概率CH1-1
合集下载
《概率论与数理统计》课件ch1-1
A1 , A2 ,, An
A B
n
的交 —— ——
Ai
i 1
A1 , A2 ,, An , 的交
Ai
i 1
4. 差
A
Ch1-1-14
A B
— A 与B 的差
B
A B
A 发生且 B 不发生
Ch1-1-15
5. 互斥(互不相容)
AB — A 与B 互斥
A、
A 的对立(逆) A — A不发生
A A
A A
A
A
A A ,
A A
注意：概念“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”
Ch1-1-17
7. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An 两两互斥，且
A
i i 1
n
则称A1 , A2 ,, An 为完备事件组
或称A1 , A2 ,, An 为 的一个划分
Ai Ai 并的逆=逆的交
i 1 i 1
n
n
Ai Ai 交的逆=逆的并
i 1 i 1
n
n
Ch1-1-20
分配律
B A C
图 示
A (BC ) ( A B)( A C )
B A C
5. A
A A
A A A
Ch1-1-21
必然事件——全体样本点组成的事件, 每次试验必定发生. 不可能事件——不包含任何样本点的事 件, 每次试验必定不发生.
Ch1-1-9
例1-1-2 盒中有10个相同的球,分别编号
1,...,10.现从中任取一球.分析此试验的样本 空间及随机事件. = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A={所取球的标号为偶数} ={2,4,6,8,10} B={所取球的标号不大于3}={1,2,3}
A B
n
的交 —— ——
Ai
i 1
A1 , A2 ,, An , 的交
Ai
i 1
4. 差
A
Ch1-1-14
A B
— A 与B 的差
B
A B
A 发生且 B 不发生
Ch1-1-15
5. 互斥(互不相容)
AB — A 与B 互斥
A、
A 的对立(逆) A — A不发生
A A
A A
A
A
A A ,
A A
注意：概念“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”
Ch1-1-17
7. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An 两两互斥，且
A
i i 1
n
则称A1 , A2 ,, An 为完备事件组
或称A1 , A2 ,, An 为 的一个划分
Ai Ai 并的逆=逆的交
i 1 i 1
n
n
Ai Ai 交的逆=逆的并
i 1 i 1
n
n
Ch1-1-20
分配律
B A C
图 示
A (BC ) ( A B)( A C )
B A C
5. A
A A
A A A
Ch1-1-21
必然事件——全体样本点组成的事件, 每次试验必定发生. 不可能事件——不包含任何样本点的事 件, 每次试验必定不发生.
Ch1-1-9
例1-1-2 盒中有10个相同的球,分别编号
1,...,10.现从中任取一球.分析此试验的样本 空间及随机事件. = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A={所取球的标号为偶数} ={2,4,6,8,10} B={所取球的标号不大于3}={1,2,3}
概率论 高等院校概率论课件CH1LX-1
1．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则第二次取出的是次品的概率为 分析：设A i 表示：“第i 次取出的是次品”（i =1，2），则所求概率为P A P A A A A P A A P A A ()()()()212121212==+ =⨯+⨯=212111*********1/6所取两个都是次品的概率P A A ()12=⨯=21211166至少有一个是次品的概率P A A A A A A ()121212 =7/22练习一、填空题需要指出的是：解决此类问题要区分各种不同的提法，例如：(1)“第一次取到正品,第二次也取到正品”等价于“两次都取到正品”；(2)“第一次取到正品,第二次取到次品”即A A 12;(3)“第一次取到次品,第二次取到正品”即A A 12;(4)“恰有一次取到次品”即A A A A 1212 ；(5)“两次都取到次品”即A A 12；(6)“已知第一次取到是次品，求第二次取到次品的概率”即P A A (|)21。
2．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是A 工厂的概率为 分析：设A 表示：“取到的是工厂A 生产的产品”；B 表示：“取到的是工厂B 生产的产品”；C 表示：“取到的是次品”。
则所求概率为P A C (|)， P C ()=+P A P C A P B P C B ()(|)()(|)=⨯+⨯=60100110040100210075003/7 P A C (|)==⨯⨯=P A P C A P C ()(|)()6010011005007373．设10件产品中有4件是不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为分析：设A 表示：“两件都是不合格品”；B 表示：“两件中至少有一件是不合格品”。
概论与统计第一章 随机事件及概率
事件 C：“没有次品”
基本事件
事件 D： “有2个或3个次品”
包含2个基本事件:
整理课件
1.3 事件间的关系及运算 ❖ 引言
因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事 件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。
1、事件的包含与相等
属于 A 的 必然属于 B
** 事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B
试验E的任何事件A都可表示为其样本空间的子集。
样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}称为基本
事件，也是一种随机事件。否则，称为复合事件(由两个或两 个以上的基本事件构成的事件整)理。课件
事件发生：如果当且仅当样本点ω1,ω2,…,ωk有一个出 现时，事件A就发生。
用事件A中的样本点的全体来表示事件A，即 A={1， 2，…... k}
了数理统计的基本概念和方法，主要有参数估计、参数假设检验、
回归分析基本知识和原理，使学生对统计学原理的作用有一深刻的
了解。(Ch6----Ch9)
通过本课程的学习，使学生能全面理解、掌握概率论与数理统
计的思想与方法，掌握基本而常用的分析和计算方法，并能运用概
率论与数理统计的观点和方法来研究解决经济与管理中的实践问
题。
整理课件
第一章 随机事件及其概率
引言
确定性现象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生 的现象
随随机机现现象象：：在在一一定定条条件件下下可可能能发发生生也也可可能能不不发发生生的的现现象象
例 1 (1)太阳从东方升起 (2)边长为a的正方形的面积为a2 (3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球
整理课件
§1 随 机 事 件
1.1 随机试验与样本空间
ch1_1离散信号与系统
离散时间信号与系统
为何介绍基本信号与基本运算?
◎基本信号 脉冲序列 阶跃序列 指数序列 虚指序列 正弦序列 矩形序列
◎基本运算 序列翻转 序列位移 序列内插 序列抽取 序列卷积 序列相关
为何介绍基本信号与基本运算? 通过基本信号与基本运算，可以实现复杂信号的
利用MATLAB 产生序列
MATLAB中的基本函数： exp, sin, cos, square, sawtooth
例 利用MATLAB产生指数序列 x[k]=Kaku[k]
a = input('输入指数 a = '); K = input('输入常数K = '); N = input ('输入序列长度N = '); k = 0:N-1; x = K*a.^k; stem(k,x); xlabel('时间');ylabel('幅度'); title(['\alpha = ',num2str(a)]);
x[k / M ] k是M的整数倍 xI [k ] 其他 0
y[ k ] n - x[ n]h[ k - n]
(6) 相关(correlation)
rxy [ n ] k - x[ k ] y[ k + n ]
自相关 :
离散时间信号与系统 x k -
表示，从而将对复杂信号的分析转化为对基本信号的
分析，这是信号分析与处理的基本思想。
基本信号与基本运算也是信号频域分析与复频域 分析的基本载体，帮助我们直观地理解信号时域与变 换域之间对应关系及其特性。
离散信号的表示
x[k] 1 1 2 -1 0 1 -1 3 2 1 k
线性代数ch1-1-选修
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24 a 34 a 44 =?
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 为什么不能用类似的对角线法则计算？ 为什么不能用类似的对角线法则计算？
23
二、 排列及其逆序数
n级排列：由n个自然数１，２，…，n组成的有序 级排列： 个自然数１ 级排列 个自然数 ， 组成的有序 称为一个n级 排列. 数列 i1 i 2 ...i n 称为一个 级（阶、元）排列 逆序： 逆序： 一个排列中的任意两数， 一个排列中的任意两数，如大数在小数 两数 之前排列，则构成一个逆序。 之前排列，则构成一个逆序。 逆序数： 中逆序的总个数， 逆序数： n 级排列 i1 i 2 ...i n 中逆序的总个数， 记做 τ（i1 i 2 ...i n） 。 逆序 例如 排列32514 中， 排列 τ(32514)=5 3 2 5 1 4 逆序 逆序
5
线性代数的特点
抽象
• “难得糊涂”:
忽略差别, 忽略差别,提取共同点
6
引例（物资调运问题） 有三个生产同一产品的工厂A , A2 , A3 , 1 其年产量分别为40、20和10，单位为吨； 该产品每年有两个用户 B1, B2 , 其用量分别为 45和25，单位为吨； 由各产地 A 到各用户 B j 的距离为Cij（千米） i 如下表所示 ( i = 1,2,3; j = 1,2) ,
每一项都是位于不同行, 【注】三阶行列式包括3!＝6项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括 ＝ 项 每一项都是位于不同行 不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负。 不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负。
19
例3
计算行列式
光学电磁理论ch1-1
浙江大学光电信息工程系硕士研究生学位课程授课：陈军教授软件制作：陈军，吴晓冬版权所有2006.01.场的概念数量场与矢量场几个概念：方向导数梯度散度旋度势函数势量场保守场场的概念所谓场是指带有某种物理量的空间。
数学语言描述为:如果空间或部分空间中每一点对应于某一量的值，则这样的空间称为场。
数量场如果对应的物理量是标量，这种场称为标场或数量场: 直角坐标系 柱坐标系 球坐标系例如：温度场 矢量场对应的物理量是矢量，这种场称为矢量场：直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 例如：流速场、电场()z y x u ,,()z u ,,θρ()ϕθ,,r u ()z y x V ,, ()z V ,,θρ ()ϕθρ,,V定义设是通过场 中某一点P 的任一条曲线， 是曲线 在p 点的切线。
若 存在，称此极限为场u(p)在p 点沿 方向的方向导数，记为 。
Γ()P u lΓ()()PP P u P u l u PP 11lim 1-=∂∂→llu ∂∂l· · 1PPΓ()P ulzz u l y y u l x x u l u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂γβαcos cos cos ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=zu yu xu · · 1PΓ()P u P求数量场u=xyz 在p 0(1,1,1)沿方向 方向上的方向导数1yz 00p ＝）（=∂∂p x u 1zx 00p ＝）（=∂∂py u 1y 00p ＝）（x p z u =∂∂294cos =β292cos =γ293cos =α69.1)(299292294293≈=++=∂∂p l u 342L i j k=++数量场u(p)在任一点P 处沿任一方向 的方向导数是矢量grad u 在该方向上的投影。
当 的方向与grad u 的方向重合时，方向导数 值最大。
lllu∂∂其实质就是最大方向导数U∇grad ulpkzu j y u i x u gradu u∂∂+∂∂+∂∂==∇∇u 的方向就是使u(p)在p 点方向导数最大的方向，即u(p)变化率最大的方向。
Ch1_1函数概念
1, 0,
x 为有理数
x 为无理数
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0 u cot v , v k (k 0, 1, 2 ,) x v , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
x x k k 时 , cot 0 2 2 2
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 1).
2
y ar cosh x
D : [1,)
在 [1,) 内单调增加.
反双曲正切 y ar tanh x
y artanh x
1 1 x ln . 2 1 x
y ar tanh x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
x, x0 2 故为初等函数. 可表为 y x , 例如 , y x, x0 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
x x
D : ( ,)
奇函数,
有界函数,
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
cosh x sinh x 1 ;
4. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1 为 f 的反函数 . 习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成
CH1-1~2模糊集的概念及其运算
超越它，精确性和有意义性就变成两个相互排斥的特性。” 扎德
11
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长
头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息------男人，而其他
信息------大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、
中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念
经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
12
三、研究方向及应用
理论上的研究方向
1、发展模糊集的理论和方法，建立 自身的理论体系； 2、将各个经典数学分支进行模糊化； 3、应用上将fuzzy集方法打入各个 学科专业领域。
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的 各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质 勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛 而又成功的应用.
22
到了20世纪90年代初, 市场上已经出现了大量 的模糊消费产品。在日本出现了“模糊”热, 家电产品中, 不带Fuzzy的产品几乎无人购买。 空调器、电冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器 中已广泛采用了模糊控制技术。我国也于20世 纪90年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机。 模糊数学于1976年传入我国后, 得到迅速发展。 1980年成立了模糊数学与模糊系统学会, 1981 年创办《模糊数学》(华中工学院)杂志, 1987 年创办《模糊系统学会》(国防科技大学)。中 国被公认为模糊数学研究的四大中心 (美国、 欧洲、日本、中国) 之一。
13
四、模糊数学发展历程
1. 模糊理论的萌芽(20世纪60年代) 对模糊性的讨论, 可以追溯得很早。20世纪的 大 哲 学 家 罗 素 (B.Russel) 在 1923 年 一 篇 题 为 《含糊性》(Vagueness) 的论文里专门论述过 我们今天称之为“模糊性”的问题(严格地说, 两者稍有区别), 并且明确指出: “认为模糊知 识必定是靠不住的, 这种看法是大错特错的。” 尽管罗素声名显赫, 但这篇发表在南半球哲学 杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含 糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要, 也不 是因为文章写得不深刻, 而是“时候未到”。
ch1-1 通则
第1章通则第1节一般规定1.1.1 目的1.1.1.1 为了保证浅海固定平台上人员的健康和安全，防止浅海固定平台对海洋环境造成污染，特制定本规范。
1.1.1.2 本规范可作为浅海区域固定平台设计、建造、安装和检验的技术依据。
1.1.2 适用范围1.1.2.1 除另有规定者外，本规范适用于在中国领海浅海区域作业的钢质固定平台。
对于其它材质的固定平台，可参照本规范中给出的一般设计要求，并结合相关的国家或行业标准一起使用。
1.1.2.2 本规范是中国船级社（以下简称本社）对浅海固定平台进行发证检验的依据；本规范也可作为浅海固定平台进行入级检验的技术规范，有关入级程序、入级符号、入级标志及入级证书等将按本社的相关规定办理，本规范不再涉及。
1.1.2.3 本规范包含了中国政府主管当局对浅海固定平台的全部法定检验技术要求。
如主管当局授权本社进行法定检验，本规范可作为签发相关法定证书的技术依据。
1.1.2.4 浅海固定平台的材料与焊接除应满足本规范要求外还应符合本社《材料与焊接规范》的相关规定。
1.1.2.5 浅海固定平台上的起重设备应符合本社《船舶与海上设施起重设备规范》的有关要求。
1.1.2.6 按本规范的相关规定，对浅海固定平台进行延寿评估检验时，将根据检验和评估的结果，决定是否给予延寿，并确定证书的有效期及延寿后的检验周期。
1.1.3 发证检验与法定检验的协调1.1.3.1 对拟申请本社进行发证检验的固定平台，如主管当局授权本社对其进行法定检验时，本社可将发证检验与法定检验结合进行。
1.1.3.2 本规范的技术要求与法定主管当局的要求一旦出现矛盾时，应首先满足法定主管当局的要求。
1.1.4 等效与免除1.1.4.1 除另有规定外，凡等效或替代本规范的相关要求时，如计算方法、评估标准、材料选用、设备等级和试验方法等，只要能提供必要的试验，理论依据和相似工程的实践经验，或有效公认的标准等，经本社同意后，均可被接受。
大一高数课件 ch1-1函数
第一章
函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一节 集合
1. 集合的概念 集合是指所考察的具有确定性质的对象的总体， 简称集.通常用大写字母 A,B,X,Y …表示. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素,通 常用小写字母a,b,x,y… 表示 . 元素 x 属于集合 A , 记作 x A. 元素 x 不属于集合 A , 记作 x A ( 或 x A ) . 由有限个元素构成的集合,称为有限集; 由无限多个元素构成的集合,称为无限集合 . 不含有任何元素的集合称为空集,记作 .
f
y f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
例9. 绝对值函数
定义域 值 域
4. 函数的几何特性 (1) 奇偶性 若 若 则称 f (x) 为奇函数;
(4) 有界性
若 M 0 , 使得 f ( x) M , x I , 则称 f (x)
在 I 内有界, 也称它为 I 内的有界函数.
比如, y sin x 在 R 内有界; 1 y 在 [1,) 内有界, 但在 (0,) 内无界。 x
思考题： 证明 y x2 1 x
例1：X= {平面上所有三角形的全体} Y= {平面上所有圆的全体} f : X Y x y ( y是三角形 x 的外接圆 ). 例2： X { , , }, Y { a, b, c, d }, f ( ) a, f ( ) d , f ( ) b D f { , , } X R f { a, b, d } Y 设 例3： X R , Y R , 则对应关系 f : X Y
函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一节 集合
1. 集合的概念 集合是指所考察的具有确定性质的对象的总体， 简称集.通常用大写字母 A,B,X,Y …表示. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素,通 常用小写字母a,b,x,y… 表示 . 元素 x 属于集合 A , 记作 x A. 元素 x 不属于集合 A , 记作 x A ( 或 x A ) . 由有限个元素构成的集合,称为有限集; 由无限多个元素构成的集合,称为无限集合 . 不含有任何元素的集合称为空集,记作 .
f
y f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
例9. 绝对值函数
定义域 值 域
4. 函数的几何特性 (1) 奇偶性 若 若 则称 f (x) 为奇函数;
(4) 有界性
若 M 0 , 使得 f ( x) M , x I , 则称 f (x)
在 I 内有界, 也称它为 I 内的有界函数.
比如, y sin x 在 R 内有界; 1 y 在 [1,) 内有界, 但在 (0,) 内无界。 x
思考题： 证明 y x2 1 x
例1：X= {平面上所有三角形的全体} Y= {平面上所有圆的全体} f : X Y x y ( y是三角形 x 的外接圆 ). 例2： X { , , }, Y { a, b, c, d }, f ( ) a, f ( ) d , f ( ) b D f { , , } X R f { a, b, d } Y 设 例3： X R , Y R , 则对应关系 f : X Y
CH1-1事件与概率
P(AB) P() 0
又 P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7
P(B) P( A B) P( A) P( AB)
0.7 0.4 0 0.3
条件概率与独立性
例如:一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。
解： 样本空间 ={正正，正反，反正，反反}
事件 A表示至少有一次为正面，
件 A 发生的次数。当试验次数 n 很大时，如果频率
m n 稳定在某一数值 p 的附近摆动，并且随着试验
次数的增多，这种摆动的幅度愈来愈小，此时数值 p
称为随机事件 A 发生的概率，记作 P(A) p 。
可用Excel进行抛掷均匀硬币的实验：
RANDBETWEEN(-1000,1000)产生随机数，按所得 数的正负，分别计算频率，观察频率的稳定性。
样本空间为: {1,2 ,...,6}
"向上的点数大于3"记为事件 A {4 ,5 ,6}
"向上的点数小于2"记为事件 B {1}
"向上的点数小于0"记为事件 C { }=
"向上的点数小于10"记为事件 B {1,2 ,...,6}=
事件间的关系和运算
1.事件 B 包含事件 A ：
A 发生必然导致B 发生，
A A 1 k 1 a ab1 Aakb
a
a b
结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。
抽签原理
例 8.(投球问题) n 个球投到 N 个盒子中去（设盒子的 容量不限）试求恰有 n 个盒子各有一球的概率。
解：设 A 表示每个盒子至多有一个球，
样本空间中样本点的总数为N n ，
事件 A 所包含的样本点个数为 ANn .
又 P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7
P(B) P( A B) P( A) P( AB)
0.7 0.4 0 0.3
条件概率与独立性
例如:一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。
解： 样本空间 ={正正，正反，反正，反反}
事件 A表示至少有一次为正面，
件 A 发生的次数。当试验次数 n 很大时，如果频率
m n 稳定在某一数值 p 的附近摆动，并且随着试验
次数的增多，这种摆动的幅度愈来愈小，此时数值 p
称为随机事件 A 发生的概率，记作 P(A) p 。
可用Excel进行抛掷均匀硬币的实验：
RANDBETWEEN(-1000,1000)产生随机数，按所得 数的正负，分别计算频率，观察频率的稳定性。
样本空间为: {1,2 ,...,6}
"向上的点数大于3"记为事件 A {4 ,5 ,6}
"向上的点数小于2"记为事件 B {1}
"向上的点数小于0"记为事件 C { }=
"向上的点数小于10"记为事件 B {1,2 ,...,6}=
事件间的关系和运算
1.事件 B 包含事件 A ：
A 发生必然导致B 发生，
A A 1 k 1 a ab1 Aakb
a
a b
结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。
抽签原理
例 8.(投球问题) n 个球投到 N 个盒子中去（设盒子的 容量不限）试求恰有 n 个盒子各有一球的概率。
解：设 A 表示每个盒子至多有一个球，
样本空间中样本点的总数为N n ，
事件 A 所包含的样本点个数为 ANn .
概率之1-1 概率论发展简史及随机事件(专衔本)
n k k 1
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
ch1-1随机事件_事件的关系与运算
, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A U B = B U A, AB = BA.
( 2) 结合律 ( A U B ) U C = A U ( B U C ),
( AB )C = A( BC ).
( 3) 分配律 ( A U B ) I C = ( A I C ) U ( B I C ) = AC U BC ,
三、事件的关系与运算
事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,L) 是 S 的子集 .
出现, (1)子事件 (1)子事件 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 也称A 则称事件 B 包含事件 A, 也称 是B的 子事件 的 子事件.
记为 B ⊃ A 或 A ⊂ B.
积事件也可记作
A ⋅ B 或 AB .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
则 C = A I B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
续）从一批产品中任取两件，观察合格 从一批产品中任取两件， 品的情况. 两件产品都是合格品}， 品的情况 记 A={两件产品都是合格品 ， 两件产品都是合格品 两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 ，i=1,2 取出的第 件是合格品}， 表示A和 问如何用 Bi 表示 和 A ？ A=B1B2
两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 它又可写为两个互斥事件之和
(1) 交换律
A U B = B U A, AB = BA.
( 2) 结合律 ( A U B ) U C = A U ( B U C ),
( AB )C = A( BC ).
( 3) 分配律 ( A U B ) I C = ( A I C ) U ( B I C ) = AC U BC ,
三、事件的关系与运算
事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,L) 是 S 的子集 .
出现, (1)子事件 (1)子事件 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 也称A 则称事件 B 包含事件 A, 也称 是B的 子事件 的 子事件.
记为 B ⊃ A 或 A ⊂ B.
积事件也可记作
A ⋅ B 或 AB .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
则 C = A I B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
续）从一批产品中任取两件，观察合格 从一批产品中任取两件， 品的情况. 两件产品都是合格品}， 品的情况 记 A={两件产品都是合格品 ， 两件产品都是合格品 两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 ，i=1,2 取出的第 件是合格品}， 表示A和 问如何用 Bi 表示 和 A ？ A=B1B2
两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 它又可写为两个互斥事件之和
Ch1-1 古典密码学
ENIGMA加密机
ENIGMA加密机
连接板上的连线状况也是收发信息的双方 需要预先约定的。
ENIGMA加密机操作
每个月每台ENIGMA机的操作员都会收到一本当月的新密 钥。一天的密钥可能是：
1.连接板的连接：A/L-P/R-T/D-B/W-K/F-O/Y 2.转子的顺序：2,3,1 3.转子的初始方向：Q-C-W
英格码的破解
波兰先千方百计获得ENIGMA操作和转子内部线路 资料 。 要破译ENIGMA密码，靠这些情报还远远不够。 德军的一份对ENIGMA的评估写道：“即使敌人获 取了一台同样的机器，它仍旧能够保证其加密系 统的保密性。” 而且德国采取更加严谨的作法：每次通信先约定 转子位置，防止同一密码加密过多文件。这恰恰 是ENIGMA被破解的破绽之处。
而得到密文，我们把这种加密方法叫做 置换技术。
改变明文内容元素的相对位置，保持内
容的表现形式不变。
置换技术
一维变换－矩阵转置
输入 输出
C A N Y O U U N
D E R S T A N D
明文：can you understand
密文： codtaueanurnynsd
置换技术
二维变换－图形转置
谢尔比乌斯发明的 加密电子机械名叫 ENIGMA，在以后的 年代里，它将被证 明是有史以来最为 可靠的加密系统之 一。 三个部分：键盘、 转子和显示器。一 共有26个键，键盘 排列接近我们现在 使用的计算机键盘。
ENIGMA加密机
ENIGMA加密的关键：这不是一种简单代换 密码。同一个字母在明文的不同位置时， 可以被不同的字母替换，而密文中不同位 置的同一个字母，可以代表明文中的不同 字母，频率分析法在这里就没有用武之地 了。这种加密方式被称为“多表代换密 码”。 为了使消息尽量地短和更难以破译，空格 和标点符号都被省略。
概率ch1-1
9
§1.1随机现象与随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行;
2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现.
随机试验通常用 E 来表示.
10
§1.1随机现象与随机事件
(1)三个事件都发生;
(3) 事件A 发生 , B, C 不发生; ABC 或 A B C (4) 事件A, B都出现, C 不发生; ABC 或 AB C
(5) 事件A, B, C 中恰好有一个发生; ABC ABC ABC
(6) 事件A, B, C 中恰好有两个发生; ABC ABC ABC
推广 Ai Ai Ai Ai
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
i 1
Ai Ai Ai Ai
i 1
i 1
i 1
27
§1.1随机现象与随机事件
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件
用A,B,C 表示出来.
ABC (2)三个事件都不发生；ABC
3
学科地位和作用
概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而 不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过 程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。
目前概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例 如天气预报、 地震预报、产品的抽样调查，在通讯工 程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.
4
第 一章
察出现的点数.
结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
§1.1随机现象与随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行;
2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现.
随机试验通常用 E 来表示.
10
§1.1随机现象与随机事件
(1)三个事件都发生;
(3) 事件A 发生 , B, C 不发生; ABC 或 A B C (4) 事件A, B都出现, C 不发生; ABC 或 AB C
(5) 事件A, B, C 中恰好有一个发生; ABC ABC ABC
(6) 事件A, B, C 中恰好有两个发生; ABC ABC ABC
推广 Ai Ai Ai Ai
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
i 1
Ai Ai Ai Ai
i 1
i 1
i 1
27
§1.1随机现象与随机事件
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件
用A,B,C 表示出来.
ABC (2)三个事件都不发生；ABC
3
学科地位和作用
概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而 不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过 程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。
目前概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例 如天气预报、 地震预报、产品的抽样调查，在通讯工 程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.
4
第 一章
察出现的点数.
结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
概论与统计ch1-2-1随机事件的概率
件 关 系
事件A与事件B相等
（
事件A与B至少有一个发生 (和，并) 事件A与事件B同时发生 (积，交)
文 氏 图
事件A的对立事件
(逆) ）
事件A发生而B不发生
(差)
事件A与B互不相容
(互斥)
样本空间的划分 (完备事件组)
若 1 Ai Aj ,i j,i, j 1,2, ,n
n
小测验 Tests
向指定目标射击三枪，分别用 A1、A2、A3 表示第一、第二、第三枪击中目标,试用它们 表示以下事件：
（1）只有第一枪击中； （2）至少有一枪击中； （3）至少有两枪击中； （4）三枪都未击中
Great minds think alike.
——英雄所见略同
答案
解 设 Ai 表示第 i 枪击中目标
第一章 随机事件及其概率
Chapter 1 Random Events and Probability
§ 1.2 随机事件的概率
Probability of Random Events
教学要求 1.理解概率的四 种定义
Requests
2.掌握概率的基本性质 3.会计算古典型、几何型概率
主要内容
Contents
在古典概型的随机试验中,
P( A) 1 P( A)
(√ )
AA , A A
例1 (掷硬币问题)
把一枚质地均匀的硬币连掷两次，设事件 A={出现两个反面}， B={出现两个面相同}
求 P( A),P(B)
A (BC) (A B)(A C)
A(B C) AB AC
4.对偶律: A B A B, AB A B
第一章 随机事件及其概率
Chapter 1 Random Events and Probability
概率论与数理统计-大学课件-ch1.1
随机试验
研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验. 这里的试验，指的是随机试验：.
如果每次试验的可能结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验.
例如, 掷寿硬命币试试验验 测命掷试. 一在枚掷同硬一一币颗工，骰艺观子掷条察，骰件出观子下正察试生还出验产是现出反的的.点灯数泡的寿
.
A B
AB
在可列无穷的场合，用 表示事件“A1、A2 、 …诸事件
同时发生。”
事件A发生但事件B不发生, 称为事件A与B的差事件。
A B
A B
显然：
AB
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
则称A和B是互不相容的或互斥的,
指事件A与B不可能同时发生。 基本事件是两两互不相容的。
H
T
随机试验的特点
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
试验可以在相同条件重复进行；
试验的可能结果不只有一个， 但试验的全部可能结果，是在试验前就明确的；
每次试验的结果是不可预知的.
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
样本空间与事件
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B
的积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本
点所构成的集合。
n个事件A1 , A2 , … , An 的积
记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ，
或A1A2 … An ，也可简记为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随机现象： 随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的
现象，其结果的出现呈现出一定的偶然性. 现象，其结果的出现呈现出一定的偶然性.
如
在相同条件下，抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上， 在相同条件下，抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可 能是反面朝上，并且在抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么； 能是反面朝上，并且在抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么； 彩票中奖,股指涨跌，飞机失事，新生婴儿的体重, 彩票中奖,股指涨跌，飞机失事，新生婴儿的体重,明天的最高温 度……
随机试验的任何一个基本结果。 随机试验的任何一个基本结果。 两个或一些基本事件并在一起， 两个或一些基本事件并在一起，就构成 复合事件： 复合事件： 一个复合事件。 一个复合事件。
随 机 事 件
两个特殊的事件
必定发生的事件 必然事件： 即在试验中必定发生的事件,常用S或Ω 必然事件： 即在试验中必定发生的事件,常用S 表示; 表示; 如
本空间是确定的。认识一随 本空间是确定的。 机现象的关键之一， 机现象的关键之一，就看你 能否罗列出一切样本点， 能否罗列出一切样本点，写 出它的样本空间。 出它的样本空间。
样本空间在如下意义上提供了 S5={(t,T)|a<t<b,c<T<d}．一个理想试验的数学模型： ．一个理想试验的数学模型：
初学者对概念的理解有难度。 初学者对概念的理解有难度。
作业要求
答疑辅导
领大作业
概率论与数理统计
掌握学习方法，培养创造思维 掌握学习方法，
——谈怎样学好大学数学 谈怎样学好大学数学
认真预 习，培养自学能力 重视听课，边听边记 重视听课， 深入复习，牢固记忆 深入复习， 做好作业，消化吸收 做好作业， 做好阶段复习， 做好阶段复习，提高综合能力
(2) AU B = B U( A B) = AU(B A) = ( A B) U(B A) U AB (3) A B = A AB = AI B
概率论与数理统计
事件的运算满足集合运算律
P6
交换律： AI B = B I A , AU B = B U A 交换律： 结合律： 结合律：AI(B IC) = ( AI B) IC , AU(B UC) = ( AU B) UC 分配律： 分配律：AU(B IC) = ( AU B) I( AUC) ,
“天有不测风云”与“天气可以预报”矛盾 天有不测风云” 天有不测风云 天气可以预报” 吗？ 这种在一定条件下对随机现象进行大量重复试验或观察 大量重复试验或观察， 这种在一定条件下对随机现象进行大量重复试验或观察，其
概率论与数理统计
概 率 论 与 数 理 统 计
结果所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性. 结果所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性. 随机现象的统计规律性 研究和揭示随机现象的统计规律的学科， 研究和揭示随机现象的统计规律的学科，就是
S
Ａ.
设边长为1 设边长为1个 单位的正方形 的面积表示 样本空间S 样本空间S
样本点e
概率论与数理统计
B A
A S B 和 A∪B ∪ A S
A B
文 氏 图
S 包含 A B
积 A∩B ∩ B
A S B S B S 差 A－B － 互斥 A∩B= ∩
A 对立 A∪B=S A∩B= ∪ ∩
注：(1) A B B = AU(B A)
㈠随机试验: 随机试验:
定义:在一定条件下针对一定的研究目的，对随机现象 定义:在一定条件下针对一定的研究目的， 进行的观察和实验，简称试验。 表示. 进行的观察和实验，简称试验。用大写字母E表示. 特点: 能在相同条件下重复进行; 重复进行 特点:1.能在相同条件下重复进行;
能事先明确试验的全部可能结果, 明确试验的全部可能结果 2.能事先明确试验的全部可能结果,或虽不能确切知道试验的 全部可能结果，但可知道它不超过某个范围; 全部可能结果，但可知道它不超过某个范围; 事先不能肯定会出现哪一个结果。 不能肯定会出现哪一个结果 3.事先不能肯定会出现哪一个结果。 重复性、明确性、 重复性、明确性、随机性
概率论与数理统计
随 机 现 象 的 特 点
当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时, 当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时, 观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个. 观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个.而且在每 次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性. 次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性.或 者说,出现哪个结果“凭机会而定” 者说,出现哪个结果“凭机会而定”.
验结果称为随机事件。 验结果称为随机事件。
随 机 事 件
等表示。 随机事件用大写字母A.B.C…等表示。 例: E2中，A={2,4,6}; 中 E3中，B={6,7,8…}; 中 E4中，C={t|0≤t≤1000}. 中 ≤≤ 事件A就是样本空间S 事件 就是样本空间S2 的 就是样本空间 一个子集.
内容： 内容： 1．概率论 （第1-3章） 数理统计（ 2．数理统计（第4-5章) 参考书: 参考书
概率论与数理统计 浙江大学 盛骤 主编； 概率论与数理统计 主编； 概率统计 同济大学出版社； 概率统计 同济大学出版社； 概率统计 其它工科院校教材． 其它工科院校教材．
概率论与数理统计
概 率 与 统 计 的 学 习
概率论与数理统计
§ 1 概 率 论 的 基 本 概 念
复习 随机现象: 必然现象: 在一定条ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下必然发生或必然不发生的现 随机现象 在一定条件下可能出现这样的结果, 必然现象: 在一定条件下可能出现这样的结果,也可
象. 能出现那样的结果, 能出现那样的结果,结果的出现呈现出一 定的偶然性的现象. 定的偶然性的现象.
概率论与数理统计
事 件 间 的 关 系 与 运 算
A发生 B发生 1 （）包含关系 A B 2 （）和事件 AU B = {e e ∈ A或e ∈ B}
AU B发生
A和B中至少有一个发生
3 （）积事件
A I B = {e e ∈ A且e ∈ B}
A和B同时发生 AI B发生 （）差事件 A B = {e e ∈ A且e B } 4
“掷出点数小于7”。 掷出点数小于7 。
即在一次试验中不可能发生的事件， 不可能发生的事件 即在一次试验中不可能发生的事件，常 不可能事件： 不可能事件： 用φ表示 . 如 “掷出点数8”则是不可能事件. 掷出点数8 则是不可能事件 则是不可能事件.
概率论与数理统计
事件的集合表示： 事件的集合表示：
A B发生
A发生而B不发生 发生而B
5 （）互不相容事件 AI B = Φ
又称A,B是互斥的) A,B是互斥的 A和B不能同时发生 (又称A,B是互斥的)
6 （）对立事件 AU B = S且
AI B = Φ
A和B中有且仅有一个发生, A的对立(逆)事件通常记为 A 中有且仅有一个发生, 的对立(
概率论与数理统计
基本事件 一般事件 样本点的单点集{e} 样本点的单点集{e} 的子集A={ S 的子集A={ ek ,ek
1
随 机 事 件
必然事件 不可能事件
,L} 2
样本空间（全集）S 样本空间（全集） 空集 φ
㈣事件间的关系与运算
每一个随机试验都含有许多随机事件， 每一个随机试验都含有许多随机事件，由于它们共 处于同一试验中，因而是相互联系着的， 处于同一试验中，因而是相互联系着的，我们有必要弄 定义的， 清它们之间的关系。 清它们之间的关系。由于事件是用集合定义的，因此下 面我们通过集合之间的关系和运算来讨论事件间的关系 和运算。(P4和运算。(P4-7)
可以用图示的方法表示事件之间的关系与运算。 可以用图示的方法表示事件之间的关系与运算。 注意： 注意：
文氏图:用图形表示集合. 文氏图:用图形表示集合.
英国逻辑学家文恩（Venn.1834-1923年 英国逻辑学家文恩（Venn.1834-1923年）．
文 氏 图
封闭曲线围成 的一切点的集 合表示事件 A
都是相应随机试 验的随机事件。 验的随机事件。
定义2: 样本空间的子集称为随机事件。 定义2: 样本空间的子集称为随机事件。
在一次试验中事件A发生 在一次试验中事件 发生 试验中出现了A中包含的样本点 试验中出现了 中包含的样本点
概率论与数理统计
随机事件的分类 基本事件: 相对于观察目的,不可再分解的事件,即 基本事件: 相对于观察目的,不可再分解的事件 的事件, 事 件
概率论与数理统计
第 一 章 概 率 论 基 础
概率论 Probability 或 Probability Theory 概率论是从数量侧面研究随机现象统计规律性的 概率论是从数量侧面研究随机现象统计规律性的 数量侧面研究随机现象 数学学科。 数学学科。 §1概率论的基本概念 概率论的基本概念 §2概率的定义 概率的定义 §3条件概率 条件概率
概率论与数理统计
下面举几个随机试验的例子： 下面举几个随机试验的例子： E1:掷一枚质地均匀的硬币， E1:掷一枚质地均匀的硬币，观察正反面出 掷一枚质地均匀的硬币 现的情况； 现的情况； E2:掷一枚骰子，观察出现的点数； E2:掷一枚骰子，观察出现的点数； 掷一枚骰子 E3:某射手对某目标进行射击，直到击中目 E3:某射手对某目标进行射击， 某射手对某目标进行射击 标为止，观察射击的次数； 标为止，观察射击的次数； E4:在一大批灯泡中任取一只，测其寿命； E4:在一大批灯泡中任取一只，测其寿命； 在一大批灯泡中任取一只 E5：记录某地某天的最低、最高气温。 E5：记录某地某天的最低、最高气温。
概率论与数理统计
主讲人 理学院 刘庆红 ss_liuqh@
概率论与数理统计