13级高等数2期末试卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )A.-1+IB.-1-iC.1+iD.1-i3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-194.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l5.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.-4B.-3C.-2D.-16.执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( )A.1+12+13+…+110 B.1+12!+13!+…+110! C.1+12+13+…+111D.1+12!+13!+…+111!7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c9.已知a>0,x,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.210.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=011.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16xD.y 2=2x 或y 2=16x12.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1-√22,12)C.(1-√22,13]D.[13,12)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14.从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= .15.设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 16.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC 面积的最大值.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点,AA 1=AC=CB=√22AB. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD; (Ⅱ)求二面角D-A 1C-E 的正弦值.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.20.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,不选、多选均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D,E,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost ,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ca≤13; (Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 化简得M={x|-1<x<3},所以M ∩N={0,1,2},故选A.2.A 由题意得z=2i 1-i =2i ·(1+i)2=-1+i,故选A.3.C 由已知条件及S 3=a 1+a 2+a 3得a 3=9a 1,设数列{a n }的公比为q,则q 2=9. 所以a 5=9=a 1·q 4=81a 1,得a 1=19,故选C.4.D 若α∥β,则m ∥n,这与m 、n 为异面直线矛盾,所以A 不正确.将已知条件转化到正方体中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B 、C.故选D.评析 本题考查了线面的位置关系,考查了空间想象能力,本题利用排除法求解效果比较好.5.D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为T r+1=C 5r ·x r ,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为C 52,当r=1时,x 2的系数为C 51·a,所以C 52+C 51·a=5,a=-1,故选D.6.B 由框图知循环情况如下:T=1,S=1,k=2; T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4; T=14!,S=1+12!+13!+14!,k=5;…;T=110!,S=1+12!+13!+…+110!,k=11>10,输出S,故选B. 7.A 设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O 、A 、B 、C 为顶点的四面体补成一正方体后,由于OA ⊥BC,所以该几何体以zOx 平面为投影面的正视图为A.8.D 由对数运算法则得a=log 36=1+log 32,b=1+log 52,c=1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a>b>c,故选D.9.B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC),由{x =1,y =a(x -3)得A(1,-2a), 当直线2x+y-z=0过点A 时,z=2x+y 取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故选B.10.C 由三次函数值域为R 知f(x)=0有解,所以A 项正确;因为y=x 3的图象为中心对称图形,而f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可以由y=x 3的图象平移得到,故B 项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0有两个不等实根x 1,x 2(x 1<x 2), f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),则f(x)在(-∞,x 1)上为增函数,在(x 1,x 2)上为减函数,在(x 2,+∞)上为增函数,故C 项错误;D 项正确.故选C.评析 本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数极值与单调性. 11.C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5-p 2,√2p (5-p 2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5-p2)),∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5-p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了综合解题能力.建立关于p 的方程是求解的关键.12.B (1)当直线y=ax+b 与AB 、BC 相交时(如图1),由{y =ax +b,x +y =1得y E =a+ba+1,又易知x D =-ba,∴|BD|=1+ba,由S △DBE =12×a+b a×a+b a+1=12得b=√1+1a+1∈(0,12).图1(2)当直线y=ax+b 与AC 、BC 相交时(如图2),由S △FCG =12(x G -x F )·|CM|=12得b=1-√22√1-a 2∈(1-√22,1)(∵0<a<1),图2∵对于任意的a>0恒成立, ∴b∈(0,12)∩(1-√22,1),即b ∈(1-√22,12).故选B.二、填空题 13.答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22-12×22=2. 解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.14.答案 8解析 因为5=1+4=2+3,所以2C n2=114,即n(n-1)=56,解得n=8或n=-7(舍).15.答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,易知cos θ<0, ∴cos θ=-310√10,sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105. 16.答案 -49 解析 由S n =na 1+n(n -1)2d 得{10a 1+45d =0,15a 1+105d =25,解得a 1=-3,d=23,则S n =-3n+n(n -1)2·23=13(n 2-10n),所以nS n =13(n 3-10n 2),令f(x)=13(x 3-10x 2),则 f '(x)=x 2-203x=x (x -203),当x ∈(1,203)时, f(x)递减, 当x ∈(203,+∞)时, f(x)递增,又6<203<7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nS n 的最小值为-49.评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n 的取值范围. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C ·sin B.① 又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C ∈(0,π)得sin B=cos B. 又B ∈(0,π),所以B=π4.(Ⅱ)△ABC 的面积S=12acsin B=√24ac. 由已知及余弦定理得4=a 2+c 2-2accos π4.又a 2+c 2≥2ac,故ac ≤2-√2,当且仅当a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为√2+1.18.解析 (Ⅰ)连结AC 1交A 1C 于点F,则F 为AC 1中点. 又D 是AB 中点,连结DF,则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD,所以BC 1∥平面A 1CD. (Ⅱ)由AC=CB=√22AB 得,AC ⊥BC.以C 为坐标原点,CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A 1(2,0,2),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(2,0,2). 设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则{n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0,即{x 1+y 1=0,2x 1+2z 1=0. 可取n =(1,-1,-1).同理,设m 是平面A 1CE 的法向量,则{m ·CE ⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0. 可取m =(2,1,-2).从而cos<n,m >=n ·m |n||m|=√33,故sin<n,m >=√63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为√63.评析 本题考查了线面平行的判定和性质,考查二面角的计算.考查了空间想象能力.正确求出平面的法向量是解题的关键.19.解析 (Ⅰ)当X ∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X ∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T={800X -39 000,100≤x <130,65 000,130≤X ≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(Ⅲ)依题意可得T 的分布列为T45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.20.解析 (Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,y 2-y 1x 2-x 1=-1,由此可得b 2(x 2+x 1)a 2(y 2+y 1)=-y 2-y1x 2-x 1=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 0x 0=12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(√3,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为x 26+y 23=1. (Ⅱ)由{x +y -√3=0,x 26+y 23=1解得{x =4√33,y =-√33,或{x =0,y =√3. 因此|AB|=4√63. 由题意可设直线CD 的方程为y=x+n (-5√33<n <√3),设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由{y =x +n,x 26+y 23=1得3x 2+4nx+2n 2-6=0. 于是x 3,4=-2n±√2(9-n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD|=√2|x 4-x 3|=43√9-n 2.由已知,四边形ACBD 的面积S=12|CD|·|AB|=8√69√9-n 2. 当n=0时,S 取得最大值,最大值为8√63. 所以四边形ACBD 面积的最大值为8√63.评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了解析几何中的中点问题和最值问题,计算量大,综合性较强.应充分重视方程思想和函数思想在解题中的作用.21.解析 (Ⅰ)f '(x) =e x -1x+m .由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x -ln(x+1),定义域为(-1,+∞), f '(x)=e x -1x+1.函数f '(x)=e x -1x+1在(-1,+∞)单调递增,且f '(0)=0,因此当x ∈(-1,0)时, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)当m ≤2,x ∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0.当m=2时,函数f '(x)=e x -1x+2在(-2,+∞)单调递增.又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x 0,且x 0∈(-1,0).当x ∈(-2,x 0)时, f '(x)<0;当x ∈(x 0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x 0时, f(x)取得最小值. 由f '(x 0)=0得e x 0=1x0+2,ln(x 0+2)=-x 0, 故f(x)≥f(x 0)=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0. 综上,当m ≤2时, f(x)>0.评析 本题考查了函数的极值、单调性,考查了构造函数证明不等式;考查了函数与方程思想,转化与化归的思想,对运算能力要求很高.22.解析 (Ⅰ)因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DCEA ,故△CDB ∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB ·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB ·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα (0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.解析 (Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca ≤13.(Ⅱ)因为a 2b +b ≥2a,b 2c +c ≥2b,c 2a +a ≥2c,故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c.所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1.。
2013年高考真题新课标Ⅱ数学(理)卷文档版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=（）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1 （6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B）1+ + +…+（C）1+ + +…+（D ）1+ + +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C)(D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。
10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。
得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。
14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。
2013年考研数学真题及参考答案(数学二)
T T
（Ⅱ）若 , 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 y2 .
2 2
3
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解与评注
一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． ⑴ 应选（C）. 【分析】本题考查无穷小比较的定义．利用已知条件求出 lim
dx dy
y 0
.
⑾ 设封闭曲线 L 的极坐标方程方程为 r cos 3 ( 是 .
6
6
) ，则 L 所围平面图形的面积
⑿ 曲线
x arctan t ,
2 y ln 1 t 3x
上对应于 t 1 点处的法线方程为
.
⒀ 已知 y1 e
xe 2 x ， y2 e x xe 2 x ， y3 xe 2 x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程
二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． ⑼ lim(2
x 0
ln(1 x) 1 )x x
.
⑽ 设函数 f ( x)
x
1
1 et dt ，则 y f ( x) 的反函数 x f 1 ( y ) 在 y 0 处的导数
1
e
e
f ( x)dx
又
e
1
1 1 dx dx , 1 e ( x 1) x ln 1 x
高数(二)期末复习题
1 0
dρ
1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
(C)
π
2
0
dθ
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(B)
2π 0
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(D)
π
2
0
dθ
1 0dρFra bibliotek1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
6. 设 L 是 xoy 平面上的有向曲线, 下列曲线积分中, ( ) 是与路径无关的
(A) L 3yx2 dx + x3 dy (C) L 2x y dx − x2 dy
高数(二)期末复习题
只是把高数(二)期末复习题单独拿出来
作者： sikouhjw、xajzh 组织： 临时组织起来的重排小组 时间： May 29, 2019 版本： 1.00
“不论一个人的数学水平有多高, 只要对数学拥有一颗真诚的心, 他就在自己的心灵上得到了升华。”—SCIbird
目录
1 声明
7. 设 Σ 是上半圆锥面 z = x2 + y2(0
z
1)
,
则曲面积分
∬
Σ
x2 + y2
dS =
8. 级数
∞ n=1
1 n(n+1)
−
1 2n
的和为
三、综合题( 8 小题, 共 52 分)
1.
求方程
dy dx
=
xy 1+x2
高数(2-2)历年期末试题参考答案
2006—2007学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ； （B ）必有→→→→===0c b a ； （C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ； （D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ； （B ）22； （C ）22； （D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ； （B ）632=-+z y x ； （C ）632=++z y x ； （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛； （B ）发散；（C ）绝对收敛； （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面； （B ）平行于z 轴，但不通过z 轴； （C ）垂直于z 轴 ； （D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1， 当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛， 故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-， 最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解 令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
2013-2014年高数2试卷A考试参考答案及评分标准_28849
( A卷)
适用专业年级：理工科类2013级考试时间:120分钟
命题人：肖海青
一、选择题（每题4Байду номын сангаас，共20分）
1、B；2、C；3、D；4、C；5、A
二、填空题（每题4分，共20分）
1、 ；2、 ；3、 ；
4、 ；5、 （或者 ）
三、计算题(每题7分，共42分)
1、 （3分）
1、解：两曲面投影区域为： （2分）
（9分）
2、解： 约束条件为 ，
（3分）
（6分）
，因为只有唯一驻点，此点即为 的最大点，最大值为54，即甲原料购进6吨，乙原料购进9吨，可使企业的效用达到最大值5400元（9分）
第1页共1页
（7分）
2、由对称性.
（7分）
3、在直线上取点 ，与已知点 构成向量 ,
直线的方向向量为 ，取 （5分）
所以平面方程为 即
4、取 ，逆时针方向，
=
= =
5、半球面和锥面在 面的投影区域为 （2分）
（4分）
= （7分）
6、 （2分）当 时，级数发散，收敛域为 （4分）
， （7分）
四、应用题（共18分）
2013新课标全国2卷高考理科数学试题、解析与分析
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N = （ ） （A ）｛0,1，2｝ （B ）｛－1,0，1,2｝（C ）｛－1,0，2,3｝ （D ）｛0,1，2,3｝ 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ,所以M N {}2,1,0=，选A.2、设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1【答案】A 【解析】i i i i i i i z +-=+-+=-=1)1)(1()1(212，所以选A. 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则1a ＝（ ）（A ） 31（B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α， l ⊄β，则（ ）（A ） α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 【答案】D5、已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数是5，则a ＝（ ） （A ） －4 （B ） －3 （C ）－2 （D ）－1 【答案】D6、执行右面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的S =（ ）【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，依此类推，选B.7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.8、设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）（A ） a b c >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）C b a >>【答案】D9、已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ， 若23z x y =-＋y 的最小值是1，则a ＝（ ）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）210、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。
成人高等学历教育——高等数学期末模拟试卷A卷、B卷、C卷
成人高等学历教育年（第二学期）课程期末考试试卷A 卷《高等数学二》一、 选择题（每题2分，共20分）1．下列变量在给定的变化过程中，为无穷小量的是（ ）A ．)0(1→+-x e x B.)0(2→x x xC ．)(+∞→x e x D. xarcsinx(x →0)2．3)1223(lim +-∞→n n n 等于（ ） A ．23 B.81 C.827D.493．已知y=sinx,则y(10)=( )A. sinxB. cosxC. -sinxD. -cosx4．下列函数中导数为x 2sin 21的是（ ） A ．x 2sin 41 B.x 2cos 41C.x 2cos 41-D.为任意常数）C (2cos 41C x +- 5．设函数f(x)在区间（a,b ）上恒有0)(,0)(///<>x f x f ，则曲线y=f(x)在（a,b ）上（ ）A ．单调上升，凹 B.单调上升，凸 C.单调下降，凹 D.单调下降，凸学校 专业 批次/层次 姓名 学号 ___座位号__________6．函数y=x 2-x 当x=10，x ∆＝0.1时的增量y ∆与微分dy 分别是（ ） A.1.91 ,1.8 B.1.9 ,1.91 C.1.91 ,1.9 D.-1.91 ,-1.9 7．设⎰=+=)(,sec )(x f C x dx x f 则（ ）A ．x tanB 。
x 2tan C 。
x x tan sec ⋅ D 。
x x 2tan sec ⋅8．=-⎰dx xx 621（ ）A ．C x +3arcsin B 。
C x +3arcsin 31C ．C x +3arcsin 3 D 。
C x +-6129．=-=+⎰a x dxa则,1)1(02（ ）A ．－1B 。
21 C 。
－21D 。
1 10．设=∂∂=xzy z z x 则,ln （ ） A ．z z x + B 。
zx x + C 。
高数2 期末试题
汕头大学09-10学年春季学期《高等数学II 》期末考试试卷A 参考答案及评分标准开课单位 数学系任课老师、评卷人 林小苹 谢长珍 任玉杰 熊成继一、基本计算题（本大题共有4小题，每小题7分，共28分）。
1、计算对弧长的曲线积分2Lxy zds ⎰，其中L 是点(1,0,1)到点(0,3,6)的直线段。
解：曲线的参数方程为1,3,15,01x t y t z t t =-==+≤≤。
（2分）于是ds ==，代入得 （2分）1220(1)(15)L xy zds t t dt =-+⎰⎰ （2分）= （1分）2、求曲线积分3223()()Lx x y dx xy y dy -+-⎰ ，其中L 是圆周221x y +=逆时针方向的一周。
解：注意曲线的方向，利用Green 公式得322322()()()L DI x x y dx xy y dy y x dxdy =-+-=+⎰⎰⎰ （4分） 其中D 为圆221x y +≤，再用极坐标计算二重积分得213002I d r dr ππθ==⎰⎰。
（3分）注：此题也可象第1小题那样用参数方程，代入计算，分值也是2、2、2、1。
3、机械部件为空间曲面221(),012z x y z =+≤≤，它的面密度(,,)x y z z ρ=。
求这个部件的总质量。
解：质量(,,)M x y z dS ρ∑=⎰⎰ （2分） 空间曲面221:(),012z x y z ∑=+≤≤在xoy 平面上的投影 (1分) 为22:2D x y +≤，面积微元dS ==，代入得 （1分）2220011(22D M x y d r π=+=⎰⎰⎰ （2分）2(15π=+。
（1分） 4、设∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的第一卦限内的部分，前侧（x 轴y 轴正向）为正，计算对坐标的曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰。
解：除这个柱面外，再加上四个平面：0z =、3z =、0x =、0y =，它们围成立体Ω，它的体积为34π。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标Ⅱ卷,含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z =（ ） （A ）-1+i（B ）-1-i（C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ）13（B ）13-（C ）19（D ）19-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l（D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++ （C ）11112311++++（D ）11112!3!11!++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为( )(A) (B)(C)(D)（8）设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( )（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=( )(A)14(B)12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是( ) （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为( )（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x（C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )（A ）（0，1）(B)1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭( C) 1123⎛⎤- ⎥⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标Ⅱ卷,含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时、选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑、如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时、将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。
4. 考试结束、将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分、共50分。
在每个小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝、N=｛-1、0、1、2、3｝、则M ∩N =( ） （A ）｛0、1、2｝ （B ）｛-1、0、1、2｝ （C ）{-1、0、2、3} （D ）{0、1、2、3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i 、则z =（ ） （A ）-1+i（B ）-1-i（C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n 、已知S 3 = a 2 +10a 1 、a 5 = 9、则a 1=（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- （4）已知m 、n 为异面直线、m ⊥平面α、n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m 、l ⊥n 、,l l αβ⊄⊄、则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交、且交线垂直于l（D ）α与β相交、且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5、则ɑ=（ ） （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图、如果输入的N=10、那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++（C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++ （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1、0、1）、（1、1、0）、（0、1、1）、（0、0、0）、画该四 面体三视图中的正视图时、以zOx 平面为投影面、则得到正视 图可以为(A) (B)(C)(D)（8）设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0、x 、y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1、则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 、下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点、则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点、则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F 、点M 在C 上、|MF |=5、若以MF 为直径的圆过点（0、2）、则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x（C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x（12）已知点A （-1、0）；B （1、0）；C （0、1）、直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分、则b 的取值范围是（A ）（0、1）(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题、每个试题考生都必修作答。
2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷理科数学试卷及参考答案与解析
2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|(x﹣1)2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝( )A.{0，1，2}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2，3}D.{0，1，2，3}2.(5分)设复数z满足(1﹣i)z＝2i，则z＝( )A.﹣1＋iB.﹣1﹣iC.1＋iD.1﹣i3.(5分)等比数列{an }的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A. B. C. D.4.(5分)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l ⊄β，则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l5.(5分)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.﹣16.(5分)执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )A. B.C. D.7.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )A. B. C. D.8.(5分)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A.c＞b＞aB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.a＞b＞c9.(5分)已知a＞0，实数x，y满足：，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )A.2B.1C.D.10.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R，f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(﹣∞，x)单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则f′(x)＝011.(5分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x12.(5分)已知点A(﹣1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )A.(0，1)B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.(5分)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝.14.(5分)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝.15.(5分)设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝.16.(5分)等差数列{an }的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17.(12分)△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB. (Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b＝2，求△ABC面积的最大值.18.(12分)如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD(Ⅱ)求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.19.(12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位：t，100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为x的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(Ⅲ)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x∈[100，110))则取x＝105，且x ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率，求T的数学期望.20.(12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(Ⅰ)求M的方程(Ⅱ)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣ln(x＋m)(Ι)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)＞0.选考题：(第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号)22.(10分)【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC 上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(Ⅰ)(Ⅱ).2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|(x﹣1)2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝( )A.{0，1，2}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2，3}D.{0，1，2，3}【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集.【解答】解：由(x﹣1)2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M＝{x|﹣1＜x＜3}，∵N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{0，1，2}.故选：A.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)设复数z满足(1﹣i)z＝2i，则z＝( )A.﹣1＋iB.﹣1﹣iC.1＋iD.1﹣i【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果.【解答】解：∵复数z满足z(1﹣i)＝2i，∴z＝＝﹣1＋i故选：A.【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算.3.(5分)等比数列{an }的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A. B. C. D.【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴，解得.∴.故选：C.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.4.(5分)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l ⊄β，则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论.【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β.由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾.故α与β相交，且交线平行于l.故选：D.【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题.5.(5分)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.﹣1【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为＋a•＝5，由此解得a的值.【解答】解：已知(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋ax)(1＋x＋x2＋x3＋x4＋x5)展开式中x2的系数为＋a•＝5，解得a＝﹣1，故选：D.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题.6.(5分)执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )A. B.C. D.【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能.【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2；判断k＞10不成立，执行S＝1＋，k＝2＋1＝3；判断k＞10不成立，执行S＝1＋＋，k＝3＋1＝4；判断k＞10不成立，执行S＝1＋＋＋，k＝4＋1＝5；…判断i＞10不成立，执行S＝，k＝10＋1＝11；判断i＞10成立，输出S＝.算法结束.故选：B.【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律.7.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )A. B. C. D.【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可. 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A.【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力.8.(5分)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A.c＞b＞aB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.a＞b＞c【分析】利用loga (xy)＝logax＋logay(x、y＞0)，化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可.【解答】解：因为a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，因为y＝log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选：D.【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题.9.(5分)已知a＞0，实数x，y满足：，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )A.2B.1C.D.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可.【解答】解：作出不等式对应的平面区域，(阴影部分)由z＝2x＋y，得y＝﹣2x＋z，平移直线y＝﹣2x＋z，由图象可知当直线y＝﹣2x＋z经过点C时，直线y＝﹣2x＋z的截距最小，此时z最小.即2x＋y＝1，由，解得，即C(1，﹣1)，∵点C也在直线y＝a(x﹣3)上，∴﹣1＝﹣2a，解得a＝.故选：C.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 10.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R，f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(﹣∞，x)单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则f′(x)＝0【分析】利用导数的运算法则得出f′(x)，分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出. 【解答】解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.2①x2是函数f(x)的极小值点，但是f(x)在区间(﹣∞，x2)不具有单调性，故C不正确.②∵＋f(x)＝＋x3＋ax2＋bx＋c＝﹣＋2c，＝，∵＋f(x)＝，∴点P为对称中心，故B正确.③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确.④∵x→﹣∞时，f(x)→﹣∞；x→＋∞，f(x)→＋∞，函数f(x)必然穿过x轴，即∃xα∈R，f(xα)＝0，故A正确.(2)当△≤0时，，故f(x)在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D 正确，C不正确；②B同(1)中②正确；③∵x→﹣∞时，f(x)→﹣∞；x→＋∞，f(x)→＋∞，函数f(x)必然穿过x轴，即∃x∈R，f(x)＝0，故A正确.综上可知：错误的结论是C.由于该题选择错误的，故选：C.【点评】熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法.11.(5分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x【分析】根据抛物线方程算出|OF|＝，设以MF为直径的圆过点A(0，2)，在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|＝.再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF＝∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程.【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝2px(p＞0)，∴焦点F坐标为(，0)，可得|OF|＝，∵以MF为直径的圆过点(0，2)，∴设A(0，2)，可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|＝＝，∴sin∠OAF＝＝，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝，∵|MF|＝5，|AF|＝∴＝，整理得4＋＝，解之可得p＝2或p＝8因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选：C.方法二：∵抛物线C方程为y2＝2px(p＞0)，∴焦点F(，0)，设M(x，y)，由抛物线性质|MF|＝x＋＝5，可得x＝5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点(0，2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M(5﹣，4)，代入抛物线方程得p2﹣10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选：C.【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点(0，2)，求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题.12.(5分)已知点A(﹣1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )A.(0，1)B.C.D.【分析】解法一：先求得直线y＝ax＋b(a＞0)与x轴的交点为M(﹣，0)，由﹣≤0可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b＝；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果.解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论.【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为＝1，由于直线y＝ax＋b(a＞0)与x轴的交点为M(﹣，0)，由直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上.设直线y＝ax＋b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为(，).①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N(，)，把A、N两点的坐标代入直线y＝ax＋b，求得a＝b＝.②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即＝，即＝，可得a＝＞0，求得 b＜，故有＜b＜.③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a.设直线y＝ax＋b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为(，)，此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•(1﹣b)•|xN ﹣xP|＝，即(1﹣b)•|﹣|＝，化简可得2(1﹣b)2＝|a2﹣1|.由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2(1﹣b)2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 .两边开方可得(1﹣b)＝＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣，故有1﹣＜b＜.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B.解法二：当a＝0时，直线y＝ax＋b(a＞0)平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得＝，b＝1﹣，趋于最小.由于a＞0，∴b＞1﹣.当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b＝时，直线经过点(0，)，再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜.综上可得，1﹣＜b＜，故选：B.【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.(5分)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝ 2 .【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为()•()，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果.【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝0，故＝( )•()＝()•()＝﹣＋﹣＝4＋0﹣0﹣＝2，故答案为 2.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题.14.(5分)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝8 .【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值.【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：(1，4)，(2，3)共2种情况；从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p＝.所以，即，解得n＝8.故答案为8.【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的.此题是基础题.15.(5分)设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝﹣.【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ＋cosθ的值.【解答】解：∵tan(θ＋)＝＝，∴tanθ＝﹣，而cos2θ＝＝，∵θ为第二象限角，∴cosθ＝﹣＝﹣，sinθ＝＝，则sinθ＋cosθ＝﹣＝﹣.故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键.16.(5分)等差数列{an }的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为﹣49 .【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nSn的最小值.【解答】解：设等差数列{an }的首项为a1，公差为d，∵S10＝10a1＋45d＝0，S15＝15a1＋105d＝25，∴a1＝﹣3，d＝，∴Sn ＝na1＋d＝n2﹣n，∴nSn ＝n3﹣n2，令nSn＝f(n)，∴f′(n)＝n2﹣n，∴当n＝时，f(n)取得极值，当n＜时，f(n)递减；当n＞时，f(n)递增；因此只需比较f(6)和f(7)的大小即可.f(6)＝﹣48，f(7)＝﹣49，故nSn的最小值为﹣49.故答案为：﹣49.【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17.(12分)△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b＝2，求△ABC面积的最大值.【分析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(Ⅱ)利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值.【解答】解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得：sinA＝sinBcosC＋sinBsinC①，∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC②，∴sinB＝cosB，即tanB＝1，∵B为三角形的内角，∴B＝；(Ⅱ)S△ABC＝acsinB＝ac，由已知及余弦定理得：4＝a2＋c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为××＝××(2＋)＝＋1.【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12分)如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD(Ⅱ)求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.【分析】(Ⅰ)通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD(Ⅱ)证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可.【解答】解：(Ⅰ)证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB＝A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB＝2，则AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C＝2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF＝＝，EF＝＝，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.sin∠DFE＝.【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力.19.(12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位：t，100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为x的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(Ⅲ)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x∈[100，110))则取x＝105，且x＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率，求T的数学期望.【分析】(Ⅰ)由题意先分段写出，当x∈[100，130)时，当x∈[130，150)时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可.(Ⅱ)由(I)知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150.再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值.(Ⅲ)利用利润T的数学期望＝各组的区间中点值×该区间的频率之和即得.【解答】解：(Ⅰ)由题意得，当x∈[100，130)时，T＝500x﹣300(130﹣x)＝800x﹣39000，当x∈[130，150)时，T＝500×130＝65000，∴T＝.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.61000×0.3＋65000×0.4＝59400.【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题.20.(12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(Ⅰ)求M的方程(Ⅱ)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值.【分析】(Ⅰ)把右焦点(c，0)代入直线可解得c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点P(x，y)，利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2＝b2＋c2联立即可得到a，b，c. (Ⅱ)由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y＝x＋t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|.把直线x＋y﹣＝0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD＝即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值.【解答】解：(Ⅰ)把右焦点(c，0)代入直线x＋y﹣＝0得c＋0﹣＝0，解得c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点P(x，y)，则，，相减得，∴，∴，又＝，∴，即a2＝2b2.联立得，解得，∴M的方程为.(Ⅱ)∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y＝x＋t，联立，消去y得到3x2＋4tx＋2t2﹣6＝0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△＝16t2﹣12(2t2﹣6)＝72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3(*).设C(x3，y3)，D(x4，y4)，∴，.∴|CD|＝＝＝.联立得到3x2﹣4x＝0，解得x＝0或，∴交点为A(0，)，B，∴|AB|＝＝.∴S四边形ACBD＝＝＝，∴当且仅当t＝0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足(*).∴四边形ACBD面积的最大值为.【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣ln(x＋m)(Ι)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)＞0.【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，因为x＝0是函数f(x)的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；(Ⅱ)证明当m≤2时，f(x)＞0，转化为证明当m＝2时f(x)＞0.求出当m＝2时函数的导函数，可知导函数在(﹣2，＋∞)上为增函数，并进一步得到导函数在(﹣1，0)上有唯一零点x，则当x＝x0时函数取得最小值，借助于x是导函数的零点证出f(x)＞0，从而结论得证.【解答】(Ⅰ)解：∵，x＝0是f(x)的极值点，∴，解得m＝1.所以函数f(x)＝e x﹣ln(x＋1)，其定义域为(﹣1，＋∞).∵.设g(x)＝e x(x＋1)﹣1，则g′(x)＝e x(x＋1)＋e x＞0，所以g(x)在(﹣1，＋∞)上为增函数，又∵g(0)＝0，所以当x＞0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0；当﹣1＜x＜0时，g(x)＜0，f′(x)＜0.所以f(x)在(﹣1，0)上为减函数；在(0，＋∞)上为增函数；(Ⅱ)证明：当m≤2，x∈(﹣m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时f(x)＞0.当m＝2时，函数在(﹣2，＋∞)上为增函数，且f′(﹣1)＜0，f′(0)＞0.故f′(x)＝0在(﹣2，＋∞)上有唯一实数根x0，且x∈(﹣1，0).当x∈(﹣2，x0)时，f′(x)＜0，当x∈(x，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x时，f(x)取得最小值.由f′(x0)＝0，得，ln(x＋2)＝﹣x.故f(x)≥＝＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力.熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题.选考题：(第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号)22.(10分)【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC 上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.【分析】(1)已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A，及BC•AE＝DC •AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD＝∠AFE.利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE＝∠DBC，进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA 是△ABC外接圆的直径；(2)要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB＝BE，可得CE＝DC，利用切割线定理可得DC2＝DB•DA，CA2＝CB2＋BA2，都用DB表示即可.【解答】(1)证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB＝∠A，∵BC•AE＝DC•AF，∴.∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD＝∠AFE.∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE＝∠DBC，∴∠CFE＝∠AFE＝90°.∴∠CBA＝90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；(2)连接CE，∵∠CBE＝90°，∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，得CE＝DC，又BC2＝DB•BA＝2DB2，∴CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB•DA＝3DB2，故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝. 【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.【分析】(1)利用参数方程与中点坐标公式即可得出；(2)利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α).M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π).(2)M点到坐标原点的距离d＝(0＜α＜2π).当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点.【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.24.【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(Ⅰ)(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)依题意，由a＋b＋c＝1⇒(a＋b＋c)2＝1⇒a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，利用基本不等式可得3(ab＋bc＋ca)≤1，从而得证；(Ⅱ)利用基本不等式可证得：＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，三式累加即可证得结论.【解答】证明：(Ⅰ)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(Ⅱ)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标Ⅱ卷,含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z =（ ） （A ）-1+i（B ）-1-i（C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- （4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l（D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++（B ）11112!3!10!++++（C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++ （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为(A) (B)(C)(D)（8）设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)14(B)12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x（C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年全国高考(全国新II卷)数学(理)(含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|（x+1）2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N= （）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，lβ，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+ （B）1+ + +…+（C）1+ + +…+ （D）1+ + +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为（A ） （B ） （C ） （D ）（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则 （A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b （D ）a ＞b ＞c （9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=（A ）（B ）（C ）1 （D ）2（10）已知函数f （x ）=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈Rf （x α）=0 （B ）函数y=f （x ）的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（-∞,x α）单调递减 （D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1（x α）=0（11）设抛物线y2=3px （p≥0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为 （A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x （C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x （12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b （a>0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）（B ）（1-，1/2）（C ）（1-，1/3）（D ）[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广西师范大学全日制普通本科课程考核试题
（2013—2014学年第二学期）
课程名称：高等数学 2 课程序号： KB07301201-16 开课学院：数学科学学院
年级、专业：2013级软本、信管、信息安全、物教、科教、通信、电应、机械、电信（职师）、计本职师、数控（职师）、机电（机电职师）、汽修（职师）
考核方式：闭卷 开卷 □ 实验操作 □ 试卷代号：A 卷
命题教师：郭勇华 考试时间：120 分钟 命题时间：2014年06月10日
一、填空题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均不得分.
1.已知向量.______),0,3,1()1,2,2(=⋅==→→→→b a b a 则和
2.将xOz 坐标面上的椭圆1522=+z x 绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是
_______. 3.._____)sin(lim
)0,2(),(=→y xy y x 4.函数x
y x y z 21222-++=的连续点构成的集合为{(x,y)|________________}. 5.函数22y y x z +=的全微分dz=______________.
6.设函数.__________x z ,arctan 2=∂∂∂=y
x y z 则 7..________),(dx 2
010=⎰⎰dy y x f x 改变积分次序 8._________
y 4y x 2222ds x L L ）（，则是曲线设+⎰=+ 9.微分方程______01)(2的阶数为=+-dx
dy y dx dy x 10.____
,,12方程的通解分方程的三个解，则该是某二阶非齐次线性微已知x y x y y ===
装订线
二、计算题（本大题共8小题，每题8分，共64分）
1.一平面过点(1，0，-1)且平行于向量.)01-1(b )1,1,2(，试求这平面方程，，和==→
→a
2.设）求（是具有一阶连续导数（其中y z x z f e y x f z xy ∂∂∂∂-=,),),,(22
成的闭区域所围及是由直线其中计算二重积分，x x y D dxdy x y x I D 2y ,2y ,)(.322===-+⎰⎰=
所围成的闭
及平面是由曲面其中计算三重积分，2z 2,)(.42222==+Ω+⎰⎰⎰=Ωz y x dxdydz y x I
5.计算曲面积分)0(y x ,2222≥=++∑⎰⎰=∑
z R z zds I 是上半球面，其中(R>0是常数)
6.将函数的幂级数展开)3(1)(+=x x
x f
7.的通解求微分方程x xe y y y 265=+'-''
8.判断下列级数的敛散性. (1)n n n n 23cos 21π∑∞= (2) )11ln(1
n n +∑∞=
三、证明题（本大题6分）
设L 为正向曲线1)1()1(22=-+-y x ,试证（要讲清理由和依据）：.042
2=++⎰L y x ydx xdy。