[学习]二次函数的图象及性质华师大版
华师大版数学九年级下册《二次函数y=a2的图象与性质》说课稿
华师大版数学九年级下册《二次函数y=a2的图象与性质》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《二次函数y=a2的图象与性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数和二次函数的一般形式的基础上进行学习的。
本节课主要让学生了解二次函数y=a2的图象特征，掌握二次函数的性质，并能运用二次函数的性质解决一些实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握二次函数的图象与性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数的一般形式有一定的了解。
但在学习本节课时，学生可能对二次函数的图象与性质的理解存在一定的困难，特别是对于二次函数的顶点式、对称轴等性质的理解。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索和发现二次函数的性质，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解二次函数y=a^2的图象特征，掌握二次函数的性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探索和发现二次函数的性质的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生对数学学科的学习自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数y=a^2的图象特征，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的顶点式、对称轴等性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用引导发现法、自主探究法、合作交流法等教学方法。
通过引导学生观察、分析、归纳等方法，自主探索和发现二次函数的性质。
同时，利用多媒体课件和数学软件，辅助学生直观地理解二次函数的图象与性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数和二次函数的一般形式，引导学生思考二次函数的图象与性质，为新课的学习做好铺垫。
2.探究二次函数的图象特征：让学生利用数学软件，绘制二次函数y=a^2的图象，观察和分析图象的形状、顶点、对称轴等特点，引导学生发现二次函数的图象特征。
二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质课件华东师大
二次函数二次函数的图象与性质课件xx年xx月xx日•引言•基本概念•图象与性质目录•表达式与系数•应用举例•回顾与总结01引言二次函数是数学学科中的重要内容，是中考、高考的热点之一通过学习二次函数的图象与性质，可以更好地理解数学学科中的知识点之间的联系和转化课程背景掌握二次函数的图象和性质会用二次函数的图象和性质解决实际问题培养学生的思维能力和创新意识学习目标主要内容二次函数的图象与性质辅助内容二次函数的应用举例、二次函数的拓展内容概述02基本概念y=ax^2+bx+c(a\neq0)定义式顶点式一般式y=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c(a\neq0)030201开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下顶点：(-b/2a,\frac{4ac-b^2}{4a})与y轴交点：(0,c)对称轴：x=-b/2a有最小值当a>0时，最小值为\frac{4ac-b^2}{4a}；当a<0时，最大值为\frac{4ac-b^2}{4a}区间讨论在区间(m,n)上，当a>0时，二次函数单调递增；当a<0时，二次函数单调递减判别式Δ=b^2-4ac，决定函数图像与x轴有无交点值域当Δ<0时，值域为\{y|y≥\frac{4ac-b^2}{4a}\}或\{y|y≤\frac{4ac-b^2}{4a}\}二次函数性质0102030403图象与性质总结词对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，其图象关于对称轴x=-b/2a对称。
详细描述当a、b、c取不同的值时，二次函数的图象表现出不同的形状和位置。
但无论图象如何变化，其对称轴始终保持不变，都为x=-b/2a。
这一性质对于理解和掌握二次函数的图象和性质非常重要。
图象对称性二次函数图象的变化规律与a、b、c的符号及对称轴位置有关。
总结词在y轴左侧，当a<0时，二次函数图象单调递减；当a>0时，图象先减后增。
九年级下册数学课件(华师版)二次函数的图象与性质
当x=h时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
当x=h时,最. 大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
1、说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y=(x+1)2 （2）y=-(x-5)2
（3）y=2(x-3)2 （4）y=- 2(x-1)2
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
2.当a>0时,抛物线在x轴的上方(除顶点 外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线在x轴的下方(除顶点 外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
直线x=h
3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随 着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧 ,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的 值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x 的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y 随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值 最大(是0).
16
2
12
观察函数 y 1 x 2与2 y 1 x2的
2
2
图象,它们有什么关系?
8
y 1 x2 2
4
2
x
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -2
பைடு நூலகம்
描点,连线 y
20
函数 与 的 y 1 x 22 2
y 1 x2 2
图象有什么关系?说出它
26.2 二次函数的图象与性质（3）
y x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第3课时PPT课件(华师大版)
减”的平移规律,确定平移后的抛物线对应的函数关系式.
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
目标三 理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质
例 3 [高频考题]
已知函数 y=3 - +9.
(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次
a的
图象的开 图象的 图象的顶
函数值的
图象
函数
符号
最值
口方向
对称轴 点坐标
变化情况
当x>h时,y随x的
y=
a(x-
a>0
向上
直线
( h , 增大而 增大 ;
图象有最 低点,
当x=h时,y有最
x=h
2
称轴分别为 y 轴,直线 x=1,直线 x=1;顶点坐标分别为
(0,0),(1,0),(1,-2).
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
【归纳总结】画二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象的技巧:
(1)找到对称轴直线 x=h(即顶点的横坐标 h);
(2)列表时选取的 x 值中把 h 放在中间,比 h 小和比 h 大的数各取若干个
k
)
当x<h时,y随x的
h)2+k
增大而
增大
大值
k
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
反思
华师大版数学九年级下册26.2《二次函数的图象与性质》教学设计
华师大版数学九年级下册26.2《二次函数的图象与性质》教学设计一. 教材分析《二次函数的图象与性质》是华师大版数学九年级下册第26章第2节的内容。
本节内容主要介绍二次函数的图象与性质，包括二次函数的顶点、开口、对称轴等概念，以及如何通过图象来判断二次函数的性质。
学生通过本节的学习，应该能够理解二次函数的图象与性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基础知识，对函数的概念、定义、图像等有一定的了解。
但是，对于二次函数的图象与性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例来理解和掌握。
此外，学生的空间想象能力和抽象思维能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的这些能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的图象与性质，能够通过图象来判断二次函数的性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜测、验证等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与性质。
2.难点：如何通过图象来判断二次函数的性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过设置问题，引导学生观察、操作、猜测、验证，从而理解二次函数的图象与性质。
同时，学生进行小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT，包括二次函数的图象与性质的讲解、实例分析等。
3.准备纸笔，用于学生进行绘图和记录。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象与性质的概念。
例如：某商场进行促销活动，打折后的价格可以表示为一个二次函数，如何根据价格来判断促销活动是否优惠？2.呈现（10分钟）利用PPT，呈现二次函数的图象与性质的定义和概念，包括顶点、开口、对称轴等。
同时，通过实例来展示这些概念的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行绘图和分析，每组选择一个二次函数，画出它的图象，并判断它的性质。
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)
>-
>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
-
时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时PPT课件(华师大版)
例 3 [教材补充例题]
2
(1)已知 0≤x≤1,那么函数 y=-2x +8x-6 的
最大值是 ( B )
B.0
A.-6
C.2
D.4
2
(2)函数 y=x +2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是 ( C )
A.4 和-3
B.-3 和-4
C.5 和-4
D.-1 和-4
第5课时
二次函数最值的应用
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第5课时
二次函数
二次函数最值的应用
目标突破
总结反思
第5课时
二次函数最值的应用
目标突破
目标一 能用二次函数模型解决几何图形中的最值
例 1 [教材补充例题] 如图 26-2-4,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12
第5课时
二次函数最值的应用
2
2
则 y=(x-40)[90-3(x-50)]=-3x +360x-9600=-3(x-60) +1200.
∵a=-3<0,∴抛物线开口向下,y 有最大值,最大值为 1200,∴销售该
苹果每天能获得的最大利润是 1200 元.
上面的解答过程正确吗?如果不正确,错在哪里?并写出正确的
cm,BC=24 cm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动(不
与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动(不
与点 C 重合),点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发.
26.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质PPT课件(华师大版)
向下 （0，－4） y轴
x＞0时，y随x的增大而减小； 4
x＜1时，y随x的增大而减小； y最小
向上 （1，0） 直线x＝1
x＞1时，y随x的增大而增大； 0
x＜－3时，y随x的增大而增大；y最大
向下 （－3，0）直线x＝－3
x＞－3时，y随x的增大而减小； 0
2
1个单位
平移方法2:
1 2 向左平移
1
y x
y ( x 1) 2
2
2
1个单位
再
向下平移 y 1 ( x 1) 2 1
2
1个单位
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
x=－1
x
抛物线y= 2(x-1)2+2的开口方向、对称轴和顶点坐标分别
是什么? 它可以由抛物线y=2x2经过怎样的平移得到?
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
开口方向
向上
增减性
最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第2课时PPT课件(华师大版)
y=x 分别交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边),求△ABC 的面积.
[解析] 将抛物线 y=- x2 向左平移 4 个单位后得到抛物线
2
y=- (x+4) ,在平面直角坐标系中画出直线 y=x 与抛物线 y=- (x+4)
2
的草图,求出 A,B 两点的坐标,然后利用△ABC 的面积等于△AOC 的面
∴当 x<-2 时,y 值随 x 值的增大而增大.
2
【归纳总结】抛物线 y=a(x-h) 的顶点坐标是(h,0),对称轴是直线 x=h.
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
备选目标 二次函数y=a(x-h)2与一次函数的关系
例
2
将抛物线 y=- x 向左平移 4 个单位后,其顶点为 C,并与直线
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
如图,过点 A,B 分别作 AD⊥x 轴于点 D,BE⊥x 轴于点 E,
∴△ABC 的面积= OC·AD- OC·BE= ×4×8- ×4×2=12.
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
总结反思
小结
知识点一 二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第2课时
二次函数
2
二次函数y=a(x-h)
的图象与性质
目标突破
总结反思
2二次函数的图象与性质复习PPT课件(华师大版)
1 2
0①
2k 2 k 1 2②
由①，得：k 1
由②，得：k1
1 2
2
, k2
1
∴ k 1
相信自己，你就能成功！
检测二：
1：y ax2
2：y bx2
3：y cx2
比较a、b、c的 大小
1
3
2
1
2、抛物线y = 2 x 2+3的开口 方向向 上 ,对称轴是直线X=0 ,
顶点坐标是（0，3） ,是由抛物
对称轴
a>0 最
y轴
y轴 直线x=h
x 0时，x 0时， x=h时
ymin 0 Hale Waihona Puke min c y=0(h,k)
直线x=h
x=h时 y=k
(
b
4ac b2
,
)
2a
4a
直线 x b
2a
x
b 2a
时，ym
in
4ac 4a
b2
值
x 0时 x 0时 x=h时 x=h时
a<0 ymax 0 ymax c ymax=0 y=k
• A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
• C．与x轴有两个交点
• D．顶点坐标是(-1，0)
检测三：
1、若抛物线y = a (x+m) 2+n开 口向下，顶点在第四象限，则
a〈 0, m〈 0, n〈 0。
某二次函数满足下列表格中的x，y的值：
x … －4 －2 0 1 2 3 …
y … 25 9
二次函数的图象和性质（复习）
一、二次函数的定义
1.定义：一般地,形如
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
华师大版初中数学九年级下册第12讲 二次函数的图象与性质
对称 轴 顶点 坐标
增减 性
最值
x＝ b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
当 x> b 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 2a
大；当 x＜ b 时，y 随 x 的增大而
2a
减小.
当 x> b 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 2a
小 ； 当 x＜ b 时 ， y 随 x 的 增 大 2a
华师大版初中数学
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重点知识精选
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华师大版初中数学
第 12 讲 二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的图象与性质
一、 知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一 次 函 形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
失分点警示：
抛 物 线 平 移 规 律 是 “上 加 下 减 ， 左加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线 y=x2 沿 x 轴向右平 移 2 个单位后所得抛物线的解析 式是 y=（x－2）2．
例：已经二次函数 y=x23x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为（1,0），则 关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 的两个实数根为 2,1.
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维可以让他们更理性
地看待人生
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华师大版初中数学 TB:小初高题库
6. 抛物线 y= ax2＋bx＋c＝0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应 二次函数 的 x 的所有值就是不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集；在 x 轴下方的部分点 与不等式 的纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集.
华东师大版九年级下册：二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质1.理解二次函数的有关概念．2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b 、c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑴ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．教学目标学习内容知识梳理3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑴ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减自变量，上加下减常数项”．方法二：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（1）c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）（2）c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑴ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑴ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑴ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑴ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：⑴ 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.⑴ 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ⑴ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑴ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑴ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑴ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑴ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数； 下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少【二次函数的定义】例1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是( C )A ．13-=x yB ．c bx ax y ++=2C ．1222+-=t t sD ．xx y 12+= 例2．下列说法中，正确的是( B )A ．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B ．在圆的面积公式2r s π=中，s 是r 的二次函数 C ．y ＝21(x －1)(x ＋4)不是二次函数 D ．在221x y -=中，一次项系数为1例3．若23)3(2+-+=x x a y 是二次函数，则a 的取值范围是___________．a≠－3例4．已知二次函数2231x x y +-=，则二次项系数a ＝___2___，一次项系数b ＝___-3____，常数项c ＝___1__． 例5．已知两个变量x ，y 之间的关系式为3)2()2(2-++-=x b x a y . (1)当________时，x ，y 之间是二次函数关系； a≠2(2)当_________________时，x ，y 之间是一次函数关系． a ＝2且b≠－2例6．菱形的两条对角线的和为26 cm ，则菱形的面积S(cm 2)与一条对角线的长x (cm)之间的函数关系式为____ S ＝－12x 2＋13x ___________，自变量x 的取值范围是____ 0＜x ＜26 ______________．例7．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm.设底面的宽为x ，抽屉的体积为y 时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(材质及其厚度等暂忽略不计)解：y ＝20x (90－x )＝－20x 2＋1800x ，0＜x ＜90例8．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小例题讲解商品的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式，并注明x 的取值范围．解：降低x 元后，所销售的件数是(500＋100x )，则y ＝(13.5－2.5－x )(500＋100x )，即y ＝－100x 2＋600x ＋5500(0＜x≤11)【二次函数2ax y =的图象与性质】例1．已知二次函数2x y =，则其图象经过下列点中的( A ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4) C ．(2，－4) D ．(4，2)例2．经过测试，某种汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时的速度v (千米/时)满足关系式s ＝21001v ，则下列表示s 与v 关系的图象为( C )例3．对于函数26x y =，下列说法正确的是( B )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小C ．y 随x 的增大而减小D ．y 随x 的增大而增大 例4．下列对抛物线22x y -=的说法中，错误的是( D ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 D ．有最低点例5．已知点(－1，1y )，(2，2y )，(－3，3y )都在函数2x y =的图象上，则( A ) A.1y ＜2y ＜3y B ．1y ＜3y ＜2y C ．3y ＜2y ＜1y D ．2y ＜1y ＜3y例6．二次函数22x y =和221x y =，以下说法：⑴它们的图象都是开口向上；⑴它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点(0，0)；⑴当x ＞0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；⑴它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例7．函数xay =与函数2ax y =(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )例8．已知二次函数2)2(x m y -=的图象开口向下，则m 的取值范围是___________．m <2 【二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质】例1．将二次函数122-=x y 的图象沿y 轴向上平移2个单位，则所得图象对应的函数关系式为____________．Y=2x 2+1 例2．对于二次函数23212+=x y ，下列说法不正确的是( B ) A ．其图象的顶点坐标是(0，32) B ．其最大值是32C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．其图象的对称轴是y 轴 例3．抛物线26x y -=可以看作是由抛物线562+-=x y 按下列何种变换得到( B ) A ．向上平移5个单位 B ．向下平移5个单位 C ．向左平移5个单位 D ．向右平移5个单位例4．已知k ax y +=2的图象上有三点A(－3，1y )，B(1，2y )，C(2，3y )，且y 2＜y 3＜y 1，则a 的取值范围是( A )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ≤0例5．若二次函数c ax y +=2，当x 取1x ，2x (1x ≠2x )时，函数值相等，则当x 取1x ＋2x 时，函数值为( D ) A ．a ＋c B ．a －c C ．－c D ．c 【二次函数2)(h x a y -=的图象与性质】例1．如果二次函数2)23(+=x a y 有最大值，那么a __<___0，当x ＝__－32___时，函数的最大值是_0____． 例2．将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的表达式是( A ) A ．2)2(+-=x y B ．22+-=x yC ．2)2(--=x y D ．22--=x y 例3．关于二次函数2)4(2+-=x y ，下列说法中正确的是( D )A ．图象开口向上B ．图象的对称轴是直线x ＝4C ．图象的顶点坐标是(0，4)D ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小 例4．在平面直角坐标系中，二次函数2)(h x a y -=(a ≠0)的图象可能是( D )例5．在同一直角坐标系中，一次函数c ax y +=和二次函数2)(c x a y +=的图象大致为( B )例6．二次函数2)1(7-=x y 的最小值是( C )A ．－1B ．1C ．0D ．没有最小值例7．平行于x 轴的直线与抛物线2)2(-=x a y 的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( C ) A ．(1，2) B ．(1，－2) C ．(5，2) D ．(－1，4) 【二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质】 例1．二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( A )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 例2．抛物线1)2(2++=x y 的顶点坐标是( A ) A ．(－2，1) B ．(－2，－1) C ．(2，1) D ．(2，－1) 例3．抛物线3)1(2--=x y 的对称轴是( C )A ．y 轴B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－3例4．在函数3)1(2++=x y 中，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是( A )A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．x ＜－1D ．x ＜3例5．若抛物线)1()(2++-=m m x y 的顶点在第一象限，则m 的取值范围为( B )A ．m ＞1B ．m ＞0C ．m ＞－1D ．－1＜m ＜0例6．已知二次函数1)2(32+-=x y ，下列说法：⑴其图象的开口向下；⑴其图象的对称轴为直线x ＝－2；⑴其图象顶点坐标为(2，－1)；⑴当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．其中说法正确的是( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例7．已知A(－2，1y )，B(1，2y )，C(2，3y )是抛物线a x y ++-=2)1(上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为( A )A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＞3y ＞2yC ．3y ＞2y ＞1yD ．3y ＞1y ＞2y例8．把二次函数22x y =的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为___________________．y ＝2(x ＋1)2－2例9．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值为－1，则a 与b 之间的大小关系为_______．a ＞b 例10．把二次函数k h x a y +-=2)(的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数k h x a y +-=2)(的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：(1)原二次函数表达式为y ＝12(x ＋1－2)2－1－4，即y ＝12(x －1)2－5，⑴a ＝12，h ＝1，k ＝－5 (2)它的开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－5)【二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质】例1．将二次函数322+-=x x y 化为k h x y +-=2)(的形式，结果为( D )A ．4)1(2++=x yB ．2)1(2++=x yC ．4)1(2+-=x yD ．2)1(2--=x y例2．要将抛物线322++=x x y 平移后得到抛物线2x y =，下列平移方法正确的是( D )A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位例3．在同一平面直角坐标系中，函数bx ax y +=2与a bx y +=的图象可能是( C )例4．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式为532+-=x x y ，则( A )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝21例5．已知二次函数2157212+--=x x y .若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且0＜1x ＜2x ＜3x ，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是( A )A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＜2y ＜3yC ．2y ＞3y ＞1yD ．2y ＜3y ＜1y【二次函数的最大(小)值】例1．二次函数86232++-=x x y ，当x ＝__2__时，函数y 有最__大__值为__14____．例2．已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有( B )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值2D ．最大值2例3．用20 cm 的细铁丝围矩形，则所围成的矩形的最大面积是( D )A ．20 cm 2B ．15 cm 2C ．28 cm 2D ．25 cm 2例4．已知0≤x ≤12，那么函数6822-+-=x x y 的最大值是( C ) A ．－10.5 B ．2 C ．－2.5 D ．－6例5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足函数关系式6)1(52+--=t h ，则小球距离地面的最大高度是( C )A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米例6．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S(cm 2)随其中一条对角线的长x (cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式；(不要求写出自变量x 的取值范围)(2)当x 是多少时，菱形风筝的面积S 最大？最大面积是多少？解：(1)S ＝－12x 2＋30x (2)当x 为30 cm 时，菱形风筝面积最大，最大面积为450 cm 2一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( A )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ C ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =--3. 函数2y kx k =-和(0)k y k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( A )4. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ⑴b a ,同号;⑴当1x =和3x =时,函数值相等;⑴40a b +=⑴当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( B )A.1个B.2个C. 3个D. 4个综合题库5. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ D ）A. -1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 方程222x x x -=的正根的个数为（ C ） A.0个 B.1个 C.2个. D.3 个8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为( C )A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++ 二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
华东师大版九年级数学下册26.2-二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质课件
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
1 2 2 y x , y 2 x 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x
y
· · · －4 －3 －2 －1 4.5 2
0
1 0.5
2 2 0.5 1
3 4.5 1.5
4 8 2
· · · · · ·
y -4 -2 0 -3 -6 -9 2 4
0 0
1 -1
2 -4
3 -9… …ຫໍສະໝຸດ x议一议根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次 函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. y 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． o x y=x2
yx
2
y ax
2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x
(-1,-1)
2
y ax
(1,-1)
2
(-2,-4)
(2,-4)
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二
次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. y 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; o x
华东师大版九年下册课件二次函数的图象和性质y=ax2+bx+c的图象与性质(共13张PPT)
抛物线与x轴的交 点有什么特征？
1.把二次函数y=-5(x- 12)2+ 写14成y=ax2+bx+c的形式， 则a= -5b= 5c= 。-1
2.抛物线y=2x2-4x-5化成y=a(x-h)2+k的形式
为 3.抛物线y=-
12x2-x+
52的顶点坐标是
(-，1,3)
y=ax2+bx+c的图象与性 质
温故互查：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 上下和左右平移得到.
学习目标
• 1.会用配方法 将 y ax2 bx c 转化为 y=a(x-h)2+k的形式.
• 2.会确定二次函数
顶点坐标
∴开口方向：向上; 对称轴：x=2;
顶点坐标:(2,1).
∴开口方向：向上; 对称轴：x=3;
顶点坐标:(3,-5).
用配方法
你知道吗?
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.2921.8.29Sunday, August 29, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:06:4910:06:4910:068/29/2021 10:06:49 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.2910:06:4910:06Aug-2129-Aug-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:06:4910:06:4910:06Sunday, August 29, 2021
华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数的图象与性质》课件1
是：
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辅要
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You made my day!
成读 的书
两，
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，
身
体
和
灵
魂
总
要
我们，还在路上……
26.2二次函数的 图象与性质
y
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
x
2、如果抛物线y=x2+px+q 的顶点坐标是（2，-1），
则p=
q=
3、二次函数 y=x2-４x+3 的对称轴是
４、一抛物线y=-2x2的形状和开口方向相同，顶点为（1，-4）， 则它的函数解析式为
-1 0 1 x
2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值 ⑴y=2x2-8x-3 ⑵y=-5x２＋３√２x-4
3、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上，那么b等于 多少？
x 已知函数
y1 2
27x15 2
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关
y
y=ax2+bx+c
.( b ,c) a
x2 x
( b ,4acb2) 2a 4a
x1
o
(0,c).
( b ,4acb2) 2a 4a
x2
x
. ( b ,c) a
y=ax2+bx+c
b
1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x 2a
，顶点
是
b, 2a
4a
c 4a
b2
。当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，
华师大版九下《二次函数的图象与性质》word教案2篇]
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教学内容 27.2.3 二次函数的图象与性质本节共需7课时 本课为第3课时主备人：佘中林教学目标 会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．． 教学重点 通过画图得出二次函数性质 教学难点 识图能力的培养 教具准备 投影仪，胶片． 课型新授 教学过程初 备统 复 备情境导入我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与 探索1例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表． 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．x… -3-2 -1 0 123…221x y = …29 2 21 0 21 2 29 … 2)2(21+=x y (2)1 021 2 225 8 225… 2)2(21-=x y …2258 29221 0 21 …它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？实践与探索21．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线2x y =向平移个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．小结 与作业回顾与反思 ： 1、二次函数2)2(21+=x y 与221x y =图像之间的关系。