中考数学 第一部分 教材梳理 第四章 图形的认识 第6节 特殊的平行四边形复习 新人教版
中考数学专题知识点精讲1:特殊的平行四边形
特殊的平行四边形一、知识要点概述、边(或两底和)的一半.4、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1:过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.推论2:过梯形一腰中点且平行于两底的直线必平分另一腰.二、典型例题剖析例1、已知四边形ABCD和对角线AC、BD,顺次连结各边中点得四边形MNPQ,给出以下六个命题:①若所得四边形MNPQ为矩形,则原四边形ABCD是菱形;②若所得四边形MNPQ为菱形,则原四边形ABCD是矩形;③若所得四边形MNPQ为矩形,则AC⊥BD;④若所得四边形MNPQ为菱形,则AC=BD;⑤若所得四边形MNPQ为矩形,则∠BAD=90°;⑥若所得四边形MNPQ为菱形,则AB=AD.以上命题中,正确的是()A.①②B.③④C.③④⑤⑥D.①②③④答案:选B.例2、下列命题:①一组对边平行且相等的四边形是梯形;②一组对边平行且不相等的四边形是梯形;③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是梯形;④一条直线与矩形的一组对边相交,必分矩形为两个直角梯形.其中真命题的序号是__________.分析:可采用反例法,即举的例子符合题设但不符合结论,从而说明原命题是假命题.①可举反例:平行四边形;②可证得另一组对边不平行,故符合定义;③可举反例:矩形;④直线与矩形垂直相交,则得到两个矩形.答案:②例3、已知:如图AB∥CD,AE⊥DC,AE=12,BD=15,AC=20,则梯形的面积是()A.130B.140C.150D.160分析:要求梯形的面积,由于,而AE=12,所以关键是求(AB+DC)的长,注意已知BD和AC,这样我们可过B作对角线AC的平行线交DC的延长线于F,则可证AB=CF,于是转化求(DC+CF)的长,又过B作BH⊥DC于H,则BH=AE=12,现在只要求DH和HF即可.在Rt△BDH中,利用勾股定理得在Rt△BHF中,故DF=DH+HF=DC+AB=9+16=25.这样梯形的面积为.答案:选C.例4、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,中位线EF分别与BD、AC交于点G,H,若AD=6,BC=10,则GH=__________.分析:本题主要考查三角形、梯形的中位线定理.因为EF是中位线,,EG、HF分别是△ABD、△ACD的中位线,,故GH=EF-EG-HF=8-3-3=2.答案:2.例5、如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.解:由△BCD沿直线BD折叠与△BC′D重合,∠1=∠2,又∵AD∥BC,∴∠2=∠3.∠1=∠3,故△BED是等腰三角形.∴BE=ED.设ED=x,则AE=AD-ED=8-x.在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,∴42+(8-x)2=x2.解之得x=5.故例6、如图,M、N分别是□ABCD的对边AD、BC的中点,且AD=2AB.求证:PMQN为矩形.证明:∵ABCD是平行四边形,∴AD BC.又M、N分别是AD、BC的中点,∴MD BN,BNDM为平行四边形.∴BM∥ND,同理AN∥MC,∴PMQN为平行四边形.连结MN,∵AM BN,∴ABNM为平行四边形.又AD=2AB,M为AD中点,∴AM=AB.∴ABNM为菱形,∴AN⊥BM.∴PMQN为矩形.说明:本例是一道平行四边形、菱形、矩形性质定理和判定定理反复运用的较好的综合题,同学们认真体会其证题思路和证明方法.例7、如图,过正方形ABCD的顶点B作BE∥AC且使AE=AC,又CF∥AE,求证:.分析:按常规思路将∠AEB取半或将∠BCF加倍,但由于图形的“不规则”性,难于达到目的,易见AEFC为菱形,∠ACB=45°,若结论成立,则∠ACF=∠AEF=30°,不妨利用正方形和菱形的特性求出∠E=30°.证明:连结BD交AC于O,作AH⊥BE于H.∵ABCD为正方形,∴AC与BD互相垂直平分于点O,且AO=BO.已知BE∥AC,已知AH⊥BE易证四边形AOBH为正方形,.∴∠AEH=30°又BE∥AC,AE∥CF,AE=AC.∴ACFE为菱形,∴∠AEF=∠ACF=30°,又∠ACB=45°,∴∠BCF=15°..例8、在梯形ABCD中,AD∥BC且AB=AD+BC,M为DC的中点,求证:AM⊥BM.分析:由题设AB=AD+BC,应将两底集中.证明:延长AM交BC延长线于N,∵M是DC的中点,AD∥BC,则△ADM≌△NCM.∴AD=CN,AM=MN.故AB=AD+BC=CN+BC=BN.由等腰三角形“三线合一”知BM⊥AM.说明:根据证题的需要,集中梯形的两底是常用辅助线之一,本例也可以先延长BC到N使BN=AB,再证A、M、N共线而得.例9、如图,在等腰梯形ABCD中AD∥BC,AB=DC,点P为BC边上的一点,PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E、F、G,求证:PE+PF=BG.证明:过P点作PH⊥BG于点H,∵BG⊥CD,PF⊥CD,PH⊥BG,∴四边形PHGF为矩形.∴PF=HG,PH∥CD,∴∠BPH=∠C.又在等腰梯形ABCD中AB=DC,∵∠PBE=∠C,∴∠PBE=∠BPH.故Rt△BPH≌Rt△PBE,∴BH=PE.∴PE+PF=BH+HG=BG.说明:在梯形的有关问题中常是化归为特殊的平行四边形及三角形来处理.例10、如图,ABCD为等腰梯形,AB∥CD,对角线AC、BD交于O,且∠AOB=60°,又E、F、G分别为DO、AO、BC的中点,求证:△EFG为等边三角形.分析:这里中点较多,显然,又AD=BC,要能证EG,FG为BC的一半才行,但无法用中位线定理,只有另辟蹊径,注意∠AOB=60°.证明:连结EC,∵ABCD为等腰梯形,∴AD=BC且AC=BD,又DC=DC,∴△ADC≌△BCD,∠ACD=∠BDC.∴△ODC为等腰三角形.∵∠DOC=∠AOB=60°,∴△ODC为等边三角形.又E为OD中点,∴∠OEC=90°.在Rt△BEC中,G为斜边的中点,,在△OAD中,∵E、F分别是OD、OA的中点,,∴△EFG为等边三角形.说明:本例中除揭示等腰梯形的诸性质外,还提醒同学们注意遇到中点应联想中位线,但不要只想到中位线,须将所学过的知识综合运用,这里运用了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.。
中考数学复习《多边形与平行四边形》
证明:∵BD垂直平分AC, ∴AB=BC,AD=DC.
在△ADB与△CDB中,
∴△ADB≌△CDB(SSS). ∴∠BCD=∠BAD. ∵∠BCD=∠ADF,∴∠BAD=∠ADF, ∴AB∥FD. ∵BD⊥AC,AF⊥AC,∴AF∥BD. ∴四边形ABDF是平行四边形.
考题再现
1. (2015广州)下列命题中,真命题的个数有 ( B )
(5)面积:①计算公式:S□=底×高=ah.
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
4. 平行四边形的判定 (1)定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形. (5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 5. 三角形中位线定理 (1)三角形的中位线:连接三角形两边的中点,所得线段叫 做该三角形的中位线. (2)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且 等于第三边的一半.
中考考点精讲精练
考点1 多边形的内角和与外角和
考点精讲
【例1】(2016临沂)一个正多边形的内角和为540°,则这
个正多边形的每一个外角等于
()
A. 108°
B. 90°
C. 72° D. 60°
思路点拨:首先设此多边形为n边形,根据题意,得180·
(n-2)=540,即可求得n=5,再由多边形的外角和等于360°,
5. (2016梅州)如图1-4-6-6,平行
四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°, E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF, 连接EF交BD于点O. (1)求证:BO=DO; (2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于点G,当FG=1时,求 AE的长.
中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第六节矩形、菱形、正方形精试
第六节矩形、菱形、正方形,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答18正方形的性质以正方形为背景考察全等三角形的判定,直角三角形的判定10解答22菱形的性质在直角坐标系中,以菱形为背景考察反比例函数、一次函数的有关知识10202021 解答18菱形菱形的性质及判定10102021解答18菱形菱形的性质及判定10102021解答20菱形利用菱形的性质:(1)1010定.命题预测预计2021年中考,特殊的平行四边形内容仍为重点考察内容,且以解答题形式出现,平时训练要加大对性质及判定的训练力度.,贵阳五年中考真题及模拟)菱形的性质及判定(4次)1.(2021贵阳22题10分)如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的边OB 在x轴上,反比例函数y=x k(x>0)的图象经过菱形对角线的交点A,且及边BC交于点F,点A的坐标为(4,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)求点F的坐标.解:(1)∵反比例函数y=x k的图象经过点A,A点的坐标为(4,2),∴2=4k,∴k =8.∴反比例函数的表达式为y=x8;(2)过点A作AM⊥x轴于点M,过点C作CN ⊥x轴于点N,由题意可知,CN=2AM=4,ON=2OM=8,∴点C的坐标为C(8,4),设OB=x,那么BC=x,BN=8-x,在Rt△CNB中,x2-(8-x)2=42,解得x=5,∴点B的坐标为B(5,0),设直线BC的函数表达式为y=k1x+b,直线BC过点B(5,0),C(8,4),∴8k1+b=4,5k1+b=0,解得:,20∴直线BC的表达式为yx2=-1,∵点F在第一象限,∴点F =34x-320,根据题意得方程组,8解此方程组得:,4y2=-8,的坐标为F(6,34).2.(2021 贵阳18题10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB 的中点,且AE∥CD,CE∥AB.(1)证明:四边形ADCE是菱形;(2)假设∠B=60°,BC=6,求菱形ADCE的高.(计算结果保存根号)解:(1)∵AE∥CD,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形,又∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD=BD=AD,∴平行四边形ADCE是菱形;(2)如图,过点D作DF⊥CE,垂足为点F,那么DF即为菱形ADCE的高,∵∠B=60°,CD=BD,∴△BCD是等边三角形.∵CE∥AB,∴∠BCE=120°,∴∠DCE=60°,又∵CD=BC=6,∴在Rt△CDF中,DF=3.3.(2021贵阳18题10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,连接AF.(1)求证:四边形ADCF是菱形;(2)假设BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.解:(1)∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.∴AE=CE,DE=FE,∴四边形ADCF为平行四边形.∵点D,E是AB及AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°即BC⊥AC,∴DF⊥AC,∴平行四边形ADCF为菱形;(2)∵在Rt△ABC中,BC=8,AC=6,∴AB=10.∵点D是AB 边上的中点,∴AD=5.∵四边形ADCF为菱形,∴AF=FC=AD=5,∴C四边形=8+10+5+5=28.ABCF4.(2021贵阳20题10分):如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证:AE=EC;(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.解:(1)连接AC,∵四边形ABCD为菱形,∴BD垂直平分AC,∴AE=EC;(2)点F是线段BC的中点,理由如下:易得△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AE=EC,∠CEF=60°,∴∠EAC=21∠BAC=30°,∴AF是△ABC 的角平分线,∵AF交BC于点F,∴AF是△ABC边BC上的中线,∴点F是线段BC的中点.正方形的性质(2次)5.(2021贵阳模拟卷②15题)如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形局部的面积从左向右依次记为S1,S2,S3,……,S n,那么S n的值为__24n-5__.(用含n的代数式表示,n为正整数) 6.(2021贵阳21题10分)如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC与CD上.(1)求证:CE=CF;(2)假设等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.解:(1)易证△ABE≌△ADF,∴BE=DF,又BC=DC,∴BC-BE=DC-DF,∴CE=CF;(2)连接AC,交EF于G点,易得AC⊥EF,EC=,设BE=x,那么AB=x+,在Rt△ABE中,(x+)2+x2=4,∴x=26,∴AB=26+=26,∴正方形的周长为2+2.7.(2021 贵阳适应性考试)如图,E,F是菱形ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF.(1)求证:四边形BEDF是菱形;(2)假设∠DAB=60°,AD=6,AE=DE,求菱形BEDF的周长.解:(1)∵菱形ABCD,∴AB=AD,对角线AC平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,又∵AE=AE,∴△ABE≌△ADE,∴BE=ED.连接BD交AC于点O,那么OD=OB,OA=OC,∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF为平行四边形,∴▱BEDF为菱形;(2)在菱形ABCD中,连接BD交于AC于O点,∴DB⊥AC,又∵∠DAB=60°,∴∠DAE=30°,∠ADB=60°,∵AD=6,∴在Rt△ADO中,DO=21AD=3,∵AE=ED,∴∠DAE=∠ADE,∠ADE=∠EDO=30°,在Rt△DEO中,可求得DE=2,∴菱形BEDF 的周长为8.,中考考点清单)矩形的性质及判定1.定义:把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图(1).2.性质文字描述字母表示[参考图(1)](1)对边平行且相等AD綊BC,AB綊CD(2)四个内角都是直角__∠DAB__=∠ABC=∠BCD =∠CDA=90°(3)两条对角线相等且互相平分AC=__BD__,OA=OC=OB=OD(4)矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形3.判定文字描述字母表示[参考图(1)](1)有一个角是直角的平行四边形是矩形假设四边形ABCD是平行四边形,且∠BAD=90°,那么四边形ABCD是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形假设∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,那么四边形ABCD是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形假设AC=__BD__,且四边形ABCD是平行四边形,那么四边形ABCD是矩形菱形的性质及判定(高频考点)4.定义:把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图(2) 5.性质文字描述字母表示[参考图(2)](1)菱形的四条边都相等AB=__BC__=CD=DA(2)对角相等∠DAB=∠DCB,∠ADC=__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直,且每条对角线平分一组对角__AC__⊥BD,∠DAC=∠CAB =∠DCA=∠ACB,∠ADB=∠BDC=∠ABD=∠DBC(4)菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形6.判定文字描述字母表示[参考图(2)](1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形假设四边形ABCD是平行四边形,且AD=AB,那么四边形ABCD是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形假设AB=BC=CD=DA,那么四边形ABCD是菱形(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形假设AC⊥BD,且四边形ABCD 是平行四边形,那么四边形ABCD是菱形正方形的性质及判定7.定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如图(3)8.性质文字描述字母表示[参考图(3)](1)四条边都相等即AB=BC=CD=DA(2)四个角都是90°即∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__,OA=OC=OD=OB(4)对角线平分一组对角∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠ACB=∠ADB=∠BDC=∠ABD=∠DBC=45°(5)正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形9.判定文字描述字母表示[参考图(3)](1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形假设四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,∠ADC=90°,那么四边形ABCD是正方形(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形假设∠ABC=90°且四边形ABCD是菱形,那么四边形ABCD是正方形(3)有一组邻边相等的矩形是正方形假设AB=BC,且四边形ABCD 是矩形,那么四边形ABCD是正方形(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形假设四边形ABCD中,AC⊥BD,AC平分BD,BD平分AC,AC=BD,那么四边形ABCD是正方形,中考重难点突破)矩形的有关计算【例1】(2021天津中考)如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B′,AB′,DC相交于点E,那么以下结论一定正确的选项是( ) A.∠DAB′=∠CAB′B.∠ACD=∠B′CDC.AD=AED.AE=CE【解析】由折叠的性质得:∠CAB′=∠∵AB∥CD,∴∠ACD=∠CAB=∠CAB′,∴AE=CE.【学生解答】D1.(2021海南中考)如图,矩形ABCD的顶点A,C分别在直线a,b上,且a ∥b,∠1=60°,那么∠2的度数为( C )A.30°B.45°C.60°D.75°,(第1题图)) ,(第2题图))2.(2021南充中考)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB及DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展开纸片后∠DAG的大小为( C )A.30°B.45°C.60°D.75°3.(2021巴中中考)如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,那么∠E=__15__°.菱形的性质及判定【例2】(2021南充中考)如图,菱形ABCD的周长是8 cm,AB的长是________cm.【解析】菱形的四边形相等,故AB=8÷4=2(cm).【学生解答】24.(2021无锡中考)以下性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是( C )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.邻边互相垂直5.(2021雅安中考)如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120 cm2,对角线AC=24 cm,那么四边形ABCD的周长为( A )A.52 cm B.40 cmC.39 cm D.26 cm6.(2021遵义中考)在▱ABCD中,,使▱ABCD成为菱形,以下给出的条件不正确的选项是( C )A.AB=AD B.AC⊥BDC.AC=BD D.∠BAC=∠DAC7.(2021苏州中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)AC=8,BD=6,求△ADE的周长.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB =90°.又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,∴DE∥AC,∴四边形ACDE是平行四边形;(2)∵∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8,∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.正方形的性质及判定【例3】(2021广东中考)如图,正方形ABCD的面积为1,那么以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )A. B.2C.+1 D.2+1【解析】由题意可知,正方形ABCD的边长为1,那么CE=CF=21.由勾股定理,得EF==)21=22,故正方形EFGH的周长为2.【学生解答】B8.(2021益阳中考)以下判断错误的选项是( D )A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形9.(2021陕西中考)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,假设M,N是AD上的两点,连接MO,NO,并分别延长交边BC于M′,N′两点,那么图中全等三角形共有( C )A.2对B.3对C.4对D.5对,(第9题图)) ,(第10题图))10.(2021西宁中考)如图,正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC 边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.假设AE=1,那么FM的长为__25__.。
北师大版九年级上册数学复 习知识点及例题
性角 质
对 角 线
四个角都是 直角
互相平分且 相等
对角相等
四个角都是直角
互相垂直平分, 且每条对角线平 分一组对角
互相垂直平分且相等,每 条对角线平分一组对角
判定
·有三个角 是直角; ·是平行四 边形且有一 个角是直角; ·是平行四
·四边相等的四 边形; ·是平行四边形 且有一组邻边相 等; ·是平行四边形
·是矩形,且有一组邻 边相等; ·是菱形,且有一个角 是直角。
边形且两条 且两条对角线互 对角线相等. 相垂直。
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形
一.矩形 矩形定义:有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
【强调】 矩形(1)是平行四边形;(2)一一个角是直角.
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角; 性质2 矩形的对角线相等,具有平行四边形的所以性质。;
①有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) ②有一个角是直角的平行四边形 (矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的
菱形. 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形. 正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形
又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有 四条对称轴;
因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们 性质的综合,正方形的性质总结如下:
边:对边平行,四边相等; 角:四个角都是直角; 对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等 的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.
九年级数学上册知识归纳 特殊平行四边形核心知识点
编号:89385412744576565852344429
学校:测查习市复体语镇末上卷学校*
教师:强中强*
班级:开心伍班*
特殊平行四边形核心知识点正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系
平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质二、梯形常见的辅助线
1.延长两腰交于一点
作用:使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰
作用:使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
3.作高
作用:使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线
作用:(1)得到平行四边形ACED,使CE=AD,BE等于上、下底的和(2)等腰梯形时,S梯形ABCD=S△DBE
5.当有一腰中点时,连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
作用:可得△ADE≌△FCE,所以使S梯形ABCD=S△ABF。
初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点
初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点初三数学的学习,最重要的还是掌握理解透知识点,因为这才是贯穿于这个初中数学的核心。
小编在这里整理了相关资料,希望能帮助到您。
初三数学特殊的平行四边形知识点一、平行四边形1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等。
(对边)(2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(对角)(3)平行四边形的对角线互相平分。
(对角线)(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。
常用点:(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
(2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(对边)(2)定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(对边)(3)定理2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(对边)(4)定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(对角)(5)定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(对角线)4、两条平行线的距离两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
注意:平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah111二、菱形1、菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质(1)菱形的四条边相等,对边平行。
(边)(2)菱形的相邻的角互补,对角相等。
(对角)(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。
(对角线)(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。
3、菱形的判定(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。
新人教版初中数学——特殊的平行四边形-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——特殊的平行四边形知识点归纳及中考题型解析一、矩形的性质与判定1.矩形的性质:(1)四个角都是直角;(2)对角线相等且互相平分;(3)面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.(如图)2.矩形的判定:(1)定义法:有一个角是直角的平行四边形;(2)有三个角是直角;(3)对角线相等的平行四边形.二、菱形的性质与判定1.菱形的性质:(1)四边相等;(2)对角线互相垂直、平分,一条对角线平分一组对角;(3)面积=底×高=对角线乘积的一半.2.菱形的判定:(1)定义法:有一组邻边相等的平行四边形;(2)对角线互相垂直的平行四边形;(3)四条边都相等的四边形.三、正方形的性质与判定1.正方形的性质:(1)四条边都相等,四个角都是直角;(2)对角线相等且互相垂直平分;(3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB.2.正方形的判定:(1)定义法:有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形;(2)一组邻边相等的矩形;(3)一个角是直角的菱形;(4)对角线相等且互相垂直、平分.四、联系(1)两组对边分别平行;(2)相邻两边相等;(3)有一个角是直角;(4)有一个角是直角;(5)相邻两边相等;(6)有一个角是直角,相邻两边相等;(7)四边相等;(8)有三个角都是直角.五、中点四边形(1)任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.(2)对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.(3)对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.(4)对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质与判定1.矩形除了具有平行四边形的一切性质外,还具有自己单独的性质,即:矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等.2.利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.3.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形.典例1 如图,矩形ABCD的对角线交于点O,若∠BAO=55°,则∠AOD等于A.105°B.110°C.115°D.120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴OA=O B.∴∠BAO=∠ABO=55°.∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.故选B.典例2 如图,矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上),AB=5,BC=12,点A表示的数是–1,则对角线AC、BD的交点表示的数A.5.5 B.5 C.6 D.6.5【答案】A【解析】连接BD交AC于E,如图所示:∵四边形ABCD是矩形,∴190,2B AE AC ∠==,∴13AC=,∴AE=6.5,∵点A表示的数是−1,∴OA=1,∴OE=AE−OA=5.5,∴点E表示的数是5.5,即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5;故选A.1.如图,四边形ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是A .AB =BC B .AC 垂直BD C .∠A =∠C D .AC =BD2.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC BD 、交于点O ,并且6015DAC ADB ∠=︒∠=︒,,点E 是AD 边上一动点,延长EO 交于BC 点F ,当点E 从点D 向点A 移动过程中(点E 与点D ,A 不重合),则四边形AFCE 的变化是A .平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B .平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C .平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D .平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形考向二 菱形的性质与判定1.菱形除了具有平行四边形的一切性质外,具有自己单独的性质,即:菱形的四条边都相等; 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 2.菱形的判定:四条边都相等的四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.典例3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A .两组对边分别平行 B .两组对边分别相等 C .一组邻边相等D .对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较,可发现A,B,D两者均具有,而C只有菱形具有平行四边形不具有,故选C.【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,且满足AO=CO,请你添加一个适当的条件_____________,使四边形ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)【答案】BO=DO(答案不唯一)【解析】四边形ABCD中,AC、BD互相垂直,若四边形ABCD是菱形,需添加的条件是:AC、BD 互相平分(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).故答案为:BO=DO(答案不唯一).3.已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为A.45°,135°B.60°,120°C.90°,90°D.30°,150°4.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:四边形AEDF是菱形.考向三正方形的性质与判定1.正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质.2.正方形的判定:以矩形和菱形的判定为基础,可以引申出更多正方形的判定方法,如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形,再根据相应判定方法证明四边形是正方形.典例5面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为A.18㎝2B.20㎝2C.24㎝2D.28㎝2【答案】A【解析】∵正方形的面积为9cm2,∴边长为3cm,∴根据勾股定理得对角线长cm,∴以=2=18cm2.故选A.典例6如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE,过点C作CF⊥AE于F,DE交CF于G,则四边形ADGF的周长是A.8 B.C.D.【答案】D【解析】如图,连接AG,∵∠B=90°,AB=BC=4,∴∠CAB=∠ACB=45°,AC,∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE,∴AD=AB=4,∠EAD=∠CAB=45°,∴∠FAB=90°,CD=AC﹣AD﹣4,∵∠B=90°=∠FAB,CF⊥AE,∴四边形ABCF是矩形,且AB=BC=4,∴四边形ABCF是正方形,∴AF=CF=AB=4=AD,∠AFC=∠FCB=90°,∴∠GCD =45°,且∠GDC =90°,∴∠GCD =∠CGD =45°,∴CD =GD ﹣4,∵AF =AD ,AG =AG ,∴Rt △AGF ≌Rt △AGD (HL ),∴FG =GD ﹣4,∴四边形ADGF 的周长=AF +AD +FG +GD ﹣﹣,故选D .5.如图,在正方形ABCD 内一点E 连接BE 、CE ,过C 作CF ⊥CE 与BE 延长线交于点F ,连接DF 、DE .CE =CF =1,DE ,下列结论中:①△CBE ≌△CDF ;②BF ⊥DF ;③点D 到CF 的距离为2;④S 四边形DECF +1.其中正确结论的个数是A .1B .2C .3D .46.如图,在正方形ABCD 中,,2BE FC CF FD ==,AE 、BF 交于点G ,下列结论中错误的是A .AE BF ⊥B .AE BF =C .43BG GE =D .ABGCEGF S S=四边形考向四 中点四边形1.中点四边形一定是平行四边形;2.中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.典例7如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC=BD时,存在EF=FG=GH=HE,故四边形EFGH为菱形,故A正确;B.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC⊥BD时,存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°,故四边形EFGH为矩形,故B正确;C.如图所示,当E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点时,若EF∥HG,EF=HG,则四边形EFGH 为平行四边形,故C正确;D.如图所示,当E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点时,若EF=FG=GH=HE,则四边形EFGH 为菱形,故D错误,故选D.7.顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形8.如图,我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形.若四边形ABCD的面积记为S1,中点四边形EFGH的面积记为S2,则S1与S2的数量关系是A.S1=3S2B.2S1=3S2C.S1=2S2D.3S1=4S21.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=A.5 B.4 C.3.5 D.32.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD=120°,AC=16,则图中长度为8的线段有A.2条B.4条C.5条D.6条3.如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若沿折痕EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF 的长为A.158B.154C.152D.154.如图,菱形ABCD的对角线交于点O,AC=8 cm,BD=6 cm,则菱形的高为A.485cm B.245cm C.125cm D.105cm5.如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB的度数是A.108°B.72°C.90°D.100°6.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=CF.连接AE,BF,AE与BF 交于点G.下列结论错误的是A.AE=BF B.∠DAE=∠BFCC.∠AEB+∠BFC=90°D.AE⊥BF7.如图,矩形ABCD中将其沿EF翻折后,D点恰落在B处,∠BFE=65°,则∠AEB=____________.8.如图,P为正方形ABCD内一点,且BP=2,PC=3,∠APB=135°,将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B,连接PP′,则AP=_______.9.如图,在ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)求BD的长.10.如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D.(1)求证:BE=CF;(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.11.如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)判断OE与OF的大小关系?并说明理由;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说出你的理由;(3)在(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形.直接写出答案,不需说明理由.1.下列命题正确的是A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形2.如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于AB.C.D.203.如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12,点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是A.0 B.4 C.6 D.84.如图,正方形ABCD中,点E.F分别在边CD,AD上,BE与CF交于点G.若BC=4,DE=AF=1,则GF的长为A.135B.125C.195D.1655.如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若5DE ,则GE的长为__________.6.如图,把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠(点E、H在AD边上,点F、G在BC边上),使得点B、点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A 点,D点的对称点为D点,若FPG,A EP90△的面积为1,则矩形ABCD的面积等于__________.△的面积为4,D PH7.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC的中点,若OE=3,则菱形的周长为__________.8.如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.9.已知:如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)求证:四边形AECF是矩形.10.如图,在菱形ABCD中,点E.F分别为A D.CD边上的点,DE=DF,求证:∠1=∠2.11.如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点,且DF=BE.求证:AF=CE.12.如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.13.如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD 的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.1.【答案】D【解析】结合选项可知,添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形,∴四边形ABCD是矩形,故选D.2.【答案】A【解析】点E从D点向A点移动过程中,当∠EOD<15°时,四边形AFCE为平行四边形,当∠EOD=15°时,AC⊥EF,四边形AFCE为菱形,当15°<∠EOD <75°时,四边形AFCE 为平行四边形, 当∠EOD =75°时,∠AEF =90°,四边形AFCE 为矩形, 当75°<∠EOD <105°时,四边形AFCE 为平行四边形,故选A . 3.【答案】B【解析】如图,由题意知AB =BC =AC ,∵AB =BC =AC ,∴△ABC 为等边三角形,即60B ∠=︒,根据平行四边形的性质,18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B .4.【解析】∵DE ∥AC ,DF ∥AB , ∴四边形AEDF 为平行四边形, ∴∠FAD =∠EDA ,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠EAD =∠FAD ,∴∠EAD =∠EDA , ∴AE =ED ,∴四边形AEDF 是菱形. 5.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形,∴BC =CD ,∠BCD =90°, ∵CF ⊥CE ,∴∠ECF =∠BCD =90°,∴∠BCE =∠DCF ,在△BCE 与△DCF 中,BC CDBCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△DCF (SAS ),故①正确;∵△BCE ≌△DCF ,∴∠CBE =∠CDF ,∴∠DFB =∠BCD =90°,∴BF ⊥ED , 故②正确,过点D 作DM ⊥CF ,交CF 的延长线于点M ,∵∠ECF =90°,FC =EC =1,∴∠CFE =45°,∵∠DFM +∠CFB =90°,∴∠DFM =∠FDM =45°,∴FM =DM ,∴由勾股定理可求得:EF ,∵DE ,∴由勾股定理可得:DF =2,∵EF 2+BE 2=2BE 2=BF 2,∴DM =FM ∵△BCE ≌△DCF ,∴S △BCE =S △DCF ,∴S 四边形DECF =S △DCF +S △DCE =S △ECF +S △DEF =S △AFP +S △PFB =12B . 6.【答案】C【解析】在正方形ABCD 中,AB =BC ,∠ABE =∠C =90,又∵BE =CF ,∴△ABE ≌△BCF (SAS ),∴AE =BF ,∠BAE =∠CBF ,∴∠FBC +∠BEG =∠BAE +∠BEG =90°,∴∠BGE =90°,∴AE ⊥BF .故A 、B 正确; ∵CF =2FD ,∴CF :CD =2:3,∵BE =CF ,AB =CD ,32AB BE ∴=, ∵∠EBG +∠ABG =∠ABG +∠BAG =90°,∴∠EBG =∠BAG , ∵∠EGB =∠ABE =90°,∴△BGE ∽△ABE ,32BG AB GE BE ∴==,故C 不正确, ∵△ABE ≌△BCF ,∴S △ABE =S △BFC ,∴S △ABE –S △BEG =S △BFC –S △BEG ,∴S 四边形CEGF =S △ABG , 故D 正确.故选C .7.【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形, 当对角线相等时,所得图形一定是菱形,故选C . 8.【答案】C【解析】如图,设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ,BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q , ∵E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,∴EF ∥AC , 同理可证EH ∥BD ,∴△EBK ∽△ABM ,△AEN ∽△EBK ,1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是矩形,∴AC =BD ,OA =OC ,∠BAD =90°, ∵∠ADB =30°,∴AC =BD =2AB =8,∴OC =AC =4.故选B . 2.【答案】D【解析】∵AC =16,四边形ABCD 是矩形, ∴DC =AB ,BO =DO =12BD ,AO =OC =12AC =8,BD =AC , ∴BO =OD =AO =OC =8,∵∠AOD =120°,∴∠AOB =60°,∴△ABO 是等边三角形,∴AB =AO =8,∴DC =8,即图中长度为8的线段有AO 、CO 、BO 、DO 、AB 、DC 共6条,故选D . 3.【答案】B【解析】如图,连接AF .根据折叠的性质,得EF 垂直平分AC ,则设,则,在中,根据勾股定理,得,解得. 在中,根据勾股定理,得AC =5,则AO =2.5.12.AF CF =AF x =4BF x =-Rt △ABF 229(4)x x =+-258x =Rt △ABC在中,根据勾股定理,得 根据全等三角形的性质,可以证明则故选B .4.【答案】B【解析】∵菱形ABCD 的对角线∴AC ⊥BD ,OA =AC =4 cm ,OB =BD =3 cm ,根据勾股定理,(cm ).设菱形的高为h ,则菱形的面积,即,解得,即菱形的高为cm .故选B . 5.【答案】B【解析】如图,连接AP ,∵在菱形ABCD 中,∠ADC =72°,BD 为菱形ABCD 的对角线,∴∠ADP =∠CDP =12∠ADC =36°. ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ,垂足为E ,∴PA =P D. ∴∠DAP =∠ADP =36°.∴∠APB =∠DAP +∠ADP =72°. 又∵菱形ABCD 是关于对角线BD 对称的,∴∠CPB =∠APB =72°.故选B.6.【答案】CRt △AOF 158,OF =,OE OF =154.EF=8cm 6cm AC BD ==,,12125AB ===12AB h AC BD =⋅=⋅15862h =⨯⨯245h =245【解析】∵AD//BC,∴∠DAE=∠AEB,∵BE=CF,AB=BC,∠ABE=∠BCF,∴△ABE≌△BCF,∴AE=BF,∠DAE=∠BFC,∵∠FBC+∠BFC=90°,∠AEB=∠BFC,∴∠FBC+AEB=90°,∴AE ⊥BF,所以A、B、D三个选项正确,∠AEB=∠BFC,故C选项错误,故选C.7.【答案】50°【解析】如图所示,由矩形ABCD可得AD∥BC,∴∠1=∠BFE=65°,由翻折得∠2=∠1=65°,∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°.故答案为:50°.8.【答案】1【解析】∵△BP'C是由△BPA旋转得到,∴∠APB=∠CP'B=135°,∠ABP=∠CBP',BP=BP',AP=CP',∵∠ABP+∠PBC=90°,∴∠CBP'+∠PBC=90°,即∠PBP'=90°,∴△BPP'是等腰直角三角形,∴∠BP'P=45°,∵∠APB=∠CP'B=135°,∴∠PP'C=90°,∵BP=2,∴PP,∵PC=3,∴CP,∴AP=CP′=1,故答案为1.9.【解析】(1)∵AB=6,BC=8,AC=10,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴ABCD是矩形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=10.10.【解析】(1)∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,在△ACF和△ABE中,AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF≌△ABE,∴BE=CF.(2)∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,∴DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°,∴∠AEB=∠ABE=45°,∴△ABE为等腰直角三角形,∴BEBD=BE﹣DE1.11.【解析】(1)OE=OF,理由如下:因为CE平分∠ACB,所以∠1=∠2,又因为MN∥BC,所以∠1=∠3,所以∠3=∠2,所以EO=CO,同理,FO=CO,所以OE=OF.(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,理由如下:因为OE=OF,点O是AC的中点,所以四边形AECF是平行四边形,又因为CF平分∠BCA的外角,所以∠4=∠5,又因为∠1=∠2,所以∠1=∠2,∠2+∠4=11802⨯︒=90°,即∠ECF=90°,所以平行四边形AECF是矩形.(3)当△ABC是直角三角形时,即∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形,理由如下:由(2)证明可知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,又因为∠ACB=90°,CE,CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线,所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°,所以AC⊥MN,所以四边形AECF是正方形.1.【答案】A【解析】A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件;B.四条边都相等的四边形是菱形,故B错误;C有一组邻边相等的平行四边形是菱形,故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形,则D错误;故选A.【名师点睛】本题考查了矩形的判定,矩形的判定方法有:1.有三个角是直角的四边形是矩形;2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形;3.有一个角为直角的平行四边形是矩形;4.对角线相等的平行四边形是矩形.2.【答案】C【解析】∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(2,0),(0,1),∴AO=2,OB=1,AC⊥BD,∴由勾股定理知:AB==,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=DC=BC=AD∴菱形ABCD的周长为:C.【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质,勾股定理以及坐标与图形的性质,得出AB的长是解题关键.3.【答案】D【解析】如图,过E点作关于AB的对称点E′,则当E′,P,F三点共线时PE+PF取最小值,∵∠EAP=45°,∴∠EAE′=90°,又∵AE=EF=AE′=4,∴PE+PF的最小值为E′F=,∵满足PE+PF∴在边AB上存在两个P点使PE+PF=9,同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件,∴满足PE+PF=9的点P的个数是8,故选D.【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径,有一定难度,巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4.【答案】A【解析】正方形ABCD 中,∵BC =4, ∴BC =CD =AD =4,∠BCE =∠CDF =90°, ∵AF =DE =1,∴DF =CE =3,∴BE =CF =5,在△BCE 和△CDF 中,BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△CDF (SAS ),∴∠CBE =∠DCF , ∵∠CBE +∠CEB =∠ECG +∠CEB =90°=∠CGE , cos ∠CBE =cos ∠ECG =BC CGBE CE=, ∴453CG =,CG =125,∴GF =CF ﹣CG =5﹣125=135, 故选A .【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数,证明△BCE ≌△CDF 是解本题的关键. 5.【答案】4913【解析】如图,令AE 与BF 的交点为M . 在正方形ABCD 中,∠BAD =∠D =90︒,∴∠BAM +∠FAM =90︒, 在Rt ADE △中,13==A E ,∵由折叠的性质可得ABF GBF △≌△, ∴AB =BG ,∠FBA =∠FBG , ∴BF 垂直平分AG , ∴AM =MG ,∠AMB =90︒, ∴∠BAM +∠ABM =90︒, ∴∠ABM =∠FAM ,∴ABM EAD △∽△,∴AM AB DE AE = ,∴12513AM =,∴AM =6013,∴AG =12013,∴GE =13–120491313=. 【名师点睛】本题考查了正方形与折叠,勾股定理,等腰三角形的性质,以及三角形相似的判定和性质,熟练掌握相关的知识是解题的关键.6.【答案】【解析】∵A 'E ∥PF ,∴∠A 'EP =∠D 'PH ,又∵∠A =∠A '=90°,∠D =∠D '=90°,∴∠A '=∠D ',∴△A 'EP ~△D 'PH , 又∵AB =CD ,AB =A 'P ,CD =D 'P ,∴A 'P = D 'P , 设A 'P =D 'P =x ,∵S △A 'EP :S △D 'PH =4:1,∴A 'E =2D 'P =2x ,∴S △A 'EP =2112422A E A P x x x ''⨯⨯=⨯⨯==, ∵0x >,∴2x =,∴A 'P =D 'P =2,∴A 'E =2D 'P =4,∴EP ==∴1=2PH EP =112DH D H A P ''===,∴415AD AE EP PH DH =+++=+=+ ∴2AB A P '==,∴25)10ABCD S AB AD =⨯=⨯=矩形,【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质,解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 7.【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB =BC =CD =AD ,BO =DO , ∵点E 是BC 的中点, ∴OE 是△BCD 的中位线, ∴CD =2OE =2×3=6,∴菱形ABCD 的周长=4×6=24; 故答案为:24.【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理;熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键.8.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF;(2)解:由(1)得:△BAE≌△ADF,∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90°,∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE,在Rt△ABE中,12AB×AE=12BE×AG,∴AG=435⨯=125.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解题的关键.9.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC,∵AE⊥BC,CF⊥AD,∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°,在△ABE和△CDF中,B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△CDF(AAS);(2)∵AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB=90°,∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,∴四边形AECF是矩形.【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键.10.【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,在△ADF和△CDE中,AD CDD D DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADF≌△CDE(SAS),∴∠1=∠2.【名师点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解题的关键.11.【答案】见解析.【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=BC,在△ADF和△CBE中,AD CBD B DF BE⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩,∴△ADF≌△CBE(SAS),∴AF=CE.【名师点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明三角形全等是解题的关键.12.【答案】见解析.【解析】∵四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2AO,BD=2OD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定,矩形的判定等知识点,能由题中已知信息推出四边形ABCD是平行四边形是关键.13.【解析】(1)∵四边形EFGH是矩形,∴EH=FG,EH∥FG,∴∠GFH=∠EHF,∵∠BFG=180°﹣∠GFH,∠DHE=180°﹣∠EHF,∴∠BFG=∠DHE,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠GBF=∠EDH,∴△BGF≌△DEH(AAS),∴BG=DE;(2)连接EG,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC,∵E为AD中点,∴AE=ED,∵BG=DE,∴AE=BG,AE∥BG,∴四边形ABGE是平行四边形,∴AB=EG,∵EG=FH=2,∴AB=2,∴菱形ABCD的周长=8.【名师点睛】本题考查了菱形的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,正确的识别作图是解题的关键.。
完整版九年级上册-特殊的平行四边形知识点
完整版九年级上册-特殊的平行四边形知
识点
本文介绍了平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义、性质和判定方法,以及直角三角形斜边中线的性质和直角三角形的判定方法。
平行四边形是两组对边分别平行的四边形。
它的边具有对边平行且相等的性质,对角也相等,对角线互相平分。
判定平行四边形的方法有四种。
矩形是有一个角是直角的平行四边形。
它的边具有对边平行且相等的性质,四个角都是直角,对角线相等且互相平分。
判定矩形的方法有四种。
菱形是有一组邻边相等的平行四边形。
它的边具有四条边相等的性质,对角也相等且互相平分且垂直,每一条对角线平分一组对角。
菱形的面积等于对角线乘积的一半。
判定菱形的方法有三种。
正方形具有矩形和菱形的性质。
它有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。
它的边具有对边平行且相等的性质,四个角都是直角,对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
判定正方形的方法有四种。
直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半。
以上是本文对特殊的平行四边形知识点的总结,希望能对大家的研究有所帮助。
特殊平行四边形综合复习PPT课件
B. 对角线互相平分
选择题与解析
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等且互相平分
解析:平行四边形的性质包括对角线互相平分,因此选项B正确。
选择题与解析
选择题2:下列命题 中,真命题是 ( )
B. 对角线互相垂直的 平行四边形是正方形
四边相等的四边形是菱形
如果一个四边形的四条边长度都相等,则该四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
在平行四边形中,如果两条对角线互相垂直且相交于中点,则该平行四边形是菱形。
两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形
如果一个四边形的两条对角线分别平分两组对角,则该四边形是菱形。
正方形判定方法
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
工程领域应用
机械工程
汽车工程
在机械设计中,特殊平行四边形可用 于机构的设计,实现特定的运动轨迹 和动力传递。
在汽车设计中,特殊平行四边形可用 于车身线条的设计,提高汽车的美感 和空气动力学性能。
航空航天
在航空航天领域,特殊平行四边形可 用于飞机、火箭等飞行器的翼面设计, 提高飞行性能和稳定性。
其他领域应用
特殊平行四边形的定义和性质
特殊平行四边形的判定
包括矩形、菱形、正方形等特殊平行四边 形的定义、性质及其相互关系。
掌握各种特殊平行四边形的判定方法,如 两组对边分别平行且相等、对角线互相平 分等。
特殊平行四边形的面积计算
特殊平行四边形在生活中的应用
熟悉特殊平行四边形面积的计算公式,并 能够运用公式解决实际问题。
面积推导
菱形可以被划分成两个等 面积的三角形,每个三角 形的面积等于对角线长度 之积的一半。
九年级数学特殊的平行四边形中考总复习
《特殊的平行四边形》专题复习学习目标:1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定在几何问题中的综合运用。
2.连平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线,能得到特殊三角形(直角三角形和等腰三角形)、全等三角形,要用心体会方程思想(直角三角形)和分类讨论思想(等腰三角形)在解决问题中的作用.知识梳理:一.矩形、菱形、正方形的性质与判定.二.矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系.(小组讨论)注意:以平行四边形为基础,从边、角、对角线等不同角度进行演变,推出特殊的四边形:矩形、菱形、正方形。
他们之间既有联系又有区别。
(1)矩形的性质与判定.注意:从矩形的图形中可以分解出:直角三角形、等腰三角形、对角线的夹角是60°时有等边三角形。
(2)矩形性质的推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (3)菱形的性质与判定.注意:从菱形的图形中可以分解出:直角三角形、等腰三角形或等边三角形。
(4)菱形的面积1.运用平行四边形的面积公式: .2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.(5)正方形的性质与判定.注意:从正方形的图形中可以分解出:等腰直角三角形。
例1.如图,在菱形ABCD 中,P 是对角线AC 上任一点(不与A ,C 重合),连接BP ,DP ,过P 作PE ∥CD 交AD 于E ,过P 作PF ∥AD 交CD 于F ,连接EF .(1)求证:△ABP ≌△ADP ;(2)若BP=EF ,求证:四边形EPFD 是矩形.S =⨯平行四形底高12ABCD S AC BD =⋅菱形跟踪练习.如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点B落在点E处,CE与AD相交于点O.(1)求证:△AOE≌△COD;(2)若∠OCD=30°,AB=,求△AOC的面积.例2.如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AEBD是菱形;(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.跟踪练习.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O 的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.巩固提高:准备一张矩形纸片,按如图操作:将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.总结中考这类题做题方法与注意事项:专项训练:1.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB 上,EF⊥AB,OG∥EF.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.2. 如图,四边形ABCD是平行四边形,DE∥BF,且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF.(1)求证:AE=CF;(2)若BE=DE,求证:四边形EBFD为菱形.3. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是线段BC、AD的中点,过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:△BDE≌△FAE;(2)求证:四边形ADCF为矩形.4. 如图,在边长为l的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.5. 如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E、F分别在AB、CD上,且BE=DF=.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)求线段EF的长.6. 如图,已知在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连结DF,EF,BF.(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;(2)若∠AFB=90°,AB=6,求四边形BEFD的周长.7. 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.8. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED是矩形;(2)若CE=1,DE=2,求ABCD的面积?9. 如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.10. 如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.(1)求证:▱ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.11. 如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF ⊥CD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.12. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F.(1)证明:四边形CDEF是平行四边形;(2)若四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,求线段AB的长度.13. 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE∥AC,CE∥BD.(1)求证:四边形OBEC是矩形;(2)若菱形ABCD的周长是4,tanα=,求四边形OBEC的面积.14. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.15.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,16.延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.。
最新九年级数学上-特殊平行四边形知识点理论总结-北师大版
精品文档(特殊)平行四边形知识点总结一.正确理解定义(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法.(2)表示方法:用“”表示平行四边形,例如:平行四边形ABCD记作ABCD,读作.ABCD”“平行四边形.熟练掌握性质 2 三个方面的特征进行简述的.平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线 1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等;()边:平行四边形两组对边分别平行且相等;(2 )对角线:平行四边形的(3 对角线互相平分; 4)面积:①个面积相等的三角形.;②平行四边形的对角线将四边形分成4(ah S底高= 3.平行四边形的判别方法①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1②方法:两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法:两组对边分别相等的四边形是平行四边形2 3④方法:对角线互相平分的四边形是平行四边形 4⑤方法:一组平行且相等的四边形是平行四边形二、.几种特殊四边形的有关概念精品文档.精品文档(1)矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形,它是研究矩形的基础,它既可以看作是矩形的性质,也可以看作是矩形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:①平行四边形;②一个角是直角,两者缺一不可.(2)菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形,它是研究菱形的基础,它既可以看作是菱形的性质,也可以看作是菱形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:①平行四边形;②一组邻边相等,两者缺一不可.(3)正方形:有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形,它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.2.几种特殊四边形的有关性质(1)矩形:①边:对边平行且相等;②角:对角相等、邻角互补;③对角线:对角线互相平分且相等;④对称性:轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条).(2)菱形:①边:四条边都相等;②角:对角相等、邻角互补;③对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;④对称性:轴对称图形(对角线所在直线,2条).(3)正方形:①边:四条边都相等;精品文档.精品文档②角:四角相等;0;45 ③对角线:对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为④对称性:轴对称图形(4条).3.几种特殊四边形的判定方法(1)矩形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;③四个角都相等(2)菱形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形;②对角线互相垂直的平行四边形;③四条边都相等.(3)正方形的判定:满足下列条件之一的四边形是正方形.①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形精品文档.精品文档②有一组邻边相等的矩形;③对角线互相垂直的矩形.④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形;精品文档.。
最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》全章热门考点整合及答案
全章热门考点整合应用名师点金:本章内容是中考的必考内容,主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算和证明等问题.近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题.其主要考点可概括为:一个定理、三个图形、三个判定与性质、四个技巧、两种思想.一个定理——直角三角形斜边上的中线定理1.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.求证:(1)四边形ADEF是平行四边形;(2)∠DHF=∠DEF.(第1题)三个图形图形1菱形2.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.(1)求证:四边形DBFE是平行四边形.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?并说明理由.(第2题)图形2矩形3.如图,在▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA的延长线,DC的延长线分别交于点E,F.(1)求证:△AOE≌△COF.(2)连接EC,AF,则EF与AC满足什么数量关系时,四边形AECF是矩形?请说明理由.(第3题)图形3正方形4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△DBE,再把△ABC沿射线AB平移至△FEG,DE,FG相交于点H.(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由;(2)连接CG,求证:四边形CBEG是正方形.(第4题)三个判定与性质判定与性质1菱形5.如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF∥BC 交AD于点F.求证:四边形CDEF是菱形.(第5题)判定与性质2矩形6.【2015·湘西州】如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证:(1)△ADE≌△CBF;(2)四边形DEBF为矩形.(第6题)判定与性质3正方形7.如图,E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点,DE交AC于点F,交BC于点G,H 为GE的中点.求证:FB⊥BH.(第7题)四个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法】8.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD 沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,求阴影部分图形的周长.(第8题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法】9.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长都等于1,那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动,两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律?请说明理由.(第9题)技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法】10.如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.(2)如图①,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由.(3)如图②,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变,请说明理由;若变化,请探究OE,OF之间的数量关系.技巧4解中点四边形的技巧11.如图,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC的内部,∠BOC=90°,OB=OC,D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点.(1)求证:四边形DEFG是矩形;(2)若DE=2,EF=3,求△ABC的面积.(第11题)思想1转化思想12.如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,∠ABD=∠CBD,AB=CB,P是BD上一点,PE ⊥BC ,PF ⊥CD ,垂足分别为点E ,F.求证:PA =EF.(第12题)思想2 数形结合思想 13.[阅读]在平面直角坐标系中,以任意两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,y 1+y 22. [运用](1)如图,矩形ONEF 的对角线相交于点M ,ON ,OF 分别在x 轴和y 轴上,O 为坐标原点,点E 的坐标为(4,3),则点M 的坐标为________.(2)在平面直角坐标系中,有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D 与点A ,B ,C 构成平行四边形的顶点,求点D 的坐标.(第13题)答案1.证明:(1)∵点D ,E 分别是AB ,BC 的中点, ∴DE ∥AC.同理可得EF ∥AB. ∴四边形ADEF 是平行四边形. (2)由(1)知四边形ADEF 是平行四边形, ∴∠DAF =∠DEF.在Rt △AHB 中,∵D 是AB 的中点, ∴DH =12AB =AD.∴∠DAH =∠DHA. 同理可得HF =12AC =AF ,∴∠FAH =∠FHA.∴∠DAH +∠FAH =∠DHA +∠FHA. ∴∠DAF =∠DHF. ∴∠DHF =∠DEF.2.(1)证明:∵D ,E 分别是AB ,AC 的中点, ∴DE 是△ABC 的中位线. ∴DE ∥BC. 又∵EF ∥AB ,∴四边形DBFE 是平行四边形. (2)解:答案不唯一,下列解法供参考. 当AB =BC 时,四边形DBFE 是菱形. 理由:∵D 是AB 的中点, ∴BD =12AB.∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE =12BC.又∵AB =BC ,∴BD =DE. 又∵四边形DBFE 是平行四边形, ∴四边形DBFE 是菱形.3.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴OA =OC ,AB ∥CD. ∴∠AEO =∠CFO. 又∵∠AOE =∠COF , ∴△AOE ≌△COF(AAS).(2)解:当AC =EF 时,四边形AECF 是矩形.理由如下:由(1)知△AOE≌△COF,∴OE=OF.又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC=EF,∴四边形AECF是矩形.4.(1)解:DE⊥FG.理由如下:由题意,得∠A=∠BDE=∠GFE,∠ABC=∠DBE=90°,∴∠BDE+∠BED=90°.∴∠GFE+∠BED=90°.∴∠FHE=90°,即DE⊥FG.(2)证明:∵△ABC沿射线AB平移至△FEG,∴CB∥GE,CB=GE.∴四边形CBEG是平行四边形.∵∠GEF=∠ABC=90°,∴四边形CBEG是矩形.∵BC=BE,∴四边形CBEG是正方形.(第5题)5.证明:如图,连接CE,交AD于点O.∵AC=AE,∴△ACE为等腰三角形.∵AO平分∠CAE,∴AO⊥CE,且OC=OE.∵EF∥CD,∴∠2=∠1.又∵∠DOC=∠FOE,∴△DOC≌△FOE(ASA).∴OD=OF.即CE与DF互相垂直且平分.∴四边形CDEF是菱形.6.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=CB.又∵DE⊥AB,BF⊥CD,∴∠DEA=∠BFC=90°.∴△ADE≌△CBF.(2)∵△ADE≌△CBF,∴AE=CF.∵CD=AB,∴DF=BE.又∵CD∥AB,∴四边形DEBF为平行四边形.又∵∠DEB=90°,∴四边形DEBF为矩形.7.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠DCF=∠BCF=45°,DC∥AE,∠CBE=90°,∴∠CDF=∠E.又∵CF=CF,∴△DCF≌△BCF.∴∠CDF=∠CBF.∴∠CBF=∠E.∵H为GE的中点,∴HB=HG=12GE.∴∠HGB=∠HBG.∵∠CDG+∠CGD=90°,∠CGD=∠HGB=∠HBG,∴∠FBG+∠HBG=90°.即∠FBH=90°,∴FB⊥BH.8.解:∵在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,∴CD=AB=10,AD=BC=5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,∴根据轴对称的性质可得A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF.设线段D1F与线段AB交于点M,则阴影部分的周长为(A1E+EM+MD1+A1D1)+(MB+MF+FC+CB)=AE+EM+MD1+AD+MB+MF+FC+CB=(AE+EM+MB)+(MD1+MF+FC)+AD+CB=AB+(FD1+FC)+10=AB+(FD+FC)+10=10+10+10=30.9.解:两个正方形重叠部分的面积保持不变,始终是1 4 .理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°. ∵四边形A′B′C′O是正方形,∴∠EOF=90°.∴∠EOF=∠BOC.∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF.即∠BOE =∠COF.∴△BOE ≌△COF.∴S △BOE =S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC .∵S 正方形ABCD =1×1=1,∴S △BOC =14S 正方形ABCD =14. ∴两个正方形重叠部分的面积保持不变,始终是14. 10.解:(1)在菱形ABCD 中,AG =CG ,AC ⊥BD ,BG =12BD =12×16=8, 由勾股定理得AG =AB 2-BG 2=102-82=6,所以AC =2AG =2×6=12.所以菱形ABCD 的面积=12AC ·BD =12×12×16=96. (2)不发生变化.理由如下:如图①,连接AO ,则S △ABD =S △ABO +S △AOD ,所以12BD ·AG =12AB ·OE +12AD ·OF. 即12×16×6=12×10·OE +12×10·OF. 解得OE +OF =9.6,是定值,不变.(3)发生变化.如图②,连接AO ,则S △ABD =S △ABO -S △AOD ,所以12BD ·AG =12AB ·OE -12AD ·OF. 即12×16×6=12×10·OE -12×10·OF. 解得OE -OF =9.6,是定值,不变.所以OE +OF 的值发生变化,OE ,OF 之间的数量关系为OE -OF =9.6.(第10题)11.(1)证明:如图,连接AO 并延长交BC 于H ,∵AB =AC ,OB =OC ,∴AH 是BC 的中垂线,即AH ⊥BC 于H.∵D ,E ,F ,G 分别是AB ,OB ,OC ,AC 的中点,(第11题)∴DG ∥EF ∥BC ,DE ∥AH ∥GF.∴四边形DEFG 是平行四边形.∵EF ∥BC ,AH ⊥BC ,∴AH ⊥EF.又∵DE ∥AH ,∴EF ⊥DE ,∴四边形DEFG 是矩形.(2)解:∵D ,E ,F 分别是AB ,OB ,OC 的中点.∴AO =2DE =4,BC =2EF =6.∵△BOC 是等腰直角三角形,∴OH =12BC =3. ∴AH =OA +OH =4+3=7.∴S △ABC =12×6×7=21.(第12题)12.证明:如图,连接PC.∵PE ⊥BC ,PF ⊥CD ,∠ECF =90°.∴∠PEC =∠PFC =∠ECF =90°.∴四边形PECF 是矩形.∴PC =EF.在△ABP 和△CBP 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =CB ,∠ABP =∠CBP ,BP =BP ,∴△ABP ≌△CBP(SAS).∴PA =PC.∴PA =EF.点拨:本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中,通过用等式的传递性证明两条线段相等.13.解:(1)(2,1.5)(2)设点D 的坐标为(x ,y).若以点A ,B ,C ,D 为顶点构成的四边形是平行四边形,①当AB 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4),∴-1+32=1+x 2,2+12=4+y 2. ∴x =1,y =-1.∴点D 的坐标为(1,-1).②当BC 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4),∴3+12=-1+x 2,1+42=2+y 2. ∴x =5,y =3.∴点D 的坐标为(5,3).③当AC 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4),∴-1+12=3+x 2,2+42=1+y 2. ∴x =-3,y =5.∴点D 的坐标为(-3,5).综上所述,点D 的坐标为(1,-1)或(5,3)或(-3,5).。
数学九年级上册《特殊的平行四边形-复习课》教案
五、教学过程教学过程教师活动学生活动应对措施预测用时设计意图及资源准备程序1:导入提问:判断四边形的形状?猜想、交流回答老师问题:哪个是平行四边形? 哪个是矩形 ? 哪个是长方形?哪个是正方形?面对开放式的问题思考、交流、讨论引领思考教师对课堂生成问题采取相应措施3分钟从生活中简单的图形出发,激发学生学习兴趣。
改变问题的呈现方式,调动学生的思维。
激发学生思考讨论、交流,培养逆向思维程序2:自主学习主题1 从图形识别开始,怎样的四边形是平行四边形?它的性质和判别是什么?并结合图形用几何语言表述.观看屏幕明确学习内容积极回忆学生代表发言在学案上用几何语言写出平行四边形的性质和判定,交流点成绩中等学生发言,有鼓励+督促意图配合学生回答,点击投影,与学生交流3分钟导入课题,板书:《特殊的平行四边形》复习课用几何语言表述平行四边形的性质和判定,有利于学生更好的理解定理,并且提高熟练运用的能力(这是我在长期教学一线,得出的辅助几何定理学习的方法,对学困生帮助作用是很明显的)(1)有两条边相等,并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗?不一定!(2) 有一组对边平行,并且另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗?不一定!等腰梯形平行四边形❖平行四边形性质平行四边形对边相等且平行、对角相等、对角线互相平分❖平行四边形判别一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形AB CDO平行四边形❖平行四边形性质∵□ABCD∴AB=DC AD=BCAB∥DC AD∥BC∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADCOA=OC OB=OD❖平行四边形判别∵AB=DC且AB∥DC ∴□ABCD∵AB∥DC AD∥BC ∴□ABCD∵AB=DC AD=BC ∴□ABCD∵OA=OC OB=OD ∴□ABCDAB CDO、观察图形怎样的四边形是矩形?它的性质和判别是什么?并结合图形用几何语言表述.菱形❖菱形性质菱形对边平行且四边相等、对角相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角❖菱形判别一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形A BCD O 菱形❖菱形性质∵菱形ABCD∴AB ∥DC AD ∥BC 且AB =DC =AD =BC∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADCOA=OC OB=OD 且AC ⊥BD , ∠DAO=∠BAO 等❖菱形判别∵在□ABCD 中AB=AD ∴菱形ABCD ∵在□ABCD 中AC ⊥BD ∴菱形ABCD ∵四边形ABCD 中AB =DC =AD =BC ∴菱形ABCDA BCD O 矩形❖矩形性质∵矩形ABCD∴AB=DC AD=BC 且AB ∥DC AD ∥BC∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC= 90°AC=BD 且OA=OC OB=OD❖矩形判别∵在□ABCD 中∠ABC= 90°∴矩形ABCD ∵在□ABCD 中AC=BD ∴矩形ABCD在四边形ABCD 中∠BAD=∠BCD=∠ABC= 90°∴矩形ABCDADCBO矩形❖矩形性质矩形对边相等且平行、四个角相等且等于90度、对角线相等且互相平分❖矩形判别有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形A DCBO正方形❖正方形性质正方形对边平行且四边相等四个角相等且等于90度对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角❖正方形判别一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形你能用恰当的方式表示平行四边形,菱形,矩形,正方形之间的关系吗?正方形❖正方形性质正方形对边平行且四边相等四个角相等且等于90度对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角❖正方形判别一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形ADCB O平行四边形要继续探索的问题?四边形两组对边分别平行平行四边形菱形矩形正方形11.如图,点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,BE=CF.(1)AE 与BF 相等吗?为什么?(2)AE 与BF 是否垂直?说明理由。
2019年中考数学复习第四章图形的认识4.6特殊的平行四边形(讲解部分)素材
ʑ 线段 CP 的最小值为 OC - OP = 5 -1.
正方形㊁三角形全等等知识,第( 4) 问利用 90 度圆周角所对的弦 是直径构造圆,从而画出点 P 的运动轨迹是四分之一的圆, 这一 步是解决此问的关键. 点,DE = 和 EG. ㊀ ㊀ 变式训练㊀ 如图, 矩形 ABCD 中, AD = 2AB, E 是 AD 边上一 线分别交 AD, BC 于 点 F, G, FG 与 BE 的 交 点 为 O, 连 接 BF (1) 试判断四边形 BFEG 的形状,并说明理由; (2) 当 AB = a( a 为常数) ,n = 3 时,求 FG 的长; = 1 AD( n 为大于 2 的整数 ) , 连接 BE, 作 BE 的垂直平分 n
ʑ AD 垂直平分线段 CE,即 CEʅFD,ʑ CM = EM, ȵ CFʅAB,DEʅAB,ʑ CFʊDE,ʑ øMCF = øMED. ʑ әMCFɸәMED( ASA) ,ʑ CF = DE. ʑ 四边形 CDEF 为菱形. ʑ 四边形 CDEF 为平行四边形,又 CEʅFD,
由于点 P 在运动中保持øAPD = 90ʎ ,
47 ㊀
(5 分)
证法三:连接 CE 交 DF 于 点 M, ȵ AD 是 әABC 的 角平 分
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最新整理初三数学教案北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》知识点归纳
一.菱形的性质与判定
1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2性质:(1)菱形是轴对称图形。
(2)菱形的四条边相等。
(3)菱形的对角线互相垂直平分。
(4)
3.判定:(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(2)四边相等的四边形是菱形。
二、矩形的性质与判定
1、定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,
2、性质:(1)、矩形是轴对称图形。
(2)、矩形的四个角都是直角。
(3)矩形的对角线相等。
推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、判定:(1)对角线相等的平行四边形是矩形。
(2)有三个角是直角的四边形是矩形。
三.正方形的性质与判定
1、定义:有一组邻边相等,并且有地全直角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、性质:(1)正方形的四个角是直角,四条边相等。
(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分。
3、判定:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形(3)有一个角是直角的菱形是正方形(4)对角线相等的菱形是正方
形。
九年级数学上册 第一章《特殊平行四边形》知识清单素材 北师大版(2021年整理)
九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》知识清单素材(新版)北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》知识清单素材(新版)北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
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《特殊平行四边形》知识清单一、⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧。
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、质具有平行四边形所有性四个角都是直角积等于矩形面积的每一个小等腰三角形面线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中对角线相等且互相平分对边平行且相等矩形的性质43.)41.(21⎪⎩⎪⎨⎧。
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、形有三个角是直角的四边边形对角线相等且平分的四形对角线相等的平行四边行四边形有一个内角是直角的平矩形的判定3.)(21 二、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧。
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,、。
、质具有平行四边形所有性邻角互补对角相等且平分一组对角对角线互垂直平分四条边相等菱形的性质4321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧。
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、四边形对角线互相垂直平分的四条边相等的四边形四边形对角线互相垂直的平行四边形有一组邻边相等的平行菱形的判定4321三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧。
、。
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,,、。
,、性质具有平行四边形的所有四个角是直角且平分每一组对角互相垂直平分对角线相等邻边相等对边平行且相等正方形的性质4321⎪⎩⎪⎨⎧形有一组邻边相等的正方有一个角是直角的菱形一组邻边相等的矩形正方形的判定、、、321。
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相平分且相等可得OA=OD,又∠AOD=
60°,所以OA=OD=AD=2,则AC=2OA=4.
答案:B
解题指导:解此类题的关键是熟练掌握矩形的有关性质. 解此类题要注意以下要点: (1)矩形的性质之一:矩形的对角线互相平分且相等; (2)有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形.
考题再现 1. (2015梅州)如图4-6-2,将矩形纸片ABCD折叠,使点 A与点C重合,折痕为EF,若AB=4,BC=2,那么线段EF的长为
6. 如图4-6-6,在□ABCD中, ∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的 平分线DF交BC于点F,连接BD.
(1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若AB=DB,求证:四边形DFBE
是矩形.
证明:(1)在□ABCD中,AB=CD,∠A=∠C. ∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB. ∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,
主要公式
特殊平行四边形的面积公式
(1)设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,则S矩形=ab. (2)设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形=ah. 若菱形的两对角线的长分别为a,b,则S菱形= ab. (3)设正方形ABCD的一边长为a,则S正方形=a2; 若正方形的对角线的长为a,则S正方形= a2.
等(或对角线互相垂直).
④先说明四边形ABCD为菱形,再说明菱形ABCD的一个角
为直角(或对角线相等).
中考考点精讲精练
考点1 矩形的性质和判定
考点精讲
【例1】(2013茂名)如图4-6-1,矩形ABCD的两条对角线相交
于点O,∠AOD=60°,AD=2,则AC的
长是
()
A. 2
B. 4
C.
D.
思路点拨:根据矩形的对角线互
②先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相
垂直.
③说明四边形ABCD的四条边相等.
(3)识别正方形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形 ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.
②先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相
垂直且相等.
③先说明四边形ABCD为矩形,再说明矩形的一组邻边相
.
2. (2013梅州)如图4-6-3,在矩形ABCD中,AB=2DA,以 点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F, 设DA=2.
(1)求线段EC的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
解:(1)∵在矩形ABCD中,AB=2DA,DA=2,∴AB=AE=4.
∴
∴
(2)∵
∴∠DEA=30°.∴∠EAB=30°.
∴∠ABE= ∠ABD,∠CDF= ∠CDB. ∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC.∴DE∥BF,DE=BF.∴四边形DFBE是平行四边形. 又∵AB=DB,BE平分∠ABD,∴BE⊥AD,即∠DEB=90°. ∴平行四边形DFBE是矩形.
4. 如图4-6-4,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分 别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P 和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s,则最快 4 s后,四 边形ABPQ成为矩形.
5. 如图4-6-5,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于 点O,DE∥AC,CE∥BD,要使四边形OCED是矩形,则平行四边 形ABCD还必须添加的条件是AB=AD(答案不唯一)考点精讲
【例2】(2009广东)如图4-6-7,
2. 特殊平行四边形的有关性质 (1)矩形:①边:对边平行且相等.
②角:四个角都相等(90°)、邻角互补. ③对角线:对角线互相平分且相等. ④对称性:轴对称图形(对称轴为对边中点连
线所在直线,2条). (2)菱形:①边:四条边都相等.
②角:对角相等、邻角互补.
③对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线 平分每组对角.
∴图中阴影部分的面积为:
考题预测
3. 在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,在下列各组条件
中,不能判定四边形ABCD为矩形的是
(C)
A. AB=CD,AD=BC,AC=BD
B. AO=CO,BO=DO,∠A=90°
C. ∠A=∠C,∠B+∠C=180°,AC⊥BD
D. ∠A=∠B=90°,AC=BD
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识(一) 第6节 特殊的平行四边形
知识要点梳理
概念定理
1. 几种特殊的平行四边形的定义 (1)矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (3)正方形:有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形 叫做正方形.它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形, 还是菱形,也是矩形.
④对称性:轴对称图形(对称轴为对角线所在 直线,2条).
(3)正方形:①边:四条边都相等. ②角:四个角都相等(90°).
③对角线:对角线互相垂直平分且相等,对 角线与边的夹角为45°.
④对称性:轴对称图形(4条).
3. 特殊平行四边形的判定方法 (1)矩形的判定(满足下列条件之一的四边形是矩形) ①有一个角是直角的平行四边形. ②对角线相等的平行四边形. ③四个角都相等的四边形. (2)菱形的判定(满足下列条件之一的四边形是菱形) ①有一组邻边相等的平行四边形. ②对角线互相垂直的平行四边形. ③四条边都相等的四边形. (3)正方形的判定(满足下列条件之一的四边形是正方形) ①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形. ②有一组邻边相等的矩形. ③对角线互相垂直的矩形. ④有一个角是直角的菱形. ⑤对角线相等的菱形.
方法规律
特殊平行四边形的常用说明方法与解题思路 (1)识别矩形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形 ABCD的任意一个角为直角.
②先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形 ABCD的对角线相等.
③说明四边形ABCD的三个角是直角.
(2)识别菱形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形 ABCD的任一组邻边相等.