简单数列大题

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数列大题训练

n 13(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．（2）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；3.已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．4.已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3. 若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；5.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．6.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .7.等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．8.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．9.设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n ∈N *)．(1)若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；大题过程训练1．（本题满分12分）已知数列{}n a 的通项公式为12-=n a n ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且满足n n b T -=1（I ）求}{n b 的通项公式；（II ）在{}n a 中是否存在使得19na +是}{nb 中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分12分）等差数列2{}4n a =中，a ，其前n 项和n S 满足2().n S n n R λλ=+∈ （I ）求实数λ的值，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列1{}n nb S +是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.n T3．（本题共12分）数列{n a }中,,21=a c cn a a n n (,1+=+是不为零的常数,n=1,2,3…..), 且321,,a a a 成等比数列， (1 )求c 的值 (2) 求{n a }的通项公式17．等比数列{}n a 中，已知142,16a a == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

数列基础大题训练一和训练二

数列基础大题训练一1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1030a =，2050a =.（1）.求通项n a . （2）.若242n S =，求n .2.在等比数列{}n a 中，已知7321=++a a a ,8321=a a a ，求n a .3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231S S S ，，成等差数列.（1）.求{}n a 的公比q . （2）.若3-31=a a ,求n S .4.已知数列{}n a 是等差数列，且12,23211=++=a a a a ，求数列{}n a 的通项公式.5.设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+.求{}n a 的通项公式.6.已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，已知153,1193==S a ，（1）.求数列}{n a 的通项公式. （2）.设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列.7.已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.(1).求等差数列{}n a 的通项公式. (2).若231,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的前n 项和.8.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.9.有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数.10.求数列11111,2,3,,,2482n n ……的前n 项和．11.求和:(1).已知数列{}n a 中，21n a n n=+，求其前100项的和.(2).求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 前100项之和.12.已知数列{}n a 的前n 项和)(142+∈-=N n n n S n ，数列{}n b 满足n n a b =（+∈N n ），(1).求当n 为何正整数时n b 最小，并求n b 最小值. (2).求数列{}n b 的前n 项和n T .13.已知实数列}{n a 是等比数列,其中6547,1,,1a a a a += 成等差数列.(1).求数列}{n a 的通项公式. (2).数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: 128<n S ,3,2,1(=n …).14.已知等差数列}{n a 的前n 项和为),,(22+∈∈+-=N n R c a c n an S n .(1).求c 的值. (2).若83=a ，数列}{n b 满足n n b a 2log 4=，求数列}{n b 的前n 项和．15.数列{}n a 中，18a =，22=a ，且满足2120n n n a a a ++-+=，求数列{}n a 的通项公式.16.若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11=a ，且满足221--+=n n n a a a （⋅⋅⋅=,5,4,3n ） (1).求c 的值. (2).求数列{}n na 的前n 项和n S 。

高中数列大题20道

高中数列大题20道高中数列大题20道1. 答案是多少？设定数列公式：an = 2n + 1，求第10项的值。

2. 判断数列是否等差数列：数列an = 3n + 1，若前5项都成等差数列，确定公差。

3. 求前n项和：已知数列an = 2^n，求前8项和的值。

4. 求数列的通项公式：已知数列的前两项分别为3和10，且数列成等差数列，求通项公式。

5. 判断数列是否等比数列：已知数列an = 3^n，判断该数列是否为等比数列，并求公比。

6. 运用递推关系：数列an的前两项为2和5，且满足递推关系an+1 = 3an - 1，求前10项的值。

7. 求前n项和：数列an = n^2 - 2n + 3，求前6项和的值。

8. 求通项公式：已知数列前三项为3、5、7，且数列成等差数列，求通项公式。

9. 运用递推关系：数列an的前两项为2和3，且满足递推关系an+1 = an^2 + an + 1，求前6项的值。

10. 判断数列性质：已知数列前两项为5和10，若数列满足an = a(n-1) - n，求数列的第4项。

11. 求数列的通项公式：已知数列前三项为2、6、18，且数列成等比数列，求通项公式。

12. 求前n项和：数列an = 2^n + 3^n，求前5项的和。

13. 求数列的通项公式：已知数列的前两项为2和8，且数列成等比数列，求通项公式。

14. 判断数列性质：已知数列前两项为1和2，若数列满足an = a(n-1) + n，求数列的第5项。

15. 运用递推关系：数列an的前两项为1和2，且满足递推关系an+1 = 2an + 3，求前8项的值。

16. 求前n项和：数列an = n^3 + n^2，求前4项的和。

17. 求通项公式：已知数列前三项为9、16、23，且数列成等差数列，求通项公式。

18. 判断数列性质：已知数列前两项为4和7，若数列满足an = a(n-1) + 2n，求数列的第6项。

19. 求数列的通项公式：已知数列前三项为5、10、20，且数列成等比数列，求通项公式。

数列与不等式30大题(有答案)

S1 S2
Sn
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10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0，a3 = b3 > 0，a1 ≠ a3，试比较 a5 和 b5 的大小．
11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ ∗ ．
(1) 求数列 an 的通项公式；
∗ 成立，
18. 已知常数 p 满足 0 < p < 1，数列 xn 满足 x1 = p + 1p，xn+1 = xn2 − 2．
(1) 求 x2，x3，x4；
(2) 猜想 xn 的通项公式(不用给出证明)； (3) 求证：xn+1 > xn 对 n ∈ ∗ 成立．
19. 设 b > 0 ，数列
an
大值．
7. 已知 an 是正整数组成的数列，a1 = 1 ,且点( an,an+1 )( n ∈ ∗ )在函数 y = x2 + 1 的图象上；
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列 bn 满足 b1 = 1，bn+1 = bn + 2an ,求证：bn ⋅ bn+2 < bn2+1
8. x,y ∈
∈
+ 都成立
的最大正整数 k 的值．
6. 已知数列 an 是等比数列，首项 a1 = 1，公比 q > 0，其前 n 项和为 Sn，且 S1 + a1，S3 + a3，
S2 + a2 成等差数列．
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列
bn
满足 an+1 =

数列大题训练50题及答案

数列大题训练50题及答案本卷含答案及知识卡片，同学们做题务必认真审题，规范书写。

保持卷板整洁。

一.解答题(共50题),2a n+1a n+a n+1−a n=0.1. (2019•全国)数列{an}中, a1=13(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求满足a1a2+a2a3+⋯+a n−1a n<1的n的最大值 .72.( 2019•新课标Ⅰ )记 Sn为等差数列{aₙ}的前 n项和 .已知Sg= -a₅.(1)若 a₃=4,求{aₙ}的通项公式 ;(2)若 a₁>0, 求使得Sₙ≥aₙ的n的取值范围 .3.( 2019·新课标Ⅱ)已知数列aₙ和bₙ满足a₁=1,b₁=0,4aₙ₊₁=3aₙ−bₙ+4,4bₙ₊₁=3bₙ−aₙ−4.( 1) 证明 : aₙ+bₙ是等比数列，aₙ−bₙ是等差数列；(2)求{aₙ}和bₙ的通项公式 .4.( 2019•新课标Ⅱ)已知{ aₙ}是各项均为正数的等比数列， a₁=2,a₃=2a₂+16.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)设bₙ=log₂aₙ,求数列bₙ的前n项和 .5.(2018•新课标Ⅱ)记 Sn为等差数列aₙ}的前 n项和 , 已知a₁= - 7 , S₃= -15 .(1)求{ aₙ}的通项公式；(2)求Sₙ,并求Sₙ，的最小值 ..6 .( 2018•新课标Ⅰ )已知数列{ aₙ满足a₁=1,naₙ₊₁=2(n+1)aₙ,设b n=a nn(1)求b₁,b₂,b₃;( 2) 判断数列{bₙ}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{aₙ}的通项公式 .7.( 2018•新课标Ⅲ ) 等比数列{aₙ}中 ,a₁=1,a₅=4a₃·(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)记 Sn为{aₙ}的前 n项和 .若Sₙ=63,求m..8.(2017•全国)设数列{bₙ}的各项都为正数 , 且b n+1=b nb n+1}为等差数列；( 1) 证明数列{1b n(2)设 b₁=1,求数列{ bₙbₙ₊₁的前n项和Sₙ.9 .( 2017•新课标Ⅱ )已知等差数列{aₙ}的前 n项和为 Sₙ,等比数列{bₙ}的前 n项和为Tₙ,a₁=−1,b₁=1,a₂+b₂=2(1)若 a₃+b₃=5,又求{bₙ}的通项公式 ;(2)若 T₃=21, 求 S₃.10 .( 2017•新课标Ⅰ )记. Sₙ，为等比数列{aₙ}的前 n项和 .已知 S₂=2,S₃=-6.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求Sₙ,并判断Sₙ₊₁,Sₙ,Sₙ₊₂是否成等差数列 .11 .( 2017•新课标Ⅲ)设数列{aₙ}满足a1+3a2++(2n−1)a n=2n.(1)求{an}的通项公式 ;}的前 n项和 .(2)求数列{a n2n+112.( 2016·全国) 已知数列aₙ}的前 n项和Sₙ=n².( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;,求数列{bₙ}的前 n项和 .(Ⅱ)记b n=√a n+√a n+113 .( 2016•新课标Ⅲ ) 已知数列aₙ}的前n项和Sₙ=1+λaₙ,其中λ≠0.(1) 证明{aₙ}是等比数列，并求其通项公式；,求λ .(2)若S5=313214 .( 2016•新课标Ⅰ ) 已知{aₙ}是公差为 3 的等差数列 , 数列{ bₙ满足b₁=1,,a n b n+1+b n+1=nb n.b2=13( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;(Ⅱ)求{bₙ}的前n项和.15 .( 2016•新课标Ⅲ) 已知各项都为正数的数列aₙ满足a1=1,a n2−(2a n+1(1)aₙ−2aₙ₊₁=0.(1)求 a₂, a₃;(2)求{aₙ}的通项公式 .16 .( 2016•新课标Ⅱ ) 等差数列{aₙ}中 ,a₃+a₄=4,a₅+a₇=6.( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;数列全国高考数学试题参考答案与试题解析一 . 解答题(共50 小题)1.( 2019•全国)数列{a ₙ}中 , a 1=13,2a n+1a n +a n+1−a n =0.(1)求{a ₙ}的通项公式 ;( 2)求满足 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n <17的n 的最大值 .【解答】解:(1) ∵2a n+1a n +a n+1−a n =0.∴1a n+1−1a n=2,∴a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(13−12n+1),∵a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n <17,∴12(13−12n+1)<17, ∴4n +2<42,∴n <10,∵n ∈N ∗, ∴n 的最大值为9.【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式和裂项相消法求出数列的前 n【分析】(1)由 2aₙ₊₁aₙ+aₙ₊₁−aₙ=0可得−=2,可知数列 {}是等差数列，求出- 的通项公式可得 an ；(2)由(1)知1a a =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),然后利用裂项相消法求出 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n 再解不等式可得n 的范围，进而得到n 的最大值 . 又1a =3,∴数列 {}是以3为首项，2 为公差的等差数列， ∴1a =2n +1,∴a n =12n+1;(2)由(1)知 , a n−1a n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),。

高中数学--数列大题专项训练(含详解)

高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

高中数学《数列》100题(问题+答案)

数列一、单选题1．在ABC 中，AB，45C =︒，O 是ABC 的外心，若OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-2．将等比数列{}n b 按原顺序分成1项，2项，4项，…，12n -项的各组，再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间，得到新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，3b ，2a ，4b ，5b ，6b ，7b ，3a ，…，新数列{}n c 的前n 项和为n S ．若11c =，22c =，3134S =，则S 200=（）A ．3841117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．3861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．3861117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．38411302⎛⎫- ⎪⎝⎭3．在ABC 中，AB =，45C =︒，O 是ABC 的外心，若21OC AC ⋅-的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）．A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-4．设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos 1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（）A ．60-B ．120-C ．180D ．2405．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（）A ．9B ．10C ．19D ．206．已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -7．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项8．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a使得14a =，则122n m n+++的最小值为（）A．118+B ．2615C ．74D ．28159．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，则下列说法正确的是（）A ．202120221a a ⋅<B ．202120221a a ⋅>C．2022a <-D．2022a >10．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++，则122015111a a a +++= （）A ．10071008B ．20151008C ．1007504D ．2015201611．在数列{}n a 中，12a =，22a =且21(1)(N )nn n a a n ++-=+-∈，100S =（）A ．0B ．1300C ．2600D ．265012．童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为:每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（）A ．96B ．144C ．192D ．23113．已知无穷等比数列{}n a 中12a =，22a <，它的前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n S 是递增数列B ．数列{}n S 是递减数列C ．数列{}n S 存在最小项D ．数列{}n S 存在最大项14．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（）A ．100B ．23C ．21D ．1715．已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（）A ．54-或54B ．54-C ．45D ．5416．在等比数列{}n a 中，已知对*n N ∈有1221n n a a a ++⋯+=-，那么22212n a a a ++⋯+=（）A ．2(21)n -B ．21(21)3n -C ．41n -D ．1(41)3n-17．设等比数列{}n a 的各项均为正数，已知237881a a a a =，则267a a a +的最小值为（）AB．C．D．18．已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=，10111224a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为（）A ．12B ．36C ．78D ．15619．设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a Ω=（）A ．21B ．20C ．41D ．4020．已知数列1，12-，14，18-，…．则该数列的第10项为（）A ．1512-B ．1512C ．11024-D ．1102421．有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式．某数学探究小组为了探究调和数列的性质，仿照“杨辉三角”．将1，12，13，14， (1)，…作为第一行，相邻两个数相减得到第二行，依次类推，得到如图所示的三角形差数列，则第2行的前100项和为（）A ．100101B ．99100C ．99200D ．5010122．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，2020a 满足12020OA a OB a OC =+，其中A 为OBC边BC 上任意一点，则2020S =（）．A ．2020B ．1010C ．1020D ．223．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（）A ．1B ．6C ．10D ．2024．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（）A ．121n -B ．121n +C ．131n -D ．131n +25．已知数列1，3-，5，7-，9，…，则该数列的第10项为（）A ．21-B ．19-C ．19D ．2126．在等差数列{}n a 中，若47101102a a a ++=，则311a a +=（）A ．2B ．4C ．6D ．827．等差数列{}n a 中，若14a =，公差2d =，则5a =（）A ．10B ．12C ．14D ．22二、多选题28．在平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是BCD △面积的2倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，设{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C ．{}n a 为等差数列D ．()152210n n S n +=--29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若10911S S S <<，则（）A ．0d >B ．10a >C ．200S <D ．210S >31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知342,14a S ==，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．18a =C ．523S a a =D ．n S 的最小值为332．已知数列{}n a 中，13a =，()1*11N n na n a +=∈-，下列选项中能使3n a =的n 有（）A ．22B ．24C ．26D ．2833．对任意数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等比数列B ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等比数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等差数列三、填空题34．在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，11a =，11b =．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2018项和为_________35．已知数列{}n a 的通项为21n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥且12b a =，则123...n b b b b ++++=________.36．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为{}n F .利用下图所揭示的{}n F 的性质，则在等式()222220221220212022m F F F F F F -++⋅⋅⋅+=⋅中，m =______.37．将公差不为零的等差数列1a ，2a ，3a 调整顺序后构成一个新的等比数列i a ，j a ，k a ，其中{,,}{1,2,3}i j k =，试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比：_____．（写出一个即可）．38．已知()f x 为R 上单调递增的奇函数，在数列{}n a 中，120a =，对任意正整数n ，()()130n n f a f a ++-=，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为___________.39．给定正整数n 和正数b ，对于满足条件211n a a b +-=的所有无穷等差数列{}n a ，当1n a +=________时，1221n n n y a a a +++=+++ 取得最大值．40．在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当n 依次取0、1、2、3、L 时()na b +展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ，例11a =，211a =+，312a =+，L ，设数列{}n a 的前n 项和为n S .若20243a m =+，则2022S =___________.41．已知数列{}n a 的前n 项和343n n nS -=，记n b =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.42．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的13，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的13，则第5天截取的长度是______米.43．已知数列{}n a 满足112,,n n a a a n +==-则求100a =___________44．已知等差数列的前n 项和为n S ，且13140,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为__________．45．在等差数列{}n a 中，710132a a =+，则该数列的前7项和为_________．46．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q >，且21a +为1a 与3a 的等差中项，314S =.若数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T ，则n T =_________.47．已知数列{}n a 是递增数列，且满足121n n a a +=+，且1a 的取值范围是___________.48．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则lim nn nS a →∞=__________．49．已知数列{}n a 的首项12a =，且对任意的*n N ∈，都有122nn n a a a +=+，则lim n n a →+∞=______．50．数列{}n a 满足12a =，2111a a =-，若对于大于2的正整数n ，111n n a a -=-，则102a =__________.51．若n a 为()1nx +的二项展开式中2x 项的系数，则2limnn a n →+∞=_________.52．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长.53．已知数列{}n a 满足11n nna a +=+，且46a =，则1a =___________.54．已知无穷数列{}n a 满足12a =，25a =，318a =，写出{}n a 的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）55．数列{}n a 的前几项和为n S ，且111,2n n a a a +==，则，4S =__________．56．若等差数列{}n a 满足202220221a a a =+=，则1a 的值为___________.57．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为__________．58．已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=-，则5S =_________四、解答题59．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足12311111n n S S S S n +++⋯+=+，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足22na nb =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，()x Ω表示x 除以3的余数，求()21n T +Ω．60．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．61．若有穷数列A ：1a ，2a ，…，()*,3n a n n ∈≥N ，满足()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++-≤-=- ，则称数列A 为M 数列．(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3②4，2，8，1(2)已知M 数列A ：1a ，2a ，…，9a ，其中14a =，27a =，求349a a a +++ 的最小值．(3)已知M 数列A 是1，2，…，n 的一个排列．若1112n k k k a a n -+=-=+∑，求n 的所有取值．62．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211122n S n n =++，*N n ∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-，*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．63．已知数列{}n a 满足12a =，{}n a 的前n 项和为n S ，()()121n n a S n n ++=++∈N ，令1n n b a =+．(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n nb 的前n 项和为n T ，求n T ；(3)求证：123111156n a a a a ++++<L ．64．对于有限数列()12:3n A a a a n ≥ ，，，，如果()12121ni a a a a i n n +++<=- ，，，，则称数列A 具有性质P .(1)判断数列1:2323A ，，，和2:3456A ，，，是否具有性质P ，并说明理由;(2)求证：若数列12:n A a a a ，，，具有性质P ，则对任意互不相等的{}12i j k n ∈ ，，，，，，有i j k a a a +>;(3)设数列122022:A a a a ，，，具有性质P ，每一项均为整数，()1122021i i a a i +≠= ，，，，求122022a a a +++ 的最小值.65．已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n n a n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)令2n n b a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .66．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列．(1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列；(3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k = 是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值67．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +-=+（N n *∈），且11a =.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)若()22log 1nn n b a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT 68．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n a a +=，且3431S S +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()311log 3n n n b a n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T．69．（1）已知数列{}n a 是正项数列，12a =，且2211122n n n n n n a a a a a a +++-+=+．求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式．70．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式：21n a n =-，2n n b =(1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．(2)求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．71．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．72．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()647n n n S a a =-+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1133nn nn n n a a b a a ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .73．已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==．数列{}n n a b +是公差为q 的等差数列，数列{}n n a b 是公比为q 的等比数列，,n n a b n *≥∈N ．(1)若1q =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若01q <<，证明：12231,1n n qa b a b a b n q*++++<∈-N ．74．已知数列{an }对任意的n ∈N *都满足312233333n n a a a a n ++++= ．(1)求数列{an }的通项公式；(2)令bn ＝3413431log log n n a a -+，求数列{bn }的前n 项和为Tn ．75．已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23333123123()n n a a a a a a a a ++++=++++ .(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；(2)是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20172016a =-？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；(3)记n a 的所有取值构成的集合为n A ，求集合n A 中所有元素之和．（结论不要求证明）76．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．77．设各项均不等于零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1114,42n n n a S a a a +=+=.(1)求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：1211121n nS S S a +++<- .78．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，516b =，112a b =，34a b =．(1)求{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．79．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =；数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=- ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记tan()n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和．80．已知数列{an }的前n 项和为n S ，*1(N )22n n a n S -∈=，数列{bn }满足b 1＝1，点P（bn ，bn +1）在直线x ﹣y +2＝0上．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和Tn ；(3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立的k 的取值范围．81．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且45656a a a ++=，54a +是4a ，6a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若()*21n n S n =-∈N ，求实数λ的值．82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++= ，求1a .83．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()221n n n S S S n N *++<∈；(3)对任意的正整数n ，设()21132,,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．84．在数列{}n a 中，()*112,21n n a a a n n +==-+∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S ．85．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有23n n S a n =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{(1)}n n a +⋅的前n 项和n T ．86．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，322b b =，441a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．87．甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．88．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.(1)求,n n a b ；(2)设22121n n n n n c b a a ++=+⋅，求{}n c 的前n 项和n S .89．治理垃圾是改善环境的重要举措．A 地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）.(1)写出A 地每年需要焚烧垃圾量与治理年数()*n n N∈的表达式；(2)设n A 为从2020年开始n 年内需要焚烧垃圾量的年平均值．．．．，证明数列{}n A 为递减数列．90．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列111a b ==，22a b =，3342a b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .91．已知{}n a 是递增的等差数列，13a =，且13a ，4a ，1a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：11156n T ≤<.92．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且126a =-，1215S S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2nn a -的前n 项和n T .93．设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S .(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求{}n a 的通项公式；①{}11,2n a S =-是等比数列；②233421,61S a S a =+=+.(2)在（1）的条件下，若31n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.94．已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．95．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围．96．设{}{}n n a b 、是两个数列，()()12122n n n n M A a B n n -⎛⎫⎪⎝⎭,,,,，为直角坐标平面上的点.对*N n n n M A B ∈，、、三点共线.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:1122212log n nn na b a b a b c a a a +++=+++ ，其中{}n c 是第三项为8，公比为4的等比数列.求证:点列()()()11221,2,,n n P b P b P n b 、、、在同一条直线上;(3)记数列{}{}n n a b 、的前m 项和分别为m A 和m B ，对任意自然数n ，是否总存在与n 相关的自然数m ，使得n m n m a B b A =若存在，求出m 与n 的关系，若不存在，请说明理由.97．已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．98．在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．五、双空题99．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ，取AB 的中点C ，以AC 为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为1S ，在图①中取CB 的中点1C ，以1CC 为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为2S ，以此类推，则3S =___________；1nii iS==∑___________.100．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.72-=-．在数列{}n a 中，[]lg n a n =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2022a =______；2022S =______．参考答案：1．A 【解析】【分析】先由正弦定理得到2sin b B =，02b <≤2211122a b =+-，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅= ，22122CB OC CB a ⋅=-=- ，进而计算出3m =，再使用构造法求解通项公式【详解】设BC a =，AC b =，AB c =，则在ABC 中，由正弦定理sin sin c bC B=及c 45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，∴0sin 1B <≤，∴02b <≤.在ABC 中，由余弦定理及2222cos c a b ab C =+-及c =45C =︒，2211122a b =+-.因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅=，22122CBOC CB a ⋅=-=- ，()OC AB CA CB OC AC CB CA CB OC AC OC CB CA CB⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅ 222222211111111222222b a b a a b b =-+=-++-=-.∵02b <≤，∴2113b -<-≤，所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3.即3m =.由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+.所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列.所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-.故选：A 【点睛】构造法求解数列的通项公式，是经常考查的知识点，要结合递推数列的结构特点，选择合适的方法进行构造，常见的构造类型有()11n n a pa q p +=+≠和()11nn n a pa q p +=+≠等.2．A 【解析】【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，运用分组求和的方法可求得答案.【详解】解：由已知得11b =，12a =，2331214b c S c c ==--=，等比数列{}n b 的公比14q =．令21122221nn n T -=++++=- ，则663T =，7127T =，8255T =所以数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，故()()20012181292S b b b a a a =+++++++ 1933841176112472172123214⎛⎫- ⎪⎡⎤⨯⎛⎫⎝⎭=++⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⨯．故选：A ．3．A 【解析】【分析】设AC b =，AB c =，由正余弦定理可得2sin b B =，结合三角形外心性质、向量数量积的几何意义求得21OC AC ⋅-的最大值为3，进而可得()1131n n a a ++=+，利用等比数列的定义写出通项公式.【详解】设AC b =，AB c =，在ABC 中，由sin sin c bC B=及c =45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，则0sin 1B <≤，∴02b <≤．因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得222111OC AC AC b ⋅-=-=- ，而2113b -<-≤，所以21OC AC ⋅-的最大值为3．即3m =．由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+．所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列．所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-．故选：A 4．D 【解析】【分析】分别取43n k =-，42k -，41k -和4k ，*k N ∈，可验证出43424148k k k k a a a a ---+++=，利用周期性可验算得到结果.【详解】当43n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，431k a -=；当42n k =-，*N k ∈时，1os 2c n π=-，()()4224211186k a k k -=⨯--⨯-+=-+⎡⎤⎣⎦；当41n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，411k a -=；当4n k =，*N k ∈时，cos12n π=，424118k a k k =⨯-+=.()4342414186188k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，12012082404S ∴=⨯=.故选：D 5．B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的前n 项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1191910191902a a S a +=⨯=>，有100a >，1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<，有11100a a <-<，显然数列{}n a 是递减的，且10110a a ⋅<，因10m m a a +⋅<，所以10m =.故选：B 6．C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a .【详解】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列.7．B 【解析】【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.8．B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =.14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m n m n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=，由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+，但,m n *∈N ，无解；又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B 9．A 【解析】【分析】根据()2*1n n na S n N a +=∈求出1a 的值，判断数列{}2n S 是等差数列，求出n S 的通项公式，再求出n a ，然后逐个分析判断即可【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，所以当1n =时，()211*112a S n N a +=∈，解得11a =或11a =-，当2n ≥时，()2111112n n n n n n n n n a S a S S a a S S --+==+=-+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2nS 是以1为公差的等差数列，当11a =±时，21(1)n S n n =+-=，所以=n S 或n S=所以1-=-=n n n a S S 11a =满足此式，或1n n n a S S -=-=11a =-满足此式，所以2022a =或2022a =，所以CD 错误，当=n a20212022a a ⋅=1<，当n a =20212022a a ⋅=1<，所以A 正确，B 错误，故选：A 10．B 【解析】【分析】先利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法去求122015111a a a +++ 的值.【详解】由11a =，11n n a a a n +=++，可得11n n a a n +-=+则2n ≥时，()()11232211()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ()1321(1)2nn n n =+-++++=+ 又11122a ==⨯，则数列{}n a 的通项公式为(1)2n n a n =+则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则122015111a a a +++ 1111111201522112232015201620161008⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣=⎭⎦ 故选：B 11．D 【解析】【分析】分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论，再利用分组求和法及等差数列前n 项和的公式，即可得出答案.【详解】解：当n 为奇数时，20n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项是以0为公差的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，所以2,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()10050210025024610010026502S +=⨯+++++=+=L .故选：D.12．C 【解析】【分析】由条件可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，由条件列方程求玲珑塔的顶层灯的盏数.【详解】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，设其首层为1a ，公比q ，顶层为n a ，前n 项和为n S 由已知可得13a =，2q =，381n S =，由等比数列的前n 项和公式可得132********n nn a a q a a q --==-=--，所以192n a =．故玲珑塔的顶层灯的盏数为192，故选：C.13．C 【解析】【分析】对AB ，举公比为负数的反例判断即可对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，分0q >和0q <两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB ，当公比为12-时，2311,,2a a =-=此时12332,1,2S S S ===，此时{}n S 既不是递增也不是递减数列；对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，当0q >时，因为22a <，故22q <，故01q <<，此时()2122111n nn q q S qq q-==----，易得n S 随n 的增大而增大，故{}n S 存在最小项1S ，不存在最大项；当0q <时，因为22a <，故22q -<，故10q -<<，2211nn q S q q =---，因为1q <，故当n 为偶数时，2211nn q S q q =---，随着n 的增大而增大，此时222111nn q S q q q =-<---无最大值，当2n =时有最小值222S q =+；当n 为奇数时，2211nn q S q q=+--，随着n 的增大而减小，故222111nn q S q q q=+>---无最小值，有最大值12S =.综上，当0q <时，因为22221q q +<<-，故当2n =时有最小值222S q =+，当1n =时有最大值12S =综上所述，数列{}n S 存在最小项，不一定有最大项，故C 正确；D 错误故选：C 14．A 【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+=.故选：A.15．D 【解析】【分析】由等差数列求和公式求出35a =，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出6714b b q ==，从而求出结果.【详解】由题意得：()155355252a a S a +===，解得：35a =，设等比数列{}n b 的公比是q ，因为1132,8b b ==，所以1228q =，解得：124q =，显然60q >，所以62q =，所以6714b b q ==，所以3754a b =故选：D 16．D 【解析】【分析】利用“1n =时，11a S =；当2n时，1n n n a S S -=-”即可得到n a ，进而得到数列2{}n a 是等比数列，求出公比和首项，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，1221n n n S a a a =++⋯+=- ，∴当2n 时，1112121n n n S a a a ---=++⋯+=-，111222n n n n n n a S S ---∴=-=-=．∴2122221(2)4(2)n n n n a a ---==，当1n =时，11211a =-=，21221a a +=-，解得22a =，22214a a =．也符合2214n n a a -=，∴数列2{}n a 是等比数列，首项为1，公比为4．∴22212411(41)413n n na a a -++⋯+==--．故选：D 17．C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，根据题意得到2673339q a a qa +=+，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为23784581a a a a a ==，所以53a =，又因为235553326739,a a a a a q a q q q q===⋅=，所以3267339q a a q a +=+≥=当且仅当3339q q =时，即613q =时，等号成立，所以267a a a +的最小值为.故选：C.18．C 【解析】【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差d 和首项1a ，由等差数列求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，13512a a a ++= ，10111224a a a ++=，()1011121352412a a a a a a d ∴++-++==，解得：12d =，135********a a a a d a ∴++=+=+=，解得：13a =，{}n a ∴的前13项的和为11312131213397824a d ⨯⨯+=+=.故选：C.19．C 【解析】【分析】设{}n a n -的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果.【详解】设{}n a n -的公比为q ，则2121123141a q a --===--，所以111(1)(41)33n n n n a n a q---=-⋅=-⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=.故选：C 20．A 【解析】【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为()1112n n n a +--=，所以()11109112512a -==-．故选：A 21．A 【解析】【分析】利用裂项相消法求和即可；【详解】解：由题可知，第2行的前100项和10011111261210012010S +++++⨯= 1111111100122334100101101=-+-+-++-= ．故选：A 22．B 【解析】【分析】根据三点共线可得120201a a +=，结合等差数列的前n 项和公式求解．∵,,A B C 三点共线且12020OA a OB a OC =+，则120201a a +=∴()120202020202010102a a S +==故选：B ．23．C 【解析】【分析】根据规律求得正确答案.【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C 24．C 【解析】【分析】根据规律可得结果.【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -；故选:C 25．B 【解析】【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：依题意可得该数列的通项公式可以为()()1121n n a n +=-⋅-，所以1019a =-.故选：B 26．D 【解析】根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为4710771110222a a a a a +=+=+，解得：74a =，所以311728a a a +==．故选：D ．27．B 【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知：51444212a a d =+=+⨯=；故选：B.28．BD 【解析】【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE = 1233BA BC +，结合()()1122n n n n BD a BA a BC --=-++ ，推出1122(2)n n n n a a --+=-，11222nn n n a a ---=-，求出232nn a n =-+，(23)2n n a n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断C ，根据数列的单调性可判断B ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E ，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t--=-++ ，()()1111231223n n n na t a t--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以当2n ≥时，恒有1122(2)n n n n a a --+=-，所以11222n n n n a a --=-，即11222n n n n a a ---=-，又12a =，所以112a =，所以12(1)232nn a n n =--=-+，所以(23)2n n a n =-+⋅，因为11(21)242(23)223n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为11(21)(23)2022n n n n a a n n ++-=-+--+=-<，即1122n n n n a a ++<，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，故B 正确；因为1n n a a +-=1(21)2(23)2n n n n +-+⋅--+⋅=(21)2n n --⋅不是常数，所以{}n a 不为等差数列，故C 不正确；因为12312(1)2(3)2(23)2nn S n =⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以2341212(1)2(3)2(23)2n n S n +=⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以12341122(2222)(23)2n n n S n +-=⨯-++++--+⋅ ，所以114(12)22(23)212n n n S n -+--=-⨯--+⋅-110(52)2n n +=--⋅，所以1(52)210n n S n +=-⋅-，故D 正确.故选：BD 29．BCD【解析】【分析】由题知121n n a a +=+，进而得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，再结合通项公式和裂项求和求解即可.【详解】由121n n n S S a +=++得1121n n n n a S S a ++=-=+，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；所以12nn a +=，即21n n a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，所以22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------，故D 正确.故选：BCD 30．AD 【解析】【分析】对AB ，根据通项n a 与n S 的关系可得100a <，110a >即可判断；对CD ，根据等差数列前n 项和的公式，结合等差数列的性质判断即可【详解】因为109S S <，1011S S <，所以109100S S a -=<，1110110a S S =>-，故等差数列首项为负，公差为正，所以0d >，10a <，故A 正确，B 错误；由911S S <，可知11910110S S a a -=+>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 错误；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 正确．故选：AD 31．BCD 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，再根据n S 与n a 的公式可得d ，进而求得n S 与n a 的通项公式，再逐个判定即可【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11224614a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得183a d =⎧⎨=-⎩，故311n a n =-+，()()311819232n n n S n n ==-+-.故{}n a 是递减数列，A 错误；18a =，B 正确；()535191250S -⨯==，235210a a =⨯=，故C 正确；()1932n n n S =-，当1,2,3...6n =时，()1932n n n S -=，因为函数()193y x x =-的对称轴为196x =，开口向下，故当6n =时，n S 取得最小值()66193632S -⨯==；当7,8,9...n =时，()3192n n n S -=，函数()319y x x =-的对称轴为196x =，开口向上，故当7n =时，nS 取得最小值()77371972S ⨯-==，综上有n S 的最小值为3，故D 正确；故选：BCD 32．AD 【解析】【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】解：因为13a =，()1*11N n na n a +=∈-，所以23412,,323a a a =-==，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以132(N )n a a n *-=∈，故122283a a a ===.故选：AD.33．AD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项.【详解】。

数列常见大题(含答案)

Tn 3 2 2 (22 23 2n ) (2n 1)2n1
2 22 23 2n1 (2n 1)2n1
2(2n1 1) (2n 1)2n1 (2n 1)2n1 2
Tn (2n 1)2n1 2
（12 分）
4．
已知数列{an } 满足：
1 a1
2 a2
n 3 (32n 1), n N *. an 8
8da1 4d
12d 2
16
，解得
ad1
8, 2,
或
ad1
8 2
因此 Sn 8n nn 1 nn 9，或Sn 8n nn 1 nn 9
9.设等差数列an 满足 a3 5 ， a10 9 。
（Ⅰ）求an 的通项公式；（Ⅱ）求an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。
①当1 n 11时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 |
| an | a1 a2 a3
an
n(10
11 2
n)
n(21 2
n)
②当12 n 时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 | | an | a1 a2 a3 a11 (a12 a13 an )
所以Tn 3 7 2 11 22 ... 4n 1 2n1 ，
2Tn 32 722 1123 ... 4n 1 2n ，
2Tn Tn 4n 1 2n [3 4(2 22 ... 2n1)]
(4n 5)2n 5
Tn (4n 5)2n 5，n∈N﹡.
13.【2012 高考重庆文 16】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分））
解得 k 6 或 k 1（舍去），因此 k 6 。

数列大题训练20题

数列大题训练20题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++．2．已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设1423log n n b a +=()n *∈N ，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列；（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和nS ；（Ⅲ）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．3 ．已知函数x ab x f =)( (,a b 为常数)的图象经过点11,8P ⎛⎫⎪⎝⎭和()4,8Q ．(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记()2log n a f n =,n 是正整数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，求n S 的最小值．4 ．已知()y f x =为一次函数，且(2)f 、(5)f 、(4)f 成等比数列，(8)15f =．求(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+的表达式．5．已知数列}{n a 的前n 项和)(n f 是n 的二次函数，)(n f 满足),2()2(n f n f -=+且.3)1(,0)4(-==f f（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足21++=n n n a a b ，求}{n b 中数值最大和最小的项．6．已知数列{}n a 中，12a =，且当2n ≥时，1220n n n a a ---=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．7．正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1n a =+，试求：（I ）数列{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，数列的前n 项的和为n B ，求证：12n B <．8．已知函数)(x f =157++x x ,数列{}n a 中, 11220n n n n a a a a ++-+=，11a =，且0n a ≠，数列}{n b 中，()1n n b f a =- （1）求证：数列{na 1}是等差数列；（2）求数列}{n b 的通项公式；（3）求数列{n b }的前n 项和n S ．9．设正数数列{n a }的前n 项和n S 满足2)1(41+=n n a S ．（I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．在数列12,2,}{11+==+n nn n a a a a a 已知中（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：3)1()1()1(2211<-++-+-n n a a a a a a11．已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且（1）求证：数列{nna 2}是等差数列；（2）求数列{n a }的通项公式；（3）设数列{n a }的前n 项之和n S ，求证：322->n S n n． 12．设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，{}n b 为等比数列，且11a b =，()2211b a a b -=。

高考模拟数学试卷数列大题

1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则该数列的前5项依次为______、______、______、______、______。

2. 在数列{an}中，an = n^2 - 1，则数列{an}的递增项个数为______。

3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^2 + 2n，则数列{an}的通项公式为______。

4. 若数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，则数列{an}的相邻两项之差的最大值为______。

5. 已知数列{an}的通项公式为an = (-1)^n (n + 1)，则数列{an}的偶数项之和为______。

二、选择题（每题3分，共15分）1. 若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^2 + 2n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = n^2 + 2nB. an = n^2 + nC. an = n^2D. an = n^2 - 2n2. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则该数列的第10项与第15项之差为（）A. 40B. 42C. 44D. 463. 在数列{an}中，an = n^2 - 1，则数列{an}的递增项个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 若数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，则数列{an}的相邻两项之差的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知数列{an}的通项公式为an = (-1)^n (n + 1)，则数列{an}的偶数项之和为（）A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题（共75分）1. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，求该数列的前n项和Sn。

2. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + 2n，求该数列的前n项和Sn。

3. 已知数列{an}的通项公式为an = (-1)^n (n + 1)，求该数列的前n项和Sn。

数列大题精选(含答案解析)

1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n nb b b b b b b b b b +++++⋯+=．详解：()41133n n S a =-，可得1114133a S a ==-，解得11a =，2n ≥时，1141413333n n n n n a S S a a --=-=--+，即有114n n a a -=，故数列{}n a 是以11a =为首项，以14为公比的等比数列，则11()4n n a -=；()2证明：2111221()22nn n b log a log n +===， ()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， 12231111111111142231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ()()1122141n n n nb b n n +==⋅++，则1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=．2．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由. 详解：（1）()11n a n n =+-=，1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- 1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=.（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列.(3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=，函数的零点为x ==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2(N )n m m =∈*，此时()2122m m m m x -±-±==，又因为1m m ±与是连续的两个整数∴ (1)m m -±能被2整除，即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数， ∴所求n 的集合为{}2|,N n n m m =∈*.3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12(1)(1)nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-，得11a ，= 当2n ≥时，有1121n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a ，--=-=- 即12n n a a -=，满足2n ≥时，12nn a a -=，所以{}n a 是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式为12n n a -=．（2）()()()()111221121121212121n n n n nn n n n a b a a --+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 123011223111111222212121212121n n T b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 2121n n-=+．4．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53332S =，求λ．【详解】（1）∵1n n S a λ=+,0λ≠,∵0n a ≠．当2n ≥时,111n n S a λ--=+,两式相减,得1111n n n n n a a a a a λλλλ--=+--=-,即()11n n a a λλ--=, ∵0λ≠,0n a ≠．∵10λ-≠．即1λ≠,即11n n a a λλ-=-,（2n ≥）, ∵{}n a 是等比数列,公比1q λλ=-,当1n =时,1111S a a λ=+=,即111a λ=-, ∵1111n n a λλλ-⎛⎫=⋅ ⎪--⎝⎭；（2）若53332S =,则4513311132S λλλλ⎡⎤⎛⎫=+⋅=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦,即5331113232λλ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭, 则112λλ=-,得13λ=5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若223a =，3462a a a =.(1)n S t <恒成立，求t 的最小值； (2)设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)因为{}n a 为等比数列，所以3416a a a a =，所以341662a a a a a ==，60a ≠，所以12a =，又223a =，所以13q =，所以121313131313n n n S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，因为n S t <恒成立，所以3t ≥，即t 的最小值是3. (2)由(1)可知22123n n n a a q--=⋅=，所以132n n n b -⋅=，故01113233222n n n T -⨯⨯⨯=+++① ()112131323332222n n n n n T --⨯⨯⨯⨯=++++ ②① -②得：0111333322222n n n n T -⨯⨯-=+++-，()1313131322132n nn --⨯⨯+--=整理得，()21318n n n T -+=6．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331n nn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．【解析】（1）依题意，11213n n n S a +⎛⎫=-⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故213n n a a ++=，而1222S 3a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可13,n n a -=所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4n n n n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-，故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-．7．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，2458,15a a S ⋅==；等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）当{}n a 各项为正时，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和．【解析】（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d ⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或， 11,1,n d a a n ∴==∴=，11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-，当2n ≥时，112n nn n b T T --=-=；当1n =时，111b T ==也满足上式，∴12n n b -=．（II ）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===，()01221122232122n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， ()12312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，()111222121n n n n T n n --=+++-⨯=-⨯-，故()121n n T n =-⨯+．8．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈．（1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++的值．【解析】（1）121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥，两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥，注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=．（2）n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++，所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=．9．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（1）由122n n S +=-可得：当2n ≥时，122n n S -=-，上述两式相减可得2n n a =．当1n =时：111112222a S +==-==成立，故所求()2n n a n N +=∈．（2）2nn a =，22log 2n nb a n ==，()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，故所求111111111141223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()41n n N n +=∈+．10．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且2a ，31a +，6a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（1）由53535S a ==，得37a =，由2a ，31a +，6a 成等比数列，得()2263164a a a =+=，即()()33364a d a d -+=，整理得2314150d d -+=，又因为公差d 为整数，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-. （2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以123n nT b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭31nn =+.11.（12分）在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a +，34a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2nn a -的前n 项和n S .【解析】（1）∵{}n a 的公差为2d =,∴212a a =+,134a a =+.∵11a +,22a +,34a +成等比数列, ∴()()()2111184a a a ++=+,解得18a =,从而()82126n a n n =+-=+.（2）由（1）得26n a n =+,2(26)2n nn a n ∴-=+-，()()281026222n n S n ∴=++⋅⋅⋅++-+++.()826222212nn n ++-⨯=--()()1722n n n +=+--21722n n n +=+-+12．（12分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，且22S -，3S ，44S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于数列{}n A ，若存在一个区间M ，均有()1,2,3i A M i ∈=⋅⋅⋅，则称M 为数列{}n A 的“容值区间”.设1n n nb S S =+，试求数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值. 【解析】（1）由题意可知：324224S S S =-+，即()()1231212342a a a a a a a a a ++=-+++++，∴4312a a =-，即公比12q =-，又132a =，∴13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知112n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.当n 为偶数时112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而增大， ∴3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，根据勾型函数性质，此时1252,12n n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦.当n 为奇数时112nn S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而减小，∴31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，根据勾型函数性质，此时1132,6n n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦.又1325612>， ∴132,6n b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值为16.13.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．【解析】（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =，又因为()()111n n na n a n n +-+=+，所以()()()1111n n n n b n nb n n ++-+=+，即11n n b b +-=，所以{}n b 为等差数列，其首项为111b a ==，公差1d =．所以()11n b n n =+-=．（2）由（1）及题设得，2n n c n =-，所以数列{}n c 的前n 项和()()232222123n n S n =++++-++++()1222122n n n +-⨯=-- 21222n n n ++=--．14．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有1121517104555a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =．又2log n n a b =，即2n an b =，所以2n n b =．（2）依题意得：1212(...)(...)n n n T a a a b b b =+++++++23(123...)(222...2)n n =+++++++++()212(1)212nn n -+=+-1(1)222n n n ++=+-．又3232(132)18185462S ++=+=，则1(1)25482n n n +++=，因为1(1)()22n n n f n ++=+在*n N ∈上为单调递增函数，所以8n =．15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()212n n n S a a =-+，且()*0n a n N >∈。

数列大题经典题型

1、设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．2．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n。

3．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．4．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．（I）求a n；（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．5．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．6.已知等差数列{}n a 满足：,26,7753=+=a a a {}n a 的前n 项和为n S .(1)求n n S a 及(2)令112-=a n nb ，求数列{}n b 的前n 项和n T7. 已知等差数列{}n a 前三项和为-3，前三项的积为8.（1）等差数列{}n a 的通项公式。

（2）若132,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和8．已知数列{a n }的前n 项和S n =﹣a n ﹣+2（n ∈N *），数列{b n }满足b n =2n a n ．（1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞；．1．已知函数f （x ）=（a ＞0，a ≠1），数列{a n }满足a n =f （n ）（n ∈N *），2．设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）5．（2014•河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）6．（2014•河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）BB．45 C．389．在等比数列{a n}中，，则a3=（）7小题）10．设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________．11．数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________．12．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________．13．（已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=_________．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=_________．15．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=_________．。

数列大题综合(含答案)

数列大题综合1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．（2022春·广东广州·高二校考期中）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，33a S =，244a a S =.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值3．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．4．（2022春·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）设{}n a 是首项为1的等比数列，且1a 、23a 、39a 成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和分别为n T ，求n T ．6．（2022春·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，()122N n n a S n *+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足()32log 1n n n b a a n *⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前n 项和nT.7．（2022春·广东广州·高二统考期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，24a =，3424a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：12311113nd d d d ++++<L .8．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知数列{}n a 、{}n b 满足1233= nbn a a a a ，若数列{}n a 是等比数列，且13，=a 434=+b b ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()21nn n b c n a =+，求{}n c 的前n 项和为n S .9．（2022春·广东佛山·高二校考期中）在等比数列{}n a 中，公比0q >，其前n 项和为n S ，且26S =，______．从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式．10．（2022春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，数列{}n b 为等差数列，11b a =，523b b b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n c 是由数列{}n b 的项删去数列{}n a 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列{}n c 的前50项和50T .11．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足322n n S a =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设,2,n n a n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .12．（2022春·广东深圳·高二校考期中）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，若715n T >，求n 的最小值．13．（2022春·广东深圳·高二深圳市建文外国语学校校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213n n S a +=．(1)证明数列{}n a 为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．14．（2022春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列{}n a 中，12a =，*121(N )n n a a n n +=-+∈.(1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .15．（2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知数列{}n a 中，12a =，24a =，且()*2132n n n a a a n N ++=-∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是常数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并求数列{}n a 的的前n 项和；(3)设2sin cos log 22n n n n c a ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2022项的和.16．（2022春·广东广州·高二执信中学校考期中）已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，前n 项和为n S ，11a =，且2，31a -，63a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2n n n n b S n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证12n T <.17．（2022春·广东汕头·高二校考期中）在①35a =，5722a a +=；②11a =，525S =；③2n S n =，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若______.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n 11n n C a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列{}n a 满足111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是一个等差数列；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，()*211n nb n a =∈-N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求100S .20．（2022春·广东江门·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()1212n n S S n -=+≥.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n T .21．（2022春·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考期中）已知Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若a 3＋a 5＝5，S 4＝7．(1)求an ；(2)记bn ＝2221n n a a +⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .22．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为1a 万平方公里，第n 年绿洲的面积为n a 万平方公里.(1)求第n 年绿洲的面积n a 与上一年绿洲的面积1n a -的关系；(2)证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：lg 20.3010=）23．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n d 的前n 项和2n S n n =+，且2d ，4d 为等比数列数列{}n a 的第2、3项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求证：122n b b b +++< 24．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()221log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T .25．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足，110a =，且210a +，38a +，46a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和．26．（2022春·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知数列{}n a 为单调递增的等比数列，且1432a a =，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．（2022春·广东韶关·高二校考期中）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．28．（2022春·广东广州·高二广州市协和中学校考期中）已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，11a =，{}n b 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<对一切n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．（2022春·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，()*)n S n N ∈在函数2y x =的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b n n N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设数列{}n c 满足对任意的*312123123,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值．30．（2022春·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．数列大题综合答案1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．n 0n 的前项和，33244(1)求数列{}n a的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值，n 满足：4，10，其前项和为n (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．n 是首项为1的等比数列，且1、2、3成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列n a 的前n 项和为n S ，且222n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和分别为n T ，求n T ．n 的前n 项和为n 1，()122N n n a S n *+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}nb 满足()32log 1n n n b a a n *⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前n 项和nT .n 的各项均为正数，2，34(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：12311113nd d d d ++++<L .n 、n 满足123nn n 是等比数列，且13，=a 434=+b b ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()21nn n b c n a =+，求{}n c 的前n 项和为n S .n 中，公比，其前n 项和为n ，且2，______．从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式．n 的前项和为n ，且n n ，数列{}n b 为等差数列，11b a =，523b b b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n c 是由数列{}n b 的项删去数列{}n a 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列{}n c 的前50项和50T .n 的前n 项和为n ，满足322n n Sa =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设,2,n n a n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .n 前n 项和为n ，且36，9．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，若715n T >，求n 的最小值．n 的前n 项和为n ，且213n n S a +=．(1)证明数列{}n a 为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．n 中，1，1n n +=-+∈.(1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .n 中，1，2，且()*2132n n n a a a n N ++=-∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是常数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并求数列{}n a 的的前n 项和；(3)设2sin cos log 22n n n n c a ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2022项的和.n 是公差大于1的等差数列，前项和为n ，11a =，且2，31a -，63a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2n n n n b S n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证12n T <.3，57；②1，5；③n 条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若______.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n 11n n C a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列{}n a 满足11,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是一个等差数列；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，*21n n b n a =∈-N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求100S .n 的前项和为n ，且满足1，1n n -(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .35S 4＝7．(1)求an ；(2)记bn ＝2221nn a a +⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为1a 万平方公里，第n 年绿洲的面积为n a 万平方公里.(1)求第n 年绿洲的面积n a 与上一年绿洲的面积1n a -的关系；(2)证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：lg 20.3010=）n n S n n =+2，4列{}n a 的第2、3项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求证：122n b b b +++<n 的前项和为n ，且n n (1)求{}n a 的通项公式；(2)若()221log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T .n 12，3，4成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和．【答案】(1)28n a n =+(2)()116272n n S n +=-++⋅【详解】（1）等差数列{}n a 的首项110a =，公差设为d ，由210a +，38a +，46a +成等比数列，则()()()23248106a a a +=+⋅+，即()()()2111281036a d a d a d ++=++⋅++，即()()()218220163d d d +=+⋅+，解得2d =，所以()1128n a a n d n =+-=+.n 14，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .n 为等差数列，n 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．n 中，前项和为n ，1，n 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<对一切n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．（2022春·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知数列n 的前项和为n ，点，n 在函数2y x =的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b n n N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设数列{}n c 满足对任意的*312123123,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值．30．（2022春·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．。

数列大题训练50题及答案

数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且，求函数)(n f 最小值.3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。

4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈请说明理由． 8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

数列大题综合练习(含答案)

数列大题综合练习(含答案)1、在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n。

1）设bn=an，证明数列{bn}为等差数列；2）求数列{an}的前n项和Sn。

2、已知数列{an}中，a1=11，且an-an+1=22an+1。

1）求数列{an}的通项公式；2）数列{bn}满足：b1=2，bn+1-2bn=22n+1，且{bn}是等差数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，an=2，{bn}为首项是3的等差数列，且b3Sn/5=434。

1）求{bn}的通项公式；2）设{bn}的前n项和为Tn，求XXX的值。

4、设Sn是数列{an}的前n项和，点P(an,Sn)在直线y=2x-2上，(n∈N)1）求数列{an}的通项公式；2）记bn=2(1-1/n)，求数列{bn}的前n项和XXX。

5、已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+1/2，n∈N1）令bn=an+1-an，证明{bn}是等比数列；2）求数列{an}的通项公式。

6、数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an-3n，（n∈N）1）求数列{an}的通项公式an；2）令bn=31/n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<Sn+3n+92.7、正项数列{an}满足f(an)=an2，（1）求证{an}是等差数列；（2）若bn=an，求数列{bn}的前n项和为Tn。

8、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列各项均不为0，点Pn(an,Sn)在函数f(x)=x2+x上的图象上。

1）求数列{an}的通项an及前n项和Sn；2）求证：Pn+1≤Pn。

n1 an 1anan 1数列 an是等差数列。

2）bn3n an3n(n 121232 n 21 2 n 3n S n1 2 n 21 2 n 32n12n23n2)12n12n1)(n2) 12n12n232n 11.当$n=1$时，$a_1=S_1=1$，所以数列$\{a_n\}$是首项为1，公差为2的等差数列。

数列常见大题含答案

常见数列大题收集1．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（公式法）（Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和。

（裂项法） 1．（1）设｛a n ｝的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+。

由已知可得111330,1, 1.5105,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得{}n =2-.n a a n 故的通项公式为（2）由（I ）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为1111111-+-++)2-1113232112nn n n-=---（. 2.在等比数列}{n a 中，*)(0N n a n ∈>，公比1>q ， 1002534231=++a a a a a a ，且4是2a 与4a 的等比中项，⑴求数列}{n a 的通项公式；（公式法） ⑵设n nn a a b 22log +=，求数列}{n b 的前n 项和n S ，（分组求和法）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，由已知得⎩⎨⎧====∴>=+-∴===+>=+=++82,8,2101610164,10,0,100)(23114224224242242534231q a q a a a q x x a a a a a a a a a a a a a a a n 即的两根，为方程、，又则又 …………………………… 4分解得112a q =⎧⎨=⎩ 12n n a -∴=.…………………………… 7分（2）由（1）知，212log 4(1)n n n n b a a n -=+=+-21(1444)(1231)(1)41 32n n n T n n n -∴=+++++++++---=+…………………………… 12分3. 数列{a n }的前n 项和n S =2n ，数列{n b }满足112,32n a n n b b b +==+•。

数列专项练习题大题

数列专项练习题大题1. 一个等差数列的首项是1，公差是3。

求数列的第10项是多少？解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。

对于这个题目，a1=1，d=3，n=10。

代入公式计算，可得：a10 = 1 + (10-1) * 3 = 1 + 9 * 3 = 28所以数列的第10项是28。

2. 一个等比数列的首项是2，公比是5。

求数列的第6项是多少？解析：根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。

对于这个题目，a1=2，r=5，n=6。

代入公式计算，可得：a6 = 2 * 5^(6-1) = 2 * 5^5 = 2 * 3125 = 6250所以数列的第6项是6250。

3. 一个递推数列的首项是1，规律是每一项都是前一项的平方。

求数列的第5项是多少？解析：根据递推数列的规律，可以列出数列的前几项：1, 1^2,(1^2)^2, ((1^2)^2)^2, (((1^2)^2)^2)^2可以观察到规律，每项都是前一项的平方。

所以第5项就是前一项的平方的平方的平方的平方。

计算过程如下：1^2 = 1(1^2)^2 = 1^2 = 1((1^2)^2)^2 = (1^2)^2 = 1(((1^2)^2)^2)^2 = ((1^2)^2)^2 = 1所以数列的第5项是1。

4. 一个等差数列的首项是3，末项是11。

求数列的公差和项数。

解析：对于这个题目，已知数列的首项和末项，可以使用公式an = a1 + (n-1)d来求解。

代入已知的值，即3 = 3 + (n-1)d，然后化简得到：0 = (n-1)d由于等差数列的公差是非零的常数，所以只有当n-1=0时，等式才成立。

也就是n=1。

所以数列的公差是0，项数是1。

5. 一个等比数列的首项是2，前三项的和是14。

求数列的公比。

小学奥数---简单数列中的规律专项练习30题(有答案)

小学奥数---简单数列中的规律专项练习30题(有答案)1.在数列1×2、2×3、3×4、4×5、…、99×100中，要求找到第6个数是多少。

答案：B。

562.给定数列1、3、5、…、9，要求找到第8组的三个数的和是多少。

答案：213.给定数列3、5、7、X、Y、Z，要求填出X、Y、Z应该是多少，同时找到这个数列的规律。

答案：X=9，Y=11，Z=13，规律为每个数加2.4.根据规律填数或者划出适当的图形。

1) 3，20；5，40；7，80；9，…2) 4，6，10，16，26，42，…3) 16，25，36，49，64，…4) □○△→△□○→○△□→□○△5.给定数列100，81，64，49，36，要求填出下面的两个数是多少。

答案：25，166.按规律在括号里填上适当的数。

1) 1、15、3、13、5、11、7、92) 198、297、396、495、5943) 21、4、18、5、15、6、14、77.根据规律填数。

①30，28，26，24，22，20；②1，3，6，10，15；③15，20，25，30，35，40.8.给定数列1，4，9，16，要求找到下面两个数是多少。

答案：25，369.找规律填后面的数。

1，4，9，16，25，36，49，64，81；2，3，5，8，13，21，34，55，89.10.给定数列：1) 1，4，9，16，25，36，49；2)4565456777要求填出缺少的数。

答案：1) 642)7898889911.给定数列xxxxxxxx，要求填出下一个数是多少。

答案：512.按规律填空。

1) 1，5，9，13，17，21，25，292) 2，4，6，10，16，26，42，…3) 1，3，6，10，15，21，28，…1.缺少一组数字，无法判断规律。

2.缺少两个数字，无法判断规律。

3.数列中每一项都是前一项的两倍再加1，所以下一个数是191.14.数列中第n个数组内的三个数分别是n^2.4n。

六年级考数列大题20道

六年级考数列大题20道
1、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

2、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

3、某侧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个刚院一共有多少个座位？
4、某建筑工地堆放着一些钢管，最上面一层有3根，最下面一层有29根，而且下面的每一层比上而的一层多2根，这些解管一共多少根？
5、巧算下题：5000-2-4-6--98-100
6、己知：8=1+3+5+…+99+101，b=2+4+6+…+98+100,则a、b两个数中，较大的数比较小的数大。

7、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和，
8、某刷院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排
有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？
9、巧算下题：5000-2-4-6--98-100
10、时钟在每个整点被打，敲打的次数等于该钟点数，每率点钟敲一
下。

间：时钟一县夜打多少？
11、已知：a=1+3+5++99+101,b=2+4+6+*+98+100,则a,b
两个数中，较大的数比较小的数大，
12、将自然数如下排列，12671516
3581417
491318
1012
11
44
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，
问：1993排在第几行第几列？
13、在11-45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？
14、下面的数的总和是
012 (49)
123 (50)
48495098
49505198。