时间序列分析c

差分
建立差分回归模型
Yt 1X t vt
式中， vt= t t-1
然而，这种做法会引起两个问题：
(1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系 Yt=0+1Xt+t 且误差项t不存在序列相关，则差分式 Yt=1Xt+t 中的t是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的；

如使用模型1
et et 1 i et i t
i 1 p
进行检验时，拒绝零假设H0：=0，意味着误差项et是 平稳序列，从而说明X与Y间是协整的。 需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回 归计算出的误差项 et 而非真正的非均衡误差t进行的。 而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际 情形大。 于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常 的DF与ADF临界值还要小。
例如，使用Yt=1Xt+t回归时，很少出现截距项显著 为零的情况，即我们常常会得到如下形式的方程：
ˆ ˆ Yt 0 1X t vt
ˆ 0 0
(*)
在X保持不变时，如果模型存在静态均衡（static equilibrium），Y也会保持它的长期均衡值不变。 但如果使用（*）式，即使X保持不变，Y也会处于长期上 升或下降的过程中(Why?)，这意味着X与Y间不存在静态均 衡。 这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。 可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的 全部问题，因此，误差修正模型便应运而生。
协整

一般地，设X1t, X2t,…, Xkt都是d 阶单整的， 如果存在向量 (1, 2 ,…, k) ，使得 Zt Xt 1X1t 2 X2t k Xkt ~ I(d b)， 其中b 0， Xt (X1t, X2t,…, Xkt)，则称X1t, X2t,…, Xkt是(d, b)阶协整的。记为Xt ~CI (d, b)， 称为协整向量(conintegrated vector)

多变量协整关系的检验
对于多变量的协整检验，首先检验变量 是否具有相同的阶数的单整性，再检验 是否存在平稳的线性组合。 是否存在平稳的线性组合，一般先设一 个变量为被解释变量，其它为解释变量， 进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。 如果不平稳，则更换被解释变量，进行 同样的OLS估计及残差序列检验。当所 有的变量都被选为被解释变量后，仍然 得不到平稳的残差序列。则这些变量不 存在(d, d)阶协整。
例9.3.1 检验中国居民人均消费水平 与人均GDP的协整关系
Dependent Variable: CONSP Method: Least Squares Sample: 1978 2000 Included observations: 23 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 200.6379 14.95101 13.41969 0.0000 GDPP 0.386683 0.007254 53.30433 0.0000 R-squared 0.992663 Mean dependent var 905.7652 Adjusted R-squared 0.992314 S.D. dependent var 81.1373 S.E. of regression 33.41422 Akaike info criterion 9.938781 Sum squared resid 23446.71 Schwarz criterion 10.03752 Log likelihood -112.2960 F-statistic 2841.351 Durbin-Watson stat 0.596802 Prob(F-statistic) 0.000000
误差修正模型的概念

设X 与Y 之间存在长期均衡关系： Yt 0 1Xt t。 但现实经济中X 与Y 很少处在均衡点上，实际观测 到的只是X 与Y间的短期的或非均衡的关系。为了描 述误差修正模型，考虑下面的带滞后项的模型： Yt 0 1Xt 2Xt1 Yt1 t。 该模型表示t期的Y值，不仅与当前的X有关，而且与 t1期的X 和Y值有关。
一、长期均衡与协整

经济理论指出，某些经济变量之间确实存在 长期均衡关系。这种均衡关系意味着经济系 统不存在破坏均衡的内在机制。如果变量在 某时期受到干扰后偏离长期均衡点，则均衡 机制将会在下一期进行调整，以使其重新回 到均衡状态。
长期均衡关系
假设X 与Y 之间存在长期均衡关系，并且 均衡关系可以描述为： Yt 0 1Xt。 这一均衡关系说明给定X 的一个值， Y 相应的均衡值也随之确定为0 1X。 但是经济系统经常会受到外部的干扰， 从而使系统暂时偏离均衡状态。为了说 明这一点，我们用关系 Yt 0 1Xt t。 加以描述。其中t为随机干扰项。
第三节 协整与误差修正模型
长期均衡关系与协整 协整的检验 误差修正模型

0、问题的提出



经典回归模型（classical regression model）是建立 在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使 用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分 析方法带来了很大限制。 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之 间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归 模型方法建立回归模型的。 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中： 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能， 其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民 人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系， 即它们之间是协整的（cointegration）。

三、误差修正模型
误差修正模型的概念 误差修正模型的建立

1、误差修正模型
前文已经提到，对于非稳定时间序列，可通过差分的 方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。 如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X）之 间的回归模型：
Yt 0 1 X t t
如果Y与X 具有共同的 向上或向下 的变化趋势 X,Y 成为 平稳 序列
误差修正模型的概念



设X 与Y 之间存在长期均衡关系： Yt 0 1Xt t。 但现实经济中X 与Y 很少处在均衡点上，实际观测 到的只是X 与Y间的短期的或非均衡的关系。为了描 述这种短期非均衡的关系，自然想到用差分回归模 型： Yt 1 Xt t。 但这种模型不能反映均衡机制有回到均衡状态的趋 势。 为此，人们提出了误差修正模型。
多变量协整关系的检验

多个协整变量可能存在多种平稳的线性组合。 假设4个I(1)变量Z, X, Y,W 存在下面的长期均 衡关系： Zt 0 1Wt 2Xt 3Yt t。 其中非均衡误差t为I(0)序列。协整向量为(1, 0, 1, 2, 3)。
多变量协整关系的检验
) ) ) et = Yt - Yt = Yt - a 0 - a 1 X t
再计算非均衡误差
第二步 检验et的单整性。
如果et为平稳序列，则X 与Y 为(d, d)阶协整； 如果et为1阶单整的，则为(d, d1)阶协整。 检验et的单整性的方法是单位根检验。可以使 用DF或ADF检验方法。由于协整回归已经包 含截距，检验模型中无需再用截距项。

在t期，假设X 有一个变化量Xt，如果X 与Y 在t1期和t期都满足长期均衡关系， 则相应的变化量Yt满足： Yt 1 Xt vt。 其中vt t t 1。如果经济在t1期处于 非均衡状态，例如，Y 小于它的均衡值， Yt 1 0 1Xt 1，则根据经济理论， Y 的变化量会比上面的Yt大一些；反之， 如果Y 大于它的均衡值，即Yt 1 0 1Xt 1， Y 的变化量会比上面的Yt小一 些。
二、协整的检验
两变量的Engle-Granger(EG量的 EG检验

设X 与Y 是d 阶单整的，检验两变量X 与Y 是 否具有协整关系。
第一步 计算非均衡误差

用OLS法估计方程 Yt 0 1Xt t。 得到 ) ) ) Yt = a 0 + a1 X t

随机干扰项t也称为非均衡误差 (disequilibrium error)，它是变量X 与Y的 线性组合： t Yt 0 1Xt 。 因此，即使X 与Y是非平稳的，但如果存 在长期均衡关系，则它们的线性组合是 平稳的。
协整

如果
Yt 0 1Xt t。 中的X 与Y 都是一阶单整的，即为I(1)， 而随机干扰项t是I(0)，这时我们就X 与Y 是协整的。
(2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值 的重要信息将被忽略，这时模型只表达了X与Y间的短 期关系，而没有揭示它们间的长期关系。 因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取 决于X本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤 其是X与Y在t-1期的不平衡程度。 另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归 方程。
但当Z与W， X与Y之间分别存在长期均衡 关系： Zt 0 1Wt 1t， Xt 0 1Yt 2t。 其中1t和2t都是为I(0)序列。于是1t和2t 的任意线性组合也是平稳的。例如 t 1t 2t Zt 0 0 1Wt Xt 1Yt 一定是I(0)序列。于是 (1, 0 0 , 1, 1, 1) 也是Z, X, Y, W的协整向量。
例

前面的中国居民人均消费与人均GDP都是2阶 单整的，可以证明它们有一个线性组合是0阶 单整的，从而是(2, 2)阶协整的。
协整与长期均衡关系


(d, d)阶协整是一类非常重要的协整关系。其经济意 义在于：两个变量，虽然具有各自的长期波动规律， 但是如果它们是(d, d)阶协整的，则它们之间存在一 个长期稳定的均衡关系或比例关系。 对于中中国居民人均消费与人均GDP，它们是(2, 2) 阶协整的，从而存在一个长期稳定的比例关系。从 计量经济学的角度，建立如下模型： CONSPt 0 1 GDPP t t , 变量的选择是合理的，随机干扰项t也一定是白躁 声，而且模型参数有合理的经济解释。