《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第三章

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概率论与数理统计(第三版)第三章课后答案

概率论与数理统计(第三版)第三章课后答案

第三章随机向量X122C ;C ; 3c ; 53C ;C ; 25.4 (1) a=-95 12P{1<X < 乙 KYS 5张只2.5肝(1.3"仏5)—F(2.3 卜3 128<3)P{(X.r)eD}=f^『*6*必"制:[(6-〉”-討疗&T:(护-®+5討詁(护3+5”)|:=諾=善3.5 K: (1)y)工J: J:01 皿=f eP寸"血=(-<- UXr^ IS)=(1 -0X1 - 严)<2>P(rsx)= f:\f*如2严创;『dy =「2严(-八Qdx =J; 2宀(i十肚.j:(2宀》女肚=(・严3.6H: PC^ + JSa3.9B : x 術加HK 昨通»斤(0为:饴X>1 或xvOirL /(xj) = Op斤0) = [4.8>・(2-如=4 83[2*4门:*8川卜2》+黑计Zr(x) = O y > 或 <00<><1A(x) = f>.8y(2 “妙=2 妒(2-纠;=2*(2-x)©SOSxMl 时,/t (x) = | 4.8y(2-x>A =2 4y :(2-x)|r =2 4工(2・兀)3・7參见课本后面P227的答案3.8 f x (x) = J :/(x, >•>” J:訊如扌吟|:■专厶ox J :討法訐£ 'X0SXS2AW= 2* 0苴它/iO)h3>20<> <1 0其它Zr(x)h [(沖0<x<l=V2工+3°"幻3其它0 其它0<> <23 60< v<2其它 b 其它Y的血利K率密度跚齐3为:® 当或<0时尸/(x f>) = 0, /}(>) = 0②当0 Sg 时,力3 = f 4.8>(2-x>ft = 4 8>[2x-lr]|; = 4.8口1 卜2)+ £y2] =2.4>(3-4y+>:)MO (1〉券见课本石面P227的答案3 J2聲见课本后面P228的答案313 (1) 6x(17 0<x<l 0 其它0^x<l其它0<y<l其它311參见课本后面P228的答案【3+卸对TO<x<irt, A(x)>o2 5 X 她缘分布 1 0.15 0.250350.75 30.050.18 0.02 0.2S布0.2 0.430.371由表格可知 P{X-l;Y-2b0.29/:P{X.l}P{Y-2)-0.3225对于0<y<2时,/;(i)>0?0<x<l6x 2+ln0<x<lTT3 6 0 ■其它o+y其它-3-咖2卄犒h=2<+兰30 »JiX X故p^X=x)P{Y=y)所以X与Y不独立由鮭僚件P {X二工;丫二)[} "{工=卫尸{ Y=y)则P{X =2;K=2} = P{X = 2}P{Y = 2}P(X=2;r = 3) = P{X= 2}P{Y = 3}y;P{x=?}=iCO""30<x<2, 时,几(力齐(>)=4冷—/(兀“当x>2或x<OH,当)〉1 或y<o时,A(x)/iO) = o=/(x?j) 所以,x与Y之硼互独立・(訐(2〉衽3・9中,f x(x) =‘2.4三(2-力»0<x<l其它A(J)=2.4r(3-4v +y2)b 0^ v<l 其它3.16 B (J 在 3.8 中f x M= 2Io OSxS2其它AO) = <3y2 0<j ^16其它Xr(或40)二2・4疋(2-力2・4丿(3-4,+护)“・7&?(2-如3-令+小*/Uy),所以x与丫之冋不相5独NJ.17 解:二严=xe »)=匸心) f t(0=.匚fg 沁二 f* xe'(妇c以詁;芦希Z (x)/ o)=xe詁孑=fg >')故x与Y相歹檢立J・18聲见课本后面P228的答案。

概率论与数理统计第三章习题及答案

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概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)

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习 题 一1.设A ,B ,C 为三个事件,用A ,B ,C 的运算式表示下列事件: (1) A 发生而B 与C 都不发生; (2) A ,B ,C 至少有一个事件发生; (3) A ,B ,C 至少有两个事件发生; (4) A ,B ,C 恰好有两个事件发生; (5) A ,B 至少有一个发生而C 不发生; (6) A ,B ,C 都不发生. 解:(1)A C B 或A -B -C 或A -(B ∪C ). (2)A ∪B ∪C . (3)(AB )∪(AC )∪(BC ). (4)(AB C )∪(AC B )∪(BC A ). (5)(A ∪B )C . (6)C B A 或C B A .2.对于任意事件A ,B ,C ,证明下列关系式: (1)(A +B ) (A +B )(A + B )(A +B )= ∅; (2)AB +A B +A B +A B AB -= AB ;(3)A -(B +C )= (A-B )-C . 证明:略.3.设A ,B 为两事件,P (A )=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1,求: (1) A 发生但B 不发生的概率; (2) A ,B 都不发生的概率;(3) 至少有一个事件不发生的概率.解(1) P (A B )=P (A -B )=P (A -AB )=P (A )-P (AB )=0.4; (2) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3; (3) P (A ∪B )=P (AB )=1-P (AB )=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。

购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD 的占20%;其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD 占10%,购买电脑和DVD 占5%,三种电器都购买占2%。

求下列事件的概率。

(1)至少购买一种电器的; (2)至多购买一种电器的; (3)三种电器都没购买的.解:(1) 0.28, (2)0.83, (3) 0.725.10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。

最新概率论与数理统计第三章习题及答案

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概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计课后习题答案(非常全很详细)

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概率论与数理统计复旦大学此答案非常详细非常全,可供大家在平时作业或考试前使用,预祝大家考试成功习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC(4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB).【解】P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0,P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题:(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5 (亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1-P (A 1)=1-(17)5 9.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率.如果:(1) n 件是同时取出的;(2) n 件是无放回逐件取出的;(3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C mn m n M N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P n N 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种,从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n m N M --种,故P (A )=C P P P mm n m n M N M n N-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n m M N M n N-- 可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n -m 次取得次品,每次都有N -M 种取法,共有(N -M )n -m 种取法,故()C ()/m m n m n nP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为M N,则取得m 件正品的概率为 ()C 1m n m mn M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故 ()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7. 6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P == 22.从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1.(1) x +y <65. 11441725510.68125p =-== (2) xy =<14. 1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B )【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+- 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯ 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B }由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+ 2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯ 28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯ 29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得 ()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯ 30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==- 12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤故 n ≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则 31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1) 3101100C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑ (2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A =“某指定的一层有两位乘客离开”;(2) B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3) C =“恰有两位乘客在同一层离开”;(4) D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1) 2466C 9()10P A =,也可由6重贝努里模型: 224619()C ()()1010P A = (2) 6个人在十层中任意六层离开,故6106P ()10P B = (3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C 种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948C C C 种可能结果;②4人同时离开,有19C 种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P 种可能结果,故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ (4) D=B .故 6106P ()1()110P D P B =-=- 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;(2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.【解】 (1) 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>- (3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0,a ]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形,有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形,即02022a x a y a x y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示,故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k =1,2,…,n )才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n --===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率P (A i )(i =0,1,2,3).【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色},i =0,1,2,3.在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000-(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====. 41.对任意的随机事件A ,B ,C ,试证P (AB )+P (AC )-P (BC )≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故3413C 3!3()48P A == 而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()416P A == 因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以1()()2P C P A -= 由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n n n P C C =故 2211()[1C ]22n n n P A =- 44.掷n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数},B ={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P (A )=P (B )(1) 当n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由P (A )+P (B )=1得P (A )=P (B )=0.5(2) 当n 为偶数时,由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次,乙掷n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正(甲乙)=(甲正≤乙正)=(n +1-甲反≤n -乙反) =(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P (甲正>乙正)=P (甲反>乙反) 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”(Sure -thing ):若P (A |C )≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C ),则P (A )≥P (B ).【证】由P (A |C )≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢,有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的},(i =1,…,n ),则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1,2,…,n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrrm m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫(Banach )火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又有多少? 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件,则有121()()2P B P B ==.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了2n -r 次,设n 次取自B 1盒(已空),n -r 次取自B 2盒,第2n -r +1次拿起B 1,发现已空。

《概率论与数理统计》习题及答案第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第 三 章1.掷一枚非均质的硬币,出现正面的概率为p (01)p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件:前1k -次出现正面,第k 次出现反面,或前1k -次出现反面,第k 次出现正面,所以11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2.袋中有b 个黑球a 个白球,从袋中任意取出r 个球,求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法,r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -,所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==,max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+,此乃因为,如果r a <,则r 个球中可以全是白球,没有黑球,即0k =;如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球,此时k 应从r a -开始。

3.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+,以X 表示三个零件中合格品的个数,求X 的分布列。

解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=, 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=, 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=,1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4.一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布。

(完整版)概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)

(完整版)概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)

概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习题一1. 设A,B,C 为三个事件,用A,B,C 的运算式表示下列事件:(1)A 发生而B与 C 都不发生;(2)A,B,C 至少有一个事件发生;(3)A,B,C 至少有两个事件发生;(4)A,B,C 恰好有两个事件发生;(5)A,B至少有一个发生而 C 不发生;(6)A,B,C 都不发生.解:(1)A BC或 A B C或 A (B∪C).(2)A∪B∪C.(3)(AB)∪(AC)∪(BC).(4)(AB C )∪(AC B )∪(BC A).(5)(A∪B)C.(6) A B C 或ABC.2. 对于任意事件A,B,C,证明下列关系式:(1)(A+B)(A+B )( A + B)( A + B )= ;(2)AB+A B +A B+A B AB= AB;(3)A-(B+C)= (A-B)-C. 证明:略.3.设A,B为两事件,P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1,求:(1)A发生但B不发生的概率;(2)A,B 都不发生的概率;(3)至少有一个事件不发生的概率.解(1)P(A B )=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.4;(2) P(AB)=P( A B)=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3;(3) P(A∪B)=P(AB )=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。

购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD 的占20%;其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD占10%,购买电脑和DVD占5%,三种电器都购买占2%。

求下列事件的概率。

(1)至少购买一种电器的;(2)至多购买一种电器的;(3)三种电器都没购买的.解:(1)0.28, (2)0.83, (3)0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。

解:8/156. 任意将10 本书放在书架上。

其中有两套书,一套 3 本,另一套4 本。

概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案

概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案
P Z 40 P X 20, Y 20 20 6
P Z 30 P X 10, Y 20 20 3
P Z 20 P X 20, Y 0 20
P Z 10 P X 10, Y 0 P X 20, Y
P Z 0 P X 10, Y 则 Z=X‐Y 的分布律为
2 10 20
Z=X‐Y ‐40 ‐30 ‐20 ‐10 0
4. 设随机变量 X,Y 相互独立,且服从[0,1]上的均匀分布,求 X+Y 的概率密度. 解: 因 X,Y 都服从[0,1]上的均匀分布,且相互独立 故fX x fY y 1, f x, y fX x fY y
设 Z=X+Y
当0 z 1时
Z ZX
FZ
f x, y dydx
Z ZX
1dydx
Z
z xdx
;
P X 1, Y 0 P X 1 P Y 0
;
P X 1, Y 1 P X 1 P Y 1
;
(X,Y)的分布律与边缘分布律为
Y
X
0
1

16
4
20
0
25 25 25
4
1
1
1
25 25
5

20 25
1 5
(2) 不放回抽样的情况:
P X 0, Y 0 P X 0 P Y 0
;
P X 0, Y 1 P X 0 P Y 1
0, 其他.
0, 其他.
关于 Y 的边缘密度为
fY y
1
√2 24xydx , 0 y
0, 其他.
1 , 6x, 0 √3 =
y
1,
√3
0, 其他.
注意积分限为 Y 的值域,后面却 要写 X 的值域哦~

概率统计第三章答案

概率统计第三章答案

概率统计第三章答案概率论与数理统计作业8(§3.1~§3.3)一、填空题 1.YX ,独立同分布323110//P X,则()().XY E ,Y X P 94951==≤+ 2. 设X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其它,则()E X 31/,2()X =61/.3. 随机变量X 的分布率为303040202...P X-,则()E X =-0.2 ,2(35)E X +=13.4 。

4. 已知随机变量X 的分布列为P (X m =)=101,m=2,4,…,18,20,,则 ()E X =115. 对两台仪器进行独立测试,已知第一台仪器发生故障的概率为1p ,第二台仪器发生故障的概率为2p .令X 表示测试中发生故障的仪器数,则()=X E 21p p +二、计算题1. 连续型随机变量X 的概率密度为2. 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。

如果发现次品,则立即停止检查而认为这批产品不合格;如果连续检查5个产品,都是合格品,则也停止检查而认为这批产品合格。

设每批产品的次品率为p ,求每批产品抽查样品的平均数。

解:设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数,则:∴X 的概率分布表如下:3.设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,0142122y x y x y x fX )m X (P =4q 521ppq432pq 3pq ;),,,m (pq )m X (P m 43211===-)q p (1=+4545q q pq )X (P =+==4324325101055432p p p p q pq pq pq p EX +-+-=++++=∴1)求()X E ,()Y E 及()XY E ; 2)求X 与Y 的边缘密度函数; 解:1)()();dx x x dy y x x dx dxdy y ,x xf EX x0821421117312112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-()();dx x x dy y x y dx dxdy y ,x yf EY x 9747421118212112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-()()();dx x x dy y x xy dx dxdy y ,x xyf XY E x 047421119312112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-2)当时,1≤x ()()();x x ydy x dy y ,x f x f x X62218214212-===⎰⎰+∞∞-当时,1≥x ().x fX0=当时,10≤≤y ()();y ydx x dx y ,x f y fyy Y25227421===⎰⎰-∞+∞-当时,或01<>y y ().y fY0=概率论与数理统计作业9(§3.4~§3.7)一、填空题1. 设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立,其中1X 在[0,6]上服从均匀分布,2X 服从1()2e ,3X 服从参数为λ=3()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=∴.x ,;x ,x x x f X 10182162的泊松分布,记12323Y XX X =-+,则()D Y = 462. 随机变量Y X ,相互独立,又()⎪⎭⎫⎝⎛41,8~,2~B Y P X 则()=-Y X E 2 --2 ,()=-Y X D 2 8 .3. 随机变量~(10,0.6),~(0.6),X B Y P 相关系数1(,)4R X Y =,(,)Cov X Y =__0.3__ .4、若X ~(,)B n p ,且()12E X =,()8D X =,则n = 36 ,p =31.二、选择题1. 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 BA )不相关的充分条件,但不是必要条件;B )独立的必要条件,但不是充分条件;C )不相关的必要条件,但不是充分条件;D )独立的充分必要条件2. 设)(~λP X ,且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦,则λ= A A )1, B )2, C )3, D )03. 设123,,X XX 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布,令1231()3Y XX X =++,则2()E Y =CA )1.B )9.C )10. D )6.4. 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 与Y 的相关系数等于( A )。

《概率论与数理统计》习题及答案 第三章

《概率论与数理统计》习题及答案  第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第 三 章1.掷一枚非均质的硬币,出现正面的概率为p (01)p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件:前1k -次出现正面,第k 次出现反面,或前1k -次出现反面,第k 次出现正面,所以11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2.袋中有b 个黑球a 个白球,从袋中任意取出r 个球,求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法,r 个球中有k 个黑球的取法有k r kb a C C -,所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==,max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+, 此乃因为,如果r a <,则r 个球中可以全是白球,没有黑球,即0k =;如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球,此时k 应从r a -开始。

3.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+,以X 表示三个零件中合格品的个数,求X 的分布列。

解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=, 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=, 123123123(2)()P X P A A A A A A A AA ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=,20 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4.一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1.设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值:)0,0(,)1,1(-,31,1(-及)0,2(,且取这几组值的概率依次为61,31,121和125,求二维随机变量),(Y X 的联合分布律.解:由二维离散型随机变量分布律的定义知,),(Y X 的联合分布律为2.某高校学生会有8名委员,其中来自理科的2名,来自工科和文科的各3名.现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席.设X ,Y 分别为主席来自理科、工科的人数,求:(1)),(Y X 的联合分布律;(2)X 和Y 的边缘分布律.解:(1)由题意,X 的可能取值为0,1,2,Y 的可能取值为0,1,2,3,则561)0,0(3833====C C Y X P ,569)1,0(381323====C C C Y X P ,569)2,0(382313====C C C Y X P ,561)3,0(3833====C C Y X P ,283)0,1(382312====C C C Y X P ,289)1,1(38131312====C C C C Y X P ,283)2,1(382312====C C C Y X P ,0)3,1(===Y X P ,563)0,2(381322====C C C Y X P ,563)1,2(381322====C C C Y X P ,0)2,2(===Y X P ,0)3,2(===Y X P .),(Y X 的联合分布律为:(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他.,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求:(1)常数k ;(2))3,1(<<Y X P ;(3))5.1(<Y P ;(4))4(≤+Y X P .解:方法1:(1)⎰⎰⎰⎰--==+∞∞-+∞∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰,∴81=k .(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y .(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰+∞∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y .(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x .方法2:(1)同方法1.(2)20<<x ,42<<y 时,⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=,其他,0),,(=y x F ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他.,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P .(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F .(4)同方法1.4.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他.,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求:(1)常数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数.解:(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞∞-+∞∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰+∞+∞--=002d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-,∴2=A .(2)0>x ,0>y 时,⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=,其他,0),(=y x F ,∴⎩⎨⎧>>--=--其他.,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x .5.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他.,0,10,10,),(y x Axy y x f 求:(1)常数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数.解:(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-A y y x x A y x y x f ,∴4=A .(2)10≤≤x ,10≤≤y 时,⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=,10≤≤x ,1>y 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=,10≤≤y ,1>x 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=,1>x ,1>y 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u,其他,0),(=y x F ,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他.,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F .6.把一枚均匀硬币掷3次,设X 为3次抛掷中正面出现的次数,Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求:(1)),(Y X 的联合分布律;(2)X 和Y 的边缘分布律.解:由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3;Y 的可能取值为1,3.易知0)1,0(===Y X P ,81)3,0(===Y X P ,83)1,1(===Y X P ,0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ,0)3,2(===Y X P ,0)1,3(===Y X P ,81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为:7.在汽车厂,一辆汽车有两道工序是由机器人完成的:一是紧固3只螺栓;二是焊接2处焊点,以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目,以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目,且),(Y X 具有联合分布律如下表:求:(1)在1=Y 的条件下,X 的条件分布律;(2)在2=X 的条件下,Y 的条件分布律.解:(1)因为)3,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=,所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ,81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ,101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ,401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ,故在1=Y 的条件下,X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=,所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ,4)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ,81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ,故在2=X 的条件下,Y 的分布律为:Y 012P8541818.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他.,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求:(1)常数c ;(2)X 的边缘概率密度函数;(3))2(<+Y X P ;(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y .解:(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰+∞+∞--=002d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-,∴2=c .(2)0>x 时,⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(⎰+∞+-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=,0≤x 时,0)(=x f X ,∴⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(2x x x f x X ,同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y .(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x .(4)由条件概率密度公式,得,当0>y 时,有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他.其他.,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ,0≤y 时,0)|(|=y x f Y X ,所以⎩⎨⎧>>=-其他.,0,0,0,e 2)|(2|y x y x f x Y X ;同理,当0>x 时,有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他.其他.,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y 0≤x 时,0)|(|=x y f X Y ,所以⎩⎨⎧>>=-其他.,0,0,0,e )|(|y x x y f y X Y .9.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他.,0,0,10,3),(x y x x y x f求:(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数;(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y .解:(1)10<<x 时,⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰,其他,0)(=x f X ,∴⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,3)(2x x x f X ,密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ,∴10<<y 时,⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰,其他,0)(=y f Y ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,10),1(23)(2y y y f Y .(2)当10<<y 时,有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他.其他.,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ,其他,0)|(|=y x f Y X ,故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其他.,0,10,1,12)|(2|y x y y xy x f Y X .当10<<x 时,有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他.其他.,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ,其他,0)|(|=x y f X Y ,故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他.,0,10,0,1)|(|x x y x x y f X Y .10.设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他.,0,10,3)|(32|y x yx y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P .解:⎩⎨⎧<<<==其他.,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ,则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx .11.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他.,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求:(1)),(Y X 的边缘概率密度;(2)X 与Y 是否独立;(3))),((D Y X P ∈,其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域.解:(1)10<<x 时,x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰+∞∞-,其他,0)(=x f X ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他.,0,10,322)(2x x x x f X ,20<<y 时,⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ,其他,0)(=y f Y ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他.,0,20,316)(y y y f Y .(2)),()()(y x f y f x f Y X ≠,∴X 与Y 不独立.(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=,∴⎰⎰+=∈102222d d )3()),((x xx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x .12.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他.,0,0,0,e )1(),(2y x y x y x f x试讨论X ,Y 的独立性.解:当0>x 时,xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002,当0≤x 时,0)(=x f X ,故⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(x x x x f x X ,同理,可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ,因为)()(),(y f x f y x f Y X =,所以X 与Y 相互独立.13.设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布,求X 与Y 的边缘概率密度,并判断X 与Y 是否相互独立.解:由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他.,0,,21),(2a y x a y x f ,当0<<-x a 时,有)(1d 21d ),()(2)(2x a ay a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-+∞∞-,当a x <≤0时,有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---+∞∞-,当a x ≥时,0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2,同理,由轮换对称性,可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2,显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠,所以X 与Y 不相互独立.14.设X 和Y 时两个相互独立的随机变量,X 在)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ,试求a 有实根的概率.解:(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,1)(x x f X ,因为X 与Y 相互独立,所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他.,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f yY X ,(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤,记为D ,即}|),{(2X Y Y X D ≤=,设=A {a 有实根},则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=102d e12x x ⎰--=12e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=.15.设i X ~)4.0,1(b ,4,3,2,1=i ,且1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,求行列式4321X X X X X =的分布律.解:由i X ~)4.0,1(b ,4,3,2,1=i ,且1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,易知41X X ~)84.0,16.0(b ,32X X ~)84.0,16.0(b .因为1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,所以41X X 与32X X 也相互独立,又32414321X X X X X X X X X -==,则X 的所有可能取值为1-,0,1,有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=,)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=,)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=,故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他.,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数.解:0≤z 时,若0≤x ,则0),(=y x f ;若0>x ,则0<-=x z y ,也有0),(=y x f ,即0≤z 时,0),(=y x f ,此时,0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F .0>z 时,若0≤x ,则0),(=y x f ;只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时,0),(≠y x f ,此时,⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1.综上⎩⎨⎧≤>--=--.0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ,所以⎩⎨⎧≤<='=-.0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z .17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他.,0,10,1)(x x f X ,⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度.解:0<z 时,若0<x ,则0)(=x f X ;若0≥x ,则0<-=x z y ,0)(=-x z f Y ,即0<z 时,0)()(=-x z f x f Y X ,此时,0d )()()(=-=⎰+∞∞-x x z f x f z f Y X Z .10≤≤z 时,若0<x ,则0)(=x f X ;只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ,此时,z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(.1>z 时,若0<x ,0)(=x f X ;若1>x ,0)(=x f X ;若10≤≤x ,则0>-=x z y ,此时,0)()(≠-x z f x f Y X ,z x z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(.综上,⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--.0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z .18.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他.,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立?(2)求Y X Z +=的概率密度.解:(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠,∴X 与Y 不独立.(2)0≤z 时,若0≤x ,则0)(=x f X ;若0>x ,则0<-=x z y ,0),(=y x f ,此时,0d ),()(=-=⎰+∞∞-x x z x f z f Z .0≥z 时,若0≤x ,则0)(=x f X ;只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ,此时,⎰+∞∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e )(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ .19.设X 和Y 时相互独立的随机变量,它们都服从正态分布),0(2σN .证明:随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ.解:因为X 与Y 相互独立,均服从正态分布),0(2σN ,所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y xf +-⋅=,(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时,有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ,此时,2222e)(σσz Z z z f -=;当0<z 时,=≤+}{22z Y X ∅,所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ,此时,0)(=z f Z ,综上,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ.20.设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布,求},min{Y X Z =的概率密度.解:由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他.,0,20,10,21),(y x y x f ,易证,X ~]1,0[U ,Y ~]2,0[U ,且X 与Y 相互独立,⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ,可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.1,1,10,223,0,02z z z z z ,求导,得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,10,23)(z z z f Z .21.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他.,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ;(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ;(3)求函数},max{Y X U =的分布函数.解:(1)⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-+∞∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x ⎰⎰+∞--=10d e d e y x b y x)e 1(|)e(|)e (10102-+∞---=-⋅=b b y x ,∴1e11--=b .(2)10<<x 时,1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ,其他,0)(=x f X ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他.,0,10,e 1e )(1x x f xX ,0>y 时,⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(yy x x -+--=-=⎰e d e e 1110)(1,0≤y 时,0)(=y f Y ,∴⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y .(3)0≤x 时,0)(=x F X ,10<<x 时,101e1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ,1≥x 时,1)(=x F X ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--.1,1,10,e 1e1,0,0)(1x x x x F x X ;0≤y 时,0)(=y F Y ,0>y 时,y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0,∴⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,e 1)(y y y F y Y ,故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---.1,e 1,10,e 1e1,0,01u u u uu .。

概率论与数理统计复旦大学出版社第三章课后答案

概率论与数理统计复旦大学出版社第三章课后答案

概率论与数理统计 习题三 答案1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为:0,1,2,3;Y 的可能取值为:0,1.X 和Y 的联合分布律如下表:222⨯⨯222⨯⨯2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为:0,1,2,3;Y 的可能取值为:0,1,2.324C 35= 324C 35= 3224C 35= 113224C C 12C 35= 1324C 2C 35= 224C 35= 213224C C 6C 35= 2324C 3C 35=3.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为ππsin sin ,0,0(,)220,x y x y F x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其它求二维随机变量(,)X Y 在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin0sin sin0sin4346362(31).4=--+=-题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。

4.设随机变量(,)X Y的分布密度(34)e,0,0(,)0,x yA x yf x y-+⎧>>=⎨⎩ 其他求:(1)常数A;(2)随机变量(,)X Y的分布函数;(3)P{0≤X<1,0≤Y<2}.【解】(1)由-(34)00(,)d d e d d112x yAf x y x y A x y+∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得A=12(2)由定义,有(,)(,)d dy xF x y f u v u v-∞-∞=⎰⎰(34)340012e d d(1e)(1e)0,0,0,0,y y u vx yu v y x-+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d(1e)(1e)0.9499.x yP X Yx y-+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量(,)X Y的概率密度为(6),02,24(,)0,k x y x yf x y--<<<<⎧=⎨⎩ 其它(1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};【解】(1) 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18k =(2) 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,0.2)上服从均匀分布,Y 的密度函数为55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其它求:(1) X 与Y 的联合分布密度;(2) {}P Y X ≤.题6图【解】(1) 因X 在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X 的概率密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其它 所以(,),()*()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e 25e ,00.2,00.20,y yx y --⎧⨯=<<>⎪=⎨⎪⎩ 其它(2) 5()(,)d d 25ed d yy xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.x y x x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为42(1e )(1e ),0,0,(,)0,.x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他 求(X ,Y )的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.8.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 求边缘概率密度.【解】X 的边缘概率密度为()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01y x y x x x ⎧-=-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰ 0, 其它 Y 的边缘概率密度为()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=⎰12y4.8(2)d 2.4(34),01y x x y y y y ⎧-=-+≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰ 0, 其它题8图 题9图9.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为e ,0(,)0y x yf x y -⎧<<=⎨⎩, 其它求边缘概率密度.【解】X 的边缘概率密度为()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,00,y x x y x +∞--⎧=>⎪=⎨⎪⎩⎰ 其它Y 的边缘概率密度为()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,00,yy x x y y --⎧=>⎪=⎨⎪⎩⎰ 其它题10图10.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22,1(,)0cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩, 其它(1) 试确定常数c ; (2) 求边缘概率密度. 【解】(1)(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y+∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212242121=(1),11480,x x ydy x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰ 其它()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01420,y y x y x y y -⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰ 其它 11.设随机变量(,)X Y 的概率密度为1,,01(,)0,y x x f x y ⎧<<<⎪=⎨⎪⎩ 其它求条件概率密度()Y X f y x ,()X Y f x y .题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y .(1) 求X 与Y 的联合概率分布;(2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1) X 的可能取值为:1,2,3;Y 的可能取值为3,4,5. X 与Y 的联合分布律及边缘分布律如下表:3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为 2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.032 5 8 P {Y=y i }0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXY XY(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠===故X 与Y 不独立.14.设X 与Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为/21e ,0,()20,.y Y y f y -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2) 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求a 有实根的概率.【解】(1) 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥即 2X Y ≥, 从而方程有实根的概率为:22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰22211/2200121d e d 1e d 212d 12[(1)(0)]20.1445.xx y x x y xx πππ---==-==-Φ-Φ=⎰⎰⎰ 15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求/Z X Y =的概率密度.【解】因为X 和Y 相互独立,所以X 与Y 的联合概率密度为62210,1000,1000(,)0,x y f x y x y ⎧>>⎪=⎨⎪⎩ 其它如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时,()0Z F z =(2) 当0<z <1时,(这时当x =1000时,y =1000z)(如图a) 3366102222101010()(,)d d d d d d yz Z zx x y y zzF z f x y x y x y y x x y x y +∞≥≥===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b )3366222210101010()(,)d d d d d d zy Z xx y y zzF z f x y x y x y y x x yx y +∞≥≥===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y yzy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zF z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设取到的四只电子元件寿命为i X (i =1,2,3,4),则2~(160,20)i X N ,从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为()(),0,1,2,3,P X k p k k === ()(),0,1,2,3,P Y r q r r ===证明随机变量Z =X +Y 的分布律为()()()ik P Z i p k q i k ===-∑,i =0,1,2,….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数,所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是{}{,}ik P Z i P X k Y i k =====-∑,{}{}ik X Y P X k P Y i k ===-∑相互独立0()()ik p k q i k ==-∑18.设X ,Y 是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n ,p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ,p 的二项分布.【证明】方法一:X +Y 可能取值为0,1,2,…,2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑002200(){}2)ki ki n i k i n k ii kk n k k n ki ki P X i P Y k i n n p q p qi k i n n n p qp q i k i k n m m n i k i k =---+=--=====-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑(提示:组合计数公式方法二:参见第四章。

概率论与数理统计第三章课后习题答案

概率论与数理统计第三章课后习题答案

概率论与数理统计第三章课后习题答案习题二1■将一硬币抛掷二次,以X表示在二次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:3•设二维随机变量(X, F)的联合分布函数为求二维随机变量(x, y)在长方形域内的概率.4 6 3J【解】如图叫眈怎<今空^求:(1)常数/;F (x, y)sin xsiny,0,0"岁詣其他.・Tt ■兀・兀■兀=sin —_sin ——sin —_sin ——4 3 4 6二#(dl).斗sin OLfeinK ■八■兀—+sinIksin —3 6JT7说明:也可先求出密度函数,再求概率。

4•设随机变量(X, Y)的分布密度f(兀,y)j e-(3.r+4y)x >0, y >0, 其他.(2) 随机变量(X, Y)的分布函数;(3) P{0 «1, 0之<2}.【解】(1)由 f(x,y)dxdy° °Ae(3x4y)dxdy £ 1得A = 12(2) 由定义,有y xF (x, y)f (u, v)dudvy y(3u 4v)12e dudvo o0,(3) P{0 X 1,0 Y 2}P{0 X 1,0 Y 2}5. 设随机变量(X, Y )的概率密度为(1 e 3x )(1 e 4y ) y 0,x 0,0,其他212e (3x 04y)dxdy(1 e 3)(1 e 8)0.9499.f(x ,y)=k(6 x y), 0,x 2,2 y 4,其他.(1)确定常数k ;(2)求 P{X v 1, Y v 3};(3)求 P{X<1.5};(4)求 P{X+Y W 4}.【解】(1)由性质有2 4f(x, y)dxdy ° 2 k(6 x y)dydx 8k 1,31-k(6 x y)dydx86.设X和丫是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为求:(1) X与Y的联合分布密度;(2)P{YN}.(2) P{X 1,Y 3} f (x, y)dydx(3)P{X(4)P{X1.5}x 1.5f (x, y)dxdy 如图 a f (x,y)dxdy1.5 4 10 dx -(6 x y)dy82732Y 4}Xf (x, y)dxdy如图 b f (x,y)dxdy(61 ) y)f Y( y)5e5y, y 0,0, 其他.【解】(1)因X 在(0, 0.2) 上服从均匀分布,所以X 的密度函数为f x (X)10 x 0.2,0.2,0,其他.而f/y)5e 5y , y 0,0,其他.所以f (x, y)X,丫独立 fx(x)gf Y (y)⑵ P(Y X) f (x, y)dxdy 如图 25e 5y dxdyy xD丄 0.2 5e 5y0,25e 5y, 0 x 0.2且 y 0, 0, 其他•0.2 0dx25e -5ydy0.2 5x0 ( 5e5)dx■1=e 0.3679.7.设二维随机变量(X, Y )的联合分布函数为F ( x ,y )(1 e 4x)(1 e 2y), x 0,y 0,0,其他.求(X ,Y )的联合分布密度2[解] f(x,y)x y8e(4x 2y), x 0,y 0,0, 其他.8.设二维随机变量(X, Y )的概率密度为f (x, y)=4.8y(2 x), 0 0,x 1,0 y x,其他.求边缘概率密度.【解】f x(x) f (x,y)dyx0 4.8y(2x)dy0,2.4X2(2 x), 0 x 1,0, 其他.f y(y) f (x,y)dx1=y4-8y(2x)dx 2.4y(3 4y y2), 0 y 1,0, 其他.,题8图9.设二维随机变量题9图X, Y)的概率密度为f (x, y) e y, 0 x y,0, 其他.求边缘概率密度.【解】f x(X) f (x, y)d yx0,e y dy xe , x 0,0, 其他.f Y(y) f (x,y)dxy e y dx0,ye x, y 0,0, 其他.y\i■v=xw p题10图10.设二维随机变量(X, Y)2f (x, y)= J试确定常数c;求边缘概率密度的概率密度为x2y 1,其他.(1)(2)【解】(1)f (x, y)dxdy如图Df (x,y)dxdy1 12-1dx x2cx ydy4c211.214f x(X) f(x,y)dy1 212 , xydyx 40, 212。

概率论和数理统计复旦大学课后题答案全

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概率论和数理统计-复旦大学-课后题答案(全)1 概率论与数理统计习题及答案习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC(4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC ∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C ∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB).【解】P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.(2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(A∪B∪C)=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率;(2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同)(2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1-P (A 1)=1-(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率.如果:(1) n 件是同时取出的; (2) n 件是无放回逐件取出的; (3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=CC /C mn m n M N M N--(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P nN种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M种,从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n m N M--种,故P (A )=C P P P m m n mn M N Mn N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N Mn N--可以看出,用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n -m 次取得次品,每次都有N -M 种取法,共有(N -M )n -m 种取法,故()C ()/m mn mnnP A M N M N -=-此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为M N ,则取得m 件正品的概率为()C 1mn mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案. 12.【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故232322()()()35P A A P A P A =+= 14.(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3)2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. (1) 问正好在第6次停止的概率; (2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率. 【解】(1) 223151115()()22232p C == (2)1342111C ()()22245/325p ==16.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】4111152222410C C C C C 131C 21p =-=18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A ===(2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从(0,1)中随机地取两个数,求: (1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1. (1) x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23.设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B ) 【解】()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有30()()()i i i P B P B A P A ==∑3312321369968967333333151515151515C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P (A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯ 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作AA 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B }由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得 ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯ 29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯ 30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n-≥ 即为(0.8)0.1n ≤ 故 n≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B相互独立. 【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()PAB P AB P B P B = 亦即()()()()P AB P B P AB P B = ()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1)3101100C (0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑ (2)10102104C (0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑ 36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A =“某指定的一层有两位乘客离开”;(2) B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3) C =“恰有两位乘客在同一层离开”;(4) D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1)2466C 9()10P A =,也可由6重贝努里模型:224619()C ()()1010P A =(2) 6个人在十层中任意六层离开,故6106P ()10P B =(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C 种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948C C C 种可能结果;②4人同时离开,有19C 种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P 种可能结果,故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++(4) D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;(2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.【解】 (1)111p n =- (2)23!(3)!,3(1)!n p n n -=>- (3)12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0,a ]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由 0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形,有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x +>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣构成的图形,即02022a x ay a x y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影部分所示,故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k =1,2,…,n )才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n --===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率P(A i )(i =0,1,2,3).【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色},i =0,1,2,3.在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000-(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ,B ,C ,试证 P (AB )+P (AC )-P (BC )≤P (A ).【证】()[()]()P A P A B C P ABAC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 【解】 设iA ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()416P A ==因此213319()1()()181616P A P A P A =--=--=或12143323C C C 9()416P A ==43.将一枚均匀硬币掷2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22n n n P A =-44.掷n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数},B ={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P (A )=P (B )(1) 当n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由P (A )+P (B )=1得P (A )=P (B )=0.5(2) 当n 为偶数时,由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次,乙掷n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数.显然有>正正(甲乙)=(甲正≤乙正)=(n +1-甲反≤n -乙反)=(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P (甲正>乙正)=P (甲反>乙反) 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”(Sure -thing ):若P (A |C )≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C ),则P (A )≥P (B ).【证】由P (A |C )≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由(|)(|),P A C P B C ≥得 ()(),P AC P BC ≥故()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=47.一列火车共有n 节车厢,有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的},(i =1,…,n ),则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1,2,…,n 中的任n -1个.显然n 节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n kn nn n n nn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1(1)1()nn ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品}由题知(),()m nP B P B m n m n==++1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrrm m m n m n m n m n m n+==++++50.巴拿赫(Banach )火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又有多少?【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件,则有121()()2P B P B ==.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了2n -r 次,设n 次取自B 1盒(已空),n -r 次取自B 2盒,第2n -r +1次拿起B 1,发现已空。

概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)

概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)

习 题 一1.设A ,B ,C 为三个事件,用A ,B ,C 的运算式表示下列事件: (1) A 发生而B 与C 都不发生; (2) A ,B ,C 至少有一个事件发生; (3) A ,B ,C 至少有两个事件发生; (4) A ,B ,C 恰好有两个事件发生; (5) A ,B 至少有一个发生而C 不发生; (6) A ,B ,C 都不发生. 解:(1)A C B 或A -B -C 或A -(B ∪C ). (2)A ∪B ∪C . (3)(AB )∪(AC )∪(BC ). (4)(AB C )∪(AC B )∪(BC A ). (5)(A ∪B )C . (6)C B A 或C B A .2.对于任意事件A ,B ,C ,证明下列关系式: (1)(A +B ) (A +B )(A + B )(A +B )= ∅; (2)AB +A B +A B +A B AB -= AB ;(3)A -(B +C )= (A-B )-C . 证明:略.3.设A ,B 为两事件,P (A )=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1,求: (1) A 发生但B 不发生的概率; (2) A ,B 都不发生的概率;(3) 至少有一个事件不发生的概率.解(1) P (A B )=P (A -B )=P (A -AB )=P (A )-P (AB )=0.4; (2) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3; (3) P (A ∪B )=P (AB )=1-P (AB )=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。

购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD 的占20%;其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD 占10%,购买电脑和DVD 占5%,三种电器都购买占2%。

求下列事件的概率。

(1)至少购买一种电器的; (2)至多购买一种电器的;(3)三种电器都没购买的. 解:(1) 0.28, (2)0.83, (3) 0.725.10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。

概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学

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概率论与数理统计习题及答案习题一1.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC(4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB).【解】P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,(1)在什么条件下P(AB(2)在什么条件下P(AB【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.(2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C 8.(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1-P (A 1)=1-(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率. (1) n 件是同时取出的; (2)n (3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P nN 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种,从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种,故P (A )=C P PP m m n mn M N M n N --由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N Mn N--可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n -m 次取得次品,每次都有N -M 种取法,共有(N -M )n -m 种取法,故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11..见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.(1) 问正好在第6次停止的概率;(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p ==16.0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212333()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076175双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22.0,1)中随机地取两个数,求:(1)两个数之和小于65的概率;(2)两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y,则0<x,y<1.(1)x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23.P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5,求P(B|A∪B)【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B } 由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29..统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立. 33.15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求: (1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. 【解】(1) 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A =“某指定的一层有两位乘客离开”;(2) B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”; (3) C =“恰有两位乘客在同一层离开”; (4) D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1) 2466C 9()10P A =,也可由6重贝努里模型:224619()C ()()1010P A =(2) 6个人在十层中任意六层离开,故6106P ()10P B =(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C 种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948C C C 种可能结果;②4人同时离开,有19C 种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P 种可能结果,故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++(4) D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率: (1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率. 【解】 (1) 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.[0,a ]【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形,有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形,即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影部分所示,故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k =1,2,…,n )才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率P (A i )(i =0,1,2,3). 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色},i =0,1,2,3.在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000-(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ,B ,CP (AB )+P (AC )-P (BC )≤P (A). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+- 42.3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数},B ={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P (A )=P (B )(1) 当n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由P (A )+P (B )=1得P (A )=P (B )=0.5(2) 当n 为偶数时,由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.n +1次,乙掷n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正(甲乙)=(甲正≤乙正)=(n +1-甲反≤n -乙反)=(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P (甲正>乙正)=P (甲反>乙反) 因此P (甲正>乙正)=1246.Sure -thing ):若P (A |C )≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C ),则P (A )≥P (B ).【证】由P (A |C )≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢,有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的},(i =1,…,n ),则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1,2,…,n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rr m m m n m n m nm n m n+==++++ 50.巴拿赫(Banach )火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件,则有121()()2P B P B ==.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了2n -r 次,设n 次取自B 1盒(已空),n -r 次取自B 2盒,第2n -r +1次拿起B 1,发现已空。

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习题三1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222⨯⨯222⨯⨯2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 247C 3C 35= 247C 2C 35= 2247C C 6C 35=112247C C 12C 35=1247C 2C 35= 27C /C =212247C C 6C 35=2247C 3C 35=3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量(X ,Y )在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sinsin sin sin 0sin sin 0sin 4346361).4=--+=题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。

4.设随机变量(X ,Y )的分布密度f (x ,y )=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求:(1) 常数A ;(2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}. 【解】(1) 由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 (2) 由定义,有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k(1) 确定常数k ;(2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <1.5}; (4) 求P {X +Y ≤4}. 【解】(1) 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =(2) 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83x x x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,0.2)上服从均匀分布,Y 的密度函数为f Y (y )=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求:(1) X 与Y 的联合分布密度;(2) P {Y ≤X }.题6图【解】(1) 因X 在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立 5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求(X ,Y )的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)dY f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx(1) 试确定常数c ;(2) 求边缘概率密度. 【解】(1)(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰5227d ,01,20,0, .x y x y y ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他 11.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ).题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.x x y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y .(1) 求X 与Y 的联合概率分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1) X 与Y 的联合分布律如下表(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立(2) X 与Y 是否相互独立?(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e (1)求X 和Y 的联合概率密度;(2) 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求a 有实根的概率.【解】(1) 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ,从而方程有实根的概率为:22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 21(1)(0)]0.1445.x y x y-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时,()0Z F z =(2) 当0<z <1时,(这时当x =1000时,y =1000z)(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b )3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4),则X i ~N (160,202),从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-< 44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为P {X =k }=p (k ),k =0,1,2,…, P {Y =r }=q (r ),r =0,1,2,….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(,i =0,1,2,….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数,所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ,Y 是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n ,p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ,p 的二项分布.【证明】方法一:X +Y 可能取值为0,1,2,…,2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n kP X i P Y k i n n p q p q i k i n n p qi k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二:设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…,μn ′均服从两点分布(参数为p ),则X =μ1+μ2+…+μn ,Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以,X +Y 服从参数为(2n ,p )的二项分布.(1) 求P {X =2|Y =2},P {Y =3|X =0}; (2) 求V =max (X ,Y )的分布律; (3) 求U =min (X ,Y )的分布律; (4) 求W =X +Y 的分布律. 【解】(1){2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ (2){}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,i =所以V 的分布律为(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3i = 于是(1) 求P {Y >0|Y >X };(2) 设M =max{X ,Y },求P {M >0}.题20图【解】因(X ,Y )的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 (1){0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0,x =1,x=e 2所围成,二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,求(X ,Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少?题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰(X ,Y )的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他(X ,Y )关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X ,Y )联合分布律及关于X 和【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-=而X 与Y 独立,故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即:1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (0<p <1),且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率;(2)二维随机变量(X ,Y )的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立,其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021,而Y 的概率密度为f (y ),求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F (y )是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此,得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P {max{X ,Y }≤1}.解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ,Y 相互独立,所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为其中a ,b ,c 为常数,且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5,记Z =X +Y .求:(1) a ,b ,c 的值; (2) Z 的概率分布; (3) P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知,a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-,可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ,b ,c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2,-1,0,1,2,{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=,{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=,{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=,{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===,{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====,即Z(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.(英文版)easily blame, to prevent the broken window effect. Supervise the leading cadres to play an exemplary role, take the lead in the strict implementation of the < code > and < rule >, lead to safeguard the solemnity and authority of the party discipline, ensure that the party discipline and the laws and regulations for implementation in place. Throughout the discipline in the daily supervision and management , strengthen supervision and inspection, from the thorough investigation of violations of discipline behavior. Strengthen to key areas, key departments and key projects as well as the masses reflect the concentration of the units and departments for supervision. - strengthening supervision, discipline inspection and supervision of cadres to set an example for compliance with the < code > and < rule > is a man must be hexyl, blacksmith needs its own hardware. Discipline inspection organs as the executor of the party discipline, and supervisor of the defenders, for its supervision must be more strictly, discipline inspection and supervision of cadres to firmly establish the awareness of Party Constitution, sense of discipline and rules consciousness, politics loyalty, sense obey. Action speak Ji Ordinance to set an example of theregulations of the rule of law, strengthen supervision and accept the supervision of the firmness and consciousness, do comply with < > and < >. To firmly establish the discipline must first be disciplined, the supervisor will be subject to the supervision of "concept, and consciously safeguard and implement party compasses party, take the lead in practicing" three strict real strict, so loyal, clean, play. To be good at learning, the Constitution and the < code > as morality, politics and brought to fruition; to implement < >, do not want to, dare not, not with disciplinary ruler to supervision; to discipline a ruler, often the control inspection, and consciously in the ideological red line to draw the row Ming Good accumulation is indeed the bottom line, so that the heart has fear, said to have quit, the line has ended. Attached: indifferent to heart, calmly to the table in our life, there are many unpredictable things will happen, some good, some bad things, we cannot control is powerless to stop, but with time, you will find in life sometimes turns out to be not good, some bad things finally turned out to be a good thing, but then we muddy however did not know, this is the life teach us things. 1, life can be complex, can also be simple. Want simple life of precipitation, to have enough time to reflect, to make Becomemore perfect. Life is the most important thing is not to win, but the struggle; not to have conquered, but to have fought well. 2, the plain is the background of life. Live a plain life, give up on themselves is not a coward, but the wise answers; not disillusioned after the heart, such as ashes, but experience the storm after the enlightenment; not unrewarding perfunctorily, but calm attitude of life of unrestrained self-confidence. Plain living, there is no noise noisy, no earthly troubles, more did not fill in the discontent of desire, some just a calm, a calm. 3, memory of heart will not good things to erase the, life is a When no movie, pain is a beginning, the struggle is a kind of process, death is a kind of ending. Give up this giving up is the helpless, do not give up the abandoned, do not give up this giving up is ignorance, do not give up should not give up is persistent. 4, a thing figured is heaven, think impassability is hell. Since the living, to live better. Sometimes we because of too narrow-minded, too care around the chores and penny wise and pound foolish, not worth the candle. Some things to attract trouble and worry, completely depends on how we look at and deal with it. Don't always take everything back to things, and don't get into a blind alley, don't want to face, don't be narrow-minded. Poke to care, is a kind ofopen-minded, a free and easy. 5, I am not afraid of others behind me a knife, I afraid to look back and see stab me, is my intention to treat people; I am not afraid of the truth to tell the best friend, I'm afraid he turned to it as a joke to tell don't 6, when we are in a positive frame of mind, you will find many good things; and when we are in a negative state of mind, you will find many depressed things; life happy and worry, all is you of life attitude, optimistic, good luck; loss of sink, Eritrea company. When you are in adversity, may wish to change a point of view to think everything over to the good Think, because good mentality decided the fate of the! 7, people are tired, rest; heart tired, calm. Grow up, mature, this society read. Tired and sad, squat down, to their a hug. Because the world no one can sympathize with you, have mercy on you. You cry, tears is your own; you pain, no one can understand. Then you only tears to smile. 8, each people have youth,Each youth are a story, the life of the world never gets easier, I want what, wish the world all know, as has been the same; now want anything, for fear that others know, or like to lose the same. 9, the heart move, everything in the world is followed by birth, Rangrang, important thing is often the most difficult to open one's mouth, because words will reduce itsimportance; to let strangers people care about your life in the good things, the original is not easy 10, do not blame, do not laugh at who, also don't envy who. Like a person is a kind of feeling, not like a person is true. The truth is easy to explain, I feel Is unspeakable. The best travel life is that you in a strange place found a long lost touched. 11, happy life not in the bustling in, and in the peace of mind; no matter how many grievances, how uncomfortable, and ultimately to heal themselves or their own, others may got you to comfort, but never know your heart is how wanjianchuanxin. 12, ma'am, like a movie, learn to appreciate, learn to be grateful, learn tolerance, and goodness, helping others. Instead of accusing the society, as into one; and an exception is better to give than to what 13, don't envy him A sum of, don't lose your life and the life, respectively is: the former is a we experienced cannot escape in a day finally will last minute, while the latter is our persistent, we want to cherish the memory of those people and things. 14, learn to smile, learn to strong, the world you know so many people, so many people and you are, you cannot change also can't let everyone like you, so also do not want to do. Life is too short to go crazy to love to go to waste, to chase the dream to regret. 15, when temper, a blessing togo. A wounding elegant people, the key is to control their own emotions. With the mouth is the most stupid behavior. A control negative emotions than a can take a city more powerful water flow slow, language is expensive. People spent two years of time to learn to speak, but to spend a few years time to shut up. That is a kind of ability, that is a kind of wisdom. 16, life is not perfect, sometimes, growth is not a cry, not an eyeful of tears, there is no trace of emotion, there is no gleam of hope, no desire, no action, no static, there is only one kind of downward sinking feeling, sink A murky? 6? 7? 6? 7 sink? 6? 7? 6? 7 toward the bottom of the sink. 17, in some way, do not go, you will not know the other side scenery is beautiful. To you is not good, you do not mind too much, no one has an obligation to you; you learn knowledge, is you have weapons, you can start from scratch, but not unarmed; how do you treat people, does not represent how others treat you, if cannot see through this point, only inviting worry. 18, time is like a sponge in the water, as long as you are willing to squeeze, the total water is still there. Every life, after the ups and downs The best test of live, to life, survival and continuation, do not stop the struggle in the joys and sorrows of life on the road, so that different soul to bear life beat, acceptance ofsuffering. 19, indifferent to heart, calmly in table, elegant and comfortable life, do not take what is so important. The pursuit will be disappointed; to be alive, you will have trouble. Life is the most afraid of what all want to care about, but also what all grasp is not firm, without scenery, separated populations, such as not to desire, all docked in the fate of the end. Why is too rigid, the natural, to go stay not to live, let go of obsession, revel is 20, if the fate of the broken Hopes of sailing, please don't despair, the coast is still, if the fate of the withered petals of the beautiful, please do not sink, the spring is still, life will always be endless trouble, please don't helpless, because they are still alive, is still a dream, the sun still, we still. Lost, keep memories; to get, must work to; but the most important is good to cherish their own. 21, life, select the complex, is to choose the pain; choose a simple, is choose to be happy. The complex world like aSignificance of pride. Hope is the ornate palace, outside people admiring the magnificent, living in the deep knowledge of living it to pay the price. Simple world as a simple log cabin outside ridiculed shabby, the heart is willing to go live to know the joy. Suffering and joy is their own choice. 22, learn how to use a single powerful heart, let the past be the past,let the future come. Life is really the end of the end of an eagle is flying wings, life is constantly pursuit. Don't miss to regret, don't wait for old just miss. Time to return, seize every moment, again painstakingly again tired also Those struggling to fly. 23, life could not Yimapingchuan, even flat pavement, inevitably there will be a few pieces of roadblocks. Some of the rocks around the past, while others have to move it out. Just move others put the stone is very easy, because the stone from the appearance we can discern; difficult to myself to move away the heart of stone head. Leave time to spend with her, often reflect my heart, so as to remove your heart of stone. 24, everything does not have to be demanding, come to, everything does not have to care about, over the past; failing to do not frown, laugh it laugh. Results Don't demand, do to; life is a simple, calm and peaceful. Always not to choose their own path and regret, life is like a train, the scenery and then the United States will retreat, the passage of time and encounter will eventually drifting further and further away, before is always himself. 25, everyone has a weakness, weakness is true humanity. That has no weakness, a shallow person. That people think there is no weakness, mostly false. Life has shortcomings, there are shortcomings is the real life. That noone regret, or childish or numbness or Self deception. It is in tolerance of weakness and so on to accept, people live happily.Hello, everyone! I am a party member. The title of my speech is: < study and implement the party's two laws, doing practical play highway. 2015 October 18, the Central Committee of the Communist Party of China promulgated the implementation of the < the probity of the Communist Party of China self-discipline criterion > and < Chinese Communist Party discipline and punishment regulations. We Heyuan male passers-by to respond positively to the call of the Central Committee of the party, earnestly organize the study "party two regulations", truly grasp the essence and gist, and in their respective positions, to hold the bottom line of the discipline, build a strong ideological line of defense, with the courage to play, the courage to fight tough and fearless spirit, at the crucial moment well to complete the task, with practical action to test the study and implement effect Because of discipline in the * * * * * * * * * * * story. Here, let me to cast a brick to attract jade, speak about our highway. Highway line section of the road surface transformation project, last year "towards the countryseized" will be seized one of the items. To complete this arduous task, as a project management office director Comrade, keep in mind from the Communist Party membership, recognize and identify the "bottom line", strict management, and strict adherence to the quality of the project. He not only set an example, honesty and self-discipline, but also requires the management of all the members of the O.K., do not eat the construction unit one meal, do not accept the construction unit a ceremony. In this way, they didn't really dare to adhere to the principle. No comrade, constantly put on reworking an emergency meeting to Comrade Zhen to speak louder, management tube too strict. Remember in Dongguan Street, 400 meters long cement concrete surface layer, because of various reasons, the smoothness of the poor in the bottom cavity, covering film traces and car imprinting quality problems, * * * inquiries, immediately rushed to the scene to understand and verify the situation, the convening of the management office, the construction units, supervision units, construction units, construction units construction time is tight, the economic loss and other reasons to intercede ******** unmoved. He said, "now a popular word, to the discipline and rules quite in front, there are no rules Radius, you construction team not accordancewith the technical specifications, quality problems, it must be to carry out rectification. Engineering quality responsibility be weightier than Mount Tai, if we manage to this matterPavement quality quantity are placed the matter, we this time to learn two regulations have what use? Still what is the Communist Party? "Finally, in his insisted, the road after rework, to solve these problems. In the construction of the new comrades and the project all the colleagues efforts, after four months of fighting, the project the main project was finally completed and passed inspection. Thousands of miles of ice, thousands of miles Piao, this is a splendid and romantic scene. But snow for the highway, it is a disaster, a serious threat to the traffic safety. This year, a month, a century of cold wave swept from North to south, and the snow blowing to Guangdong, but also to bear the blow To * * * * the highway. In January on the evening of 23, Lianping county city temperatures dropped to minus 2 degrees, a wide range of sudden rain sleet, before and after the provincial S341 line in Jiulianshan Mountain tunnel sections of the road appeared in the snow, lead to the passing vehicles skid, traffic is blocked. In the face of the sudden natural disasters, city and countyhighway department immediately launched the emergency plan for disaster prevention. As the front line of the main force, Lianping Highway Bureau of all Party members and cadres to remember the Party member responsibility, braving the biting cold wind, the first time rushed to the scene, on the icy pavement of salt disposal. Because the temperature is too low, just melt water immediately freezes, addition to the ice work to increase the difficulty. To ensure In addition to the re organization of the depths of the traffic safety, road people braved the icy put reflective cones and warning signs, endure cold at minus 2,3 of Jiulianshan patrols until one in the morning. Just before dawn, Lianping Highway Bureau personnel on the icy road salt ice melting processing until ten o'clock, ice melting ice success, the road gradually returned to normal traffic. In the cold winter night, which people do not miss the warm bed, which people do not miss the warm home. However, our highway on the road to the owners of the masses can go home early, the night fighting to secure the avoidance of the road safety and smoothness, fulfill their responsibility. Xi General Secretary Every Party member cadre cautioned against said: blacksmith needs self hard "." two regulations ", is our own hard standard test, more exercise every party members andcadres of the fire. We should continue to strengthen the party two regulations, conscientiously in practical work, practical play road, the road for the development of the cause of Heyuan and struggle.In the industry domain report the situation of road traffic in recent years, in the province highway departments of the concern and support, our bureau management department based on the job, loyalty duty, best service, to further promote the highway management standardization, legal, scientific and information technology to improve the management level and service quality. This will be my last work is as follows: first, around the center, go all out to greet the seizure in 2015, "meet national examination" is my bureau work. As the highway management department, we focus on the work of the center to strengthen road renovation and management as the focal point, further optimize the service environment, improve service levels. Inspection, the inspection group and the Ministry of transport, the Bureau under the leadership of the ministries and agencies highly evaluated and fully affirmed. (a) increase road area remediation efforts. The programme of work, strengthen the organization and leadership. The timely。

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