高等数学上_复旦大学出版_习题2答案
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x→ 0
因 f +′(0) ≠ f −′(0) ，故函数在 x0 = 0 处不可导 .
⎧ x ⎪ 1 , (2) y = ⎨1 + e x ⎪0, ⎩
证明： f +′(0) = lim +
x →0
x ≠ 0, x = 0,
x0 = 0;
f ( x) − f (0) 1 = lim = 0, 1 + x →0 x−0 1+ e x f ( x) − f (0) 1 = lim = 1, 1 − x→ 0 x −0 1+ e x
f ′(0) = lim
f (∆x ) − f (0) f ( −∆x) − f (0) = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x f (−∆x) − f (0) = − lim = − f ′(0), ∆x → 0 −∆x
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高等数学上（复大版）习题二
故 f ′(0) = 0. 8．求下列函数在 x0 处的左、右导数，从而证明函数在 x0 处不可导. (1) y = ⎨
高等数学上（复大版）习题二
习题二
1． 设 s =
1 2 ds . gt ，求 dt t = 2 2
解：
ds ds = gt ，故 = 2g . dt t =2 dt 1 ，求 f ′( x0 ) x
0
2． (1) 设 f ( x) =
( x0 ≠ 0);
解： f ′( x0 ) = f ′( x ) x = x = −
θ 为该物体旋转的角速度 .如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻 t0 的角速度？ t 解：设此角速度值为 ω ,则 θ (t + ∆t ) − θ (t0 ) ω = lim 0 = θ ′(t0 ) . ∆t →0 ∆t
15. 设 Q = Q(T ) 表示重 1 单位的金属从 0° C 加热到 T °C 所吸收的热量，当金属从 T °C 升温到 (T + ∆T )°C 时，所需热量为 ∆Q = Q (T + ∆T ) − Q (T ), ∆Q 与 ∆T 之比称为 T 到 T + ∆T 的平均比热，试解答如下问题： ⑴ 如何定义在 T ° C 时，金属的比热；
x →1 x →1
lim f ( x) = lim+ ( ax + b) = a + b +
x →1 x →1
要使 f ( x) 在 x = 1 处连续，则有 a + b = 1,
f ( x) − f (1) x2 − 1 又 f −′(1) = lim = lim = 2, x →1− x →1− x − 1 x −1
x 在 x = 0 点处的连续性和可导性 .
解： lim 3 x = 0 = f (0) ,故函数在 x = 0 处连续.
x →0
3 2 − x −0 = lim x 3 = ∞ ,故函数在 x = 0 处不可导. x − 0 x →0
又 lim
x →0
7. 如果 f ( x) 为偶函数，且 f ′(0) 存在，证明： f ′(0) = 0. 证明：
解：当 x < 0 时， f ′( x ) = cos x , 当 x > 0 时， f ′( x ) = 1, 当 x = 0 时， f −′(0) = lim −
x→ 0
sin x − 0 = 1, x −0
f +′(0) = lim+
x→ 0
x −0 = 1, x −0
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高等数学上（复大版）习题二
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高等数学上（复大版）习题二
f ( x0 + h ) − f ( x0 − h ) (3) lim = A. h →0 h
解：
lim
h →0
f ( x0 + h ) − f ( x0 − h ) ⎡ f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x0 − h) − f ( x0 ) ⎤ = lim ⎢ − ⎥ h →0 h h h ⎣ ⎦ f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 − h) − f ( x0 ) = lim + lim h→ 0 h→ 0 h −h = f ′( x0 ) + f ′( x0 ) = 2 f ′( x0 )
为(2， 4)，(4，16) 即为切点 . 故切线方程为： y − 4 = 4( x − 2),
⎧ y − 8 = 2 x( x − 3) 2 ⎩y = x
y − 16 = 8( x − 4).
4．下列各题中均假定 f ′( x0 ) 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么 .
f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) = A; ∆x → 0 ∆x f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) 解：∵ lim = − lim = − f ′( x0 ) ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x −∆x
f ( x) − f (1) x2 − 1 = lim = 2, x →1− x − 1 x −1
f −′(1) = lim −
x →1
因 f +′(1) ≠ f −′(1) ，故函数在 x0 = 1 处不可导 . 9．已知 f ( x) = ⎨
⎧sin x, ⎩ x,
x < 0, 求 f ′( x ) . x ≥ 0,
12. 证明：双曲线 xy = a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2 . 证明：在双曲线上任取一点 M ( x0 , y0 ), 则y=
a2 a2 , y′ = − 2 , y′ x x
x=0
=−
a2 ， 2 x0
a2 则过 M 点的切线方程为： y − y0 = − 2 ( x − x0 ) x0
⎧sin x, 3 ⎩x ,
x →0
x ≥ 0, x < 0,
x0 = 0;
证明： f +′(0) = lim +
f ( x) − f (0) sin x = lim = 1, + x → 0 x−0 x
f ( x) − f (0) x3 = lim = 0, x→ 0− x x −0
f −′(0) = lim−
解： v( t) = h′( t) = 10 − gt .
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高等数学上（复大版）习题二
⑶ 物体何时到达最高 . 解：令 h′(t ) = 10 − gt = 0 ,得 t =
10 (s) , g
Байду номын сангаас
即物体到达最高点的时刻为 t =
10 s. g
14. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔 [0,t]内，转过角度 θ ，从而转角 θ 是 t 的函数： θ = θ (t ) .如果旋转是匀速 的，那么称 ω =
(1) lim 故 A = − f ′( x0 ) (2) f ( x0 ) = 0, lim
x → x0
f ( x) = A; x0 − x
解： lim
x → x0
f ( x) f ( x) = − lim = − f ′( x0 ) x → x 0 x − x x0 − x 0
故 A = − f ′( x0 )
x →0
又 f −′(0) = lim −
f ( x) − f (0) − sin x = lim = −1, − x→ 0 x→ 0 x −0 x f ( x) − f (0) sin x f +′(0) = lim+ = lim = 1, + x→ 0 x→ 0 x −0 x
f −′(0) ≠ f +′(0) ，故此函数在 x = 0 处不可导.
令 y =0⇒ x=
x02 y0 x0 a 2 + x = + x0 = 2 x0 0 a2 a2
得切线与 x 轴的交点为 (2 x0 , 0) ， 令x=0⇒ y=
a2 x y + y0 = 0 0 + y0 = 2 y0 x0 x0
得切线与 y 轴的交点为 (0, 2 y0 ) ， 故
S△ =
1 2 x0 2 y0 = 2 x0 y0 = 2 a2 . 2
f +′(1) = lim +
x →1
ax + b − 1 ax − a = lim = a, + x →1 x −1 x −1
要使 f ( x) 在 x = 1 处可导，则必须 f −′(1) = f +′(1) ， 即 a = 2. 故当 a = 2, b = −1 时， f ( x) 在 x = 1 处连续且可导 . 11. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性 : (1) y = sin x , x = 0; 解：因为 lim y = 0 = y x =0, 所以此函数在 x = 0 处连续.
解： ν = lim ⑵
Q (T + ∆T ) − Q (T ) = Q′(T ) ∆T → 0 ∆T
故 f ′(0) = 1.
综上所述知 f ′( x ) = ⎨
⎧cos x , ⎩1,
x < 0, x ≥ 0. x ≤ 1, x > 1.
10．设函数 f ( x) = ⎨
⎧x2 , ⎩ ax + b,
为了使函数 f ( x) 在 x = 1 点处连续且可导， a, b 应取什么值？ 解：因 lim f ( x) = lim x 2 = 1 = f (1) − −
1 ⎧ 2 ⎪ x sin , (2) y = ⎨ x ⎪ 0, ⎩
解：因为 lim x 2 sin
x ≠ 0, x = 0,
x = 0;
1 = 0 = y(0), 故函数在 x = 0 处连续. x →0 x 1 x 2 sin f ( x) − f (0) x =0, 又 y ′(0) = lim = lim x→0 x → 0 x −0 x 故函数在 x = 0 处可导 .
故 A = 2 f ′( x0 ). 5．求下列函数的导数 : (1) y = 解： y ′ =
x;
1 2 x
(2) y =
1
3
x2
;
解： y ′ = −
2 −5 x 3 3
;
1 6
(3) y =
x2 ⋅ 3 x2 x5
2 5 2+ − 3 2
解： y = x
=x
y′ =
1 −5 x 6. 6
3
6．讨论函数 y =
x →1 x →1
又 f −′ (1) = lim −
f ( x) − f (1) x −1 = lim =1 − x→1 x→1 x − 1 x −1 f ( x) − f (1) 2 − x −1 f +′ (1) = lim = lim = −1 + + x →1 x →1 x −1 x −1 f −′ (1) ≠ f +′ (1) ，故函数在 x=1 处不可导.
2
3. 试求过点 (3，8)且与曲线 y = x 相切的直线方程 . 解 ： 曲 线 上 任 意 一 点 ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 k = 2 x . 因 此 过 (3 ， 8) 且 与 曲 线 相 切 的 直 线 方 程 为 ：
y − 8 = 2 x( x − 3) ，且与曲线的交点可由方程组解得 ⎨
f −′(0) = lim−
x→ 0
因 f +′(0) ≠ f −′(0) ，故函数在 x0 = 0 处不可导 . (3) y = ⎨
⎧ ⎪ x, 2 ⎪ ⎩x ,
x ≥ 1, x < 1,
x0 = 1.
证明： f +′(1) = lim +
x →1
f ( x) − f (1) x −1 1 = lim = , + x → 1 x −1 x −1 2
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高等数学上（复大版）习题二
(3) y = ⎨ 解：因为
x ≤ 1, ⎧ x, x = 1. ⎩2 − x, x > 1,
lim f ( x) = lim(2 − x) = 1 + +
x →1 x →1 x →1
lim f ( x) = lim x =1 − −
x →1
lim f ( x) = lim− f ( x) = f (1) = 1 ,故函数在 x=1 处连续. +
1 . x2 0
(2) 设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2) ⋅⋯ ⋅ ( x − n), 求 f ′(0).
解：
f ′(0) = lim
f ( x) − f (0) = lim( x − 1)( x − 2) ⋅⋯ ⋅ ( x − n ) x→ 0 x→ 0 x −0 n = ( −1) n !
13. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间 t 的关系式为： h(t ) = 10t − ⑴ 物体从 t=1(s) 到 t=1.2(s) 的平均速度：
1 2 gt (m), 求： 2
h(1.2) − h(1) 解： v = = 1.2 − 1
⑵ 速度函数 v(t)；
12 −
1 1 g × 1.44 − 10 + g 2 2 = − 0.78 (m ⋅ s −1 ) 0.2
因 f +′(0) ≠ f −′(0) ，故函数在 x0 = 0 处不可导 .
⎧ x ⎪ 1 , (2) y = ⎨1 + e x ⎪0, ⎩
证明： f +′(0) = lim +
x →0
x ≠ 0, x = 0,
x0 = 0;
f ( x) − f (0) 1 = lim = 0, 1 + x →0 x−0 1+ e x f ( x) − f (0) 1 = lim = 1, 1 − x→ 0 x −0 1+ e x
f ′(0) = lim
f (∆x ) − f (0) f ( −∆x) − f (0) = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x f (−∆x) − f (0) = − lim = − f ′(0), ∆x → 0 −∆x
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高等数学上（复大版）习题二
故 f ′(0) = 0. 8．求下列函数在 x0 处的左、右导数，从而证明函数在 x0 处不可导. (1) y = ⎨
高等数学上（复大版）习题二
习题二
1． 设 s =
1 2 ds . gt ，求 dt t = 2 2
解：
ds ds = gt ，故 = 2g . dt t =2 dt 1 ，求 f ′( x0 ) x
0
2． (1) 设 f ( x) =
( x0 ≠ 0);
解： f ′( x0 ) = f ′( x ) x = x = −
θ 为该物体旋转的角速度 .如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻 t0 的角速度？ t 解：设此角速度值为 ω ,则 θ (t + ∆t ) − θ (t0 ) ω = lim 0 = θ ′(t0 ) . ∆t →0 ∆t
15. 设 Q = Q(T ) 表示重 1 单位的金属从 0° C 加热到 T °C 所吸收的热量，当金属从 T °C 升温到 (T + ∆T )°C 时，所需热量为 ∆Q = Q (T + ∆T ) − Q (T ), ∆Q 与 ∆T 之比称为 T 到 T + ∆T 的平均比热，试解答如下问题： ⑴ 如何定义在 T ° C 时，金属的比热；
x →1 x →1
lim f ( x) = lim+ ( ax + b) = a + b +
x →1 x →1
要使 f ( x) 在 x = 1 处连续，则有 a + b = 1,
f ( x) − f (1) x2 − 1 又 f −′(1) = lim = lim = 2, x →1− x →1− x − 1 x −1
x 在 x = 0 点处的连续性和可导性 .
解： lim 3 x = 0 = f (0) ,故函数在 x = 0 处连续.
x →0
3 2 − x −0 = lim x 3 = ∞ ,故函数在 x = 0 处不可导. x − 0 x →0
又 lim
x →0
7. 如果 f ( x) 为偶函数，且 f ′(0) 存在，证明： f ′(0) = 0. 证明：
解：当 x < 0 时， f ′( x ) = cos x , 当 x > 0 时， f ′( x ) = 1, 当 x = 0 时， f −′(0) = lim −
x→ 0
sin x − 0 = 1, x −0
f +′(0) = lim+
x→ 0
x −0 = 1, x −0
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高等数学上（复大版）习题二
f ( x0 + h ) − f ( x0 − h ) (3) lim = A. h →0 h
解：
lim
h →0
f ( x0 + h ) − f ( x0 − h ) ⎡ f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x0 − h) − f ( x0 ) ⎤ = lim ⎢ − ⎥ h →0 h h h ⎣ ⎦ f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 − h) − f ( x0 ) = lim + lim h→ 0 h→ 0 h −h = f ′( x0 ) + f ′( x0 ) = 2 f ′( x0 )
为(2， 4)，(4，16) 即为切点 . 故切线方程为： y − 4 = 4( x − 2),
⎧ y − 8 = 2 x( x − 3) 2 ⎩y = x
y − 16 = 8( x − 4).
4．下列各题中均假定 f ′( x0 ) 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么 .
f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) = A; ∆x → 0 ∆x f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) 解：∵ lim = − lim = − f ′( x0 ) ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x −∆x
f ( x) − f (1) x2 − 1 = lim = 2, x →1− x − 1 x −1
f −′(1) = lim −
x →1
因 f +′(1) ≠ f −′(1) ，故函数在 x0 = 1 处不可导 . 9．已知 f ( x) = ⎨
⎧sin x, ⎩ x,
x < 0, 求 f ′( x ) . x ≥ 0,
12. 证明：双曲线 xy = a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2 . 证明：在双曲线上任取一点 M ( x0 , y0 ), 则y=
a2 a2 , y′ = − 2 , y′ x x
x=0
=−
a2 ， 2 x0
a2 则过 M 点的切线方程为： y − y0 = − 2 ( x − x0 ) x0
⎧sin x, 3 ⎩x ,
x →0
x ≥ 0, x < 0,
x0 = 0;
证明： f +′(0) = lim +
f ( x) − f (0) sin x = lim = 1, + x → 0 x−0 x
f ( x) − f (0) x3 = lim = 0, x→ 0− x x −0
f −′(0) = lim−
解： v( t) = h′( t) = 10 − gt .
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高等数学上（复大版）习题二
⑶ 物体何时到达最高 . 解：令 h′(t ) = 10 − gt = 0 ,得 t =
10 (s) , g
Байду номын сангаас
即物体到达最高点的时刻为 t =
10 s. g
14. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔 [0,t]内，转过角度 θ ，从而转角 θ 是 t 的函数： θ = θ (t ) .如果旋转是匀速 的，那么称 ω =
(1) lim 故 A = − f ′( x0 ) (2) f ( x0 ) = 0, lim
x → x0
f ( x) = A; x0 − x
解： lim
x → x0
f ( x) f ( x) = − lim = − f ′( x0 ) x → x 0 x − x x0 − x 0
故 A = − f ′( x0 )
x →0
又 f −′(0) = lim −
f ( x) − f (0) − sin x = lim = −1, − x→ 0 x→ 0 x −0 x f ( x) − f (0) sin x f +′(0) = lim+ = lim = 1, + x→ 0 x→ 0 x −0 x
f −′(0) ≠ f +′(0) ，故此函数在 x = 0 处不可导.
令 y =0⇒ x=
x02 y0 x0 a 2 + x = + x0 = 2 x0 0 a2 a2
得切线与 x 轴的交点为 (2 x0 , 0) ， 令x=0⇒ y=
a2 x y + y0 = 0 0 + y0 = 2 y0 x0 x0
得切线与 y 轴的交点为 (0, 2 y0 ) ， 故
S△ =
1 2 x0 2 y0 = 2 x0 y0 = 2 a2 . 2
f +′(1) = lim +
x →1
ax + b − 1 ax − a = lim = a, + x →1 x −1 x −1
要使 f ( x) 在 x = 1 处可导，则必须 f −′(1) = f +′(1) ， 即 a = 2. 故当 a = 2, b = −1 时， f ( x) 在 x = 1 处连续且可导 . 11. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性 : (1) y = sin x , x = 0; 解：因为 lim y = 0 = y x =0, 所以此函数在 x = 0 处连续.
解： ν = lim ⑵
Q (T + ∆T ) − Q (T ) = Q′(T ) ∆T → 0 ∆T
故 f ′(0) = 1.
综上所述知 f ′( x ) = ⎨
⎧cos x , ⎩1,
x < 0, x ≥ 0. x ≤ 1, x > 1.
10．设函数 f ( x) = ⎨
⎧x2 , ⎩ ax + b,
为了使函数 f ( x) 在 x = 1 点处连续且可导， a, b 应取什么值？ 解：因 lim f ( x) = lim x 2 = 1 = f (1) − −
1 ⎧ 2 ⎪ x sin , (2) y = ⎨ x ⎪ 0, ⎩
解：因为 lim x 2 sin
x ≠ 0, x = 0,
x = 0;
1 = 0 = y(0), 故函数在 x = 0 处连续. x →0 x 1 x 2 sin f ( x) − f (0) x =0, 又 y ′(0) = lim = lim x→0 x → 0 x −0 x 故函数在 x = 0 处可导 .
故 A = 2 f ′( x0 ). 5．求下列函数的导数 : (1) y = 解： y ′ =
x;
1 2 x
(2) y =
1
3
x2
;
解： y ′ = −
2 −5 x 3 3
;
1 6
(3) y =
x2 ⋅ 3 x2 x5
2 5 2+ − 3 2
解： y = x
=x
y′ =
1 −5 x 6. 6
3
6．讨论函数 y =
x →1 x →1
又 f −′ (1) = lim −
f ( x) − f (1) x −1 = lim =1 − x→1 x→1 x − 1 x −1 f ( x) − f (1) 2 − x −1 f +′ (1) = lim = lim = −1 + + x →1 x →1 x −1 x −1 f −′ (1) ≠ f +′ (1) ，故函数在 x=1 处不可导.
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3. 试求过点 (3，8)且与曲线 y = x 相切的直线方程 . 解 ： 曲 线 上 任 意 一 点 ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 k = 2 x . 因 此 过 (3 ， 8) 且 与 曲 线 相 切 的 直 线 方 程 为 ：
y − 8 = 2 x( x − 3) ，且与曲线的交点可由方程组解得 ⎨
f −′(0) = lim−
x→ 0
因 f +′(0) ≠ f −′(0) ，故函数在 x0 = 0 处不可导 . (3) y = ⎨
⎧ ⎪ x, 2 ⎪ ⎩x ,
x ≥ 1, x < 1,
x0 = 1.
证明： f +′(1) = lim +
x →1
f ( x) − f (1) x −1 1 = lim = , + x → 1 x −1 x −1 2
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高等数学上（复大版）习题二
(3) y = ⎨ 解：因为
x ≤ 1, ⎧ x, x = 1. ⎩2 − x, x > 1,
lim f ( x) = lim(2 − x) = 1 + +
x →1 x →1 x →1
lim f ( x) = lim x =1 − −
x →1
lim f ( x) = lim− f ( x) = f (1) = 1 ,故函数在 x=1 处连续. +
1 . x2 0
(2) 设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2) ⋅⋯ ⋅ ( x − n), 求 f ′(0).
解：
f ′(0) = lim
f ( x) − f (0) = lim( x − 1)( x − 2) ⋅⋯ ⋅ ( x − n ) x→ 0 x→ 0 x −0 n = ( −1) n !
13. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间 t 的关系式为： h(t ) = 10t − ⑴ 物体从 t=1(s) 到 t=1.2(s) 的平均速度：
1 2 gt (m), 求： 2
h(1.2) − h(1) 解： v = = 1.2 − 1
⑵ 速度函数 v(t)；
12 −
1 1 g × 1.44 − 10 + g 2 2 = − 0.78 (m ⋅ s −1 ) 0.2