最新人教版选修2-3高二数学1.2 3 排列组合应用题教学设计
(新人教版)新版高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用学案 新人教A版选修2-3【提
第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三 分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法． 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法． 由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法． 共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．精品试卷第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．欢迎下载。
人教A版数学选修2-3第一章第2节《排列组合习题课》教学设计
【教学设计】教材分析1、教材的地位和作用所授篇目来源于人教A版选修2-3第一章第一节中的排列组合。
排列组合在中学数学中是很重要的内容之一，他是对后面的概率内容学习的延续，为后面的知识做了很好的铺垫。
因此，学好这一节的内容对整个中学数学，甚至在学生后期的自主招生，甚至竞赛考试中取得优秀的成绩都是至关重要的。
2、教学目标情感目标：培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识的探索和发现过程中，使学生感受数学学习的意义。
能力目标：在复习排列组合的过程中，训练学生条理的逻辑思维能力，努力提高学生的观察、归纳概括和独立思考的能力，使学生在学习知识的同时掌握一些数学思想方法。
知识目标：掌握排列组合的有关知识点，并会解决对于有限制条件的排列组合。
3、重点难点的确定及依据根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况：学生对有限制条件的排列组合的应用缺乏感性认识，不能够在理解的基础上来运用排列组合的知识点解决问题。
因此，本节课的难点是有限制条件的排列组合的求解，依据本节的教学内容和学生现有的实际水平和认知能力，把排列、组合的意义及其计算方法作为教学重点。
一、教法和学法分析1、教法分析根据上述的教材分析，针对职高学生的知识结构和心理特征，本节课遵循以教师为主导、学生为主体、训练为主线的教学原则。
采用发现法、启发引导式、练习相结合的教学法。
而且要注意分层次进行教学，抢答题和拓展题不要求所有学生会做，只要求中等偏上的同学会做。
在课堂教学中充分运用投影辅助教学演示手段的操作，投影学生的作业，通过学生观察分析，主动探索解决有限制条件的排列组合问题。
为强化重点，突破难点，通过比较，做练习让学生能更好的掌握。
由于学生的基础参差不齐，为此，在教学中要顾及全局，注意提高差生的学习兴趣和学习能力，耐心讲解，耐心辅导。
2、学法分析数学教学是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习。
1.2.2组合学案(人教A版选修2-3)
1.2.3组合与组合数公式课前预习学案一、预习目标预习：（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）正确认识组合与排列的区别与联系（3）会解决一些简单的组合问题二、预习内容1．组合的定义：2．组合与排列的区别与联系（1）共同点。
（2）不同点。
3．组合数mA= = =n4．归纳提升(1)区分组合与排列(2)组合数计算问题三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）正确认识组合与排列的区别与联系（3）会解决一些简单的组合问题学习重难点：组合与排列的区分二、学习过程问题探究情境问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？合作探究：探究1：组合的定义？一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.探究2：排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 问题三：判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a ,b ,c ,d ,e }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.探究3：写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合abc ， abd ， acd ，bcd 每一个组合又能对应几个排列？问题四：你能得出组合数的计算公式吗？mn C = = =规定： 典例分析例1判断下列问题是排列问题还是组合问题？（1）a 、b 、c 、d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需要多少场比赛？ （2）a 、b 、c 、d 四支足球队争夺冠亚军，有多少场不同的比赛？ 变式训练1 已知ABCDE 五个元素，写出取出3个元素的所有组合 例2计算下列各式的值（1）97999699C C组合 排列abc abd acd bcdabc baccababd baddabacd caddacbcd cbddbc（2）nn n nC C 321383+-+ 变式训练2 （1）解方程247353---=x x x A C （2）已知m8765C 10711求m m mCCC=+三、反思总结1区分组合与排列 2组合数的计算公式的说明① ② ③ ④ 四、当堂检测1、计算=++293828C C C （ ）A120 B240 C60 D480 2、已知2n C =10，则n=（ ）A10 B5 C3 D23、如果436m m C A =，则m=（ ）A6 B7 C8 D9答案：1、A 2、B 3、B课后练习与提高1、给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）①由1,2,3,4构成的2个元素的集合 ②五个队进行单循环比赛的分组情况 ③由1,2,3组成两位数的不同方法数④由1,2,3组成无重复数字的两位数 A ①③ B ②④ C ①② D ①②④2、rr C C -++1710110的不同值有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个3、已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={1,2}，若集合M 满足B ⊂M ⊂A ，则这样的集合M 共有 （ ）A12个 B13个 C14个 D15个 4、已知的值为与则n m ,43211+-==m nmn m nC C C5、若x 满足112x 1x 3C 2-+-+<x x C ，则x=6、已知的值求n ,15)4(420231355+-++++=n n n n A C n C参考答案：1C 2B 3C 4 m=14，n=34 5 2,3,4,5, 6 n=21.2.4组合应用题课前预习学案一、预习目标预习：（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题二、预习内容1．组合的定义：2．组合数mA= = =n3. 课本几个组合应用题，并将24页的探究写在下面三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题学习重难点：解决一些简单的组合典型问题二、学习过程问题探究情境问题一：高一（1）班有30名男生，20名女生，现要抽取6人参加一次有意义的活动，问一下条件下有多少种不同的抽法？⑴只在男生中抽取⑵男女生各一半⑶女生至少一人问题二：10个不同的小球，装入3个不同的盒子中，每盒至少一个，共有多少种装法？合作探究：完成问题一问题二的方法总结①②典例分析例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端. 变式练习1.、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.例2．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。
人教版高中数学选修2-3《排列组合综合应用》
上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的 安排方法有多少种？
A C A A A A (种）
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8
（二）有条件限制的组合问题：
例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子 集的个数。 下面解法错在哪里? 至少有两个偶数，可先由4个偶数中取2个偶数， 然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至 少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)
用“具体排”来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选4 个偶数中的2，4，又C73中选剩下的3个元素不6，1，3组成集 合{2，4，6，1，3，}；再看另一种选法：由C42 中选4个偶数中 的4，6，又C73中选剩下的3个元素不2，1，3组成集合{4，6， 2，1，3}。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原 因是分类不独立。
（三）排列组合混合问题：
例3.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A2 + C 8 2 C7C7 A 7 种方法，
解: ⑤ a在e的左边(可不相邻)，这表明a,e只有一种顺 序，但a,e间的排列数为A22，所以，可把5个元素全排 列得排列数A55，然后再除以a,e的排列数A22。所以共 有排列总数为A55 / A22（种） 注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数 A33。
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会
优先法
解： ② 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.
排列组合学案
例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的种数为：
3.插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。
（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。
例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的种数为：（有序）先排其余4人，产生5个空，再排3人：
（3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。
①没0：先排后两位且不排列 ，再排前两位 故 =60
②有0：在末位时， =120。不在末位时，0只能在第二位， =30
共有 + + ＝150
（4）能组成多少个无重复且大于345012的数字。（排大小：从高位到低位逐位排）269
练习：用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的正整数.114
所以共有排列方法：（ + ） =37440
七、环状排列问题：
从n个不同元素中取出m个元素的环状排列的种数有 种；特殊的n个不同元素的环状全排列的种数为 ＝（n-1）!(由于环状有重复一样的)
例：由a、b、c、d四个元素组成的环状排列有多少个？
分析：由a、b、c、d组成的全排列有 ＝24个。其中4个全排列abcd bcda cdab dabc在环状排列中只算作1个排列，故由4个不同元素组成的环状排列有： ＝3！＝6种
解:分两类:第一类,万位比1大,有4种不同的选法,其余任意排列,有 个,
第二类，万位为1,则千位有3,4,5三种选法,其余任意排列,有 个;
共有18+96=114个.
四、隔（档）板法：处理无序分组问题．要点：元素相同。有两类，空与不空
把n个小球放入不同编号的m个盒子中,
最新人教版高中数学选修2-3《排列组合的综合应用》课堂指导
课堂指导三点剖析一、排列数组合数的运算【例1】 已知61-m n C =14mn C =211-m n C .解析：已知条件可化为)1()!1(6!+--∙m n m n=)!(!14!m n m n -∙=)!1()!1(21!--+∙m n m n ，又n!,（m-1）!（n-m-1）!都是正整数，故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+-,)1(211)(141,141)1(61m m n m m n 即 ⎩⎨⎧=--=+-.0352,03103m n m n 解得⎩⎨⎧==.3,9m n 所以m n C 1-=38C =56.温馨提示要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算，组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用. 二、排列与组合的差别【例2】某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？ 解析：把六门课程看成六个元素，把顺序看成位置（1）位置分析法：依第一节课的情况进行分类，有以下情况排法： ①第一节课排数学，第六节课排体育，共有44A 种排法. ②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有14A 44A 种排法. ③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有14A 44A 种排法. ④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理，所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种.（2）元素分析法：依数学课的排法进行分类，有以下情况的排法：①数学课排在第一节，体育课排在第六节，共有44A 种排法. ②数学课排在第一节，体育课不排在第六节，共有14A 44A 种排法. ③数学课不排在第一节，体育课排在第六节，共有14A 44A 种排法. ④数学课不排在第一节，体育课不排在第六节，共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理，所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种. 温馨提示排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序.不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思路是“先选之，再排队”. 三、排列、组合的综合应用【例3】从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学.思路分析：若设共有n 名同学，则我们可以用n 把参赛方法种数表示出来，从而得到一个关于n 的方程，解方程可求出n 的值.解：设共有n 名同学，首先从这n 名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲进行分类：第一类，不选甲，则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有41-n A 种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有12A 种方法，再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛，有31-n A 种方法，共有12A ·3n A 种参赛方式，由分类计数原理共有41-n A +12A ·31-n A 种方法，根据题意，得 41-n A +12A ·31-n A =72解得n=5. 温馨提示对于这类较为复杂的问题，往往会感到无从下手，如果从竞赛学科角度来思考，则需分很多情况，容易出错，而我们可以采取“先取后排”的原则，即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答条理性强，有利于问题的解决.各个击破类题演练 1化简11A +222A +333A +…+nn nA . 解析：由于-n n A =n n n A ,则11A +222A +333A +…+n n n A=（22A -11A ）+（33A -22A ）+（44A -33A ）+…+11+-n n A -n n A=11++n n A -1=（n+1）!-1.变式提升 1求n n C 313++1312-+n n C +2311-+n n C +…+n n C -172的值. 解析：由n n C 313+知n 满足3n≤13+n ① 由n n C -112知n 满足17-n≤2n.②联立①②得317≤n≤213,而n ∈N *,所以n=6所以原式=1819C + 1718C +…+1112C =119C +118C +…+112C=19+18+…+12=124. 类题演练 2用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数. （1）可组成多少个不同的四位数？ （2）可组成多少个不同的四位偶数？解析：（1）直接法：15A 35A =300；间接法：46A -35A =300； （2）由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理，另一方面，0既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待.方法一：（直接法）0在个位的四位偶数有35A 个；0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数（不包括0）中选一个放在首位，应有12A ·14A ·24A 个.综上所述，共有35A +12A ·14A ·24A =156个.方法二：（间接法）从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有13A ·35A ，其中第一位是0的有12A ·24A 个，故适合题意的数有13A ·35A ·24A =156个.变式提升 2将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. （1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ 解析：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×4=44=256种放法.（2）为全排列问题，共有44A =24种方法.（3）方法一：先将四个小球分为三组，有22111224A C C C 种， 再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有34A 种投放方法，故共有22112224A C C C 34A =144（种）. 方法二:先取4个球中的两个“捆”在一起，有24C 种选法，把它与其他两个球，共3个元素分别放入4个盒子中的3个中，有34A 种， 所以共有24C 34A =144（种）. 类题演练 3从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）A.140种B.84种C.70种D.35种解析：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台，有24C ·15C 种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有25C ·14C 种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有24C ·15C +14C ·25C =70（种）.答案：C 变式提升 34个不同的小球，全部放入3个不同的盒子中，要求不能有空盒，则有多少种不同的放法？解析：从4个小球中取出2个看成一个“大球”，有24C 种取法，再把这“3个球”全部放入3个盒子中，有33A 种方法，共有24C ·33A =36种放法.。
最新人教版高中数学选修2-3《排列》教学设计
最新人教版高中数学选修2-3《排列》教学设计教学设计1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N，m≤n)．说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29. 2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)．解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！，也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0，。
高中数学 1.2 3排列组合应用题的教学设计教案 新人教A版选修选修2-3
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
高中数学人教A版选修2-3第一章1.2排列组合的综合应用(习题课)课件
课堂小结：
处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：直接法，间接法
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
种选法。
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弄清要完成什么样的事件是前提。
00|0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 00 00 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
即 2,1,1，有 C ＝6(种)，再分配给 3 个人，有 A ＝6(种)，所以不同的 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
2 3 处理排列组合应用题的规律 4 3 解：采用先组后排方法:
种。
安排方式共有 6×6＝36(种)． 例4、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,
解：对 5 个只会跳舞的人选几人进行分类： 第一类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 4 人，共有C54C84 350 (种)； 第二类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 3 人，共有C53C31C74 1050 (种)； 第三类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 2 人，共有C52C32C64 450 (种)； 第四类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 1 人，共有C51C33C54 25 (种)； 所以一共有 50+1050+450+25=1875（种）.
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合(教师版)
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。
高中数学_组合的综合应用教学设计学情分析教材分析课后反思
组合的综合应用教学设计本节课的授课对象是高二年级普通班学生，他们起点低，基础差，缺乏自信，但课堂活跃。
在认知基础方面，学生在前面已经学习了排列组合的基础知识，对简单的排列组合的问题已经有所掌握，但本节课需要学生梳理已学过的知识，形成完整的知识体系，并能根据所给实例，判断该问题为排列组合的什么问题，并且运用相应的知识加以解决，需要学生具备全面的思考问题的能力，这对一部分学生来说是一个挑战。
组合的综合应用效果分析首先这节课能有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；其次3个例题通过联系实际生活，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念；最后利用课件帮助学生巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价，也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己的教学。
《组合的综合应用》是《选修》2——3第一章第二节内容。
本节内容有组合问题，排列与组合综合问题。
大约需要1课时。
排列与组合的思想方法应用的很广泛，是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，本教材在渗透这一数学思想方法时就做了一些探索，把它通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。
在设计本节课时，我根据学生的年龄特点对教材进行了处理，整堂课坚持从学生的实际与认知出发，以“感受生活化的数学”和“体验数学的生活化”这一教学理念，让学生结合生活实际学习数学，体验数学。
组合的综合应用评测练习1．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为()A．720B．360C．240D．1202．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120B．84C．52 D．483．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A．60种B．20种C．10种D．8种4．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有()A．27种B．24种C．21种D．18种5．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种6．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________7．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若BA＝213，则这组学生共有________人。
高中数学人教A版选修2-3教案-1.2 排列与组合_教学设计_教案_2
教学准备1. 教学目标组合概念的理解及应用2. 教学重点/难点组合概念的理解及应用3. 教学用具4. 标签教学过程一、内容归纳1、知识精讲(1)组合从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符合C表示。
组合数公式为2、重点难点：组合概念的理解及应用3、思维方式：与排列问题进行类比思考4、特别注意：分类时标准应统一，否则易出现遗漏和重复二、问题讨论例4(优化设计P176例3)、从1，2，…，30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？解：令A＝{1，4，7，10，…，28}，B＝{2，5，8，11，…29}，C＝{3，6，9，…，30}组成四位数的方式有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有种；②仅在A中取3个数，有种；③仅在B中取3个数，有种；④仅在C中取3个数，有种，故由加法原理得：＝1360种．【评述】按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类．例5、马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？解：问题等价于在七只亮着的路灯产生的六个空档中放入三只熄掉的路灯，因此，所求的方法种数为C=20【思维点拔】注意插空法的应用。
解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。
例6(优化设计P176例4)、如图, 从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条?解：把质点沿网格线从点A到点的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，因此，本题的结论是：．【深化拓展】(优化设计P176)1、某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如图所示，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m-2）段，而这些段中必须有东西方向的（n—1）段，其余的为南北方向的（m-1）段，所以共有=种走法。
高二数学精品教案：112基本计数原理和排列组合选修2-3
（2）分步乘法计数原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法，做第二个步 骤有 m2 种不同的办法……做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法 说明： （1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同 方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法 （2）考虑用哪个计 数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分 步。如果完成一件事情有 n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果 完成一件事情，需要分成 n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才
型与乙型电视机各一台，不同的取法共有（ ）种
A. 140
B. 84
C. 70
D. 35
4. 四个不同的小球放入编号 1，2，3，4 的四个盒子中 ，则恰有一个空盒的方法共有
N ,且m
n)
C
0 n
C
n n
1
（4）组合数的两个性质：
①
C
m n
C nm n
②
Cm n1
C
m n
C
m n
1
4. 排列和组合的关系：
（1）二者区别的关键：是否和顺序有关
（2）二者的联系：
Anm
C
m n
Amm
5. 解决站队和组数的常用方法：
（1）特殊位置（或元素）优先考虑法：解决在与不在的问题
（2）捆绑法：解决元素相邻的问题
有（ ）个
高二数学选修2-3教案(9)排列组合习题课
组合（四）一、知识运用〖1〗 100件产品中，有98件合格品，2件次品100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？解：（1）3100161700C =；（2）398152096C =；（3）12298247539506C C =⨯=；（4）解法一：（直接法）12212982989506989604C C C C +=+=；解法二：（间接法）33100981617001520969604C C -=-=．〖2〗 从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有4516C C ； 3奇2偶有2536C C ； 5奇1偶有56C ，∴一共有4516C C +2536C C +23656=C ．〖3〗 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2324C C ； ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1334C C ； ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334C C ， ∴一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法．〖4〗 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C ．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2324C C ； 另一类为甲不值周一，但值周六，有2414C C ， ∴一共有2414C C +2324C C ＝42种方法．〖5〗 6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？ 解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法； 第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法．根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法〖6〗 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B 、C 两校必选，且B 在C 前问：此考生共有多少种不同的填表方法？AB解：先填第一档次的三个志愿栏：因A 校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有26A 种填法；再填第二档次的三个志愿栏：B 、C 两校有23C 种填法，剩余的一个志愿栏有13A 种填分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有26A 23C 13270A =（种）〖7〗 如图是由12个小正方形组成的43⨯矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中，最短路径有 条解： 总揽全局：把质点沿网格线从点A 到点B 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，因此，本题的结论是：3537=C ．〖8〗 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？解：要使交点个数最多，则只需所有的交点都不重合内有交点，但如果两条弦相交，则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点，也就是说，弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是一一对应的因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数，即412495C =个变式：本题构造了四边形以求得满足条件的交点，类似的，前面讲过一个问题： 以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对解：以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有4812C -＝58个，每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线，因此以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有3×58＝174对另解：()312244443210174C C C C ⎡⎤+-=⎣⎦对〖9〗 有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？解：本题实质是，前五次测试中有1只正品4只次品，且第五次测试的是次品思路一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，有1164C C 种方法；再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有44A 种排法同的情形共有114644576C C A =种思路二：设想有五个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，有14C 种方法；再从6只正品中任选1只，和剩下的3只次品一起在前四个位置上任意排列，有1464C A 种方法114464576C C A =种〖10〗 在一次象棋比赛中，进行单循环比赛2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，问：比赛开始时参赛者有多少人？解：需要考虑两种情况：第一种，因故退出比赛的两人之间没有进行比赛，则22683n C -+=，此方程无正整数解；第二种，因故退出比赛的两人之间进行了比赛，则226183n C -+-=，解得15n =，所以，比赛开始时参赛者有15人二、学力发展A1. 有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）A ．70B ．80C ．82D ．842. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 （ ）种A ．4441284C C C B ．44412843C C C C ．4431283C C A D ．444128433C C C A3. 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．964. 已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能5. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有 种不同的选法6. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数7. 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个8. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法 9. 在200件产品中，有2件次品从中任取5件， （1）“其中恰有2件次品”的抽法有 种； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有 种； （3）“其中没有次品”的抽法有 种； （4）“其中至少有1件次品”的抽法有 种 10. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，求该科技小组中女生的人数答案：1. A 2. A 3. B 4. ()2484900C = 5. 23134224C C C =6. 5325547200A C C =7. 37332C -=8.⑴225460C C = ⑵2721C = ⑶449791C C -= ⑷444945120C C C --=A9.⑴31981274196C = ⑵41982124234110C =⑶51982410141734C = ⑷55200198125508306C C -=10. 女生的人数是2 思路：分3n ≤和34n <≤两种情况讨论B1. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 （ ）A ．26B ．24C ．20D ．192. 学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是 （ ）A ．64B ．20C ．18D ．103. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A ．90B ．180C ．270D ．5404. 公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有 种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共有 种5. 4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ；（3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序排列 ．6. 有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有 种不同的坐法7. 赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有 种选法8. ,,,,A B C D E 5位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第5名的名次A 、B 两位同学去询问名次，主考官对A 说：“很遗憾，你和B 都未拿到冠军”；对B 说：5位同学的名次排列共可能有 种不同的情况9. 学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备 种不同的素菜种10. 有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到测出1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种11. 圆周上有12个等分点，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为 个答案：1. D 2. D 3. D 4. 461296=, 4464360C A =5.⑴4444576A A = ⑵43451440A A = ⑶3434144A A = ⑷47840A =6. 3560A =7. 3332231333763553545675C C C C C C C C C +++=8. 333354A ⨯⨯= 9. 225m in 2007x C C x >⇒=10. 4416441440C C C = 11. 1161060C C =四、课堂小结 排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法。
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.3《排列组合的应用》课时2.pptx
法对应一种分法共有____C__96_____种分法。
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份
C 至成少一一排个 的一班n元-1素个二 班,空可隙以三班中用m，四班-所1块有分隔五班板法，数六班为插入七 班n个mn11元素. 排
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
练习题:
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法共有. 34
(7).构造模型策略
共有. 34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最 多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船, 但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.
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二、间接法（排除法）
（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从 中减去不符合条件的排列数）
例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数， 使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
例7.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路 灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3 盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法 有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
个空隙中插入3个不亮的灯有__C___35 __种.
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常 熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装 盒模型等，可使问题直观解决.
高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3 (2)
第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.组合数公式乘积形式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘形式C m n＝n！m！(n－m)！性质C m n＝C n－mnC m n＋1＝C m n＋C m－1n备注规定C0n＝11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( √)3．C35＝5×4×3＝60.( ×)4．C2 0162 017＝C12 017＝2 017.( √)类型一组合概念的理解例1 给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点组合的判断解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C29＝36(种)．类型二组合数公式及性质的应用命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算C410－C37·A33；考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ， 左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 018－1D ．C 52 017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017－1＝… ＝C 42 017＋C 32 017－1＝C 42 018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－312，则n等于( )A．3 B．5 C．3或5 D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 C解析 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)组合数的两个性质： 性质1：C mn ＝C n －mn ； 性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .一、选择题1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算 答案 D解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C mn ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，两者不相等，故D 错误．4．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B解析 由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种C．C310A310种D．30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A．24种B．10种C．12种D．9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．115 B．90 C．210 D．385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A．15 B．7 C．6 D．0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．二、填空题9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 60解析 根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．11．不等式C 2n －n <5的解集为________． 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 {2,3,4} 解析 由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，即n 2－3n －10<0， 解得－2<n <5.由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4， 故原不等式的解集为{2,3,4}． 三、解答题12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 解 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14， 要求C 12n 的值，故n ≥12， 所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．四、探究与拓展14．以下三个式子：①C mn ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____． 考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C mn ÷C m ＋1n ＝C m n C m ＋1n ＝A mn ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。
[精品]新人教版选修2-3高二数学1.2 2 排列与组合优质课教案
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《排列与组合》教设计
教内容背景材料：
义务教育课程标准实验教书（人教版）二年级上册第八单元的排列
与组合
教目标：[]
1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和
组合数。
2、经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
3、培养生有顺序地全面地思考问题的意识。
4、感受数与生活的紧密联系，激发生好数的信心。
教重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程
教难点：初步理解简单事物排列与组合的不同
教具准备：教课件
具准备：每生准备3张数字卡片，具袋
教过程：
师生活动
（一）师：森林校的数课上，猴博
士出了这样一道题（课件出
们都纷纷举手说能写成两
己的实际情况如果你觉得直接写有困难
发现问题
写了，有的漏写了。
者也可用这样一道题：用
（一）
师：下课了小狗、小熊、小
引导生明确排列与顺序有。
数学 1.2排列与组合教学设计 新人教A版选修2 3 教案
《组合》教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用①是组合数学的最初步知识，它是学习二项式定理的重要基础；②是学习概率初步所必需具备的基础知识；③通过学习排列组合可以大大提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；2、教材的重点和难点教学重点:1、理解组合的概念，排列问题和组合问题的区别；2、组合数公式的推导及应用；3、组合数性质及其应用；关键：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．学生通过直观感知、类比推理，概括出组合概念。
教学难点: 1、组合数公式的推导及应用关键：通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，发展学生的类比推理、合情推理能力、同时让学生体验和感悟转化的数学思想。
二、学情分析（1）学生已有知识经验：学生已学习了两个基本计数原理与排列知识，绝大多数学生能正确运用两个计数原理与排列的知识；（2）能力状况：学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力，；（3）学生的思维、性格特点：高二学生思维活泼，求知欲旺盛，学习积极性高；三、教学目标根据《组合》在教材内容中的地位与作用，考虑到学生已有的认知结构心理特征及课程标准要求，制定如下教学目标：【知识与技能】1、使学生能正确理解组合、组合数的概念2、使学生会利用排列与组合的推导组合数公式3、使学生能应用组合的概念，组合数的公式解决一些与组合有关的简单问题【过程与方法】1、让学生通过对简单实例思考、分析、解决，初步形成组合、组合数的概念；2、用类比、归纳的思想得出组合的概念，并深刻认识组合、排列的区别与联系，培养学生逻辑推理能力；3、推导组合数公式并能进行简单应用，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.【情感、态度与价值观】学会用联系的观点看问题，能深刻体会排列与组合这两个概念的区别与联系；并会利用排列数公式及两个概念的联系来推导组合数公式；同时通过对组合数公式的推导，加深对排列、组合概念的理解，增强对组合数公式的记忆。
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排列组合应用题的教设计解决排列组合应用题的基础是：正确应用两个计数原理，分清排列和组合的区别。
引例1 现有四个小组，第一组7人，第二组8人，第三组9人，第四组10人，他们参加旅游活动：（1）选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法。
（2）每组选一名组长，共有多少种不同的选法4评述：本例指出正确应用两个计数原理。
引例2（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？评述：本例指出排列和组合的区别。
求解排列组合应用题的困难主要有三个因素的影响：1、限制条件。
2、背景变化。
3、数认知结构排列组合应用题可以归结为四种类型：第一个专题排队问题重点解决：1、如何确定元素和位置的关系元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。
以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。
例：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？分析：这可以说是一道较简单的排列组合的题目了，但为什么有的同能做出正确的答案34(种)，而有的同则做出容易错误的答案43(种)，而他们又错在哪里呢？应该是错在“元素”与“位置”上了!法一：元素分析法(以信为主)第一步：投第一封信，有4种不同的投法；第二步：接着投第二封信，亦有4种不同的投法； 第三步：最后投第三封信，仍然有4种不同的投法。
因此，投信的方法共有：34(种)。
法二：位置分析法(以信箱为主)第一类：四个信箱中的某一个信箱有3封信，有投信方法 14C (种)；第二类：四个信箱中的某一个信箱有2封信，另外的某一个信箱有1封信，有投信方法 2234C P 种 。
第三类：四个信箱中的某三个信箱各有1封信，有投信方法 34P (种)。
因此，投信的方法共有：64 (种)小结：以上两种方法的本质还是“信”与“信箱”的对应问题。
[]2、如何处理特殊条件——特殊条件优先考虑。
例：7位同站成一排，按下列要求各有多少种不同的排法；甲站某一固定位置；②甲站在中间，乙与甲相邻；③甲、乙相邻； ④甲、乙两人不能相邻； ⑤甲、乙、丙三人相邻；⑥甲、乙两人不站在排头和排尾；⑦甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；⑧甲、乙两人必须相邻，且丙不站在排头和排尾。
第二个专题 排列、组合交叉问题 重点解决：[]1、先选元素，后排序。
例：3个大人和2个小孩要过河，现有3条船，分别能载3个、2个和1个人，但这5个人要一次过去，且小孩要有大人陪着，问有多少种过河的方法？ 分析：设1号船载3人，2号船载2人，3号船载2人，小孩显然不能进第3号船，也不能二个同时进第2号船。
法一：从“小孩”入手。
第一类：2个小孩同时进第1号船，此时必须要有大人陪着另外2个大人同时进第2号船或分别进第2、3号船，先选3个大人之一进1号船，有()1213219N C P =+= (种)过河方法第二类：2个小孩分别进第1、2号船，此时第2号船上的小孩必须要有大人陪着，另外2个大人同时进第1号船或分别进第1、3号船，有过河方法()2122232118N P C P =+= (种)。
因此，过河的方法共有： (种)。
法二：从“船”入手第一类：第1号船空一个位，此时3条船的载人数分别为2、2、1，故2个小孩只能分别进第1、2号船，有过河方法 2312312N P P == (种)；第二类：第2号船空一个位，此时3条船的载人数分别为3、1、1，故2个小孩只能同时进第1号船，有过河方法 3236N P == (种)；第三类：第3号船空一个位，此时3条船的载人数分别为3、2、0，故2个小孩同时进第1号船或分别进第1、2号船，有过河方法 122332390N C P C =+=(种)。
因此，过河的方法共有： (种)。
2、怎样界定是排列还是组合[数理化]例：①身高不等的7名同排成一排，要求中间的高，从中间看两边，一个比一个矮，这样的排法有多少种？②身高不等的7名同排成一排，要求中间的高，两边次高，再两边次高，如此下去，这样的排法共有有多少种？答：① 3620c =种 ② 111222p p p =8 种本①是组合题，与顺序无关，但有些生不加分析，看到排队就联想排列，这是一个误区。
至于②也不全是排列问题，只是人自然有高低，按人的高低顺次放两边就是了。
又例： 7名同排成一排，甲、乙、丙这三人的顺序定，则不同排法有多少种？ 分析，三人的顺序定，实质是从7个位置中选出三个位置，然后按规定的顺序放置这三人，其余4人在4个位置上全排列。
故有排法 3474c p =840种。
3、枚举法1291827N N N =+=+=123126927N N N N =++=++=三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（A ）6 种 （B ）8 种 （C ）0 种 （D ）12 种解：（枚举法）该题新颖，要在考试短时间内迅速获得答案，考虑互传次数不多，所得选择的答案数字也不大，只要按题意一一列举即可。
[]第三个专题 分堆问题 重点解决：1、均匀分堆和非均匀分堆关于这个问题，课本P146练习10如此出现：8个篮球队有2个强队，先任意将这8各队分成两个组，（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分成在一个小组的概率是多少？由于课本后面出现这样的练习题，所以前面应对这些问题有所分析，尤其为什么均匀分堆有出现重复？应举例说明。
例：有六编号不同的小球， ① 分成3堆，每堆两个② 分成3堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个 ③ 分成3堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个在①、②、③的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法？ 分析：①、②、③都是分堆，其中①是三个均匀分堆，有3！重复，③是两个甲丙丙甲丙乙丙乙丙丙乙甲甲甲乙甲甲甲乙均匀分堆，有2！重复，如此类推。
②是非均匀分堆，不可能出现重复。
在教中应用数字表示球，通过列举法说明重复的可能，以及避免重复。
例：有六编号不同的小球， ① 分成3堆，每堆两个② 分成3堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个 ③ 分成3堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个在①、②、③的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法？ 分析：①、②、③都是分堆，其中①是三个均匀分堆，有3！重复，③是两个均匀分堆，有2！重复，如此类推。
②是非均匀分堆，不可能出现重复。
在教中应用数字表示球，通过列举法说明重复的可能，以及避免重复。
答案：① ② ③ ④再乘以33P 2、为什么有重复，怎样避免重复例：从4名男生、5名女生中任选3人参加代会，至少男生、女生各一名的不同选法有多少种？有些生这样想：先从4人中选一人，再从5人中选一人，最后在剩下的7人中选一人， 结果是 结果是错误的。
因为后面的7人与前面已选的人可能出现重复，正确的答案是 。
又例：有4个唱歌节目，4个舞蹈节目，2个小品排成一个节目单，但舞蹈和小品要相隔，不同的编排有多少种方法？有些生这样想，先定位4个唱歌，有5个位插入小品两个位，此时有7个位再插入4个舞蹈，故的表达式是 424457P P P 。
[]其实，这里又出现了重复，正确的列式是 645467572P P P P -第四个专题 直接法和间接法的区别及运用 重点解决：1、选择集合的元素有交集问题；例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有几种不同的坐法？22643!C C 1265C C 46C 111457140C C C =2112454570C C C C +=法一：直接法第一类：甲在第2-6号位中选一而坐，接着乙在第1-6位中余下的5个位中择一而坐，剩下的任意安排 (种)； 第二类：甲在第7号坐，剩下的任意安排，有坐法数626720N P ==(种)。
因此，不同的坐法数共有 (种)。
法二：间接法七人并坐，共有坐法数 77P (种)。
甲坐首位，有 66P 种方法；乙坐末位，亦有66P 种方法。
甲坐首位、乙坐末位都不符合题目要求，所以应该从扣除，但在扣除的过程中，甲坐首位且乙坐末位的情况被扣除了2次，因此还须补回一个55P 。
因此，不同的坐法数有 76576523720N P P P =-+=（种）2、选择元素中有至少、至多等问题。
在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从100见产品中任意抽取3件，（1）至少有一件是次品的抽法有多少种？（2）至多有一件次品的抽法有多少种？答：（1）解法1： 解法2 ：（2）以上的处理，主要有如下几个好处：①教比较自然、流畅，容易对近似概念进行比较，找到其相同点和不同点，更深刻的从外延到内涵掌握概念及其数意义。
②把相关概念弄清楚后，能给生有足够的工具，使生解决应用题时不在被工具而困扰，形成良好知识结构，解决问题的思路容易畅通③重点突出，生就比较容易把每一个难点和重点给予突破，减轻生的负担又能实现生的习落到实处。
④在提高教质量的前提下，又能提高效率。
11515553000N C C P ==123000 7203720N N N =+=+=22100989604C C -=12212972979604C C C C +=31298298161602C C C +=。