生成树算法
生成树和拓扑排序_黄哲威

假设前 k−1 步 P 选择的边都在 T 中,令此时的树为 P′
第k步选择的e=(u,v)不不在T中,假设u在P′ 中,而而v不不在
T 中必有一一条 u → v 的路路径,路路径上必有一一条边 e′ = (x,y) 满足足此 时 x 在 P′ 中而而y不不在
若 w(e′) > w(e) 则在 T 中用用 e 换掉 e′ 可得到一一个更更小小的生生成树, 矛矛盾 若 w(e′) < w(e) 则第 k 步时选的是 e′ 而而不不是 e,矛矛盾 若 w(e′) = w(e),在 T 中用用 e 换掉 e′, 则 P 前 k 步中选择边都在 T 中 有限步后可把 T 变为 P 且权值不不变,因此 P 就是最小小生生成树
拓拓扑排序
现在来考虑一一个问题:现在有一一个工工程,这个工工程被分成了了很 多部分。有一一些部分要求前面面某些部分完成后才可以开始进 行行行。有些部分则可以同时进行行行。
我们可以把每个部分看作一一个结点,这些限制看成是有向边。
比比如说这张图就可以看成是这样一一个限制。这样的图没有环!
因此这样的图也被成为有向无无环图 (DAG)。
• 1 <= n <= 5 * 10^5,部分数据只有 Add,部分数据没有 Return 操作。
• 每次操作以后,求全图的最小小生生成树边权和,若不不存在输出 0。
UOJ14. DZY Loves Graph
• 只有加边的情况,那么当图连通后第一一次有了了最小小生生成树。
• 因为加的边权是单调递增的,最小小生生成树保持不不变直到最后。
生生成树和拓拓扑排序
2020年年1月月20日日
⻩黄哲威 hzwer
北北京大大学16级计算机科学
课程安排 2
图论中的常用经典算法

图论中的常用经典算法第一节最小生成树算法一、生成树的概念若图是连通的无向图或强连通的有向图,则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点;若图是有根的有向图,则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。
在这种情况下,图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。
对于不连通的无向图和不是强连通的有向图,若有根或者从根外的任意顶点出发,调用一次bfs或dfs后不能系统地访问所有顶点,而只能得到以出发点为根的连通分支(或强连通分支)的生成树。
要访问其它顶点则还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点,再次调用bfs 或dfs,这样得到的是生成森林。
由此可以看出,一个图的生成树是不唯一的,不同的搜索方法可以得到不同的生成树,即使是同一种搜索方法,出发点不同亦可导致不同的生成树。
如下图:但不管如何,我们都可以证明:具有n个顶点的带权连通图,其对应的生成树有n-1条边。
二、求图的最小生成树算法严格来说,如果图G=(V,E)是一个连通的无向图,则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’,即G’=(V, E’),且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路,则称子图G’是图G的一棵生成树。
对于加权连通图,生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和,权值最小的生成树称为图的最小生成树。
求图的最小生成树具有很高的实际应用价值,比如下面的这个例题。
例1、城市公交网[问题描述]有一张城市地图,图中的顶点为城市,无向边代表两个城市间的连通关系,边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价,研究后发现,这个地图有一个特点,即任一对城市都是连通的。
现在的问题是,要修建若干高速公路把所有城市联系起来,问如何设计可使得工程的总造价最少。
[输入]n(城市数,1<=n<=100)e(边数)以下e行,每行3个数i,j,w ij,表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。
km算法bfs写法详解

km算法bfs写法详解在计算机科学中,广度优先搜索(BFS)是一种用于图或树的搜索算法。
这种方法通常用于在图或树中找到最短路径、查找特定节点或解决其他类似问题。
其中,Kruskal算法是一种用于确定加权无向图的最小生成树的BFS算法。
下面,我们将详细介绍Kruskal算法的BFS实现方法。
一、算法概述Kruskal算法通过BFS来寻找加权无向图的最小生成树。
该算法将图中的边按照权重从小到大进行排序,然后逐一选择边并添加到生成树中。
在添加每条边之前,算法会检查所选边是否与已选择的边形成一个环。
如果形成环,则舍弃该边;否则,将该边添加到生成树中。
通过这种方式,Kruskal算法可以避免生成包含环的生成树,从而确保得到正确的结果。
二、BFS实现步骤1.创建并初始化一个空的当前生成树(tree)和一个空的已选择边集合(selected)。
2.从所有边中随机选择一条边(记为edge),将其添加到已选择边集合中,并将其加入当前生成树中。
3.将所选边的两个顶点分别加入当前生成树的左右两个顶点集合中。
4.遍历所选边的所有未访问的顶点邻居(即不在当前生成树中的顶点),将它们加入到已选择边集合中,并检查是否与当前生成树的左右两个顶点集合中的任意一个有边相连。
如果有,则跳过该顶点;否则,将该顶点加入当前生成树的右顶点集合中。
5.如果当前生成树的左右两个顶点集合的大小不相等,说明存在环,需要重新选择边并重新检查顶点。
6.如果遍历完所有边后仍未找到环,则当前生成树即为最小生成树。
7.返回最小生成树。
三、代码实现以下是一个Python实现的Kruskal算法的BFS示例代码:```pythonclassGraph:def__init__(self,vertices):self.V=verticesself.graph=[]#邻接列表表示的图defadd_edge(self,u,v,w):self.graph.append([u,v,w])#BFS的实现defkruskal_bfs(self):result=[]#存放生成树的所有边i,e=0,0#迭代器和边的数量初始化为0pairs=[]#存放边的信息fornodeinrange(self.V):#将所有的边按照权重从小到大排序ifi<len(self.graph)andself.graph[i][2]<e:#如果这条边的权重小于已选择的边的最大权重pairs.append(self.graph[i])#将这条边加入到已选择的边集合中e+=1#更新已选择的边的最大权重i+=1#遍历下一个节点pairs=sorted(pairs,key=lambdaitem:item[2])#对边的权重进行排序foredgeinpairs:#逐一选择边并添加到生成树中ifnot(edge[0]inresultandedge[1]inresult):#检查所选边是否已经存在于生成树中,避免形成环result.append(edge)#将所选边添加到生成树中returnresult#返回生成树的所有边```四、总结Kruskal算法的BFS实现方法通过逐一选择边并检查是否形成环,可以有效地确定加权无向图的最小生成树。
什么是计算机网络拓扑优化请介绍几种常见的拓扑优化算法

什么是计算机网络拓扑优化请介绍几种常见的拓扑优化算法计算机网络拓扑优化是指通过调整网络中的连接关系和节点布局,以提高网络性能和效率的过程。
通过合理配置拓扑结构和优化算法,可以减少网络拥堵、提高传输速度、提升网络可靠性等。
一、什么是计算机网络拓扑优化计算机网络拓扑优化是指在网络设计和部署过程中,根据网络需求和性能目标选择合适的拓扑结构,并通过优化算法对网络拓扑进行调整和优化,以提高网络性能和效率。
拓扑结构是指网络中各个节点之间的连接关系和布局方式。
不同的拓扑结构具有不同的特点和适用场景,而优化算法则是为了提高网络的性能和效率。
二、常见的拓扑优化算法1. 最小生成树算法最小生成树算法是一种常见的拓扑优化算法,它用于寻找一个连通图的最小生成树,即通过选择最短路径或最小代价的方式连接图中的节点。
常见的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个起始节点开始,逐步选择与当前生成树距离最近的节点加入生成树中,直到所有节点都被加入。
Kruskal算法则是按照边的权值从小到大的顺序选择边,如果已选择的边不会构成回路,则将其加入生成树中。
2. 最短路径算法最短路径算法用于寻找网络中两个节点之间的最短路径。
常见的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法通过逐步选择距离起始节点最近的节点,并更新其他节点的距离值,最终找到最短路径。
Floyd-Warshall算法则是通过动态规划的思想,逐步求解任意两点之间的最短路径。
3. 负载均衡算法负载均衡算法是一种用于优化网络流量分布的拓扑优化算法。
网络负载均衡的目标是通过合理分配流量,使得网络中各个节点的负载尽可能均衡,从而提高整体网络的性能和吞吐量。
常见的负载均衡算法有轮询算法、加权轮询算法、最少连接算法等。
4. 冗余路由消除算法冗余路由消除算法是一种用于优化网络中冗余路由的拓扑优化算法。
冗余路由是指网络中存在多条路径连接同一目的地的情况,这样会导致资源浪费和传输延迟增加。
最小生成树的概念

最小生成树的概念
在图论中,最小生成树是一个连通图的生成树,其边的权值之和最小。
通俗地说,最
小生成树是指在一个图中找到一棵权值最小的生成树,这个生成树包含了连通图的所有顶点,且边的数量最小。
怎么找到最小生成树呢?有两种常用算法:Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法首先任选一个点作为起点,然后在剩余的点中选择与当前集合距离最短的点加入集合,直到所有点被加入。
在加入每一个点时,找到与当前集合连接的距离最短的边,加入到生成树中。
重复以上步骤,直到所有点都被加入到生成树中。
Kruskal算法则是将边按照权值从小到大排序,选择权值最小的边加入到生成树中,
如果加入当前边后不构成环,则加入,否则继续找下一条权值最小的边。
重复以上步骤,
直到所有点都被加入到生成树中。
最小生成树有很广泛的应用,如在通信、传输、路网规划等领域都有很重要的作用。
在有些应用中,最小生成树不仅要求边的权值之和最小,还要满足一些约束条件,比如边
的数量、每个点的度数等,这时我们需要采用更加复杂的算法来求解问题。
最小生成树的应用非常广泛,比如在计算机网络中,路由协议需要找到最短的数据传
输路径;在城市交通中,规划出最优的交通路径能够有效减少能源的消耗;在电力系统中,设计最短的输电线路可以节省能源成本。
最小生成树的运用如此广泛,它不仅在计算机科
学中有重要作用,也在其他各个领域有着不可替代的作用。
最小生成树(普里姆算法)

最⼩⽣成树(普⾥姆算法):所谓⽣成树,就是n个点之间连成n-1条边的图形。
⽽最⼩⽣成树,就是权值(两点间直线的值)之和的最⼩值。
⾸先,要⽤⼆维数组记录点和权值。
如上图所⽰⽆向图:int map[7][7];map[1][2]=map[2][1]=4;map[1][3]=map[3][1]=2;......然后再求最⼩⽣成树。
具体⽅法是:1.先选取⼀个点作起始点,然后选择它邻近的权值最⼩的点(如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点,随便选取⼀个)。
如1作为起点。
visited[1]=1;pos=1;//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值,low[i](0<i<=点数)的值为:i点到邻近点(未被标记)的最⼩距离。
low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0low[2]=map[pos][2]=4;low[3]=map[pos][3]=2;low[4]==map[pos][4]=3;low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达low[6]=map[pos][6]=MaxInt;2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。
//low[]以3作当前位置进⾏更新visited[3]=1;pos=3;low[1]=0; //已标记,不更新low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩,不更新low[3]=2; //已标记,不更新low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤,更新后为:low[4]=map[3][4]=1;low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达,不更新low[6]=map[1][6]=MaxInt;//⽐2⼤,更新后为:low[6]=map[3][6]=2;3.如此类推...当所有点都连同后,结果最⽣成树如上图所⽰。
所有权值相加就是最⼩⽣成树,其值为2+1+2+4+3=12。
⾄于具体代码如何实现,现在结合POJ1258例题解释。
生成树的国际标准

生成树的国际标准
国际标准中关于生成树的定义和算法有以下几个:
1. IEEE 80
2.1D 标准:IEEE 802.1D 标准定义了生成树协议(Spanning Tree Protocol,STP)以及其变种如快速生成树协议(Rapid Spanning Tree Protocol,RSTP)和多实例生成树协议(Multiple Spanning Tree Protocol,MSTP)。
这些协议用于在以太网中构建和维护一个没有环路的树形拓扑结构,以确保数据网络的可靠性和冗余性。
2. OSPF 标准:OSPF(Open Shortest Path First)是一种链路状态路由协议,用于在IP网络中计算最短路径。
OSPF标准采用了生成树算法来避免环路,并选择最短路径来转发数据。
生成树的计算过程基于Dijkstra算法和SPF算法。
3. MSTP 标准(IEEE 802.1s):多实例生成树协议(Multiple Spanning Tree Protocol,MSTP)是 IEEE 802.1D 标准的变种,用于在以太网交换机中支持多个独立的生成树实例。
MSTP标准定义了生成树实例的配置、计算和维护方法,以及在交换机之间传递生成树信息的协议。
这些国际标准提供了生成树算法和协议的规范,使得网络设备和软件能够实现统一的生成树功能,确保数据网络的可靠性和容错性。
生成树 算法

生成树算法
生成树算法是图论中的一个重要概念,它可以用来找到一张图的最小生成树。
最小生成树是一张图的一个子图,它包含了原图中的所有节点,并且连接这些节点的边的权重之和最小。
常用的生成树算法包括Kruskal算法和Prim算法。
Kruskal算
法的思路是将图中所有边按照权重从小到大排序,然后逐个加入生成树中,直到生成树包含了原图中的所有节点为止。
Prim算法的思路
是从一个起始节点开始,逐步地将与该节点相连的边加入生成树中,每次选择权重最小的边。
除了Kruskal算法和Prim算法,还有一些其他的生成树算法,
比如Boruvka算法和Huffman算法。
这些算法各有特点,适用于不同的场景。
生成树算法在实际应用中有着广泛的应用,比如在计算机网络中,生成树算法可以用来构建网络的拓扑结构,以及优化数据传输的效率。
在城市规划中,生成树算法可以用来规划道路和建筑物的布局。
- 1 -。
最小生成树

}edge[111边的条数,s用来存放最小生成树的总权值 int root[111];//存储父节点
bool cmp(Edge a,Edge b) {
return a.d<b.d; } int find(int a)//寻找父节点
T1
u
顶 点 集 U
u'
T2 v
顶 点 集 V-U
13
应用举例——最小生成树
Prim算法
34 B 12
A 19
26 E
F
46 25
25 38
C
D
17
U={A}
V-U={B, C, D, E, F}
cost={(A, B)34, (A, C)46, (A, D)∞, (A, E)∞, (A, F)19}
最小生成树
生成树是一个连通图G的一个极小连通子 图。包含G的所有n个顶点,但只有n-1条 边,并且是连通的。
当生成树中所包含的边的权值和最小, 我们称之为最小生成树。
最小生成树性质
最小生成树的边数必然是顶点数减一,|E| = |V| - 1。 最小生成树不可以有循环。 最小生成树不必是唯一的。
16
应用举例——最小生成树
Prim算法
34 B 12
A 19
26 E
F
46 25
25 38
C
D
17
U={A, F, C, D} V-U={B, E} cost={(A, B)34, (F, E)26}
{ if(root[a]==a) return a; return root[a]=find(root[a]);
生成最小生成树的方法

生成最小生成树的方法
生成最小生成树的方法有以下几种:
1. Kruskal算法:该算法首先将图中的边按权值从小到大排序,然后依次考虑每条边,若加入该边不会形成环,则将该边加入最小生成树中,直到最小生成树的边数等于节点数减一为止。
2. Prim算法:该算法从任意一个节点开始,不断选择与当前
最小生成树相连的边中权值最小的边,将其加入最小生成树中,直到所有节点都被加入最小生成树为止。
3. Boruvka算法:该算法首先将图中的每个节点作为一个独立
的连通分量,并初始化一个空的最小生成树。
然后,依次遍历所有连通分量,每次选择与该连通分量相连的最小权值边,并将其加入最小生成树中。
当最小生成树中的边数等于节点数减一时,算法停止。
4. Reverse-Delete算法:该算法从图中的所有边中按权值从大
到小的顺序考虑,然后依次删除每条边,若删除该边后原图仍然是连通的,则继续删除下一条边,直到最小生成树的边数等于节点数减一为止。
这些方法都可以用来生成最小生成树,选择哪种方法取决于具体的应用场景和图的特点。
最小生成树应用场合

最小生成树算法
1.网络布局问题:在一个连通加权无向图中,最小生成树算法可以帮助找到一个包含所有顶点的最小权重树,从而在地图上实现有效的布局。
2.地图着色问题:在地图着色问题中,最小生成树算法可以用于优化颜色分配,使得相邻区域的颜色不同,同时最小化所需的颜色数量。
3.车辆路径优化问题:在物流和运输行业中,最小生成树算法可以用于优化车辆的行驶路径,使得车辆能够更高效地完成配送任务,降低运输成本。
4.通信网络设计:在通信网络设计中,最小生成树算法可以用于构建高效的数据传输网络,使得数据能够在不同的节点之间快速传输。
5.电力系统设计:在电力系统的设计中,最小生成树算法可以用于构建高效的输电网络,使得电能能够从发电厂传输到各个用户。
请注意,这些应用场景中都需要用到最小生成树算法来寻找最优解。
prim算法和kruskal算法例题

一、概述在图论中,prim算法和kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
它们分别以不同的方式来寻找给定图的最小生成树,是解决最小生成树问题的有效方法。
本文将重点介绍prim算法和kruskal算法,并通过例题分析,展示它们的应用及原理。
二、prim算法1. prim算法概述2. prim算法步骤3. 例题分析:通过一个具体图示例,展示prim算法的应用过程,详细阐述每一步的操作及思路。
4. prim算法优缺点三、kruskal算法1. kruskal算法概述2. kruskal算法步骤3. 例题分析:通过一个具体图示例,展示kruskal算法的应用过程,详细阐述每一步的操作及思路。
4. kruskal算法优缺点四、prim算法和kruskal算法的比较1. 时间复杂度2. 空间复杂度3. 适用范围4. 其他特点五、例题分析总结通过对两种算法在具体例题中的应用过程分析,总结prim算法和kruskal算法的异同点,以及在实际问题中应用时的考虑因素。
六、结论根据对prim算法和kruskal算法的介绍及例题分析,总结两种算法的特点和应用场景,为不同情况下的最小生成树问题提供参考指导。
七、参考文献列出本文所参考的相关书籍、文献或全球信息站信息,为读者进一步了解prim算法和kruskal算法提供便利。
八、附录可放置示例代码、补充说明或其他相关内容,以便读者更好地理解prim算法和kruskal算法。
由于当前训练模型对于编程题的掌握有一定限制,可以提供在Prim算法和Kruskal算法方面相关的例题解析和应用案例。
以下是一个基于图的例题及其解析。
假设有一个带权重的无向连通图G,图中的顶点集合为V,边的集合为E,每条边的权重由权重函数w(u, v)给出,其中u, v为边的两个顶点。
现在需要使用Prim算法和Kruskal算法来寻找图G的最小生成树。
首先我们需要给出一个具体的图G,如下所示:顶点集合V = {A, B, C, D, E}边的集合E = {(A, B, 3), (A, C, 1), (A, D, 5), (B, C, 4), (B, D, 6), (B, E, 2), (C, D, 7), (C, E, 8), (D, E, 9)}其中,每个元组表示一条边的起始顶点、终止顶点和权重。
最小生成树的原理

最小生成树的原理
最小生成树的原理是利用图论中的连通性概念,通过添加边将图中所有顶点连接起来,同时保证添加的边尽可能少,且不产生环。
具体来说,最小生成树保证权值最小,且覆盖图中所有顶点,因此它是一棵含有所有顶点的无环连通子图。
在一幅加权无向图中,最小生成树是权值(树中所有边的权值之和)最小的生成树。
最小生成树有多种构造算法,如Kruskal算法和Prim算法等。
Kruskal算法是通过选择图中最小权值边来构造最小生成树,过程中需要注意避免形成环。
而Prim算法则是从某个顶点开始,每次添加一条连接已选顶点和未选顶点之间的最小边,直到所有顶点都被选中。
总的来说,最小生成树的原理就是通过添加尽可能少的边将图中所有顶点连接起来,同时避免形成环,以得到权值最小的生成树。
简述 kruskal 算法的基本思想

简述 kruskal 算法的基本思想Kruskal算法是著名的最小生成树算法,它可以在给定的加权连通图的情况下,求出最小代价的生成树。
在1950年,Joseph Kruskal 发明了这种算法,自那以后,Kruskal算法被广泛应用在计算机科学和工程学领域,用于解决路径问题,最小生成树问题,Elephant Flow 问题,资源安排问题等。
Kruskal算法的基本思想是,在给定的加权连通图中,以最小代价构造最小生成树。
Kruskal算法按照“最小生成树算法”的原则来构造最小生成树,Kruskal算法可以轻松地应用于各种类型的图,例如无向图、有向图、混合图等。
Kruskal算法的主要步骤如下:1.图中的所有边按照权值从小到大的顺序排序,即把权值最小的边放在最前面;2. 从有序的边集合中,按照权值从小到大依次取出一条边,如果这条边没有形成环路,就加入最小生成树中;3.复步骤2,直到最小生成树中包含了图中所有的点;4.后得到的最小生成树就是最终的答案。
Kruskal算法与Prim算法都是求最小生成树的重要算法,它们都可以用来求解有向图和无向图的最小生成树。
它们之间的一个重要区别是,Kruskal算法以权值从小到大的顺序,注重全局,而Prim算法以权值从大到小的顺序,则注重局部。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE),其中E是图中的边数,由于它每次都从边集合中取一条边,并且这些边按权值从小到大排列,因此每次取边的操作可以在O(logE)时间内完成。
其中用来排序的时间复杂度为O(ElogE),用来构造最小生成树的时间复杂度为O(E)。
因此Kruskal算法的总时间复杂度为O(ElogE)。
Kruskal算法在解决最小生成树问题时非常有效,它可以构造出带有最小权值的生成树。
因此Kruskal算法被广泛应用于计算机科学和工程学领域,用于解决如路径问题,最小生成树问题,Elephant Flow问题,资源安排问题等。
深度优先生成树例题

深度优先生成树例题【原创实用版】目录1.深度优先生成树概念介绍2.深度优先生成树算法原理3.深度优先生成树例题解析4.深度优先生成树的应用场景正文【1.深度优先生成树概念介绍】深度优先生成树(Depth-First Search Tree,简称 DFST)是一种用于遍历或搜索树型结构的算法。
该算法访问一个顶点后,会尽可能深地搜索其邻接顶点,直到没有未访问的邻接顶点为止。
然后,回溯到上一个顶点,继续访问其邻接顶点。
重复这个过程,直到访问完所有的顶点。
生成树是指访问过的顶点及其边的集合,通常表示为根节点到叶节点的树状结构。
【2.深度优先生成树算法原理】深度优先生成树的算法原理如下:1.从根节点开始,访问当前节点,将其加入生成树。
2.遍历当前节点的所有邻接节点,对于每一个邻接节点:a.如果该邻接节点尚未访问,且从当前节点到该邻接节点的边尚未加入生成树,则将该邻接节点作为新的当前节点,递归执行步骤 2。
3.回溯到上一个节点,继续访问其邻接节点。
4.重复步骤 2-3,直到访问完所有的节点。
【3.深度优先生成树例题解析】假设有一个无向图,顶点集合为{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z},边集合为{<A, B>, <A, C>, <B, D>, <B, E>, <C, F>, <C, G>, <D, H>, <D, I>, <E, J>, <E, K>, <F, L>, <F, M>, <G, N>, <G, O>, <H, P>, <H, Q>, <I, R>, <I, S>, <J, T>, <J, U>, <K, V>, <K, W>, <L, X>, <L, Y>, <M, Z>}。
生成树算法

生成树算法
生成树算法是一种用于求解最小生成树的算法,它可以用来求解一个
给定的连通图中的最小生成树。
它的基本思想是:从一个给定的连通
图中,选择一条最短的边,将其加入到最小生成树中,然后再从剩余
的边中选择一条最短的边,将其加入到最小生成树中,直到所有的边
都被加入到最小生成树中为止。
生成树算法的实现有多种,其中最常用的是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法,它的基本思想是:从一个给定的连通图中,从一个顶点出发,每次选择与该顶点最近的边,将其加入到最小生成
树中,直到所有的顶点都被加入到最小生成树中为止。
Kruskal算法是一种分支定界算法,它的基本思想是:从一个给定的连通图中,每次
选择一条最短的边,将其加入到最小生成树中,直到所有的边都被加
入到最小生成树中为止。
生成树算法的应用非常广泛,它可以用来解决许多实际问题,如最短
路径问题、最小费用流问题、最大流问题等。
此外,它还可以用来求
解最小生成树,即在一个给定的连通图中,找出一棵最小生成树,使
得该树的权值之和最小。
总之,生成树算法是一种非常有用的算法,它可以用来解决许多实际
问题,并且具有良好的性能。
生成树计数算法

⽣成树计数算法⽣成树计数问题:给出⼀个⽆向图,求它的⽣成树的个数。
预备知识(1)⼀个n个顶点的⽆向图G,定义它的度数矩阵D,D是⼀个n*n的矩阵。
对于顶点u,设度数为deg[u],如果i=j,那么D[i][j]=deg[i],否则D[i] [j]=0.(2)⼀个n个顶点的⽆向图G,定义它的邻接矩阵A,A是⼀个n*n的矩阵。
如果i和j之间有边,那么A[i][j]=1,否则等于0。
(3)⼀个n个顶点m条边的⽆向图G,定义它的关联矩阵B,B是⼀个n*m的矩阵。
对于第i条边e[i]=(u,v),那么B[u][i]和B[v][i]中⼀个是1,⼀个是-1,第i列其他值为0。
那么我们有所以对于如果i=j,它是顶点i的度数,否则,如果i和j之间有边,那么它等于-1,否则它等于0.(4)对于⼀个n个顶点m条边的⽆向图G,定义它的Kirchhoff矩阵C,C是⼀个n*n的矩阵,很显然,C=D-AMatrix-Tree定理对于⼀个⽆向图G,它的⽣成树个数等于其Kirchhoff矩阵任何⼀个n-1阶主⼦式的⾏列式的绝对值。
所谓n-1阶主⼦式,就是对于任意⼀个r,将C的第r⾏和第r列同表⽰时删去后的新矩阵,⽤下⾯的字母表⽰C_{r}接下来,我们⾸先证明下⾯四个性质:性质1:对于任何⼀个图的Kirchhoff矩阵C,它的⾏列式为0。
性质2:对于不连通的图,它的Kirchhoff矩阵C的任⼀个n-1阶主⼦式的⾏列式均为0。
性质3:如果G是⼀棵树,它的Kirchhoff矩阵C的任⼀个n-1阶主⼦式的⾏列式均为1。
性质4:柯西-⽐内公式。
设A和B分别是n*m和m*n的矩阵,那么其中S是⼀个⼦集,⼤⼩为n,也就是S取遍所有的n⼦集,相应的As和Bs为从A和B中取出S元素下标的所有列和所有⾏。
性质1证明:由C的性质可得,它的每⼀⾏每⼀列和均为0,那么我们把第2到第n⾏都加到第⼀⾏,那么第⼀⾏就全部是0了。
有⼀⾏全部是0,那么它的⾏列式就是0了。
(转载)求生成树的个数——matrix-tree算法

(转载)求⽣成树的个数——matrix-tree算法题⽬的⼤意是给你⼀些点的坐标,然后有⼀个距离限制R。
如果两点之间的距离⼩于R且他们之间没有点与他们共线就可以连通。
最后要你求连通图的个数。
这个题⽬让我⼜学到了⼀点,那就是⽤矩阵树定理来计算⽣成树的个数。
在这⾥我不就证明展开讨论,因为我证明不来,感兴趣的可以看看周冬《⽣成树的计数及其应⽤》。
我就直接说定理就好了。
Matrix-Tree定理是解决⽣成树计数问题最有⼒的武器之⼀。
它⾸先于1847年被Kirchhoff证明。
在介绍定理之前,我们⾸先明确⼏个概念:1、G的度数矩阵D[G]是⼀个n*n的矩阵,并且满⾜:当i≠j时,dij=0;当i=j时,dij等于vi的度数。
2、G的邻接矩阵A[G]也是⼀个n*n的矩阵,并且满⾜:如果vi、vj之间有边直接相连,则aij=1,否则为0。
我们定义G的Kirchhoff矩阵(也称为拉普拉斯算⼦)C[G]为C[G]=D[G]-A[G],则Matrix-Tree定理可以描述为:G的所有不同的⽣成树的个数等于其Kirchhoff矩阵C[G]任何⼀个n-1阶主⼦式的⾏列式的绝对值。
所谓n-1阶主⼦式,就是对于r(1≤r≤n),将C[G]的第r⾏、第r列同时去掉后得到的新矩阵,⽤Cr[G]表⽰那么我们要做的就是根据题⽬给出的数据来建⽴相应的矩阵,然后求出这个矩阵的n-1阶⾏列式的绝对值就OK了。
另外为了优化⼀下算法,我们可以先DFS,看这个图是否能够连通,如果不能连通,则字节输出-1,后⾯就没必要在运算了。
但是事实远⽐我们想象的要复杂。
我个⼈认为这题⽬最⿇烦的就是求⾏列式。
我采⽤的是通过⾼斯消元法将矩阵化成上三⾓矩阵,然后求对⾓线的乘积。
我们可以看到,题⽬中说数据很⼤,所以我们要进⾏取模运算。
⽽且在对矩阵的操作中,如果交换⾏,则⾏列式的值就变成了相反数如果乘以了某个系数,则⾏列式的值也相应的乘以这个系数。
我的思路来⾃于的博客。
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生成树算法
查看方法:show spanning-tree vlan 1
确定哪个端口被堵的方法:先比较priority 的数值,如果数值小,这优先级就高,就优先(为根交换机)。
如果priority 数值一样时,则比较MAC 地址。
然后取小原则,小的则为根交换机。
如:最小最大
⋯⋯⋯⋯⋯⋯0001000000C D
与交换机相邻的端口为根端口(转发端口),剩下来的就是非根端口。
由于两个非根端口到跟交换机的路径代价一样,因此桥标识最大的端口被堵塞(即MAC 地址最大那个的非根端口)。
为什么桥标识大的1端口不被阻塞?
因为8端口的路径代价比1端口的路径代价要大(路径代价优先于桥标识)。
数值大的则大。
对应位比较,
从右往左,比较的方法:
为什么7和8端口路径一样,但堵塞了8端口?
因为8端口通过00D0时MAC地址大,代价比7端口的大。
因此堵塞了8端口。