高等数学复旦大学出版社习题集标准答案一
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(4)因为对于所有的正整数n,有 ,故 ,不防设 ,要使 只要 取 则当 时,恒有 故 .
20.若 ,证明 ,并举反例说明反之不一定成立.
证: ,由极限的定义知, ,当 时,恒有 .
而
,当 时,恒有 ,
由极限的定义知
但这个结论的逆不成立.如 但 不存在.
21.利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:
综上所述， 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在 处间断.
图形如下：
图1-5
34.下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：
解：
是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义 ，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点.
又，由 ，知 在 处右连续，
综上所述，函数 在[0，2)内连续.函数图形如下：
图1-2
(2)由初等函数的连续性知 在 内连续，又由
知 不存在，于是 在 处不连续.
又由
及 知 ，从而 在x=1处连续，
综上所述，函数 在 及 内连续，在 处间断.函数图形如下：
图1-3
(3)∵当x<0时，
当x=0时，
当x>0时，
17.写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:
解: 当 时, .
,
当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于 ,趋向于0,趋向于 .
,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18.对下列数列求 ,并对给定的 确定正整数 ,使对所有 ,有 :
解: , ,要使 ,只须 .取 ,则当 时,必有 .
于是：
即 即 即 .
(2)令 ，则
于是
即 即 故
即 .
(3)令 ，则
于是
即 从而 故
即 .
(4)令 ，则
于是：
即
即 .
29.当 时， 与 相比，哪个是高阶无穷小量？
解：
∴当 时， 是比 高阶的无穷小量.
30.当 时，无穷小量 与 是否同阶？是否等价？
解：
∴当 时， 是与 同阶的无穷小.
∴当 时， 是与 等价的无穷小.
当 时，必有
故 .
(5) ,要使
,
只要取 ，则
当 时，必有 ,
故 .
23.求下列极限：
(7)若 ，求a和b.
解： .
由无穷大与无穷小的关系知， .
24.解:因为
由已知 知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为 ，于是
且
解得 .
25.利用夹逼定理求下列数列的极限:
其中 为给定的正常数;
解:
而 ,当 时,
31.利用 或等价无穷小量求下列极限：
解：(1)因为当 时，
所以
(4)因为当 时， ,所以
(5)因为当 时， 所以
.
(7)因为当 时， ,所以
(8)因为当 时， 所以
.
(9)因为当 时， ,所以
(10)因为当 时， ，所以
(11)因为当 时， 所以
(12)因为当 时， 所以
(13)因为
而当 时，
故
又当x→0进， 所以
2.求下列函数的定义域
解: (1)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是 .
(2)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是 .
(4)要使函数有意义,必须
即
即 或 ,(k为整数).
也即 (k为整数).
所以函数的定义域是 ,k为整数.
图1-1
解:
从而 .
由 得定义域为 .
15.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
解: (1) 是由 复合而成.
(2) 是由 复合而成.
(3) 是由 复合而成.
(4) 是由 复合而成.
16.证明:
证: (1)由 得
解方程 得 ,
因为 ,所以 ,
所以 的反函数是
(2)由 得 ,得 ;
又由 得 ,
所以函数 的反函数为
40.设 在 上连续，且 ，证明：至少存在一点 ，使 .
证：令 ,则 在 上连续，且
若 ，则 若 ,则 ,若 ,则 ,由零点定理，至少存在一点 ,使 即 .
综上所述，至少存在一点 ，使 .
41.若 在 上连续， ,证明:在 中必有 ，使
.
证:由题设知 在 上连续，则 在 上有最大值M和最小值m，于是
且 ,使 .
取 ,则有 ,
所以函数 在定义域内是无界的.
又当 时,有
故 .
即当 时,恒有 ,所以函数 在 内单调递增.
10.判断下列函数的奇偶性:
解: (1)
是偶函数.
(2)
函数 是奇函数.
11.设 定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1) 为偶函数; (2) 为奇函数.
证: (1)设 ,则 ,
有
故 为偶函数.
习题一
1.下列函数是否相等,为什么?
解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由 知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数 的定义域是 ,而函数 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
当 时， .
为可去间断点，分别补充定义f(0)=1, ，可使函数在x=0,及 处连续.( );
为无穷间断点
(3)∵当 时， 呈振荡无极限，
∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).
(4)
∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)
35.当x=0时，下列函数无定义，试定义 的值，使其在x=0处连续:
(14)因为当 时，
故
所以
32.求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？
在 处;
在 处.
解：
因为
所以 不存在.
(2)
因为 不存在，所以 不存在.
33.研究下列函数的连续性，并画出图形：
解：(1)由初等函数的连续性知， 在（0，1），（1，2）内连续，
又
而 ， 在 处连续，
解：
∴补充定义 可使函数在x=0处连续.
∴补充定义 可使函数在x=0处连续.
∴补充定义 可使函数在x=0处连续.
∴补充定义 可使函数在x=0处连续.
36.怎样选取a,b的值，使f(x)在(－∞,+∞)上连续？
解：(1) 在 上显然连续，而
且 ,
∴当 ，即 时， 在 处连续，所以，当 时， 在 上连续.
,
由介值定理知，必有 ，使
.
由初等函数的连续性知 在 内连续，
又由
知 不存在，从而 在 处间断.综上所述，函数 在 内连续，在 处间断.图形如下：
图1-4
(4)当|x|=1时，
当|x|<1时，
当|x|>1时，
即
由初等函数的连续性知 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由
知 不存在，从而 在 处不连续.
又由
知 不存在，从而 在 处不连续.
所以数列 单调递增，由单调有界准则知， 的极限存在.
设 ,则 ，
解得 (不合题意，舍去).
所以
22.用函数极限定义证明：
证：(1) ,要使
,
只须 ,取 ，则当 时，必有
,
故 .
(2) ,要使
,
只须 ,取 ，则当 时，必有
,
故 .
(3) ,要使
,
只要取 ，则
当 时，必有 ,
故 .
(4) ,要使
,
只须 ，取 ，则
当 时, 或大于1000的整数.
, ,要使
只要 即 即可.
取 ,则当 时,有 .
当 时, 或大于108的整数.
19.根据数列极限的定义证明:
证: ,要使 ,只要 .取 ,则当n>N时,恒有 .故 .
(2) ,要使 只要 ,取 ,则当n>N时,恒有 .故 .
(3) ,要使 ,只要 ,取 ,则当n>N时,恒有 ,从而 .
解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞),当 时,有 ,当 时,有 ,
故 有 .即函数 有上界.
又因为函数 为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数 有界.
又由 知,当 且 时, ,而
当 且 时, .
故函数 在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
证: (1) ,不妨设 ,则
.
故对所有正整数n有 ,即数列 有上界.
又
显然有 ,又由 得 ,从而 即 ,
即数列 是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列 有极限.
设 ,则 ,于是 , (不合题意,舍去), .
(2)因为 ,且 ,
所以 ,即数列有界
又
由 知 与 同号，
从而可推得 与 同号，
而
故 ,即
设总费用为,则 .
13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.
解:当x能被20整除,即 时,邮资 ;
当x不能被20整除时,即 时,由题意知邮资 .
综上所述有
其中 , 分别表示不超过 , 的最大整数.
14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角 =40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
3.求函数 的定义域与值域.
解:由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当 时, 可以是不为零的任意实数,此时, 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
4.没 ,求
解: ,
5.设 ,求 .
解:
6.设 ,求 和 .
解:
7.证明: 和 互为反函数.
证:由 解得 ,
故函数 的反函数是 ,这与 是同一个函数,所以 和 互为反函数.
(2)设 则 ,
有
故 为奇函数.
12.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).
解:设年销售批数为x,则准备费为103x;
又每批有产品 件,库存数为 件,库存费为 元.
(2) 在 内显然连续.而
∴当 ，即 时， 在 处连续，因而 在 上连续.
37.试证：方程 至少有一个小于1的正根.
证：令 ，则 在[0,1]上连续，且 ,由零点定理， 使 即
即方程 有一个小于1的正根.
38.试证：方程 至少有一个不超过 的正根，其中 .
证：令 ，则 在 上连续，
且 ,
若 ，则 就是方程 的根.
若 ，则由零点定理得.
,使 即 即 ，即 是方程 的根，综上所述，方程 至少有一个不超过 的正根.
39.设 在 上连续，且 ,证明：方程 在[0，a]内至少有一根.
证：令 ,由 在 上连续知， 在 上连续，且
若 则 都是方程 的根，
若 ，则 ，由零点定理知，ห้องสมุดไป่ตู้少 ,使 ,
即 ，即 是方程 的根，
综上所述，方程 在 内至少有一根.
.
(2)记
则有
即
而
故
即 .
(3)
即
而
故 .
(4)
而
故 .
26.通过恒等变形求下列极限：
解：
而 而
(14)令 则 当 时， .
所以 (利用(13)题的结果).
(16)令 ，则
而 所以
27.利用重要极限 ，求下列极限：
解：
(6)令 ，则当 时， .
28.利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：
解：(1)令 ，则
8.求下列函数的反函数及其定义域:
解: (1)由 解得 ,
所以函数 的反函数为 .
(2)由 得 ,
所以,函数 的反函数为 .
(3)由 解得
所以,函数 的反函数为 .
(4)由 得 ,又 ,故 .
又由 得 ,
即 ,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数 的反函数为 .
9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
20.若 ,证明 ,并举反例说明反之不一定成立.
证: ,由极限的定义知, ,当 时,恒有 .
而
,当 时,恒有 ,
由极限的定义知
但这个结论的逆不成立.如 但 不存在.
21.利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:
综上所述， 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在 处间断.
图形如下：
图1-5
34.下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：
解：
是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义 ，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点.
又，由 ，知 在 处右连续，
综上所述，函数 在[0，2)内连续.函数图形如下：
图1-2
(2)由初等函数的连续性知 在 内连续，又由
知 不存在，于是 在 处不连续.
又由
及 知 ，从而 在x=1处连续，
综上所述，函数 在 及 内连续，在 处间断.函数图形如下：
图1-3
(3)∵当x<0时，
当x=0时，
当x>0时，
17.写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:
解: 当 时, .
,
当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于 ,趋向于0,趋向于 .
,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18.对下列数列求 ,并对给定的 确定正整数 ,使对所有 ,有 :
解: , ,要使 ,只须 .取 ,则当 时,必有 .
于是：
即 即 即 .
(2)令 ，则
于是
即 即 故
即 .
(3)令 ，则
于是
即 从而 故
即 .
(4)令 ，则
于是：
即
即 .
29.当 时， 与 相比，哪个是高阶无穷小量？
解：
∴当 时， 是比 高阶的无穷小量.
30.当 时，无穷小量 与 是否同阶？是否等价？
解：
∴当 时， 是与 同阶的无穷小.
∴当 时， 是与 等价的无穷小.
当 时，必有
故 .
(5) ,要使
,
只要取 ，则
当 时，必有 ,
故 .
23.求下列极限：
(7)若 ，求a和b.
解： .
由无穷大与无穷小的关系知， .
24.解:因为
由已知 知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为 ，于是
且
解得 .
25.利用夹逼定理求下列数列的极限:
其中 为给定的正常数;
解:
而 ,当 时,
31.利用 或等价无穷小量求下列极限：
解：(1)因为当 时，
所以
(4)因为当 时， ,所以
(5)因为当 时， 所以
.
(7)因为当 时， ,所以
(8)因为当 时， 所以
.
(9)因为当 时， ,所以
(10)因为当 时， ，所以
(11)因为当 时， 所以
(12)因为当 时， 所以
(13)因为
而当 时，
故
又当x→0进， 所以
2.求下列函数的定义域
解: (1)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是 .
(2)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是 .
(4)要使函数有意义,必须
即
即 或 ,(k为整数).
也即 (k为整数).
所以函数的定义域是 ,k为整数.
图1-1
解:
从而 .
由 得定义域为 .
15.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
解: (1) 是由 复合而成.
(2) 是由 复合而成.
(3) 是由 复合而成.
(4) 是由 复合而成.
16.证明:
证: (1)由 得
解方程 得 ,
因为 ,所以 ,
所以 的反函数是
(2)由 得 ,得 ;
又由 得 ,
所以函数 的反函数为
40.设 在 上连续，且 ，证明：至少存在一点 ，使 .
证：令 ,则 在 上连续，且
若 ，则 若 ,则 ,若 ,则 ,由零点定理，至少存在一点 ,使 即 .
综上所述，至少存在一点 ，使 .
41.若 在 上连续， ,证明:在 中必有 ，使
.
证:由题设知 在 上连续，则 在 上有最大值M和最小值m，于是
且 ,使 .
取 ,则有 ,
所以函数 在定义域内是无界的.
又当 时,有
故 .
即当 时,恒有 ,所以函数 在 内单调递增.
10.判断下列函数的奇偶性:
解: (1)
是偶函数.
(2)
函数 是奇函数.
11.设 定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1) 为偶函数; (2) 为奇函数.
证: (1)设 ,则 ,
有
故 为偶函数.
习题一
1.下列函数是否相等,为什么?
解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由 知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数 的定义域是 ,而函数 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
当 时， .
为可去间断点，分别补充定义f(0)=1, ，可使函数在x=0,及 处连续.( );
为无穷间断点
(3)∵当 时， 呈振荡无极限，
∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).
(4)
∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)
35.当x=0时，下列函数无定义，试定义 的值，使其在x=0处连续:
(14)因为当 时，
故
所以
32.求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？
在 处;
在 处.
解：
因为
所以 不存在.
(2)
因为 不存在，所以 不存在.
33.研究下列函数的连续性，并画出图形：
解：(1)由初等函数的连续性知， 在（0，1），（1，2）内连续，
又
而 ， 在 处连续，
解：
∴补充定义 可使函数在x=0处连续.
∴补充定义 可使函数在x=0处连续.
∴补充定义 可使函数在x=0处连续.
∴补充定义 可使函数在x=0处连续.
36.怎样选取a,b的值，使f(x)在(－∞,+∞)上连续？
解：(1) 在 上显然连续，而
且 ,
∴当 ，即 时， 在 处连续，所以，当 时， 在 上连续.
,
由介值定理知，必有 ，使
.
由初等函数的连续性知 在 内连续，
又由
知 不存在，从而 在 处间断.综上所述，函数 在 内连续，在 处间断.图形如下：
图1-4
(4)当|x|=1时，
当|x|<1时，
当|x|>1时，
即
由初等函数的连续性知 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由
知 不存在，从而 在 处不连续.
又由
知 不存在，从而 在 处不连续.
所以数列 单调递增，由单调有界准则知， 的极限存在.
设 ,则 ，
解得 (不合题意，舍去).
所以
22.用函数极限定义证明：
证：(1) ,要使
,
只须 ,取 ，则当 时，必有
,
故 .
(2) ,要使
,
只须 ,取 ，则当 时，必有
,
故 .
(3) ,要使
,
只要取 ，则
当 时，必有 ,
故 .
(4) ,要使
,
只须 ，取 ，则
当 时, 或大于1000的整数.
, ,要使
只要 即 即可.
取 ,则当 时,有 .
当 时, 或大于108的整数.
19.根据数列极限的定义证明:
证: ,要使 ,只要 .取 ,则当n>N时,恒有 .故 .
(2) ,要使 只要 ,取 ,则当n>N时,恒有 .故 .
(3) ,要使 ,只要 ,取 ,则当n>N时,恒有 ,从而 .
解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞),当 时,有 ,当 时,有 ,
故 有 .即函数 有上界.
又因为函数 为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数 有界.
又由 知,当 且 时, ,而
当 且 时, .
故函数 在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
证: (1) ,不妨设 ,则
.
故对所有正整数n有 ,即数列 有上界.
又
显然有 ,又由 得 ,从而 即 ,
即数列 是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列 有极限.
设 ,则 ,于是 , (不合题意,舍去), .
(2)因为 ,且 ,
所以 ,即数列有界
又
由 知 与 同号，
从而可推得 与 同号，
而
故 ,即
设总费用为,则 .
13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.
解:当x能被20整除,即 时,邮资 ;
当x不能被20整除时,即 时,由题意知邮资 .
综上所述有
其中 , 分别表示不超过 , 的最大整数.
14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角 =40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
3.求函数 的定义域与值域.
解:由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当 时, 可以是不为零的任意实数,此时, 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
4.没 ,求
解: ,
5.设 ,求 .
解:
6.设 ,求 和 .
解:
7.证明: 和 互为反函数.
证:由 解得 ,
故函数 的反函数是 ,这与 是同一个函数,所以 和 互为反函数.
(2)设 则 ,
有
故 为奇函数.
12.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).
解:设年销售批数为x,则准备费为103x;
又每批有产品 件,库存数为 件,库存费为 元.
(2) 在 内显然连续.而
∴当 ，即 时， 在 处连续，因而 在 上连续.
37.试证：方程 至少有一个小于1的正根.
证：令 ，则 在[0,1]上连续，且 ,由零点定理， 使 即
即方程 有一个小于1的正根.
38.试证：方程 至少有一个不超过 的正根，其中 .
证：令 ，则 在 上连续，
且 ,
若 ，则 就是方程 的根.
若 ，则由零点定理得.
,使 即 即 ，即 是方程 的根，综上所述，方程 至少有一个不超过 的正根.
39.设 在 上连续，且 ,证明：方程 在[0，a]内至少有一根.
证：令 ,由 在 上连续知， 在 上连续，且
若 则 都是方程 的根，
若 ，则 ，由零点定理知，ห้องสมุดไป่ตู้少 ,使 ,
即 ，即 是方程 的根，
综上所述，方程 在 内至少有一根.
.
(2)记
则有
即
而
故
即 .
(3)
即
而
故 .
(4)
而
故 .
26.通过恒等变形求下列极限：
解：
而 而
(14)令 则 当 时， .
所以 (利用(13)题的结果).
(16)令 ，则
而 所以
27.利用重要极限 ，求下列极限：
解：
(6)令 ，则当 时， .
28.利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：
解：(1)令 ，则
8.求下列函数的反函数及其定义域:
解: (1)由 解得 ,
所以函数 的反函数为 .
(2)由 得 ,
所以,函数 的反函数为 .
(3)由 解得
所以,函数 的反函数为 .
(4)由 得 ,又 ,故 .
又由 得 ,
即 ,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数 的反函数为 .
9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性: