2019-2020年高三上学期月考(六)(理)数学试题含答案.docx

2019-2020 年高三上学期月考（六）（理）数学试题含答案一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z22i ，则下列结论中正确的是（）1iA．的虚部为i B．z2C．2为纯虚数D．z1 iz z2. 已知条件p :x m x m30 ；条件q : x23x40 ．若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（）A．, 71,B．,7 1,C．7,1D．7,13. 已知sin cos30,，则 cos 2的值为（），且2A．15B．1C．15D．1 4444 4. 执行如图所示的程序框图，如果输入n 6 ， m 4 ，则输出的p 等于（）A．60B． 240C． 300D． 3605.用1，2，， 9 这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ，其中 a ，b， c 三个数字之积能被 10 整除的三位数共有（）A．96个B．132 个C．168 个D． 180个6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（）4B 33C．3． 3A．．2D327. 已知函数f x sin x（0 ，0 ，）在一个周期内的图象如图所2示，则 f（）4A．1B．1C． 1D．1 228. 某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为15 万元时，年销售量的预报值为（）A．45万件B． 48万件C．50万件D ． 55万件ny bx a bx i y i n x yay bx中，n， ．参考公式：在回归直线方程 ?i 1x i 2 n x 2i 110. 如图，边长为 2 的正方形 CD 的顶点， 分别在两条互相垂直的射线 ，Q 上滑动，则 CD 的最大值为（）A ． 2B． 4C． 6D． 811. 设双曲线x 2y 2 1（ a0 ， b 0）的两条渐近线分别为l 1 ， l 2 ，左焦点为 F ．若点 Fa 2b 2关于直线 l 1 的对称点 在 l 2 上，在双曲线的离心率为（ ）A ． 2B． 3C． 2D．312. 对于区间a, b 上的函数 fx ，若存在 x 0a, b ，使得 f x 0b f x dx 成立，则称ax 0 为函数 fx 在区间 a,b 上的一个“积分点” ．那么函数 fxcos 2x在区间60,上的“积分点”为（）2A ．B． 4C ．D．56312第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在C 中，角 ， ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，若 sin2sin，且a b 3c ，则角 C 的大小为．14. 已知x ，y 满足约束条件x y1x y12x y2，若目标函数z ax by （ a0 ， b0）的最大值为1，则11的最小值为．3a b15. 设直线l : x 2 y m0 与椭圆 C :2x y21相交于，两点，为椭圆C 的左顶4点，若的重心在y 轴右侧，则m 的取值范围是．16. 如图，记棱长为1的正方体为C1，以 C1各个面的中心为顶点的正八面体为C2，以 C2各面的中心为顶点的正方体为C3，以 C3各个面的中心为顶点的正八面体为C4，，以此类推．则正方体C9的棱长为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.（本小题满分 12 分）设数列x n的前 n 项和为 S n，若存在非零常数p ，使对任意 n都有S2 np 成立，则称S n数列x n为“和比数列” ．（ 1）若数列a是首项为 2 ，公比为 4 的等比数列，判断数列log2a是否为“和比数列” ；n n（ 2）设数列b n是首项为 2 ，且各项互不相等的等差数列，若数列b n是“和比数列” ，求数列b n的通项公式．18.（本小题满分 12 分）某工厂有 120 名工人，其年龄都在20 60 岁之间，各年龄段人数按20,30 ， 30,40 ，40,50 ， 50,60 分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加、两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．40 的样本，求四个年龄段应分别抽取的（ 1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为人数；（ 2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（ 3）随机从年龄段20,30和40,50中各抽取1人，设这两人、两项培训结业考试中成绩都优秀的人数为，求的分布列和数学期望．19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱柱CD 1 1C1D1中，1底面CD ，各侧棱长和底边长都为 2 ，D 60，为侧棱 1 的延长线上一点，且1 1．（ 1）求二面角D1C的大小；（ 2）设点F在线段D1上，若 1 F//面C，求D1F: F的值．20.（本小题满分 12 分）如图 1，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上，准线与 y 轴的交点为．过点作圆 C : x221的两条切线，两切点分别为D，G，且 DG 4 2 y 2．3（ 1）求抛物线的标准方程；（ 2）如图2 ，过抛物线的焦点 F 任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线于， Q 两点和，两点，，分别为线段Q 和的中点，求面积的最小值．21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x x2 2 a x aln x，其中 a 为常数且 a 0．（ 1）若曲线y f x 与直线y a相切，求 a 的值；2（ 2）设x1，x2为两个不相等的正数，若 f x1 f x2，证明： x1 x2 a ．请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图，在的内接四边形CD 中，D C ，过点 C 作的切线，交的延长线于点．（ 1）证明：C C D ；（ 2）若4，C3， CD1，求C的长．23.（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程x 2cos在平面直角坐标系x y 中，曲线 C 的参数方程为（为参数）．以原点为极y 3 sin点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（ 1）求曲线C的极坐标方程；（ 2）若直线l的极坐标方程为cos3，求直线l被曲线C所截得的线段长．6 224.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x x 1x2m，其中 m 为常数．（ 1）当m7时，求不等式f x0的解集；2a， b ，c满足 a b c m ，若函数f x的最小值为 2 ，证明：（）设实数a22b2c210 ．湖南师大附中2016 届高三月考试卷（六）数学（理科）答案1． C【解析】由已知，z 2 1ii 2i1i ，则 z 的虚部为1， z 2 ，z22i 为纯虚1i1数， z 1 i ，选C．2.B【解析】设集合x x m或 x m3 ， Q x 4 x1．因为 p 是 q 的必要不充分条件，则 Q 是的真子集，所以m34或 m1，即 m7或 m1，选B．3.Acos2cossincossin 15，选 A．44.D【解析】第 1次运行到判断框时， k 1， p 3 ；第 2 次运行到判断框时， k 2 ， p 12 ；第 3 次运行到判断框时， k3 ， p 60 ；第4 次运行到判断框时， k 4 ， p 360 ，此时 km ，终止循环．所以输出p360 ，选 D ．5.B【解析】据题意，三个数字中有一个数是5，另两个数至少有一个偶数．第一类，分别从1，3，7，9和2， 4 ， 6 ， 8 中各选一个数，连同1 1 35 组成三位数，有 C 4C 4 3 96 个；第二类，从 2，4，6，8中任选两个数，连同 5 组成三位数，有 2 3C 4 3 36 个，所以符合条件的三位数共有 96 36 132 个，选 B ．6.C【解析】因为正视图、侧视图和俯视图都是边长为1的正方形，将三棱锥CD 按如图所示放在正方体中，则其外接球的直径等于正方体的对角线长．因为正方体的对角线长为3 ，3则外接球半径为3，其体积 V 4 3 3 ，选 C ．23 2 27.A【解析】由图知，2，且35 12 3 ，则周期，所以2 ．因为464f2，则 212，从而3．所以 f x2sin2x，故1223f2sin51，选 A ．468.C66【解析】由样本数据得，x 5， y30 ，x i y i1000 ，x i 2200 ，则i 1i 11000 6 5 302 ，a30 25 20，所以回归直线方程为?2x 20．当x 15b6 25y200 时， y 50 ，选 C ．9.D【解析】令 f f x1 0 ，得 f f x1．设 f x t ，则 f t 1．由图知，方程 f t1有两解 ， ，且t 11 ， 21．从而方程f xt 1 有两解，方程f xt 2t 1 t 2k 0 t也有两解．所以方程f f x 1 0 有 4 个解，选 D ．10.D【解析】取 的中点 ，设向量与D 的夹角为，则CDCDDCCDD4 2D4 4cos4 ．所以当0 时，CD8，选 D ．max11.A【解析】不妨设 l: ybx ， l 2: ybx ，点 Fc,0 ，x 0 , bx 0 ．因为 F l ，则1 aaa 1bx 0 bx 0 c bx 0a 2a 2x 0 c ．因为 F 的中点在 l上，则 x 0 c a1 ，即 b x 02 ,12abx 0 b x 0c，即 x 0c．所以 b 2 ca 2 cc ，即 b 23a 2 ．所以 e1 b 22 ， 2aa 222 2a 2选 A ．12.B【解析】因为2cos 2xdx1sin 2x26261sin7sin1，则2662f x 0cos 2x 01．因为 x 00, ，则 2x 0 6, 7 ，所以6226 62x 02，选 B ．，即 x 063413. 60【解析】由 sin2sin ，得 a 2b ．又 a b 3c ，则 3b3c ，即 c3b ．所以a 2b 2c 24b 2 b 23b 21 60 ．cosC2ab4b 2，故 C214. 9【解析】作可行域，得当x 3， y 4 时，目标函数 z ax by 取得最大值．由已知，3a 4b1，则 11 1 1 3a 4b 54 b 3 a5 24 b3 a 9 ，当且仅3ab 3a b3a b3a b1 1时取等号，所以 1 1 9 ．当 a， b3a b96min15. 2,2 2【解析】将 x 2 ym 代入椭圆方程， 得 2 y24 y 2 4 ，即 8 y24my m 2 4 0．由m16m 2 32 m 240 ，得 m 28，即 22 m 2 2 ．设点x 1, y 1 ，x 2 , y 2 ，则 y 1 y 2mx2 yy2m m ．因为的重心在 y 轴右侧，点，从而 x222112,0 ，则 x 1x 2 2 0 ，所以 m 2 0 ，即 m2 ．综上， m 的取值范围是 2,2 2 ．16. 18【解析】设正多面体C n （ n）的棱长为 a n ，则 a 11．因为正八面体 C 2 由两个同底的C 1 的棱长， 则 a 222 正四棱锥组成， 公共底面是正方形， 其对角线长为正方体a 1．因2 2 为正方体 C3 的各顶点是正八面体2 1 2 a 21 C2 各个面的中心，则 a3 2a 23．同理，3 23a42a3221a1， a3， a5，， a2n 1是首2， a5a49，．由此猜想，数列631的等比数列，所以141 ．1，公比a9338117. 【解析】（ 1）由已知，a n 2 4n 122n1， log 2 a n2n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）数列 log 2a n的前 n 和 S n，S n 12n1n n2，2S2n24n2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 4 分）2n所以S2n 4 ，故数列log2 a n是“和比数列” ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）S n（ 2）数列b的公差 d （ d0 ），前nn n 1和n，n2n d ，n24n 2n2n12n2n12 n2d822n 1 d2n4n d ，所以．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2n n 14nn2n d 1 d2（8 分）因 b n8 2 2n1 dp 恒成立．是“和比数列” ，存在非零常数p ，使n 1 d4即 8 2 2n 1 d p 4 n 1 d，即 p 4 dn p 2 4 d 0 恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）所以p4d0．因 d0， p 4 ， d 4 ．p24d0所以数列b n的通公式是 b n2 4 n14n 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）18. 【解析】（ 1）由率分布直方可知，年段20,30，30,40， 40,50， 50,60 的人数的率分0.3 ， 0.35 ， 0.2 ， 0.15 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）因 400.312，400.3514， 400.28， 400.15 6 ，所以年段20,30，30,40 ， 40,50 ， 50,60 抽取的人数分12 ， 14 ， 8 ， 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）（ 2）因 各年 的中点 分25 ，35 ， 45 ，55 ， 的 率分 0.3 ，0.35 ，0.2 ，0.15 ，x25 0.3 35 0.35 45 0.2 55 0.15 37 ．由此估 全厂工人的平均年 37⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6 分）（ 3）因 年 段20,30 的工人数 120 0.3 36 ，从 年 段任取 1 人，由表知，此人培 考 成 秀的概率27 3， 培 考 成 秀的概率164 36436，9所以、两 培 考 成 都 秀的概率3 4 17 分）4 9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3因 年 段40,50 的工人数 120 0.224 ，从 年 段任取 1人，由表知，此人培考 成 秀的概率16 2，9 3 24 3 培 考 成 秀的概率，所以2 3 1 248、两 培 考 成 都 秀的概率38 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 8 分）4由 ，的可能取0，1， 2．其中11 1 11 ，34211 11111 5 ， 21 1 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（103434123 4 12分）所以 的分布列是1 2 1 5 121212⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11 分）期望1 15 17212．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 12 分）1212 1219. 【解析】（ 1）取 C 的中点，D 1 ，．因 D 1D D ， D 1DCD ， D CD ，D 1 CD 1 ，所以 D 1C ．同理C ，所以D 1二面角D 1C的平面角．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）由已知，D 是 2 的正三角形， D 1 ．在 Rt DD1中， DD12， D 1 D 2DD 12 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）在 Rt中， 3 ，2210 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 4 分）1D1，在 Rt D11中，1D1 2，11，D11D1212 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）然，D12D12 2 ，D1等腰直角三角形，所以D145 ，故二面角D1C的大小45．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）（ 2）分以，x ，y，点与平面CD 垂直的直z 建立空直角坐系，3,0,0 ，0,1,3，D0,1,0，D10, 1,2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）n x, y, z平面n03x0．C 的法向量，，即y3z0n0取 z1，n0, 3,1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9 分）D1F D1，1F1D1D1FDD1D D 13,1,00,2,13,21, ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）因1F// 面C，1F n ，即1F n0，所以 3 210，解得3．⋯⋯⋯（ 11 分）53D1所以 D1F，故 D1F: F3: 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12 分）520. 【解析】（ 1）由称性知，DG y ， DG 与 y 的交点22，D．3CD ， Rt C D 中，CD1，C221．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）CD D3因 DC 的切， CD D C C 2．由射影定理，得CD ，C 3 ．⋯⋯⋯⋯（3分）因心 C 的坐0,2， C 2，所以 1 ，即p1，得 p 2 ．2所以抛物的准方程 x2 4 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）（ 2）直l1的斜率k，因l1焦点F 0,1，直 l1的方程y kx1．代入x24y ，得x24kx40 ．点x1, y1， Q x2 , y2， x1x2 4k ．因段 Q 的中点，点2k, 2k 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 7 分）因 l1 l 2，直 l 2的方程y 1x 1．同理可得点2,221．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯k k k（8 分）直的方程y2k21x 2k，即 y k1x 3 ，然定点22k22kk22kkD0,3 ．⋯⋯⋯⋯（10分）的面 S ，与y 的交点，S S S1 3 x x3 k12k3 2 k 11取等号．所以的面的最小6 ，当且当kk6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12 分）21. 【解析】（ 1）f x2xa2x2 2 a x a2x a x 12 ax x x（ x）．⋯⋯⋯（ 1 分）因 a0 ，由 f x0 ，得 x a． fx 在 0,a内 减，在a , 内222增，所以 xa x的唯一极 点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）f2a 相切， faa ，即 a 2a 2 aa lnaa ．因 曲 yf x 与直 y222242 2因 a0 ，a1 ln a0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）42 2h aa 1 ln a， h a1 1 0 ，所以 h a 在 0,内 增．4 2 24 a因 h 20 ，所以 a 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）（ 2） 法一：不妨0 x 1 x 2 ，因 fx 1 f x 2，x 12 2 a x 1 a ln x 1 x 222 a x 2 a ln x 2 ，即a x2 ln xxln xx 2 2x2 x 2 2x ，所以211211ax 2 2xx 2 2x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7 分）2211x 2 ln x 2 x 1ln x 1从而所 不等式化x 1 x 2x 22 2x 2 x 12 2x 1 ．x 2 ln x 2 x 1 ln x 1因 x2 ln xxln xx 2 xln x 2 ln x0 ， 不等式再化211 11x x x2 ln x xx 2 2x x2 2x ，即 xx2 ln x ln x2 x2 x，1221221112112 x 2 x 1x 22 x 2 1 即ln x 2 ln x 1 ，即 lnx 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 9 分）x 1 x 2 x 1x 2 1x 1令x2t （ t 1）， 只要 ln t2 t 1 ，即 ln t2 t1 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10t 1t 1x 1分）2 t 1 1 4t 2 1g t ln t0 ， g tt2t t2 t1t 1 1．当t 1 ， g t 0 ，g t 在 1, 内 增， 所以 g tg 1 0 ，故原不等式成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12分）法二： 不妨 0x 1x 2 ，因 f x 1f x 2 ， f x在 0,a内 减， 在 a,22内 增，x 1a x 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）2aa要x 1x 2a ，即 x 2a x 1 ．因 x 2，ax 1 ， 只要 f x 2f a x 1 ，2 2即 fx 1 f a x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 7 分）g xf x f a x， 只要 当 0xa ， g x 0 ．2因 gxf xf a2x a x 12 a x a a x 1xxa x，x 1 x a 1 1 1 2x 22xaa ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）x a x2x axxax xa当 0xa， gx0 ，从而 g x 在 0,a内 减．22所以 gxga fa a 0 ，故原不等式成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12 分）2 2 f222. 【解析】（ 1）因 DC ， 劣弧 DC ，所以CDC ．因 C 是的切 ，CC ，从而C CD ．⋯（ 3 分）因C是四 形CD的一个外角，CDC ．所以C180CC180CDDCCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）（ 2）由（ 1）知，CCD ，CC D ，C ∽ CD，所以C ．CCD因 C 3 ， CD 1，C 2CD 9 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8 分）因4 ，5 ．由切割 定理， C245 ，所以 C 3 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）x 2cos，得x2y21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）23. 【解析】（ 1）由3 sin 消去参数y43将 x cos， y sin代入，得2 cos22sin21，即4332 cos2 4 2 sin212 ，即23sin 212 ，所以曲 C 的极坐方程是2312．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）sin 2（ 2）由cos3，得3cos sin3．62所以直 l 的直角坐方程3x y3，即 y 3 x1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）x1t2（ t 参数）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯然，直 l 点1,0，斜角 60，其参数方程y 3 t2（7 分）代入 x2y223 t21，得31t412 ，即 5t 24t120 ．方程的两根t，43221 t2，t1t2412t2t124t1t2164816， t1t2， t1t2255．555故直 l 被曲 C 所截得的段16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）52x6, x124. 【解析】（ 1）当m7 ， f x x 1x274, 2 x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 x 8, x2（3 分）由 f xx1x2，即 x 3 或 x 4 ．0 ，得6或2x82x00所以不等式 f x 0 的解集, 43,．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）（ 2）因x 1 x 2x 1x 2 3 ，当且当x 1 x 2 0 ，即 2 x1取等号，f x min 3 m．由已知，3m 2 ， m 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7 分）解法一：由 a b c 5 ， a c 5 b ，a c 2a2c2 5 b222，222a22b2 c22b25b25 10b5b 5 b12010．222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 10 分）解法二：由， a b c 5 ，据柯西不等式，有 a22b2c21121a b c ，2即5a22b2c225 ，所以 a22b2c210 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）2。