任意角及其度量

第三象限角
第二象限角
注意 所找角的度数就是被360除得的余数!
例2. (1)写出终边在 x 正半轴上角的集合； (2)写出终边在 x 上角的集合.
解: (1) 即写出终边与零角重合的角的集合.
S { | k 360 , k Z }
(2)即终边与零角或 180 重合的角的集合.

例3.已知 是第三象限角，判断下列角所在象限： , , , , 2 2 2 3 解： k 2k , k Z 2 2 3 2k 2k , k Z 第二象限角 2 3 2k 2k 2 , k Z 第四象限角 2 2 第四象限角 2k 2k , k Z 2
O
x
不是象限角.


思考 第一象限角的度数是否一定小于 第二象限角的度数？
三、终边相同的角 一般地，所有与角 终边相同的角，包括角 本 身构成一个集合，这个集合可以记为：
{ | k 360 , k Z }

终边相同的角彼此间 可能有怎样的关系？
y
450
O
x
630

例1.在 0 360 范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角. (1) 200
200 360 160

(2) 2000
2000 5 360 200
第二象限角 (3) 95015'
95015' 3 360 129 45'
一、任意角 一个角可以看做平面内一条射线绕它的端点从一 个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
思考 下面两个角的大小分别是多少？
B B

O
A

O
A
450

630

一、任意角 一个角可以看做平面内一条射线绕它的端点从一 个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
思考 角的加法运算的几何意义是什么？ 90 (30 ) 30 60




180
rad
5 rad 1.745rad 9
67 30' 67.5 67.5


解毕
3 rad 1.178rad 8
180
rad
例2.将2.3弧度和3.14弧度换算成角度： (用度数表示，精确到0.001)
180 解: 2.3 rad 2.3 ( ) 131.78

三、象限角 在平面直角坐标系中，角的顶点置于原点，角的 始边(除端点)与 x 正半轴重合. y 角的终边(除端点)在第几象限， 就说这个角是第几象限角.
O x 思考 说出“锐角”与“第一象限角” 的概念的区别. 是锐角： 90 0 是第一象限角： k 360 90 k 360 , k Z 0
思考：能否画出任意半角的终边所在区域？
(选用)例4.已知角 的终边与 的终边相同，在 3 [0, 2 ] 中求与 终边相同的角. 3 2 k 解：设 2k , k Z 则 ,k Z 3 3 3 9
如图，显然在 [0, 2 ] 中有三个角与
y
3
60

45 30 6
4
15

12

0
0
180 rad
所对的圆心角为 60，半径 例3.扇形 AOB 中，AB 为50米，求弧 的长 l (精确到0.1米) AB
解： 60


3
rad
解毕
l

3
50 52.4 (米)
在弧度制下，扇形的圆心角与弧长的关系 将比角度制下更为简单：
120
终边相同，分别是当 k 0,1, 2 时 3 7 13 的角 , , 解毕 9 9 9
20
O
120 120
x
x rad
实数 x
因此在不引起误解的情况下 rad 单位可以省略！ 例 2 即 是2弧度的角
sin

3
即

3
rad 的角的正弦
第五章 三角比
5.1.2 任意角及其度量
5.1.3 任意角及其度量
例1.用弧度制写出： 300 终边重合的角的集合； (1)与角
(2)终边在 x 轴上的角的集合； (3)终边在直线 y 3x上的角的集合. 解: (1) { | 2k , k Z } 3 (2) { | k , k Z} (3) { | k 解毕
C
90 30

B B
C
90 60
60
30

O
A
O
A
注意: ( )
二、象限角 在平面直角坐标系中，角的顶点置于原点，角的 始边(除端点)与 x 正半轴重合. y 角的终边(除端点)在第几象限， 就说这个角是第几象限角. 例 是第一象限角.

是第三象限角.
思考：它们的终边与角 的终边的位置关系？
例3.已知 是第三象限角，判断下列角所在象限： , , , , 2 2 2 3 续解： k 2k , k Z 2 2 3 k k , k Z 第二、四象限角 2 2 4 4k 2 2 4k 3 , k Z 第一、二象限角及 y 轴的正半轴
第五章 三角比
5.1.1 任意角及其度量
5.1.2 任意角及其度量
弧度制
用弧度来度量角的单位制 一、弧度制 B 长度等于半径长的弧所对的圆心角
r
叫做1弧度(radian)的角. O 弧度记作 rad 例 的长为 r ，则 AOB 是1弧度的角 AB
AB
r
A
旋转方向
AOB 的弧度数
2
3 2

180 ) 179.91 3.14 rad 3.14 (

3 rad ( 135 ) 思考 4
180 rad
三、常用角的角度数与弧度数
2 3 7 12

2
5 12
11 165 12
120 5 135 6 150 180
3 4
90 75 105
S1 { | k 360 , k Z }
S2 { | 180 k 360 , k Z }


S S1 S 2 { | k 180 , k Z }

解毕
(选用)例3. 已知角 与 240 角的终边相同，判断 2 是第几象限角. 得 120 k 180 , k Z 解: 240 k 360 , k Z 2 k 当 k 是偶数时， 2m, m Z 120 m 360 , m Z 2 与 120 终边重合， 是第二象限角； 2 k 当 k 是奇数时， 2m 1, m Z 300 m 360 , m Z 2 与 300 终边重合， 是第四象限角. 解毕 2
2r
3r
逆时针
逆时针 顺时针
2 r
用弧度来度量角的单位制 一、弧度制 B 长度等于半径长的弧所对的圆心角
r
叫做1弧度(radian)的角. 弧度记作 rad
O
r
A
一般地，如果半径为 r 的圆的圆心角 所对应的 弧长为 l ，那么 的弧度数满足： l | | r 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0.

3
, k Z}
例2.写出终边位于下列阴影部分(含边界)内的角的 集合: y y
y
y
45 45
60 O
45
30
x
O
x
O
30
x
O
45

45
x
2 解: (1) { | 2k 2k , k Z } 4 3 5 (2) { | 2k 2k , k Z} 6 (3) { | k k , k Z } 3 k k , k Z } 解毕 (4) { | 2 2 4
第五章 三角比
4.8.2 指数不等式与对数不等式
5.1.1 任意角及其度量
一、任意角 一个角可以看做平面内一条射线绕它的端点从一 个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
终边

P A P'
顶点

角的内部 始边
O

规定逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 顺时针方向旋转而成的角叫做负角； 射线没有旋转时也看成一个角，叫做零角. 写成 (或 ) 0
二、弧度制与角度制的换算
360 2 rad 180 rad

1


180
rad 0.01745 rad
180 1 rad ( ) 57.30 57 18'

一般地 n n


180
rad
180 rad ( )

例1.按下列要求把100 和 67 30' 化为弧度: (1)精确值； (2)精确到0.001. 解: 100 100
l r
例4.利用弧度制推导扇形面积公式： 1 S lr 2 其中 l , r 分别是扇形的弧长与半径长.
解：设扇形的圆心角的大小为 (0 2 )
1 2 1 2 则 S r r lr 2 2 2
这个公式的结构类似哪一个面积公式？
四、角的集合与实数集 角的概念推广后， 在弧度制下, 角的集合与实数集R建立了 一一对应的关系 角 正角 零角 负角 正实数 0 负实数