整体思想在初中数学中的应用

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整体思想在数学解决问题中的应用

整体思想在数学解决问题中的应用整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

一、整体思想在代数式求值中的应用例1：m+n=2，mn=1，则 = ；思路：不用单独求m和n，而是把变成在把m+n和mn的值进行整体代入。

例2：已知 +x-1=0，则 = ；思路：不用单独求x值，而是 +x-1=0变化成2（ + x）-1=0得到 + x=进行整体代入。

二、整体思想在解方程（组）中的应用例1：若方程组的解是，则方程组的解是（）。

A． B． C． D．思路：把x+2和y-1看做一个整体，根据已知方程组的解，容易得到x+2=8.3，y-1=1.2，进而求得x和y的值。

例2：若二元一次方程组的解为则a-b=；思路：不用解方程求x和y，只需把方程组中两个方程相加，得到4x-4y=7，得到x-y的值，进而得到a-b的值。

三、整体思想在求线段长中的应用例1(河北2018中考)：如图，点为△ABC的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（）A.4.5B.4C.3D.2思路：阴影部分的周长可以凑成一个整体转化为线段AB的长。

例2：如图，某楼梯示意图，BC＝4米。

要在楼梯上铺设地毯，则地毯的长度大约为（）米。

(取1.73)思路：其实地毯的长度就是所有台阶的长度与高度的和，即AC+BC的长。

四、整体思想在求角度中的应用例1：如图，三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数是( )。

A.90∘B.120∘C.135∘D.180∘思路：∠1+∠2+∠3的度数和看做一个整体去求。

可以利用平移的办法转化为一个平角，也可以用三个平角的和减去两个三角形的内角和。

五、整体思想在求面积中的应用例2：如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，半径都是1cm，则图中阴影部分的面积是( )cm²。

浅谈整体思想在初中数学教学中的应用

浅谈整体思想在初中数学教学中的应用“整体”思想是指在考虑问题时，从大处着眼，由整体入手，把一些看似彼此独立而实质上紧密联系的量作为整体来处理的思维方式。

这种方法可以使很多按常规方法难以处理的问题得到快速便捷的解答。

下面举例说明。

例一、如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠BO C，求∠EOF的度数？分析与解：这是七年级上常见的一道几何题，对于初学几何的同学来说，肯定知道∠EOF=∠EOC+∠COF，但∠EOC 和∠COF分别是多少度，无从得知。

不妨这样来思考：∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=×180°=90°对于初学几何的七年级学生来说，通过这道题学习整体思想很有益处！例二、若x+x=3，则，x+x=______。

分析与解：若按常规，先求出x的值，再代入计算则十分繁冗，因为故可把视为一个整体，得=7.例三、有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购买甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。

问购买甲乙丙各1件共需多少元？分析与解：设购买甲乙丙各1件各需x、y、z元。

由题意得：3x+7y+z=3.154x+10y+z=4.20若按常规解法，求出x、y、z的具体值，则需列出三个方程求解，而题中条件只可列出两个方程，难以解答。

仔细分析题意，只需求出（x+y+z）这个整体即可，故用整体拼凑法对上面方程组整理得：2(x+3y)+(x+y+z)=3.153(x+3y)+(x+y+z)=4.20解此关于x+3y,x+y+z的二元一次方程组，得：x+y+z=1.05例四、如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都为0.5cm，则图中阴影部分的面积是多少？分析与解：由于各个扇形的圆心角的度数均未知，从而不能分别求出各个扇形的面积，为此，将三个阴影部分整体考虑，注意到三角形的内角和为180，所以三个扇形的圆心角的和为180；又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分面积为半径0.5cm的圆的面积的一半；即：2××0.5=(cm)例五、如图，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和。

第2讲-整体思想在初中数学中的应用

第二讲：整体思想在初中数学中的应用【写在前面】整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．【例题精讲】一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于（）A.6B.6-C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以，原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．【巩固练习】1、已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则的值为 ( )A ．18B ．12C ．9D ．7分析：如果根据题意直接求出x 再代入到中求值将非常麻烦，特别是x 为一个无理数．考虑到由题意3x 2－4x=3成立，而3x 2－4x 是的3倍，所以可以将看作一个整体，则．此题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解2、先化简，再求值，其中a 满足a 2－2a －1=0．【分析】对分式进行化简结果为，如果把a 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a 2－2a 看成一个整体，则由已知可得a 2－2a=1，所以原式=．=解：原式=，当a 2－2a=1时，原式==3、已知114a b -=，则2227a a b b a b a b ---+的值等于（） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：∵ab ≠0.∴将2227a ab ba b ab---+的分子与分母都除以得，2463x x -+2463x x -+243x x -243x x-2461673x x -+=+=222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭212a a -212a a -()()()222214421224222a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫+-----÷== ⎪⎪------⎝⎭212a a -11222b 2272()72()7a ab b a a b ab b a-----===-+⨯+-+（）说明：本题也可以将条件变形为()b a -=，即()a b -=，再整体代入求解．222272()7a ab b a b aba b ab a b ab----===-+-+4、已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，()a b b c -=-=，()c a -=，所以原式222a b c ab bc ac ++---2221()()()2⎡⎤=++=⎣⎦说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5．已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解．（2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21xy x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解．例7．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元）答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果．【巩固练习】1、已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：33()x y +=，所以()x y +=，从而0()3<<，解得()()k <<2、已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n +=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为()()x y =⎧⎨=⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解： ()()x y =⎧⎨=⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．3、解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为，即2450y y --=，解得1y =，2y =，所以223x x +=或223x x +=，从而解得1x =，2x =，3x =，4x =，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解．（2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21xy x =-，从而将方程变形为，再转化为一元二次方程来求解．原方程的解为对于形如2()5011x x x x +-=--这样的方程只要设1xy x =-，从而将方程变形为一元二次方程来求解，原方程的解为。

整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档

整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。

浅谈整体思想在数学解题中的应用概诉

浅谈整体思想在数学解题中的应用新课程标准在原来”双基”的基础上明确提出基础知识和基本技能以及基本思想和基本活动经验的“四基”理念。

新增的“两基”就是基本思想和基本活动经验。

新课程标准的这种完善提现了数学思想在数学学习方面的重要性。

而作为初中数学学习重要思想的整体思想应用非常广泛，在解决数学问题方面常常有意想不到的的作用。

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．它的主要表现形式有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．学生在数学学习过程中，有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析并且运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。

整体思想在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很广泛的应用。

一、代数式已知求值运用整体代换能化复杂为简单。

代数式已知求值题型是初中数学“数与式”这一部分内容的重点题型，也是历年中考的常见题型。

其中有些问题计算量大甚至让人感觉无从下手。

这时如果我们运用整体代换的思想，根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而减少计算量，使复杂的计算简单化。

例1.已知114a b-=，则2227a ab ba b ab---+的值等于（）A.6B.6-C.125D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a ------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为多少？解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b c d ++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d -++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222ab c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以，原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．二、因式分解中运用整体变换能曲径通幽。

“整体”思想在解题中的应用

“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。

运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。

下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。

“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。

解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。

例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。

分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。

解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。

分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。

解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。

这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。

整体思想在中学数学解题中的应用

同时也考查了学生的运算能力.
三尧二元一次方程组巧用整体代入
嗓例3 解方程组 3x+2y=5， 9x+10y=27.
淤于
分析：按常规本题可以采用代入法或消元法，但
B
C
E
C
M
NP
B忆
N
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱDA
（1）
E
C A
B
B忆
NM
D （2）
C
B忆 N
FD
A
（3）
FD （4）
图8
折叠纸片这一活动在吟A EF为等腰三角形这一结
分析：五个小矩形的
上、下，左、右边之和视为
A
D
一个整体，运用平移观
点，上边之和等于A D，下
边之和等于BC. 同理，左
边之和等于A B，右边之和
B
C
等于CD，则五个小矩形的
图2
周长就可以转化为矩形A BCD的周长.
从问题的表面上看需要求出各个有关量，但实质上
有些量是不必求的，如果把不必求的那些量进行整体转
化，就能使问题顺利解决.
八尧整体补形
四尧无理式或无理方程中巧用整体思想
姨姨例4 解方程
5x x-2
+
x-2 5x
-2=0.
分析：无理方程是一类较为复杂方程，常规思路及
方法解题是非常困难的，但用整体设元的方法可以轻
姨松、快捷地求解出答案.我们可以令 5x 越t，则无理方 x-2
程可以变成t2-2t+1=0，从而容易求出t的值，进而求得x的

整体思想在初中数学的应用

整体思想在初中数学中的应用有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题.整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考与各类数学竞赛中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．一．整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的.1．（1）已知=7，ab=1，则a+b=；（2）已知=3，则+= .2．若x满足，求的值.3．如图，正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.(结果是一个具体的数值)整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 解方程组:.三．整体补形整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法.5．如图，在四边形ABCD 中，2,1,AB CD ==60,90A B D ∠=︒∠=∠=︒，求四边形ABCD 的面积.整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。

6．若2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则22a b c ++=＿＿＿六．整体构造整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题.7．已知012,x <<的最小值.课后练习：1．当时，代数式）的值为 .2. 分解因式： .3．若x ，y 是方程的两实根，求的最小值.4．如图，六边形ABCDEF 的六个角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个六边形的周长等于_______．5．已知a ，b 均为正数，且22b a +、224b a +、224b a +是一个三角形三条边的边长，求这个三角形的面积.。

整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档

整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种重要思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种重要策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种常见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、容易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及重要性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。

数学中的整体思想

数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。

有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。

一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

设船往返共用x小时。

则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。

分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。

整体思想在初一数学中的运用

整体思想在初一数学中的应用解决数学问题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，然后各个击破，有时研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大考察问题的视觉，将所有需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，顺利而又简捷地解决问题，这种从整体观点出发研究数学问题的数学思想称为整体思想。

它是一种重要的数学观念，也是数学解题中一种常见的思维方法，尤其在各种数学竞赛中表现得较为突出，有些数学问题，若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则轻而易举。

引例：计算：111111111111111123201623420172320172342016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++-++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L ＝___________________.一、整体思想在代数式求值中的应用1.当x ＝－6时，代数式531ax bx cx ++-的值为5，则当x ＝6时，这个代数式的值为_________.2.已知：241x x -=，则（1）23122x x --＝_________；（2）32532018______x x x -++=.3.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 同时满足：1,2,3,4,6,9bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f======，求a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 的值.二、整体思想在方程（组）中的应用 1.二元一次方程组264316x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是________________. 2.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元.3.解方程：226201620172018x x x -+++=三、整体思想在几何图形中的应用1.如图是一个3×3的正方形网格，则∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.2.在△ABC 内部有2018个点，将这2018个点与点A 、B 、C 连结，可以把△ABC 分割成多少个互不重叠的三角形？四、课后练习1.已知：2,3,6ab bc ca a b b c c a ===+++，则abc ab bc ca ++＝_______________.2.已知：x =，求322201636731x x x x -+++的值.3.如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数之和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成相应的填图游戏．。

(完整)整体思想在初一数学中的运用

引例：计算：111111111111111123201623420172320172342016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++-++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝___________________.一、整体思想在代数式求值中的应用1.当x ＝－6时，代数式531ax bx cx ++-的值为5，则当x ＝6时，这个代数式的值为_________.2.已知：241x x -=，则（1）23122x x --＝_________；（2）32532018______x x x -++=.3.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 同时满足：1,2,3,4,6,9bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f======，求a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 的值.二、整体思想在方程（组）中的应用1.二元一次方程组264316x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是________________. 2.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元.3.解方程：226201620172018x x x -+++=三、整体思想在几何图形中的应用1.如图是一个3×3的正方形网格，则∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.2.在△ABC 内部有2018个点，将这2018个点与点A 、B 、C 连结，可以把△ABC 分割成多少个互不重叠的三角形？四、课后练习1.已知：2,3,6ab bc ca a b b c c a ===+++，则abc ab bc ca++＝_______________.2.已知：x =，求322201636731x x x x -+++的值.3.如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数之和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成相应的填图游戏．。

整体思想在中学数学应用中的举例

整体思想在中学数学应用中的举例数学的学习除了对数学概念进行准确的把握外，还要对数学思维、数学方法有一个较全面、较透彻的理解和掌握，而数学应用最基础和最直接的就是解题训练。

在解题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之，这是一种常见的有效的方法。

但还有许多的数学问题，用这种“只见树木、不见森林”的思考方法，却常常会导致解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废。

如果我们在研究和解决问题时转换一个角度，从问题的整体出发, 突出对问题整体结构的分析、判断，发现问题的整体结构特征和逻辑关系，善于用“识大体，顾大局”的理念，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间内在的联系，确定解决问题的思路、方法、途径，找到最合理,最简捷实用的解题方法,使问题化难为易,化繁为简，,提高解题效率，这种思考问题的方法思维就是通常所说的整体思想.。

整体思想涉及的形式较多,这里主要对初中常用到“整体观察”、“整体代入”、“整体换元”、“整体构造”在解题过程中的作用,结合初中毕业近年来的中考专题,从下面列举的题例中让学生进一步感受、理解和掌握整体思想解题技巧,提高学生解题能力。

一、整体思想在求代数式中的应用例一：如果x+y=2,xy=-5,求（x4+y4）÷÷(6x-6y)的值析：要求代数式的值，最基本的思路是先求出x、y的值，但这样做使问题复杂化，如果我们对代数式先进行化简，然后把x+y与xy看作一个整体，进行整体代入，则问题就会变得非常简单例二：已知x2+x-2=0,求x2+x+ 的值析：把x2+x看作一个整体求出x2+x=2，再将其代入代数式很容易得到结果例三：已知x2+ =3,求x4+ 的值析：把x+ =3看作一个整体两边同时平方得x4+ =7再将其两边同时平方便得x4+ 的值当然有部分题型从表面上看无法整体代入，但如果将已知条件进行适当的变形或等价处理后再整体代入，如若a2+2a=b2-2b=1,且a≠b,则a/b+b/a=?析：从已知条件形式上看a、b是关于x的方程x2+2x-1=0的两根，由韦达定理得a+b=2,ab=-1,所以b/a+a/b=(a2+b2)/ab=[(a+b)2-2ab]/ab=-6又如、已知1/x+1/y=3,求：（2x-3xy+2y）/(x+xy+y)=?析：从已知条件出发，将其变形（x+y）/xy=3为：x+y=3xy,将其整体代入则：原式=[2(x+y)-3xy]/[(x+y)+xy]=[2×3xy-3xy]/[3xy+xy]=3/4二、整体思想在概念性题型中的应用例：已知y=2010 -2011 +3,求x2+y2的值析：要求x2+y2的值，只需要求出x、y的值，表面上无法求出其值，但根据的意义，2x-3≧0和3-2x≤0求出x= ,进而求出y=3,这样很容易求出x2+y2的值三、整体思想在因式分解中的应用如：分解因式：（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72析：将（x2-3x+2）看作一个整体，设为m,则原是可变为：m(m-6)-72=m2-6m-72=(m-12)(m+6),再把（x2-3x+2）整体代入得：原式=（x2-3x+2-12）（x2-3x+2+6）=（x2-3x-10）(x2-3x+8)在实数范围内换可以继续分解四、整体思想在解无理方程中的应用如:如解方程：3x2-6x-2 +4=0,设 =y则原式可变为：3y2-2y-8=0将其继续分解便得结果.五、整体思想在几何问题中的应用例1:如图,△abe和△acd是△abc分别沿着ab、ac边翻转180度形成的，若∠bac=150度，则∠θ=？析：要求∠θ的度数单独去考虑很难求出，但是如果我们把∠θ的等角∠eba和∠dcb看作一个整体，问题似乎有转机，而∠eba 和∠dcb分别是∠abc和∠acb的2倍角，从已知条件出发∠bac=150°，所以∠abc+∠acb=180°-150°=30°,最终∠θ=60°例2、如图在三角形abc中，∠a=70°，be.cd分别是两底角的角平分线，且becd相交于i，求∠i=?析：把∠ibc和∠icb看作一个整体，因为be、cd为两底角的角平分线所以∠ibc+∠icb= （∠abc+∠acb）= （180°-∠a）=55°∴∠i=180°-55°=125°例3：在△abc中，ab=ac=13cm，f、g为ab、ac上的中点，d、e为bc上的任意两点，且de=5cm,bc=10cm,求四边形afog及△ode 的面积和析：因为四边形afog是不规则的四边形，所以要直接求出其面积比较困难，但是如果连接fg，则fg=5cm,这样四边形afog及△ode的面积和就转化为△afg、△fgo和△ode的面积和且三者等底，设△afg、△fgo及△ode的高为h1、h2、h3，△abc的高为h,则有h=h1+h2+h3,所以saofg+sode=safg+s△fg0+sode= ×5×h1+ ×5×h2+ ×5×h3= ×5×(h1+h2+h3)= ×5×8=20(cm2)例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是s1、s2、s3、s4，则s1＋s2＋s3＋s4=_____．分析：本题不可能求出s1、s2、s3、s4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出s1＋s2、s2＋s3、s3＋s4 解：易证rt△abc≌rt△cde∴ab=cd又∵cd2+de2=ce2,而ab2=s3,ce2=3,de2=s4∴s3＋s4=3，同理s1＋ s2=1，s2＋s3=2∴s1＋s2＋s2＋s3＋s3＋s4=1＋2＋3=6，即s1＋s2＋s3＋s4＝4 例5：以△abc的三个顶点为圆心，以1cm长为半径画圆与三角形两边形成三个扇形，求三个扇形的面积和析；要求三个扇形的面积和，如果我们分开来计算很难达到目的，因为∠a、∠b、∠c的度数不知道，但是如果我们把∠a、∠b、∠c看作一个整体，则有∠a+∠b+∠c=180°，所以s1＋s2＋s3= ∏=∏××180°=这种整体构造的思想也可以推广到类似的任意图形例：如图所示以任意七边形的顶点a、b、c、d、e、f、g为圆心，以1cm长为半径画圆，圆与七边形组成七个扇形，求这七个扇形面积总和析：方法同上，把七个扇形面积看作一个整体，只需要求出七边形的内角和为：(n-2)×180°=900°,所以sn=∏××900°= ∏推广到n边形，则有sn=∏××(n-2)×180°通过以上的举例，我们可以看得出整体思想在中学数学中的作用及重要性，其实在我们平时学习和生活中在自觉不自觉的运用整体思想的思维和方法解决和判断问题，在判断某个图形是轴对称图形还是中心对成图形时要整体去观察图形，在判断函数图形类型时首先要整体观察然后才能确定是正比例函数、一次函数、反比例函数、三角函数还是二次函数，然后再根据具体函数性质类别去解决其它相关问题，对一组数据进行整理求平均数、方差、标准差时，都要对这一组数据进行整体观察、整体分析、整体求解、整体代入，才能对这一组数据进行准确评估，在解决数学应用题时，首先要对整个题型进行整体认读，判断题型类别，然后去粗取精，去伪存真，构建模型，最后达到解决问题的目的。

初中数学中整体思想的应用及解题策略

初中数学中整体思想在代数中的应用有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．一、整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。

例1：已知22007a d +=，22008b d +=，22009c d +=，且abc ＝24，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。

解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：由已知可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=则原式＝2221()a b c bc ac ab abc++--= 2221[()()()]2a b b c c a abc =-+-+-11(114)488=⨯++= 二、整体设元整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。

例2：计算：1111111(1)()2320072342008---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()2320082342007----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。

设11112342007a +++⋅⋅⋅+=，则原式＝11(1)()(1)20082008a a a a -+--- 221200820082008a a a a a a =+---++12008= 三、整体变形整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。

整体思想在初中数学中的应用

＝ａ（ａ＋ａ）＋（ａ ‘ ＋ａ）一ａ＋２０１２
＝
＝
（ａ＋ａ）（ａ＋１）一ａ＋２０１２ｌｘ（ａ＋１）一ａ＋２０１２
２０１３
＝
例２：已知Ｘ＝２时．ａｘ＋ｂｘ＋ＣＸ一８＝１０．求当ｘ＝一２时，代数式ａｘ＋ｂｘ＋ＣＸ一８的值．分析：由于ａｘ＋ｂｘ＋ＣＸ中的ｘ的指数均为奇数，故当ｘ＝２和ｘ＝一２时．它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值．
将ｘ１视为一个整体，设ｘ ‘ｌ＝ｙ，运用整体思想来分析，就可以
化难为易．解：设ｘｌ＝ｙ，则原方程可化为
２
、
例１：已知ａ＇－ａ一１＝０，求ａ＋２ａ＋２０１２的值．分析：此题若先从已知条件ａｔ－ａ一１＝Ｏ中解出ａＭ值，然后代人代数式求解．尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很
一
［（ａ ‘ ＋２ａ）＋２］［（ａ ‘ ＋２ａ）＋４］＋１
（＋２ａ）。＋４（ａ＋２ａ）＋２（ａ＋２ａ）＋８＋ｌ
（ａ。＋２ａ）＋６（ａ￣
：
（ａ２＋２ａ＋３）
２
‘ ．
．
ａ－ａ＝１
ｆｘ＋ｙ＝５ ④ ｛ｙ＋ｚ＝４ ②

“整体思想”在初中数学解题中的应用

R (x
+a
)+b
= Rx + R a + b
知 ( =
) 日
。
=
9
．
二
砰 r2 S ．．
环形 = 订
一叮r
=
( 砰 1 r
一
r2)
9 =
,rr ．
综上可知，灵活运用整体思想可以化难为易
】7 = 茁 +
．
- ．．● _ ◆ 0 ◆ - ． - ¨
-．
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警依患想” 符却巾饷盛 l{i
@ 蔓壶焦直哆墨塞熊皇鲎是麦煎
…
…
．
“ 整体思想 ” 就是在数学解题过程中把题中的某一部分看成是一个整体的一种重要的数学解题方法．在实
分析
在解以上方程组中，若想单独求出
R
、a
b
、
，
是不可能的，故采用将舶 + b 看作是一个整体来求解，
由题意知， O C ~ A B
AC =
，
BC ，
舻 c 2 c 2 ．．
OA D 2
一
r
：
。
一
=A
时时且 z = 2
Y=
，
19 ；x
=
3
，，，= m
求函数的解析式
解：由题意可得：
19 =
2R + Ra
+b ,
解得之
R=
1 ，R a
+b=
17 。
‘ ．．

整体思想在初中数学解题中的应用

整体思想在初中数学解题中的应用作者：郭伟来源：《学校教育研究》2016年第13期我们在数学的教学过程中，应该注重培养学生的数学思想，以便学生在解答数学题目的过程中，提高解答的速度以及正确性，把复杂的问题简单化。

而整体思想是数学中一种非常重要的思想。

我将从以下几个方面来阐述整体思想在初中数学中的应用。

一、数与式中的整体思想分析：本题按逐步相乘，会非常繁琐，而且容易出错。

本题可以先通过观察，把式子中相同的部分作为一个整体用一个字母来表示，例如设为，为，那么，分析：此题已知条件中的值含有根号，给我们的计算增加了难度，若考虑去掉根号，是否更好些呢？移项，得：，两边平方得：；将整体代入原式，得：说明：通过例1与例2，我们可以发现在解题时，先观察式子本身结构的特点，从而去找到突破点，再用整体代入的方法便简单地解决了这个问题。

二、方程（组）与不等式（组）中的整体思想例3：解方程组分析：通过观察一发现：若用①+②+③便可得到：2（x+y+z）=12，这样有x+y+z=6 ……④，将x+y=3、y+z=5、x+z=4作为一个整体分别代入到④中，就得到了z=3，x=1，y=2。

通过这样的手段，可以提高解题的速度，解题的准确性，使我们创造性思维得到培养，激发学生解题的兴趣。

例4：解方程组这个题的特征似乎不象例3那样的明显，但通过我们的细心观察，就可以发现方程③中含有方程②中的y - z，而y - z =3，那么方程③中的y -z这个整体便可以用“3”代替了，即：x+3=4，从而x=1，将x=1代入①得到 y=5，将y=5代入②得到z=2。

这个整体思想的运用，最主要是来源于对方程结构的观察，其观察的目标应该是定格在未知数的系数上面。

三、几何中的整体思想例5：如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是1cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和。

（友情提示：三个圆心角之间有何关系）分析：若要求每一个扇形的面积，就必须去求每一个扇形的圆心角，这里是办不到的，但我们可以将这些扇形拼凑在一块，通过三角形的内角和公式求出这个拼凑所得的半圆的圆心角，从而求出半圆的面积。

例谈整体思想在数学中的应用

1 1 1 1 1 1 1
＝2（∠ＢＯＣ－∠ＡＯＣ）＝ ∠ＡＯＢ
2 1 1
1
ＢＭ
＝2×90° ＝45° 图1 Ｃ例 6 如图 2，在ＢＡＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ＋ＡＣ＝13。ＡＢ边的垂直平分线ＭＮ交ＡＣ于点Ｄ，求ＢＣＤ的周长。分析：要求△ＢＣＤ的周长，只要求出ＢＣ＋ＣＤ＋ＢＤ即可，而ＭＮ垂直平分ＡＢ，可知ＢＤ＝ＡＤ，从而将△ＢＣＤ的周长转化为ＢＣ＋ＡＣ，继而可使问题解决。解：∵ＭＮ垂直平分ＡＢ交ＡＣ于点Ｄ A ∴ＢＤ＝ＡＤ，又ＡＢ＝ＡＣ ∴△ＢＣＤ的周长＝ＢＣ＋ＣＤ＋ＢＤ M ＝ＢＣ＋ＣＤ＋ＡＤ＝ＢＣ＋ＡＣ D ＝ＢＣ＋ＡＢ＝13 N 点评：本题若分别求三边长，则不宜求解。 C B 而巧妙运用整体思想，可是问题简单图2 化。例 7. 已知直角三角形的周长为 12，斜边上的中线长为 2.5，求直角三角形的面积。２２分析：若直接求两直角边ａ与ｂ的值，要用到二次方程，求解较繁，但由ａ＋ｂ和ａ＋ｂ联想到运用整体思想（将ａｂ视为一个整体），问题便可以顺利获解。解： ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可设斜边长为Ｃ，两直角边长为ａ，ｂ。 2 2 2 ２则ｃ＝5，ａ＋ｂ＝12－5＝7，由勾股定理得 c =a +b ＝（ａ＋ｂ）－2ａｂ，ａｂ＝
1 5−2 1 5−2
，ｂ＝
1 5+2
，那么
1 5+2
a2 + b 2 + 7 ＝ 5—2
的值为__________
＝ 5＋2，ｂ＝
∴ａ＋ｂ＝2 5 ，ａｂ＝1 ∴ a2 + b 2 + 7＝ (a + b)2 − 2ab + 7＝ 20 − 2 + 7＝5 点评：本题运用整体法达到难题巧解的目的，用整体思想求职是很重要的一种方法。 2. 整体思想在几何图形中的应用例 5. 如图 1∠ＡＯＢ＝90° ,∠ＡＯＣ＝30° ,ＯＮ是∠ＡＯＣ的平分线，ＯＭ是∠ＢＯＣＣ的平分线，求∠ＭＯＮ的度数。若∠ＡＯＣ是任意一个锐角，其他条件不变，则∠ＭＯＮ的度数是否发生变化？请说明理由。解：∵ＯＮ是∠ＡＯＣ的平分线，ＯＭ是∠ＢＯＣ的平分线。 ∴∠ＮＯＣ＝2∠ＡＯＣ＝2×30° ＝15° ∠ＭＯＣ＝2∠ＢＯＣ＝2（∠ＡＯＢ＋∠ＡＯＣ）＝2×（90°+ 30° ）＝60° ∴∠ＭＯＮ＝∠ＭＯＣ－∠ＮＯＣ＝60° －15° ＝45° 若∠ＡＯＣ是任意一个锐角，其他条件不变，则∠ＭＯＮ的度数不发生变化。理由如下： ∠ＭＯＮ＝∠ＭＯＣ－∠ＮＯＣ＝2∠ＢＯＣ－2 ∠ＡＯＣ

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整体思想数学论文3200字_整体思想数学毕业论文范文模板整体思想数学论文3200字(一)：整体思想在初中数学解题中的应用论文[摘要]新课改风向标下，数学思想的渗透始终是数学教学的核心，而整体思想在数学思想中占据主要地位，有着广泛的应用性，是贯穿初中数学解题领域的主线之一.因此，关注到整体思想在解题中的应用具有重要的现实意义.对此，文章的重点从求值问题、方程问题和应用问题入手，引导学生展开解题思维，渗透整体思想，最终让数学的核心素养在数学课堂落地生根.[关键词]整体思想；数学解题；思想方法；数学思维新课程改革推进下，明确提出了“四基”理念，体现了数学思想在数学学习中的重要意义.数学思想是数学学习中的核心内容，也是数学解题中最具生命力的存在，是遗忘数学知识或数学方法之后还需保留的思维方式.初中阶段常见数学思想众多，整体思想则占据主要地位，有着广泛的应用性，是贯穿初中数学解题领域的主线之一，对数学问题的解决有着意想不到的作用，也是后续高中数学解题中的基本内容之一，因此整体思想一直是中考命题的重心.整体思想就是对问题进行整体处理的解题方法，它的表现形式多种多样，有整体代换、整体变形、整体设元等.本文将以数学解题中的整体思想为主线进行全面梳理，充分挖掘其中蕴含的解题策略，以期在解题教学中能更充分地发挥数学思想的教育教学价值，有助于培养学生分析和解决问题的能力，提升学生的数学思维和数学学习水平.求值问题中运用整体思想可化繁为简用整体的观点认识数学公式和数学法则，用整体的观点分析和解决数学问题，进而培养学生思维的发散性、灵活性、敏捷性，从而提高解决问题的效率.初中数学中的代数式求值问题是初中数学“数与式”中的重点题型，往往在历年中考中扮演着极其重要的角色.这类题目呈现的是一个含有未知变量的等式，然若通过常规思维去求未知变量并代入求解，则会生成相当大的计算量，过程相当烦琐，有些甚至无法下手.但若运用整体思想灵活进行整体代换，则可以简化解题过程.例1已知4c2-c-6=0，试求出8c2-2c-5的值.分析该题涉及代数式的求值问题，而学生较为熟悉的常规解题思路则是求出具体的c的值，然后代入得出代数式的值.其一，观察求值式子可以看出所求的是一个关于c的多项式，自然就需要挖掘条件4c2-c-6=0去求出具体的值.而很显然条件4c2-c-6=0无法轻易进行因式分解，那么未知数c的值就很难得出了.再转换思路，从一元二次方程的求根公式着手进行求解，尽管理论上是可行的，但解题过程相当的烦琐，也极易出错.于是这两种常规的解题思路自然是不可行的.再深入观察并分析，可关注到未知式中的部分“8c2-2c”刚好是已知式中的部分“4c2-c”的两倍，那么这里就很显然考查了学生的整体思想.不难想到进行恒等變形，将已知式变形为4c2-c=6，未知式中的8c2-2c变形为2（4c2-c），那么问题便迎刃而解了.例2已知x2-3x=6，试求出6x-2x2的值.分析本例题乍一看已知式与未知式之间似乎毫无关联，而深入观察则可发现之间存在着密切的内在联系.事实上，未知式是已知式相反数的2倍，有了这一思路，我们便可以将已知式x2-3x=6变形为3x-x2=-6，再将式子两边同时乘以2，即可快速求得未知式的值.上述两道例题关注到了整体思想的合理运用，同时也是对学生数学学习方法和解题能力的一种考查，对学生数学思维的提升有一定助推作用.由此可以看出，不少代数求值类问题若拘泥于常规解法，则很难进行突破，易形成举步维艰的局势.而用整体思想进行解题，则可以快速而准确地把握解题的方法和策略，则可以达到柳暗花明、一举成功的效果，让问题解决得清晰明了，使复杂的问题简单化.解方程问题中运用整体思想可曲径通幽在初中阶段的数学代数学习中，整体换元法是时常会用到的一种数学思想方法，一般运用于解方程或方程组问题中，掌握并应用好这一思想方法可以提高解题能力.所谓的整体换元法，就是在解题过程中，将某个式子视为一个整体，以一个变量取而代之，从而使问题简化解决.事实上，整体换元法的运用不仅可以培养学生的数学思维，帮助学生减少不必要的运算量，达到提升运算速度，掌握速算技巧的目的，还有助于学生创新思维的培养，从而为学生在中考取得较好的成绩谋求最大利益.例3已知12x2-4x+1=，试求出x的值.分析该题涉及方程问题的解决，若从一般思路出发谋求解题路径，则需去除等式右侧的分母，那么式子两侧就需同时乘以6x2-2x，并整理.很显然，此时式子的未知数的最高次项为四次，等式的复杂不言而喻，对下一步的计算造成了较大的压力.而从式子的整体着手，认真观察方程的结构可以看出6x2-2x是12x2-4x 的一半，那么只需令y=6x2-2x，所以2y=12x2-4x，化简式子可得2y+1=，等式两侧同时乘以y，整理可得2y2+y-3=0，这样一来，y的值即可快速求出.而又因为y=6x2-2x，那么再求出x的值就十分简捷了.例4解方程组2x+3y=12①，7x-17y=97②.分析本题若从常规换元出发进行求解，则可设2x=6+t，3y=6-t，则有x=3 +，y=2-.很显然，这样一来分式也随之出现了，为进一步运算带来了很大的麻烦.而我们换一种换元思路，去设2x=6+6t，3y=6-6t，则有x=3+3t，y=2-2t，这样一来则可以达到化繁为简的解题效果.以上题型熟悉且不常见，较易入手且又富有一定的思考价值，重点考查了学生整体思想的运用，并与新课标理念相融合，这样的题型指引为后面的中考复习指明了正确的方向.由此可见，整体换元法具有广泛的应用性和普遍性，熟练掌握换元法可以为数学解题创造更多的契机.合理应用整体换元法可化难为易、化繁为简，为解决复杂的方程和方程组问题供给重要的解题工具.应用问题中运用整体思想可另辟蹊径数学解题推崇的就是简捷，因此在解决一些数学应用题时若能着眼于整体深入观察，则可以触及问题本质，获得简捷的解法.在应用问题中运用整体思想，不仅达到另辟蹊径、出奇制胜的效果，还有助于学生思维敏捷性的培养.例5小明、小红和小刚是好朋友，小红和小明从各自的家中出发，并朝着对方家的方向前进，小红与小明两家相距30km，小红的步行速度为1km/h，小明的步行速度为2km/h.而小刚与他们不同，三人同时出发，但它在小红与小明相遇前骑着自行车以5km/h的速度在二人之间进行往返运动，直至两人相遇.那么，小刚从小红和小明出发直至相遇共骑行路程为多少？分析通过反复解读不难得出这里要求的是小刚一共所骑行的距离，那么就需得出小刚在遇到小红与小明二人其中之一时所走的路程，然后将各段所行路程相加即为所求距离.这一方法进行解题则是源于小刚在不断往返中与小红和小明多次遇见，若逐个分析并累计计算路程，不少学生会因为次数繁多而造成疏忽，显然计算错误是无法避免的.若此处利用整体思想进行解决，根本不需经历烦琐的计算，只需根据公式“路程=速度×时间”计算即可.因为小刚的行驶速度是已知的，时间即为小红与小明两人相遇所用时间，这样一来，解题思路清晰明了，解题策略也甚是巧妙，更不可能出现计算上的错误，真是一举两得.解题的目标就是为了达到思维和能力提升的目的，此处通过整体思想对该问题进行“再创造”即达到培养数学思维的目的.通过以上例题可以看出整体思想在应用问题中的作用，这一方法应用所取得的效果是其他解题策略所无法达到的，从而体现了“整体思想”的重要性.总之，数学思想是形成数学能力的催化剂，是促进数学解题的灵魂.在中考中，几乎每一个把关题和探究题都蕴含着一种以上的数学思想.我们只有在教学中不断渗透整体、转化、数形结合等多种数学思想，引导学生勤于总结，勇于反思，从解题策略中反复提炼理论精华，促进数学思想的灵活运用，达到提升数学思维的目的，最终让数学的核心素养在数学课堂落地生根.整体思想数学毕业论文范文模板(二)：例谈整体思想在高中数学解题中的应用论文摘要：伴随着国内教育改革进程的不断深化，现阶段我国的高中数学教学水平也得到了显著提高。