全国100所名校高考数学冲刺试卷(文科)解析版(一)
【名校试题】2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题(解析版)
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A. {|22}x x -<< B. {|24}x x -≤≤ C. {|22}x x -≤≤ D. {|24}x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集的定义计算即可.【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】C 【解析】 【分析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模计算的公式计算即可.【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题. 3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A. 36.5 B. 30C. 33D. 27【答案】D 【解析】 【分析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4.已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A. 3 B. 7C. 7-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题. 5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6.已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A.B.C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由(2)0a a b ⋅-=r r r ，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r， 即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r，所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r ==故选：A【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点()1,2对称B. 关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于点()3,3对称 D. 关于点()1,3对称【答案】B 【解析】 【分析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到.【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.9.函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163πB.3π C.29π D.169π【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A. 2sin 2x - B. 2sin2xC. 2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12.如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A.2 B.21 C. 2D.21【答案】D 【解析】 【分析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可.【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R . 四棱锥的体积112223323P ABCD ABCD V S PD -=⨯⨯==W ， 四棱锥的表面积S 2112222222242222PAD PAB ABCDS S S =++=⨯+⨯⨯=+V V W ， 因13P ABCD V S -=⨯R ⨯，所以32212142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344zy x=-，易知截距越小，z越大，平移直线34y x=，可知当目标函数经过点A时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14.曲线()e 43x f x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________. 【答案】52y x =- 【解析】 【分析】直接利用导数的几何意义计算即可.【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】 【分析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可.【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +--【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16.已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】 【解析】 【分析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3.e <≤故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,856[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】 【分析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18.在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c+的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】 【分析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）. （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===213213sin ,sin 33a A c C ∴==， 213(sin sin )3a c A C ∴+=+ 213[sin sin()]3A AB =++ 21321313sin sin sin sin cos 3233A A A A A π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦213sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()213a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19.在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -3时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=222a a ⎛+ ⎝⎭= ,'2a OD =因为1'3V S OD =⨯⨯==所以2a =．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△化简即可解决. 【详解】(1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△，1m ≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 21.设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a =++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a =++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】 【分析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23.已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x -＃；（2）[7,3]-【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立， ∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|4x 2−3x ≤0}，B ={x|y =√2x −1}，则A ∩B =( )A. [0,34]B. ⌀C. [0,12]D. [12,34]2. 设复数z =4−2i7−3i ，则复数z 的虚部为( )A. −1729B. 1729C. −129D. 1293. 为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4. 若双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√133，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√22x C. y =±23xD. y =±32x5. 执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n <2019，则输出A 的值为( )A. 12 B. 2 C. −1 D. −26. 《九章算术(卷第五)⋅商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1丈=10尺．)A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=769，若a2=83，则数列{a n}的公比为()A. 12B. 13C. 23D. 348.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 104+8√5+√2πB. 104+4√5+(√2−2)πC. 104+8√5+(√2−2)πD. 104+8√5+(2√2−2)π9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()A. 178B. 98C. 1716D. 331611.记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4+a6=18，S11=121.若3a2，a14，S m成等比数列，则a m=()A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知a=sin45,b=43sin34,c=43cos34，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．14.已知首项为1的数列{a n}满足a n+1=5a n−9，则数列{a n}的通项公式为a n=______．15.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π2,π]上的取值范围为______．16.已知函数f(x)=x3−6x2+11x−3，若直线l与曲线y=f(x)交于M，N，P三点，且|MN|=|NP|，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，∠BAC=π4，AB=2，BC=√172，M是线段AC上的一点，且tan∠AMB=−2√2．(Ⅰ)求AM的长度；(Ⅱ)求△BCM的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，AB=2BC=2CD=2．(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知△PF 1F 2中，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|.(Ⅰ)求点Q 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若点M ，N 在曲线E 上，且M ，N ，F 1三点共线，求△F 2MN 面积的最大值．21. 已知函数f(x)=x 2lnx −12x 2．(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =3+3sinθ(θ为参数)，点M 是曲线C 上的任意一点，将点M 绕原点O 逆时针旋转90°得到点N.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求点N 的轨迹C′的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线y =−√33x(y >0)与曲线C ，C′分别交于点A ，B ，点D(−6,0)，求△ABD的面积．23.已知函数f(x)=|x−1|+|3x+5|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m≤2x2+|3x+5|在R上恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：依题意，A={x|4x2−3x≤0}={x|0≤x≤34}，B={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，故A∩B=[12,34 ]．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=4−2i7−3i =(4−2i)(7+3i)(7−3i)(7+3i)=34−2i58=1729−129i，∴复数z的虚部为−129．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，可得c2a2=139，即a2+b2a2=139，解得ba =23，双曲线C的渐近线方程为：y=±23x．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得n=1，A=12满足条件n<2019，执行循环体，A=−1，n=2满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=3满足条件n<2019，执行循环体，A=12，n=4…观察规律可知A的取值周期为3，且2018=672×3+2，可得n=2018时，满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=2019此时，不满足条件n<2019，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：进行分割如图所示，故V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−PQFD1)+V BCGH−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=769，a2=83，∴83q+83+83q=769，解得：q=23，或32(舍去)．则数列{a n}的公比为23．故选：C．设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，由S3=769，a2=83，可得：83q+83+83q=769，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：S=2×12×4×2+2×4+4×4×4+4×4−12×π×22+4×12×2×2+12×π×2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；又f(π2)=eπ2−5cosπ2−(π2)2=eπ2−(π2)2>0，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2，所以抛物线的方程为：y2=4x所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得E(−1,y2)，可得k EF=y2−1−1=4，所以y2=−8，将y2=−8代入抛物线中，64=4x2，x2=16，及B(16,−8)，所以k BF=16−1−8=−158，所以直线AB的方程为：y=−158(x−1)，与抛物线联立可得225x2−706x+225=0，所以x1x2=1，所以x1=116，所以|AF|=x1+1=1716，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，由a4+a6=18，可得2a1+8d=18，即a1+4d=9，由S11=121，可得11a1+55d=121，即a1+5d=11，解得a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1，S n=12n(2n−1+1)=n2，若3a2，a14，S m成等比数列，则a142=3a2S m，即为272=9m2，可得m=9，则a m=a9=17．故选：C．等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由于0<34<π4，根据三角函数的值cos34>sin34，则c=43cos34>b=43sin34，由于π2>45>34>0，所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 45． 故c >b >a ． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】−12【解析】解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−5n 4+94【解析】解：∵a n+1=5a n −9， ∴a n+1−94=5(a n −94)，又a 1−94=−54，∴数列{a n −94}是首项为−54，公比为5的等比数列， ∴a n −94=(−54)×5n−1=−5n 4，∴a n =−5n 4+94，故答案为：−5n 4+94．由a n+1=5a n −9可得a n+1−94=5(a n −94)，所以构造出等比数列{a n −94}，再利用等比数列的通项公式即可求出a n ．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.【答案】[−6,3]【解析】解：f(x)=3√3sin2x −6×1−cos2x2+3=3√3sin2x +3cos2x=6(√32sin2x +12cos2x)=6sin(2x +π6)，当π2≤x ≤π时，π≤2x ≤2π，7π6≤2x +π6≤13π6，则当2x +π6=13π6时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin13π6=6sin π6=6×12=3，当2x +π6=3π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin 3π2=−6，即f(x)的取值范围是[−6,3]， 故答案为：[−6,3]．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.【答案】(2,3)【解析】解：函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，若直线l 与曲线y =f(x)交于M ，N ，P 三点，且|MN|=|NP|，所以N 是MP 的中点， 因为函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，可得f′(x)=3x 2−12x +11，f″(x)=6x −12，令f″(x)=6x −12=0，解得x =2， 此时f(2)=3，所以函数的对称中心的坐标(2,3)． 所以N(2,3)， 故答案为：(2,3)．利用已知条件说明N 是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan∠AMB =−2√2；∴sin∠AMB =2√23，cos∠AMB =−13；由正弦定理，BMsin∠A =ABsin∠AMB，即BM√22=22√23，解得BM=32；由余弦定理，cos∠AMB=AM2+BM2−AB22AM⋅BM ，即−13=AM2+94−42×AM×32，解得AM=√2−12；(Ⅱ)∵cos∠CMB=cos(π−∠AMB)=−cos∠AMB=13，∴sin∠CMB=2√23，在△BCM中，由余弦定理，有BC2=BM2+CM2−2BM⋅CM⋅cos∠CMB∴CM=2，∴S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB=12×32×2×2√23=√2．【解析】(Ⅰ)先求出∠AMB的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM的长；(Ⅱ)利用正弦定理求出sin∠CMB的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB求出△BCM的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.【答案】解：(1)取AB的中点E，连接PE，DE，∵AB=2CD=2，∴DC=BE，又∠ABC=∠BCD=90°，∴DC//BE，则四边形DCBE为平行四边形，可得BC//DE．∵DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，则BC//平面PDE；(2)∵BC⊥PD，BC⊥CD，且PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，又BC⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，可得PF⊥平面ABCD，在Rt△PFA与Rt△PFD中，∵PA=PD，∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，由已知求得AD=√2．∴AF=DF=PF=1．连接BD，则V P−ABD=13×12×2×1=13，又求得S△PAD=√32，设B到平面PAD的距离为ℎ，则由V P−ABD =V B−PAD ，得13=13×√32ℎ，即ℎ=2√33．【解析】(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，可证四边形DCBE 为平行四边形，得BC//DE ，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE ；(2)由已知证明BC ⊥平面PCD ，可得平面PCD ⊥平面ABCD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ，得PF ⊥平面ABCD ，求解三角形求得AF =DF =PF =1，再由等体积法求点B 到平面PAD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，∴K 2=2000×(800×600−200×400)21000×1000×1200×800≈333.33>10.828，故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关． (2)表2中的数据整理如下， ∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)． (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟， 当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤450.2t +16.4,45<t ≤60，当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设Q(x,y)，y ≠0，∵|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|，∴|PF 1|=4=|QF 1|+|QF 2|>|F 1F 2|=2 ∴点Q 为焦点在x 轴上，长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆上的点，且b 2=4−1=3，∴点Q 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1(y ≠0)；(Ⅱ)设直线MN 的方程为x =ky +1，联立{x =ky +1x 24+y 23=1可得(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4． ∵|MN|=√1+k 2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12(k 2+1)3k 2+4，点F 2到直线MN 的距离d =2√1+k 2，∴S △MNF 2=12|MN|⋅d =12√k 2+13k 2+4，令√k 2+1=t ≥1，则S △MNF 2=12t3t 2+1=123(t+13t)在[1,+∞)上单调递减，故当t =1也即k =0时，△F 2MN 面积的最大值为3．【解析】(Ⅰ)先设点Q 的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；(Ⅱ)先设出直线MN 的方程与椭圆方程联立求得y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4，进而求得|MN|与点F 2到直线MN 的距离d ，找出△F 2MN 面积的表达式，最后解决其最值问题． 本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，故f′(e)=2e ，而f(e)=e 2−12e 2=12e 2，故所求切线方程为y −12e 2=2e(x −e)，即y =2ex −32e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −12x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，所以ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)，令ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22．【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C的普通方程为x2+(y−3)2=9，即x2+y2−6y=0，整理可得：ρ2=6ρsinα，故曲线C的极坐标方程为ρ=6sinα，设N(ρ,φ)，则M(ρ,φ−π2)，则有ρ=6sin(φ−π2)=−6cosφ，故点N的轨迹C′的极坐标方程为ρ=−6cosφ．(Ⅱ)曲线y=−√33x(y>0)的极坐标方程为θ=5π6(ρ>0)，D到曲线θ=5π6的距离为d=6sinπ6=3，曲线θ=5π6与曲线C交点A(3,5π6)，曲线θ=5π6与曲线C′交点B(3√3,5π6)，∴|AB|=3√3−3，故△ABD的面积S=12×|AB|×d=9√3−92．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x−1|+|3x+5|>8，当x<−53时，原式化为1−x−3x−5>8，解得x<−3，故x<−3，当−53≤x≤1时，原式化为1−x+3x+5>8，解得x>1，故无解，当x>1时，原式化为x−1+3x+5>8，解得x>1，故x>1，综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)．(Ⅱ)依题意，|x−1|+|3x+5|+m≤2x2+|3x+5|，则|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ， 即{2x 2+x −(m +1)≥02x 2−x +(1−m)≥0， 则只需{1+8(m +1)≤01−8(1−m)≤0，解得m ≤−98，∴实数m 的取值范围是(−∞,−98]．【解析】(Ⅰ)依题意，|x −1|+|3x +5|>8，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)依题意可得|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
福建省百校高考临考冲刺数学文科试卷含答案
福建省百校下学期临考冲刺高三考试卷数 学 文 科 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}220A x x x =--=，则U C A =（ ）A ．{}1,2-B ．{}2,0,1-C ．{}2,1-D ．{}1,0,2- 2. 已知复数z 满足()23i z i -=+，则z =（ ） A ． 5 B ．5 C ．10 D ．103.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 ．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则2log 643的运算结果可用算筹表示为（ ） A ．B ．C ．D ．4.现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．56 D ．235.若干个连续奇数的和()3+5+7++41n -=（ ）A ． 22n n +B ．22n n + C. 242n n + D ．241n -6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）31 2A ．43π B ．53π C. 76π D ．116π 7.已知点()mod N n m ≡表示N 除以m 余n ，例如()71mod6≡，()133mod5≡，则如图所示的程序框图的功能是（ ）A ． 求被5除余1且被7除余3的最小正整数B ．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C. 求被5除余1且被7除余3的最小正奇数 D ．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数8.若()0,απ∈32cos 2αα+=，则tan2α=（ ）A ．32 B ．34 C. 233 D ．339.已知圆()22:21M x y -+=经过椭圆22:13x y C m +=的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为,A B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为（ ） A ．105 B ．2104 C. 41011 D ．1010开始1n =-2n n =+()1mod7?n =()3mod5?n =输出n结束否 否是是10.若函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()cos sin g x x x =-都在区间()(),0a b a b π<<<上单调递减，则b a -的最大值为（ ） A ．6π B ．3π C. 2πD ．512π11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 上一点，且1,3AE BE ==，以E 为球心，线段EC 的长为半径的球与棱111,A D DD 分别交于,F G 两点，则AFG ∆的面积为（ ） A ．422 B ．32222 D ．412.已知函数()()32233,2456,2x x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则函数()()f f x 的零点个数为（ ） A ．7 B ．7 C. 8 D ．9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设,x y 满足约束条件4120y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为 ．14.若双曲线()2205y x m m -=>的焦距等于离心率，则m = ． 15.已知数列{}n a n 是等比数列，且129,36a a ==，则n a = ．16. 在平行四边形ABCD 中，AB AD AB AD +=-，2DE EC =，CF FB =，且7AE AF ⋅=，则平行四边形ABCD 的面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，4,6AB AC ==．（1）若16cos 1A =，求BC 的长及BC 边上的高h ； （2）若ABC ∆为锐角三角形，求ABC ∆的周长的取值范围．18. 如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，==3PA AB AC =，平面//α平面PAB ，且α与棱,,PC AC BC 分别交于111,,P A B 三点．（1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明；（2）若α将三棱锥P ABC -分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体111P A B C 的体积更小），D 为线段1B C 的中点，求四棱锥111A PPDB -的体积．19. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地.（1）若该超市一天购进A 水果160千克，求当天A 水果获得的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：千克，n N ∈）的函数解析式，并求当765y =时n 的值；（2）为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量（单位：千克）整理得下表： 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数51088775假设该超市在这50天内每天购进A 水果160千克，求这50天该超市A 水果获得的日利润（单位：元）的平均数.20. 已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点且与此抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，8AB <，直线l 与抛物线24y x =-交于,M N 两点，且,M N 两点在y 轴的两侧．（1）证明：12y y 为定值； （2）求直线l 的斜率的取值范围；（3）若48OM ON ⋅=-（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 21. 已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线M 的参数方程为2cos 1sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0r >），曲线N 的参数方程为25551x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，且0t ≠）．（1）以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线N 的参数方程； （2）若曲线M 与N 的两个交点为,A B ，直线OA 与直线OB 的斜率之积为43，求r 的值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x a x =---．（1）当2a =时，求不等式()01f x <≤的解集； （2）若()()20,,3x f x a ∀∈+∞≤-，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BCDCD 6-10:BDAAB 11、12：DC二、填空题13. 6 14. 12015. ()22n n + 16. 32三、解答题17.解：（1）116cos 1,cos 16A A =∴=，22146246716BC ∴=+-⨯⨯⨯=， 1255cos ,sin 16A A =∴=，由等面积法可得：1146sin 722A h ⨯⨯⨯=⨯， 3255h ∴=． （2）设()0BC x x =>，AB AC <，∴角C 必为锐角．ABC ∆为锐角三角形，,A B ∴角均为锐角，则cos 0,cos 0A B >>，于是222222460460x x ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩， 解得：25213x <<，故ABC ∆的周长的取值范围是(1025,10213++．18.解：（1）作法：取BC 的中点H ，连接AH ，则直线AH 即为要求作的直线l ． 证明如下：,PA AB PA AC ⊥⊥，且AB AC A =，PA ∴⊥平面ABC ．平面//α平面PAB ，且α平面11PAC P A =，平面PAB平面PAC PA =．11P A ∴⊥平面ABC ，11PA AH ∴⊥． 又AB AC =，H 为BC 的中点，则AH BC ⊥，从而直线AH 即为要求作的直线l ．（2）α将三棱锥P ABC -分成体积之比为8:19的两部分，∴四面体111P A B C 的体积与三棱锥P ABC -分成体积之比为8:27，又平面//α平面PAB ，11123AC B C PC AC BC PC ∴===． 易证//PA 平面111P A B ，则P 到平面111P A B 的距离1d 即为A 到平面111P A B 的距离，111d AA ∴==又D 为1B C 的中点，D ∴到平面111P A B 的距离21112d AC ==， 故四棱锥111A PPDB -的体积()1211422323V d d =⨯+⨯⨯⨯=． 19. 解：（1）当日需求量160n ≥时，利润()1601510800y =⨯-=； 当日需求量160n <时，利润()()()15101601087320y n n n =---⨯-=-．所以y 关于n 的函数解析式为()800,160,7320,160n y n N n n ≥⎧=∈⎨-<⎩，当765y =时，由7320765n -=，得155n =．（2）这50天中有5天的利润为660元，有10天的利润为730元，由35天的利润为800元， 所这50天该超市A 水果获得的日利润的平均数为()16605730108003577250⨯+⨯+⨯=． 20.解：（1）证明：由题意可得，直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2440ky y k --=，则1244k y y k -==-为定值；（2）由（1）知，121212244,22y y y y x x k k k ++=+=+=+， 则121224248y y AB x x p k k+=++=+=+<，即21k >．联立()241y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得：240x kx k -+-=，,M N 两点在y 轴的两侧，()22444160k k k k ∴∆=--=-+>，40,4k k -<<，故直线l 的斜率的取值范围为()(),11,4-∞-．（3）设()()3344,,,M x y N x y ，则3434,4x x k x x k +=⋅=-，()()()()()()22223434343434342322111143448OM ON x x y y x x k x x k x x k x x k k k k k k k ∴⋅=⋅+⋅=⋅+--=+⋅+++=+--+=-+-=-解得：113k =-或4k =，又()(),11,4k ∈-∞-，113k ∴=- 故直线l 的方程为111133y x =-+．21.解：（1）()1xf x ae '=+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）证明：（法一）设()()231xg x f x x e x =+=-+-，则()3xg x e '=-+， 由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()max ln33ln340g x g ==-< 从而得()()20g x f x x =+<，()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+<，即12124x x e->-+．（法二）()()1212125,3x x f x f x x e e x +=-∴=+--，12122233x x x x e e x ∴-=+--，设()3xg x e x =-，则()3xg x e '=-，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()min ln333ln3g x g ==-．1210,0x x -<<>，1121233ln 33ln 3x x e e-∴->+-=-，3ln3ln 274=<，12124x x e∴->-+．22.解：（1）将2551x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得()2200x y x -+=≠（未写0x ≠扣一分），由220x y y kx -+=⎧⎨=⎩得221221x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（k 为参数，且12k ≠）．（2）曲线M 的普通方程为()()22221x y r -+-=，将221221x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩代入()()22221x y r -+-=并整理得：()()2222164432170r k rk r -+-+-=；因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为43，所以221741643r r -=-，解得21r =，又0r >，1r ∴=，将1r =代入()()2222164432170r k r k r -+-+-=，得：21228160,0k k -+=∆>，故1r =．23.解：（1）当2a =时，因为()()()21211f x x x x x =---≤---= 所以()1f x ≤的解集为R ，由()0f x >，得21x x ->-，则2221x x ->-，即224421x x x x -+>-+， 解得32x <，故不等式()01f x <≤的解集为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）当()0,0,a x ≤∈+∞时，()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧=---=⎨--<<⎩，则()()2max 113f x f a a ==-≤-，又0a ≤，所以117a +≤． 当[)01,1,a x <<∈+∞时，()2103f x a a =->>-，故01a <<不合题意， 当()1,0a x ≥∈+∞时，()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=- 当且仅当01x <≤时等号成立，则231a a -≥-，又1a ≥，所以2a ≥ 综上：a 的取值范围为[)117,2,⎛+-∞+∞ ⎝⎦．。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数，则复数z的虚部为A. B. C. D.3.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4.若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为，则输出A的值为A.B. 2C.D.6.九章算术卷第五商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为注：1丈尺．A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列的前n项和为，且，若，则数列的公比为A. B. C. D.8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.9.设函数，则函数的图象大致为A. B.C. D.10.设抛物线C：的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则A. B. C. D.11.记等差数列的前n项和为，且，若，，成等比数列，则A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数的值为______．14.已知首项为1的数列满足，则数列的通项公式为______．15.已知函数，则函数在上的取值范围为______．16.已知函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，，，，M是线段AC上的一点，且．Ⅰ求AM的长度；Ⅱ求的面积．18.如图，在四棱锥中，，，．在线段AB上作出一点E，使得平面PDE，并说明理由；若，，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性8001000女性600总计1200相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：时间分钟频数150********根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：根据行驶里程数按1元公里计费；行驶时间不超过45分钟，按元分计费；超过45分钟，超出部分按元分计费．是否有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；根据表中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：k20.已知中，，，，点Q在线段上，且Ⅰ求点Q的轨迹E的方程；Ⅱ若点M，N在曲线E上，且M，N，三点共线，求面积的最大值．21.已知函数．求曲线在处的切线方程；已知函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M，N，若，，求的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，点M是曲线C上的任意一点，将点M绕原点O逆时针旋转得到点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点N的轨迹的极坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线C，分别交于点A，B，点，求的面积．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：依题意，，，故．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.答案：C解析：解：，复数z的虚部为．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：C解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，解得，双曲线C的渐近线方程为：．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，观察规律可知A的取值周期为3，且，可得时，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：进行分割如图所示，故立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.答案：C解析：解：设单调递减的等比数列的公比为，，，，解得：，或舍去．则数列的公比为．故选：C．设单调递减的等比数列的公比为，由，，可得：，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.答案：B解析：解：函数的定义域为R，，则函数为偶函数，可排除选项C；当时，，可排除选项D；又，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.答案：C解析：解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得，所以抛物线的方程为：所以可得焦点，准线方程为，设，，由题意可得，可得，所以，将代入抛物线中，，，及，所以，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，所以，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.答案：C解析：解：等差数列的公差设为d，前n项和为，由，可得，即，由，可得，即，解得，，则，，若，，成等比数列，则，即为，可得，则．故选：C．等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：解：由于，根据三角函数的值，则，由于，所以，根据近似值的运算，整理得．故．故选：A．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：解析：解：根据题意，向量，则，若，则，则；故答案为：．根据题意，由向量的坐标公式可得，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.答案：解析：解：，，又，数列是首项为，公比为5的等比数列，，，故答案为：．由可得，所以构造出等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.答案：解析：解：，当时，，，则当时，函数取得最大值，最大值为，当时，函数取得最小值，最小值为，即的取值范围是，故答案为：．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.答案：解析：解：函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，所以N是MP的中点，因为函数，可得，，令，解得，此时，所以函数的对称中心的坐标．所以，故答案为：．利用已知条件说明N是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.答案：解：Ⅰ；，；由正弦定理，，即，解得；由余弦定理，，即，解得；Ⅱ，，在中，由余弦定理，有，．解析：Ⅰ先求出的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM 的长；Ⅱ利用正弦定理求出的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式求出的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.答案：解：取AB的中点E，连接PE，DE，，，又，，则四边形DCBE为平行四边形，可得．平面PDE，平面PDE，则平面PDE；，，且，平面PCD，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，在平面PCD内过P作，可得平面ABCD，在与中，，，又由题意，，，由已知求得．．连接BD，则，又求得，设B到平面PAD的距离为h，则由，得，即．解析：取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得，由直线与平面平行的判定可得平面PDE；由已知证明平面PCD，可得平面平面ABCD，在平面PCD内过P作，得平面ABCD，求解三角形求得，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.答案：解：补充完整的列联表如下所示，愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车合计男性 800 200 1000女性 400 600 1000合计 1200 800 2000，故有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．表2中的数据整理如下，时间分钟频数 150 200 100 50频率所求的平均使用时间为分钟．设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当时，；当时，．故，当时，；当时，，令，解得，综上所述：当时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算；当时，使用滴滴打车上班更加合算；当时，两种方案情况相同．解析：先根据现有数据补充完整列联表，再利用的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可；设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，写出y关于t的分段函数，并求出每段中对应的y的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后，解得，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，，点Q在线段上，且，点Q为焦点在x轴上，长轴长，焦距的椭圆上的点，且，点Q的轨迹E的方程为；Ⅱ设直线MN的方程为，联立可得，设，，则，．，点到直线MN的距离，，令，则在上单调递减，故当也即时，面积的最大值为3．解析：Ⅰ先设点Q的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；Ⅱ先设出直线MN的方程与椭圆方程联立求得，，进而求得与点到直线MN的距离d，找出面积的表达式，最后解决其最值问题．本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.答案：解：依题意，函数的定义域为，，故，而，故所求切线方程为，即；依题意，，故，显然，令，解得或，因为极大值，故，此时，函数，所以，令，得，当a变化时，，，变化情况如下表：a2e增极大值减所以函数的最大值为．解析：根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解；根据导函数讨论单调性求出极大值，讨论的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ依题意，曲线C的普通方程为，即，整理可得：，故曲线C的极坐标方程为，设，则，则有，故点N的轨迹的极坐标方程为．Ⅱ曲线的极坐标方程为，D到曲线的距离为，曲线与曲线C交点，曲线与曲线交点，，故的面积．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：Ⅰ依题意，，当时，原式化为，解得，故，当时，原式化为，解得，故无解，当时，原式化为，解得，故，综上所述，不等式的解集为．Ⅱ依题意，，则，即，即，则只需，解得，实数m的取值范围是．解析：Ⅰ依题意，，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ依题意可得，即，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020届百校联考高考百日冲刺全国II卷文科数学试题一和答案详细解析及备考策略
多地确定高三返校时间，以“云考试”模拟测试
“真的很着急，希望赶紧开学，不过还是安全第一吧。”北京高三学生戴兆均纠结地说。
记者了解到，多地遵循高三、初三率先开学的原则，实行分类分批、错时错峰开学，已 有不少省份明确毕业生的开学返校日期。截至 3 月 30 日，贵州、新疆、西藏等 10 地高三年 级已开学，广西、江西、湖南、海南等省份定于 4 月 7 日高三、初三年级开学，辽宁省高三 年级 4 月中旬起返校。北京、上海、广东、湖北等省份还未明确开学时间。
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
D．b＜a＜c
13． （5 分）已知向量
，若
，则实数 λ 的值为
．
14．（5 分）已知实数 x，y 满足
，则 z＝3x﹣y 的最小值为
．
15．（5 分）《九章算术（卷第五）商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广
居家考试能否保证成绩的真实性？受访学生认为，“作弊没有意义，模拟考试的目的就 是为了测试真实水平。”厦门市教育科学研究院副院长傅兴春说，目前高三年级处于第二轮 复习阶段。线上考试的目的，一是让学生了解存在的知识缺陷，有的放矢地复习；二是让老 师深入了解学生学习情况，更有针对性地安排后期教学。
“云考试”面临技术、流程与公平挑战
【我说】在对高考考生压力来源的一次调查中，我们发现，考生真正的压力不是高考本 身，而是来自不合理的比较，但孩子的攀比心理有些并非来自他们自身，而是来自家长。
精品解析：2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题(解析版)
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =（ ）A. {|22}x x -<<B. {|24}x x -≤≤C. {|22}x x -≤≤D. {|24}x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集的定义计算即可.【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2. 已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】C 【解析】 【分析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可.【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题. 3. 某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A. 36.5 B. 30C. 33D. 27【答案】D 【解析】 【分析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4. 已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A .3B. 7C. 7-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题. 5. 已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6. 已知平面向量,a b →→满足a →=，||3b →=，(2)a a b →→→⊥-，则|23|a b →→-=（ ）A.B.C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的垂直关系求出a b ⋅，再将向量的模长转化为向量的数量积，即可求解. 【详解】由题意可得||132a =+=且(2)0a a b ⋅-=， 即220a a b -⋅=，所以420a b -⋅=， 所以2a b ⋅=，222|23|(23)4129a b a b a a b b -=-=-⋅+==故选：A .【点睛】本题考查向量的数量积运算，熟记公式即可，属于基础题．7. 已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点()1,2对称B. 关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于点()3,3对称 D. 关于点()1,3对称【答案】B 【解析】 【分析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到.【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.9. 函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163πB.3π C.29π D.169π【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图可得该几何体是圆锥的一部分，结合三视图的数据，即可求解. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知： 该几何体的底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体． 底面面积14433S ππ=⨯=， 所以其体积14164339V ππ=⨯⨯=． 故选：D .【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，由三视图还原出直观图是解题的关键，属于基础题．11. 已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ）A. 2sin 2x -B. 2sin2xC. 2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12. 如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A.2B.21 C. 2D.21【答案】D 【解析】 【分析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可.【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R . 四棱锥体积2112223323P ABCD ABCDV S PD -=⨯⨯== 四棱锥的表面积S 2112222222242222PAD PAB ABCDSS S=++=⨯+⨯⨯=+，因为13P ABCD V S -=⨯R ⨯，所以32212142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13. 设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344zy x=-，易知截距越小，z越大，平移直线34y x=，可知当目标函数经过点A时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14. 曲线()e 43x f x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________. 【答案】52y x =- 【解析】 【分析】直接利用导数的几何意义计算即可.【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15. 已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】 【分析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可.【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案：122n n +--【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16. 已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】 【解析】 【分析】11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3.e <≤故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.高二 成绩分组 频数[)75,802 [)80,85 6[)85,9016 [)90,95 14[)95,1002（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率.【答案】（1）0.85；（2）715 【解析】【分析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为 121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种； 其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种.所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18. 在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+，又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===213213sin ,sin 33a A c C ∴==， 213(sin sin )3a c A C ∴+=+ 213[sin sin()]3A AB =++ 21321313sin sin sin sin cos 3233A A A A A π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 213sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由203A π<<，得5666A πππ<+=， 当62A ππ+=，即3A π=时，max ()213a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19. 在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥；（Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ；（Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -3a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】【分析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥．因为平面'AOD ⊥平面ABCO平面'AOD 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ．因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥．（Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ；因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点，所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ，所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形，所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=222a a ⎛+ ⎝⎭= ,'2a OD =因为1'3V S OD =⨯⨯== 所以2a =．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可； （2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△化简即可解决.【详解】(1)由已知得12c a =， 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， OE OA OB =+，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOB S OF y y t S =∴⨯-===+△，1m ≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21. 设函数()2a 2x f x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析.【解析】【分析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a =++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x +----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减；若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增；综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a ==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a =++->， ∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减；当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增，∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a =++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x t y t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】【分析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ， 可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>； 直线l 的参数方程为21x t y t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ， 可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x t y t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=，设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>，由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题.23. 已知函数()|||2|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|21}x x ；（2）[7,3]- 【解析】【分析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1≥x 三种情况讨论即可； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可.【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1≥x 时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =.综上所述，不等式的解集为{|21}x x . （2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R ，有()050f x -成立， ∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-，∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题-附答案解析
频数
高二
（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（2）在抽取的学生中，从成绩为 的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率.
18．在 中，角 所对的边分别是 ，且 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值
19．在菱形 中， ， 为线段 的中点（如图1）．将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ， 为线段 的中点（如图2）．
【详解】
由已知， ，所以 ，所以
，同理 ，又 ，所以 平面 ，
，又 ， ，所以 平面 ，所以
，设此球半径为 ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为 ，
连接 ， ，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为 .
四棱锥的体积 ，
四棱锥的表面积
，
因为 ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，公差 ，
所以 ，
若 ，则 ，不合题意；若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题意．故选C．
【点睛】
本题主要考查系统抽样.
9．C
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性可排除B；由 可排除选项A、D.
【详解】
设 ，定义域为 ， ，所以 为奇函数，
A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生
9．函数 的图象可能是（）
A． B．
C． D．
10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
百所名校2021届高考模拟文科数学(详解答案)
16．某小学开展“整本书阅读活动”，其中某班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并 背诵古诗，活动开展一个月后，老师抽四名同学（四名同学编号为 1，2，3，4）了解 能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复：1 说：“2 比 4 背的少”；2 说：“1 比 3 背的多”；3 说：“我比 4 背的多”；4 说：“3 比 2 背的多”.经过老师测验发现， 四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的 一个.四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是____________.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4，集合 A 1, 2,3 ， B 2, 4 ，则 (ðU A) B 为( )
A．{1,2,4}
B．{2,3,4}
C．{0,2,4}
D．{0,2,3,4}
2．总体由编号为 01 、02 、03 、 、30 的 30 个个体组成，利用随机数表（以下选取
了随机数表中的第1行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第1行的第 4 列
开始由左向右读取，一行读取完毕后转下一行继续读取，则选出来的第 4 个个体的编号
为（ ）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
z1 z2
_______.
试卷第 3页，总 7页
14．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有 8 辆甲 型车和 4 辆乙型车，甲型车每次最多能运 6 吨且每天能运 4 次，乙型车每次最多能运 10 吨且每天能运 3 次，甲型车每天费用 320 元，乙型车每天费用 504 元.若需要一天内 把 180 吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______ 元.
2020届全国1卷百校联考高考冲刺金卷文科数学试卷含答案
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·文数(一)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y 21x -，则A ∩B ＝(A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D) [12，34] (2)设复数4273i z i-=-，则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>13，则双曲线C 的渐近线方程为 A.2y x = B.2y x = C.23y x =± D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺(B)52000立方尺(C)63000立方尺(D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。
2021届全国100所名校高考冲刺试题(样卷一)数学(文)试题(解析版)
2021届全国100所名校高考冲刺试题（样卷一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =<<，B *⊆N ，且A B ⋂≠∅，则下列结论中定正确的是（ ） A ．1A ∈ B ．2B ∈ C ．{}2B =D ．() RA B ⋂=∅【答案】B【分析】直接利用已知和集合的关系判断得解. 【详解】A. 1A ∈，显然错误； B. 由题意知2B ∈，所以该选项正确； C. {}2B =，不一定成立； D.() RA B ⋂=∅，不一定成立.故选：B2．设复数z 满足()1242i z i -=+，则z =（ ） A ．3i B ．3i -C ．2iD ．2i -【答案】D【分析】先由复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的概念可得选项． 【详解】由已知得()()()()4212422121212i i i z i i i i +++===--+，故2z i =-.故选：D ．3．为达成“碳达峰､碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（ ）A ．2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减B ．2013~2020年，年光伏发电量与年份成负相关C ．2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值D ．2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关 【答案】D【分析】根据条形图中的数据逐一分析即可得出结果.【详解】A ，2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减， 前几年递增，后面递减，故A 错误；B ，2013~2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B 错误；C ，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大， 因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C 错误；D ，根据图表可知，2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D 正确. 故选：D4．已知α为第四象限角，1cos 23α=-，则sin α=（ ） A ．33-B ．63-C ．23-D ．23-【答案】B【分析】由21cos 212sin 3αα=-=-，得6sin α=，且α为第四象限角，得出结果.【详解】21cos 212sin 3αα=-=-，6sin 3α∴=±.又α为第四象限角，所以6sin 3α=-. 故选：B.【点睛】易错点点睛：由余弦定理的二倍角公式得sin α，要考虑α为第几象限. 5．设向量()1,3a =，(),1b m =，若π,3a b =，则实数m =（ ） A ．33-B ．32-C ．33D ．32【答案】A【分析】根据向量的数量积运算建立方程，解之可得选项． 【详解】由向量的夹角公式得213cos ,221m a b m +==⋅+，解得33m =-. 故选：A ．6．已知1F ，2F 是椭圆22:14x E y +=的左､右焦点，P 是E 上在第一象限内一点，1F 关于直线2PF 的对称点为A ，2F 关于直线1PF 的对称点为B ，则AB 的最大值为（ ） A ．42 B ．5C ．92D ．4【答案】D【分析】由题意知1PF PA =，2PF PB =，故≤+AB PA PB ，即可求解． 【详解】由题意知1PF PA =，2PF PB =，4AB PA PB ≤+=， 当且仅当A ，P ，B 三点共线时取“=”. 故选：D7．已知定义在R 上的奇函数()f x 的部分图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A ．()21f =-B ．()()124f f ⋅<C ．()()120f f ''<⋅D ．方程()0f x '=无解【答案】C【分析】利用奇函数的性质并结合图象可判断AB 选项的正误，分析出()f x '为偶函数，结合图象可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于函数()f x 为奇函数，则()()222f f =--<-，A 选项错误；对于B 选项，()12f -=，()22f ->，则()()()()41122f f f f ⋅=-⋅->，B 选项错误； 对于C 选项，()()f x f x -=-，等式两边求导得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，故函数()f x '为偶函数，由图可知，()20f '->，()10f '-<， 故()()()()02112f f f f '''⋅=--'⋅<，C 选项正确；对于D 选项，当0x <时，由图可知，方程()0f x '=有解，D 选项错误. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数图象判断命题的正误，涉及函数奇偶性的应用，解题的关键要充分结合图象并分析出函数()f x '为偶函数，由此结合函数图象求解. 8．执行如图的程序框图，若输入1a =，1i =，输出10a =，则在空白框中可以填入（ ）A ．18i >B ．19i >C ．20i >D ．21i >【答案】A【分析】根据题中数据及框图，执行框图，根据输出结果，分析即可得答案. 【详解】运行程序框图，2a =，3i =；3a =，5i =；4a =，7i =；…9a =，17i =； 10a =，19i =，因为输出10a =，此时退出循环， 所以空白框中可以填入18i >. 故选：A.9．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．19π2B ．38π2C ．19πD ．38π【答案】B【分析】根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，然后进行计算可得答案. 【详解】根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，对应圆台的上底面半径12r =，下底面半径3R =，高4h =， 则该几何体的体积()221π38π22334233V =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键是由三视图确定直观图的形状，再利用相应的体积公式求解即可，属于简单题．10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，A 是C 的右顶点，在C 的一条渐近线上存在M ，N 两点，使得AM AN c ==，且120MAN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A．BC ．2D【答案】A【分析】求得点(),0A a 到渐近线的距离，由余弦值即可求得,,a b c 关系，则离心率可求．【详解】设渐近线方程为by x a =，则点(),0A a 到渐近线的距离ab d c=， 又120MAN ∠=︒，AM AN c ==，则1cos 602∠︒==abc c ，即有2222ab c a b ==+， 所以a b =，e =故选：A11．已知函数()1π1πsin cos 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，现有下列四个结论：①函数()f x 的一个周期为3π2； ②函数()f x 在ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③直线5π4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴； ④函数()f x的值域为⎡⎣.所有正确结论的序号是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．①③④D ．②④【答案】C 【分析】3π2f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ，所以①正确；()π02f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以②不正确；令1π33t x =-，当π0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即5ππ,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，分析判断得解. 【详解】3π1ππ1ππsin cos 2323323f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1π1πcos sin 3333x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；因为()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以②不正确； 令1π33t x =-，当π0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即5ππ,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πsin cos 4y t t t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，由①知3π2是函数()f x 的一个周期， 所以()f x ⎡∈⎣，5π3π3πsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③④正确. 故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断③④，其关键是令1π33t x =-，π0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即5ππ,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，刚好是函数的一个周期. 12．已知22ln log acb e d ===，则（ ） A ．()2log a cb d e -->B ．a b c d e e ++>C ．()ln 2b da c a c --<≠D ．1122b ca d++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据指对函数的图象与性质对选项一一判断即可得出答案． 【详解】因为20a >，所以1b d >>.若b e =，2d =，0a c ==，则()2log 0a cb d e-<<-，A 项不正确；当0a ≥时，a c ≥，b d >，则a b c d +>+，当0a <时，0a c <<，b d >，不等式不一定成立，B 项不正确；当0b d -→时，ln 2c a =⋅，()ln 21c a a -=-，当ln 21ea <-时，存在a c e ->，所以C 项不正确；当0a <时，0a c <<，b d >，则b d a c ->-，当0a ≥时，由指对函数的变化趋势，知b d a c ->-，即b c a d +>+恒成立，D 项正确． 故选：D二、填空题13．设函数()22,01,0x m x f x x x --<⎧=⎨-≥⎩，若()()28f f -=，则实数m =___________.【答案】1或16【分析】由题意得()24f m -=-，分别讨论40-≥m 和40m -<，代入不同解析式，结合题意，即可求得答案.【详解】由题意得：()24f m -=-，若40-≥m ，则2(4)(4)18f m m -=--=，即43m -=，解得1m =，满足题意； 若40m -<，则(4)2(4)8f m m m -=---=，即88m -=，解得16m =，满足题意，综上，m 的值为1或16. 故答案为：1或1614．在ABC 中，2BC =，π6ABC ∠=，ABC 的面积为3则AC =___________.【分析】利用三角形的面积公式：1πsin 26ABCS AB BC =⋅⋅，求出AB =余弦定理即可求解.【详解】因为1πsin 26ABC S AB BC =⋅⋅=△，2BC =，所以AB = 由余弦定理得2222cos AC BC AB AB BC ABC =+-⋅∠16442233=+-⨯=，所以AC =故答案为：315．已知圆22:6210C x y x +--+=，过点(),0P m 作圆C 的切线，切点分别为A 、B ，若点C 始终在以线段AB 为直径的圆外，则实数m 的取值范围为_____. 【答案】()1,5【分析】分析出2APB π∠>，2ACB π∠<，可得出22232PC AC <=，可得出关于实数m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意知2ACB π∠<，易知P 、A 、C 、B 四点共圆，可得2APB π∠>，即AC PA >，圆()(22:316C x y -+-=，圆心(3,C ，半径4AC =，PC =PA =，所以22232PC AC <=，即()234m -<，解得15m <<. 故答案为：()1,5.【点睛】关键点点睛：本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键在于分析出222PC AC <，结合两点间的距离公式列不等式求解.三、双空题16．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.3312π 【分析】取E 、F 、G 分别为1AA 、11AC 、11B C 的中点，分析出四边形PEFG 为等腰梯形，求其面积可得结果；然后将三棱柱111ABC A B C -补成正方体1111ACBQ AC B Q -，计算出三棱柱111ABC A B C -的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】如图，取E 、F 、G 分别为1AA 、11AC 、11BC 的中点， F 、G 分别为11AC 、11BC 的中点，则11//FG A B 且1112FG A B =， 在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB 且11AA BB =，因为E 、P 分别为1AA 、1BB 的中点，则11//A E B P 且11A E B P =， 所以，四边形11A B PE 为平行四边形，11//PE A B ∴且11PE A B =，1111AC B C =且F 、G 分别为11AC 、11BC 的中点，则222211112EF A E A F B P B G PG =+=+==，所以，四边形PEFG 是等腰梯形，当E 不是1AA 中点时，PE 不平行平面111A B C ，则四边形PEFG 不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个，取PE 的中点D ，连接DF 、DG ，1111222FG A B PE ===，//FG EP ，且点D 为PE 的中点，则//FG DE 且FG DE =，所以，四边形DEFG 为平行四边形，可得2DG EF ==，同理可得2DF PG ==， 所以，DEF 、PDG △、DFG 均为等边三角形，()233332=42PEFGS =⨯⨯梯形. 将三棱柱111ABC A B C -补成正方体1111ACBQ AC B Q -，则外接球的半径3R =，表面积为2412R ππ=.3312π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.四、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知13n n a a +=，且44081S =，数列{}n b 是等差数列，且12251a b a b ==.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21n b n =-；（2）113n n n T +=-. 【分析】根据等差数列、等比数列的定义可得{}{},n n a b 通项公式，再根据错位相减法可得n T .【详解】解：（1）因为13n n a a +=，且44081S =， 所以0n a ≠，且113n n a a +=， 所以数列{}n a 为等比数列，且公比13q =， 所以4141134018113a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，解得113a =， 所以111111333n nn n a a q --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为12251a b a b ==，所以23b =，59b =， 则在等差数列{}n b 中，公差5223b b d -==， 所以()2221n b b n d n =+-=-.（2）()1213nn n n c a b n ⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭，则()231111135213333n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， 上式两边同时乘13，可得()2341111111352133333n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯， 两式相减得()()2311211111212212233333333n n n n T n n ++⎛⎫=+⨯+++--⨯=-+⋅ ⎪⎝⎭， 得113n n n T +=-. 【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法有倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等，本题应用的是错位相减法.本题考查了等差､等比数列的通项公式与错位相减法，属于中档题.18．“中国科学十大进展”遴选活动由科学技术部高技术研究发展中心牵头举办，旨在激励广大科技工作者的科学热情和奉献精神，开展基础研究科学普及，促进公众理解､关心和支持基础研究，在全社会营造良好的科学氛围.2021年2月，科技部高技术研究发展中心(基础研究管理中心)发布了2020年度中国科学十大进展.某校为调查本校中学生对2020年度中国科学十大进展的了解与关注情况，从该校高中年级在校生中，按高一､高二年级，高三年级分成两个年级段，随机抽取了200名学生进行调查，其中高一､高二年级共调查了120人，高三年级调查了80人，以说出10项科学进展的名称个数为标准，统计情况如下.假设以能至少说出四项科学进展的名称为成绩优秀.（1）根据频数分布表完成22⨯列联表，并回答是否有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关？（2）按分层抽样的方法，在被调查且成绩优秀的学生中抽取6名同学，再在这6名同学中随机抽取4名同学组成“2020科技展”宣讲队，求至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关；（2）45. 【分析】（1）由题意补全22⨯列联表，代入()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，进一步得出结论；（2）在6名同学中随机选4名，不同的情况有15种，根据至少有2名高三年级的同学入选的情况的对立事件是只有1名高三年级的同学入选，不同的情况有3种，进一步求出答案.【详解】（1）由题意，22⨯列联表如下：()222009030305025 3.571 3.84112080140607K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关； （2）被调查且成绩优秀的学生有60名，分层抽样抽取6名同学， 则从高一､高二年级抽取了3名同学，记为：a ，b ，c ，从高三年级抽取了3名同学，记为A ，B ，C ，在6名同学中随机选4名，不同的情况有15种：(以下均只列出两名没入选的情况)(),a b ，(),a c ，(),a A ，(),a B ，(),a C ，(),b c ，(),b A ，(),b B ，(),b C ，(),c A ，(),c B ，(),c C ，(),A B ，(),A C ，(),B C ，其中至少有2名高三年级的同学入选的情况的对立事件是只有1名高三年级的同学入选，不同的情况有3种：(),A B ，(),A C ，(),B C ， 所以至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率为341155-=. 【点睛】做概率与统计题目时，我们往往通过对立事件来解决问题，这样降低了题目的难度，本题就是利用至少有2名高三年级的同学入选的情况的对立事件是只有1名高三年级的同学入选来解决问题.19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 和CDEF 均为直角梯形，//AB CD ，//CF DE ，且π2CDE CDA ∠=∠=，224CD AD DE AE AB CF ======.（1）求证：//BF 平面ACE ， （2）求点F 到平面ACE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）2217. 【分析】(1)取DE 中点G ，如图，证四边形CDGF 是平行四边形，进而得出//AB HF ， 再证四边形ABFH 是平行四边形得出//BF AH 即可.(2)根据(1)的结论再证OE ⊥平面ABCD ，得出OE 是点E 到平面ABCD 的高， 分别求出ABCS和ACES，结合三棱锥等体积法即可求出点F 到平面ACE 的距离.【详解】（1）取DE 中点G ，连接FG 交CE 于点H ，连接AH .∵CF //DG ，且DG CF =，∴四边形CDGF 是平行四边形，∴//GF DC ，H 为GF 中点， 又∵//AB CD ，且2CD AB =， ∴//AB HF ，且AB HF =，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，又BF ⊄平面ACE ，AH ⊂平面ACE ， ∴//BF 平面ACE .（2）∵//BF 平面ACE ，∴点F 到平面ACE 的距离等于点B 到平面ACE 的距离. 取AD 中点O ，连接OE ， ∵DE AE =，∴OE AD ⊥， ∵π2CDE CDA ∠=∠=， ∴CD AD ⊥，CD DE ⊥，又DE AD D ⋂=， ∴CD ⊥平面ADE ，又OE ⊂平面ADE ∴CD OE ⊥，又ADCD D =∴OE ⊥平面ABCD .∵4DE AE AD ===，∴23OE =∵24CD AD AB ===，∴4ABCS=，∵42CE AC ==4AE =，∴47ACE S =△. 设点B 到平面ACE 的距离为h ， ∵E ABC B ACE V V --=即1133ABC ACE S OE S h ⋅=⋅△△，∴2217h =. 即点F 到平面ACE 的距离为2217. 【点睛】(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行 的直线.解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行性质或 构造平行四边形、寻找比例证明两直线平行，注意内外平行三条件，缺一不可. (2)求解棱锥中一点到某一个面的距离问题时，通常用的方法是等体积法,在解题 过程中要充分利用三种垂直关系的转化：线线垂直−−−−→←−−−−判定定理性质线面垂直−−−−→←−−−−判定定理性质面面垂直 20．已知函数()ln xf x ax x=-，a ∈R .（1）设1a =时，求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）证明：当12a e ≥时，()0f x ≥. 【答案】（1）10x y e--=；（2）证明见解析.【分析】（1）由切点处导数的几何意义求切线斜率，并由函数解析式求切点坐标，写出切线方程即可. （2）由题设得当12a e ≥时，()1ln 2x f x x e x ≥-；设()1ln 2xg x x e x=-，利用导数研究单调性，即可证结论.【详解】解：（1）当1a =时，()ln x f x x x =-，()21ln 1xf x x -'=-， ()1f e '=，()1f e e e=-，则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为10x y e--=. （2）当12a e ≥时，()1ln 2xf x x e x≥-，设()1ln 2x g x x e x=-，()221ln 12x x e g x x +-'=， 设()21ln 12h x x x e=+-，知其在()0,∞+上单调递增，且0h =，当0x <<()0g x '<；当x >()0g x '>.所以函数()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，()0g x g≥=，即()0f x ≥.【点睛】关键点点睛：（1）根据导数的几何意义求切点处的切线方程.（2）利用导数研究()f x 在不同区间的单调性，其中注意构造中间函数研究单调性及其最小值，进而确定()0f x ≥.21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =(O 为坐标原点).（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8. （i ）设线段AB 的中垂线为l ，证明：l 恒过定点.（ii ）设（i ）中定点为D ，当AB 取最大值时，且P ，D 位于直线AB 两侧时，求四边形PADB 的面积.【答案】（1）24y x =；（2）（i ）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据抛物线焦半径公式可得2pPF t =+，结合题意，将点P 坐标代入，联立即可求的p 值，即可得答案.（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x ≠时，可求得AB k ，进而求得直线l 的方程，即可得定点坐标，当12x x =时，:0l y =，经过定点，即可得证， （ii ）由（i ）知直线()2:4AB y n x n-=-，与抛物线联立，结合韦达定理，可得12y y +，12y y 表达式，代入弦长公式即可求得AB ，结合基本不等式，可得AB 的最大值及直线AB的方程，经检验可得:220AB x -=，根据点到直线距离公式，可得P 、D 到直线AB 的距离1d ，2d ，代入面积公式，即可得答案.【详解】（1）由题意得22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩， 所以C 的标准方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且128x x +=. （i ）设AB 中点为(),E m n ，则1242x x m +==，122y y n +=， 当12x x ≠时，()212122212121442AB y y y y k x x y y y y n--====--+， 则2l n k =-，():42n l y n x -=--，即1(3)2y n x =-，令1302x -=，解得6x =，此时0y =，所以l 恒过定点()6,0. 当12x x =时，:0l y =，过()6,0， 综上：l 恒过定点()6,0. （ii ）由（i ）知直线()2:4AB y n x n -=-，即()42nx y n =-+， 与24y x =联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=， 由0∆>，得216n <，122y y n +=，212216y y n =-，2212416102n nAB y y++-=-=≤=，当且仅当26n=时取等号，所以AB的最大值为10，此时直线AB的方程为220x-=.对于直线220x-=，()()260221220⎡⎤⨯-⨯-->⎣⎦，点P，D在同侧，不合题意，所以取直线:220AB x-=，点P到直线AB的距离1d==，点D到直线AB的距离2d==所以()1212PADBS AB d d=⋅+=四边形【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、基本不等式、点到直线距离公式等知识，并灵活应用，易错点为，求得n=需分别代入，检验P，D是否位于直线AB两侧，再求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为24221x ty t⎧=+⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为()πsin6ραθα⎛⎫-=-⎪⎝⎭.（1）若π2α=，求l与C的交点的极坐标()0,02πρθ≥≤<；（2）若π3α=，设M是C上的动点，求M到l的距离的最小值.【答案】（1）π4⎛⎫⎪⎝⎭；（2）516.【分析】（1）由已知得cos3ρθ=，即3x=，代入C中，可得交点的极坐标.（2）将()πsin6ραθα⎛⎫-=-⎪⎝⎭展开，代入cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，π3α=，可得直线:l y=-C的参数方程代入，再由点到直线的距离公式可求得答案.【详解】解：（1）由π2α=，得cos3ρθ=，即3x=，代入C中，得21t=，即33xy=⎧⎨=⎩，所以交点的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）将()πsin 6ραθα⎛⎫-=-⎪⎝⎭展开得sin cos cos sin 3sin ραθραθαα-=，代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得()(sin 3cos x y αα-=，所以直线过定点(，因为π3α=，所以:l y -C 的参数方程代入，因为4221t +=无解，所以l 与C 没有交点. 设(),M a b，d ==所以当2t =时，min 516d =. 【点睛】方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：tan yxρθ==，cos ,sin x y ρθρθ==； 利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t 的一元二次方程； （2）利用韦达定理写出12t t +，12t t ； （3）利用弦长公式12AB t t =-=.23．设a ，b ，c 为非零实数，且2223a b c ++=，证明： （1）3a b c ++≤；（2）44422222232a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由()()22222++=+++++a b c a b c ab bc ac ，结合均值不等式即可证明；（2）由4222224a b c a b c ++≥+，4222224b a c b a c ++≥+，4222224c b a c b a ++≥+利用不等式同向相加即可证明．第 21 页 共 21 页 【详解】解：（1）因为()()()2222222239a b c a b c ab bc ac a b c ++=+++++++≤=， 所以3a b c ++≤，当且仅当1a b c ===±时取“=”.（2）4222224a b c a b c ++≥+，当且仅当2222a b c =+时取“=”， 同理可得4222224b ac b a c ++≥+，当且仅当2222b a c =+时取“=”， 4222224c b a c b a ++≥+，当且仅当2222c a b =+时取“=”， 所以444222222222322a b c a b c b c a c a b ++++≥=+++， 当且仅当2221a b c ===时取“=”.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．。
百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(一)数学(文)试题(PDF版,含解析)
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2023届高三冲刺卷(一)全国卷文科数学试题(含答案解析)
2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}02,Z B x x x =≤≤∈，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,42．若复数z 满足i12i 1iz =-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17244．已知变量x ，y 满足2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则28z x y =-的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．125．一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）A ．47B ．35C ．16D ．146．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x ，则该型电动汽车月平均用电量在[)200,280的户主人数为（）A ．98B ．103C ．108D ．1127．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右两焦点分别为1F ､2F ，离心率12e =，P 是椭圆上一点，1PF x ⊥轴，则112PF F F 的值为（）A ．34B ．45C ．56D ．238．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．859．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与C 的左､右两支分别交于,A B 两点，121124,5,4AF AF AF BF AB λλ+====，则实数λ=（）A ．14B ．12C ．2D ．410．数列{}n a 满足()()11411n n n n a a a a ++-=--，且132a =，则12a =（）A ．4341B ．4543C ．4746D ．534811．定义在R 上的函数()f x 满足，①对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，②()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，③()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则()10f -､92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭､()3f 的大小关系为（）A ．()()91032f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭C ．()()9.1032f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．()()93102f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭12．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞二、填空题13．若“2,630x x ax a ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.14．已知球O 的一个截面圆内有一内接三角形ABC ，球O 的表面积为48π，2π3BAC ∠=，3BC =，则球心O 到平面ABC 的距离为___________.15．已知圆1C 的圆心在直线210x y +-=上，点()3,0与()1,2-都在圆1C 上，圆()()222:311C x y -++=，则1C 与2C 的位置关系是___________.16．如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为点B ，则PE PF ⋅的取值范围是___________.三、解答题17．已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，满足b c b a a b c+-=-，且13ab =，0a b +-=(1)求C ；(2)求△ABC 外接圆的半径R .18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x （kg ）和玉米相应产量Y （kg ）的相关数据，制作了数据对照表：x （kg ）1620242936Y （kg ）340350362404454若在合理施肥范围内x 与Y 具有线性相关关系，(1)求Y 关于x 的线性回归方程 ˆˆy bxa =+；(2)请利用线性回归方程预测40kg x =时的玉米产量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ，ˆay bx =-.19．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1C E ⊥平面ABCD ，14C E =，点H 在1CC 上，且113CE CH CD CC ==.(1)若四边形ABCD 为平行四边形，求证：EH //平面11AB D ；(2)若点F 在BD 上，//EF BC ，90DBC ∠=︒，3BC =，2FB =，求四棱锥H BCEF -的体积.20．已知斜率存在的直线l 过点()1,0P 且与抛物线()2:20C y px p =>交于,A B 两点.(1)若直线l 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，求抛物线C 的方程；(2)若点Q 也在x 轴上，且不同于点P ，直线,AQ BQ 的斜率满足0AQ BQ k k +=，求点Q 的坐标.21．已知函数()()2e 1xf x x ax =--.(1)当1a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论函数()f x 的极值点的个数.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.23．已知函数()3f x x =+.(1)解不等式()38f x x +->；(2)若()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，求实数m 的最小值.参考答案：1．C【分析】求解集合B ，结合交集的概念运算可得出结果.【详解】{}{}02,Z 0,1,2B x x x =≤≤∈=，∴{}0,1,2A B = .故选:C.2．D【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.【详解】解：由i12i 1i z =-+，得2i 3i 31i 1i 222z +-===-+，∴z 在复平面内所对应的点位于第四象限.故选：D.3．B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 221cos 22222222x x x x +++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.4．A【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.【详解】作出不等式组2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图中阴影四边形OABC （含边界），(2,0),(6,4),(0,1)A B C，目标函数28z x y =-，即148zy x =-表示斜率为14，纵截距为8z -的平行直线系，画直线01:4l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点()2,0A 时，直线1l 的纵截距最小，z 最大，即max 224z =⨯=，所以28z x y =-的最大值为4.故选：A 5．D【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.【详解】4个元素的集合所有子集共4216=个，设此集合为{},,,a b c d ，事件A ：“所取子集中含有3个元素”，则事件A 的基本事件个数为4个，即{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，所以()41164P A ==.故选：D ．6．C【分析】由频率和为1列方程求x ，再根据直方图中[)200,280区间频率求样本中对应的户主人数.【详解】由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =.月平均用电量在[)200,280的用户()200.0110.01250.00750.005150108⨯+++⨯=户.故选：C 7．A【分析】由离心率可得2a c =，再根据222a b c =+可得a =，即可整理椭圆方程为2222143x y c c+=，代入x c =-可求P 的坐标，即可求得答案【详解】由题意可得12c e a ==即2a c =，由22224a c b c =+=可得223b c =即b =，所以椭圆方程为2222143x y c c+=，当x c =-时，解得32c y ±=，所以132cPF =，因为122F F c =，所以11234PF F F =，故选：A 8．B【分析】由条件列方程求,a b ，由此可得函数()f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.【详解】因为函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以()01f =，()934f =，则394431b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得13a =，3b =，故函数()f x 的解析式为：()3113x xf x x =-++.而()()313313311371113133133x x x x x f x x x x +-+⎡⎤=-+=-+=-+≤-=⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当2x =时取等号，函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为73.故选：B.9．C【分析】设2(0)BF k k =>，根据双曲线性质得到3k λ=，计算得到a λ=，再根据1224AF AF +=得到答案.【详解】如图所示：设2(0)BF k k =>，2112AF AF BF BF -=-，即()455k k λλλ+-=-，解得3k λ=，122532a BF BF λλλ=-=-=，即a λ=，故15AF a =．212AF AF a -=，27AF a =，1224AF AF +=，1224a =，2a =，即2λ=．故选：C 10．C【分析】由题意可得111411n n a a +-=--，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为以2为首项，4为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式可求得结果．【详解】由()()11411n n n n a a a a ++-=--可得()()()()1111411n n n n a a a a ++---=--，∴111411n n a a +-=--，而11123112a ==--．∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为以2为首项，4为公差的等差数列，∴()1241421n n n a =+-=--，∴1142n a n =+-，∴124746a =．故选：C ．11．B【分析】根据函数的三个条件得到函数()f x 为R 上的偶函数，周期为4，且函数()f x 在(0,2]上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】因为()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，又因为()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，则函数()f x 的周期为4，又因为对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，所以对任意1220x x ≥>>，则121x x >，故有1122()()()0xf x f x f x -=>，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，则有(3)(34)(1)(1)f f f f =-=-=，(10)(1034)(2)f f f -=-+⨯=，9911((4)()(2222f f f f -=-+=-=，因为函数()f x 在(0,2]上单调递增，则1()(1)(2)2f f f <<，即()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，故选：B.12．D【分析】利用导数结合题意可知()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()()41f x f <=，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由()()()1e xx g x f x +=可得()()()()()()()()()()2e 1e 1e e e x x xxxg x x g x x g x xg x g x xg x f x ++-++'-''=='.而()()()0g x xg x xg x ''+-<，∴()0f x '<，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()12e g =，则()()1214e14e eg f ⨯===，所以()()41f x f <=，则1x >，故不等式()4f x <的解集为()1,+∞．故选：D ．13．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，利用判别式法求解.【详解】解：由条件可知“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，则2Δ36120a a =-≤，即103a ≤≤.故答案为：10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．3【分析】根据球O 的表面积为48π，求得球的半径，再利用正弦定理求得三角形的外接圆的半径即可.【详解】解：设球O 的半径为R ，三角形ABC 外接圆半径为r ，球心O 到平面ABC 的距离为h ，∵球O 的表面积为48π，∴2448πR π=.解得212R =，由正弦定理322πsin3r ==∴r =222R h r =+，∴2123h =+.解得3h =.故答案为：3.15．相交【分析】利用待定系数法求得圆1C 的标准方程，求出圆心距12C C ，与两圆的半径和、差比较即可得出结论.【详解】设圆1C 的标准方程为()()2221x a y b r -+-=，因为圆心1C 在直线210x y +-=上，且该圆经过()3,0与()1,2-两点，列方程组22212221210(3)(0)(1)(2)a b a b r a b r +-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+--=⎩，解得1102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即圆1C 的标准方程为()2214x y -+=，圆心()11,0C ，半径12r =，又圆()()222:311C x y -++=，圆心()23,1C -，半径21r =，∴12C C =123r r +=，121r r-=，而13<<，∴1C 与2C 的位置关系是相交.故答案为：相交.16．[]39,55【分析】由向量的数量积公式得出29PE PF PB ⋅=- ，求出PB 的最大值和最小值即可得出结果.【详解】由线段EF 的中点为点B ，得出BF BE =-.()()()()22PE PF PB BE PB BF PB BE PB BE PB BE ⋅=+⋅+=+⋅-=- 29PB =-.当点P 位于点A 或点C 时，PB 取最大值8.当点P 位于AC 的中点时，PB取最小值，即min π8sin3PB == ∴PB的取值范围为⎡⎤⎣⎦，∴PE PF ⋅ 的取值范围为[]39,55.故答案为：[]39,55.17．(1)π33【分析】（1）由已知结合余弦定理求得结果；（2）根据已知结合余弦定理先求出c ，再利用正弦定理2sin c R C=求出结果.【详解】（1）由b c b a a b c +-=-可得222b c ab a -=-，∴2221cos 22b ac C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =.（2）∵13ab =，a b +=，∴()222222222213cos 22223c c b a ab c b a c C ab ab --+--+-====，整理得21c =，∴1c =.由正弦定理可得2sin c R C ==，∴R ABC18．(1) 5.893234.675y x =+(2)470.395kg【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将40kg x =代入回归方程求解.【详解】（1）解：由表中数据计算得，25x =.382y =，()()511438i i i x xy y =--=∑，()521244i i x x =-=∑，()()()51521 5.893i i i i i x x y y b x x ==--=≈-∑∑， 382 5.89325234.675ay bx =-=-⨯= .所以回归方程为 5.893234.675y x =+.（2）将40kg x =代入回归方程得 5.893234.675y x =+.故预测40kg x =时，玉米产量约为5.89340234.675470.395kg ⨯+=.19．(1)证明见解析(2)209【分析】(1)先证四边形11AB C D 为平行四边形，再应用线面平行判定定理证明即可；(2)因为HG ⊥平面ABCD ，则HG 为四棱锥的高，再应用锥体体积公式计算求解.【详解】（1）由113CE CH CD CC ==可得1EH DC //，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴11//AD B C 且11AD B C =，∴四边形11AB C D 也为平行四边形，∴11//AB DC ，∴1//EH AB ，而1AB ⊂平面11AB D ，EH ⊄平面11AB D ，∴//EH 平面11AB D .（2）如图，过点H 作HG DC ⊥于点G，∵1C E ⊥平面ABCD ，1C E ⊂平面11DCC D ∴平面11DCC D ⊥平面ABCD ,平面11DCC D 平面ABCD DC =，HG ⊂平面11DCC D ∴HG ⊥平面ABCD ，又∵113CH CC =，14C E =，1//C E HG ，∴43HG =.又//EF BC ，90DBC ∠=︒，3BC =.∴223EF BC ==，且FB 为直角梯形FBCE 的高，而2FB =，由体积公式知()11142023233239H BCEF BCEF V S HG -==⨯+⨯⨯=.20．(1)24y x=(2)Q ()1,0-【分析】（1）由题知直线l 的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线l 的方程及Q 的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出AQ BQ k k +将韦达定理代入0AQ BQ k k +=，化简求出参数即可得点Q 的坐标.【详解】（1）因为直线l 的斜率为1且过点()1,0P ，所以直线l 的方程为：1y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得：()22210x p x -++=，所以121222,1x x p x x +=+=，所以121222y y x x p +=+-=，因为M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，所以1222y y p +==，所以抛物线的方程为：24y x =.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，()(),01Q m m ≠，()221y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得：()2222220k x k p x k -++=，所以21212222,1k p x x x x k++==，由()()()()()()122112121211AQ BQ k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--+=+=----()()()12122121222kx x km km k x x x x m x x m +-++=-++()222222222122k p k km k km k m p m k k+-+⋅+-⋅++=()()22222222202222k km km p k k k k k p k m m k ⎡⎤+-+⋅⎢⎥⎣⎦=-++=+由0k ≠，所以()2202222k k km km k p k+-++=⋅，即220mp p k k--=，所以1m =-，所以点Q 的坐标为()1,0-.21．(1)()e 2e 10x y ---+=(2)答案见解析【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）先求得()f x '，然后对a 进行分类讨论，结合极值点的知识求得正确答案.【详解】（1）∵()()2e 1x f x x x =--，∴()e 2x f x x x ='-，∴()1e 2f '=-，而()11f =-，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程()()1e 21y x +=--，级()e 2e 10x y ---+=.（2）所以()()e 2e 2x x f x x ax x a ='=--，当0a ≤，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，此时()f x 存在一个极值点0x =.当102a <<时，则ln20a <，当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x ¢>；当()ln2,0x a ∈时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，此时()f x 存在两个极值点0x =，ln2=x a .当12a =时，ln20a =，当(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>；当()0,x ∈+∞时.()0f x ¢>，此时()f x 没有极值点.当12a >时，ln20a >，当(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>；当()0,ln2∈x a 时，()0f x '<；当()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x ¢>，此时()f x 存在两个极值点0x =，ln2=x a .综上所述：当102a <<或12a >，存在两个极值点；当0a ≤时，存在一个极值点；当12a =时，没有极值点.【点睛】关键点睛：求解切线有关问题，关键点有3个，第一个是要判断已知点是在曲线上还是在曲线外；第二个是切点的坐标，切点既在曲线上，也在切线上；第三个斜率，斜率可利用导数求得，也可以利用直线上两点坐标来求得.22．(1)2y x =+，224x y x+=(2)Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆【分析】（1）根据直线l 的参数方程和π4ϕ=求解；利用ρcos x θ=，222x y ρ+=求解；（2）在0ϕ=时直接求出Q 的坐标，在0ϕ≠时，写出过点P 且与直线l 垂直的直线方程，与直线l 的方程联立消参求得Q 的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线l 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩∵π4ϕ=，1,21,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线l 的普通方程为11y x -=+，即2y x =+.由4cos ρϕ=得24cos ρρθ=，因为cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.（2）若0ϕ=，由1·tan 1y t ϕ=+=，可知直线l 的方程为1y =，于是过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为()0,1Q .若0ϕ≠，由直线l 的参数方程可知直线l 的斜率为tan ϕ，∴过点()0,3P -且与直线l 垂直的直线方程为13tan y x ϕ=--.联立方程组()tan 11,13,tan y x y x ϕϕ⎧=⋅++⎪⎨=--⎪⎩整理得2223y y x x +-=--，∴点Q 的轨迹方程为22230x y x y +++-=，即()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，显然，点()0,1也在()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭上，所以动点Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭.23．(1)()(),44,∞∞--⋃+(2)12【分析】（1）分3x ≤-、33x -<<、3x ≥三种情况解不等式即可；（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，由3923x x x -++≥+可得31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，进而求解.【详解】（1）因为()333f x x x x +-=++-，所以解不等式338x x ++->，而2,333=6,332,3x x x x x x x -≤-⎧⎪++--<<⎨⎪≥⎩，当3x ≤-时，不等式为2x ->8，解得<4x -；当33x -<<时，不等式为68>不成立，不等式无解；当3x ≥时，不等式为28x >，解得>4x .综上所述，不等式()38f x x +->的解集为()(),44,∞∞--⋃+.（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，因为3923x x x -++≥+，当且仅当()()390x x -+≥，即9x ≤-或3x ≥时等号成立.所以31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，故要使()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，只须12m ≥，即实数m 的最小值为12.。
2021年全国100所名校高考数学冲刺试卷(文科)(样卷一)(附答案详解)
2021年全国100所名校高考数学冲刺试卷（文科）（样卷一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)已知集合A={x|1<x<3}，B⊆N∗，且A∩B≠⌀，则下列结论中一定正确的是()A. 1∈AB. 2∈BC. B={2}D. (∁R A)∩B=⌀2.(2021·全国·模拟题)设复数z满足(1−2i)z=4+2i，则z−=()A. 3iB. −3iC. 2iD. −2i3.(2021·全国·模拟题)为达成“碳达峰、碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是()A. 2013～2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减B. 2013～2020年，年光伏发电量与年份成负相关C. 2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值D. 2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关4.(2021·全国·模拟题)已知α为第四象限角，cos2α=−13，则sinα=()A. −√33B. −√63C. −√23D. −235.(2021·全国·模拟题)设向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(m,1)，若<a⃗，b⃗ >=π3，则实数m=()A. −√33B. −√32C. √33D. √326.(2021·全国·模拟题)已知F1，F2是椭圆E：x24+y2=1的左、右焦点，P是E上在第一象限内一点，F1关于直线PF2的对称点为A，F2关于直线PF1的对称点为B，则|AB|的最大值为()A. 4√2B. 5C. 92D. 47.(2021·全国·模拟题)已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则()A. f(2)=−1B. f(1)⋅f(2)<4C. f′(1)⋅f′(2)<0D. 方程f′(x)=0无解8.(2021·全国·模拟题)执行如图的程序框图，若输入a=1，i=1，输出a=10，则在空白框中可以填入()A. i>18B. i>19C. i>20D. i>219.(2021·全国·模拟题)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 19π2B. 38π3C. 19πD. 38π10.(2021·全国·模拟题)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，A是C的右顶点，在C的一条渐近线上存在M，N两点，使得|AM|=|AN|=c，且∠MAN= 120°，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|sin(13x −π3)|+|cos(13x −π3)|，现有下列四个结论：①函数f(x)的一个周期为3π2； ②函数f(x)在[−π4,π2]上单调递增； ③直线x =−5π4是函数f(x)图象的一条对称轴；④函数f(x)的值域为[1,√2]． 所有正确结论的序号是( )A. ①②④B. ①③C. ①③④D. ②④12. (2021·全国·模拟题)已知2a =lnb =e c =log 2d ，则( )A. log 2(b −d)>e a−cB. e a+b >e c+dC. ln|a −c|<2b−d (a ≠c)D. (12)b+c <(12)a+d二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·全国·模拟题)设函数f(x)={−2x −m,x <0x 2−1,x ≥0，若f(f(−2))=8，则实数m =______ ．14. (2021·全国·模拟题)在△ABC 中，BC =2，∠ABC =π6，△ABC 的面积为2√33，则AC =______ ．15. (2021·全国·模拟题)已知圆C ：x 2+y 2−6x −4√7y +21=0，过点P(m,0)作圆C的切线，切点分别为A ，B ，若点C 始终在以线段AB 为直径的圆外，则实数m 的取值范围为______ ．16. (2021·全国·模拟题)2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱ABC −A 1B 1C 1为一“堑堵”，P 是BB 1的中点，AA 1=AC =BC =2，则在过点P 且与AC 1平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于______ ，该“堑堵”的外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)设S n为数列{a n}的前n项和，已知3a n+1=a n，且S4=40，数列81 {b n}是等差数列，且a1b2=a2b5=1．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求{c n}的前n项和T n．18.(2021·全国·模拟题)“中国科学十大进展”遴选活动由科学技术部高技术研究发展中心牵头举办，旨在激励广大科技工作者的科学热情和奉献精神，开展基础研究科学普及，促进公众理解、关心和支持基础研究，在全社会营造良好的科学氛围.2021年2月，科技部高技术研究发展中心(基础研究管理中心)发布了2020年度中国科学十大进展.某校为调查本校中学生对2020年度中国科学十大进展的了解与关注情况，从该校高中年级在校生中，按高一、高二年级，高三年级分成两个年级段，随机抽取了200名学生进行调查，其中高一、高二年级共调查了120人，高三年级调查了80人，以说出10项科学进展的名称个数为标准，统计情况如下.假设以能至少说出四项科学进展的名称为成绩优秀．(1)根据频数分布表完成2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关？(2)按分层抽样的方法，在被调查且成绩优秀的学生中抽取6名同学，再在这6名同学中随机抽取4名同学组成“2020科技展”宣讲队，求至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005 k0 2.706 3.841 6.6357.87919.(2021·全国·模拟题)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD和CDEF均为直角梯形，AB//CD，CF//DE，，CD=AD=DE=AE=2AB=且∠CDE=∠CDA=π22CF=4．(1)求证：BF//平面ACE，(2)求点F到平面ACE的距离．20.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=ax−lnx，a∈R．x(1)设a=1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0．2e21.(2021·全国·模拟题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(t,−2)在C上，且|PF|=2|OF|(O为坐标原点)．(1)求C的方程；(2)若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8．(ⅰ)设线段AB的中垂线为l，证明：l恒过定点．(ⅰ)设(ⅰ)中定点为D，当|AB|取最大值时，且P，D位于直线AB两侧时，求四边形PADB的面积．22.(2021·全国·模拟题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+t 2y=2t4+1(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin(α−θ)=2√3sin(α−π6)．(1)若α=π2，求l与C的交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)；(2)若α=π3，设M是C上的动点，求M到l的距离的最小值．23.(2021·全国·模拟题)设a，b，c为非零实数，且a2+b2+c2=3，证明：(1)|a+b+c|≤3；(2)a4b2+c2+b4a2+c2+c4a2+b2≥32．答案和解析1.【答案】B【知识点】集合的基本关系【解析】解：∵A={x|1<x<3}，B⊆N∗，且A∩B≠⌀，∴A∩B={2}，故选：B．由题意可得A∩B={2}，从而得到答案．本题考查集合的关系与运算，属于基础题．2.【答案】D【知识点】复数的四则运算=2i，【解析】解：z=4+2i1−2i∴z−=−2i．故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【知识点】众数、中位数、平均数、函数模型的应用【解析】解：A，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减，前几年递增，后面递减，故A错误；B，2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B错误；C，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大，因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C错误；D，根据图表可知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确．故选：D．根据条形图中的数据逐一分析即可得出结果．本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．4.【答案】B【知识点】二倍角公式及其应用、同角三角函数的基本关系【解析】解：因为cos2α=−13=1−2sin2α，又α为第四象限角，所以sinα=−√63．故选：B．由已知利用二倍角公式即可求解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：根据题意，向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(m,1)，则|a⃗|=2，|b⃗ |=√m2+1，a⃗⋅b⃗ =m+√3，又由<a⃗，b⃗ >=π3，则cos〈a⃗,b⃗ 〉=12=√32⋅√1+m2，解可得：m=−√33．故选：A．根据题意，由向量的坐标可得|a⃗|、|b⃗ |和a⃗⋅b⃗ 的值，进而由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题．6.【答案】D【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：由题意知|PF1|=|PA|，|PF2|=|PB|，|AB|≤|PA|+|PB|=4，当且仅当A，P，B三点共线时取“=”．故选：D．利用椭圆的定义，转化求解|AB|的最大值即可．本题考查椭圆的定义，椭圆的简单性质的应用，是基础题．7.【答案】C【知识点】抽象函数【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)为奇函数，且f(−2)>2，则f(2)=−f(−2)<−2，A错误；对于B，f(x)为奇函数，且f(−1)=2，则f(1)=−2，则有f(1)f(2)>4，B错误；对于C，由所给的函数f(x)的图象，可得f′(−1)<0，f′(−2)>0，必有f′(−1)⋅f′(−2)< 0，C正确；对于D，由C的结论f′(−1)⋅f′(−2)<0，则必定存在x0∈(−2,−1)，使得f′(x0)=0，即f′(x)=0一定有解，D错误；故选：C．根据题意，依次分析选项，综合可得答案．本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的零点判定定理，属于基础题．8.【答案】A【知识点】程序框图【解析】解：根据题意知：a=2，i=3；a=3，i=5；a=4，i=7；…；a=9，i=17；a=10，i=19，因为输出a=10，所以空白框中可以填入i>18．故选：A．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出a=10时空白框中应填入的条件．本题考查了程序框图的运行问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据三视图知，该几何体为一圆台的一半，对应圆台的上底面半径为r=2，下底面半径为R=3，高ℎ=4，计算该几何体的体积为：V=12×π3(22+2×3+32)×4=38π3．故选：B．根据三视图得出该几何体为一圆台的一半，结合图中数据计算该几何体的体积即可．本题考查了三视图与几何体体积的计算问题，解题的关键是根据三视图还原出几何体结构特征，是基础题．10.【答案】A【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：设渐近线方程为y=ba x，则点A到渐近线的距离d=abc，又∠MAN=120°，|AM|=|AN|=c，则abc =c2，即有2ab=c2=a2+b2，所以a=b，e=√2．故选：A．设渐近线方程为y=ba x，则点A到渐近线的距离d=abc，结合∠MAN=120°，|AM|=|AN|=c，推出abc =c2，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，是中档题．11.【答案】C【知识点】命题及其关系【解析】解：根据函数f(x)=|sin(13x−π3)|+|cos(13x−π3)|，对于①；函数f(x+3π2)=|sin(13x+π2−π3)|+|cos(13x+π2−π3)|=|cos(13x−π3)|+|sin(13x−π3)|=f(x)，故①正确；因为根据函数的解析式，由于f(0)=f(π2)，所以②错误；对于③和④：令t=13x−π3，当t∈[0,π2]，即x∈[π,5π2]时，满足y=sint+cost=√2sin(t+π4)∈[1,√2]，由①知3π2是函数f(x)的一个周期，所以f(x)∈[1,√2]，f(−5π4)=|sin(−3π4)|+|cos(−3π4)|=√2，所以③④正确．故选：C ．直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断①②③④的结论． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：因为2a >0，所以b >d >1．若b =e ，d =2，a =c =0，则log 2(b −d)<0<e a−c ，A 项不正确；当a ≥0时，a ≥c ，b >d ，则a +b >c +d ，当a <0时，a <c <0，b >d ，不等式不一定成立，B 项不正确；当b −d →0时，c =a ⋅ln2，c −a =a(ln2−1)，当a <eln2−1时，存在|a −c|>e ，所以C 项不正确；当a <0时，a <c <0，b >d ，则b −d >a −c ，当a ≥0时，由指对函数的变化趋势，知b −d >a −c ，即b +c >a +d 恒成立，D 项正确． 故选：D ．由题意可得b >d >1，代入特殊值，利用排除法求解． 本题考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题．13.【答案】1或16【知识点】函数的性质【解析】解：∵函数f(x)={−2x −m,x <0x 2−1,x ≥0，∴f(−2)=4−m ，若4−m ≥0，则4−m =3，解得m =1； 若4−m <0，则m −8=8，解得m =16． 故m 的值为8或16． 故答案为：8或16．由条件得到f(−2)=4−m ，若4−m ≥0，则4−m =3，若4−m <0，则m −8=8，由此能求出m 的值．本题考查分段函数求值，函数性质等基础知识，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，是基础题．14.【答案】2√33【知识点】正弦定理【解析】解：因为S△ABC=12AB⋅BC⋅sinπ6=2√33，BC=2，所以AB=4√33，由余弦定理得AC2=4+163−2×2×4√33×√32=43，所以AC=2√33．故答案为：2√33．由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，进而根据余弦定理即可求解AC的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】(1,5)【知识点】圆的切线方程【解析】解：由题意知∠ACB<π2，且P、A、C、B四点共圆，所以可得∠APB>π2，即|AC|>|PA|；如图所示：又圆C：x2+y2−6x−4√7y+21=0，可化为(x−3)2+(y−2√7)2=16，圆心为C(3,2√7)，半径为|AC|=4，计算|PC|=√(m−3)2+(0−2√7)2，|PA|=√|PC|2−|AC|2，所以|PC|2<2|AC|2=32，即(m−3)2+28<32，解得1<m<5，所以实数m的取值范围是(1,5)．故答案为：(1,5)．根据题意画出图形，结合题意得出P、A、C、B四点共圆，且∠ACB<∠APB，利用点与圆以及直线与圆的位置关系列不等式求出m的取值范围．本题考查了直线与圆以及点与圆的位置关系应用问题，是中档题．16.【答案】3√3212π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：如图，取E，F，G分别为AA1，A1C1，B1C1的中点，则FG//A1B1，且FG=12A1B1，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1//BB1且AA1=BB1，因为E，P分别为AA1，BB1的中点，则A1E//B1P且A1E=B1P，所以四边形A1B1PE为平行四边形，则PE//A1B1且PE=A1B1，因为A1C1=B1C1，且F，G分别为A1C1，B1C1的中点，则EF=√A1E2+A1F2=√B1P2+B1G2=PG=√2，故四边形PEFG为等腰梯形，当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1，则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个，取PE的中点D，连结DF，DG，因为FG=12A1B1=√2=12PE，FG//EP，且点D位PE的中点，则FG//DE且FG=DE，所以四边形DEFG为平行四边形，可得DG=EF=√2，同理可得DF=PG=√2，所以△DEF ，△PDG ，△DFG 均为等边三角形， 所以S 梯形PEFG =3×√34×(√2)2=3√32， 将三棱柱ABC −A 1B 1C 1补成正方体ACBQ −A 1C 1B 1Q 1， 则外接球的半径R =√3， 所以表面积为4πR 2=12π． 故答案为：3√32；12π． 取E ，F ，G 分别为AA 1，A 1C 1，B 1C 1的中点，分析出四边形PEFG 为等腰梯形，求出面积即可；将三棱柱补成正方体，计算外接球半径，由球的表面积公式求解即可． 本题考查了空间多面体的外接球问题，求解多面体的外接球半径的常用方法为：①补形法；②利用球的性质；③定义法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)依题意，由3a n+1=a n ，且S 4=4081，可知a n ≠0，且a n+1a n=13， 故数列{a n }为等比数列，且公比q =13， 则S 4=a 1[1−(13)4]1−13=4081，解得a 1=13，∴a n =a 1q n−1=13×(13)n−1=(13)n ，n ∈N ∗， ∵a 1b 2=a 2b 5=1， ∴b 2=3，b 5=9，则在等差数列{b n }中，公差d =b 5−b 23=2，∴b n =3+(n −2)×2=2n −1，n ∈N ∗． (2)由(1)得，c n =a n b n =(13)n ⋅(2n −1)，则T n =1×13+3×132+5×133+⋯+(2n −1)×13n ，13T n=1×132+3×133+5×134+⋯+(2n −1)×13n+1， 两式相减，可得23T n =13+2⋅132+2⋅133+⋅⋅⋅+2⋅13n −(2n −1)⋅13n+1=13+2⋅(132+133+⋅⋅⋅+13n )−(2n −1)⋅13n+1=13+2⋅132−13n+11−13−(2n−1)⋅13n+1=23−2n+23n+1，∴T n=1−n+13n．【知识点】数列求和方法【解析】(1)依题意根据已知条件判断出数列{a n}为等比数列并计算出公比，再根据等比数列的求和公式计算出首项a1的值，即可计算出数列{a n}的通项公式，再代入a1b2= a2b5=1可计算出b2、b5的值，从而进一步计算出数列{b n}的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{c n}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和T n．本题主要考查等差、等比数列的基本量的运算，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)由题意，2×2列联表如下：∵K2=200(90×30−30×50)2120×80×140×60=257≈3.571<3.841，所以没有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关．(2)被调查且成绩优秀的学生有60名，分层抽样抽取6名同学，则从高一、高二年级抽取了3名同学，从高三年级抽取了3名同学，设至少有2名高三年级的同学入选为事件A，∵基本事件总数为C64=15，事件A包含的基本事件数为C32⋅C32+C33C31=12，∴p(A)=1215=45．∴至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率为45．【知识点】独立性检验、离散型随机变量及其分布列【解析】(1)完成列联表，再利用公式求出K2值，从而查表可得．(2求出基本事件总数和事件A包含的基本事件数，从而可求概率．本题考查了独立性检验的应用问题，古典概型的概率求法，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取DE中点G，连接FG交CE于点H，连接AH，∵CF//DG，且DG=CF，∴四边形CDGF是平行四边形，∴GF//DC，H为GF中点，又∵AB//CD，且CD=2AB，∴AB//HF，且AB=HF，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF//AH，又BF⊄平面ACE，AH⊂平面ACE，∴BF//平面ACE．(2)解：∵BF//平面ACE，∴点F到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，取AD中点O，连接OE，∵DE=AE，∴OE⊥AD，∵∠CDE=∠CDA=π2，∴CD⊥AD，CD⊥DE，DE∩AD=D，DE，AD⊂平面ADE，∴CD⊥平面ADE，又OE⊂平面ADE，∴CD⊥OE，又AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∵DE=AE=AD=4，∴OE=2√3，∵CD=AD=2AB=4，∴S△ABC=4，∵CE=AC=4√2，AE=4，∴S△ACE=4√7，设点B到平面ACE的距离为h，由等体积法，V E−ABC=V B−ACE，则13S△ABC⋅OE=13S△ACE⋅ℎ，故ℎ=2√217，所以点F到平面ACE的距离为2√217．【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)取DE中点G，连接FG交CE于点H，连接AH，证明四边形CDGF和ABFH 是平行四边形，从而可得BF//AH，由线面平行的判定定理证明即可；(2)取AD中点O，连接OE，设点B到平面ACE的距离为h，利用等体积法求解h，利用线面平行的性质可知，点F到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即可得到答案．本题考查了线面平行的判定以及点到面距离的求法，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x−lnxx ，f′(x)=1−1−lnxx2，f′(e)=1，f(e)=e−1e，则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为x−y−1e=0．(2)当a≥12e 时，f(x)≥12ex−lnxx，设g(x)=12e x−lnxx，g′(x)=12ex2+lnx−1x2，设ℎ(x)=12ex2+lnx−1，知其在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(√e)=0，当0<x<√e时，g′(x)<0；当x>√e时，g′(x)>0．所以函数g(x)在(0,√e)上单调递减，在(√e,+∞)上单调递增，g(x)≥g(√e)=0，即f(x)≥0．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，计算f(e)，f′(e)，求出切线方程即可；(2)根据a≥12e 时，得到f(x)≥12ex−lnxx，设g(x)=12ex−lnxx，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意得{t+p2=2×p24=2pt，解得{p=2t=1，所以C的标准方程为y2=4x．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1+x2=8．(ⅰ)证明：设AB中点为E(m,n)，则m=x1+x22=4，n=y1+y22，当x 1=x 2时，l ：y =0；当x 1≠x 2时，k AB =y 2−y1x 2−x 1=4(y 2−y &1)y 22−y 12=4y 2+y 1=2n，则k l =−n 2，l ：y −n =−n2(x −4)， 令y =0，得x =6，l 恒过定点(6,0)．(ⅰ)解：由(ⅰ)知直线AB ：y −n =2n (x −4)，即x =n2(y −n)+4， 联立方程消去x ，整理得y 2−2ny +2n 2−16=0，由△>0，得n 2<16，y 1+y 2=2n ，y 1y 2=2n 2−16，|AB|=√1+(n2)2|y 1−y 2|=√(n 2+4)(16−n 2)≤n 2+4+16−n 22=10，当n 2=6时取“=”，所以|AB|的最大值为10， 此时直线AB 的方程为2x ±√6y −2=0．对于直线2x −√6y −2=0，(2×6−√6×0−2)[2×1−√6×(−2)−2]>0， 点P ，D 在同侧，不合题意，所以取直线AB ：2x +√6y −2=0， 点P 到直线AB 的距离d 1=√6√10点D 到直线AB 的距离d 2=√10，所以S 四边形PADB =12|AB|⋅(d 1+d 2)=5√10+2√15．【知识点】抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系【解析】(1)通过点在抛物线上，以及距离关系，求解p ，t ，得到抛物线方程． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且x 1+x 2=8． (ⅰ)设AB 中点为E(m,n)，推出m =x 1+x 22=4，n =y 1+y 22，然后求解直线系方程推出l恒过定点(6,0)．(ⅰ)求出AB 的方程x =n2(y −n)+4，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式结合基本不等式求解写出的最大值，然后转化求解四边形的面积即可．本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，考查分析问题解决问题的能力，是难题．22.【答案】解：(1)由α=π2，得ρcosθ=3，即x =3，代入C ：{x =2+t 2y =2t 4+1中，得t 2=1，即{x =3y =3， 所以交点的极坐标为(3√2,π4)．(2)将ρsin(α−θ)=2√3sin(α−π6)展开，代入{x =ρcosθy =ρsinθ，得sinα(x −3)=cosα(y −√3)，直线过定点(3,√3)， 因为α=π3，所以l ：y =√3x −2√3，将C 的参数方程代入， 因为2t 4+1=√3t 2无解，所以l 与C 没有交点． 设M(a,b)，d =|√3a−b−2√3|2=|√3t 2−2t 4−1|2，所以当t 2=√34时，d min =516．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)求出直线l 的普通方程，代入曲线的参数方程，求解焦点坐标即可． (2)化简直线的极坐标方程为普通方程，判断直线与曲线没有交点，利用点到直线的距离公式，得到关系式，然后求解最小值即可．本题考查极坐标与参数方程的应用，参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的求法，是中档题．23.【答案】证明：(1)因为(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac)≤3(a 2+b 2+c 2)=9，所以|a +b +c|≤3，当且仅当a =b =c =±1时取“=”． (2)a 4b 2+c 2+b 2+c 24≥a 2，当且仅当2a 2=b 2+c 2时取“=”，同理可得b 4a 2+c 2+a 2+c 24≥b 2，当且仅当2b 2=a 2+c 2时取“=”，c 4b 2+a 2+b 2+a 24≥c 2，当且仅当2c 2=a 2+b 2时取“=”，所以a 4b 2+c 2+b 4a 2+c 2+c 4a 2+b 2≥a 2+b 2+c 22=32，当且仅当a 2=b 2=c 2=1时取“=”．【知识点】证明不等式的基本方法【解析】(1)通过(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac)利用基本不等式证明即可． (2)利用a 4b 2+c 2+b 2+c 24≥a 2，b4a 2+c 2+a 2+c 24≥b 2，c 4b 2+a 2+b 2+a 24≥c 2，相加，即可推出结果．本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
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2016年全国100所名校高考数学冲刺试卷（文科）（一）一、选择题1．（5分）已知集合A={x|lgx≤1}，B={﹣2，5，8，11}，则A∩B等于（）A．{﹣2，5，8}B．{5，8}C．{5，8，11}D．{﹣2，5，8，11}2．（5分）若复数z满足（1+i）•z=3﹣2i（i是虚数单位），则z等于（）A．B．C．D．3．（5分）某市共有2500个行政村，根据经济的状况分为贫困村1000个，脱贫村900个，小康村600个，为了解各村的路况，采用分层抽样的方法，若从本市中抽取100个村，则从贫困村和小康村抽取的样本数分别为（）A．40、24 B．40、36 C．24、36 D．24、404．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=﹣10，则输出结果为（）A．2 B．3 C．510 D．10225．（5分）若点P是抛物线C：y2=4x上任意一点，F是抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知命题p：对∀x∈R，x2≥0；命题q：若α为第一象限角，β为第二象限角，则α＜β，则以下命题为假命题的是．A．（￢p）∨（￢q）B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）7．（5分）《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步，问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽2016步，长2000步，则该田有（）A．167顷B．168顷C．169顷D．673顷8．（5分）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，=﹣3，则（）A．=﹣+B．=﹣+C．=﹣D．=﹣9．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为64+16π，则实数a等于（）A．2 B．2C．4 D．410．（5分）把函数f（x）=cos2x+sinxcosx的图象向右平移个单位长度，再把所得图象每个点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A．g（x）的一条对称轴方程为x=B．g（x）的值域为[﹣，]C．在（0，π）上单调递减D．关于点（，）对称11．（5分）已知双曲线的两条渐近线方程为3x±4y=0，A为双曲线的右支上的一点，F1（﹣5，0）、F2（5，0）分别为双曲线的左、右焦点，若∠F1AF2=60°，则△F1AF2的面积为（）A．8 B．6C．4D．912．（5分）若函数f（x）=log2x在x∈[1，4]上满足f（x）≤m2﹣3am+2恒成立，则当a∈[﹣1，1]时，实数m的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪{0}C．[﹣3，3] D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）∪{0}二、填空题13．（5分）已知sin（α+）=，则cos（2α+）=．14．（5分）（2016•广西校级模拟）已知实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为．15．（5分）两平行平面截半径为13的球O所得两截面圆分别记为⊙O1、⊙O2，若⊙O1、⊙O2的面积分别为25π、144π，则|O1O2|=．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a﹣3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC=．三、解答题17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．18．（12分）2015年12月16日到18日第二届世界互联网大会在乌镇举行，17日奇虎360董事长周鸿祎在回答海外网记者的提问时，分享了过去100天中国每天遭受DDOS攻击的次数数据，并根据数据作出频率分布直方图，如图所示（1）假设数值不超过140的为安全，根据此安全标准，求这100天内安全的天数n；（2）预计在未来3天中，有2天的数值高于180，另一天低于120的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AD，△BCD是边长为的正三角形，AC与BD交于点O，点M是PB的中点．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求三棱锥M﹣PCD的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为且过点P（2，2）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过M（﹣1，0）作直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，△F1AF2、△F1BF2的面积分别为S1、S2，试确定|S1﹣S2|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+blnx在点（1，0）处的切线的斜率为1．（1）求a，b的值；（2）是否存在实数t使函数F（x）=f（x）+lnx的图象恒在函数g（x）=的图象的上方，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）在圆内接四边形ABCD中，AD为圆的直径，对角线AC与BD交于点Q，AB，DC的延长线交于点P，连接PQ并延长交AD于点E，连接EB．（1）求证：PE⊥AD；（2）求证：BD平分∠EBC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣．（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求曲线C1与曲线C2的交点的极坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．（2014春•龙华区校级月考）设函数f（x）=|x+2|+|2x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）当a＜﹣4时，存在x≤﹣2，使得f（x）﹣x≤4成立，求实数a的取值范围．2016年全国100所名校高考数学冲刺试卷（文科）（一）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合A={x|lgx≤1}，B={﹣2，5，8，11}，则A∩B等于（）A．{﹣2，5，8}B．{5，8}C．{5，8，11}D．{﹣2，5，8，11}【分析】求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x|lgx≤1}={x|x≤10}，B={﹣2，5，8，11}，则A∩B={5，8}．故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，对数的简单性质的应用，考查计算能力．2．（5分）若复数z满足（1+i）•z=3﹣2i（i是虚数单位），则z等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数的代数形式除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足（1+i）•z=3﹣2i，可得：z===．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）某市共有2500个行政村，根据经济的状况分为贫困村1000个，脱贫村900个，小康村600个，为了解各村的路况，采用分层抽样的方法，若从本市中抽取100个村，则从贫困村和小康村抽取的样本数分别为（）A．40、24 B．40、36 C．24、36 D．24、40【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，故从贫困村抽取的样本数为1000×=40，小康村抽取的样本数为600×=24，故选：A．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=﹣10，则输出结果为（）A．2 B．3 C．510 D．1022【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由已知即可得出输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，∵|﹣10|=10＞3，∴y=log2（10﹣2）=log28=3．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，属于基础题．5．（5分）若点P是抛物线C：y2=4x上任意一点，F是抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】设P（x0，y0）（x0≥0），可得|PF|=x0+，即可得出最小值．【解答】解：设P（x0，y0）（x0≥0），则|PF|=x0+=x0+1≥1，当且仅当x0=0时取等号．∴|PF|的最小值为1．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的定义及其标准方程性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）已知命题p：对∀x∈R，x2≥0；命题q：若α为第一象限角，β为第二象限角，则α＜β，则以下命题为假命题的是．A．（￢p）∨（￢q）B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【分析】分别判断命题p，q的真假性，根据复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：命题p：对∀x∈R，x2≥0，为真命题．命题q：若α为第一象限角，β为第二象限角，则α＜β为假命题，比如α=390°，β=120°，则α＜β不成立，则（￢p）∨q为假命题，其余为真命题．故选：C．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．7．（5分）《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步，问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽2016步，长2000步，则该田有（）A．167顷B．168顷C．169顷D．673顷【分析】由题意可得：该田有亩，进而得出该田的顷数．【解答】解：由题意可得：该田有=168顷．故选：B．【点评】本题考查了土地面积的一种换算关系、，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，=﹣3，则（）A．=﹣+B．=﹣+C．=﹣D．=﹣【分析】由题意知=﹣，=（+），从而求．【解答】解：∵=﹣3，∴==﹣，∴==（+），∴=+=（+）﹣═﹣，故选C．【点评】本题考查了平面向量线性运算的应用及数形结合的思想方法应用．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为64+16π，则实数a等于（）A．2 B．2C．4 D．4【分析】由三视图可知该几何体为一个三棱柱和一个圆柱的组合体，利用体积公式列方程求解即可．【解答】解：由三视图可知几何体为一个三棱柱和一个圆柱的组合体．三棱柱的底面是一个底为2a，高为a的三角形，三棱柱的高为a，圆柱的底面半径、高均为a．∴几何体的体积V=+=64+16π．解得a=4．故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．10．（5分）把函数f（x）=cos2x+sinxcosx的图象向右平移个单位长度，再把所得图象每个点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A．g（x）的一条对称轴方程为x=B．g（x）的值域为[﹣，]C．在（0，π）上单调递减D．关于点（，）对称【分析】利用已知及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）+，由x﹣=kπ+，k∈Z，解得g（x）的一条对称轴方程可判断A，由g（x）∈[﹣，+]，可判断B；由2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得g（x）的单调递减区间，可判断C；由x﹣=kπ，k∈Z，解得g（x）的对称中心坐标，可判断D，从而得解．【解答】解：∵把函数f（x）=cos2x+sinxcosx=sin（2x+）+的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin[2（x﹣）+]+=sin（2x﹣）+的图象，再把所得图象每个点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g（x）=sin（x﹣）+的图象，∴由x﹣=kπ+，k∈Z，解得g（x）的一条对称轴方程为：x=kπ+，k∈Z，可得A错误；由g（x）=sin（x﹣）+∈[﹣，+]，可得B错误；由2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得g（x）的单调递减区间为：[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，可得C错误；由x﹣=kπ，k∈Z，解得g（x）的对称中心坐标为：（kπ+，），k∈Z，当k=1时，为（，），可得D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．11．（5分）已知双曲线的两条渐近线方程为3x±4y=0，A为双曲线的右支上的一点，F1（﹣5，0）、F2（5，0）分别为双曲线的左、右焦点，若∠F1AF2=60°，则△F1AF2的面积为（）A．8 B．6C．4D．9【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程，由题意可得c=5，即a2+b2=25，且=，解得a=4，b=3，可得双曲线的方程，运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，可得|AF1|•|AF2|=4b2=36，再由△F1AF2的面积S=|AF1|•|AF2|sin∠F1AF2，计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得c=5，即a2+b2=25，且=，解得a=4，b=3，即双曲线的方程为﹣=1，又|AF1|﹣|AF2|=2a=8，|F1F2|=2c=10，∠F1AF2=60°，在△F1AF2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F1AF2=（|AF1|﹣|AF2|）2+|AF1|•|AF2|，即4c2=4a2+|AF1|•|AF2|，可得|AF1|•|AF2|=4b2=36，则△F1AF2的面积S=|AF1|•|AF2|sin∠F1AF2=×36×=9．故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=log2x在x∈[1，4]上满足f（x）≤m2﹣3am+2恒成立，则当a∈[﹣1，1]时，实数m的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪{0}C．[﹣3，3] D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）∪{0}【分析】先求出函数f（x）=log2x在x∈[1，4]上的取值范围，转化为2≤m2﹣3am+2在a∈[﹣1，1]上恒成立，再构造g（a）=m2﹣3am，a∈[﹣1，1]根据函数的单调性即可得到．【解答】解：当x∈[1，4]时，0≤f（x）=log2x≤2，可得2≤m2﹣3am+2在a∈[﹣1，1]上恒成立，即m2﹣3am≥0在a∈[﹣1，1]上恒成立，当m=0时显然成立，当m≠0时，设g（a）=m2﹣3am，a∈[﹣1，1]，则（1）m＞0时，函数g（a）在[﹣1，1]上是减函数，可知g（1）≥0，解得m≥3；（2）m＜0时，函数g（a）在[﹣1，1]上是增函数，可知g（﹣1）≥0，解得m≤﹣3；综上所述，m的取值范围是m=0或m≥3或m≤﹣3，故选D．【点评】本题考查恒成立问题，构造函数，根据函数的单调性可得，属于中档题二、填空题13．（5分）已知sin（α+）=，则cos（2α+）=．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式，求得cos（2α+）的值．【解答】解：∵sin（α+）=，则cos（2α+）=1﹣2=1﹣2×=，故答案为：．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14．（5分）（2016•广西校级模拟）已知实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：作出可行域如图，将z=3x+2y变形为，当目标函数过点A时，z取最大值．联立，解得A（2，3）．代入可得z max=3×2+2×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）两平行平面截半径为13的球O所得两截面圆分别记为⊙O1、⊙O2，若⊙O1、⊙O2的面积分别为25π、144π，则|O1O2|=．【分析】先根据两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，最后对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可．【解答】解：设两个截面圆的半径别为r1，r2．球心到截面的距离分别为d1，d2．由πr12=25π，得r1=5．由πr22=144π，得r2=12．如图①所示．当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差．即﹣=7．如图②所示．当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即d2+d1=+=12+5=17．故答案为：7或17．【点评】本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题．此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力．本题的易错点在于只考虑一种情况，从而漏解．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a﹣3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC=．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得4sinAcosB=3sinA，结合sinA≠0，可得：cosB=，从而可求sinB，由2b=a+c，利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵（4a﹣3c）cosB=3bcosC，∴4sinAcosB﹣3sinCcosB=3sinBcosC，可得：4sinAcosB=3sin（B+C）=3sinA，∵sinA≠0，可得：cosB=，∴sinB==，∵a，b，c成等差数列，2b=a+c，∴2sinB=sinA+sinC=2×=．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．【分析】（1）由a2+1，a4+1，a8+1成等比数列，建立关于d的方程，解出d，即可求数列{a n}的通项公式；（2）表示出b n，利用裂项相消法求出b1b2+b2b3+…+b n b n+1，建立关于n的方程，求解即可【解答】解：（1）设公差为为d，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列，∴（a4+1）2=（a2+1）（a8+1），∴（3d+3）2=（3+d）（3+7d），解得d=3，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1；（2）∵数列{b n}满足b n=，∴b n=，∴b n b n+1=•=3（﹣）∴b1b2+b2b3+…+b n b n+1=3（﹣+﹣+••+﹣）=3（﹣）=，即=，解得n=10，故正整数n的值为10．【点评】本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及裂项相消法求和，属于中档题18．（12分）2015年12月16日到18日第二届世界互联网大会在乌镇举行，17日奇虎360董事长周鸿祎在回答海外网记者的提问时，分享了过去100天中国每天遭受DDOS攻击的次数数据，并根据数据作出频率分布直方图，如图所示（1）假设数值不超过140的为安全，根据此安全标准，求这100天内安全的天数n；（2）预计在未来3天中，有2天的数值高于180，另一天低于120的概率．【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=的关系，即可求出对应的数值；（2）设A1表示事件“每天遭受DDOS攻击次数的数值高于180”，A2表示事件“每天遭受DDOS攻击次数的数值低于120”，B表示事件“在未来3天中，有连续2天的数值高于180，另一天低于120”；由此求出在未来3天中，有连续2天的数值高于180，另一天低于120的概率值．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；数值不超过140的频率为（0.0050+0.0100）×20=0.3，100×0.3=30，所以这100天内安全的天数为n=30；（2）设A1表示事件“每天遭受DDOS攻击次数的数值高于180”，A2表示事件“每天遭受DDOS攻击次数的数值低于120”，B表示事件“在未来3天中，有连续2天的数值高于180，另一天低于120”；所以P（A1）=（0.0075+0.0025）×20=0.2，P（A2）=0.0050×20=0.1；所以在未来3天中，有连续2天的数值高于180，另一天低于120的概率：P（B）=0.2×0.2×0.1+0.1×0.2×0.2=0.008．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AD，△BCD 是边长为的正三角形，AC与BD交于点O，点M是PB的中点．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求三棱锥M﹣PCD的体积．【分析】（1）由△ABC≌△ADC得AC为∠BCD的角平分线，故O为BD中点，由中位线定理可得OM ∥PD，故OM∥平面PAD；（2）由三角形知识可求出OC，OD，AD，PA，则V M﹣PCD=V O﹣PCD=V P﹣OCD=．【解答】解：（1）∵△BCD是正三角形，∴BC=CD，∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCO=∠DCO，∴O是BD的中点，又M是PB的中点，∴OM∥PD，又OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴OM∥平面PAD．（2）∵△BCD是边长为的正三角形，∴∠CBD=∠CDB=60°，BD=，OC=．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠OBA=∠ODA=30°，∴∠BAD=120°，∴PA=AD=1．∵OM∥PD，∴OM∥平面PCD，∴V M﹣PCD=V O﹣PCD=V P﹣OCD===．【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为且过点P（2，2）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过M（﹣1，0）作直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，△F1AF2、△F1BF2的面积分别为S1、S2，试确定|S1﹣S2|的取值范围．【分析】（1）由题意可得：，+=1，又a2=b2+c2，联立解得即可得出．（2）设直线l的方程为：my=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（m2+2）y2﹣2my ﹣11=0，S1=c|y1|，S2=c|y2|，可得|S1﹣S2|=|y1+y2|，利用根与系数的关系、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，+=1，又a2=b2+c2，联立解得：a2=12，．∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）设直线l的方程为：my=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（m2+2）y2﹣2my﹣11=0，△＞0，∴y1+y2=．∵S1==c|y1|，S2=c|y2|，∴|S1﹣S2|=||y1|﹣|y2||=|y1+y2|=，m=0时，|S1﹣S2|=0．m≠0时，0＜|S1﹣S2|=≤=，当且仅当|m|=时取等号．综上可得：|S1﹣S2|的取值范围是．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+blnx在点（1，0）处的切线的斜率为1．（1）求a，b的值；（2）是否存在实数t使函数F（x）=f（x）+lnx的图象恒在函数g（x）=的图象的上方，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，解方程可得a=0，b=1；（2）求出F（x）的解析式，假设存在实数t，即有2lnx＞，即t＜2xlnx恒成立，设g（x）=2xlnx，求出导数，单调区间，可得极小值，也为最小值，由恒成立思想可得t的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax3+blnx的导数为f′（x）=3ax2+，由题意可得f′（1）=3a+b=1，f（1）=a=0，解得a=0，b=1；（2）F（x）=f（x）+lnx=2lnx，假设存在实数t使函数F（x）的图象恒在函数g（x）=的图象的上方，即为2lnx＞，即t＜2xlnx恒成立，设g（x）=2xlnx，g′（x）=2（lnx+1），当x＞时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得g（x）在x=处取得极小值，且为最小值﹣，可得t＜﹣，则存在实数t∈（﹣∞，﹣），使函数F（x）的图象恒在函数g（x）=的图象的上方．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）在圆内接四边形ABCD中，AD为圆的直径，对角线AC与BD交于点Q，AB，DC的延长线交于点P，连接PQ并延长交AD于点E，连接EB．（1）求证：PE⊥AD；（2）求证：BD平分∠EBC．【分析】（1）运用直径所对的圆周角为直角，以及三角形的垂心的定义和性质，即可得证；（2）证得点P，B，E，D共圆，可得∠AEB=∠BPC，同理可得∠PCB=∠DAB，则△AEB∽△CPB，再由相似三角形的性质和内角平分线的定义，即可得证．【解答】证明：（1）由题意可得AD为圆的直径，可得∠ABD=∠ACD=90°，即有点Q为△APD的垂心，则PE为边AD上的高，可得PE⊥AD；（2）由（1）可知，∠PBD=∠PED=90°，则点P，B，E，D共圆，可得∠AEB=∠BPC，又∠PCB=∠DAB，则△AEB∽△CPB，可得∠EBA=∠CBP，即为90°﹣∠EBD=90°﹣∠CBD，即有∠EBD=∠CBD，则BD平分∠EBC．【点评】本题考查圆的内接四边形的性质，直径所对的圆周角为直角和三角形相似的判定定理和性质定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣．（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求曲线C1与曲线C2的交点的极坐标．【分析】（1）先把C1的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；（2）求出C2的普通方程，与C1的普通方程联立解出交点的直角坐标，转化为极坐标．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（2）曲线C2的普通方程为x=﹣．把x=﹣代入x2+y2﹣2y=0得y=或y=．∴曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标为（﹣，），（﹣，）．∴曲线C1与曲线C2的交点的极坐标为（1，），（，）．【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2014春•龙华区校级月考）设函数f（x）=|x+2|+|2x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）当a＜﹣4时，存在x≤﹣2，使得f（x）﹣x≤4成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=2时，去掉绝对值化简函数的解析式为f（x）=，由此求得函数y=f（x）的值域．（Ⅱ）当a＜﹣4时，，由题意可得所以4≥[f（x）﹣x]min=﹣2﹣a，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|x+2|+2|x﹣1|=，所以f（x）min=f（1）=3，函数f（x）没有最大值，所以函数y=f（x）的值域是[3，+∞）．（Ⅱ）当a＜﹣4时，，因存在x≤﹣2，使得f（x）﹣x≤4成立，所以4≥[f（x）﹣x]min=﹣2﹣a，即﹣6≤a＜﹣4，所以实数a的取值范围是[﹣6，﹣4）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．。