高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)

第十章 多元函数积分学（Ⅰ）

一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。

第一节 二重积分

教学目的：

1、熟悉二重积分的概念；

2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理；

3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法；

4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点：

1、二重积分的性质和几何意义；

2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点：

1、二重积分的计算；

2、二重积分计算中的定限问题 教学容：

一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积

设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.

首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个∆σ i 中任取一点(ξ i , η

i ),

以f (ξ i , η i )为高而底为∆σ i 的平顶柱体的体积为

f (ξ i , η i ) ∆σi (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).

这个平顶柱体体积之和

i i i n

i f V σηξ∆≈=∑),(1

.

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即

i i i n

i f V σηξλ∆==→∑),(lim 1

0.

其中λ是个小区域的直径中的最大值.

2. 平面薄片的质量.

设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D , 它在点(x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 这里ρ(x , y )>0且在D 上连续. 现在要计算该薄片的质量M .

用一组曲线网把D 分成n 个小区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n . 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:

ρ(ξ i , η i )∆σ i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:

i i i n

i M σηξρ∆≈=∑),(1

.

将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量

i i i n

i M σηξρλ∆==→∑),(lim 1

0.

其中λ是个小区域的直径中的最大值.

定义 设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域

∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .

其中∆σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个∆σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和

i i i n

i f σηξ∆=∑),(1

.

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作

σd y x f D

⎰⎰),(, 即

i i i n

i D

f d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(1

0. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素:

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域∆σi 的边长为∆x i 和∆y i , 则∆σi =∆x i ∆y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作

dxdy y x f D

⎰⎰),(

其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.

二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的.

二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.

二、二重积分的性质

性质1

σσd y x f k d y x kf D

D

⎰⎰⎰⎰=),(),(.

性质2 设c 1、c 2为常数, 则

σσσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c D

D

D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),()],(),([2121.

性质3 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2, 则

σσσd y x f d y x f d y x f D D D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2

1

),(),(),(.

性质4

σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰D

D

d d 1(σ为D 的面积).

性质5 如果在D 上, f (x , y )≤g (x , y ), 则有不等式

σσd y x g d y x f D

D

⎰⎰⎰⎰≤),(),(.

性质6 σσd y x f d y x f D

D

⎰⎰⎰⎰≤|),(||),(|

.

性质7(二重积分的中值定理) 设函数f (x , y )在闭区域D 上连续, σ 为D 的面积, 则在D 上至少存在一点(ξ, η)使得

σηξσ),(),(f d y x f D

=⎰⎰.

三、 二重积分的计算法

X --型区域: D : ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b . Y --型区域: D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d . 混合型区域:

设f (x , y )≥0, D ={(x , y )| ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b }. 此时二重积分

σd y x f D

⎰⎰),(在几何上表示以曲面z =f (x , y )为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积.

对于x 0∈[a , b ], 曲顶柱体在x =x 0的截面面积为以区间[ϕ1(x 0), ϕ2(x 0)]为底、以曲线z =f (x 0, y )为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为

⎰

=)

()

(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ.

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为

⎰=b

a

dx x A V )(dx dy y x f b a x x ⎰⎰

=]),([)

()

(21ϕϕ.

即 V =dx dy y x f d y x f b a x x D

⎰⎰

⎰⎰

=]),([),()

()

(21ϕϕσ.

可记为