华师大版二次函数教案

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第二十六章 二次函数[本章知识要点]1. 探索具体问题中的数量关系和变化规律.2. 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念. 3. 会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质. 4. 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 5. 会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6. 会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.26.1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义. [MM 及创新思维](1)正方形边长为a (cm ),它的面积s (cm 2)是多少?(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x 厘米,则面积增加y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式.请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?为什么?如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义. [实践与探索]例1. m 取哪些值时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数? 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是:02≠-m m .解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,则 02≠-m m . 解得 0≠m ,且1≠m .因此,当0≠m ,且1≠m 时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数. 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数.探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数,则m 取哪些值?例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S (cm 2)与正方体棱长a (cm )之间的函数关系; (2)写出圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系;(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系;(4)菱形的两条对角线的和为26cm ,求菱形的面积S (cm 2)与一对角线长x (cm )之间的函数关系.解 (1)由题意,得 )0(62>=a a S ,其中S 是a 的二次函数;(2)由题意,得 )0(42>=x x y π,其中y 是x 的二次函数; (3)由题意,得 10000%98.110000⋅+=x y (x ≥0且是正整数),其中y 是x 的一次函数; (4)由题意,得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ,其中S 是x 的二次函数.例3.正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积. 解 (1))2150(4225415222<<-=-=x x x S ; (2)当x=3cm 时,189342252=⨯-=S (cm 2). [当堂课内练习]1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)02=-x y (2)2)1()2)(2(---+=x x x y(3)xx y 12+= (4)322-+=x x y 2.当k 为何值时,函数1)1(2+-=+kkx k y 为二次函数?3.已知正方形的面积为)(2cm y ,周长为x (cm ). (1)请写出y 与x 的函数关系式; (2)判断y 是否为x 的二次函数. [本课课外作业]A 组1. 已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数,求m 的值.2. 已知二次函数2ax y =,当x=3时,y= -5,当x= -5时,求y 的值.3. 已知一个圆柱的高为27,底面半径为x ,求圆柱的体积y 与x 的函数关系式.若圆柱的底面半径x 为3,求此时的y .4. 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形,求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?请写出半径r 的取值范围.B 组5.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是 ( )A .22)1(x m y -=B .22)1(x m y +=C .22)1(x m y +=D .22)1(x m y -= 6.下列函数关系中,可以看作二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )模型的是 ( ) A . 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B . 我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C . 竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D . 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(1)[本课知识要点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象,概括出图象的特点及函数的性质. [MM 及创新思维]我们已经知道,一次函数12+=x y ,反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ,那么二次函数2x y =的图象是什么呢?(1)描点法画函数2x y =的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x 取互为相反数的值时,y 的值如何?(2)观察函数2x y =的图象,你能得出什么结论?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点?(1)22x y = (2)22x y -=解 列表分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26.2.1.共同点:都以y 轴为对称轴,顶点都在坐标原点.不同点:22x y =的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.22x y -=的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 例2.已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求顶点坐标和对称轴.解 (1)由题意,得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k , 解得k=2.(2)二次函数为24x y =,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴.例3.已知正方形周长为Ccm ,面积为S cm 2. (1)求S 和C 之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出S=1 cm 2时,正方形的周长; (3)根据图象,求出C 取何值时,S ≥4 cm 2.分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C 的取值应在取值范围内. 解 (1)由题意,得)0(1612>=C C S . 列表:描点、连线,图象如图26.2.2.(2)根据图象得S=1 cm 2时,正方形的周长是4cm . (3)根据图象得,当C ≥8cm 时,S ≥4 cm 2. 回顾与反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ,不要习惯地写成x 、y . (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分. [当堂课内练习]1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)23x y = (2)23x y -= (3)231x y =2.(1)函数232x y =的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;(2)函数241x y -=的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 . 3.已知等边三角形的边长为2x ,请将此三角形的面积S 表示成x 的函数,并画出图象的草图.[本课课外作业]A 组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象. (1)24x y -= (2)241x y = 2.填空:(1)抛物线25x y -=,当x= 时,y 有最 值,是 . (2)当m= 时,抛物线mm x m y --=2)1(开口向下.(3)已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数,它的图象开口 ,当x 时,y 随x 的增大而增大. 3.已知抛物线102-+=k kkx y 中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值; (2)作出函数的图象(草图).4.已知抛物线2ax y =经过点(1,3),求当y=9时,x 的值.B 组5.底面是边长为x 的正方形,高为0.5cm 的长方体的体积为ycm 3.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8 cm 3时底面边长x 的值;(4)根据图象,求出x 取何值时,y ≥4.5 cm 3.6.二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P (1,b ).(1)求a 、b 的值;(2)写出二次函数的关系式,并指出x 取何值时,该函数的y 随x 的增大而减小. 7. 一个函数的图象是以原点为顶点,y 轴为对称轴的抛物线,且过M (-2,2). (1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;(2)写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标,并求出⊿MON 的面积. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(2)[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗? ,你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗?,那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系? . [实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出函数22x y =与222+=x y 的图象.回顾与反思 当自变量x 取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?探索 观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗?例2.在同一直角坐标系中,画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y . 解 列表.描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示.可以看出,抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的. 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的.探索 如果要得到抛物线42+-=x y ,应将抛物线12--=x y 作怎样的平移? 例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.解 由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y 轴,顶点坐标为(0,-2), 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y , 又抛物线经过点(1,1),所以,2112-⋅=a , 解得3=a .故所求函数关系式为232-=x y .回顾与反思 k ax y +=2(a 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:1. 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:221x y =, 2212+=x y , 2212-=x y . 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 2.抛物线9412-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的. 3.函数332+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= . [本课课外作业]A 组1.已知函数231x y =, 3312+=x y , 2312-=x y . (1)分别画出它们的图象;(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;(3)试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 2. 不画图象,说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的.3.若二次函数22+=ax y 的图象经过点(-2,10),求a 的值.这个函数有最大还是最小值?是多少?B 组4.在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5.已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ,当k 为何值时,此二次函数以y 轴为对称轴?写出其函数关系式. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(3)[本课知识要点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]我们已经了解到,函数k ax y +=2的图象,可以由函数2ax y =的图象上下平移所得,那么函数2)2(21-=x y 的图象,是否也可以由函数221x y =平移而得呢?画图试一试,你能从中发现什么规律吗?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.221x y =,2)2(21+=x y ,2)2(21-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.解 列表.它们的开口方向都向上;对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2;顶点坐标分别是 (0,0),(-2,0),(2,0). 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小;当x 时,函数值y 随x 的增大而增大;当x 时,函数取得最 值,最 值y= .探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线2)4(21-=x y ,应将抛物线221x y =作怎样的平移?例2.不画出图象,你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为(0,0);抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为(-2,0).因此,抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y 轴和直线2-=x .抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的. 回顾与反思 2)(h x a y -=(a 、h 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1.画图填空:抛物线2)1(-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的. 2.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.22x y -=,2)3(2--=x y ,2)3(2+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.[本课课外作业]A 组1.已知函数221x y -=,2)1(21+-=x y , 2)1(21--=x y . (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)分别讨论各个函数的性质.2.根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ?3.函数2)1(3+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= .4.不画出图象,请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系.B 组5.将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2,且新抛物线经过点 (1,3),求a 的值.[本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(4)[本课知识要点]1.掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律;2.会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]由前面的知识,我们知道,函数22x y =的图象,向上平移2个单位,可以得到函数222+=x y 的图象;函数22x y =的图象,向右平移3个单位,可以得到函数2)3(2-=x y 的图象,那么函数22x y =的图象,如何平移,才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.221x y =,2)1(21-=x y ,2)1(212--=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解 列表.描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.6所示.它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 、 、 ,顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值;左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k (a 、h 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称例2.把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,求b 、c 的值.分析 抛物线2x y =的顶点为(0,0),只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b 、c 的值.解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=. 向上平移2个单位,得到24)2(22+-++=b c b x y , 再向左平移4个单位,得到24)42(22+-+++=b c b x y , 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ,而抛物线2x y =的顶点为(0,0),则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛物线c bx x y ++=2.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试. [当堂课内练习]1.将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = ( ) A .向左平移4个单位,再向上平移1个单位 B .向左平移4个单位,再向下平移1个单位 C .向右平移4个单位,再向上平移1个单位 D .向右平移4个单位,再向下平移1个单位 2.把抛物线223x y -=向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数关系式为 . 3.抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位,再向 平移 个单位而得到. [本课课外作业]A 组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.23x y -=,2)2(3+-=x y ,1)2(32-+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的函数关系式. 3.将抛物线23212++-=x x y 如何平移,可得到抛物线32212++-=x x y ? B 组4.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线532+-=x x y ,则有 ( )A .b =3,c=7B .b= -9,c= -15C .b=3,c=3D .b= -9,c=215.抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的,求b 、c 的值.6.将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位,再向上平移k 个单位,其中h >0,k <0,求所得的抛物线的函数关系式.[本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(5)[本课知识要点]1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标;2.会利用对称性画出二次函数的图象. [MM 及创新思维]我们已经发现,二次函数1)3(22+-=x y 的图象,可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到,因此,可以直接得出:函数1)3(22+-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .那么,对于任意一个二次函数,如232-+-=x x y ,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?[实践与探索]例1.通过配方,确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,.(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.探索 对于二次函数c bx ax y ++=2,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完成填空:对称轴 ,顶点坐标 .例2.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,求a 的值.分析 顶点在坐标轴上有两种可能:(1)顶点在x 轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y 轴上,则顶点的横坐标等于0.解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ,则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a .当顶点在x 轴上时,有 022=+-a , 解得 2-=a .当顶点在y 轴上时,有 04)2(92=+-a , 解得 4=a 或8-=a .所以,当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时,a 有三个值,分别是 –2,4,8.[当堂课内练习]1.(1)二次函数x x y 22--=的对称轴是 .(2)二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小.(3)抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2,则a = .2.抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-,则a 、c 的值是多少?[本课课外作业]A 组1.已知抛物线253212+-=x x y ,求出它的对称轴和顶点坐标,并画出函数的图象. 2.利用配方法,把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式,并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)162++-=x x y(2)4322+-=x x y(3)nx x y +-=2 (4)q px x y ++=23.已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.B 组4.当0<a 时,求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限.5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上,求抛物线的顶点坐标.[本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(6)[本课知识要点]1.会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值;2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值. [MM 及创新思维]在实际生活中,我们常常会碰到一些带有“最”字的问题,如问题:某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 在这个问题中,设每件商品降价x 元,该商品每天的利润为y 元,则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y .那么,此问题可归结为:自变量x 为何值时函数y 取得最大值?你能解决吗? [实践与探索]例1.求下列函数的最大值或最小值.(1)5322--=x x y ; (2)432+--=x x y .分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. 解 (1)二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2>0, 因此抛物线5322--=x x y 有最低点,即函数有最小值.因为5322--=x x y =849)43(22--x , 所以当43=x 时,函数5322--=x x y 有最小值是849-. (2)二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1<0, 因此抛物线432+--=x x y 有最高点,即函数有最大值. 因为432+--=x x y =425)23(2++-x , 所以当23-=x 时,函数432+--=x x y 有最大值是425. 回顾与反思 最大值或最小值的求法,第一步确定a 的符号,a >0有最小值,a <0有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试,当2.5≤x ≤3.5时,求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值. 例2.某产品每件成本是120元,试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表:若日销售量y 是销售价x 的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售价定为多少元?此时每日销售利润是多少?分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量. 解 由表可知x+y=200,因此,所求的一次函数的关系式为200+-=x y . 设每日销售利润为s 元,则有1600)160()120(2+--=-=x x y s .因为0120,0200≥-≥+-x x ,所以200120≤≤x .所以,当每件产品的销售价定为160元时,销售利润最大,最大销售利润为1600元. 回顾与反思 解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,得出结果.例3.如图26.2.8,在Rt ⊿ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D 在斜边AB 上,分别作DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,得四边形DECF ,设DE=x ,DF=y . (1)用含y 的代数式表示AE ;(2)求y 与x 之间的函数关系式,并求出x 的取值范围;(3)设四边形DECF 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系,并求出S 的最大值.解 (1)由题意可知,四边形DECF 为矩形,因此y DF AC AE -=-=8.(2)由DE ∥BC ,得AC AE BC DE =,即884yx -=, 所以,x y 28-=,x 的取值范围是40<<x .(3)8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S , 所以,当x=2时,S 有最大值8.[当堂课内练习]1.对于二次函数m x x y +-=22,当x= 时,y 有最小值.2.已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1,则a 与b 之间的大小关系是 ( ) A .a <b B .a=b C .a >b D .不能确定3.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40件,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?[本课课外作业]A 组1.求下列函数的最大值或最小值.(1)x x y 22--=; (2)1222+-=x x y .2.已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1,求m 的值.,3.心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满足函数关系:)300(436.21.02≤≤++-=x x x y .y 值越大,表示接受能力越强. (1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?(2)第10分时,学生的接受能力是多少? (3)第几分时,学生的接受能力最强?B 组 4.不论自变量x 取什么数,二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值,求m 的取值范围.5.如图,有长为24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m ),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式;(2)如果要围成面积为45 m 2的花圃,AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗?如果能,请求出 最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.6.如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,线段EF 在对角线AC 上,EG ⊥AD ,FH ⊥BC ,垂足分别是G 、H ,且EG+FH=EF .(1)求线段EF 的长;(2)设EG=x ,⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S , 写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围, 并求出S 的最小值. [本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质(7)[本课知识要点]会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式. [MM 及创新思维]一般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时,通常需要两个独立的条件:确定反比例函数)0(≠=k xky 的关系式时,通常只需要一个条件:如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式,又需要几个条件呢?[实践与探索]例1.某涵洞是抛物线形,它的截面如图26.2.9所示,现测得水面宽1.6m ,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?分析 如图,以AB 的垂直平分线为y 轴,以过点O 的y 轴的垂线为x 轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的抛物线的顶点在原点,对称轴是y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y .此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解 由题意,得点B 的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B 在抛物线上,将它的坐标代入)0(2<=a ax y ,得28.04.2⨯=-a所以 415-=a . 因此,函数关系式是2415x y -=. 例2.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A (0,-1)、B (1,0)、C (-1,2); (2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y 轴交于点(0,1);(3)已知抛物线与x 轴交于点M (-3,0)、(5,0),且与y 轴交于点(0,-3); (4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x 轴两交点间的距离为4.分析 (1)根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式;(2)根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为3)1(2--=x a y ,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(3)根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标,可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式为2)3(2--=x a y ,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x 轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x 轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入2)3(2--=x a y ,即可求出a 的值.解 (1)设二次函数关系式为c bx ax y ++=2,由已知,这个函数的图象过(0,-1),可以得到c= -1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点,可以得到。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习二次函数的起始章节,它是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次方程的基础上进行的。

本节课的主要内容是介绍二次函数的定义、性质和图像,以及二次函数的顶点公式。

教材通过生动的实例和丰富的练习,帮助学生理解和掌握二次函数的知识,为学生进一步学习高中数学打下坚实的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对函数概念、一次函数和二次方程有一定的了解。

但二次函数相对于一次函数来说,其图像和性质更加复杂,需要学生通过实例和练习来进一步理解和掌握。

此外,学生的学习兴趣和动机对他们的学习效果有很大影响,因此教师需要设计有趣的教学活动来激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.知识与技能:使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像,能够运用二次函数的知识解决实际问题。

2.过程与方法:通过实例和练习,培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点:二次函数的定义、性质和图像。

2.难点:理解二次函数的顶点公式,并能运用其解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过提出问题,引导学生思考和探索;通过分析具体案例,使学生理解和掌握二次函数的知识;通过小组合作,培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备,如投影仪和黑板。

3.准备教案和教学笔记。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过提出问题,引导学生思考和探索二次函数的概念。

例如:“什么是二次函数?它与一次函数有什么区别?”2.呈现(10分钟)通过分析具体案例,使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像。

例如,展示一个二次函数的图像,引导学生观察其特点。

华师大版九下《二次函数》精品教案

华师大版九下《二次函数》精品教案

华师大版九下《二次函数》精品教案一、教学内容本节课选自华师大版九年级下册《二次函数》章节,详细内容包括:二次函数的定义、图像及性质,二次函数的顶点式和一般式,二次函数的图像变换,以及二次函数在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解二次函数的定义,掌握二次函数的图像及性质。

2. 学会使用顶点式和一般式表示二次函数,并能进行图像变换。

3. 能够运用二次函数解决实际问题,提高数学应用能力。

三、教学难点与重点重点:二次函数的定义、图像及性质,二次函数的顶点式和一般式。

难点:二次函数图像的变换,以及在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具:多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具:直尺、圆规、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入:通过展示一个抛物线的运动轨迹,让学生观察并思考,激发兴趣。

2. 知识讲解:a. 引入二次函数的定义,解释二次项、一次项和常数项。

b. 介绍二次函数的图像及性质,通过示例让学生理解并掌握。

c. 讲解二次函数的顶点式和一般式,并进行图像变换的推导。

3. 例题讲解:讲解典型例题,分析解题思路,强调注意事项。

4. 随堂练习:布置一些典型练习题,让学生巩固所学知识。

5. 小组讨论:针对实际问题,让学生分组讨论,提出解决方案。

六、板书设计1. 二次函数的定义、图像及性质。

2. 二次函数的顶点式和一般式。

3. 图像变换的推导过程。

4. 典型例题及解题思路。

七、作业设计1. 作业题目:a. 求下列二次函数的顶点坐标和对称轴:y = x^2 4x + 3。

b. 将二次函数y = (x 1)^2 + 2向左平移3个单位,求新函数的表达式。

c. 某抛物线的顶点坐标为(2, 3),且过点(0, 6),求抛物线的解析式。

2. 答案:a. 顶点坐标:(2, 1),对称轴:x = 2。

b. 新函数的表达式:y = (x 4)^2 + 2。

c. 抛物线的解析式:y = (x 2)^2 3。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课通过实践情景引入、例题讲解和随堂练习,使学生掌握了二次函数的定义、图像及性质。

华师大二次函数教案

华师大二次函数教案

第二十六章 二次函数[本章知识要点]1. 探索具体问题中的数量关系和变化规律.2. 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念. 3. 会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质. 4. 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 5. 会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6. 会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.26.1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义. [创新思维](1)正方形边长为a (cm ),它的面积s (cm 2)是多少?(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x 厘米,则面积增加y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式.请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?为什么?如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义. [实践与探索]例1. m 取哪些值时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数? 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是:02≠-m m .解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,则 02≠-m m .解得 0≠m ,且1≠m .因此,当0≠m ,且1≠m 时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数. 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数.探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数,则m 取哪些值?例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S (cm 2)与正方体棱长a (cm )之间的函数关系; (2)写出圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系;(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系;(4)菱形的两条对角线的和为26cm ,求菱形的面积S (cm 2)与一对角线长x (cm )之间的函数关系.解 (1)由题意,得 )0(62>=a a S ,其中S 是a 的二次函数;(2)由题意,得 )0(42>=x x y π,其中y 是x 的二次函数; (3)由题意,得 10000%98.110000⋅+=x y (x ≥0且是正整数),其中y 是x 的一次函数; (4)由题意,得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ,其中S 是x 的二次函数.例3.正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积. 解 (1))2150(4225415222<<-=-=x x x S ; (2)当x=3cm 时,189342252=⨯-=S (cm 2). [当堂课内练习]1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)02=-x y (2)2)1()2)(2(---+=x x x y(3)xx y 12+= (4)322-+=x x y2.当k 为何值时,函数1)1(2+-=+kk x k y 为二次函数?3.已知正方形的面积为)(2cm y ,周长为x (cm ). (1)请写出y 与x 的函数关系式; (2)判断y 是否为x 的二次函数. [本课课外作业]A 组1. 已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数,求m 的值.2. 已知二次函数2ax y =,当x=3时,y= -5,当x= -5时,求y 的值.3. 已知一个圆柱的高为27,底面半径为x ,求圆柱的体积y 与x 的函数关系式.若圆柱的底面半径x 为3,求此时的y .B 组5.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是 ( )A .22)1(x m y -= B .22)1(x m y += C .22)1(x m y += D .22)1(x m y -= 6.下列函数关系中,可以看作二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )模型的是 ( ) A . 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B . 我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C . 竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D . 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(1)[本课知识要点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象,概括出图象的特点及函数的性质. [创新思维]我们已经知道,一次函数12+=x y ,反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ,那么二次函数2x y =的图象是什么呢?(1)描点法画函数2x y =的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x 取互为相反数的值时,y 的值如何?(2)观察函数2x y =的图象,你能得出什么结论?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点?(1)22x y = (2)22x y -=x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18822818…22x y -= …-18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …都是抛物线,如图26.2.1.共同点:都以y 轴为对称轴,顶点都在坐标原点.不同点:22x y =的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.22x y -=的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 例2.已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求顶点坐标和对称轴.解 (1)由题意,得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k , 解得k=2.(2)二次函数为24x y =,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴.例3.已知正方形周长为Ccm ,面积为S cm 2. (1)求S 和C 之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出S=1 cm 2时,正方形的周长; (3)根据图象,求出C 取何值时,S ≥4 cm 2.分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C 的取值应在取值范围内. 解 (1)由题意,得)0(1612>=C C S . 列表:C2 4 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线,图象如图26.2.2.(2)根据图象得S=1 cm 2时,正方形的周长是4cm . (3)根据图象得,当C ≥8cm 时,S ≥4 cm 2. 回顾与反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ,不要习惯地写成x 、y . (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分. [当堂课内练习]1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)23x y = (2)23x y -= (3)231x y =2.(1)函数232x y =的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ; (2)函数241x y -=的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .3.已知等边三角形的边长为2x ,请将此三角形的面积S 表示成x 的函数,并画出图象的草图.[本课课外作业]A 组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象. (1)24x y -= (2)241x y = 2.填空:(1)抛物线25x y -=,当x= 时,y 有最 值,是 . (2)当m= 时,抛物线mm x m y --=2)1(开口向下.(3)已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数,它的图象开口 ,当x 时,y 随x 的增大而增大. 3.已知抛物线102-+=k kkx y 中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值; (2)作出函数的图象(草图).4.已知抛物线2ax y =经过点(1,3),求当y=9时,x 的值.B 组5.底面是边长为x 的正方形,高为0.5cm 的长方体的体积为ycm 3.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8 cm 3时底面边长x 的值;(4)根据图象,求出x 取何值时,y ≥4.5 cm 3.6.二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P (1,b ).(1)求a 、b 的值;(2)写出二次函数的关系式,并指出x 取何值时,该函数的y 随x 的增大而减小. 7. 一个函数的图象是以原点为顶点,y 轴为对称轴的抛物线,且过M (-2,2). (1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;(2)写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标,并求出⊿MON 的面积. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(2)[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗? 你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗? 那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系? [实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出函数22x y =与222+=x y 的图象.解 列表.描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示.回顾与反思 当自变量x 取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?探索 观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗?例2.在同一直角坐标系中,画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y . 解 列表.x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y…20104241020…描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示.可以看出,抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的. 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的.探索 如果要得到抛物线42+-=x y ,应将抛物线12--=x y 作怎样的平移? 例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.解 由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y 轴,顶点坐标为(0,-2), 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y , 又抛物线经过点(1,1),所以,2112-⋅=a , 解得3=a .故所求函数关系式为232-=x y .回顾与反思 k ax y +=2(a 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归k ax y +=2开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a[当堂课内练习]1. 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:221x y =, 2212+=x y , 2212-=x y .x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y…-10-5-2-1-2-5-10…观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 2.抛物线9412-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的.3.函数332+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= . [本课课外作业]A 组1.已知函数231x y =, 3312+=x y , 2312-=x y . (1)分别画出它们的图象;(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标; (3)试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.2. 不画图象,说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的.3. 若二次函数22+=ax y 的图象经过点(-2,10),求a 的值.这个函数有最大还是最小值?是多少?B 组4.在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5.已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ,当k 为何值时,此二次函数以y 轴为对称轴?写出其函数关系式. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(3)[本课知识要点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [创新思维]我们已经了解到,函数k ax y +=2的图象,可以由函数2ax y =的图象上下平移所得,那么函数2)2(21-=x y 的图象,是否也可以由函数221x y =平移而得呢?画图试一试,你能从中发现什么规律吗?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.221x y =,2)2(21+=x y ,2)2(21-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.5所示.它们的开口方向都向上;对称轴分别是y 轴、直线x= -2x… -3 -2 -1 0123 …221x y =…29 2 21 0 21 2 29… 2)2(21+=x y (21)0 21 2 225 8 225 … 2)2(21-=x y …225 8 292 210 21…和直线x=2;顶点坐标分别是(0,0),(-2,0),(2,0). 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小;当x 时,函数值y 随x 的增大而增大;当x 时,函数取得最 值,最 值y= .探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线2)4(21-=x y ,应将抛物线221x y =作怎样的平移?例2.不画出图象,你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为(0,0);抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为(-2,0).因此,抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y 轴和直线2-=x .抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的. 回顾与反思 2)(h x a y -=(a 、h 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1.画图填空:抛物线2)1(-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的. 2.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.22x y -=,2)3(2--=x y ,2)3(2+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.[本课课外作业]A 组1.已知函数221x y -=,2)1(21+-=x y , 2)1(21--=x y . (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)分别讨论各个函数的性质.2.根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ?3.函数2)1(3+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= .4.不画出图象,请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系.B 组5.将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2,且新抛物线经过点 (1,3),求a 的值.[本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(4)[本课知识要点]1.掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律;2.会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [创新思维]由前面的知识,我们知道,函数22x y =的图象,向上平移2个单位,可以得到函数222+=x y 的图象;函数22x y =的图象,向右平移3个单位,可以得到函数2)3(2-=x y 的图象,那么函数22x y =的图象,如何平移,才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.221x y =,2)1(21-=x y ,2)1(212--=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.6所示.它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 、 、 ,顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值;左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k (a 、h 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?试填写下表.2)(h x a y -=+k 开口方向对称轴顶点坐标0>a0<ax… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…例2.把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,求b 、c 的值.分析 抛物线2x y =的顶点为(0,0),只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b 、c 的值.解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=. 向上平移2个单位,得到24)2(22+-++=b c b x y , 再向左平移4个单位,得到24)42(22+-+++=b c b x y , 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ,而抛物线2x y =的顶点为(0,0),则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛物线c bx x y ++=2.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试. [当堂课内练习]1.将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = ( ) A .向左平移4个单位,再向上平移1个单位B .向左平移4个单位,再向下平移1个单位C .向右平移4个单位,再向上平移1个单位D .向右平移4个单位,再向下平移1个单位 2.把抛物线223x y -=向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数关系式为 . 3.抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位,再向 平移 个单位而得到.[本课课外作业]A 组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.23x y -=,2)2(3+-=x y ,1)2(32-+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的函数关系式.4. 将抛物线23212++-=x x y 如何平移,可得到抛物线32212++-=x x y ?B 组4.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线532+-=x x y ,则有 ( )A .b =3,c=7B .b= -9,c= -15C .b=3,c=3D .b= -9,c=215.抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的,求b 、c 的值.5. 将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位,再向上平移k 个单位,其中h >0,k <0,求所得的抛物线的函数关系式.[本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(5)[本课知识要点]1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标;2.会利用对称性画出二次函数的图象. [创新思维]我们已经发现,二次函数1)3(22+-=x y 的图象,可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到,因此,可以直接得出:函数1)3(22+-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .那么,对于任意一个二次函数,如232-+-=x x y ,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?[实践与探索]例1.通过配方,确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).由对称性列表:x… -2 -1 01 2 3 4…6422++-=x x y …-100 686-10… 描点、连线,如图26.2.7所示.回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,.(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.探索 对于二次函数c bx ax y ++=2,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完成填空:对称轴 ,顶点坐标 .例2.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,求a 的值.分析 顶点在坐标轴上有两种可能:(1)顶点在x 轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y 轴上,则顶点的横坐标等于0.解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x , 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a .当顶点在x 轴上时,有 022=+-a ,解得 2-=a . 当顶点在y 轴上时,有 04)2(92=+-a ,解得 4=a 或8-=a . 所以,当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时,a 有三个值,分别是 –2,4,8.[当堂课内练习]1.(1)二次函数x x y 22--=的对称轴是 .(2)二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小.(3)抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2,则a = . 2.抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-,则a 、c 的值是多少?[本课课外作业]A 组1. 已知抛物线253212+-=x x y ,求出它的对称轴和顶点坐标,并画出函数的图象.2.利用配方法,把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式,并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)162++-=x x y(2)4322+-=x x y(3)nx x y +-=2 (4)q px x y ++=23.已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.B 组4. 当0<a 时,求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限.5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上,求抛物线的顶点坐标.[本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(6)[本课知识要点]1.会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值;2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值. [创新思维]在实际生活中,我们常常会碰到一些带有“最”字的问题,如问题:某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 在这个问题中,设每件商品降价x 元,该商品每天的利润为y 元,则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y .那么,此问题可归结为:自变量x 为何值时函数y 取得最大值?你能解决吗? [实践与探索]例1.求下列函数的最大值或最小值.(1)5322--=x x y ; (2)432+--=x x y .分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. 解 (1)二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2>0,因此抛物线5322--=x x y 有最低点,即函数有最小值.因为5322--=x x y =849)43(22--x , 所以当43=x 时,函数5322--=x x y 有最小值是849-.(2)二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1<0, 因此抛物线432+--=x x y 有最高点,即函数有最大值.因为432+--=x x y =425)23(2++-x , 所以当23-=x 时,函数432+--=x x y 有最大值是425.回顾与反思 最大值或最小值的求法,第一步确定a 的符号,a >0有最小值,a <0有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试,当2.5≤x ≤3.5时,求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值. 例2.某产品每件成本是120元,试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y x (元)130 150 165 y (件) 70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售价定为多少元?此时每日销售利润是多少?分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量. 解 由表可知x+y=200,因此,所求的一次函数的关系式为200+-=x y . 设每日销售利润为s 元,则有1600)160()120(2+--=-=x x y s .因为0120,0200≥-≥+-x x ,所以200120≤≤x .所以,当每件产品的销售价定为160元时,销售利润最大,最大销售利润为1600元. 回顾与反思 解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,得出结果.例3.如图26.2.8,在Rt ⊿ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D 在斜边AB 上,分别作DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,得四边形DECF ,设DE=x ,DF=y . (1)用含y 的代数式表示AE ;(2)求y 与x 之间的函数关系式,并求出x 的取值范围;(3)设四边形DECF 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系,并求出S 的最大值.解 (1)由题意可知,四边形DECF 为矩形,因此y DF AC AE -=-=8.(2)由DE ∥BC ,得ACAE BC DE =,即884yx -=, 所以,x y 28-=,x 的取值范围是40<<x .(3)8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S , 所以,当x=2时,S 有最大值8.[当堂课内练习]1.对于二次函数m x x y +-=22,当x= 时,y 有最小值.2.已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1,则a 与b 之间的大小关系是 ( ) A .a <b B .a=b C .a >b D .不能确定3.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40件,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?[本课课外作业]A 组1.求下列函数的最大值或最小值.(1)x x y 22--=; (2)1222+-=x x y .2. 已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1,求m 的值.,3.心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满足函数关系:)300(436.21.02≤≤++-=x x x y .y 值越大,表示接受能力越强. (1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?(2)第10分时,学生的接受能力是多少? (3)第几分时,学生的接受能力最强?B 组4.不论自变量x 取什么数,二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值,求m 的取值范围.5.如图,有长为24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m ),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2. (1)求S 与x 的函数关系式;(2)如果要围成面积为45 m 2的花圃,AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗?如果能,请求出 最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.6.如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,线段EF 在对角线AC 上,EG ⊥AD ,FH ⊥BC ,垂足分别是G 、H ,且EG+FH=EF .(1)求线段EF 的长;(2)设EG=x ,⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S , 写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围, 并求出S 的最小值.[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质(7)[本课知识要点]会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式. [创新思维]一般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时,通常需要两个独立的条件:确定反比例函数)0(≠=k xky 的关系式时,通常只需要一个条件:如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式,又需要几个条件呢?[实践与探索]例1.某涵洞是抛物线形,它的截面如图26.2.9所示,现测得水面宽1.6m ,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?分析 如图,以AB 的垂直平分线为y 轴,以过点O 的y 轴的垂线为x 轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的抛物线的顶点在原点,对称轴是y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y .此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解 由题意,得点B 的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B 在抛物线上,将它的坐标代入)0(2<=a ax y ,得28.04.2⨯=-a所以 415-=a .因此,函数关系式是2415x y -=. 例2.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A (0,-1)、B (1,0)、C (-1,2); (2) 已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y 轴交于点(0,1);(3) 已知抛物线与x 轴交于点M (-3,0)、(5,0),且与y 轴交于点(0,-3); (4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x 轴两交点间的距离为4.分析 (1)根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式;(2)根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为3)1(2--=x a y ,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(3)根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标,可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式为2)3(2--=x a y ,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x 轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x 轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入2)3(2--=x a y ,即可求出a 的值.解 (1)设二次函数关系式为c bx ax y ++=2,由已知,这个函数的图象过(0,-1),可以得到c= -1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点,可以得到⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组,得a=2,b= -1.所以,所求二次函数的关系式是1222--=x x y .(2)因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ,。

2024年华师大版九下《二次函数》教案

2024年华师大版九下《二次函数》教案

2024年华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课选自2024年华师大版九年级下册《二次函数》章节。

具体内容包括:二次函数的定义及其图像特征,二次函数的标准式、顶点式和一般式的相互转化,二次函数的性质,以及二次函数在生活中的简单应用。

二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义,能熟练地识别二次函数;2. 学会二次函数标准式、顶点式和一般式之间的相互转化,并了解二次函数图像的特征;3. 掌握二次函数的性质,能运用二次函数解决实际问题。

三、教学难点与重点难点:二次函数图像的特征及其性质,二次函数在实际问题中的应用。

重点:二次函数的定义,二次函数标准式、顶点式和一般式的相互转化。

四、教具与学具准备教具:黑板、粉笔、教学课件、投影仪。

学具:直尺、圆规、练习本、草稿纸。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中的抛物线现象,如抛物面天线、篮球投篮的轨迹等,引导学生思考抛物线与二次函数之间的关系。

2. 教学新课(1)二次函数的定义:引导学生回顾一次函数的定义,进而引出二次函数的定义。

(2)二次函数的标准式、顶点式和一般式:讲解三种形式的二次函数,并通过实例进行演示。

(3)二次函数图像的特征:通过画图工具,展示二次函数图像的对称性、开口方向和顶点位置等特点。

(4)二次函数的性质:讲解二次函数的增减性、最值等性质。

3. 例题讲解选取具有代表性的例题,讲解解题思路和方法,引导学生运用所学知识解决实际问题。

4. 随堂练习设计具有梯度性的练习题,让学生在课堂上及时巩固所学知识。

六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的标准式、顶点式和一般式3. 二次函数图像的特征4. 二次函数的性质5. 例题及解题步骤6. 随堂练习题目七、作业设计1. 作业题目(1)已知二次函数的标准式,求顶点坐标和对称轴;(2)已知二次函数的一般式,求最大值和最小值;(3)运用二次函数解决实际问题。

答案:见附件。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对二次函数的定义和图像特征掌握较好,但在解决实际问题时还需加强引导。

2024年华师大版九下《二次函数》教案

2024年华师大版九下《二次函数》教案

2024年华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课选自2024年华师大版九年级下册《二次函数》章节。

详细内容包括:二次函数的定义与性质,二次函数的图像,二次函数的顶点式及其应用,二次方程与二次不等式的联系,以及二次函数在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解二次函数的定义,掌握二次函数的性质及其图像特点。

2. 学会使用二次函数顶点式解析二次函数,并能解决相关问题。

3. 能够建立二次方程与二次不等式之间的关系,运用二次函数解决实际问题。

三、教学难点与重点教学难点:二次函数顶点式的应用,二次方程与二次不等式的联系。

教学重点:二次函数的定义,性质,图像及其在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具:多媒体教学设备,投影仪,黑板。

2. 学具:直尺,圆规,铅笔,橡皮,草稿纸。

五、教学过程1. 实践情景引入(5分钟)利用多媒体展示二次函数在实际问题中的应用,如抛物线运动,引导学生思考二次函数的基本概念。

2. 基本概念讲解(15分钟)讲解二次函数的定义,性质,图像,让学生掌握二次函数的基本知识。

3. 例题讲解(15分钟)选取典型例题,通过讲解与解析,让学生学会使用二次函数顶点式解决问题。

4. 随堂练习(10分钟)设计相关练习题,让学生及时巩固所学知识。

5. 知识拓展(5分钟)引导学生探讨二次方程与二次不等式之间的关系。

六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数性质3. 二次函数图像4. 二次函数顶点式5. 二次方程与二次不等式的关系七、作业设计1. 作业题目:(1)求下列二次函数的顶点坐标:y = x^2 4x + 3(2)解下列二次方程:x^2 5x + 6 = 0(3)已知二次函数y = x^2 + 2x + 3,求该函数的最大值。

答案:(1)顶点坐标为(2,1)(2)解为x = 2或x = 3(3)最大值为4八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入,让学生了解二次函数在实际问题中的应用,激发学生的学习兴趣。

华师大版九年级数学下册教案261二次函数

华师大版九年级数学下册教案261二次函数

华师大版九年级数学下册教案261 二次函数一、教学内容本节课选自华师大版九年级数学下册第261页,详细内容包括二次函数的定义、图像与性质,以及二次函数解析式的求解。

具体涉及教材的第四章《函数》第三节《二次函数》。

二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义,能熟练地表示二次函数的一般形式。

3. 学会求解二次函数的解析式,并能应用于实际问题。

三、教学难点与重点教学难点:二次函数图像与性质的理解及运用,求解二次函数解析式。

教学重点:二次函数定义的掌握,图像与性质的归纳,以及解析式的求解。

四、教具与学具准备1. 教具:多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具:二次函数图像卡片、直尺、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入:展示生活中常见的二次函数实例,如抛物线运动的篮球轨迹,引发学生对二次函数的好奇心。

a. 提问:同学们,你们在生活中见过类似这样的图像吗?b. 学生回答,教师点评。

2. 例题讲解:a. 讲解二次函数的定义,引导学生表示二次函数的一般形式。

c. 示例讲解求解二次函数解析式的方法。

3. 随堂练习:a. 让学生根据性质,判断给定二次函数图像的开口方向、顶点坐标等。

b. 让学生求解给定二次函数的解析式。

4. 知识巩固:b. 分析实际应用中二次函数的求解过程。

六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像与性质3. 求解二次函数解析式的方法七、作业设计1. 作业题目:a. 根据性质,判断下列二次函数图像的开口方向、顶点坐标:(给出具体题目)b. 求解下列二次函数的解析式:(给出具体题目)2. 答案:八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对二次函数定义及性质的掌握程度,以及求解解析式的熟练程度。

2. 拓展延伸:引入三次函数、四次函数等高次函数,让学生思考它们的性质与求解方法,激发学生对函数学习的兴趣。

重点和难点解析1. 教学目标中关于二次函数性质的理解和应用。

2. 教学难点中求解二次函数解析式的方法。

华师大版九年级数学下册教案261二次函数

华师大版九年级数学下册教案261二次函数

华师大版九年级数学下册教案261 二次函数一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级数学下册第261页的二次函数。

具体内容包括:二次函数的定义、图像、性质及其应用。

我们将详细探讨二次函数的顶点式、标准式和一般式的相互转换,以及二次函数图像的绘制方法。

二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义,能够用顶点式、标准式和一般式表示二次函数。

2. 学会绘制二次函数的图像,了解二次函数图像的性质。

3. 能够运用二次函数解决实际问题,提高学生的应用能力。

三、教学难点与重点教学难点:二次函数图像的性质及其应用。

教学重点:二次函数的定义、图像的绘制方法及二次函数的性质。

四、教具与学具准备1. 教具:多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具:直尺、圆规、铅笔、橡皮、草稿纸。

五、教学过程1. 引入:通过实际生活中的抛物线现象,如投篮、抛物线运动等,引入二次函数的概念。

2. 知识讲解:(1) 二次函数的定义及表示方法。

(2) 二次函数图像的绘制方法。

(3) 二次函数图像的性质。

3. 例题讲解:(1) 求给定二次函数的顶点、开口方向及对称轴。

(2) 根据二次函数图像,确定函数的解析式。

4. 随堂练习:完成教材第261页的练习题,巩固所学知识。

5. 小组讨论:探讨二次函数在实际问题中的应用,如最大(小)值问题、面积问题等。

六、板书设计1. 二次函数定义及表示方法。

2. 二次函数图像的绘制方法及性质。

3. 例题解答步骤及关键点。

七、作业设计1. 作业题目:(1) 求函数y=x^22x+1的顶点、开口方向及对称轴。

(2) 已知二次函数的顶点为(1,3),且过点(0,1),求函数的解析式。

2. 答案:(1) 顶点:(1,0),开口向上,对称轴:x=1。

(2) y=(x1)^23。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对二次函数的定义、图像及性质掌握情况,对实际问题的应用能力。

2. 拓展延伸:引导学生思考二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系,以及二次函数在高中数学中的应用。

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第二十六章 二次函数[本章知识要点]1. 探索具体问题中的数量关系和变化规律.2. 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念. 3. 会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质. 4. 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 5. 会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6. 会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.26.1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义. [MM 及创新思维](1)正方形边长为a (cm ),它的面积s (cm 2)是多少?(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x 厘米,则面积增加y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式.请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?为什么?如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义. [实践与探索]例1. m 取哪些值时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数? 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是:02≠-m m .解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,则02≠-m m .解得 0≠m ,且1≠m .因此,当0≠m ,且1≠m 时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数. 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数.探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数,则m 取哪些值?例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S (cm 2)与正方体棱长a (cm )之间的函数关系; (2)写出圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系;(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系;(4)菱形的两条对角线的和为26cm ,求菱形的面积S (cm 2)与一对角线长x (cm )之间的函数关系.解 (1)由题意,得 )0(62>=a a S ,其中S 是a 的二次函数;(2)由题意,得 )0(42>=x x y π,其中y 是x 的二次函数; (3)由题意,得 10000%98.110000⋅+=x y (x ≥0且是正整数),其中y 是x 的一次函数; (4)由题意,得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ,其中S 是x 的二次函数.例3.正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积.解 (1))2150(4225415222<<-=-=x x x S ; (2)当x=3cm 时,189342252=⨯-=S (cm 2). [当堂课内练习]1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)02=-x y(2)2)1()2)(2(---+=x x x y(3)xx y 12+= (4)322-+=x x y2.当k 为何值时,函数1)1(2+-=+kkx k y 为二次函数?3.已知正方形的面积为)(2cm y ,周长为x (cm ). (1)请写出y 与x 的函数关系式; (2)判断y 是否为x 的二次函数. [本课课外作业]A 组1. 已知函数72)3(--=m xm y 是二次函数,求m 的值.2. 已知二次函数2ax y =,当x=3时,y= -5,当x= -5时,求y 的值.3. 已知一个圆柱的高为27,底面半径为x ,求圆柱的体积y 与x 的函数关系式.若圆柱的底面半径x 为3,求此时的y .4. 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形,求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?请写出半径r 的取值范围.B 组5.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是 ( )A .22)1(x m y -=B .22)1(x m y +=C .22)1(x m y +=D .22)1(x m y -= 6.下列函数关系中,可以看作二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )模型的是 ( ) A . 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B . 我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C . 竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D . 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(1)[本课知识要点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象,概括出图象的特点及函数的性质. [MM 及创新思维]我们已经知道,一次函数12+=x y ,反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ,那么二次函数2x y =的图象是什么呢?(1)描点法画函数2x y =的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x 取互为相反数的值时,y 的值如何?(2)观察函数2x y =的图象,你能得出什么结论?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点?(1)22x y = (2)22x y -=解 列表分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26.2.1.共同点:都以y 轴为对称轴,顶点都在坐标原点.不同点:22x y =的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.22x y -=的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 例2.已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求顶点坐标和对称轴.解 (1)由题意,得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k , 解得k=2.(2)二次函数为24x y =,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴.例3.已知正方形周长为Ccm ,面积为S cm 2. (1)求S 和C 之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出S=1 cm 2时,正方形的周长; (3)根据图象,求出C 取何值时,S ≥4 cm 2.分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C 的取值应在取值范围内. 解 (1)由题意,得)0(1612>=C C S . 列表:描点、连线,图象如图26.2.2.(2)根据图象得S=1 cm 2时,正方形的周长是4cm . (3)根据图象得,当C ≥8cm 时,S ≥4 cm 2. 回顾与反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ,不要习惯地写成x 、y . (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分. [当堂课内练习]1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)23x y = (2)23x y -= (3)231x y =2.(1)函数232x y =的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;(2)函数241x y -=的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 . 3.已知等边三角形的边长为2x ,请将此三角形的面积S 表示成x 的函数,并画出图象的草图.[本课课外作业]A 组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象. (1)24x y -= (2)241x y = 2.填空:(1)抛物线25x y -=,当x= 时,y 有最 值,是 . (2)当m= 时,抛物线mm x m y --=2)1(开口向下.(3)已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数,它的图象开口 ,当x 时,y 随x 的增大而增大. 3.已知抛物线102-+=k kkx y 中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值; (2)作出函数的图象(草图).4.已知抛物线2ax y =经过点(1,3),求当y=9时,x 的值.B 组5.底面是边长为x 的正方形,高为0.5cm 的长方体的体积为ycm 3.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8 cm 3时底面边长x 的值;(4)根据图象,求出x 取何值时,y ≥4.5 cm 3. 6.二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P (1,b ).(1)求a 、b 的值;(2)写出二次函数的关系式,并指出x 取何值时,该函数的y 随x 的增大而减小. 7. 一个函数的图象是以原点为顶点,y 轴为对称轴的抛物线,且过M (-2,2). (1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;(2)写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标,并求出⊿MON 的面积. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(2)[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗? ,你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗?,那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系? . [实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出函数22x y =与222+=x y 的图象.回顾与反思 当自变量x 取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?探索 观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗?例2.在同一直角坐标系中,画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y . 解 列表.描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示.可以看出,抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的. 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的.探索 如果要得到抛物线42+-=x y ,应将抛物线12--=x y 作怎样的平移? 例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.解 由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y 轴,顶点坐标为(0,-2), 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y , 又抛物线经过点(1,1),所以,2112-⋅=a , 解得3=a .故所求函数关系式为232-=x y .回顾与反思 k ax y +=2(a 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:1. 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:221x y =, 2212+=x y , 2212-=x y . 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 2.抛物线9412-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的. 3.函数332+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= . [本课课外作业]A 组1.已知函数231x y =, 3312+=x y , 2312-=x y . (1)分别画出它们的图象;(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;(3)试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 2. 不画图象,说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的.3.若二次函数22+=ax y 的图象经过点(-2,10),求a 的值.这个函数有最大还是最小值?是多少?B 组4.在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5.已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ,当k 为何值时,此二次函数以y 轴为对称轴?写出其函数关系式. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(3)[本课知识要点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]我们已经了解到,函数k ax y +=2的图象,可以由函数2ax y =的图象上下平移所得,那么函数2)2(21-=x y 的图象,是否也可以由函数221x y =平移而得呢?画图试一试,你能从中发现什么规律吗?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.221x y =,2)2(21+=x y ,2)2(21-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.解 列表.描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.5所示. 它们的开口方向都向上;对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2;顶点坐标分别是 (0,0),(-2,0),(2,0). 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小;当x 时,函数值y 随x 的增大而增大;当x 时,函数取得最 值,最 值y= .探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线2)4(21-=x y ,应将抛物线221x y =作怎样的平移?例2.不画出图象,你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为(0,0);抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为(-2,0).因此,抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y 轴和直线2-=x .抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的. 回顾与反思 2)(h x a y -=(a 、h 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1.画图填空:抛物线2)1(-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的. 2.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.22x y -=,2)3(2--=x y ,2)3(2+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.[本课课外作业]A 组1.已知函数221x y -=,2)1(21+-=x y , 2)1(21--=x y . (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)分别讨论各个函数的性质.2.根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ?3.函数2)1(3+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= .4.不画出图象,请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系.B 组5.将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2,且新抛物线经过点(1,3),求a 的值. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(4)[本课知识要点]1.掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律;2.会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]由前面的知识,我们知道,函数22x y =的图象,向上平移2个单位,可以得到函数222+=x y 的图象;函数22x y =的图象,向右平移3个单位,可以得到函数2)3(2-=x y 的图象,那么函数22x y =的图象,如何平移,才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢?[实践与探索]例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.221x y =,2)1(21-=x y ,2)1(212--=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.6所示.它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 、 、 ,顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值;左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k (a 、h 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称例2.把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,求b 、c 的值.分析 抛物线2x y =的顶点为(0,0),只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b 、c 的值.解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=. 向上平移2个单位,得到24)2(22+-++=b c b x y , 再向左平移4个单位,得到24)42(22+-+++=b c b x y , 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ,而抛物线2x y =的顶点为(0,0),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛物线c bx x y ++=2.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试. [当堂课内练习]1.将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = ( ) A .向左平移4个单位,再向上平移1个单位B .向左平移4个单位,再向下平移1个单位C .向右平移4个单位,再向上平移1个单位D .向右平移4个单位,再向下平移1个单位 2.把抛物线223x y -=向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数关系式为 . 3.抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位,再向 平移 个单位而得到.[本课课外作业]A 组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.23x y -=,2)2(3+-=x y ,1)2(32-+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的函数关系式. 3.将抛物线23212++-=x x y 如何平移,可得到抛物线32212++-=x x y ? B 组4.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线532+-=x x y ,则有 ( )A .b =3,c=7B .b= -9,c= -15C .b=3,c=3D .b= -9,c=215.抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的,求b 、c 的值.6.将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位,再向上平移k 个单位,其中h >0,k <0,求所得的抛物线的函数关系式. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(5)[本课知识要点]1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标;2.会利用对称性画出二次函数的图象. [MM 及创新思维]我们已经发现,二次函数1)3(22+-=x y 的图象,可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到,因此,可以直接得出:函数1)3(22+-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .那么,对于任意一个二次函数,如232-+-=x x y ,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?[实践与探索]例1.通过配方,确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).由对称性列表:回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,.(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.探索 对于二次函数c bx ax y ++=2,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完成填空:对称轴 ,顶点坐标 .例2.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,求a 的值.分析 顶点在坐标轴上有两种可能:(1)顶点在x 轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y 轴上,则顶点的横坐标等于0.解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x , 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a .当顶点在x 轴上时,有 022=+-a , 解得 2-=a .当顶点在y 轴上时,有 04)2(92=+-a , 解得 4=a 或8-=a .所以,当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时,a 有三个值,分别是 –2,4,8.[当堂课内练习]1.(1)二次函数x x y 22--=的对称轴是 .(2)二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小.(3)抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2,则a = .2.抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-,则a 、c 的值是多少?[本课课外作业]A 组1.已知抛物线253212+-=x x y ,求出它的对称轴和顶点坐标,并画出函数的图象. 2.利用配方法,把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式,并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)162++-=x x y (2)4322+-=x x y(3)nx x y +-=2 (4)q px x y ++=2 3.已知622)2(-++=k k xk y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.B 组4.当0<a 时,求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限.5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上,求抛物线的顶点坐标. [本课学习体会]26.2 二次函数的图象与性质(6)[本课知识要点]1.会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值;2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值. [MM 及创新思维]在实际生活中,我们常常会碰到一些带有“最”字的问题,如问题:某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 在这个问题中,设每件商品降价x 元,该商品每天的利润为y 元,则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y .那么,此问题可归结为:自变量x 为何值时函数y 取得最大值?你能解决吗? [实践与探索]例1.求下列函数的最大值或最小值.(1)5322--=x x y ; (2)432+--=x x y .分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. 解 (1)二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2>0, 因此抛物线5322--=x x y 有最低点,即函数有最小值.因为5322--=x x y =849)43(22--x ,所以当43=x 时,函数5322--=x x y 有最小值是849-. (2)二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1<0, 因此抛物线432+--=x x y 有最高点,即函数有最大值. 因为432+--=x x y =425)23(2++-x , 所以当23-=x 时,函数432+--=x x y 有最大值是425. 回顾与反思 最大值或最小值的求法,第一步确定a 的符号,a >0有最小值,a <0有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试,当2.5≤x ≤3.5时,求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值. 例2.某产品每件成本是120元,试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间关系如下表:若日销售量y 是销售价x 的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售价定为多少元?此时每日销售利润是多少?分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量. 解 由表可知x+y=200,因此,所求的一次函数的关系式为200+-=x y . 设每日销售利润为s 元,则有1600)160()120(2+--=-=x x y s .因为0120,0200≥-≥+-x x ,所以200120≤≤x .所以,当每件产品的销售价定为160元时,销售利润最大,最大销售利润为1600元. 回顾与反思 解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,得出结果.例3.如图26.2.8,在Rt ⊿ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D 在斜边AB 上,分别作DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,得四边形DECF ,设DE=x ,DF=y . (1)用含y 的代数式表示AE ;(2)求y 与x 之间的函数关系式,并求出x 的取值范围;(3)设四边形DECF 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系,并求出S 的最大值.解 (1)由题意可知,四边形DECF 为矩形,因此y DF AC AE -=-=8.(2)由DE ∥BC ,得AC AE BC DE =,即884yx -=,所以,x y 28-=,x 的取值范围是40<<x .(3)8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S , 所以,当x=2时,S 有最大值8. [当堂课内练习]1.对于二次函数m x x y +-=22,当x= 时,y 有最小值.2.已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1,则a 与b 之间的大小关系是 ( ) A .a <b B .a=b C .a >b D .不能确定3.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40件,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多? [本课课外作业]A 组1.求下列函数的最大值或最小值.(1)x x y 22--=; (2)1222+-=x x y .2.已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1,求m 的值.,3.心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满足函数关系:)300(436.21.02≤≤++-=x x x y .y 值越大,表示接受能力越强. (1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?(2)第10分时,学生的接受能力是多少? (3)第几分时,学生的接受能力最强?B 组 4.不论自变量x 取什么数,二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值,求m 的取值范围.5.如图,有长为24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m ),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式;(2)如果要围成面积为45 m 2的花圃,AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗?如果能,请求出 最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.6.如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,线段EF 在对角线AC 上,EG ⊥AD ,FH ⊥BC ,垂足分别是G 、H ,且EG+FH=EF .(1)求线段EF 的长;(2)设EG=x ,⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S , 写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围, 并求出S 的最小值. [本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质(7)[本课知识要点]会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式. [MM 及创新思维]一般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时,通常需要两个独立的条件:确定反比例函数)0(≠=k xky 的关系式时,通常只需要一个条件:如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式,又需要几个条件呢?[实践与探索]例1.某涵洞是抛物线形,它的截面如图26.2.9所示,现测得水面宽1.6m ,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?分析 如图,以AB 的垂直平分线为y 轴,以过点O 的y 轴的垂线为x 轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的抛物线的顶点在原点,对称轴是y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y .此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解 由题意,得点B 的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B 在抛物线上,将它的坐标代入)0(2<=a ax y ,得28.04.2⨯=-a所以 415-=a . 因此,函数关系式是2415x y -=. 例2.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A (0,-1)、B (1,0)、C (-1,2); (2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y 轴交于点(0,1);(3)已知抛物线与x 轴交于点M (-3,0)、(5,0),且与y 轴交于点(0,-3); (4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x 轴两交点间的距离为4.分析 (1)根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式;(2)根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为3)1(2--=x a y ,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(3)根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标,可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式为2)3(2--=x a y ,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x 轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x 轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入2)3(2--=x a y ,即可求出a 的值.解 (1)设二次函数关系式为c bx ax y ++=2,由已知,这个函数的图象过(0,-1),可以得到c= -1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点,可以得到⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组,得a=2,b= -1.所以,所求二次函数的关系式是1222--=x x y .(2)因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y , 又由于抛物线与y 轴交于点(0,1),可以得到3)10(12--=a解得 4=a .所以,所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y . (3)因为抛物线与x 轴交于点M (-3,0)、(5,0), 所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y . 又由于抛物线与y 轴交于点(0,3),可以得到 )50)(30(3-+=-a .解得 51=a . 所以,所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y . (4)根据前面的分析,本题已转化为与(2)相同的题型,请同学们自己完成.回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:(1)一般式:)0(2≠++=a c bx ax y ,给出三点坐标可利用此式来求.。

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