高三数学例题精选精练2.3

2013高三数学例题精选精练2. 3
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．下列函数在(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 0.5(1－x ) B ．y ＝x 0.5
C ．y ＝0.5
1－x
D ．y ＝12
(1－x 2
)
解析：y ＝log 0.5(1－x )在(0,1)上为增函数；
y ＝x 0.5在(0,1)上是增函数； y ＝0.51－x 在(0,1)上为增函数；
函数y ＝12(1－x 2
)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，
∴函数y ＝12(1－x 2
)在(0,1)上是减函数．
答案：D
2．函数y ＝2x 2
－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( ) A ．1 B ．3 C ．5
D ．－1
解析：依题意可得对称轴x ＝a －1
4
＝1，∴a ＝5.
答案：C
3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：∵f (x )为R 上的减函数，且f (|x |)<f (1)， ∴|x |>1，∴x <－1或x >1. 答案：D
4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )
A ．－1
B ．1
C ．6
D ．12
解析：由题意知
当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3
－2，
又∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域上都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.
答案：C
5．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1
x 2－x 1
<0，则( )
A ．f (3)<f (－2)<f (1)
B ．f (1)<f (－2)<f (3)
C ．f (－2)<f (1)<f (3)
D ．f (3)<f (1)<f (－2)
解析：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有
f x 2－f x 1
x 2－x 1
<0，实际上等价于函数f (x )
在[0，＋∞)上是减函数，故f (3)<f (2)<f (1)，由于函数是偶函数，故f (3)<f (－2)<f (1)．
答案：A
6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在区间[3,5]上单调递增，则函数f (x )在区间[1,3]上的( )
A ．最大值是f (1)，最小值是f (3)
B ．最大值是f (3)，最小值是f (1)
C ．最大值是f (1)，最小值是f (2)
D ．最大值是f (2)，最小值是f (3)
解析：依题意得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x ＋1)＝－f (x －1)，f (x ＋2)＝－f (x )，
f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．由f (x )在[3,5]上是增函数
与f (x )的图象关于直线x ＝1对称得，f (x )在[－3，－1]上是减函数．又函数f (x )是以4为周期的函数，因此f (x )在[1,3]上是减函数，f (x )在[1,3]上的最大值是f (1)，最小值是f (3)．
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析：y ＝－(x －3)|x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋3x x >0，x 2
－3x
x ≤0.
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．
答案：[0，3
2
]
8．设x 1、x 2为方程4x 2
－4mx ＋m ＋2＝0的两个实根，当m ＝________时，x 2
1＋x 2
2有最小值________．
解析：由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m ＋2
4，
∴x 2
1＋x 2
2＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝m 2
－
m ＋22
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫m －142－17
16
.
又x 1，x 2为实根，∴Δ≥0，∴m ≤－1或m ≥2，
∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142－17
16
在区间(－∞，－1]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
又抛物线y 开口向上且以m ＝1
4为对称轴，
故m ＝－1时，y min ＝1
2.
答案：－1 1
2
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a －2x －1，
x ≤1，
log a x x ＞1.
若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则
实数a 的取值范围为________．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2>0，a >1，
log a 1≥a －2·1－1，
解得2<a ≤3.
答案：(2,3]
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．求函数f (x )＝x ＋a 2
x
(a >0)的单调区间．
解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}， 设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2
x 2
＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2
x 1·x 2
.
(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，
x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数． (2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2
，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数． 11．已知函数f (x )＝a －
1
|x |
. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1
x
，
设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.
f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1
x 1
＝
x 1－x 2
x 1x 2
<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，
即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意a －1
x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，
设h (x )＝2x ＋1
x
，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．
故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]．
12．定义在R 上的函数f (x )满足对任意x 、y ∈R 恒有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (x )不恒为0.
(1)求f (1)和f (－1)的值；
(2)试判断f (x )的奇偶性，并加以证明；
(3)若x ≥0时f (x )为增函数，求满足不等式f (x ＋1)－f (2－x )≤0的x 的取值集合． 解：(1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)． ∴f (1)＝0.
令x ＝y ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)． ∴f (－1)＝0.
(2)令y ＝－1，由f (xy )＝f (x )＋f (y )，得
f (－x )＝f (x )＋f (－1)．
又f (－1)＝0，∴f (－x )＝f (x )， 又f (x )不恒为0，∴f (x )为偶函数．
(3)由f (x ＋1)－f (2－x )≤0，知f (x ＋1)≤f (2－x )． 又由(2)知f (x )＝f (|x |)， ∴f (|x ＋1|)≤f (|2－x |)．
又∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|x ＋1|≤|2－x |.
故x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≤12.。