八年级数学下册 19_1_2 第1课时函数的图象学案 (新版)新人教版

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2023年人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案

新人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案学习目标：了解函数图象的意义，会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律，经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值。

学习重难点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。

学习过程：一、预习引导：有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，如心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系。

即使能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么使函数关系更直观。

一、问题导学与合作探究：学生看P75---P79并思考以下问题：1、什么是函数图像?2、如何作函数图像？具体步骤有哪些？3、如何判定一个图像是函数图像，你判断的依据是什么?4、有哪些方法表示函数关系？各自的优缺点是什么？（自学检测）：例：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春某天气温T如何随时间t变化而变化，你从图中得到了哪些信息？（1）这一天中时气温最低；时气温最高；（2）从时到时气温呈下降趋势，从时到时气温呈上升趋势，从时到时气温又呈下降趋势；总结：正确理解函数图象与实际问题间的内在联系1、函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。

2、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；3、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。

三、巩固练习：例1、下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图象回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？（4）小明读报用了多长时间？（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 2、下列式子中，对于x 每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即y 是x的函数，请画出这些函数的图象．解：（1） 1、列表： x y2、描点：3、连线。

八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数19.2.2.2一次函数的图象与性质课件新人教版

初中数学（人教版）
八年级下册
第十九章一次函数
知识点一正比例函数的定义
定义
举例
正比例一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做函数正比例函数,其中k叫做比例系数
如y=-3x,y= 12 x均为正比例函数,比例系数分别为-3, 12
知识详解
(1)如果两个变量的比值是一个常数,那么这两个变量之间的关系就是正比例函数关系. (2)正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)必须满足两个条件:①比例系数k≠0;②自变量x的次数是1
3
选项中符合条件的数只有2.故选B.
2.(2016浙江丽水中考)在平面直角坐标系中,点M,N在同一个正比例函数图象上的是 ( ) A.M(2,-3),N(-4,6) B.M(-2,3),N(4,6) C.M(-2,-3),N(4,-6) D.M(2,3),N(-4,6)
答案 A 设过点M的正比例函数图象对应的解析式为y=kx(k≠0).
x
⑤y=-1+x,即y=x-1,也不能化为y=kx(k≠0)的形式.只有②是正比例函数. 故选B. 答案 B 解题归纳 (1)判断一个函数是不是正比例函数,就是判断该函数能否化成y=kx(k≠0)的形式;(2)若一个函数是正比例函数,则必有k为常数,k ≠0且x的次数为1,关于自变量x的代数式必为单项式.
2
2
分析先确定函数自变量的取值范围,然后依次列表、描点、连线,即可得到函数图象,再进行比较.
解析列表:
x
…
-4
-2
0
2
4
…
y= 1 x 2
…
-2
-1
0
1
2
…
y=-1 x

八年级数学下册第十九章一次函数19-2一次函数19-2-2一次函数第1课时一次函数新人教版

(1)放入一个小球后水桶中水面升高________ cm； (2)求放入小球后水桶中水面的高度 y(cm)与小球的个数 x(个) 之间的一次函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围) (3)水桶中至少放入几个小球时有水溢出？
解：(1)2； (2)因为每放入一个小球后，水面升高 2 cm，所以 y＝30＋2x； (3)由 2x＋30＞49，得 x＞9.5，即至少放入 10 个小球时有水溢出．
3．若一次函数 y＝kx＋b，当 x＝－2 时，y＝7；当 x＝1 时，y
＝－11.则 k，b 的值为( C )
A．k＝6，b＝5
B．k＝－1，b＝－5
C．k＝－6，b＝－5
D．k＝1，b＝5
4．据调查，某地铁自行车存放处某星期天的存车量为 4000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.30 元，普通自行车存车费是每辆一次 0.20 元，若普通自行车存车数为 x 辆，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为( D ) A．y＝0.10x＋800(0≤x≤4000) B．y＝0.10x＋1200(0≤x≤4000) C．y＝－0.10x＋800(0≤x≤4000) D．y＝－0.10x＋1200(0≤x≤4000)
(3)某车站规定旅客可以免费携带不超过 20 千克的行李，超过部分每千克收取 1.5 元的行李费，则旅客需交的行李费 y(元) 与携带行李质量 x(千克)(x＞20)的关系．
解：(1)y＝0.53x，是； (2)y＝10＋5x，是； (3)y＝1.5x－30，是．
10．某油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 km 时，油箱中的汽油大约消耗了15 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为 x(km)，油箱中剩油量为 y(L)，则 y 与 x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是( D ) A．y＝0.12x，x＞0 B．y＝60－0.12x，x＞0 C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60－0.12x，0≤x≤500

初中数学八年级下册 19-1-2-1函数(课件)

C
)
A.x≠2
B.x≤-2 C.x≠-2 D. x≥-2
2.已知齿轮每分钟转100转，如果用n(单位：转)表
示转数，t(单位：分)表示转动的时间，那么用t表示n的
函数关系式为( D )
A.n= 100 B.t= 100
t
n
t
C.n= 100
D.n=100t
3.多边形内角和α与边数n之间的关系式
是： α=180(n-2)
解析：油量耗尽，也就是说此时
y=0，将y=0带到解析式y=50-0.1x中
得：
0=50-0.1x x=500
答：汽车行驶500千米时，油量耗尽.
练习
1.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长
xcm大于上底长，但不超过5cm.写出梯形
面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值
范围.
1
S=2
(2+x) ×3；
指出下列问题中的自变量以及自变量的函数：
1.汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路
程为skm，行驶时间为th.
t是自变量，s是t的函数.
2.在我国人口数统计表，年份与人口数可以
分别记作两个变量x和y. x是自变量，y是x的函数.
什么是函数值？
中国人口数统计表
年份 1984 1989 1994 1999 2010
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标
x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，
它们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确
定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
自变量
y是x的函数
2.下表是我国人口数统计表，年份与人口数
可以分别记作两个变量x和y.对于表中每一个确

人教版八下数学19.2.1 课时2正比例函数的图像和性质教案+学案

人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质教案【教学目标】知识与技能目标1.能够画出正比例函数的图象.2.根据正比例函数的解析式y=kx(k是常数,k≠0)和图象探索并理解其性质.3.根据两点确定一条直线,可以利用两点(两点法)画正比例函数的图象．过程与方法目标在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数性质．情感、态度与价值观目标学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程,感知数形结合思想．【教学重点】正比例函数图象的画法和性质的理解.【教学难点】利用正比例函数图象与性质灵活解题.【教学准备】教师准备教学中出示的例题；学生准备坐标纸、学习用具.【教学过程设计】一、情境导入导入一:当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网等,我们班级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手!如果他输入的汉字个数用y(单位:百个)来表示,那么y与输入时间x(单位:分钟)的函数关系式是什么?这个函数是我们前面学习的正比例函数吗?用描点法,你能画出这个函数的图象吗?[设计意图]以学生身边感兴趣的问题导入新课,能更好地激发学生学习的积极性.导入二:1.在下列函数中,哪些是正比例函数?并指出正比例系数分别是多少?①y=x,②y=3x2,③y=2x,④y=2x-4,⑤y=,⑥y=-x ,⑦y=-2x.2.画函数图象需要经历哪些步骤?3.你能依据这些步骤画出以上正比例函数的图象吗?[设计意图]通过设计一组正比例函数,引导学生利用上一节知识,即函数的图象的画法来画正比例函数的图象,体会数形结合思想的应用.二、新知构建1.画正比例函数的图象[过渡语]你能用描点法画正比例函数的图象吗?思路一画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.(1)y=2x;(2)y=-2x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象.教师根据学生画出的图象进行有针对性的讲解.解:(1)列表:函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y-6 -4 -2 0 2 4 6描点,连线,画出图象,如图所示:(2)列表:y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y 6 4 2 0 -2 -4 -6描点,连线,画出图象,如图所示.练习:在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.(1)y=x;(2)y=-x.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,让学生体会数形结合思想.思路二1.正比例函数的图象问题画出下列正比例函数的图象:①y=2x;②y=-2x;③y=x;④y=-x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象,并观察规律.教师引导学生画图,注意函数图象的三个关键步骤:列表、描点、连线,边巡视边指出学生画图中出现的问题,最后展示正确图象(如图所示),让学生进行对比修改.[设计意图]通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历发现规律的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.2.正比例函数的性质思路一提问:观察上面的图象,发现函数图象有什么特点?师生共同归纳函数y=2x和y=-2x的图象特点.两个函数图象的共同点:都是经过原点的直线.不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,经过第一、三象限,即随着x的增大y也增大.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,经过第二、四象限,即随x 增大y反而减小.学生根据自己所画的图象,以小组形式类似地归纳y=x和y=-x的图象特点:比较两个函数图象可以看出:两个函数图象都是经过原点的直线.函数y=x的图象从左向右上升,经过第一、三象限,即随x的增大y也增大;函数y=-x的图象从左向右下降,经过第二、四象限,即随x的增大y反而减小.总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:正比例函数y=kx.(1)图象:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.(2)性质:当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.提问:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.思路二问题:观察所画的四个函数图象,填写你发现的规律:①四个函数图象都是经过的直线.②函数y= 2x的图象经过第象限,从左向右(呈什么趋势),即y 随x的增大而;③函数y=-2x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;④函数y=x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;⑤函数y=-x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而.学生观察图象并回答,教师纠正学生回答中不正确的地方,并适当点拨讲解:①原点;②一、三;上升;增大;③二、四;下降;减小;④一、三;上升;增大;⑤二、四;下降;减小.师生共同归纳总结:正比例函数y=kx(k≠0)的性质:(1)图象是经过原点的一条直线.(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大(递增).(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小(递减).思考:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.[知识拓展](1)正比例函数y=kx可以说成y与x成正比例,要求函数关系式,只需通过x,y的一组对应值求出k,从而确定关系式.(2)正比例函数的图象是过原点的直线,当k>0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k<0时,直线从左到右呈下降趋势,经过第二、四象限.画正比例函数的图象时,只需要选取除原点外的一点,再过原点和选取点画直线即可,选取的点一般为点(1,k).(3)正比例函数的性质可以逆用.如当正比例函数y=kx(k≠0)中y随x的增大而增大时,k>0,反之,k<0;若正比例函数的图象过第一、三象限,则k>0等.3.例题讲解例1(补充)(1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是.(2)函数y=5x-b2+9的图象经过原点,则b=.(3)直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,则k的取值范围是.〔解析〕(1)设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可;(2)把原点坐标(0,0)代入函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质列不等式进行求解.解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,∵正比例函数的图象经过点(-1,3),∴-k=3,∴k=-3,∴这个正比例函数的表达式是y=-3x.(2)∵函数y=5x-b2+9的图象经过原点(0,0),∴-b2+9=0,∴b2=9,∴b=±3.(3)∵直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,∴2k-3<0,∴k<.故k的取值范围是k<.[设计意图]通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的解析式和性质列方程或不等式求字母的取值或取值范围.例2(补充)已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.(1)求k的值;(2)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;(3)若A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在此函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.〔解析〕(1) 把点(2,-4)代入y=kx中列方程进行求解;(2)把点(-1,m)代入(1)中函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质进行求解.解:(1)∵点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,∴2k=-4, ∴k=-2.(2)由k=-2可得y=-2x,∵点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,∴m=-2×(-1)=2.(3)y=-2x,∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,∵A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在函数y=-2x的图象上,-2<<1,∴y3<y1<y2.[设计意图]通过设计正比例函数的简单应用,让学生根据正比例函数的解析式和性质进行求解,及时复习正比例函数的性质.例3(教材例1)画出下列正比例函数的图象:(1)y=2x, y=x;(2)y=-1.5x, y=-4x.〔解析〕根据正比例函数的图象是一条直线,两点确定一条直线来作图.解:(1)列表,得:x0 1y=2x0 2y=x0描点,连线,即为函数y=2x, y=x的图象(如下图).(2)列表,得:x0 1y=-1.5x0 -1.5y=-4x0 -4描点,连线,即为函数y=-1.5x, y=-4x的图象(如下图).[设计意图]通过设计正比例函数图象的简单画图,让学生知道利用两点确定一条直线来作图,体验数形结合思想的应用.三、教学小结师生一起总结正比例函数的图象和性质:(1)正比例函数的图象是经过坐标原点的一条直线.(2)作y=kx的图象时,应先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);然后在坐标平面内描点(0,0)与点(1,k);最后过点(0,0)与点(1,k)画一条直线.(3)当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即:随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即:随着x的增大y反而减小..【板书设计】19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质1.画正比例函数的图象2.正比例函数的性质3.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下列函数解析式中,不是正比例函数的是()A.xy=-2B.y+8x=0C.3x=4yD.y=-x解析:根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的解析式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么y就叫做x的正比例函数.不是正比例函数的是A.故选A.2.函数y=(1-k)x中,如果y随着x增大而减小,那么常数k的取值范围是()A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥1解析:∵函数y=(1-k)x中,y随着x的增大而减小,∴1-k<0,解得k>1.故选B.3.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL.小红同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小红离开x h后水龙头滴了y mL水.则y关于x的函数解析式为.解析：因为水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL,所以当小红离开x h后水龙头的滴水量y=3600×2×0.05x=360x.故填y=360x.4.直线y=x经过(0,),(,2),且过第象限,y随x的增大而.解析:由y=x可知当y=2时,x=3,故直线y=x经过(0,0),(3,2).由k=>0可知直线y=x 过第一、三象限,y随x的增大而增大.答案:03一、三增大5.已知函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,那么k=. 解析:∵函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,∴∴k=-5.故填-5.6.已知某种小汽车的耗油量是每100 km耗油15升.所使用的93汽油今日涨价到5元/升.(1)写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行程x(km)之间的函数关系式;(2)在平面直角坐标系内描出大致的函数图象;(3)计算娄底到长沙220 km所需油费是多少?解:(1)y=5×x=0.75x.(2)列表,得:x0 1y=0.75x0 0.75描点,连线,得到函数y=0.75x的图象(如下图).(3)当x=220时,y=0.75×220=165(元).【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质学案【学习目标】1．理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象．2．掌握正比例函数的性质．3．能结合正比例函数的图象和性质解答有关问题．【学习重点】正比例函数的图象和性质．【学习难点】利用正比例函数的图象和性质解答有关问题．【自主学习】一、知识链接1.已知正比例函数y=3x，当x=0时，y= ；当x=1时，y= .2.画函数图象的步骤有：、、.二、新知预习1.画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x，13y x=；（2）y=-1.5x，y=-4x.2.函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是__________________________；函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是____________________________.3.自主归纳：(1)函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过的；（2）k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；（3）k＞0时，函数值y随自变量x 的增大而；k<0时，函数值y随自变量x 的增大而.三、自学自测1.函数y=－3x的图象是经过点（0，__）和（1，___）的一条______，图象经过第___、____象限，从左到右呈_____趋势，即y随x的增大而______.2.在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（）．四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的图象问题1：正比例函数的图象什么？画正比例函数的图象只需要确定几个点？【典例探究】例1用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）-3y x=；（2）3.2 y x =方法总结:画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可. 例2已知正比例函数y=(k+1)x.（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________. （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.知识点2：正比例函数的性质问题2：在函数y=x，y=3x，12y x=-和-4y x=中，随着x的增大，y的值分别如何变化?要点归纳：在正比例函数y=kx中：当k>0时，y的值随着x值的增大而________;当k<0时，y的值随着x值的增大而________.例3已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大三、归纳总结正比例函数y=kx(k≠0)图象正比例函数的图象是一条过原点的直线.k>0 k<0图象是自左向右上升的，经过第一、三象限图象是自左向右下降的，经过第二、四象限|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小【学习检测】1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）2.正比例函数y=2x的图象所过的象限是()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限A(解析:∵正比例函数y=2x中,k=2>0,∴正比例函数y=2x的图象经过第一、三象限.)3.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围（）A．k＜2B．k≤2 C．k＞2D．k≥24.已知正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,则k的值是()A.±3B.±2C.2D.-2D(解析:由正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,可得故k=-2.)5.正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m等于()A.2B.-2C.4D.-4B(解析:∵正比例函数y =mx 的图象经过点A (m ,4),∴m 2=4,∴m =±2.又∵y 的值随x 值的增大而减小,∴m <0,∴m =-2.故选B .)6.函数y=-7x 的图象经过第_________象限，经过点_______与点_______，y 随x 的增大而_______.7.已知正比例函数y =kx (k ≠0),点(2,-3)在函数图象上,则y 随x 的增大而 .(填增大或减小)减小(解析:∵点(2,-3)在正比例函数y =kx (k ≠0)的图象上,∴2k =-3,解得k =-,∴正比例函数解析式是y =-x ,∵k =-<0,∴y 随x 的增大而减小.)8.点(x 1,y 1)与点(x 2,y 2)是正比例函数y =x 的图象上两点,且x 1<x 2,则y 1 y 2.(填“>”“=”或“<”号)<(解析:由k =>0可知y 随x 的增大而增大,故当x 1<x 2时,y 1<y 2.故填<.) 9.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）当m_______，函数图象经过第一、三象限；（2）当m_______，y 随x 的增大而减小；（3）当m_______，函数图象经过点（2，10）.10.如图分别是函数x k y 1=，x k y 2=，x k y 3=，x k y 4=的图象. （1）k 1 k 2，k 3 k 4(填“>”或“<”或“=”)；（2）用不等号将k 1， k2， k 3， k 4及0依次连接起来．11.已知函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,求正比例函数的解析式,并画出函数图象.解:∵函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,∴|a |-3=0,∴a =±3,当a =3时,y=6x+6(舍);当a=-3时,y=-6x.∴正比例函数的解析式为y=-6x.列表,得:x0 -1y0 6描点,连线即可得到函数y=-6x的图象,如图所示.12.已知y与x成正比例,且当x=-2时y=-4.(1)写出y与x的函数关系式;(2)用两点法画出函数图象;(3)设点(a,-2)在这个函数图象上,求a的值;(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,求y的取值范围.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx,∵当x=-2时y=-4,∴-2k=-4,∴k=2,∴y与x的函数关系式为y=2x.(2)列表,得:x0 1y=2x0 2描点,连线得到函数y=2x的图象,如图所示.(3)∵点(a,-2)在这个函数图象上,∴2a=-2,∴a=-1.(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,那么y的取值范围为0≤y≤10.13.正比例函数y=2x的图象如图所示,点A的坐标为(2,0),函数y=2x的图象上是否存在一点P,使△OAP的面积为4,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.解:存在.理由如下:因为点A的坐标为(2,0),所以OA=2,设点P的坐标为(n,m),因为△OAP的面积为4,所以×OA×|m|=4,即×2×|m|=4,所以m=±4,当m=4时,把x=n, y=m=4代入y=2x,得4=2n,所以n=2,此时点P的坐标为(2,4),当m=-4时,把x=n, y=m=-4代入y=2x,得-4=2n,所以n=-2,此时点P的坐标为(-2,-4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(-2,-4).。

19.1.2 第1课时函数的图象及其画法

第1课时函数的图象及其画法
9．2019·自贡均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的
高度 h 与注水时间 t 的函数关系如图 19－1－10 所示，则该容器是图
19－1－11 中的( D )
图 19－1－10
图 19－1－11
[解析] 由图象可知，水面的高度 h 随注水时间 t 的变化规律是先快后慢，D 选项容
图 19－1－12
第1课时函数的图象及其画法
[解析] A 项，根据图象可得，乙车前 4 秒行驶的路程为 12×4＝48(米)，正确； B 项，根据图象可得，在 0 到 8 秒内甲车的速度每秒增加 4 米，正确； C 项，根据图象可得，两车到第 3 秒时行驶的路程不相等，错误； D 项，在 4 至 8 秒内甲车的速度都大于乙车的速度，正确．故选 C.
器的底面积由小变大，水面高度随注水时间变化符合先快后慢．故选 D.
第1课时函数的图象及其画法 10．图 19－1－12 是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( C ) A．乙车前 4 秒行驶的路程为 48 米 B．在 0 到 8 秒内甲车的速度每秒增加 4 米 C．两车到第 3 秒时行驶的路程相等 D．在 4 至 8 秒内甲车的速度都大于乙车的速度
大致图象是( B )
图 19－1－9
第1课时函数的图象及其画法
[解析] 小刚从家到学校行驶的路程 s(m)应随他行走的时间 t(min)的增大
而增大，因此 A 选项一定错误；而等车的时候行驶的路程不变，因此 C，D
选项错误，所以能反映小刚从家到学校行驶的路程 s(单位：m)与时间 t(单
位：min)之间函数关系的大致图象是 B.故选 B.
第1课时函数的图象及其画法

2021年人教版数学八年级下册学案 19.1.2《函数的图象》(含答案)

19.1.2 函数的图象第1课时函数的图象学习目标①知道函数图象的意义.②学会用列表、描点、连线画函数图象．③学会观察、分析函数图象信息．④能利用函数的图象解决实际问题重点难点：函数图象的画法；观察、分析、概括图象中的信息．学习过程一、自主学习（阅读教材并完成下列活动）【活动1】思考：如图是某人体检时的心电图，图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，y与x之间的函数关系能用式子表达吗？显然有些函数问题用函数关系式表示出来，然而可以通过来直观反映．【活动2】正方形的边长x与面积S的函数关系式为；在这个函数中，自变量是、它的取值范围是，是的函数，请根据这个函数关x 0 0.5 1 2 3 ……S ……思考与探究：如果把自变量的值当作横坐标，函数S的值作为纵坐标，组成一对有序实数对（x、S），这样的实数对有多少对？请在下面的直角坐标系中描出这些点，你有什么发现？二、探究新知识①一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的、坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的。

②画函数图象的一般步骤是：、、。

③在坐标平面内，若点P（x,y）向右上方移动，则y随x的增大而；若点P（x,y）向右下方移动，则y随x的增大而。

第2课时函数的表示方法学习目标①进一步理解函数及其图像的意义.②学会根据自变量的值求函数值；或根据函数值求自变量的值，掌握函数的表示方法.③熟练掌握求函数中自变量的取值范围的方法.重点难点：①怎样根据自变量的值求函数值；②怎样求函数自变量的取值范围；③根据函数图象解决实际问题.学习过程一、自主学习（阅读教材）【活动1】分析并解决下列列问题:1．用解析法表示函数关系优点： . 缺点： . 2．用列表表示函数关系优点： . 缺点： . 3．用图象法表示函数关系优点： . 缺点： . 【活动2】请用原来所学的知识完成下列填空：1、若错误!未找到引用源。

有意义，则x的取值范围是 .2、若错误!未找到引用源。

19.1.2 函数的图象教案-河南省漯河市舞阳县人教版八年级数学下册

19.1.2函数的图象【课标内容】1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解函数，探索具体问题中的数量关系和变化规律。

2.通过用函数表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识，能独立思考，体会数学基本的思想和模式方式。

3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.【教材分析】本节课是人教版初中数学八年级上册《函数的图象》。

本节的主要内容是通过实际操作,体会函数三种表示法在实际生活中的应用价值,渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活,培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力.【学情分析】中学生心理学研究指出，初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

且初二的学生求知欲旺盛，具有强烈的操作兴趣。

【教学目标】1．掌握用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质..2．全面理解函数的三种表示方法,进一步了解三种表示方法的优缺点，会根据具体情况选择适当方法表示函数.【教学重点】会用描点法画函数的图象,并能利用函数的三种表示方法解决实际问题.【教学难点】函数的三种表示方法的应用.【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】教学中出示的教学插图和例题.【课时设置二课时【教学过程】一、预学自检互助点拨我们先来看这样一个问题:正方形的边长x与面积S的函数关系是什么?其中自变量x的取值范围是什么?计算并填写下表:x00.5 11.522.533.54S学生计算发现:函数关系式为S=x2,因为x代表正方形的边长,所以自变量x>0,将每个x的值代入函数关系式即可求出对应的S值.教师启发:好!如果我们在直角坐标系中,将你所填表格中的自变量x及对应的函数值S当作一个点的横坐标与纵坐标,即可在坐标系中得到一些点.大家思考一下,表示x与S的对应关系的点有多少个?如果全在坐标纸中描出的话是什么样子?可以讨论一下,然后发表你们的看法,建议大家不妨动手画画看.学生在坐标纸中尝试描点,发现:这样的点有无数个,如果全描出来太麻烦,也不可能.我们只能描出其中一部分,然后想象出其他点的位置,用光滑曲线连接起来.教师点评:很好!这样我们就得到了一幅表示S与x关系的图.图中每个点都代表x的值与S的值的一种对应关系.如点(2,4)表示x=2时S=4.归纳总结:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.上图中的曲线即为函数S=x2(x>0)的图象.思路二请同学们阅读教材第75页,独立完成下面的问题.画函数S=x2(x>0)的图象.第一步:列表x00.5 11.522.53 …S…第二步:描点:以x的值为坐标,相应的函数值为坐标,描出表格中数值对应的各点.第三步:连线:按照坐标由小到大的顺序,把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来.注意:原点要排除(为什么),从所画的图象上可以看出,曲线从左向右,即当x由小变大时,S随x的增大而.归纳:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的、坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的.教师观察学生画图情况, 参与小组讨论,引导学生归纳.一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.上图中的曲线即为函数S=x2(x>0)的图象.2.用描点法画函数的图象思路一要做一个面积为12 m2的长方形小花坛,该花坛的一边长为x m,周长为y m.(1)变量y是变量x的函数吗?如果是,写出自变量的取值范围;(2)能求出这个问题的函数解析式吗?(3)当x的值分别为1,2,3,4,5,6 时,请列表表示变量之间的对应关系;(4)能画出函数的图象吗?师生分析,共同完成解答.(1)由于面积一定的长方形,当一条边长为x m时,另一条边长可以用x表示出来,那么长方形的周长y随着x的变化而变化,由函数的定义可知,y是x的函数,自变量x的取值范围是x>0.(2)由长方形的面积公式可得,另一条边长为 m,周长为y=2x+m.(3)列表:x/m 1 2 3 4 5 614.y/m 26 16 14 14168(4)描点,连线,如图所示.归纳总结:用描点法画函数图象的一般步骤:第一步:列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;第二步:描点——在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;第三步:连线——按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来.[设计意图]根据函数图象的画法,让学生充分体会图象的作法和步骤.思路二[过渡语]我们一起来试一试如何画函数图象画y=(x>0)的图象:第一步:列表:x… 1 1.2 3 4 5 6 …5y=(x>0) ……第二步:描点:以x的值为坐标,相应的函数值为坐标,描出表格中数值对应的各点.第三步:连线:按照坐标由小到大的顺序,把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来.观察:从所画的图象上可以看出,曲线从左向右,即当x由小变大时,y随x的增大而.学生画图后,同桌交流,并与教材78页对照检查是否相同.教师引导学生观察图象,曲线从左向右下降,即当x由小到大时,y=(x>0)随之减小.你能总结下用描点法画图的步骤吗?学生总结后,阅读教材79页内容.[知识拓展]画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致.二、合作互学探究新知(教材例3)在下列式子中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数.画出这些函数的图象:(1)y=x+0.5;(2)y=(x>0).解:(1)从式子y=x+0.5可以看出,x取任意实数时这个式子都有意义,所以x的取值范围是全体实数.从x的取值范围中选取一些数值,算出y的对应值,列表(计算并填写表中空格).x…-3 -2 -1 0 1 2 3 …-0.y…0.5 1.5 2.5 …5根据表中数值描点(x,y),并用平滑曲线连接这些点.从函数图象可以看出,直线从左向右上升,即当x由小变大时,y=x+0.5随之增大.(2)y=(x>0).列表(计算并填写表中空格).x…0.5 11.522.533.54 5 6 …y… 6 3 21.5…根据表中数值描点(x,y),并用平滑曲线连接这些点.(补充) 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式y=-x2+x击球,球正好进洞.其中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离.(1)试画出高尔夫球飞行的路线;(2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?球的起点与洞之间的距离是多少?〔解析〕(1)高尔夫球飞行的路线,也就是函数y=-x2+x的图象,用描点法画出图象.在列表时要注意自变量x的取值范围,因为x是球飞出的水平距离,所以x不能取负数.在建立直角坐标系时,横轴(x轴)表示球飞出的水平距离,纵轴(y轴)表示球的飞行高度.(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上最高点对应的y值(如图点P),球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,如图点O 和点A,点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.解:(1)列表如下:x0 1 2 3 4 5 6 7 8y01.4 2.433.232.41.4在直角坐标系中,描点、连线,便可得到这个函数的大致图象,如图所示.(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m,球的起点与洞之间的距离是8 m.(教材例2)如图(1)所示,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家.图(2)反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象回答下列问题:(1)食堂离小明家多远?小明从家到食堂用了多少时间?(2)小明吃早餐用了多少时间?(3)食堂离图书馆多远?小明从食堂到图书馆用了多少时间?(4)小明读报用了多少时间?(5)图书馆离小明家多远?小明从图书馆回家的平均速度是多少? 〔解析〕小明离家的距离y是时间x的函数.由图象中有两段平行于x轴的线段可知,小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.解:(1)由纵坐标看出,食堂离小明家0.6 km;由横坐标看出,小明从家到食堂用了8 min.(2)由横坐标看出,25-8=17,小明吃早餐用了17 min.(3)由纵坐标看出,0.8-0.6=0.2,食堂离图书馆0.2 km;由横坐标看出,28-25=3,小明从食堂到图书馆用了3 min.(4)由横坐标看出,58-28=30,小明读报用了30 min.(5)由纵坐标看出,图书馆离小明家0.8 km;由横坐标看出,68-58=10,小明从图书馆回家用了10 min,由此算出平均速度是0.08 km/min.[归纳总结]在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,结合题意寻找对应的现实情境.三、自我检测成果展示1.在某次试验中,测得两个变量m与v之间的4组对应数据如下表:m 1 2 3 4v0.01 2.98.0315.1则m与v之间的关系最接近于下列各关系中的()A.v=2m-2B.v=m2-1C.v=3m-3D.v=m+1解析:将试验中的数据依次代入A,B,C,D四个关系式中检验.故选B.2.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(千米)与时间t(分钟)的函数关系.以下说法:①乙比甲提前12分钟到达;②甲的平均速度为15千米/时;③乙走了8千米后遇到甲;④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析:根据图象可以看出乙比甲晚出发18分钟,但比甲早到12分钟,①正确;甲的平均速度是10÷=15(千米/时),②正确;乙的平均速度是10÷=60(千米/时),设甲出发x小时后与乙相遇,则15x=60x-,解得x=,×60=24(分钟),故乙出发24-18=6(分钟)后追上甲,④正确;相遇时,乙走了60×-=6(千米),③错误.故正确的有①②④,共3个.故选B.3.1~6个月的婴儿生长发育得非常快,他们的体重y(克)和月龄x(月)之间的关系可以用y=a+700x表示,其中a是婴儿出生时的体重.若一个婴儿出生时的体重是4000克,请用表格表示在1~6个月内,这个婴儿的体重y与x之间的关系:月龄/1 2 3 4 5 6月体重/克解析:由题意知函数关系式是y=4000+700x,然后把x的值分别代入即可求y的值.答案:月龄/月1 2 3 4 5 6体重/克4705406106807508204.已知矩形的周长是8 cm,设一边长为x cm,与其相邻的一边长为y cm.(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)在图中作出函数的图象.解:(1)∵矩形的周长是8 cm,∴2x+2y=8,∴y=4-x,自变量x的取值范围是0<x<4. (2)所作函数图象如图所示.5.小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系.请你由图具体说明小明散步的情况.解析:从图中可发现函数图象分成四段,因此说明小明散步的情况应分成四个阶段.线段OA:O点的坐标是(0,0),因此O点表示小明这时从家里出发,然后随着t值的增大,s值也逐渐增大(散步所用时间越长,离家的距离越大),最后到达A点,A点的坐标是(3,250),说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏.线段AB:观察这一段图象可发现t值在增大而s值保持不变(小明这段时间离家的距离没有改变),B点横坐标是8,说明小明在阅报栏前看了5分钟报.线段BC:观察这一段图象可发现随着t值的增大,s值又逐渐增大,最后到达C 点,C点的坐标是(10,450),说明小明看了5分钟报后,又向前走了2分钟,到达离家450米处.线段CD:观察这一段图象可发现随着t值的增大,而s值逐渐减小(10分钟后散步所用时间越长,离家的距离越小),说明小明在返回,最后到达D点,D点的纵坐标是0,表示小明已到家.这一段图象说明从离家450米处返回到家小明走了6分钟.解:小明先走了约3分钟,到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报,又向前走了2分钟,到达离家450米处返回,走了6分钟到家.四、应用提升挑战自我.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米,y关于x的函数关系如图所示,则甲车的速度是米/秒.五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来（设计思路：师生共同回忆所学内容，共同小结，渐渐补充.充分利用学案资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.）【板书设计】1.函数图象2.用描点法画函数图象3.例题讲解【备课反思】根据新课标的评价理念,教师在课堂中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需求,培养学生探索方式、表达方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师没有关注学生的参与程度和表现出来的思维水平,应关注的是学生对概念的理解水平和学生的语言表达能力.在教学过程中,注意通过对以前学过的“变量之间的关系”的回顾与思考,力求提供生动有趣的问题情境,激发学生的学习兴趣,并通过层层深入的问题设计,引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动.第二课时一、预学自检互助点拨问题1有根弹簧原长10 cm,每挂1kg重物,弹簧伸长0.5 cm,设所挂的重物为m kg,受力后弹簧的长度为l cm,根据上述信息完成下表:3.m/kg 0 1 2 3…5l/ cm受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗?问题2有一辆出租车,前3公里内的起步价为8元,每超过1公里收2元,有一位乘客坐了x(x>3)公里,他付费y元.用含x的式子表示y,y是x 的函数吗?问题3如图所示的是某地某一天的气温变化图.引导学生思考,从上面的三个问题中,可以发现表示函数有哪三种方法,这三种表示函数的方法各有什么优缺点?在遇到具体问题时,该如何选择适当的表示方法呢?[设计意图]出示题目,同时提出新的问题,让学生在解决旧知的基础上提出问题,从而激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础.二、合作互学探究新知1.函数的三种表示方法比较思路一我们首先思考刚才提出的第一个问题:函数有哪些表示方法?学生从前面所见到的或自己举的例子可以看出:函数有三种表示方法,分别为列表法、解析式法和图象法.师生互动,注意通过提醒,规范学生的语言,准确地描述这三种方法.我们接下来思考刚才提出的第二个问题:三种表示函数的方法各有什么优缺点?学生结合从前面所见到的或自己举的例子可以看出:列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系;解析式法比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系;至于图象法则形象、直观地表示出函数中两个变量的关系.教师追问:好!这位同学说出了三种表示方法的优点,那么它们又各有什么不足之处呢?讨论后交流:相比较而言,列表法不如解析式法全面,也不如图象法形象;而解析式法不如列表法直观,不如图象法形象;图象法也不如列表法直观准确,不如解析式法全面.追问:很好!我们就从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点.请同学们根据自己的看法填表:表示方法全面性准确性直观性形象性列表法×√√×解析式√√××法图象法××√√学生以事先分好的小组(四人为一组)为单位,通过观察,思考,讨论,并填好表格中的内容.教师小结:从所填表中可清楚看到三种表示方法各自的优缺点.在遇到实际问题时,就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法,有时为了全面地认识问题,需要几种方法同时使用.[设计意图]通过学生的思考、培养学生的逻辑思维能力以及严谨的学习态度,使学生初步养成言之有据的习惯.思路二提问:表示函数有哪三种方法?学生结合引例,通过讨论,然后准确地描述出三种方法.学生讨论解决.问题1:这三种表示的方法各有什么优点?问题2:这三种表示的方法各有什么不足之处呢?问题3:请从全面性、准确性、直观性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点,填写下表:表示方法全面性准确性直观性形象性列表法解析式法图象法学生四人为一组,通过观察,思考,讨论,并填好表格中的内容.教师参与学生的讨论,注意首先肯定学生的回答,确定其优点,再指出不足之处.教师小结:从所填表中可以清楚看到三种表示方法各自的优缺点.在遇到实际问题时,就要根据具体情况选择适当的方法,有时为全面地认识问题,需要几种方法同时使用.2.例题讲解(教材例4)一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表19-6记录了这5 h内6个时间点的水位高度,其中t表示时间,y表示水位高度.t/h 0 1 2 3 4 5y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这些点是否在一条直线上?由此你能发现水位变化有什么规律吗?(2)水位高度y是否为时间t的函数?如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗?(3)据估计这种上涨规律还会持续2 h,预测再过2 h水位高度将为多少米.思路引导:(1)图象法:在下面的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点:观察描出的点,这些点的位置特征是,再结合表中数据,可以发现每小时水位上升m.由此猜想,如果画出这5小时内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应的点,它们可能也在.即在这个时间段内水位可能是始终以同一速度均匀上升的.(2)解析式法:观察上图,由于水位在最近5 h内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都与其对应,所以是的函数.由于开始水位是 3 m,以后每小时上升0.3 m,故y=(t的范围是).其图象是下图中的线段AB.这个函数可以精确地表示水位的变化规律.如果水位的升速有些变化,也可近似地表示水位的变化规律.(3)函数及其图象的应用:如果这种上涨规律还会持续 2 h,那么可以预测 2 h后的水位:①由函数解析式预测:当t=7时,y= =5.1 m.②由函数图象预测:在下图中,把函数图象(线段AB)向右延伸到t=7时所对应的位置,找出其点所对应的纵坐标,也可看出大约是5.1 m.(注意,这个结果是近似的,而上面的是准确的)学生根据老师的引导整理解题过程.解:(1)如图所示,描出表中数据对应的点.可以看出,这6个点在一条直线上.再结合表中数据,可以发现每小时水位上升0.3 m.由此猜想,如果画出这5 h内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.(2)由于水位在最近5 h内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都有唯一的值与其对应,所以y是t的函数.开始时水位高度为3 m,以后每小时水位上升0.3 m.函数y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数,它表示经过t h水位上升0.3t m,即水位y 为(0.3t+3)m.其图象是图中点A(0,3)和点B(5,4.5)之间的线段AB.如果在这5 h内,水位一直匀速上升,即升速为0.3 m/h,那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5 h内,水位的升速有些变化,而每小时水位上升0.3 m是确定的,因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.(3)如果水位的变化规律不变,则可利用上述函数预测,再过2 h,即t=5+2=7(h)时,水位高度y=0.3×7+3=5.1(m).把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7时所对应的位置,得图,从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m.[过渡语] 就上面的例子中提几个问题大家思考:(1)函数自变量t的取值范围:0≤t≤7是如何确定的?(2)2小时后的水位高度是通过解析式求出的好,还是从函数图象估算出的好?(3)函数的三种表示方法之间是否可以转化?学生代表发言,相互补充.(1)从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况,且估计这种上涨情况还会持续2小时,所以自变量t的取值范围取0≤t≤7,超出了这个范围,情况将难以预计.(2)2小时后水位高度通过解析式求的值准确,通过图象估算直接、方便.就这个题目来说,虽然2小时后水位高度本身就是一种估算,但为了准确而言,我认为还是通过解析式求出较好.(3)从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化,因为题目中只给出了列表法,而我们通过分析求出解析式并画出了图象,所以我认为可以相互转化.[设计意图]通过例题的讲解,让学生进一步巩固函数的三种表示方法,并会三、自我检测成果展示1.已知方程x-3y=12,用含x的代数式表示y是.2.日常生活中,“老人”是一个模糊概念.可用“老人系数”表示一个人的老年化程度.“老人系数”的计算方法如下表:人的年龄x(岁) x≤6060<x<80x≥80“老人系数”0 1按照这样的规定,“老人系数”为0.6的人的年龄是岁.3.邓教师设计一个计算程序,输入和输出的数据如下表所示:那么当输入数据是正整数n 时,输出的数据是 .输入数据1 2 3 4 5 6 …输出数据…四、应用提升挑战自我4.某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表:时间x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12月产量y/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5(1)为什么称电动车的月产量y 为因变量?它是谁的因变量?(2)哪个月份电动车的产量最高?哪个月份电动车的产量最低?(3)哪两个月份之间产量相差最大?根据这两个月的产量,电动车厂的厂长应该怎么做?五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来（设计思路：师生共同回忆所学内容，共同小结，渐渐补充.充分利用学案资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.）【板书设计】第2课时1.函数的三种表示方法2.例题讲解【备课反思】本节课能力培养到位.设计上注重了数学思想方法在课堂中的渗透,领悟数学知识发生与发展过程中的思想方法;注重知识“结构化”的形成,帮助学生形成了知识体系,完善了认知结构.有效培养学生的发散思维能力和对知识的分析、归纳能力.在教学过程中,高估了学生的识图能力,主要的困难在于学生从图形获取信息的能力较弱,教学中对学生这方面的能力有所减弱.加强学生识图能力的教学,让学生多动手,多观察,熟练地从图形中获取信息.。

人教版八下数学19-1-2函数的图象课时2

（3）据估计这种上涨规律还会持续 2 h，预测再过 2 h
水位高度将达到多少米？
如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，
再过 2 h，即 t=5+2=7(h) 时，水位高度
y=0.3×7+3=5.1(m).
把图中的函数图象(线段AB)向右延
伸到 t=7 所对应的位置，从图象也
能看出这时的水位高度约为 5.1 m.
新知探究知识点2：列表法
列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来
表示函数关系的方法叫做列表法.
例2 以下式子，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯
一的对应值，即 y 是 x 的函数.从 x 的取值范围中选取
一些数值，算出 y 的对应值，列表.
y=2x+3
从式子 y=2x+3 可以看出，x 取任意实数时这个式子都
26
24
O 10 20 30 40 50 60 70
x
这个函数解析式是分段的，所以函数图象是折线段.
课堂小结
函
数
表
示
法
解析
式法
用数学式子表示函数关系的
方法叫做解析式法，其中的
等式叫做函数解析式.
列表法
通过列出自变量的值与对应
函数值的表格来表示函数关
系的方法叫做列表法.
图象法
用图象表示两个变量间的函
有意义，所以 x 的取值范围是全体实数.
从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，
列表：
x
……
-2
-1
0
1
2
……
y
……
-1
1
3
5
7

八年级数学下册第19章一次函数一次函数第2课时正比例函数的图象和性质说课稿新版新人教版

正比例函数的图象与性质一、教材分析1、地位与作用本节课是在学好了正比例函数解析式后,对函数内容的进一步研究,是在平面内的点与有序数对的对应关系基础上建立起来的,是函数与图象第一次完美结合,它的研究方法具有一般性和代表性,为学习其它函数图象奠定了基础,起着承上启下的重要作用。

2、教学重点：探索并掌握正比例函数图象的性质。

3、教学难点：发现与总结正比例函数图象的性质。

【设计意图】只有让学生在动手操作观察思考中体会,学生才能真正理解它的本质,将所学知识内化为自己的东西。

一、教学目标1、知识与技能认识正比例函数图象是一条直线,学会画正比例函数图象,理解性质,培养学生观察、分析、归纳的逻辑思维能力。

2、过程与方法让学生经历正比例函数图象的性质的过程,提高学生的探究、分析、归纳能力,领悟数形结合的思想。

3、情感态度与价值观培养学生主动探究的良好学习习惯,发展学生的团结协作意识,体验数学知识来源于生活又服务于生活这一道理,从而提高学生的学习兴趣。

二、教法分析采用“创设情境——探究归纳——知识应用”的方法及小组合作的方式,给学生提供充分探究和交流的时间与空间,让学生经历操作、观察、思考、交流、猜想、验证过程获得知识,形成技能。

另外在教学中采用多媒体教学手段,增进教学的直观性,趣味性,提高教学效率。

三、学法指导充分发挥学生的主体地位,关注学生的动手实践的经历,关注学生的自主探究过程,关注学生的合作交流,使学生不断积累活动经验,在活动中获得数学的“思想、方法和能力”,增强学生学习数学的兴趣和自信心。

四、教学过程设计（一）创设情境导入新课当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网,MP3上网等等。

我们年级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手！如果他输入的汉字个数用y（单位：百个）来表示,那么y与输入时间x（单位：分钟）的函数关系式是什么？设计意图：以学生身边感兴趣的问题导入新课,能更好的激发学生学习的积极性。

人教版八年级下册19.1.1变量与函数(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解变量与函数的基本概念。变量是指数值可变的量，而函数则是一种特殊的关系，描述了一个变量随另一个变量变化而变化的规律。它是数学模型中的重要组成部分，广泛应用于各个领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了函数在描述物体运动中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
举例：在解析式y = f(x)中，x为自变量，y为因变量，自变量是独立变量，而因变量随自变量变化。
（2）掌握函数的定义：使学生掌握函数的定义，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法）。
举例：给出一个具体函数，如y = 2x + 1，让学生学会用列表法、解析式法和图象法表示。
（3）学会绘制函数图像：培养学生通过描点、连线等方式绘制函数图像的能力。
2.教学难点
（1）函数抽象思维的培养：学生在从具体问题中抽象出函数关系时，可能存在一定的困难。
突破方法：通过生活中的实例，如气温随时间变化、物品价格与数量的关系等，引导学生理解函数的抽象概念。
（2）函数性质的判断：如何判断函数的单调性、奇偶性等性质，是学生学习的难点。
突破方法：通过具体函数的图象和解析式，引导学生观察、分析、归纳函数的性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
5.提高学生的数学运算能力：在学习函数相关知识的过程中，加强学生的运算训练，提高运算速度和准确性。
本节课将紧紧围绕核心素养目标，结合课本内容，注重培养学生的综合运用能力，为学生的全面发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解变量的概念：强调自变量与因变量的区别，使学生能够准确判断变量之间的关系。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对变量与函数的概念有了初步的认识，但仍然存在一些理解和应用上的困难。首先，对于变量的概念，尽管我通过生活中的实例进行了讲解，但部分同学在区分自变量和因变量时仍然感到困惑。在今后的教学中，我需要进一步强化变量的定义，并通过更多的实例来帮助同学们理解和掌握。

八年级数学下册 19.2.2《一次函数》一次函数的图象与性质(第1课时)学案(新版)新人教版

请写出解答过程．
9．已Байду номын сангаас直线分别与轴和轴交于A、B两点，设坐标原点为O，△COB与△AOB全等，求点C的坐标．（请画图探究）
教学反思：
－1
0
1
2
比较上面两个函数的图象的相同点和不同点：
（1）这两个函数的图象形状都是，并且倾斜程度，
即两条直线的位置关系是．
（2）函数的图象经过原点，函数的图象与轴交于点，
即函数的图象可以看作由直线向平移个单位长度而得到．
思考：比较上面两个函数的解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？
3．不画图象仅看解析式，直线与的位置关系是，因为它们的相同．
把直线向向平移个单位可以得到直线．
4．一次函数的图象形状是，可由个点确定；
思考：画一次函数的图象时用哪几个特殊点合适呢？
教师二次备课
备课教师：
【课堂探究】
5．分别画出下列一次函数的图象
0
0
1列表
2 描点
3连线
思考：值的正负对一次函数的图象有何影响？
（1），，（2），，
8．画一次函数的图象，并回答问题．列表：
（1）图象从左至右；
函数值随增大而；即当时，；画图：
（2）直线不经过第象限；
（3）图象与轴的交点坐标为，
与轴的交点坐标为；
直线与两坐标轴围成的三角形面积为；
（4）点P在直线上，且点P到轴的距离为2，求点P的坐标．
课后作业1908－－一次函数的图象与性质（课时8）
1．（1）直线过点（，0）、（0，）、（2，）；（2）直线过点（，0）、（0，）、（，1）．
2．直线与与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为；

人教版八年级数学下册第十九章 19.1.2 函数的图像课件(3课时,共69张PPT)

（3）如果水位的变化规律不变，按上述函数预测，再持续2小时，水位的高度： __y_=_0_.3_×__7_+_3_=_5_._1_(m__)_____. 此时函数图象（线段AB）向 ___________延伸到对应的位置，这时水位高度约为___5_.1_m______米.
由例可以看出，函数的不同表示法之间可以__转__化_______.
值范围是： X取全体实数；第一步：从的取值范围中选取一些简洁的数值，算出的对应值，填写在表格里；
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
y … -2.5 -1.5 -0.5 0.51.52.5 …
知识点用描点法画函数图象第二步：根据表中数值描点（ x ,y）；
y=x+0.5
• • • • • •
1、如果A、B两人在一次百米赛跑中，路程（米）与赛跑的时间t（秒）的关系
如图所示则下列说法正确的是（ C）
A. A比B先出发； B. A、B两人的速度相同； C. A先到达终点； D. B比A跑的路程多.
2、用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数的n函数.
解：列表法：
边数n 3 4 5 …
内角和 m/度 180 360 540
…
解析法：m=(n-2)×180 °,n≥3
大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大。
画函数图象的一般步骤：
列表、描点、连线，这种画函数图象的方法称为描点法。
函数图象的三种表示法
1、描点法画函数图象的一般步骤：（1）_列__表__，（2）_描__点__，（3）_连__线___. 2、表示函数的三种方法分别为：
__解_析__式__法__、___列_表__法__ 、_图__象_法__ .

人教版八下数学19.2.1 课时1正比例函数的概念教案+学案

人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时1正比例函数的概念教案【教学目标】知识与技能目标认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式特点．过程与方法目标能利用正比例函数知识解决相关实际问题．情感、态度与价值观目标通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活,体会在学习中与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的自信心．【教学重点】理解正比例函数意义及解析式特点.【教学难点】掌握正比例函数的解析式的求法.【教学过程设计】一、情境导入导入一:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车平均速度为300 km/h.考虑以下问题:(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1100 km的南京南站?学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析:(1)1318÷300≈4.4(h).(2)y=300t.(3)y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站.y=300t中,变量和常量分别是什么?其对应关系是函数关系吗?谁是自变量,谁是函数?自变量与常量按什么运算符号连接起来的?由此引出今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,让学生体会到正比例函数来源于生活实际,通过实例引入,激发学生学习数学的兴趣.导入二:一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到1千米)?2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?学生在练习本上独立完成,有困难的小组讨论、交流.教师总结,全班讲评.一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:25600÷(30×4+7)≈202(千米).若设这只燕鸥每天飞行的路程为202千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=202x(0≤x≤127).这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=202x的值.即:y=202×45=9090(千米).以上我们用y=202x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.类似于y=202x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分的,人们的需要产生数学.二、新知构建1.正比例函数概念思路一下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化;(2)铁的密度为7.8 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位: cm3)的大小变化而变化;(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化;(4)冷冻一个0 ℃物体,使它每分下降2 ℃,物体的温度T (单位: ℃)随冷冻时间t (单位:分)的变化而变化.学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析: (1)l =2πr ;(2)m = 7.8V ;(3)h =0.5 n ;(4)T =-2t.引导学生认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数.函数解析式常数自变量函数 (1)l =2πr2π r l (2)m =7.8V7.8 V m (3)h =0.5n0.5 n h (4)T =-2t -2 t T提问:这些函数有什么共同点?学生观察这些函数关系式,发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y =300t ,y =200x 的形式一样.教师归纳:一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数.[设计意图] 由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,体会数学来源于生活,又应用于生活,让学生初步感受正比例函数在实际生活中的应用.思路二前面我们学习了函数的概念,学会了用描点法来画函数的图象,观察下列函数的解析式,发现它们有什么特点?(1)y =3x ; (2)y =-6x ; (3)y =x ; (4)y =-x.师生共同分析:上述这些函数都是常数与自变量乘积的形式,我们把形如这样的函数叫做正比例函数.一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 教师强调:(1)常量:k ,变量:x ,y ,自变量取值范围:全体实数;(2)正比例函数的函数y 与自变量x 之间就是正比例关系的量.[设计意图] 通过观察所给函数的结构特点,让学生寻找这些函数具有的规律,让学生体会由特殊到一般来解决问题的方法.2.例题讲解例1 (补充)下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k 的值.① y =31x ;② y =x32;③ y =﹣x 6;④ y =2x ;⑤y =x 2+1;⑥ y =5x +2. 〔解析〕观察所给的函数表达式,看是否满足正比例函数y =kx 的形式来求解.解:① y =31x 是正比例函数,正比例系数k =31. ④ y =2x 是正比例函数,正比例系数k =2.②,③,⑤,⑥ 都不是正比例函数.[设计意图] 通过设计一组函数,让学生利用正比例函数的定义进行判断求解,帮助学生及时复习所学的概念.例2 (补充)①若y =(k -1)x 是正比例函数,则 ;②若y =2x m 是正比例函数,则m = .③在函数y =(k －2)中,当k = 时,为正比例函数.〔解析〕根据正比例函数定义,利用比例系数k ≠0,或者x 的指数为1列不等式或方程进行求解.①∵y =(k -1)x 是正比例函数,∴k -1≠0,∴k ≠1.②∵y =2x m 是正比例函数,∴m =1.③∵函数y =(k -2)为正比例函数,∴∴k =-2.答案:①k ≠1 ②1 ③-2[设计意图] 通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的比例系数和未知数的指数来列不等式或方程来求字母的取值.例3(补充)若y 与x -2成正比例关系,且x =4时,y =5.求y 关于x 的函数关系式. 〔解析〕先根据y 与x -2成正比例关系可设y =k (x -2),再把x =4时,y =5代入求出k 的值即可.解:设y =k (x －2),则有k (4－2)=5,解得k =25. 所以y 关于x 的函数关系式为y =25x －5. [设计意图] 通过设计代数式之间成正比例关系,利用方程的思想进行求解,让学生更深刻理解正比例函数的定义.三、教学小结本节课学习了正比例函数的概念:形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数;会用正比例函数定义来判断函数是否为正比例函数;并且会用正比例函数定义来求一些字母的取值;解题时注意:判定一个函数是否为正比例函数,要化简后再判断.【板书设计】19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数课时1正比例函数的概念1.正比例函数概念2.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下面四个小题中两个变量成正比例的是( )A.儿童的身高和年龄B.等腰梯形的上底固定时,下底和面积C.圆柱的高和体积D.长方体的底面是边长为定值a 的正方形,它的体积和高解析:儿童的身高与年龄不成正比例关系;由等腰梯形的面积公式、圆柱的体积公式可知B,C 不正确;由题意知长方体的体积=a 2×高,且a 为定值,所以它的体积和高是成正比例的.故选D .2.若y =5x 3m -2是正比例函数,则m = .解析:根据正比例函数定义,得3m -2=1,解得m =1.故填1.3.y =(k -2)x 2+5x 是正比例函数,则k 的值为 .解析:根据正比例函数定义,得k -2=0,解得k =2.故填2.4.下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k 的值.(1)y =-0.1x ; (2)y =53x ; (3)y =2x 2; (4)y 2=4x ;(5)y =-4x +3; (6)y =2(x -2x 2)+2x 2.解:(1) 表示y 是x 的正比例函数;正比例系数k =-0.1.(2) 表示y 是x 的正比例函数;正比例系数k =53.(3),(4),(5),(6)都不是正比例函数. 5.如果y =kx (k ≠0),当x =4时,y =2;那么x =-3时,y 的值是多少?解:∵y =kx ,当x =4时,y =2,∴4k =2,∴k =21,∴y =21x ,∴当x =-3时,y =23.【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时1正比例函数的概念学案【学习目标】1．理解正比例函数的概念；2．会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题．【学习重点】正比例函数的概念及其简单应用．【学习难点】会求正比例函数的解析式．【自主学习】一、知识链接1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m（元）与销售量n（千克）成比例，其比例系数为.2.举例说明什么是函数及自变量.二、新知预习1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l随半径r的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体问题T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．（5）以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量的形式.2.自主归纳：一般地，形如（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．三、自学自测1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？2(1)3;(2)21;(3);(4);(5)π ;(6).2x y x y x y y y x y x ==+=-===2. 回答下列问题：(1)若y=(m-1)x 是正比例函数，m 取值范围是；(2)当n 时，y=2x n 是正比例函数； (3)当k 时，y=3x+k 是正比例函数. 四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的概念问题1：正比例函数的定义是什么？需要注意哪些问题？【典例探究】例 1 已知函数 y=(m-1)2m x 是正比例函数，求m 的值.方法总结:正比例函数满足的条件：（1）自变量的指数为1；（2）比例系数为常数，且不等于0.知识点2：求正比例函数的解析式例2若正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2.（1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时函数y的值.方法总结:求正比例函数解析式的步骤：（1）设：设函数解析式为y=kx；（2）代：将已知条件带入函数解析式；（3）求：求出比例系数k；（4）写：写出解析式.知识点3：正比例函数的简单应用问题2：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？例3已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y （元）与行程 x （km ）之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km 所需油费是多少？方法总结:判断是否为正比例函数的依据是函数解析式能否化为y=kx （k 是常数，k≠0）的形式.【跟踪练习】1.(1)若y=(m-2)x |m|-1是正比例函数，则m= ；(2)若y=(m-1)x+m 2-1是正比例函数，则m= . 2.已知y 与x 成正比例，当x 等于3时，y 等于-1.则当x=6时，y 的值为____________.【学习检测】1.下列说法正确的打“√”,错误的打“✕”(1)若y =kx ,则y 是x 的正比例函数. ( )(2)若y =26x 2,则y 是x 的正比例函数. ( ) (3)若y =2(x -1)+2,则y 是x 的正比例函数. ( )(4)若y =2(x -1),则y 是x -1的正比例函数. ( )(1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√(解析:先把所给的代数式化成最简形式,再根据正比例函数定义进行判断求解.)2.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（）A.圆的面积S 与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s与时间tC.正方形的面积S与边长aD.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t3.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（）（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（）（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）（4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（）4.填空（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足_______.（2）如果y=kx k-1，是y关于x的正比例函数，则k=____.（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____.（4）若23=-是关于x的正比例函数，m=_____.(2)my m x-5.汽车以40千米/时的速度行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数解析式为, y是x的函数.y=40x正比例(解析:根据路程=速度×时间和正比例函数的定义进行判断.) 6.填空(1)若函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,则a =;(2)若y=(k+3)是y关于x的正比例函数,则k=;(3)若y与x-2成正比例,当x=3时,y=-4.试求出y与x的函数关系式.解析:由正比例函数解析式为y=kx,根据题意列方程或不等式进行求解.解:(1)∵函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,∴a=-3.(2)∵y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数,∴k=3.(3)∵y与x-2成正比例,∴设y=k(x-2),∵当x =3时,y =-4,∴k =-4,∴y 与x 的函数关系式为y =-4x +8.7.已知函数y =2x 2a ＋3+a +2b 是正比例函数,则a = ,b = .﹣1 21 8.若x ,y 是变量,且函数y =(k +1)是正比例函数,则k = .1(解析:由正比例函数定义,可知故k =1.)9.若y =kx +2k -3是y 关于x 的正比例函数,则k = .(解析:由正比例函数定义可知2k －3=0,且k ≠0,故k =23.) 10.已知y-3与x 成正比例，并且x=4时，y=7，求y 与x 之间的函数关系式.11.已知y -6与x +3成正比例,且x =1时,y =26,试写出y 与x 的函数关系式. 解:∵y -6与x +3成正比例,∴设y -6=k (x +3).又∵x =1时,y =26,∴4k =20,∴k =5,∴y -6=5(x +3),∴y 与x 的函数关系式为y =5x +21.12.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.（1）求收割的面积y （单位：公顷）与收割时间x （单位：时）之间的函数关系式；（2）求收割完这块麦田需用的时间.13.汽车由天津驶往相距120千米的北京,s (千米)表示汽车离开天津的距离,t (小时)表示汽车行驶的时间,如图所示.(1)汽车用几小时可到达北京?速度是多少?(2)汽车行驶1小时,离开天津有多远?(3)当汽车距北京20千米时,汽车出发了多长时间?解:(1)由图象可知:s与t成正比例,设s=kt,当t=4时,s=120.即120=k×4,∴k=30.∴s=30t.∴汽车用4小时可到达北京,速度是30千米/时.(2)当t=1时,s=30×1=30(千米).∴汽车行驶1小时,离开天津30千米.(3)当s=100时,100=30t,t=(小时).∴当汽车距北京20千米时,汽车出发了小时.。

人教版初中数学八年级下册第19章19.2.2 一次函数(第1课时)优秀课件

(2)当k满足什么条件时,它是一次函数?
〔解析〕根据一次函数的定义可知:k+2≠0确定k的值即可.
解：当k+2≠0,即k≠-2时,它是一次函数.
课堂小结
注意一次函数的定义,并且正确理解它和正比例函数的关系,一次函数y=kx+b 中必须满足的条件是k≠0.当b=0时,一次函数也为正比例函数.
1.一般地,形如 y=kx+b (k,b是常数,k≠0)的函数
y=-5x+50(0≤x<10). 想一想：
(1)上面的四个函数解析式,有什么共同特点?
(2)这种函数解析式的一般形式如何表达?它叫什
么函数?与正比例函数有何关系?
学习新知
京沪高速铁路全长1318 km,设列车的平均速度为300 km/h.
(1) 列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需 4.4 小时.(结果保留一位小数)
当b=0时,y=kx+b,即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
例：(补充)已知关于x的函数y=(k+2)x+k2-4, (1)当k满足什么条件时,它是正比例函数?
〔解析〕根据正比例函数的定义可知:k2-4=0且k+2≠0确定k的值.
解:当k2-4=0且k+2≠0时,即k=2时, 它是正比例函数.
解析:一次函数y=kx+b的解析式中k≠0,自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数;正比例函数的解析式中,比例系数k是常数,k≠0,自变量的次数为1.
解:(1)根据一次函数的定义,得2-|m|=1,解得 m=±1.又∵m+1≠0,即m≠-1,∴当m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函数.
c=7t-35(20≤t≤25).

§19_1_2矩形的判定(第一课时导学案)

§19.1.2 矩形的判定（第一课时导学案）【学习目标】1、通过探索和交流，亲自经历知识发生发展的过程，得出矩形的判定定理，并会用判定定理解决相关的问题；2、通过猜测、分析、类比、测量、交流、展示等手段，充分体验得出结论的过程，在观察中学会分析，在操作中学习感知，在交流中学会合作，在展示中学会倾听；3、经历探究矩形判定定理的过程，体会探索研究问题的方法，培养合情推理水平和逻辑思维水平，在学习中学会学习，在数学活动中获取成功的体验，增强自信心。

【重点难点】重点：矩形的判定定理及定理的证明过程；难点：探究利用对角线判定矩形的的过程；【温故互查】口答：1、矩形的定义；2、矩形的性质。

【导入新课】同学们，我们是否也能够像研究平行四边形的判定那样从矩形的性质出发，逆向思维去得到矩形的判定方法呢？【自主学习】阅读P102教材内容，独立完成以下问题：1、试一试：画一个四个角都是直角的四边形；2、想一想：你能否证明有四个角都是直角的四边形是矩形？【合作探究】阅读P103教材内容，合作完成以下问题：1、试一试：画一个对角线相等的平行四边形；画一个对角线相等的四边形；2、探究证明：对角线相等的平行四边形是平行四边形；3、写一写：已知：如图，在中，对角线AC=BD，求证： ABCD是矩形。

证明：4、用一用：木工师傅在制作门窗或其他矩形的物体时常用测量______的方法来检验产品是否合格。

【课堂小结】回顾现在咱们有了几种判定矩形的方法？你能分别用文字语言和符号语言表示出来么？【小组展示】判定方法：①定义法：_______________________是矩形；中，____=____0，∴_________是矩形。

②矩形的判定定理1 _______________________是矩形；符号语言表示：∵在四边形ABCD中，__=__=__=__0，∴_________是矩形。

③矩形的判定定理2 _______________________是矩形；中，____=____，∴_________是矩形。