四色问题的计算机求解-实习论文

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四色定理计算机证明过程

四色定理计算机证明过程四色定理是数学中的一个著名问题，它提出了一个有趣的猜想：任何平面图只需要四种颜色就可以使相邻的区域彼此区分开来。

这个问题在数学界引起了广泛的关注和争议，并且在计算机科学的发展中也起到了重要的作用。

本文将介绍使用计算机来证明四色定理的过程。

我们需要了解什么是平面图和相邻区域。

平面图是指在平面上绘制的图形，其中的线段只能相交于端点且不相交。

而相邻区域则是指平面图中由边界线相连的相邻的区域。

为了证明四色定理，我们可以使用计算机来进行穷举搜索。

具体地说，我们可以通过对平面图进行逐一遍历，尝试为每个区域分配一种颜色，并检查是否存在相邻区域颜色相同的情况。

如果不存在这样的情况，即可证明该平面图可以使用四种颜色进行着色。

在计算机中实现这个算法需要解决两个关键问题：如何表示平面图和如何进行穷举搜索。

我们可以使用邻接表来表示平面图。

邻接表是一种数据结构，用于表示图中的顶点和边。

对于平面图而言，顶点即为区域，在计算机中可以用数字或者其他唯一的标识符来表示。

而边则表示两个相邻区域的边界线，可以用一个列表来表示每个区域与其相邻区域的关系。

然后，我们需要实现一个递归函数来进行穷举搜索。

该函数的输入参数为当前的平面图和已经为部分区域分配的颜色。

在每一步递归中，我们选择一个尚未分配颜色的区域，尝试为其分配一种颜色，并递归调用函数继续搜索。

如果找到了一种着色方案使得整个平面图都满足相邻区域颜色不同的条件，那么我们就成功地证明了四色定理。

在实际的计算机程序中，为了提高效率，我们可以使用一些优化技巧。

例如，我们可以根据已经分配颜色的区域来确定下一个要分配颜色的区域，从而减少搜索的时间和空间复杂度。

此外，我们还可以利用剪枝策略，即在搜索过程中排除一些不可能的情况，进一步提高算法的效率。

通过上述的算法和优化技巧，我们可以使用计算机来证明四色定理。

当然，由于穷举搜索的复杂性，对于大规模的平面图，这个算法可能需要很长的时间和大量的计算资源。

图论五色问题四色问题

总结：地图着色问题是图论的一个经典问题，一个多世纪以来一直被许多数学家关注着，五色定理的正确证明已经被数学家给出了，所以本文只是稍作整理；但是通过我的查阅发现，除了 Appel 和 Haken 用计算机给出的证明以外，四色定理好像没有其他被公认是正确的证明，我只能给出关于四色定理证明的一些想法，可能并不正确，但是通过对这个问题的研究，我确实学到了很多图论方面的有趣的知识。
二、着色问题定义 2.1（顶点着色）：给图 G 的每个顶点指定一种颜色，使得任何两个相邻的顶点颜色均不同。如果用 k 中颜色对图 G 进行顶点着色，就称对图 G 进行了 k 着色，也称 G 是 k -可着色的，若 G 是 k -可着色的，但不是 (k 1) -可着色的，则称 G 是 k 色图，称这样的 k 为图 G 的色数，记为 (G) 。定义 2.2（边着色）：给图 G 的每条边指定一种颜色，使得任何两条相邻的边颜色均不同。如果用 k 中颜色对图 G 进行边着色，就称对图 G 进行了 k 边着色，也称
五色定理的证明：五色定理：每个可平面图是 5-可着色的。证明：设 G 是一个有 n 6 个顶点和 m 条边的平面图，用归纳法证明，先假设每个具有少于 n 个顶点的平面图是 5-可着色的，由推论 1.4 有：
d (G )
2m 2(3n 6) 6； n n
设 v G 是定点度不大于 5 的顶点，由归纳假设知，图 H : G v 存在一个顶点着色 V ( H ) {1, ,5} 。如果 v 的邻点最多用了 4 种颜色，那么 c 可以扩充为图 G 的一个 5-可着色。所以我们可以假设顶点 v 恰有 5 个邻点，且每个邻点着不同颜色。设 D 是一个足够小的包含 v 的开圆盘，使得它只与 v 关联的五条边的直线段相交。我们按照这些线段在 D 中的循环位置列举为 s1 , , s5 ，并且假设 vvi 是包含 si 的边（ i 1, ,5 ）如下图，不失一般性地，我们可以假设对于每个 i ，有 c(vi ) i 。我们首先证明每条 v1 v3 路 P H 把 H 中的 v2 和 v4 分开。显然，这个结论成立当且仅当在 G 中的圈 C : vv1 Pv3v 把 v2 和 v4 分开，我们可以通过说明 v2 和 v4 在 C 中

题目四色验证

题目：四色验证计算机四班陈俊2号1．需求分析问题描述：证明了可以用不多于4种颜色对n个区域着色，而满足相邻的区域具有不同的颜色输入形式：暂定最多50个区域，如需证明更多区域，修改#define S 50 即可；以整形形式输入（取值范围1-32767）用户需要证明的区域数目，相联的一对矩阵；输出形式：以0和1输出关联矩阵，和以blue yellow orange pink形式输出每个区域相对应证明出的颜色；2．概要设计各程序模块之间的层次关系图：int menu(void)//图形主菜单，按上下键选择功能，返回所选项给mainint input(int Matrix[S][S])//输入函数, 要求定义区域的数目，输入相关联的每两个区域，返回区域数目FILE *LoadSaveMenu(char *wr)//按save 或load 传来的wb 或rb 对所选文件进行读或写操作，返回文件指针fpvoid save(int Matrix[S][S],int s)//把现在的Matrix矩阵存入到Loadsavemenu返回的fp指向的文件中int load(int Matrix[S][S])//在Loadsavemenu 返回的fp中读出已记录的矩阵int prove(int Matrix[S][S],int Dis[],int s)//主要的证明部分，详细步骤见流程图void print(int Dis[],int s);//由全局变量proved决定是否已经通过证明，当且仅当证明后才可打印出来void Exit()//安全退出本程序void main()//创建二维数组Matrix[][]表示关联矩阵，一维数组Dis[]表示国家颜色，以switch调用各个函数进行证明和操作3.详细设计/*创建二维数组Matrix[][]表示关联矩阵，一维数组Dis[]表示国家颜色，以switch调用各个函数进行证明和操作*/void main(){int Matrix[S][S]; /* 存放关联矩阵*/int Dis[S]; /* 存放每个国家对应的颜色*/int s; /* 区域数目*/int c;FILE *fp;int gdriver=DETECT,gmode;initgraph(&gdriver,&gmode," ");clrscr();cleardevice();while(1){clrscr();cleardevice();c=menu();clrscr();cleardevice();switch(c){case 1: s=input(Matrix);break;case 2: save(Matrix,s);break;case 3: s=load(Matrix);break;case 4: proved=prove(Matrix,Dis,s);break;case 5: print(Dis,s);break;case 6: Exit();break;default: break;}printf("\n\tPress any key to main menu.....");getch();}}/*图形主菜单，按上下键选择功能，返回所选项给main */int menu(void){int gdriver=DETECT,gmode;char *name[]={"Input relatived districts","Save the record","Load the record","Try to prove","Print the provement","Exit to DOS"};int i,c=' ',a=0;clrscr();cleardevice();initgraph(&gdriver,&gmode," ");setbkcolor(0);settextstyle(1,0,5);setcolor(14);outtextxy(200,60,"Menu");settextstyle(3,0,3);while(1){for(i=0;i<6;i++){if(i==a){ setcolor(5);outtextxy(150,30*(i+4),name[i]);i++;setcolor(15);}if(i>5) break;outtextxy(150,30*(i+4),name[i]);}c=getch();switch(c){case 72: a--; break;case 80: a++; break;default: break;}if(a<0) a++;if(a>5) a--;if(a==0&&c==13)break;if(a==1&&c==13)break;if(a==2&&c==13)break;if(a==3&&c==13)break;if(a==4&&c==13)break;if(a==5&&c==13)break;}return(a+1);}/*输入函数, 要求定义区域的数目，输入相关联的每两个区域，返回区域数目*/ int input(int Matrix[S][S]){int i,j,s;printf("\n\tPlease input how much district you want: "); /* 定义区域的数目*/scanf("%d",&s);s++;for(i=1;i<s;i++)for(j=1;j<s;j++){if(i!=j) Matrix[i][j]=0;if(i==j) Matrix[i][j]=1;}do{ clrscr();cleardevice();printf("\n\tdistrict: "); /* 输入相关联的两个区域*/scanf("%d",&i);printf("\tand district : ");scanf("%d",&j);Matrix[j][i]=Matrix[i][j]=1;printf("\tEnter 'q' to out ,others to continue......\n");}while(getch()!='q');proved=0; /* 没证明前proved为0 */return(s);}/*按save 或load 传来的wb 或rb 对所选文件进行读或写操作，返回文件指针fp */ FILE *LoadSaveMenu(char *wr){FILE * fp;char c,solas[25];printf("\n\tPlease input the recordlist you want to select:"); /* 选择读取或存入的文件*/ printf("\n\t[1]China map [2]World map [3]save/load as :");c=getch(); printf("%c\n",c);switch(c){case '1' : fp=fopen("China.txt",wr);break;case '2' : fp=fopen("World.txt",wr);break;case '3' : printf("\n\tPlease input your file name: ");scanf("%s",solas);fp=fopen(solas,wr);break;default : break;}return fp;/*把现在的Matrix矩阵存入到Loadsavemenu返回的fp指向的文件中*/void save(int Matrix[S][S],int s){int i,j;FILE * fp;fp=LoadSaveMenu("wb");fputc(s,fp); /* 存入区域个数*/for(i=1;i<s;i++)for(j=1;j<s;j++)fwrite(&Matrix[i][j],sizeof(int),1,fp); /* 存入矩阵*/fclose(fp);}/*在Loadsavemenu 返回的fp中读出已记录的矩阵*/int load(int Matrix[S][S]){int i,j,s;FILE * fp;fp=LoadSaveMenu("rb");clrscr();cleardevice();printf("\n\tThe matrix is as follow:\n");s=fgetc(fp);for(i=1;i<s;i++){if(i%17==0) {printf("\n\n\tPress any key to continue.."); getch(); clrscr();cleardevice();} printf("\n\t\t");for(j=1;j<s;j++){fread(&Matrix[i][j],sizeof(int),1,fp);printf("%d",Matrix[i][j]);}}fclose(fp);proved=0;return(s);}/* 主要的证明部分，详细步骤见流程图*/int prove(int Matrix[S][S],int Dis[],int s)int i,j,k;int Color[5]; /* 用于判断第1，2，3，4种颜色是否用过*/Dis[1]=1; /* 第一个区域即Dis[1]填上1号颜色*/i=2; /* i表示区域序号，i=2即第二个区域*/while(i<s){k=1; /* k表示颜色序号，k=1为第一号颜色*/while(1){for(j=1;j<=4;j++) Color[j]=0; /* 储存颜色的数组Color清0 */j=1;while(j<=i-1){ if(Matrix[i][j]==1) Color[Dis[j]]=-1; /*判断Matrix[i][j]是否关联，关联则登记这号颜色用过*/j++;}while(k<=4){ if(Color[k]==0) goto loop;k++;} /* 判断k号颜色是否用过*/i=i-1; /* 若颜色已用尽，则退回到前一个区域改变颜色*/k=Dis[i]+1; /* 退到前一个区域，使其当前颜色号加1 */}loop:Dis[i]=k; /* 把第k种颜色给第i个区域*/i=i++;}printf("\n\tThe matrix have proved successfully !!!");proved=1;printf("%d",proved);}/*由全局变量proved决定是否已经通过证明，当且仅当证明后才可打印出来*/void print(int Dis[],int s){int i,j;if(proved==1){printf("\n\tThe color schemes is:\n");for(i=1;i<s;i++){if(i%17==0) {getch();clrscr();cleardevice();}printf("\n\tdestrict %-2d draw ",i);switch(Dis[i]){case 1: printf("orange"); /* 设1号颜色对应橙色，类推*/break;case 2: printf("pink");break;case 3: printf("blue");break;case 4: printf("yellow");break;}}}else{printf("\n\tThis matrix haven't proved,Go to prove frist !!!"); /* 未调用prove函数去证明时不可打印*/return;}}/*安全退出本程序*/void Exit(){char c;printf("\n\tDo you really want to return to DOS?(y/n)");c=getch();if(c=='y'||c=='Y') exit(0);else return;}4．调试分析设计分析与回顾用二维数组表示离散数学的关联矩阵的区域与区域之间的关系，如四色验证真的能成立的话，用四种颜色则足够，又由三个区域开始想，可知不相邻的两个区域可以用同一种颜色，就想到如何得知某个区域的临近区域的颜色问题，故用T[1..4]表示四种颜色，想一办法在T[ ] 登记临近区域的颜色，如找到没用过的颜色即可为该区域涂上，接着又会考虑到如果某个区域的临近区域四种颜色都存在，则这区域又该如何，这时想到了退一步，因前面的那个区域并不一定是临近的有三种不同的颜色，所以并不是一定就定死了用上次定下的那种颜色，故试着改变前面一个区域的颜色，若仍然颜色相同，再退回改变前一个区域的颜色，继续往下进行，如此反复，直到获得正确答案为止。

四色图论——四色问题解的存在性及求解方法

有简捷的常规证明［４］．
分属于两个不同区域，只有边界线为它所分割的
两个区域所共有，边界线之外的点必属于且仅属
四色问题可简述如下：任何平面地图都可用４种颜色着色，使其相邻区域着色不同［１］．
第５６卷第６期
２０１６年１１月
业业啦
大连理工大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤａｌｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖｏ１．５６，ＮＯ．６
引导图论诞生的四色问题，具有不同于七桥
于一个区域．一般边界线（Ｊｏｒｄａｎ曲线）分割两个
区域并为它们所共有，不关心其形状和长度；边界线的两个特殊点为３个或３个以上区域所共有，这种点称为边界线的结点，它没有形状与大小，是划分两个区域边界线的端点（起点或终点），是不同边界线的交接点（这里不讨论只有一个结点和没有结点的边界线）；结点的阶是交于此的边界线数，用表示，它也是共有该点的区域个数，显然有＿厂 ≥３，结点的阶为３时特别称为简单结点；区域的边界线可细分为内边界线和外边界线两种，也可以没有内边界线．区域内边界线若存在则表示区域内挖了孔洞，且不破坏区域的连通性，内外

四色问题的计算机求解-实习论文

昨天分配给我的任务是实现图像的读取对图像进行分区创建区域之间关系创建存储区域之间关系的矩今天主要完成的是图像的读取同过参考老师提供的资料很快便撰写出了代码能从bmp图像的文件信息头中读取到图像像素的宽度和高度读取图像所有的像素点并将数据信息存入一个二维数组中
数据结构与 C 语言综合训练实习报告
信息工程学院
AreaLayer areaLayer, ImageLayer imageLayer) 功能：创建映射关系层
5
参数：[NexusLayer *nexusLayer] --- 映射关系层指针 [AreaLayer areaLayer] --- 映射区域层 [ImageLayer imageLayer] --- 映射图像层
倍数，将图像色彩信息读入二维数组存储，关闭 BMP 图像文件。（2）void SaveImage(Image image, char *imageFileName)
功能：保存图像参数：[Image image] --- 图像
[char *imageFileName] --- 图像文件名称指针返回：无设计：打开 BMP 图像文件，从图像指针指向的内存中获取图像信息头和全部像素点
NexusLayer nexusLayer) 功能：创建映射方案层参数：[SolutionLayer *solutionLayer] --- 映射方案层指针
[NexusLayer nexusLayer] --- 映射关系层返回：无（11）void DestroySolutionLayer(SolutionLayer *solutionLayer) 功能：销毁映射方案层参数：[SolutionLayer *solutionLaye] --- 映射方案层指针返回：无（ 12 ） void SaveColoredSolution(SolutionNode *solutinNode, Mapping mapping, char

四色问题的彻底解决——文中的辩证唯物主义思想

四色问题的彻底解决——文中的辩证唯物主义思想摘要】本文宗旨在于使“四色问题”的证明更公理化、系统化、严密化和科学化。

并把证明上升到辩论唯物主义即马克思主义的辩证法哲学的高度，因为唯物辩证法是辩证法思想发展的高级形态。

(我们在证明时用到了，对立统一即矛盾规律，量变到质变的规律和否定之否定规律)同时为了说明问题也深入到现象与本质的关系，因果关系，必然与偶然的关系以及时空观等一系列的基本范畴。

我们更要指出在研究“四色问题”的界的探讨时的一个逼近序列就是以我们中华民族的汉字“田”字为基本单位而加倍展开的没有哪个国家或民族的文字中有“田”字。

这就说明中华民族的文明中早就蕴藏着“四色问题”的基本原理，只不过也吸收了别个国家的文明发扬而光大之。

【关健词】“四色问题”“五色问题”，贯穿曲线，欧拉(Euler)公式Four-color solvethe problem - the text of dialectical thinkingHu Hanlin【Abstract】This article aims to make “four-color problem” proved to be more axiomatic, systematic, rigorous and scientific. And rose to the debate proved that the Marxist materialist dialectics of philosophy and the high, because the development of dialectical materialism is a dialectics of senior form of thinking. (We use certificates,and the unity of opposites or contradictions in the law of quantitative change to qualitative change in the law and the law of negation of negation) To illustrate the problem at the same time into the relationship between the phenomenon and essence, a causal relationship, the relationship between the inevitable and accidental, as well as Space and Time a series of basic areas such as.We also want to point out that in “four-color problem” of the co mmunity an approximation sequence at the time of the Chinese nation is the characters “Tian” and the word for the basic unit of the vote to redouble Which country or nation in the Text “field”word. This shows that the civilization of the Chinese nation has long been hidden in a “four-color problem” of the basic principles, but also absorbed in other civilized countries have made Yang of the China Everbright.【Key words】“four-color problem”; “colored problem”; throughout the curve; Euler (Euler) equation多元一次不定方程，多元一次齐次不定方程，非负整数解，容斥原理、匹配原理，藕合问题、错位问题。

我对四色猜想命题的解读及证明方法的比较

创新教育自2009年10月以来,我在《科技资讯》和《科技创新导报》先后发表了有关研究四色猜想命题(简称为“四色命题”)方面的文章。

为使人们能真正读懂和正确理解四色命题,认可“张尔光的‘组合说’”,本文想谈谈我对四色命题的解读,并将本人的证明方法与其他证明方法作个比较。

1 我对四色猜想命题的解读要破解一个数学命题,首先要读懂命题,正确解读命题,才能谈得上正确破解命题。

要破解四色命题,其道理亦然。

解读一:四色命题是一个“有设定条件、已知结果、但不知因由”的命题,它要人们作出解答的是“为什么能够做到”的问题,并非是“能否做到”的问题。

事实告诉我们,于1852年弗南西斯·葛斯里提出的四色命题,来自于“无论多么复杂的地图,只消用四种色调就足以将相邻区域区分开”(引自《古今数学趣话》第9页)现象。

葛斯里对这个现象(即着色结果)感到不解,并认为这是个数学问题,于是便写信给他哥哥(数学家),以求得到数学解答。

然而他哥哥也解答不了,他哥哥又写信给自己的老师德·摩根(大数学家),请作出解答。

老师同样解答不了……由此看出,葛斯里完全知道四色区分这一着色结果,他提出的命题包含着“相邻区域不能同着一色”这个前提条件及“完全能够做到”和“为什么能够做到”两层含义,要人们解答的不是“能否做到”的问题,而是“为什么能够做到”的问题。

解读二:地图是四色命题中的一个关键词,地图与平面图是两个截然不同的概念。

要破解四色命题,必须读懂“地图”这个词。

这里说的“读懂”,是指要弄清楚地图的载体是什么、地图的形成原理、地图的结构模式以及其区域与区域之间的关系是什么。

我对“地图”是这样解读的:所谓“地图”,是展现在球体表面、由若干区域(国家)组合形成的整体。

这个解读表达了三个意思:(1)球体表面是地图的载体,研究四色命题时不应漏缺“物体表面”这个要素;(2)地图是组合的整体,并非是排列的整体;(3)如把“地图”解读为“平面图”(或混为一谈),那肯定是一种误读。

话说四色问题

话说四色问题——研究四色问题三十年之总结雷明（二○一六年四月三十日）31、关于统一地图着色规范的建议：（一）地图的以模式并不是一成不变的：实际的地球地图中的区划并不是固定不变的，而是处在不停的变动之中。

有时是由一个区划分成多个区划，如前苏联和南斯拉夫的解体，捷克和斯洛伐克的分治，南苏丹与苏丹的分裂，孟加拉国从巴吉斯坦独立出去，韩国与朝鲜的分治等等，都是从一个区划分成了多个区划；有时是由几个区划合并成一个区划，如南北越南的统一，两个德国的统一，原锡金并入印度版图，两个也门的统一等等，都是由几个区划合并成一个区划。

每变动一次，新出版的地图就得有一种新的着色模式，因此，地图的着色模式也不是一成不变的。

（二）关于统一地图着色规范的建议：现在市面上出售的地图中，除了海洋和南极洲以外，至少都用了五种以上的颜色。

而且不同时期出版的地图中，即就是行政区划没有发生变化，同一个区划也用的颜色不同；同一出版社出版的地图，用色也不相同；就是同一个出社不同时间、不同印次的地图，用色也是不同的；就连同一本地图册中，各页中同一区划所用的颜色也是不同的；等等。

这些都不利于地图的管理和印制地图过程中的计算机管理。

因此有必要对地图的用色进行统一的规范一下。

建议地图着色时，陆地国家采用红，黄，绿，灰四种颜色；海洋与湖泊用天兰色，南极洲、克什米尔和格陵兰岛用白色；共六种颜色。

同时把每个区划的颜色固定起来，只要行政区划数不发生变化，就不要轻易的变动。

但这首先要在国际间建立组织，进行统一协商，调整在国家级的区划发生变化时，世界范围内各国所用的颜色的变化问题，向世界各国发布新的世界地图的着色模式等。

当然各国也要有相应的组织。

32、关于“构形”的概念：证明四色猜测最开始时的1879年坎泊是采用的着色法，直到1976年阿贝尔的所谓计算机“证明”，还是采用的与坎泊同样的着色法，都是采用了坎泊所创造的颜色交换技术，来证明图的不可免构形集中的所有构形是否都是可约的。

四色问题

四色问题探索山西焦化集团有限公司子弟中学姜彦林摘要：本文介绍了著名的四色问题及其由来，给出了四色问题的确切答案，并且证明了四色定理的成立；最后，对他进行推广，得出一个新的结论，同时介绍了他的一些应用。

关键词：相邻、贪婪算法、两两相邻、对偶图。

一、四色问题及其由来四色问题的一般叙述为：对任何一张地图上的国家染色，是否只需要四种颜色就能保证任意两个相邻的国家都可以染上不同的颜色？作为一个数学问题来要求，上述提法显然有含混不清的地方。

例如，两个在边界上只有一个或几个公共点的国家算不算是相邻的？一个国家是否允许有两块或两块以上互不相毗邻的领土？等等。

首先两国相邻是指它们的公共；边界上至少包含一段连续曲线，因此两个只在一个或有限个点接壤的国家不算相邻。

否则我们可以象图1.1那样构造出任意多个在一点彼此相邻的国家，当然绝对不能用四种颜色对它们染色使得任何两个相邻的国家染上的颜色都不同。

其次，国家是指由一条或若干条不自交的连续闭曲线围起来的连通闭曲域，但是一个国家不能有两块或两块以上互不毗邻的领土。

如果不这样约定，四色问题的答案就是否定的。

例如图1.2中的国A分成了两块，显然用四种颜色无法使A中的两块都不同。

最后，约定地图上国家的数目是有限的，如果把至少属于三个国家的边界上的点看成图上的顶点，连接两个顶点的两国的公共边界看成边，又当另一个国家完全包围时，就在其公共边界的闭曲线上任取一点作为顶点，这样一来，地图就成为一个平图，国家对应于平图上的面。

1852年弗兰西斯·嘉思瑞（Francis Guthris）在和他弟弟弗雷德里克·嘉思瑞（Fredrick Guthris）的通信中提出了四色问题，弗雷德里克求教于他们的老师德·摩根（De Morgan），摩根与他的朋友在通信中讨论过这个问题，但无法解决。

1878年凯莱在伦敦数学会宣布了这个问题，这才引起数学界的广泛注意。

肯佩（Kempe）和泰特（P.G.Tait)分别在1879年和1880年发表文章,声称证明了四色问题。

四色问题的探讨

综上分析, A. B. Kempe 运用 Kempe 法色交换来证明四色猜想, 必然导致在某些情况下有可能使证明陷入无结果的循环状态o 故 Kempe 的四色猜想证明缺乏严格性和周密性o
( a) G 的 A 种着色
图 1 最大平面图 G
(b) G 的 B 种着色
2 转移法色交换
设图 G 用 a1, a2, ~ , aX( G) 等 X( G) 种颜色着色o 若 G 中点 Uz 和 Uj 在两色子图 G asat( s, t 1, 2, ~ , X( G) 9s t) 的同一连通子图中, 则 Uz 和 Uj 之间至少存在一条 as 色点和 at 色点交错出现的路径, 此路径名为 Uz 和 Uj 间 asat 两色交错路径[2], 记为 Pz, jasato
收稿日期: Z 00Z -06-Z 7 作者简介: 徐志才( 1937一D 9男9北京邮电06
北京邮电大学学报
第 26 卷
1976 年美国 K. I. Appel 和 W. Hakem 借助于电子计算机证明了四色猜想为真[9]o 本人于 1998 年从理论上证明了 A( 0 ) 类平面图可 4-着色[4]o 近数年内作者对平面图及其着色的研究取得了一些成果[1~ 5]o 在上述基础上, 本人将从理论上证明任一平面图可 4-着色o
四色问题的探讨
徐志才
( 北京邮电大学电子工程学院9 北京 100876D
摘要: 基于最新有关平面图着色的成果[1*5]9首先分析了关于四色猜想 A. B. Kempe 证明的错误原
因9并提出了纠正错误的方法9最后提出了四色猜想新证明G
关键词: 平面图; Kempe 法色交换; 转移法色交换; 四色问题
第Z期
徐志才: 四色问题的探讨

四色定理及其计算机证明

四⾊定理及其计算机证明为了⿊这个：“OpenAI发⽂表⽰，他们已经为Lean创建了⼀个神经定理证明器，⽤于解决各种具有挑战性的⾼中奥林匹克问题，包括两个改编⾃IMO的问题和来⾃AMC12、AIME竞赛的若⼲问题。

该证明器使⽤⼀个语⾔模型来寻找形式化命题(formal statement)的证明。

”The four color theorem was proved in 1976 by Kenneth Appel and Wolfgang Haken after many false proofs and counterexamples (unlike the five color theorem, proved in the 1800s, which states that five colors are enough to color a map)...The Appel and Haken proof attracted a fair amount of criticism. Part of it concerned the proof style: the statement of the Four Colour Theorem is simple and elegant so many mathematicians expected a simple and elegant proof that would explain, at least informally, why the theorem was true - not opaque IBM 370 assembly language programs.System/370 Model 148The new model also offers increased system throughput -- the amount of time it takes to perform a given amount of work -- compared to the Models 135 and 145. The Model 148 is available with 1,048,576 or 2,097,152 characters of memory. ⾼达1MB或2MB内存。

高三叙事作文：四色问题_3950字

四色问题_3950字四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。

”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。

汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”。

如为正规地图，否则为非正规地图。

一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

四色标记算法

四⾊标记算法著名的说到，“如果在上划出⼀些邻接的有限区域，那么可以⽤四种颜⾊来给这些区域染⾊，使得每两个邻接区域染的颜⾊都不⼀样”另⼀个通俗的说法是，“任意⼀个⽆飞地的地图都可以⽤四种颜⾊染⾊，使得没有两个相邻国家染的颜⾊相同。

”定理的证明⽐较复杂，但可以确信：四种颜⾊是⾜够染完平⾯图，并且保证每两个邻接区域染的颜⾊都不⼀样。

在我的研究⼯作中，需要实现⼀个这样的算法，最初我⽤DFS实现，确信思路正确，也测试了⼏组数据，然⽽在区域数较多的时候，由于堆栈深度过深，导致程序崩溃（我猜想是这个原因），所以后来尝试⽤了⾮递归实现的⽅法。

图像处理中的四⾊标记问题可以定义为：给定邻接矩阵 Adj[n][n]，其中若第i个区域与第j个区域相邻，则A[i][j]=1，否则A[i][j]=0，求四⾊标记该区域的⼀组解（注意：解空间可能达到4^n，故只求⼀组解）/* ************************************** Main Function* Para:* @Adj: Adjacent Matrix* @Record: Record the labeled results* @num: The number of regions** *************************************/void FourColorLabel(int ** Adj, int * Record, int num){// 染⾊第⼀个区域，先设置为1Record[0]=1;int m=1, n=1; // m计数，n为颜⾊值// ⼀直染⾊，直到染完while (m<=num){while(n<=4&& m<=num){int k=0;for (k=0; k<m; k++){if (Adj[m][k]==1 && Record[k]==n) break; // 染⾊有冲突}if (k<m) n++; // 染⾊有冲突，换新颜⾊else // 当前染⾊OK{Record[m]=n;m++;n=1;}}if (n>4) // 如果当前⽤的已经超出标记范围（说明在已标记的情况下，⽬前区域⽆合适的颜⾊，必须回退）{m--;n=Record[m]+1;}}}　以上的复杂度其实不是很好估计，跟具体的图有关，回退次数不多的情况下，很快就能完成所有染⾊，否则，需要更多的回退次数。

四色足矣——谈谈有趣的四色问题

四色足矣——谈谈有趣的四色问题四色问题指的是：给定一个有向图（假设有向图上每个顶点都不相同），要用四种颜色（不管是什么颜色）去给每个顶点上色，用以满足以下条件：从任意一个顶点出发到另一个顶点（也就是有向图中的边），它的两个端点的颜色需要不同。

四色问题一诞生便引发了人们的兴趣，1968年英国数学家 Appel 和Haken，基于计算机的计算方法，完成了这个难题。

其后，研究者们特地以此来验证计算机计算的有效性和完整性，后来已经证明只需要有 4 种颜色就能正确识别所有图。

四色问题又叫Appel-Haken定理，是19号世纪以来最有影响力的数学定理，但由于计算量很大，计算机所能处理的图象比较少，只有非常小的图象能被简单的证明，其它的则需要引入其他的算法，以更快的找到四色结论。

最近，研究者还在探究更高维的图形，并做证明。

最终被计算机所证明的百年数学难题——四色定理

和费马大定理，庞加莱猜想一样，四色定理也是那种叙述起来非常简单，证明起来却极其困难的百年数学难题。

但四色定理非常特殊的一点在于，它的最终证明并不是传统的数学逻辑证明，而是借助计算机分析所有可能的情形后完成的。

这也就是说，四色定理的证明迄今为止仍非单独的人力所能及，我们仍然没有找到理论上的逻辑证明，但借助计算机强大的计算能力，的确又可以解决这个难题。

四色猜想四色猜想最早并不是由职业数学家提出的，而是由从事地图制作的费兰西斯.古色利（Francis Gurthire）发现的。

在为不同的地图着色过程中，细心的古色列发现，对于相邻(具有公共边界)的地区，若它们着不同颜色，那么只要四种颜色就可以完成这张地图。

好奇心强烈的古色列对这个猜想的正确性非常感兴趣，但苦于自己不具备专业的数学知识，于是他将这个问题告诉了自己在伦敦大学学数学的弟弟费雷德里克·古色利（Frederick Guthrie），但弟弟也无能为力，后来他又寻求老师，著名数学家德·摩根(deMorgan,1806~1871，提出了集合论中著名的德·摩根定律) 的帮助。

但令兄弟二人震惊的是，即使是德·摩根这样出色的数学家也对这个问题无能为力。

德·摩根但德·摩根算得上是四色猜想的第一位先驱，实际上他证明了至少需要四种颜色，并且因此留下了关于四色猜想最早的正式文字记录。

同样，德·摩根向许多当时著名的数学家咨询过这个问题，但都一无所获，直到英国著名数学家凯莱(ArthurCayley，1821～1895，矩阵论创始人) 在1878年向伦敦数学会提交这个问题后，四色猜想才开始广为人知，并吸引了众多数学家来研究这个问题。

凯莱在凯莱正式向数学界提出四色猜想后不到一年时间内，毕业于剑桥大学数学系的律师肯普(Kempe)给出了一个看似正确的证明，但直到十一年后，希伍德(Heawood) 才发现了肯普证明中的错误，由此证明四色猜想的努力再次破产。

张超浅谈“四色问题”

浅谈四色问题【摘要】在日常生活中,我们会发现一个有趣的现象，如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色给一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻国家的颜色不同，这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来，这就是由地图着色问题引发的著名的数学问题：“四色问题”。

但要证明这个结论却是一个著名的世界难题，许许多多的中外数学家都被这个问题所折服，最终借助计算机才得以解决，但结论并不是很完美，因此诸多数学学者都在寻找其严格的数学证明方法。

【关键词】四色问题的背景四色问题的解决历程四色问题的应用四色问题又称四色猜想、四色定理，与哥德巴赫猜想、费马大定理一起被称作世界三大著名数学难题。

“四色问题”是世界数学史上一个非常著名的证明难题，它要求证明在平面地图上只用四种颜色就能使任何复杂形状的各块相邻区域之间颜色不会重复，也就是说相互之间都有交界的区域最多只能有四块。

一百五十多年来有许多数学家用了很长时间，花了很多精力才艰难地证明了这个问题。

下面我就来谈一谈著名的“四色问题”。

一、四色问题的背景（一）四色问题的提出四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。

”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试，兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师，著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友，著名数学家哈密顿爵士请教，哈密顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

四色定理解题报告

break;
end; end; end;
用循环枚举每个区域 (a[m,i2]=1)判断两个区域是否相邻。 (b[m]=b[i2])判断颜色是否相同。
代码碎片3:预处理
for i:=1 to n do begin readln(i1,j1); a[i1,j1]:=1; a[j1,i1]:=1;
end;
b[k]:=0;
end; b[k]:=0;
end;
end;
k1是枚举k颜色的量。 pd（k）的意思是位置k上填颜色k1。 b数组是存储颜色的数组。
代码碎片2:判断
function pd(m:longint):boolean; var i2:longint; begin pd:=true; for i2:=1 to 5 do begin if (a[m,i2]=1) and (b[m]=b[i2]) then begin pd:=false;
四色定理解题报告
作者：魏泽宇来源：JZXXOJ-1060
目录
程序
AC 题目及算法初步构建
进一步细化
算法的基本细化
先看题目
著名的四色定理你一定听说过吧？这可是近代世界三大数学难题之一唷（顺便提上一句，另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想）。四色定理的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯•格思里 (Francis Guthrie)在一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”（注意：只要求有公共边的区域不同色就可以，只有公共顶点的同色也没关系）。四色定理一直都无法证明。直到1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，才终于完成了四色定理的证明。你的任务相对那些数学家们来说当然要容易得多：你只要编写一个程序，计算一下在给定的一张有5个区域的地图上，用四种颜色填充不同区域，并保证有公共边的区域不同色的方案数有多少就可以了。