()(),0,f x f x '+∞<递减；所以()f x 的极大值为12ef=.【变式6-1】已知函数2()(15)e x f x x =-（1）求()f x 在0x =处的切线的方程.（2）求()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）15150x y ++=；（2）增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，减区间()5,3-；（3）极大值为5(5)10e ,f --=极小值3(3)6e f =-.【解析】（1）因为2()(15)e x f x x =-，故可得()015f =-，()f x '()()()2e 215e 53x xx x x x =+-=+-，(0)f '15=-，故()f x 在0x =处的切线的方程为：1515y x +=-，即15150x y ++=.（2）因为()f x '()()e 53xx x =+-，令()f x '0>，解得()(),53,x ∈-∞-⋃+∞；令()f x '0<，解得()5,3x ∈-；则()f x 在(),5-∞-单调递增，在()5,3-单调递减，在()3,+∞单调递增，故()f x 的单调增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，单调减区间()5,3-，且()f x 的极大值为5(5)10e ,f --=()f x 的极小值为3(3)6e f =-.【变式6-2】设函数()233f x x x =--（1）求曲线()y f x =在4x =处的切线方程；（2）设()()e xg x f x =，求函数()g x 的极值．【答案】（1）5190x y --=；（2）极大值为27e -；极小值为33e -．【解析】（1）∵()233f x x x =--，∴()23f x x '=-∴切线的斜率()42435f '=⨯-=又切点的坐标为()()4,4f ，即()4,1∴切线的方程()154y x -=-，即5190x y --=（2）∵()()()2e e33x xg x f x x x =⋅=--⋅∴()()()()2223e 33e 6ex x xg x x x x x x '=-⋅+--⋅=--⋅令()0g x '=，则260x x --=，解得2x =-或3x =列表：x(),2-∞-2-()2,3-3()3,+∞()g x '正0负0正()g x 单调递增27e -单调递减33e -单调递增∴当2x =-时，()g x 取得极大值为27e -；当3x =时，()g x 取得极小值为33e -．【变式6-3】已知函数()2ln f x x a x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的极值点，并计算两个极值之和．【答案】（1）2a =，=5b -（2）极大值点为112x =，极小值点为22x =，极大值与极小值的和为334-【解析】（1）因为()2ln f x x a x bx =++的定义域为()0,∞+，()2a f x x b x'=++，因为，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=，()114f b =+=-，可得=5b -，()121f a b '=++=-，可得2a =.（2）由()()22ln 50f x x x x x =+->，得()()()2212225225x x x x f x x x x x---+'=+-==，列表如下：x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值点为112x =，极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值点为22x =，极小值为()22ln 26f =-，所以，函数()f x 的极大值和极小值为()133224f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.题型七由函数的极值求参数【例7】已知2x =是函数()323f x ax x a =-+的极小值点，则()f x 的极大值为（）A．3-B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为()323f x ax x a =-+，则()236f x ax x '=-，由题意可得()212120f a '=-=，解得1a =，()3231f x x x ∴=-+，()()32f x x x '=-，列表如下：x (),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值为()01f =.故选：C.【变式7-1】函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，那么a ，b 的值为（）A．4，11-B．3-，3C．4，11-或3-，3D．3，3【答案】A【解析】()232f x x ax b '=++，由题意可知()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，则232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，∴在1x =处不存在极值，不符合题意；②当411a b =⎧⎨=-⎩时，()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，符合题意．411a b =⎧∴⎨=-⎩，故选：A ．【变式7-2】已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B【变式7-3】已知()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A．()1,2-B．()3,6-C．()(),12,-∞-+∞D．()(),36,-∞-+∞U 【答案】D【解析】由()()3261f x x ax a x =++++可得()2326f x x ax a '=+++，因为()f x 有极大值和极小值，所以()23260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数根，所以()()224360a a ∆=-⨯⨯+>，即23180a a -->，解得：3a <-或6a >，所以a 的取值范围为()(),36,-∞-+∞U ，故选：D.【变式7-4】已知函数()ln ex axf x x x =+-有唯一的极值点t ，则()f t 的取值范围是（）A．[)2,-+∞B．[)3,∞-+C．[)2,+∞D．[)3,+∞【答案】A【解析】求导有()()1e e x x xf x ax x -'=+⋅，因为函数()ln e x axf x x x =+-有唯一的极值点t ，所以，()()1e 0ex x xf x ax x -'=+=⋅有唯一正实数根，因为()10f '=，所以e 0x ax +=在()0,x ∈+∞上无解，所以，e xa x -=在()0,x ∈+∞上无解，记()e xg x x =，则有()()2e 1x x g x x -'=，所以，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增．此时1x =时，()e xg x x=有最小值()1e g =，所以，e a -≤，即e a -≥，所以()()112ea f t f ==-≥-，即()f t 的取值范围是[)2,-+∞，故选：A题型八用导数求函数的最值【例8】函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（）A．1πB．2πC．-1D．0【答案】C【解析】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，可得()1sin 110f x x =+≥+'>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增，所以()()min 01f x f ==-.故选：C.【变式8-1】已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．【答案】（1）12a =，1b =；（2）2π+【解析】（1）因为()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，所以()sin f x a x '=-，由题意得()()0cos 01210sin 02f b b f a a ⎧=+=+=⎪⎨=-='=⎪⎩，所以12a =，1b =；（2）由（1）得()11cos 2f x x x =++，()1sin 2f x x '=-，因为[]02πx ∈，，当π06x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，当π5π66x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当5π2π6x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，故当6x π=时，函数取得极大值π1πππ1cos 16266122f ⎛⎫=⨯++=++ ⎪⎝⎭，又()02f =，()12π2π1cos 2π1π12π2f =⨯++=++=+，因为π212π12<+<+故函数()f x 在[]02π，上的最大值为2π+．【变式8-2】已知函数()321313f x x x x =-+++．（1）求()f x 的单调区间及极值；（2）求()f x 在区间[]0,6上的最值．【答案】（1）单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞；极小值23-；极大值10（2）最大值为10；最小值为17-【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()22331f x x x x x '=-++=--+．令()0f x '=，得=1x -或3x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-+-()f x 单调递减23-单调递增10单调递减故()f x 的单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞．当=1x -时，()f x 有极小值()213f -=-；当3x =时，()f x 有极大值()310f =．（2）由（1）可知，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,6上单调递减，所以()f x 在[]0,6上的最大值为()310f =．又()01f =，()617f =-，()()60f f <，所以()f x 在区间[]0,6上的最小值为()617f =-．【变式8-3】已知函数31()312f x x ax a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭．（1）若函数f （x ）在x =－1处取得极值，求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时．求函数f （x ）的最大值．【答案】（1）a =1；（2）答案见解析【解析】（1）由题意可知2()33f x x a '=-，所以(1)0f '-=，即3-3a =0解得a =1，经检验a =1，符合题意．所以a =1．（2）由（1）知2()33f x x a '=-，令()0f x '=，x =212<<即112a <<时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：由上可知，所以()f x 的最大值为21．当12≤<即14≤<a 时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：(21f =+，由上可知，所以f （x ）的最大值为21．2≥即4a ≥时，2()330f x x a '=-≤恒成立，即f （x ）在［－2，1]上单调递减，所以f （x ）的最大值为f （－2）=－7+6a ，综上所述，当142a <<时，f （x ）的最大值为21；当4a ≥时，f （x ）的最大值为－7+6a ．题型九由函数的最值求参数【例9】若函数32()52f x x x x =+--在区间(,5)m m +内有最小值，则实数m 的取值范围是（）A．(4,1)-B．(4,0)-C．[3,1)-D．(3,1)-【答案】C【解析】由题得，2()325(35)(1)f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '>，解得53x <-或1x >；令()0f x '<，解得531x <-<，所以()f x 在区间5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内单调递增，在区间5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，所以函数的极小值(1)5f ==-.若()f x 在区间(,5)m m +内有最小值，则极小值即最小值，所以15m m <<+，解得41m -<<，令()5f x =-，可得32530x x x +-+=，可得2(1)(3)0x x -+=，解得3x =-或1，由题得3m - ，综上31m -< .故选：C.【变式9-1】（多选）若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【解析】因为函数f (x )＝3x －x 3，所以()233f x x '=-，令()0f x '=，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，所以当=1x -时，()f x 取得极小值()12f =-，则21211a a ⎧-<-⎨>-⎩，解得1a -<<又因为()f x 在()1,+∞上递减，且()22f =-，所以2a ≤，综上：12a -<≤，所以实数a 的可能取值是0，1，2故选：ABC【变式9-2】已知函数()()()2e 21251x x x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，当(],x m ∈-∞时，()1,1e f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是__________．【答案】11,32e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】当1x ≤时，()()()1e 2xf x x =+-'，令()0f x '>，则ln21x <<或1x <-；()0f x '<，则1ln2x -<<，∴函数()f x 在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增，∴函数()f x 在=1x -处取得极大值为()111ef -=-，在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln21,e 3f f =-=-.当1x >时，令()1251e f x x =-≤-，解得1132ex <≤-综上所述，m 的取值范围为11,32e ⎡⎤--⎢⎣⎦【变式9-3】已知函数()ln a f x x x=-（1）若a ∈R ，求()f x 在定义域内的极值；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析；（2）a e 【解析】（1）由题意得()f x 的定义域是()0+∞，，且()2x af x x +'=，因为0a ≥，所以()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，无极值；当a<0，x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增，0x a <<-时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x a =-有极小值()ln 1a -+，无极大值；（2）由（1）可得()2x af x x +'=，因为[]1,e x ∈，①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()()min 312f x f a ==-=，所以32a =-（舍去）；②若e a -≤，则0x a +≤，即()0f x '≤在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()()min 3e 1e 2a f x f ==-=，所以e2a =-（舍去）．③若e<1a -<-，令()0f x '=，得x a =-，当1x a <<-时，()0f x '<，所以()f x 在()1,a -上单调递减；当e a x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在(),e a -上单调递增，所以()()()min 3ln 12f x f a a =-=-+=，所以a =a =题型十造法解函数不等式【例10】设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()()R 1e f x f x x f <∈'=，，则不等式(ln )f x x >的解集为__________．【答案】(0,e)【解析】令()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x '-=''-=，()()f x f x '<，()0g x '∴<，()()e xf xg x ∴=在R 上单调递减，由(ln )f x x >可得ln (ln )(ln )(1)1e ex f x f x f x =>=，即(ln )(1)g x g >，ln 1x ∴<，解得0e x <<.故不等式的解集为(0,e).【变式10-1】已知定义在R 上的连续偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（）A．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．13,22⎛⎫⎪⎝⎭C．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】当0x >时，()()()()()()0xf x f x xf x f x f x xxx''+'+==<，∴()()0xf x '<，令()()g x xf x =，∴()g x 在()0,∞+上单调递减，又()y f x =是定义在R 上的连续偶函数，∴()g x 是R 上的奇函数，即()g x 在R 上单调递减，∵(2)3f =-，∴()26g =-，当210x ->，即12x >时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒--<-⇒-<--，∴22123x x ⇒>->；当210x -<，即12x <时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒-->-⇒->--，∴22123x x ⇒<-<，则12x <.故不等式6(21)21f x x --<-的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【变式10-2】已知函数()f x 是定义在()()-00+∞∞，，的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A．()()33-∞-⋃+∞，，B．()()3003-⋃，，C．()()3007-⋃，，D．()()327-∞-⋃，，【答案】D 【解析】令()()=f xg x x，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，∴当()0x ∈+∞，时，()()()2=<0xf x f x g x x -''，()g x ∴在()0+∞，上单调递减；又()f x 为()()-00+∞∞，，的奇函数，()()()()()====f x f x f x g x g x x x x--∴---，即()g x 为偶函数，()g x ∴在()0-∞，上单调递增；又由不等式()()()52+25<0f x x f --得()()()52<25f x x f --，当20x ->，即2x <时，不等式可化为()()25<25f x f x --，即()()2<5g x g -，由()g x 在()0+∞，上单调递减得2>5x -，解得3x <-，故3x <-；当20x -<，即2x >时，不等式可化为()()25>25f x f x --，即()()()2>5=5g x g g --，由()g x 在()0-∞，上单调递增得2>5x --，解得7x <，故27x <<；综上所述，不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为：()()327-∞-⋃，，．故选：D．【变式10-3】定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，且()()1010ln 10ef =，则不等式()e e x xf x >+的解集为（）A．()10,+∞B．()ln10,+∞C．()ln 5,+∞D．(),5-∞【答案】B【解析】令()()ln g x f x x x =--，因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，所以()()()1110xf x x g x f x xx'--''=--=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()()1010ln 10e10ln10f ==+，所以(10)0g =，所以不等式()e e xxf x >+可转化为()()0e e exxxg f x =-->，即())e (10xg g >，所以e x ＞10，所以x ＞ln10，所以不等式()e e x xf x >+的解集为()ln10,+∞.故选：B.题型十一导数与函数零点的综合问题【例11】已知函数()e 2axf x x =-()a ∈R ，()cosg x x =.（1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，判断函数()()()F x f x g x =-在3π,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）两个【解析】（1）由()e 2ax f x x =-知定义域为R ，()e 2axf x a '=-①当0a ≤时，在R 上()0f x '<，故()f x 单调递减，所以无极值.②当0a >时，由e 20ax a -=得:12ln x a a=，当12,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<当12ln ,x a a∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 有极小值为2ln 121222ln 2ln 1ln a f e a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）当1a =时，()e 2cos x F x x x =--，()e 2sin xF x x =-+'，当3π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()F x '单调递增，且()01210F =-=-<'，π2πe 2102F ⎛⎫='-+> ⎪⎝⎭，故在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在0x 使得0()0F x '=，而当π,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0F x '>.所以()F x 在03π,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且3π23πe 3π>02F -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()00F =，所以()00F x <，又()ππe 2π+1>0F =-，故由零点的存在性定理()F x 在03,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在一个零点，在0(,)x +∞上也存在一个零点.所以()F x 在3,2π∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有两个零点.【变式11-1】若函数()36f x x x m =-+恰有2个不同的零点，则实数m 的值是_________.【答案】-【解析】因为()36f x x x m =-+恰有2个不同零点，故函数()316f x x x =-与()2f x m =-，恰有2个交点，对于()316f x x x =-，()2136f x x '=-，由()10f x '>，得2x 或2x <-，由()10f x '<，得22x -<所以当x 变化时()1f x '，()1f x 变化如下：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()1f x '+0-+()1f x 极大值极小值因为1f x 与()2f x 恰有两个交点，又()122222f =-，(22f -=故12m f -=，或(12m f -=-，所以2m =42m =-【变式11-2】已知函数()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩，若函数()y f x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】当0x ≤时，()3233f x x x x =++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，在0x ≤上恒成立，且在=1x -时，等号成立，所以()3233f x x x x =++在0x ≤上单调递增，且()00f =，当0x >时，()()ln 1f x x =-+单调递减，且()ln 010-+=，函数()y f x ax =-恰有三个零点，可转化为函数()y f x =与y ax =有三个交点，画出()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩的图象，所图所示：设直线y ax =与()3233f x x x x =++，0x ≤相切时切点为()32,33A m m m m ++，则()()231f m m a '=+=，又根据斜率公式可得：3223333m m ma m m m++==++，所以()223133m m m +=++，解得：0m =或32-，当0m =时，3a =，当32m =-时，2333124a ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以要想函数()y f x =与y ax =有三个交点，直线斜率要介于两切线斜率之间，故3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【变式11-3】已知函数2()ln (1)f x x a x x a =-+++．（1）若0a =，求()f x 的极大值；（2）若()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(1,0)-．【解析】（1）当0a =时，2()ln f x x x x =-+，且0x >则1(21)(1)()21x x f x x xx'+-=-+=-．当(0,1)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 的极大值为2(1)ln1110f =-+=．（2）由题意得212(1)1()2(1)1a x x f x a x x x-+++=++='-当1a ≤-时，()0f x '>对1x ≥恒成立，所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．当1a >-时，令22(1)10a x x -+++=，得12110,04(1)4(1)x a x a =<=>++，若21x ≤，即0a ≥时，()0f x '≤对1x ≥恒成立，()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．若21x >，即10a -<<时，()f x 在区间[)21,x 上单调递增，在区间[)2,x +∞上单调递减．令()ln 1,1g x x x x =-->，则1()0xg x x-'=<，所以()g x 在区间[1,)+∞上单调递减，所以()(1)20g x g ≤=-<，即ln 1x x <+，所以2()(1)21f x a x x a <-++++，其中1(1)0a -<-+<，因为函数2(1)21y a x x a =-++++的图像开口向下，所以01x ∃>，使()00f x <，即()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1,0)-．题型十二导数与不等式综合问题【例12】已知函数1()e (1)x f x x -=-+．（1）求()f x 的极值；（2）设()()11f x g x x =++，求证：当1x ≥时，1()4x g x +≥．【答案】（1）极小值1-，无极大值；（2）证明见解析【解析】（1）1()e 1x f x -'=-，由()0f x '=得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所示：x(,1)-∞1(1,)+∞()f x '-0+()f x ↙极小值↗由上表可知()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =-，无极大值．（2）1e ()1x g x x -=+，令21(1)()(1)4ex x h x x -+=≥，22112(1)(1)1()04e 4ex x x x x h x --+-+-'==≤，所以()h x 在[1,)+∞单调递减，所以当1x ≥时，()(1)1h x h ≤=．所以当1x ≥时，21(1)14e x x -+≤，即1e 114x x x -+≥+，故当1x ≥时，1()4x g x +≥．【变式12-1】已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-（1）求()f x 在()()e,e f 处的切线方程（2）若存在[]1,e x ∈时，使()()2f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2e y x =-；（2）32e ea £++【解析】（1）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，所以切线的斜率()e 2k f '==，()e e f =．所以()f x 在()()e,e f 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；（2）令()()()20l 223n h x x f x g x x ax x =+-=-+³，则max32ln a x x x ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦，令()32ln x x x xj =++，[]1,e x ∈，在[]1,e x ∈上，()()()2130x x x x -+¢j =，()x ϕ∴在[]1,e 上单调递增，()()max 3e 2e +ex \j =j =+，32e ea \£++．【变式12-2】已知函数()ln 1(R)f x a x x a =-+∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意的12,(0,1]x x ∈，当12x x <时都有121211()()4f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减；（2）[3,)-+∞【解析】（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x xx'-=-=．当0a >时，由()0f x '<，解得：x a >，由()0f x '>，解得：0x a <<．即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．（2）121211()()4()f x f x x x -<-，即()()121244f x f x x x -<-．令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增．所以2244()()10a g x f x x x x ''=+=-+≥在(0,1]上恒成立．即4a x x ≥-在(0,1]上恒成立，只需max 4()a x x ≥-，设4y x x=-，2410y x '=+>，∴4y x x=-在(0,1]单调递增．所以max 4(143a x x≥-=-=-．综上所述，实数a 的取值范围为[3,)-+∞．【变式12-3】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =+++，a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式()21e 12x f x x ax ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],0-∞【解析】（1）函数()()21ln 12f x x ax a x =+++的定义域为()0,∞+，所以()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x++++'+=+++==.当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；。

新教材2022-2023学年苏教版选择性必修第一册第5章导数及其应用 5

5.1~5.3综合拔高练五年高考练考点1导数的运算法则及其几何意义1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=a e x+x ln x在点(1,a e)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-12.(2019课标全国Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.3.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.考点2 函数的导数与单调性4.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()5.(2019北京,13,5分,)设函数f(x)=e x+a e-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a = ;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是 .6.(2020全国Ⅰ,20,12分,)已知函数f (x )=e x -a (x +2).(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.考点3 函数的导数与极值、最值 7.(2019天津,8,5分,)已知a ∈R .设函数f (x )={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为 ( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e] 8.(2018江苏,11,5分,)若函数f (x )=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 .9.(2018课标全国Ⅰ,16,5分,)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.10.(2017课标全国Ⅰ,16,5分,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F 为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA, △FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.11.(2020全国Ⅲ,21,12分,)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点(12, f(12))处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.12.(2020新高考Ⅰ,21,12分,)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a. (1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.三年模拟练应用实践1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ()A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)B.f(x)的极大值为f(√3),极小值为f(-√3)C.f (x )的极大值为f (-3),极小值为f (3)D.f (x )的极大值为f (-√3),极小值为f (√3) 2.(2021安徽皖江名校联盟高三上联考,)从一张圆形铁板上沿两条半径剪下一个扇形,将其制成一个无底的圆锥容器,当容器容积最大时,该扇形的圆心角是 ( ) A.23π B.πC.2√33π D.2√63π 3.(多选)[2021新高考八省(市)1月联考,]已知函数f (x )=x ln(1+x ),则 ( )A.f (x )在(0,+∞)上单调递增B.f (x )有两个零点C.曲线y =f (x )在点(-12,f (-12))处切线的斜率为-1-ln 2D.f (x )是偶函数4.(多选)[2021新高考八省(市)1月联考,]设函数f (x )=cos2x2+sinxcosx,则 ( )A.f (x )=f (x +π)B.f (x )的最大值为12C.f (x )在(-π4,0)上单调递增D.f (x )在(0,π4)上单调递减5.(多选)(2021江苏扬州大学附中高三上月考,)设f'(x )为函数f (x )的导函数,已知x 2f'(x )+xf (x )=ln x ,f (1)=12,则下列结论不正确的是 ( )A.xf (x )在(0,+∞)上单调递增B.xf (x )在(1,+∞)上单调递增C.xf (x )在(0,+∞)上有极大值12D.xf (x )在(0,+∞)上有极小值126.(2021江苏南京江浦高级中学高三上月考,)直线l :y =kx +b 是曲线f (x )=ln(x +1)和曲线g (x )=ln(e 2x )的公切线,则b = ( ) A.2 B.12C.ln e2D.ln 2e7.(多选)(2021江苏扬州中学高二上开学检测,)已知函数f (x )=(x 2-1)2-|x 2-1|+k ,给出下列四个命题,其中是真命题的有( )A.存在实数k ,使得函数恰有2个不同的零点B.存在实数k ,使得函数恰有6个不同的零点C.存在实数k ,使得函数恰有5个不同的零点D.存在实数k ,使得函数恰有8个不同的零点 8.(2021江西上饶高三上第三次月考,)设函数f (x )={(x -a )2+e ,x ≤2,x lnx+a +10,x >2(e 是自然对数的底数),若f (2)是函数f (x )的最小值,则a 的取值范围是 .9.(2020江苏连云港海头高级中学高二月考,)已知函数f (x )={(2a -1)x +3a -4,x ≤t ,x 3-x ,x >t ,无论t 取何值,函数f (x )在区间(-∞,+∞)上总是不单调,则实数a 的取值范围是 . 10.(2021浙江宁波北仑中学高二上期中,)f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)是其导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式f(x)>x2的解集为.11.(2021江苏徐州一中、兴化中学高三上联考,)已知函数f(x)=lnax2+1.x-12(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,设函数f(x)的两个零点为x1,x2,试证明:x1+x2>2.12.(2020江苏苏州中学高二月考,)已知OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45°方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则曲线C符合函数模型y=x+4√2(x>0).为方便游客观光,拟过曲线C上的某点P分别修建与公x2路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,设PM=x百米,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元.(1)求f(x)的解析式;(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.迁移创新13.(2020浙江嘉兴高三上期末,)已知函数f(x)=a ln x+bx+c(a≠0)有极小值.(1)试判断a,b的符号,并求f(x)的极小值点;(2)设f(x)的极小值为m,求证:m+a<4ac-b 24a.5.1~5.3综合拔高练五年高考练1.D ∵y'=a e x+ln x +1,∴y'|x =1=a e+1,∴2=a e+1,∴a =e -1.∴切点为(1,1), 将(1,1)代入y =2x +b ,得1=2+b , ∴b =-1,故选D . 2.答案 y =3x解析 ∵y'=3(x 2+3x +1)e x,∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k =y'|x =0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y =3x. 3.答案 (e,1)解析设A (x 0,y 0),由y'=1x ,得k =1x 0,所以在点A 处的切线方程为y -ln x 0=1x 0(x -x 0).因为切线经过点(-e,-1),所以-1-ln x 0=1x 0(-e-x 0).所以ln x 0=ex 0,令g (x )=ln x -ex(x >0),则g'(x )=1x +ex2,则g'(x )>0,∴g (x )在(0,+∞)上为增函数.又g (e)=0,∴ln x =ex 有唯一解x =e .∴x 0=e .∴点A 的坐标为(e,1).方法总结求曲线y =f (x )过点(x 1,y 1)的切线问题的一般步骤:①设切点为(x 0, f (x 0)); ②求k =f '(x 0);③得出切线的方程为y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0);④由切线经过已知点(x 1,y 1)求得x 0,进而得出切线方程.4.D 令y =f (x )=-x 4+x 2+2.∵f (x )=-x 4+x 2+2,∴f '(x )=-4x 3+2x ,令f '(x )>0,解得x <-√22或0<x <√22,此时, f (x )递增;令f '(x )<0,解得-√22<x <0或x >√22,此时,f (x )递减.由此可得f (x )的大致图象.故选D . 5.答案 -1;(-∞,0]解析 ∵f (x )=e x +a e -x为奇函数, ∴f (-x )+f (x )=0,即e -x +a e x +e x +a e -x=0,∴(a +1)(e x +e -x)=0,∴a =-1. ∵f (x )是R 上的增函数, ∴f '(x )≥0恒成立, ∴e x -a e -x ≥0,即e 2x -a ≥0,∴a ≤e 2x ,又∵e 2x>0,∴a ≤0.当a=0时, f(x)=e x是增函数,满足题意,故a≤0.易错警示当f'(x)>0时, f(x)为增函数,而当f(x)为增函数时, f'(x)≥0恒成立,不能漏掉等于0,但要检验f'(x)=0时得到的参数a是否满足题意.6.解析(1)当a=1时,f(x)=e x-x-2,则f'(x)=e x-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)f'(x)=e x-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若0<a≤1e,则f(ln a)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上至多存在1个零点,不合题意.(ii)若a>1e,则f(ln a)<0.由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)上存在唯一零点.由(1)知,当x>2时,e x-x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e x2·ex2-a(x+2)>e ln(2a)·(x2+2)-a(x+2)=2a>0.故f(x)在(ln a,+∞)上存在唯一零点.从而f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.综上,a的取值范围是(1e,+∞).方法总结已知函数的零点求参数的取值范围的方法:(1)利用零点存在性定理构建不等式(组)求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式(组)求解.(4)利用导数研究函数的图象和性质,由函数零点的个数,判断函数的极值大于零还是小于零,从而建立关于参数的不等式(组)求解.7.C(1)当x≤1时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,①若a>1,则f(x)在(-∞,1]上是减函数,∴f(x)≥f(1)=1>0恒成立;②若a≤1,则f(x)≥f(a)=2a-a2,要使f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,只需2a-a2≥0,得0≤a≤2,∴0≤a≤1,综合①②可知,a≥0时, f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立.(2)当x>1时,ln x>0, f(x)=x-a ln x≥0恒成立,即a≤xlnx恒成立.令g(x)=xlnx ,g'(x)=lnx-1(lnx)2,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x)min=g(e)=e,∴a≤e.综合(1)(2)可知,a的取值范围是0≤a≤e,故选C.解后反思求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a在R上恒成立⇔f (x )min ≥a , f (x )≤a 在R 上恒成立⇔f (x )max ≤a ;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围. 8.答案 -3解析 ∵f (x )=2x 3-ax 2+1,∴f '(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ).若a ≤0,则x >0时, f '(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数,又f (0)=1,∴f (x )在(0,+∞)上没有零点,∴a >0.当0<x <a3时, f '(x )<0, f (x )为减函数;当x >a3时, f '(x )>0, f (x )为增函数,∴x >0时, f (x )有极小值,为f (a3)=-a 327+1.∵f (x )在(0,+∞)内有且只有一个零点, ∴f (a3)=0,∴a =3.∴f (x )=2x 3-3x 2+1,则f '(x )=6x (x -1).x -1 (-1,0) 0(0,1) 1 f '(x ) + - f (x ) -4 增1 减 0∴f (x )在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4. ∴最大值与最小值的和为-3. 9.答案 -3√32解析解法一:由f (x )=2sin x +sin 2x ,得f '(x )=2cos x +2cos 2x =4cos 2x +2cos x -2, 令f '(x )=0,得cos x =12或cos x =-1,可得当cos x ∈(-1,12)时, f '(x )<0, f (x )为减函数;当cos x ∈(12,1)时, f '(x )>0, f (x )为增函数,∴当cos x =12时, f (x )取最小值,此时sin x =±√32.又∵f (x )=2sin x +2sin x cos x =2sin x (1+cos x ),1+cos x ≥0恒成立,∴f (x )取最小值时,sin x =-√32, ∴f (x )min =2×(-√32)×(1+12)=-3√32. 解法二: f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x +2sin x cos x =2sin x (1+cos x ),∴f 2(x )=4sin 2x (1+cos x )2=4(1-cos x )·(1+cos x )3.令cos x =t ,t ∈[-1,1],设g (t )=4(1-t )(1+t )3,∴g'(t )=-4(1+t )3+12(1+t )2(1-t )=4(1+t )2(2-4t ). 当t ∈(-1,12)时,g'(t )>0,g (t )为增函数;当t ∈(12,1)时,g'(t )<0,g (t )为减函数.∴当t =12时,g (t )取得最大值274,即f 2(x )的最大值为274,得f (x )的最大值为3√32,又f (x )=2sinx +sin 2x 为奇函数,∴f (x )的最小值为-3√32.解法三:∵f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x (1+cos x )=8sin x 2cos 3x2.∴f 2(x )=64·sin 2x 2·cos 2x 2·cos 2x 2·cos 2x2 =643·3sin 2x 2·cos 2x 2·cos 2x 2·cos 2x2 ≤6433sin 2x2+cos 2x2+cos 2x2+cos 2x244=274.当且仅当3sin 2x2=cos 2x2,即sin 2x 2=14,cos 2x2=34时等号成立,∴f 2(x )的最大值为274,则f (x )的最大值为3√32,又f (x )=2sin x +sin 2x 为奇函数,∴f (x )的最小值为-3√32.10.答案 4√15解析解法一:由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO 并延长交AB 于H ,连接DO 、DH ,则DO ⊥平面ABC.令OH =x cm,则OC =2x cm,DH =(5-x )cm,得OD =√(5-x )2-x 2=√25-10x cm,AB =2√3x cm .则V D -ABC =1312·2√3x ·3x ·√25-10x=√3x 2·√25-10x =√15x 2√5-2x cm 3,令f (x )=√15x 2√5-2x , 则f '(x )=√152x √5-2x +x 2·-1√5-2x=√15(10x -5x 2)√5-2x,则当x ∈(0,2)时, f (x )单调递增,当x ∈(2,2.5)时, f (x )单调递减,所以当x =2时,体积取最大值,为√3×4×√5=4√15 cm 3.解法二:由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,设△ABC 的边长为a (a >0)cm,则△ABC 的面积为√34a 2 cm 2,△DBC的高为(5-√36a)cm,则正三棱锥的高为√(5-√36a)2-(√36a)2=√25-5√33a cm, ∴25-5√33a >0, 所以0<a <5√3,所以所得三棱锥的体积V =13×√34a 2×5√33=√312×-5√33cm 3.令t =25a 4-5√33a 5,0<a <5√3,则t'=100a 3-25√33a 4,令t'=0,得a =4√3,此时所得三棱锥的体积最大,为4√15 cm 3.11.解析 (1)f '(x )=3x 2+b. 依题意得f '(12)=0,即34+b =0.故b =-34.(2)证明:由(1)知f (x )=x 3-34x +c , f '(x )=3x 2-34.令f '(x )=0, 解得x =-12或x =12.f '(x )与f (x )的情况为x -∞,-12 -12-12,12 12 12,+∞ f '(x ) + 0- 0+ f (x )↗c +14↘c -14↗因为f (1)=f (-12)=c +14,所以当c <-14时, f (x )只有大于1的零点.因为f (-1)=f (12)=c -14,所以当c >14时, f (x )只有小于-1的零点.由题设可知-14≤c ≤14. 当c =-14时, f (x )只有两个零点-12和1.当c =14时, f (x )只有两个零点-1和12.当-14<c <14时, f (x )有三个零点x 1,x 2,x 3,且x 1∈(-1,-12),x 2∈(-12,12),x 3∈(12,1). 综上,若f (x )有一个绝对值不大于1的零点,则f (x )所有零点的绝对值都不大于1. 12.解析 f (x )的定义域为(0,+∞),f '(x )=a e x -1-1x .(1)当a =e 时,f (x )=e x-ln x +1,f '(1)=e-1,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -(e+1)=(e-1)(x -1),即y =(e-1)x +2. 直线y =(e-1)x +2在x 轴,y 轴上的截距分别为-2e -1,2.因此所求三角形的面积为2e -1.(2)当0<a <1时,f (1)=a +ln a <1.当a =1时,f (x )=e x -1-ln x ,f '(x )=e x -1-1x .当x ∈(0,1)时,f '(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f '(x )>0.所以当x =1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1,从而f (x )≥1.当a >1时,f (x )=a e x -1-ln x +ln a ≥e x -1-ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,+∞).三年模拟练1.A 结合题中图象列表如下:x (-∞, -3) -3 (-3, 0)0 (0,3) 3(3, +∞) xf'(x ) + 0 - 0 + 0 - f'(x ) - 0 + + 0- f (x ) ↘ 极小值↗ ↗ 极大值↘由表知,A 正确,故选A. 2.答案 D信息提取 (1)将一张圆形铁板上沿两条半径剪下的扇形制成一个无底的圆锥容器;(2)求容器容积最大时,扇形的圆心角.数学建模本题以生活中制作的圆锥容器为背景,构建函数模型,借助导数研究圆锥容积的最值,在解题过程中可画出草图,通过图形直观地探求解题思路.设圆锥的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,圆形铁板的半径为R ,得到r 2+h 2=R 2,写出体积的表达式,利用导数求出体积的最大值,得到结果.解析设圆锥的底面半径为r ,高为h ,圆形铁板的半径为R ,如图,则r 2+h 2=R 2, 设圆锥的体积为V ,则V =13πr 2h =13π(R 2-h 2)h =13π(R 2h -h 3),则V 关于h 的导数V'=13π(R 2-3h 2),令V'=0,得h 2=13R 2,易知当h =√33R 时,圆锥的体积最大,此时r =√63R ,α=2πr R =2√63π,故选D.3.AC 对于选项A,∵f (x )=x ln(1+x ),∴f '(x )=ln(1+x )+xx+1,当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0恒成立,因此f (x )在(0,+∞)上单调递增,故A 正确;对于选项B,令f (x )=x ln(1+x )=0,可得x =0或ln(1+x )=0,解得x =0,故B 不正确; 对于选项C,∵f '(x )=ln(1+x )+x 1+x,∴f '(-12)=ln 12-1=-ln 2-1,故C 正确;对于选项D,由于f (x )的定义域为(-1,+∞),定义域不关于原点对称,故D 不正确. 4.AD f (x +π)=cos [2(x+π)]2+sin (x+π)cos (x+π)=f (x ), 故A 正确; 令2cos2x 4+sin2x=m ,则m sin 2x -2cos 2x =-4m ,故√m 2+4sin(2x +θ)=-4m ,其中sin θ=√m 2+4,cos θ=√m 2+4,∴|√m 2+4|≤1⇒m 2≤415,故-2√1515≤m ≤2√1515,∴f (x )max =2√1515,故B 错误;f '(x )=-4sin2x (4+sin2x )-2cos2x ·2cos2x(4+sin2x )2=-16sin2x -4(4+sin2x )2,令φ(x )=-16sin 2x -4,则φ(x )在(-π4,0)上单调递减,且φ(-π4)=12>0,φ(0)=-4<0, ∴存在唯一的x 0∈(-π4,0)使φ(x 0)=0,且当-π4<x <x 0时,φ(x )>0, f '(x )>0, f (x )单调递增,当x 0<x <0时,φ(x )<0,f '(x )<0,f (x )单调递减,故C 错误;f '(x )=-16sin2x -4(4+sin2x )2<0在(0,π4)上恒成立,∴f (x )在(0,π4)上单调递减,故D 正确. 故选AD .5.AC 由x 2f'(x )+xf (x )=ln x 得x >0,则xf'(x )+f (x )=lnx x,即[xf (x )]'=lnx x,设g (x )=xf (x )(x >0),则g'(x )=lnx x ,令g'(x )>0,得x >1,令g'(x )<0,得0<x <1,即g (x )=xf (x )在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,故当x =1时,函数g (x )=xf (x )取得极小值,极小值为g (1)=f (1)=12.故选AC.6.C 设直线l 与曲线f (x )=ln(x +1)相切于点A (x 1,y 1),直线l 与曲线g (x )=ln(e 2x )相切于点B (x 2,y 2),∵f (x )=ln(x +1), ∴f'(x )=1x+1,由f'(x 1)=1x1+1=k ,可得x 1=1-k k,则y 1=f (x 1)=ln(x 1+1)=-ln k ,即点A (1-k k,-lnk),将点A 的坐标代入直线l 的方程可得-ln k =k ·1-kk +b ,可得b =k -ln k -1①,∵g (x )=ln(e 2x )=2+ ln x ,∴g'(x )=1x ,由g'(x 2)=1x 2=k ,可得x 2=1k ,则y 2=g (x 2)=2-ln k ,即点B (1k,2-lnk),将点B 的坐标代入直线l 的方程可得2-ln k =k ·1k+b =b +1,∴b =1-ln k ②,联立①②可得k =2,b =1-ln 2=ln e2.故选C.7.ACD 令(x 2-1)2-|x 2-1|+k =0,得-k =(x 2-1)2-|x 2-1|,令g (x )=(x 2-1)2-|x 2-1|,当x ≤-1或x ≥1时,g (x )=x 4-3x 2+2,当-1<x <1时,g (x )=x 4-x 2.当0≤x <1时,由g (x )=x 4-x 2,得g'(x )=4x 3-2x =2x (2x 2-1),当x ∈(0,√22)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(√22,1)时,g'(x )>0,g (x )单调递增,所以g (x )有极小值,为g (√22)=-14,当x ≥1时,由g (x )=x 4-3x 2+2,得g'(x )=4x 3-6x =2x (2x 2-3), 当x ∈(1,√62)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(√62,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增,g (x )有极小值,为g (√62)=-14.易知g (x )为偶函数,所以可作出函数g (x )的大致图象如图所示:由图可知,直线y =-k 与y =g (x )的图象可以是2、4、5、8个交点.即存在实数k ,使得函数恰有2、4、5、8个不同的零点.故选ACD. 8.答案 [2,6]解析当x ≤2时,函数f (x )的图象的对称轴为直线x =a ,∵f (2)是函数f (x )的最小值,∴a ≥2.当x >2时,f (x )=xlnx +a +10,f'(x )=lnx -1ln 2x,令f'(x )=0,得x =e,当x ∈(2,e)时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减,当x ∈(e,+∞)时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增,∴f (e)是函数的极小值,∵f (2)是函数f (x )的最小值,∴f (e)≥f (2),即f (e)=e+a +10≥(2-a )2+e,解得-1≤a ≤6. 综上,2≤a ≤6. 9.答案 (-∞,12]解析对于函数f (x )=x 3-x ,其导数为f'(x )=3x 2-1,当x <-√33或 x >√33时,f'(x )>0,当-√33<x <√33时,f'(x )<0,所以f (x )一定存在单调递增区间,若无论t 取何值,函数f (x )在区间(-∞,+∞)总是不单调,则f (x )=(2a -1)x +3a -4不能为增函数,所以2a -1≤0 ,解得a ≤12. 10.答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析构造函数g (x )=f (x )x 2,该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为函数f (x )为偶函数,所以g (-x )=f (-x )(-x )2=f (x )x 2=g (x ),所以函数g (x )为偶函数.易得g'(x )=x 2f '(x )-2xf (x )x 4=xf '(x )-2f (x )x 3,当x >0时,xf'(x )-2f (x )>0,则g'(x )>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上为增函数, 因为f (1)=1,所以g (1)=f (1)12=1,由f (x )>x 2可得f (x )x 2>1,即g (x )>g (1),所以g (|x |)>g (1),所以|x |>1,解得x <-1或x >1.因此,不等式f (x )>x 2的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 11.解析 (1)易得函数f (x )的定义域为(0,+∞). 对函数f (x )求导得f'(x )=1x -ax.当a ≤0时,f'(x )>0恒成立,即f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,令f'(x )>0,得0<x <√aa, 令f'(x )<0,得x >√aa , 故f (x )在(0,√a a )上单调递增,在(√aa,+∞)上单调递减.综上,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,f (x )在(0,√aa)上单调递增,在(√aa ,+∞)上单调递减.(2)证明:当a =1时,f (x )=ln x -12x 2+1,f'(x )=1x-x =1-x 2x,此时f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f (x )极大值=f (1)=12>0,又f (1e )<0,f (e)<0,不妨设x 1<x 2,则有0<x 1<1<x 2,令F (x )=f (x )-f (2-x ),x ∈(0,1), 则F'(x )=f'(x )+f'(2-x )=1-x 2x+1-(2-x )22-x=2(1-x )2x (2-x ).当x ∈(0,1)时,F'(x )>0,F (x )单调递增,∵x 1∈(0,1),∴F (x 1)=f (x 1)-f (2-x 1)<F (1)=0,∴f (x 1)<f (2-x 1), 又∵f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (x 2)<f (2-x 1),∵x 2>1,2-x 1>1,f (x )在(1,+∞)上单调递减, ∴x 2>2-x 1,即x 1+x 2>2.12.解析 (1)由题意可设点P 的坐标为(x ,x +4√2x 2)(x >0), 易得直线OB 的方程为x -y =0, 则点P 到直线x -y =0的距离为|x -(x+4√2x 2)|√2=|4√2x 2|√2=4x2,因为PM 的造价为5万元/百米,PN 的造价为40万元/百米, 所以f (x )=5x +40·4x 2=5(x +32x 2)(x >0).(2)因为f (x )=5(x +32x 2)(x >0), 所以f'(x )=5(1-64x3)=5(x 3-64)x 3,令f'(x )=0,得x =4,列表如下:x (0,4) 4 (4,+∞) f'(x ) - 0 + f (x )单调递减极小值单调递增所以当x =4时,函数f (x )有极小值,也是最小值,最小值为f (4)=5×(4+3242)=30. 故当x =4时,总造价最低,最低造价为30万元.13.解析 (1)由题意得, f'(x )=a x+b =a+bx x,x >0.∵函数f (x )=a ln x +bx +c (a ≠0)有极小值,∴b >0,a <0, f (x )的极小值点为-a b. (2)证明:由(1)知,m =f (-ab ),m +a -4ac -b 24a =f (-ab )+a -4ac -b 24a=a ln (-ab )-a +c +a -c +b 24a =a ln (-ab )+b 24a=a [ln (-ab )+14(b a )2]. 令-ab =t ,g (t )=ln t +14t 2,t >0,则g'(t )=1t -12t 3=2t 2-12t 3.令g'(t )=0,得t =√22(负值舍去), ∴g (t )在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增,∴g (t )≥g (√22)=ln (√22)+12>0. ∵a <0,∴ag (t )<0, ∴m +a <4ac -b 24a.解题模板利用构造法解决含有两个变量的不等式问题时,常将两个变量化为同一形式,将此形式用一个新的变量表示,通过换元构造一个新的函数,进而解决问题.如本题中:a ln (-ab )+b 24a =a ln (-ab )+14(b a )2,将两变量a 、b 化为-ab的形式,构造函数解决问题.。

导数及其应用五年(2018-2022)高考数学真题专项汇编卷

考点三：导数及其应用——五年（2018-2022）高考数学真题专项汇编卷新高考版1.【2019年北京卷】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-2.【2022年新高考Ⅰ卷】（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则( )A.(0)0f =B.102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.(1)(4)f f -=D.(1)(2)g g -=3.【2022年新高考Ⅱ卷】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，_________.4.【2018年江苏卷】若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．5.【2021年新高考Ⅰ卷】已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e ab<+<. 6.【2021年新高考Ⅱ卷】已知函数2()(1)e x f x x ax b =--+. （1）讨论()f x 的单调性.（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21e 22a <≤，2b a >； ②102a <≤，2b a ≤.7.【2020年天津卷】已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数. （1）当6k =时：（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值.（2）当3k ≥-时，求证：对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8.【2020年北京卷】已知函数2()12f x x =-.（1）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（2）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值.9.【2019年浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 1,0.f x a x x x +>(1).当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2).对任意21[,)ex ∈+∞均有()2x f x a ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.10.【2018年北京卷】设函数2(){(41)43}x f x ax a x a e =-+++ (1).若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行,求a (2).若f ()x 在2x =处取得极小值,求a 的取值范围答案以及解析1.答案：A解析：依题意，126.7m =-，2 1.45m =-，所以125lg1.45(26.7)25.252E E =---=，所以122lg25.2510.15E E =⨯=，所以10.11210E E =.故选A. 2.答案：BC解析：通解（转化法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，3535222424f f ⎛⎫⎛⎫-⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(1)(4)f f -=，所以C 正确；因为(2)g x +为偶函数，所以(2)(2)g x g x +=-，函数()g x 的图象关于直线2x =对称，因为()()g x f x '=，所以函数()g x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()g x 的周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因为(1)(4)f f -=，所以(1)(4)f f ''-=-，即(1)(4)(2)g g g -=-=-，所以D 不正确；因为332222f f ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1722f f ⎛⎫⎛⎫''-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1711(22)2222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以B 正确；不妨取()1()f x x =∈R ，经验证满足题意，但(0)1f =，所以选项A 不正确.综上，选BC. 光速解（特例法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，函数()g x 的图象关于直线2x =对称.取符合题意的一个函数()1()f x x =∈R ，则(0)1f =，排除A ；取符合题意的一个函数()sin f x x =π，则()cos f x x '=ππ，即()cos g x x =ππ，所以(1)cos()g -=π-π=-π，(2)cos2g =ππ=π，所以(1)(2)g g -≠，排除D.故选BC.3.答案：1e y x =，1ey x =-解析：先求当0x >时，曲线ln y x =过原点的切线方程，设切点为()00,x y ，则由1y x'=，得切线斜率为01x ，又切线的斜率为00y x ，所以0001yx x =，解得01y =，代入ln y x =，得0e x =，所以切线斜率为1e ，切线方程为1e y x =.同理可求得当0x <时的切线方程为1e y x =-.综上可知，两条切线方程为1e y x =，1ey x =-.4.答案：-3解析：解： '()2(3),(0,)f x x x a x =⋅-∈+∞ 当0a ≤时， '()0f x >()f x ∴在(0,)+∞递增，(0)1f =时，则在(0,)+∞为零点，舍去当0a >时，()f x 在(0,)3a递减，(,)3a +∞递增，又()f x 只有一个零点， ()033a f a =⇒=32()231f x x x =-+ []'()6(1),1,1f x x x x =-∈-5、（1）答案：()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞解析：函数的定义域为()0,+∞，又1ln 1)n (l f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）答案：见解析解析：因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设11x a =，21x b =，由(1)可知不妨设101x <<，21x >.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立. 若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证12()(2)f x f x >-，即证：22()(2)f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2g x f x f x =--，12x <<则()()()()()2ln ln 2ln 2g x f x f x x x x x '''⎡⎤=+-=---=--⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b +=，11x a =，21x b=可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-，1t >，则()112()ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+-⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则1()111xu x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故max ()(0)0u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t tt ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<. 6.答案：（1）由题意得()()e 2x f x x a '=-，当0a ≤时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <. 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 当0a >时，令()0f x '=，得0x =或ln2x a =，①当102a <<时，令()0f x '>，得ln2x a <或0x >，令()0f x '<，得ln20a x <<.所以()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，②当12a =时，()()e 10x f x x '=-≥且等号不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.③当12a >时，令()0f x '>，得0x <或ln2x a >；令()0f x '<，得0ln2x a <<，所以()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减. （2）选择条件①，证明如下：由（1）知当12a >时，()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减.所以()f x 在0x =处取得极大值(0)f ，在ln2x a =处取得极小值(ln 2)f a ，且(0)1fb =-+，(ln 2)(2ln 2)ln 22f a a a a a b a =-+-.由于21e 22a <≤，2b a >，所以(0)0f >，ln20a >，20b a ->.令()2ln 2g x x x x =-，则()2ln 211ln 2g x x x '=--=-，令()0g x '=，得e2x =，当1e 22x <<时，()0g x '>.当2e e 22x <≤时，()0g x '<. 所以()g x 在1e ,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2e e ,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()g x 在e 2x =处取得极大值e2g ⎛⎫⎪⎝⎭. 由于e e 022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，2e 02g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0g x ≥在21e ,22⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，所以(ln 2)0f a >.当x →-∞时，()f x →-∞，所以()f x 有一个零点，得证. 选择条件②，证明如下：由（1）知，当102a <<时，()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，所以()f x 在ln2x a =处取得极大值(ln 2)f a ，在0x =处取得极小值(0)f .由于102a <<，2b a ≤，所以(0)0f <，20b a -≤，ln20a <，ln20a a ->，则2ln20a a a ->，所以(ln 2)0f a <.当x →+∞，()f x →+∞，所以()f x 有一个零点，得证.7.答案：（1）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+.所以(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-.（ii ）依题意，323()36ln g x x x x x =-++，(0,)x ∈+∞，从而可得2263()36g x x x x x '=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=.令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如表：x(0,1) 1 (1,)+∞()g x ' -0 + ()g x单调递减极小值单调递增()g x (0,1)(1,)+∞()g x (1)1g =，无极大值.（2）由3()ln f x x k x =+，得2()3kf x x x'=+. 对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.①令1()2ln h x x x x=--，[1,)x ∈+∞.当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t-->. 因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+--≥-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-.②由（1）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->.③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->. 所以当3k ≥-时，对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8.答案：()212f x x =-（1）设切点为()()00,x f x ()2f x x '=-()0022f x x '=-=-01x ∴= ()111f =∴切线()1121y x -=--213y x ∴=-+（2）()212f x x =-定义域R ，()()f x f x -=.∴()f x 为偶函数()f x 关于y 轴对称∴只须分析0x ≥既可当0x =不合题意舍0t ∴>()2f x x '=- ()2f t x '=-：在()()t f t 、处切线()()2122y t t x t --=-- 令0x = 得212y t =+；令0y =时2122t x t+= ()()22221211244t S t xy tt +=== ∴t x =()0x >()412x g x x+=()()()(234223222412x x x x x x g x x x +---+'==()0g x '> 2x ()0g x '< 02x <<()min 282g x g∴==()()()2min min 1324S t g x ∴== 9.答案：(1).当34a =-时，3()ln 1,04f x x x x =-++>．3(12)(211)()42141x x f 'x x x x x+-++=-=++ 所以，函数()f x 的单调递减区间为03（，），单调递增区间为3+∞（，）． (2).由1(1)2f a≤，得20a <≤当204a <≤时，()2x f x a ≤等价于212ln 0x xx a a+--≥．令1t a=，则22t ≥．设()212ln ,2g t t x t x x t =+≥，则()(22)4212ln g t g x x x ≥=+．①.当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭1122x + ()(22)4212ln g t g x x x ≥=+．记1()4221ln ,7p x x x x x =+≥，则 212121()11x x x x p'x x x x x x +--+==++. 故x17 1(,1)71 (1,)+∞()p'x+ ()p x1()7p 单调递减极小值(1)p单调递增()(1)0p x p ≥=因此，()(22)2()0g t g p x ≥=≥．②.当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12ln (1)()12x x x g t g x x --+≥+=．令211()(1),,e 7q x x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x x =>，故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．由（i ）得127127(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此1()102g t g x x ≥+=>．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，[22,),()0t g t ∈+∞≥，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2x f x a ≤．综上所述，所求a 的取值范围是20,4⎛ ⎝⎦．10.答案：(1). 1a =(2). a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解析：(1). 因为2()(41)43xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦,所以()()()()()22 2414143212x x xf x ax a e ax a x a e x R ax a x e ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎣⎦⎣'=-+++++∈=++⎦⎣⎦,()()11.f a e '=-由题设知()10,f '=即()10,a e -=解得1a =. 此时()130f e =≠.所以a 的值为1(2).由(1)得()()()()221212x xf x ax a x e ax x e ⎡'=++-⎣⎦-⎤-=.若12a >,则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()'0f x <;当()2,x ∈+∞时, ()0f x '>.所以()0f x <在2x =处取得极小值. 若12a ≤,则当()0,2x ∈时, 1–20,1102x ax x <-≤-<,所以()0f x '>. 所以2不是()f x 的极小值点.综上可知, a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。

第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

单元综合测试三(第三章)时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )．又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程．解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)，即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)．要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)，因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ，即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)，则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54，又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋5，则f(5)与f′(5)分别为() A．5，－1B．－1,5C．－1,0D．0，－1答案D解析由题意可得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1，故选D.2．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f1，则a等于()A．0B．1C．2D．4答案A解析∵f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f1，∴sin π2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.3．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m等于() A．－1B．0C．1D．2答案A解析f(x)的导数为f′(x)＝m＋1x，曲线y＝f(x)在点(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2020(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x答案B解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2020(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)等于()A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案D解析已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为()A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案B解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于()A ．5B ．3C ．－3D ．－5答案D解析f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x－4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为()B ．[－1,1]C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案D解析依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0，即a ≥－cos xe x 对x ∈－π2，0恒成立，设g (x )＝－cos xe x ，x ∈－π2，0，g ′(x )g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈－π2，－g ′(x )<0；当x －π4，0时，g ′(x )>0，故g (x )max ＝g (0，则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C ．81πD ．128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝＝4000π27，故选B.10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A.12B ．1C ．eD ．2e答案B解析原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ),f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)()A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2)B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0)D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1)答案B解析设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))，∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数．∵g (0)＝e 0f (0)＝f (0)，g (1)＝e －1f (1),g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)，且g (－2)>g (0)>g (1)，∴e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为()A.－323，－B.－2－323，－2答案D解析由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2，即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________．答案x －y －3＝0解析∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案－1e2，解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点，即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)，则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)[g (x )]min ＝－1e 2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a －1e 2，15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案－1，12解析由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1ex ≥－2＋2e x ·1e x＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x 0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案12e ，1＋ln 36解析∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)，∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立，∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立，即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝12e .令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减，∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ，1＋ln 36.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程．解(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f ′(x )＋0－0＋f (x )增极大值减极小值增从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1，依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或y －6827＝－即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值．解(1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ，由f a －1＝－2，解得a ＝－1.此时2，所以该切线的方程为y －2＝－2x ＋y －2－π＝0.(2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0，所以f ′(x )在[0，π]内单调递减．当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π.当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值．①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min，a ≥4π，π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )．(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值；(2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1，∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2，∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立，即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立，令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ，令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )＋0－g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2ee，即实数m 的取值范围是2ee ，＋20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．解(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a ，函数f (x )－1a，＋.(2)①当a ＝0时，函数f (x )在(0，1]内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足0，即ln 12a ≥34，又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )－1a，＋若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )－1a，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？解(1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ，则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ，S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．(2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)，令f (x )＝S x ＝x －72x ＋x <9)，∴f ′(x )1令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：x(6,62)62(62，9)f ′(x )＋0－f (x )单调递增极大值单调递减∴当x ＝62时，函数f (x )＝S x有最大值，为f (62)＝923－36.∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解(1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x ex 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e，故实数k f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，由f ′(x 1)＝1e x k －2x 1＝0得k ＝112e x x ，所以f (x 1)＝1e x k －x 21＝112e x x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1，所以0<f (x 1)<1.。

全国五年高考真题导数及其应用解析版

专题03 导数及其应用【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 2.（2020·新课标Ⅲ）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A. y =2x +1 B. y =2x +12 C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 【2019年】1．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．2．（2019·天津卷）已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.3．（2019浙江卷）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．4．（2019·全国Ⅰ卷）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 5．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得02x =02x =-∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．6．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.7．（2019·北京卷）设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【2018年】1．（2018·全国Ⅰ卷）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D.2．（2018·全国Ⅱ卷）函数()2 e e xxf xx--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e0,,x xx f x f x f xx--≠-==-∴为奇函数，舍去A；()11e e0f-=->，∴舍去D；()()()()()243e e e e22e2e,x x x x x xx x x xf xx x---+---++=='2x∴>时，()0f x'>，()f x单调递增，舍去C.因此选B.3．（2018·全国Ⅲ卷）函数422y x x=-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得22x >或202x -<<，此时函数单调递减，排除C.故选D.4．（2018·全国Ⅱ卷）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】【解析】则所求的切线方程为.5．（2018·全国Ⅲ卷）曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】-3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以.6．（2018·全国Ⅰ卷）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.7．（2018·江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3a x =，因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =.从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=- 故答案为-3. 【2017年】1．（2017·全国Ⅲ卷）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 2．（2017·全国Ⅱ卷）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．3．（2017·浙江卷）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．11．（2017·江苏卷）已知函数31()2e e x xf x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是．【答案】1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅，所以函数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-．12．（2017·山东卷）若函数e ()x f x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -= ③3()f x x = ④2()2f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①ee ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②ee ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3e ()e x x f x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)x x xg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故3()f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，则2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．【2016年】1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A ）sin y x =（B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。

(完整版)导数应用题

(完整版)导数应用题
导数应用题
导数是微积分中的一个重要概念，它在物理学、经济学等学科
中有广泛的应用。

下面是几个关于导数应用的题目。

题目一：速度和加速度
一个物体随时间 t 的位移函数为：s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t - 6。

求：
1. 物体在 t=2 时的速度；
2. 物体在 t=2 时的加速度。

题目二：边际利润
某公司生产某种产品的总成本和销售量之间的关系由函数 C(x) = 40x^2 - 10x + 200 决定，其中 x 表示销售量（单位：千件）。

产
品的销售价格为 500 元/件。

求：
1. 销售量为 10 千件时的总成本；
2. 销售量为 10 千件时的边际利润（边际利润定义为每增加一
单位销售量所带来的额外利润）。

题目三：物体的高度
一颗子弹以初速度 v0 被发射成 60°角度与水平面成的抛体轨迹。

子弹的飞行轨迹可以用函数 h(t) = -5t^2 + v0*sin(60°)*t 表示，
其中h(t) 表示子弹的高度（单位：米），t 表示时间（单位：秒）。

求：
1. 子弹飞行的最高点的高度；
2. 子弹从发射到达最高点的时间。

题目四：排队等候时间
某银行服务窗口的等候时间服从指数分布，平均等候时间为 10 分钟。

一位客户进入银行后等候 8 分钟后决定离开，请问他的等待
时间与等候时间之差服从的概率分布是什么？
以上是关于导数应用的几个题目，希望能帮助到你。

如果有任何疑问，请随时提问。

高三导数及应用练习题

高三导数及应用练习题导数是微积分中非常重要的概念，对于高中生来说，学习导数是必不可少的一部分内容。

导数的概念以及其应用能力的培养对于高三学生来说具有重要的意义，因此在这篇文章中，我将为大家提供一些导数及应用的练习题，希望能够帮助大家提升自己的学习水平。

【练习题一】1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数。

解: 首先，我们可以利用导数的定义来求解该题目。

导数的定义是函数 f(x) 在某一点 x 附近的变化率。

对于给定的函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以通过求函数在 x = 2 处的变化率来求解该导数值。

根据定义，我们可以得到如下结果:f'(2) = lim(h→0) [f(2+h) - f(2)] / h代入 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，得到:f'(2) = lim(h→0) [(3(2+h)^2 - 2(2+h) + 1 - (3(2)^2 - 2(2) + 1)] / h化简上述表达式，我们可以得到:f'(2) = lim(h→0) [(12h + 9)] / h进一步简化，我们得到:f'(2) = lim(h→0) [12h + 9] / h利用极限的性质，我们可以得到:f'(2) = 12因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数为 12。

2. 求函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数。

解: 对于函数g(x) = sin(2x)，我们需要利用链式法则来求解其导数。

根据链式法则的定义，我们可以得到如下结果:g'(x) = cos(2x) * 2代入x = π/4，我们可以得到:g'(π/4) = cos(2 * π/4) * 2化简表达式，我们可以得到:g'(π/4) = cos(π/2) * 2利用三角函数的性质，我们可以得到:g'(π/4) = 0 * 2因此，函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数为 0。

高三数学导数及其应用试卷

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$处的导数是：A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$2. 若函数$f(x)=\frac{1}{x}$的导数$f'(x)$在$x=2$处的值为$-\frac{1}{4}$，则函数$f(x)$在$x=2$处的切线斜率为：A. $-\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{4}$C. $1$D. $-1$3. 函数$y=2^x$的导数是：A. $2^x$B. $2^x\ln2$C. $\frac{1}{2^x}$D. $\frac{1}{2^x\ln2}$4. 已知函数$f(x)=\sin x$的导数$f'(x)$，则下列说法正确的是：A. $f'(x)$为奇函数B. $f'(x)$为偶函数C. $f'(x)$在$x=0$处为0D. $f'(x)$在$x=0$处不为05. 函数$y=x^2+2x+1$的导数在$x=-1$处的值为：A. $0$B. $1$C. $2$D. $3$二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数$f(x)=x^3$的导数为__________。

7. 函数$y=\ln x$的导数为__________。

8. 函数$f(x)=e^x$的导数为__________。

9. 函数$y=\sin x$的导数为__________。

10. 函数$y=\cos x$的导数为__________。

三、解答题（每题15分，共60分）11. （15分）求函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$的导数，并求出$f'(x)$在$x=1$和$x=3$处的值。

12. （15分）求函数$y=\frac{1}{x}$在$x=2$处的切线方程。

13. （15分）求函数$y=2^x$在$x=0$处的切线方程。

14. （15分）已知函数$f(x)=\sin x+\cos x$，求$f'(x)$。

导数及其应用常见题型

导数及其应用题型一利用导数研究函数的单调性设函数y=Hx)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f,M>0,那么函数y=F(x)为在这个区间内的函数；如果在这个区间内F'G)V0,那么函数尸F(X)为在这个区间内的函数.设函数尸f(x)在某个区间内有导数，如果y=f(x)在这个区间内为增函数，那么在该区间内有；如果尸f(x)在这个区间内为减函数，那么在该区间内有；用导数求函数单调区间的步骤：(1)求函数f(x)的(2)函数F(X)的导数/'(X).(3)令/*)>0解不等式，得函数的区间；令(")Vo解不等式，得函数的区间3例1.1、函数y=∕(x)在定义域(一-,3)内可导，其图象如下图，那么不等式/(x)W0的解集为3变式1.1、函数、=/(外在定义域(一耳,3)内可导，其图象如上图所示(同例1),记y=∕(x)的导函数为y=∕<χ),那么不等式/'(X)WO的解集为例1.2、函数/(x)在R上可导，其导函数为/'*),且函数y=(l-x)∕'(x)的图像如下图，那么f(x)的极大值点为，极小值点为例L3、设f(x),g(x)均是定义在R上的奇函数,当x<0时,f,Mg(x)+f(x)g'(x)>0,且/(-2)=O,那么不等式/(x)∙^(x)<O的解集是练习1.1函数/(制的定义域是开区间(4,b),导函数∕∙'(x)在(〃力)内的图象如下图，那么函数/(X)在开区间内极小值点有个，极大值点有个。

/\练习1.2f(x)=—(a+I)X2+4x+∖(a∈R)(1)讨论函数的单调增区间。

(3)是否存在负实数。

，使x∈[-l,θ],函数有最小值一3?题型二利用导数研究函数的极值和最值求可导函数Fa)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数(2)求方程/"(X)=O的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格.如果左正右负，那么F(X)在这个根处取得极值；如果左负右正，那么F(X)在这个根处取得极值；如果左右不改变符号，那么F(X)在这个根处无极值.例2.1假设函数〃制二/一3"+36在(0,1)内有极小值，那么b的取值范围为。

一元函数的导数及其应用(解析版)高考数学习题与解析

第五章一元函数的导数及其应用一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()sin cos f x x x =+，()π,2πx ∈．若()00f x '=，，则0x =（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．5π4A ．330x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y -+=D ．310x y -+=【答案】C 【详解】sin e x y x =+的导数为cos x y x e '=+，在点(0,1)处的切线斜率为0cos 0e 2k =+=，即有在点(0,1)处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=.故选：C 3．已知函数2()ln 2a f x xb x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是210x y --=，则ab 等于（）A ．2B ．1C ．0D ．﹣24．已知()a f x x x =-，()0,x ∈+∞，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有12210x x -<，则实数a 的取值范围是（）.A ．12,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．()2,e -∞D ．13e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】设()()2e x g x xf x a x ==-，()e 2xg x a x '=-，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有()()12210f x f x x x -<，即()()12g x g x <，()g x 在()0,∞+上单调递增，故()e 20xg x a x '=-≥恒成立，即2e x x a ≥，设()2e x x F x =，()22e xxF x -'=，当()0,1x ∈时，()0F x '>，函数单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0F x '≤，函数单调递减；故()()max 21e F x F ==，即2ea ≥.故选：B5．已知sin1sin11e e a =+，tan 2tan 21ee b =+，cos3cos31ee c =+，则（）A ．b a c>>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>【答案】B 【详解】令()e e x xf x -=+，其定义域为R ，且()()f x f x -=，故为偶函数；又()f x 'e e x x -=-，sin112分别满足112212（）A ．3e B ．4e C ．5e D ．6e7．已知f x '（）是函数f x （）的导数，202e '+>=（）（），（），f x f x f 则不等式ln f x x<（）的解集是（）A ．∞（2，+）B ．2e +∞（，）C ．20e （，）D ．2（0，）8．定义在0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,3436a f b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a b c>>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线C ．()f x 有一个零点D ．过点()1,0与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条的极值点分别为1212，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线对选项A ．()0f x ≤恒成立B ．()f x 是()0,+∞上的减函数C ．()f x 在12e x -=得到极大值12eD ．()f x 在区间⎫⎪⎭内只有一个零点，则关于x 的不等式()0f x <的解集可能为（）A ．()(),10,1-∞-B ．()(),e 0,e --∞C ．()(),40,4--∞ D ．()(),3e 0,3e --∞ 【答案】BC 【详解】因为当0x >时，()()ln 1<+1e 4xx f x x --'<，且()0=0f ，而可以令1ln 2y x x x =-，则1ln 1y x '=-，可以令2e 4x y x x =-，则()2+1e 4x y x -'=，所以()()ln 2e 40x x x x f x x x x --<<>，因为1ln 1y x '=-，所以令1ln 10y x '=->，则e x >，令1ln 10y x '=-<，则e x <，所以1ln 2y x x x =-在(0,e)上递减，在(e,)+∞上递增，且当2e x =时，10y =，所以当)2e ,+x ⎡∈∞⎣时，()ln 20f x x x x ->≥，因为2e 4x y x x =-()0x >，()2+1e 4x y x -'=，故令()+14()e x m x x -=，则()e (2)x m x x '=+，又因为0x >，所以()e (2)0x m x x '=+>，故()m x 在(0,)+∞上递增，设0()0m x =，所以2e 4x y x x =-在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，且当20y =时，=0x （舍）或ln 4x =，所以当(]0,ln4x ∈时，()e 40xf x x x -<≤，所以当0x >时，()0f x <的解集可能为()0,t ，其中()2ln4,e t ∈，又因为()f x 是奇函数，所以()0f x ＜的解集可能为()(),0,t t --∞ .而()2ln4,e t ∈，所以()21ln4,e ∉，故A 错误；()2e ln4,e ∈，故B 正确；()24ln4,e ∈，故C正确；()2ln 3e 4,e ∉，故D 错误.故选：BC第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，直线l 是曲线()y f x =在点(4,(4))f 处的切线，则(4)(4)f f '+的值等于______．'是函数的导函数，且R 1e f x f x x f <∈=，，则不等式的解集为________．的最小距离为___________.【解析】由已知，设点00(,)Q x y 曲线2ln 1y x x =--上一点，则有0002ln 1y x x =--，因为2ln 1y x x =--，所以12y x x'=-00012|x x y x x ='-=，所以曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q x y 处的切线斜率为0012k x x =-，则曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q xy 处的切线方程为020000(ln 1)()12y x x x x x x ---=--，即20000()12ln y x x x x x =---．要求得曲线2ln 1y x x =--上任意一点，到直线3y x =-的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即00121k x x =-=，解得0=1x 或012x =-（舍去），此时，以点(1,0)Q 为切点，曲线的切线方程为：1y x =-，此时，切点(1,0)Q 为曲线上距离直线3y x =-最近的点，即点P 与点Q 重合，最小距离为直线3y x =-与直线1y x =-之间的距离，设最小距离为d ，所以d ==.16．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1 x ，2x ，则实数a 的取值范围是______；若不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，则实数t 的取值范围是______．17．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径．已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm ．(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．189.已知函数()()1e xx f x a x =++．(1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <，求证：21e e x x a ->-【详解】（1）由()()21e xx f x a x +=++得()1e x x f x a +'=-+，由()f x 单调递增，则()0f x '≥，得1e x a x +≥，设()1ex x g x +=，则()e x xg x '=-，可知0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x =时，()g x 取得极大值()01g =，也为最大值，则1a ≥,所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）由题，函数()f x 有两个极值点，则()0f x '=即1e xx a +=有两个不相等实数根，由（1）可知0x =时，()g x 取得极大值()01g =，(1)0g -=，x 趋向+∞时()g x 趋向于0.故()g x a =有两个不相等实根时，01a <<，且1210x x -<<<，过点()0,1与(),0c 的直线方程为11e y x =-+，构造函数()()11111,(0)e ee x x h x g x x x x +⎛⎫=--+=+-> ⎪⎝⎭，()1e e x x h x '=-+，令()()x1,(0)e ex u x h x x '==-+>，则()()1,0e x x u x x -'=>，则01x <<时，()0u x '<，()u x 即()h x '单调递减；1x >时，()0u x '>，()u x 即()h x '单调递增，所以0x >时，()u x 极小值为()()110u h '==所以0x >时，()()0u x h x '=≥，则()()00h x h >=，即()()110e h x g x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，故当0x >时，()11e g x x >-+，设方程11e x a -+=的根为4x ，则4e e x a =-，构造函数()21,10y x x =--<<，令()()()21,t x g x x =--则()()21111e e e xx x x x t x x x ++⎡⎤=+-=+-⎣⎦，令()()()11e ,10x v x x x =+--<<，则()e 0x v x x '=<，故10x -<<时，()v x 单调递减，则()()00v x v >=，又10x +>，所以，当10x -<<时，()0t x >，故有()21g x x >-，令方程()21,10x a x -=-<<的根为3x ，则3x =，于是有134210x x x x -<<<<<，如图，所以2143e e x x x x a ->-=-+，证毕19．已知函数sin ()e (1)a x f x x =-+，()sin ln(1)g x a x x =-+(1)1a =时，求函数()y g x =在(1,0]-上的单调区间；(2)1a >时，试讨论()y f x =在区间[π,π]-上的零点个数.【详解】（1）1a =时，()sin ln(1)g x x x =-+，∴1()cos 1g x x x '=-+，而()g x '在(1,0]-上单调递增，而(0)0g '=，∴(1,0]x ∈-，()(0)0g x g ''=.∴()g x 在(1,0]-上单调递减，（2）当1a >时：①[π,1]x ∈--时，sin 0a x e >，10x +<∴()0f x >∴()f x 在区间[π,1]--上无零点，②1x >-时，方程()0f x =的解等价于方程()0g x =的解.[1,0]x ∈-时，1()cos 1g x a x x '=-+在[1,0]-单调递增，(0)1g a '=-，而111cos 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴∃唯一0[1,0]x ∈-使得()00g x '=且()g x 在(]01,x -单调递减，[]0,0x 单调递增，而111sin 110g a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(0)0g =，∴()g x 在(1,0]-上有两个零点，③π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1g x a x x '=-+，(0)10g a '=->，令1()()cos 1t x g x a x x ='=-+，则21()sin (1)t x a x x '=-++在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，(0)1t '=，2π102π12t a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∃唯一1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10t x '=，∴()g x '在()10,x 单调递增，1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而(0)1g a '=-，π100π212g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+，∴∃唯一2π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()20g x '=，∴()g x 在()20,x 单调递增，1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而(0)0g =，π02g ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴()g x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点.④π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()0g x '<，∴()g x 在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，而ππln 1022g a ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(π)ln(π1)0g =-+<，∴∃唯一3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()30g x =，综上所述：1a >时，()f x 在区间[π,π]-有三个零点.20．21．设函数()2ln +f x x x ax =+，=1x 是函数()f x 的极值点．(1)求实数a 的值，并求函数()f x 的单调递减区间；(2)设函数()()23g x f x x x =-+，求证：当2x ≥时，()()2114g x x <-；(3)在（2）的条件下，求证：对*n ∈N ，()()()21213512n k n ng k n n +=+>++∑．【解析】（1）因为()2ln +f x x x ax =+，所以()12f x x a x'=++，依题意()1120f a '=++=，解得=3a -，经检验符合题意，()2=ln +3f x x x x ∴-，()0,+x ∈∞，所以()()()221123+1==x x x x f x xx---'，令()0f x '<，解得112x <<，所以原函数的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明：因为()()222=+3=ln +3+3=ln g x f x x x x x x x x x ---，要证()()21<14g x x -，[)2,+x ∈∞，即证()21ln <14x x -，[)2,+x ∈∞，构造函数()2=4ln +1h x x x -，[)2,+x ∈∞，只需证()0h x <在[)2,+x ∈∞上恒成立，当2x ≥时，()()222=<0x h x x--'，所以函数()2=4ln +1h x x x -在区间[)2,∞+单调递减，故3max ()=4ln23=ln16lne <0h x --，不等式成立，结论得证；（3）证明：由（2）知：当2x ≥时，()21ln <14x x -，所以21411>=2ln 11+1x x x x ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，即当2k ≥时，()111>21+1g k x x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2n ≥时：()()()()2+1=211111113+5=++...+>21+=ln2ln3ln +12+1+2+1+2n k n n g k n n n n n --⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，又当=1n 时上式也能成立，原命题得证．21．已知函数()(2)e (ln )x f x x k x x =---.(1)当0k =时，求()f x 的极值；(2)证明：当e,1k x >>时，2()f x k >-.．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[ 1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．)。

导数及其应用

导数及其应用（1）一、历年真题1、（2019-2020）若函数()()sin cos xf x e x a x =+在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．()1,+∞2、（2019-2020）定义域为R 的函数()f x 满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '>，则不等式2()1f x x <+的解集为．3．（2019-2020）已知函数2()ln f x a x bx =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12y =-．（1）求实数a b ，的值；（2）求函数()f x 在1[,]e e上的最大值．4．（2019-2020）已知函数()ln 1f x x x =++，2()2g x x x =+. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值。

5．（2018-2019）若'()f x 是函数1231)(3++=x x x f 的导函数，则'(1)f -的值为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．4 6.（2018-2019）已知函数ax x x f +=ln )(．（1）当1=a 时，求函数)(x f 在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）若)(x f 存在与直线02=-y x 平行的切线，求a 的取值范围。

7．（2017-2018）函数2)2(-=x y 在1=x 处的导数等于（）8.（2017-2018）函数x x x f 4)(3+-=在点))1(,1(f 处的切线方程是．二、知识梳理1、函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数（1）定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝0lim x ∆→ ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. （2）几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率 2、函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nxx ；'()1x =；2'()2x x =；3'2()3x x =；'211()x x =-；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '=导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2vv u v u v uv u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 复合函数求导：(())y f g x =和(),()y f u u g x ==导数间的关系为x ux y y u '=⋅'' 导数的应用：① 利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？② 利用导数判断函数单调性：i ）)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；ii ）)(0)(x f x f ⇒<'为减函数；iii ）)(0)(x f x f ⇒≡'为常数； ③ 利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。

专题05导数及其应用解答题(原卷版)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题05导数及其应用解答题1．【2022年全国甲卷理科21】已知函数f(x)=e xx−lnx+x−a．(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．2．【2022年全国乙卷理科21】已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．3．【2022年新高考1卷22】已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．4．【2022年新高考2卷22】已知函数f(x)=x e ax−e x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；(3)设n∈N∗，证明：1√12+1+1√22+2+⋯+1√n2+n>ln(n+1)．5．【2021年全国甲卷理科21】已知a>0且a≠1，函数f(x)=x aa x(x>0)．（1）当a=2时，求f(x)的单调区间；（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．6．【2021年新高考1卷22】已知函数f(x)=x(1−lnx).（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a +1b<e.7．【2021年全国乙卷理科20】设函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．（1）求a；真题汇总（2）设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明:g(x)<1．8．【2021年新高考2卷22】已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2+b ．（1）讨论f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点 ①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．9．【2020年全国1卷理科21】已知函数f(x)=e x +ax 2−x . （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 10．【2020年全国2卷理科21】已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：|f(x)|≤3√38；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤3n4n .11．【2020年全国3卷理科21】设函数f(x)=x 3+bx +c ，曲线y =f(x)在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1． 12．【2020年山东卷21】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．13．【2020年海南卷22】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．14．【2019年新课标3理科20】已知函数f （x ）＝2x 3﹣ax 2+b ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．15．【2019年全国新课标2理科20】已知函数f （x ）＝lnx −x+1x−1．（1）讨论f （x ）的单调性，并证明f （x ）有且仅有两个零点；（2）设x 0是f （x ）的一个零点，证明曲线y ＝lnx 在点A （x 0，lnx 0）处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 16．【2019年新课标1理科20】已知函数f （x ）＝sin x ﹣ln （1+x ），f ′（x ）为f （x ）的导数．证明：（1）f ′（x ）在区间（﹣1，π2）存在唯一极大值点；（2）f （x ）有且仅有2个零点．17．【2018年新课标1理科21】已知函数f （x ）=1x −x +alnx ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a ﹣2．18．【2018年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2．（1）若a ＝1，证明：当x ≥0时，f （x ）≥1；（2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a ．19．【2018年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝（2+x +ax 2）ln （1+x ）﹣2x ．（1）若a ＝0，证明：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；当x ＞0时，f （x ）＞0；（2）若x ＝0是f （x ）的极大值点，求a ．20．【2017年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．21．【2017年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0．（1）求a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．22．【2017年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝x ﹣1﹣alnx ．（1）若f （x ）≥0，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，（1+12）（1+122）…（1+12n ）＜m ，求m 的最小值． 23．【2016年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是f （x ）的两个零点，证明：x 1+x 2＜2．24．【2016年新课标2理科21】（Ⅰ）讨论函数f （x ）=x−2x+2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，（x ﹣2）e x +x +2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=e x−ax−ax2（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．25．【2016年新课标3理科21】设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．26．【2015年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x3+ax+14，g（x）＝﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．27．【2015年新课标2理科21】设函数f（x）＝e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．28．【2014年新课标1理科21】设函数f（x）＝ae x lnx+be x−1x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．29．【2014年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜√2＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．30．【2013年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y ＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．31．【2013年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．1．已知函数f(x)=x22+cosx−1．(1)求函数f(x)的最小值；(2)证明：∑cos1k >n+12n−1nk=1．2．已知函数f(x)=e x(sinx+cosx)−asinx..(1)当a=1时，求函数f（x）在区间[0，2π]上零点的个数；(2)若函数y=f(x)在（0，2π）上有唯一的极小值点，求实数a的取值范围3．已知函数ℎ(x)=x−alnx(a∈R).(1)若ℎ(x)有两个零点，a的取值范围；(2)若方程x e x−a(lnx+x)=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e x1+x2>e2x1x2.4．已知函数f(x)=a2x2+(a−1)x−lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>4时，若方程f(x)=ax2−x+a2在(0，1)内存在唯一实根x0，求证：x0∈(14,1e)．5．已知函数f(x)=e1−x+a(x2−1)，a∈R．(1)若a=12，求f(x)的最小值；(2)若当x>1时，f(x)>1x+lnx恒成立，求a的取值范围．6．已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(1)=5，函数g(x)=a(lnx+1)−f(x)x2≤0在(1,+∞)上恒成立，求整数a的最大值.7．已知函数f(x)=lnx+ax,a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设函数g(x)=f(x)−1x，若g(x)在[1,e2]上存在极值，求a的取值范围.8．设函数f(x)=a e x−x−1，a∈R．(1)当a=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；模拟好题(3)求证：当x∈(0,+∞)时，e x−1x>e x2．9．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1).(1)若f(x)恒有两个极值点x1，x2（x1<x2），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明f(x1)+f(x2)>32.10．已知函数f(x)=xsinx+cosx+12ax2,x∈[0,π].(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)当a>0时，讨论f(x)的零点个数.11．已知函数f(x)=xe x−1+(1−a)lnx，g(x)=lnx+ax．(1)当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当a=2时，对于在(0,1)中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得e g(x0+1)−3x0−2+b2x02<1，请说明理由；(3)设ℎ(x)=f(x)−g(x)，x1是ℎ(x)的极小值点，且ℎ(x1)≥0，证明：ℎ(x1)≥2(x12−x13)．12．已知函数f(x)=ax−2e x+3(a∈R)，g(x)=lnx+x e x（e为自然对数的底数，e<259）．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a=−1，ℎ(x)=f(x)+g(x)，当x∈[12,1]时，ℎ(x)∈(m,n),(m,n∈Z)，求n−m的最小值．13．已知函数f(x)=a e xx+lnx−x(a∈R)．(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当a>1时，设F(x)=f(x)−(2lnx−x+1x )，求证：F(x)>ln(ax)x−lnx+e−1．14．设函数f(x)=m e x−1,g(x)=lnx+n，m、n为实数，若F(x)=g(x)x 有最大值为1e2(1)求n的值；(2)若f(x)e2>xg(x)，求实数m的最小整数值.15．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1),a>0.(1)若f(x)在区间(1,+∞)上有且仅有一个极值点m，求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明34<f(m)<e24.16．已知函数f(x)=ln(x−1)−mx(m∈R),g(x)=2x+n−2．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当−1≤m≤e−2时，若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求n−3的最小值．m+217．已知函数f(x)=e x2lnx(x>0)．(1)求f(x)的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x2(0<x1<x2)满足f(x1)=f(x2)=e k．（i）求k的取值范围（ⅱ）证明x2e2−2e≤e−e21．x118．已知函数f(x)=xlnx−a(x2−1),a∈R(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)若过原点作曲线y=f(x)的切线有两条，求a的取值范围，并证明这两条切线的斜率互为相反数．19．已知函数f(x)=e−x+sinx−ax，g(x)为f(x)的导函数．]内存在唯一的极值点x0，√2<2cosx0<√3；(1)证明：当a=0时，函数g(x)在区[0,π2(2)若f(x)在(0,π)上单调递减，求整数a的最小值．(x>0).20．已知函数f(x)=1+ln(x+1)x(1)试判断函数f(x)在(0，+∞)上单调性并证明你的结论；(2)若f(x)>k对于∀x∈(0,+∞)恒成立，求正整数k的最大值；x+1(3)求证：(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)⋯[1+n(n+1)]>e2n−3．。